MATRIKS - Gunadarmadewi_putrie.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/70907/...3 2 i i (11) Matriks...
Transcript of MATRIKS - Gunadarmadewi_putrie.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/70907/...3 2 i i (11) Matriks...
-
MATRIKS
A. Notasi Matriks
Suatu Matriks A merupakan suatu array persegi panjang dari bilangan-
bilangan yang dapat ditulis sebagai berikut :
Dimana :
๐-triple horizontal (๐11, ๐12, โฆ , ๐1๐ ), (๐21, ๐22, โฆ , ๐2๐ ), โฆ, (๐๐1, ๐๐2, โฆ , ๐๐๐)
disebut Baris
๐-triple vertikal (
๐11๐21โฎ
๐๐1
), (
๐12๐22โฎ
๐๐2
), โฆ, (
๐1๐๐21โฎ
๐๐1
) disebut Kolom
Matriks A di atas adalah matriks dengan m baris dan n kolom (Amรn) , sehingga
ukuran (ordo) matriks tersebut adalah (๐ ร ๐)
Notasi Matriks :
A = ija , dimana aij adalah elemen pada baris ke i kolom ke j
Kesamaan Dua Matriks
Matriks A dan matrik B dikatakan sama (A = B), jika dan hanya jika :
a. Ordo kedua matriks sama.
b. Semua elemen yang bersesuaian mempunyai nilai yang sama.
Contoh :
Diketahui persamaan matriks:
(๐ฅ โ ๐ฆ 2๐ง + ๐ค๐ฅ + ๐ฆ ๐ง + ๐ค
) = (5 โ2โ9 โ3
)
Untuk menentukan nilai ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง dan ๐ค digunakan metode eliminasi dan substitusi
terhadap 4 buah persamaan berikut :
{
๐ฅ โ ๐ฆ = 5๐ฅ + 9 = โ92๐ง + ๐ค = โ2๐ง + ๐ค = โ3
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
...
...
...
... ... ... ... ...
...
n
n
n
m m m mn
a a a a
a a a a
A a a a a
a a a a
-
Setelah diselesaikan maka diperoleh nilai ๐ฅ = โ2, ๐ฆ = 7, ๐ง = 1, dan ๐ค = โ4
B. Operasi Pada Matriks
a. Penjumlahan pada Matriks (berlaku untuk matriks โmatriks yang berukuran
sama).
Jika A = ija dan B = ijb , matriks yang berukuran sama , maka A + B adalah suatu matriks C = ijc , di mana cij = aij + bij untuk setiap i dan j. Contoh :
A =
33
21 dan B =
42
12 maka
A + B =
33
21+
42
12 =
4323
1221 =
75
33
b. Pengurangan pada Matriks (berlaku untuk matriks โmatriks yang berukuran
sama).
Jika A = ija dan B = ijb , matriks yang berukuran sama , maka A - B adalah suatu matriks C = ijc , di mana cij = aij - bij untuk setiap i dan j. Contoh :
A =
33
21 dan B =
42
12 maka
๐ด โ ๐ต = (1 23 3
) โ (2 12 4
) = (1 โ 2 2 โ 13 โ 2 3 โ 4
) = (โ1 11 โ1
)
c. Perkalian Skalar terhadap Matriks
Jika suatu skalar dan A = ija maka matriks A = (aij) Contoh :
A =
33
21 maka 2A =
3.23.2
2.21.2=
66
42
Catatan :
Beberapa hukum pada penjumlahan dan perkalian scalar
Jika ๐ด, ๐ต, ๐ถ Matriks-matriks berukuran sama, dan ๐ scalar, maka
a. ๐ด + ๐ต = ๐ต + ๐ด (Sifat Komutatif)
b. (๐ด + ๐ต) + ๐ถ = ๐ด + (๐ต + ๐ถ) (Sifat Asosiatif)
c. ๐(๐ด + ๐ต) = ๐๐ด + ๐๐ต (Sifat Distributif)
d. Selalu ada matriks ๐ท , sedemikian sehingga ๐ด + ๐ท = ๐ต
-
d. Perkalian Dua Buah Matriks
Pada umumnya perkalian Matriks tidak komutatif terhadap operasi perkalian :
AB BA.
Syarat Perkalian Matriks :
Banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks
kedua.
Definisi :
Misal A = ija berukuran (m ร n) dan B = ijb berukuran (n ร p) . Maka perkalian A ร B adalah suatu matriks C = ijc berukuran (m ร p) di mana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + โฆ.. + ain bnj untuk setiap i = 1,2,...,m dan j = 1,2,โฆ.,p.
Contoh :
1. A = 321 dan B =
1
0
2
maka
A ร B = 1.2 2.0 3.1 = 5
2.
1 0 2
2 2 1
1 3 1
A
dan
2 2
1 3
0 1
B
maka
1 2 (0 1) (2 0) 1 2 (0 3) (2 1) 2 4
2 2 (2 1) (1 0) 2 2 (2 3) (1 1) 6 3
1 2 (3 1) ( 1 0) 1 2 (3 3) ( 1 1) 1 10
A B
Catatan :
Beberapa hukum pada perkalian matriks
Jika ๐ด, ๐ต, ๐ถ Matriks-matriks yang memenuhi syarat-syarat perkalian matriks,
maka
a. ๐ด(๐ต + ๐ถ) = ๐ด๐ต + ๐ด๐ถ ; (๐ต + ๐ถ)๐ด = ๐ต๐ด + ๐ถ๐ด (Sifat Distributif)
b. ๐ด(๐ต๐ถ) = (๐ด๐ต)๐ถ (Sifat Asosiatif)
c. ๐ด๐ต โ ๐ต๐ด (Tidak Komutatif)
d. Jika ๐ด๐ต = ๐ด๐ถ belum tentu ๐ต = ๐ถ
e. Transpose dari suatu Matriks
Misal A = ija berukuran (m ร n) maka transpose dari A adalah matriks AT berukuran (n ร m) maka AT = jia .
-
Contoh:
๐ด = (โ1 3 โ87 โ9 2โ6 4 5
) Maka diperoleh ๐ด๐ = (โ1 7 โ63 โ9 4โ8 2 5
)
Beberapa Sifat matriks transpose :
(i) (A + B)T = AT + BT
(ii) (AT )T = A
(iii) ( AT) = (A)T
(iv) (AB)T = BT AT
Catatan :
Bila Matriks A = ija adalah suatu matriks kompleks, maka Transpose
Hermitian ( Conjugate Transpose) yaitu AH = T
ija
=
_
jia , jika z = x โ yi
maka
z = x + yi
Contoh :
A =
3
13
i
ii maka AH =
3
1 3
i i
i
C. Beberapa Jenis Matriks Khusus
(1) Matriks Bujur Sangkar
Matriks bujur sangkar (matriks persegi) adalah suatu matriks dengan
banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.
Contoh :
A =
42
31 adalah matriks bujur sangkar ordo 2.
(2) Matriks Nol
Matriks nol adalah suatu matriks yang semua elemennya nol (ditulis matriks
0).
Contoh :
0 = (0 00 0
)
Sifat-sifatnya :
1) ๐ด + 0 = ๐ด (Jika ukuran ๐ด = ukuran 0 )
2) ๐ด0 = 0 ; 0๐ด = 0 (Jika syarat-syarat perkalian terpenuhi)
(3) Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar
diagonal utama adalah nol.
-
Contoh :
300
020
001
(4) Matriks Identitas ( Satuan )
Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemen โelemen diagonal
utamanya semua sama dengan 1.
Contoh :
100
010
001
Sifat-sifatnya :
๐ด๐ผ = ๐ด
๐ผ๐ด = ๐ด (Bila syarat-syarat perkalian terpenuhi)
(5) Matriks Skalar
Matriks skalar adalah matriks diagonal utamanya sama dengan k. Matriks
Identitas adalah bentuk khusus dari matriks skalar dengan k = 1
Contoh :
200
020
002
(6) Matriks Segitiga Bawah (Lower Triangular)
Matriks segitiga bawah adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di
atas diagonal utama sama dengan nol.
Contoh :
204
031
002
(7) Matriks Segitiga Atas (Upper Triangular)
Matriks segitiga atas adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di
bawah diagonal utama sama dengan nol.
Contoh :
200
530
012
-
(8) Matriks Simetris
Matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya
sendiri. Dengan perkataan lain A = AT dan matriks simetris merupakan
matriks bujur sangkar.
Contoh :
A =
110
132
021
dan AT =
110
132
021
(9) Matriks Antisimetris
Matriks antisimetris adalah matriks yang transposenya adalah negatifnya.
Dengan perkataan lain AT = - A.
Contoh :
A =
0142
1031
4301
2110
, AT =
0142
1031
4301
2110
(10) Matriks Hermitian
Matriks Hermitian adalah matriks dengan transpose hermitiannya sama
dengan dirinya sendiri. Dengan perkataan lain AH = - A
Contoh :
A =
42
23
i
i dan AH =
42
23
i
i
(11) Matriks Invers ( Kebalikan ) :
Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar ordo n dan berlaku AB = BA = I
maka dikatakan B invers dari A dan ditulis B = A-1 sebaliknya A adalah
invers dari B dan ditulis A = B-1 .
Contoh :
Matriks ๐ด = (1 2 31 3 31 2 4
)
Mempunyai invers ๐ดโ1 = (1 2 31 3 31 2 4
)
Karena ๐ด๐ดโ1 = ๐ดโ1๐ด = (1 0 00 1 00 0 1
)
(12) Matriks Komutatif
Matriks komutatif adalah Jika A dan B matriks yang bujur sangkar dan
berlaku AB = BA.
Anti Komutatif jika AB = -BA.
-
Contoh :
A = (2 11 2
) dan B = (3 11 3
) , maka
AB = (2 11 2
) (3 11 3
) = (7 55 7
)
BA = (3 11 3
) (2 11 2
) = (7 55 7
)
Karena AB = ๐ต๐ด , maka A dan B berkomutatif
(13) Matriks Idempoten, Periodik, Nilpoten
- Matriks Idempoten
Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku AA = A2 = A.
- Matriks Periodik
Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku AAAโฆA = Ap = A dikatakan
periodik dengan periode p-1.
- Matriks Nilpoten
Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku Ar = 0, dikatakan Nilpoten
dengan indeks r dan r bilangan bulat positip. 0 adalah matriks Nol.
D. Transformasi (Operasi) Elementer pada Baris dan Kolom Suatu Matriks
(1a ) Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j ditulis Hij(A).
Contoh :
A =
987
654
321
maka H12(A)=
987
321
654
(1b ) Penukaran tempat kolom ke-i dan kolom ke-j ditulis Kij(A).
Contoh :
A =
987
654
321
maka K12(A)=
978
645
312
(2a) Memperkalikan baris ke-i dengan skalar 0, ditulis Hi() (A)
Contoh :
A =
987
654
321
maka H2(2) (A)=
987
12108
321
-
(2b) Memperkalikan kolom ke-j dengan skalar 0, ditulis Kj() (A)
Contoh :
A =
987
654
321
maka K1(3) (A)=
9821
6512
323
(3a) Menambah baris ke-i dengan skalar 0 kali baris ke -j, ditulis Hij() (A)
Contoh :
A =
987
654
321
maka H21(1) (A)=
987
975
321
Baris 1 kali 1 tambahkan dengan baris 2 diletakkan di baris 2
(3b) Menambah kolom ke-i dengan skalar 0 kali kolom ke -j, ditulis Kij() (A)
Contoh :
A =
987
654
321
maka K31(2) (A)=
2387
1475
521
Kolom 1 kali 2 tambahkan dengan kolom 3 diletakkan di kolom 3
E. Matriks Singular, Nonsingular, dan Rank Matriks
Matriks bujur sangkar A disebut matriks singular apabila ๐๐๐ก(๐ด) = 0.
Matriks singular tidak mempunyai matriks invers
Matriks bujur sangkar A disebut matriks Nonsingular apabila ๐๐๐ก(๐ด) โ 0.
Matriks Nonsingular mempunyai matriks invers
Rank adalah banyaknya maksimum baris atau kolom yang tidak dapat
dinolkan
Contoh :
2 4 1
3 0 2
5 4 3
A
Cara 1
( 1) ( 1)31 32
2 4 1 2 4 1 2 4 1
3 0 2 3 0 2 3 0 2
5 4 3 3 0 2 0 0 0
H H
Jadi, r(A) = 2.
-
Cara 2
( 3)2 ( 1)21 32
( 5)231
2 4 1 2 4 1 2 4 1
3 0 2 0 12 1 0 12 1
5 4 3 0 12 1 0 0 0
H H
H
Jadi, r(A) = 2.
F. Determinan Matriks
- Matriks 2ร2
a bA
c d
maka det(A) = |A|= ad - bc.
Contoh :
1 2
4 3A
maka |A|= (-1)(3) - (4)(-2) = -3 + 8 = 5
- Matriks 3ร3
a. Metode Sarrus
a b c
A d e f
g h i
a b c a b
A d e f d e
g h i g h
maka |A|= aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
Contoh :
1 3 1 1 3
1 2 2 1 2
2 4 3 2 4
A
maka |A|= (1)(2)(3) + (3)(2)(2) + (-1)(-1)(4) - (-1)(2)(2) - (1)(2)(4) - (3)(-1)(3)
= 6 + 12 +4 + 4 - 8 + 9 = 27
b. Ekspansi Baris atau Kolom
- Minor
Mij yaitu matriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke i dan
kolom ke j.
+ + + - - -
-
Contoh :
1 3 1
1 2 2
2 4 3
A
1 3 1
1 2 2
2 4 3
A
M23 (A) = 1 3
2 4
- Kofaktor
Cij = (-1)i+j| Mij |
C23 (A) = (-1)2+3 51 3
( 1) (1)(4) (3)(2) (4 6) 22 4
Mencari determinan dari A dengan ekspansi baris 1
1 3 1
1 2 2
2 4 3
2 2 1 2 1 21 3 1
4 3 2 3 2 4
(6 8) 3( 3 4) ( 4 4)
2 21 8 27
A
Mencari determinan dari A dengan ekspansi kolom 2
1 3 1
1 2 2
2 4 3
1 2 1 1 1 13 2 4
2 3 2 3 1 2
3( 3 4) 2(3 2) 4(2 1)
21 10 4 27
A
baris 2
kolom 3
+
-
-
-
G. Sifat-Sifat Determinan
Sifat 1
det(๐ด) = ๐๐๐ก(๐ด๐)
Contoh :
Berdasarkan Contoh sebelumnya
Diketahui matriks
1 3 1
1 2 2
2 4 3
A
dengan |๐ด| = 27
Maka
|๐ด๐| = |1 โ1 23 2 4โ1 2 3
| = |๐ด| = 27
Sifat 2
Tanda determinan berubah apabila dua baris/kolom ditukar tempatnya.
Contoh :
Diketahui matriks
1 3 1
1 2 2
2 4 3
A
dengan |๐ด| = 27
Misalkan matriks ๐ต = ๐ป21(๐ด) = (โ1 2 21 3 โ12 4 3
) maka
|๐ต| = โ1. |๐ด| = โ27
Catatan :
Jika pada matriks terdapat baris/kolom sama maka ๐๐๐ก = 0
Contoh :
|1 โ1 23 2 41 โ1 2
| = 0 (karena baris 1 dan baris 3 sama)
Sifat 3
Harga determinan menjadi ๐ kali, jika suatu baris/kolom dikalikan dengan ๐
(suatu skalar).
Contoh :
Diketahui matriks
1 3 1
1 2 2
2 4 3
A
dengan |๐ด| = 27
Misalkan matriks ๐ถ = ๐ป1โ2(๐ด) = (
โ2 โ6 2โ1 2 22 4 3
) maka
|๐ถ| = โ2. |๐ด| = โ54
Catatan :
Jika suatu matriks, salah satu baris/kolom nol, maka ๐๐๐ก = 0
-
Contoh :
|1 โ1 23 2 40 0 0
| = 0 (karena baris 3 adalah baris nol)
Sifat 4
Harga determinan tidak berubah apabila baris/kolom ke-i ditambah dengan ๐
Baris/kolom ke-j.
Contoh :
Diketahui matriks
1 3 1
1 2 2
2 4 3
A
dengan |๐ด| = 27
Misalkan matriks ๐ท = ๐ป12(โ2)(๐ด) = (
3 โ1 โ5โ1 2 22 4 3
) maka
|๐ท| = |๐ด| = 27
Catatan :
Determinan dari matriks segitiga atas atau segitiga bawah diselesaikan dengan
cara berikut :
|โ1 0 09 2 09 8 3
| = โ1.2.3 ; |โ1 9 80 2 90 0 3
| = โ1.2.3
H. Menghitung Determinan dengan Sifat-Sifat Determinan
Hal ini dilakukan untuk menentukan determinan 4x4 dengan menggunakan :
1. Operasi elementer baris/kolom ke-i ditambah dengan ๐ Baris/kolom ke-j
(Karena berdasarkan sifat determinan operasi ini tidak merubah nilai
determinan)
2. Penguraian baris/kolom
Contoh :
Tentukan determinan dari matriks ๐ด = (
3 2 32 4 5โ1 3 2
324
4 2 3 2
) !
Penyelesaian :
Misalkan dipilih baris 3 kemudian lakukan operasi elementer
๐พ21(3), ๐พ31
(2), ๐พ41(4)
diperoleh
-
|
3 2 32 4 5โ1 3 2
324
4 2 3 2
| = |
3 11 92 10 9โ1 0 0
15100
4 14 11 18
|
Kemudian lakukan penguraian baris dengan memilih baris 3
|๐ด| = โ1 |11 9 1510 9 1014 11 18
|
Karena tidak ada elemen -1 atau 1, maka kurangi kolom 2 dengan kolom 1
atau dilakukan operasi elementer ๐พ21(โ1)
โ1 |11 9 1510 9 1014 11 18
| = โ1 |11 โ2 1510 โ1 1014 โ3 18
|
Selanjutnya lakukan operasi elementer ๐พ12(10) dan ๐พ13
(10) sehingga diperoleh
โ1 |11 โ2 1510 โ1 1014 โ3 18
| = โ1 |โ9 โ2 โ50 โ1 0โ16 โ3 โ12
|
Kemudian pilih baris ke-2 sehingga
|๐ด| = โ1.โ1 |โ9 โ5โ16 โ12
| = (โ9.โ12) โ (โ16. โ5) = 28
Jadi diperoleh determinan dari Matriks A adalah 28
I. Matriks Invers
Definisi
Sebuah matriks bujur sangkar A berordo n:
(
๐11 ๐12 โฏ๐21 ๐22 โฏ
โฎ โฎ ๐1๐๐2๐โฎ
๐๐1 ๐๐2 โฏ ๐๐๐
)
mempunyai invers, jika ada suatu matriks B, sehingga ๐ด๐ต = ๐ต๐ด = ๐ผ๐.
Matriks B disebut invers matriks A ditulis ๐ดโ1
Rumus Umum
๐ดโ1 =1
det(๐ด). ๐๐๐ (๐ด)
Matriks Invers ๐ด2๐ฅ2
A = (a bc d
) Matriks invers dari A yaitu Aโ1 =1
adโbc (d โbโc a
)
Contoh :
Tentukan invers dari A = (โ2 โ14 3
) !
Penyelesaian :
Aโ1 =1
โ2.3 โ (โ1.4)(3 1โ4 โ2
)
-
=1
โ2(3 1โ4 โ2
)
Aโ1 = (โ3
2โ1
2
2 1)
Matriks Invers ๐ด๐๐ฅ๐
Untuk matriks berukuran ๐ด๐๐ฅ๐ dengan diperoleh Adj (A) adalah Transpose
dari matriks Kofaktor.
Matriks Kofaktor dari ๐ด = (๐๐๐) adalah
(
๐ถ11 ๐ถ12 โฏ๐ถ21 ๐ถ22 โฏ
โฎ โฎ
๐ถ1๐๐ถ2๐โฎ
๐ถ๐1 ๐ถ๐2 โฏ ๐ถ๐๐
)
Contoh :
Tentukan invers dari = (2 3 โ40 โ4 11 โ1 5
) !
Penyelesaian :
# Kofaktor dari kesembilan elemen dari matriks A adalah sebagai berikut :
๐ถ11 = + |โ4 2โ1 5
| = โ18
๐ถ12 = โ |0 21 5
| = 2
๐ถ13 = + |0 โ41 โ1
| = 4
๐ถ21 = โ |3 โ4โ1 5
| = โ11
๐ถ22 = + |2 โ41 5
| = 14
๐ถ23 = โ |2 31 โ1
| = 5
๐ถ31 = + |3 โ4โ4 2
| = โ10
๐ถ32 = โ |2 โ40 2
| = โ4
๐ถ33 = + |2 30 โ4
| = โ8
Jadi Matrik Kofaktor dari matriks A yaitu ๐ถ๐๐ = (โ18 2 4โ11 14 5โ10 โ4 โ8
)
Sehingga diperoleh Adj (A) adalah ๐ด๐๐(๐ด) = (โ18 โ11 โ102 14 โ44 5 โ8
)
# Determinan dari Matriks A (Penguraian Baris ke-2)
|๐ด| = ๐21. ๐ถ21 + ๐22. ๐ถ22 + ๐23. ๐ถ23
-
= 0.โ11 + (โ4.14) + 2.5
|๐ด| = โ46
# Matriks Invers dari matriks A :
๐ดโ1 =1
โ46(โ18 โ11 โ102 14 โ44 5 โ8
) =
(
9
23
11
46
5
23
โ1
23โ7
23
2
23
โ2
23โ5
46
4
23)
Latihan Soal
1. Diketahui :
๐ด = [1 โ2 63 0 โ11 1 โ2
] ; ๐ต = [โ7 โ2 18 โ3 4โ5 2 1
โ2โ17] ; ๐ถ = [
1 โ3 52 1 โ31 0 โ2
]
Tentukan :
(a) 3๐ถ โ 2๐ด
(b) ๐ด๐ต
(c) โ1
4๐ต
(d) 3๐ถ โ 2๐ด
(e) ๐ต๐๐ถ
2. Tentukan Determinan dari matriks berikut :
(a) ๐ด = [1 โ3 52 1 โ31 0 โ2
]
(b) ๐ด = [โ4 1 22 โ2 03 4 1
]
(c)
4321
3231
1313
1221
A
-
(d)
1312
1212
2111
4321
A
3. Tentukan invers dari matriks :
(a) ๐ด = [1 โ2 63 0 โ11 1 โ2
]
(b)
323
254
211
A
(c)๐ด = [1 2 23 1 01 1 1
]
(d)
115
321
142
A