MATRIKS - Gunadarmadewi_putrie.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/70907/...3 2 i i (11) Matriks...

16
MATRIKS A. Notasi Matriks Suatu Matriks A merupakan suatu array persegi panjang dari bilangan- bilangan yang dapat ditulis sebagai berikut : Dimana : -triple horizontal ( 11 , 12 ,โ€ฆ, 1 ), ( 21 , 22 ,โ€ฆ, 2 ), โ€ฆ, ( 1 , 2 ,โ€ฆ, ) disebut Baris -triple vertikal ( 11 21 โ‹ฎ 1 ), ( 12 22 โ‹ฎ 2 ), โ€ฆ, ( 1 21 โ‹ฎ 1 ) disebut Kolom Matriks A di atas adalah matriks dengan m baris dan n kolom (Amร—n) , sehingga ukuran (ordo) matriks tersebut adalah ( ร— ) Notasi Matriks : A = ij a , dimana aij adalah elemen pada baris ke i kolom ke j Kesamaan Dua Matriks Matriks A dan matrik B dikatakan sama (A = B), jika dan hanya jika : a. Ordo kedua matriks sama. b. Semua elemen yang bersesuaian mempunyai nilai yang sama. Contoh : Diketahui persamaan matriks: ( โˆ’ 2 + + + )=( 5 โˆ’2 โˆ’9 โˆ’3 ) Untuk menentukan nilai , , dan digunakan metode eliminasi dan substitusi terhadap 4 buah persamaan berikut : { โˆ’=5 + 9 = โˆ’9 2 + = โˆ’2 + = โˆ’3 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 33 3 1 2 3 ... ... ... ... ... ... ... ... ... n n n m m m mn a a a a a a a a A a a a a a a a a

Transcript of MATRIKS - Gunadarmadewi_putrie.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/70907/...3 2 i i (11) Matriks...

  • MATRIKS

    A. Notasi Matriks

    Suatu Matriks A merupakan suatu array persegi panjang dari bilangan-

    bilangan yang dapat ditulis sebagai berikut :

    Dimana :

    ๐‘›-triple horizontal (๐‘Ž11, ๐‘Ž12, โ€ฆ , ๐‘Ž1๐‘› ), (๐‘Ž21, ๐‘Ž22, โ€ฆ , ๐‘Ž2๐‘› ), โ€ฆ, (๐‘Ž๐‘š1, ๐‘Ž๐‘š2, โ€ฆ , ๐‘Ž๐‘š๐‘›)

    disebut Baris

    ๐‘›-triple vertikal (

    ๐‘Ž11๐‘Ž21โ‹ฎ

    ๐‘Ž๐‘š1

    ), (

    ๐‘Ž12๐‘Ž22โ‹ฎ

    ๐‘Ž๐‘š2

    ), โ€ฆ, (

    ๐‘Ž1๐‘›๐‘Ž21โ‹ฎ

    ๐‘Ž๐‘š1

    ) disebut Kolom

    Matriks A di atas adalah matriks dengan m baris dan n kolom (Amร—n) , sehingga

    ukuran (ordo) matriks tersebut adalah (๐‘š ร— ๐‘›)

    Notasi Matriks :

    A = ija , dimana aij adalah elemen pada baris ke i kolom ke j

    Kesamaan Dua Matriks

    Matriks A dan matrik B dikatakan sama (A = B), jika dan hanya jika :

    a. Ordo kedua matriks sama.

    b. Semua elemen yang bersesuaian mempunyai nilai yang sama.

    Contoh :

    Diketahui persamaan matriks:

    (๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ 2๐‘ง + ๐‘ค๐‘ฅ + ๐‘ฆ ๐‘ง + ๐‘ค

    ) = (5 โˆ’2โˆ’9 โˆ’3

    )

    Untuk menentukan nilai ๐‘ฅ, ๐‘ฆ, ๐‘ง dan ๐‘ค digunakan metode eliminasi dan substitusi

    terhadap 4 buah persamaan berikut :

    {

    ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฆ = 5๐‘ฅ + 9 = โˆ’92๐‘ง + ๐‘ค = โˆ’2๐‘ง + ๐‘ค = โˆ’3

    11 12 13 1

    21 22 23 2

    31 32 33 3

    1 2 3

    ...

    ...

    ...

    ... ... ... ... ...

    ...

    n

    n

    n

    m m m mn

    a a a a

    a a a a

    A a a a a

    a a a a

  • Setelah diselesaikan maka diperoleh nilai ๐‘ฅ = โˆ’2, ๐‘ฆ = 7, ๐‘ง = 1, dan ๐‘ค = โˆ’4

    B. Operasi Pada Matriks

    a. Penjumlahan pada Matriks (berlaku untuk matriks โ€“matriks yang berukuran

    sama).

    Jika A = ija dan B = ijb , matriks yang berukuran sama , maka A + B adalah suatu matriks C = ijc , di mana cij = aij + bij untuk setiap i dan j. Contoh :

    A =

    33

    21 dan B =

    42

    12 maka

    A + B =

    33

    21+

    42

    12 =

    4323

    1221 =

    75

    33

    b. Pengurangan pada Matriks (berlaku untuk matriks โ€“matriks yang berukuran

    sama).

    Jika A = ija dan B = ijb , matriks yang berukuran sama , maka A - B adalah suatu matriks C = ijc , di mana cij = aij - bij untuk setiap i dan j. Contoh :

    A =

    33

    21 dan B =

    42

    12 maka

    ๐ด โˆ’ ๐ต = (1 23 3

    ) โˆ’ (2 12 4

    ) = (1 โˆ’ 2 2 โˆ’ 13 โˆ’ 2 3 โˆ’ 4

    ) = (โˆ’1 11 โˆ’1

    )

    c. Perkalian Skalar terhadap Matriks

    Jika suatu skalar dan A = ija maka matriks A = (aij) Contoh :

    A =

    33

    21 maka 2A =

    3.23.2

    2.21.2=

    66

    42

    Catatan :

    Beberapa hukum pada penjumlahan dan perkalian scalar

    Jika ๐ด, ๐ต, ๐ถ Matriks-matriks berukuran sama, dan ๐œ† scalar, maka

    a. ๐ด + ๐ต = ๐ต + ๐ด (Sifat Komutatif)

    b. (๐ด + ๐ต) + ๐ถ = ๐ด + (๐ต + ๐ถ) (Sifat Asosiatif)

    c. ๐œ†(๐ด + ๐ต) = ๐œ†๐ด + ๐œ†๐ต (Sifat Distributif)

    d. Selalu ada matriks ๐ท , sedemikian sehingga ๐ด + ๐ท = ๐ต

  • d. Perkalian Dua Buah Matriks

    Pada umumnya perkalian Matriks tidak komutatif terhadap operasi perkalian :

    AB BA.

    Syarat Perkalian Matriks :

    Banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks

    kedua.

    Definisi :

    Misal A = ija berukuran (m ร— n) dan B = ijb berukuran (n ร— p) . Maka perkalian A ร— B adalah suatu matriks C = ijc berukuran (m ร— p) di mana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + โ€ฆ.. + ain bnj untuk setiap i = 1,2,...,m dan j = 1,2,โ€ฆ.,p.

    Contoh :

    1. A = 321 dan B =

    1

    0

    2

    maka

    A ร— B = 1.2 2.0 3.1 = 5

    2.

    1 0 2

    2 2 1

    1 3 1

    A

    dan

    2 2

    1 3

    0 1

    B

    maka

    1 2 (0 1) (2 0) 1 2 (0 3) (2 1) 2 4

    2 2 (2 1) (1 0) 2 2 (2 3) (1 1) 6 3

    1 2 (3 1) ( 1 0) 1 2 (3 3) ( 1 1) 1 10

    A B

    Catatan :

    Beberapa hukum pada perkalian matriks

    Jika ๐ด, ๐ต, ๐ถ Matriks-matriks yang memenuhi syarat-syarat perkalian matriks,

    maka

    a. ๐ด(๐ต + ๐ถ) = ๐ด๐ต + ๐ด๐ถ ; (๐ต + ๐ถ)๐ด = ๐ต๐ด + ๐ถ๐ด (Sifat Distributif)

    b. ๐ด(๐ต๐ถ) = (๐ด๐ต)๐ถ (Sifat Asosiatif)

    c. ๐ด๐ต โ‰  ๐ต๐ด (Tidak Komutatif)

    d. Jika ๐ด๐ต = ๐ด๐ถ belum tentu ๐ต = ๐ถ

    e. Transpose dari suatu Matriks

    Misal A = ija berukuran (m ร— n) maka transpose dari A adalah matriks AT berukuran (n ร— m) maka AT = jia .

  • Contoh:

    ๐ด = (โˆ’1 3 โˆ’87 โˆ’9 2โˆ’6 4 5

    ) Maka diperoleh ๐ด๐‘‡ = (โˆ’1 7 โˆ’63 โˆ’9 4โˆ’8 2 5

    )

    Beberapa Sifat matriks transpose :

    (i) (A + B)T = AT + BT

    (ii) (AT )T = A

    (iii) ( AT) = (A)T

    (iv) (AB)T = BT AT

    Catatan :

    Bila Matriks A = ija adalah suatu matriks kompleks, maka Transpose

    Hermitian ( Conjugate Transpose) yaitu AH = T

    ija

    =

    _

    jia , jika z = x โ€“ yi

    maka

    z = x + yi

    Contoh :

    A =

    3

    13

    i

    ii maka AH =

    3

    1 3

    i i

    i

    C. Beberapa Jenis Matriks Khusus

    (1) Matriks Bujur Sangkar

    Matriks bujur sangkar (matriks persegi) adalah suatu matriks dengan

    banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.

    Contoh :

    A =

    42

    31 adalah matriks bujur sangkar ordo 2.

    (2) Matriks Nol

    Matriks nol adalah suatu matriks yang semua elemennya nol (ditulis matriks

    0).

    Contoh :

    0 = (0 00 0

    )

    Sifat-sifatnya :

    1) ๐ด + 0 = ๐ด (Jika ukuran ๐ด = ukuran 0 )

    2) ๐ด0 = 0 ; 0๐ด = 0 (Jika syarat-syarat perkalian terpenuhi)

    (3) Matriks Diagonal

    Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar

    diagonal utama adalah nol.

  • Contoh :

    300

    020

    001

    (4) Matriks Identitas ( Satuan )

    Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemen โ€“elemen diagonal

    utamanya semua sama dengan 1.

    Contoh :

    100

    010

    001

    Sifat-sifatnya :

    ๐ด๐ผ = ๐ด

    ๐ผ๐ด = ๐ด (Bila syarat-syarat perkalian terpenuhi)

    (5) Matriks Skalar

    Matriks skalar adalah matriks diagonal utamanya sama dengan k. Matriks

    Identitas adalah bentuk khusus dari matriks skalar dengan k = 1

    Contoh :

    200

    020

    002

    (6) Matriks Segitiga Bawah (Lower Triangular)

    Matriks segitiga bawah adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di

    atas diagonal utama sama dengan nol.

    Contoh :

    204

    031

    002

    (7) Matriks Segitiga Atas (Upper Triangular)

    Matriks segitiga atas adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di

    bawah diagonal utama sama dengan nol.

    Contoh :

    200

    530

    012

  • (8) Matriks Simetris

    Matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya

    sendiri. Dengan perkataan lain A = AT dan matriks simetris merupakan

    matriks bujur sangkar.

    Contoh :

    A =

    110

    132

    021

    dan AT =

    110

    132

    021

    (9) Matriks Antisimetris

    Matriks antisimetris adalah matriks yang transposenya adalah negatifnya.

    Dengan perkataan lain AT = - A.

    Contoh :

    A =

    0142

    1031

    4301

    2110

    , AT =

    0142

    1031

    4301

    2110

    (10) Matriks Hermitian

    Matriks Hermitian adalah matriks dengan transpose hermitiannya sama

    dengan dirinya sendiri. Dengan perkataan lain AH = - A

    Contoh :

    A =

    42

    23

    i

    i dan AH =

    42

    23

    i

    i

    (11) Matriks Invers ( Kebalikan ) :

    Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar ordo n dan berlaku AB = BA = I

    maka dikatakan B invers dari A dan ditulis B = A-1 sebaliknya A adalah

    invers dari B dan ditulis A = B-1 .

    Contoh :

    Matriks ๐ด = (1 2 31 3 31 2 4

    )

    Mempunyai invers ๐ดโˆ’1 = (1 2 31 3 31 2 4

    )

    Karena ๐ด๐ดโˆ’1 = ๐ดโˆ’1๐ด = (1 0 00 1 00 0 1

    )

    (12) Matriks Komutatif

    Matriks komutatif adalah Jika A dan B matriks yang bujur sangkar dan

    berlaku AB = BA.

    Anti Komutatif jika AB = -BA.

  • Contoh :

    A = (2 11 2

    ) dan B = (3 11 3

    ) , maka

    AB = (2 11 2

    ) (3 11 3

    ) = (7 55 7

    )

    BA = (3 11 3

    ) (2 11 2

    ) = (7 55 7

    )

    Karena AB = ๐ต๐ด , maka A dan B berkomutatif

    (13) Matriks Idempoten, Periodik, Nilpoten

    - Matriks Idempoten

    Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku AA = A2 = A.

    - Matriks Periodik

    Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku AAAโ€ฆA = Ap = A dikatakan

    periodik dengan periode p-1.

    - Matriks Nilpoten

    Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku Ar = 0, dikatakan Nilpoten

    dengan indeks r dan r bilangan bulat positip. 0 adalah matriks Nol.

    D. Transformasi (Operasi) Elementer pada Baris dan Kolom Suatu Matriks

    (1a ) Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j ditulis Hij(A).

    Contoh :

    A =

    987

    654

    321

    maka H12(A)=

    987

    321

    654

    (1b ) Penukaran tempat kolom ke-i dan kolom ke-j ditulis Kij(A).

    Contoh :

    A =

    987

    654

    321

    maka K12(A)=

    978

    645

    312

    (2a) Memperkalikan baris ke-i dengan skalar 0, ditulis Hi() (A)

    Contoh :

    A =

    987

    654

    321

    maka H2(2) (A)=

    987

    12108

    321

  • (2b) Memperkalikan kolom ke-j dengan skalar 0, ditulis Kj() (A)

    Contoh :

    A =

    987

    654

    321

    maka K1(3) (A)=

    9821

    6512

    323

    (3a) Menambah baris ke-i dengan skalar 0 kali baris ke -j, ditulis Hij() (A)

    Contoh :

    A =

    987

    654

    321

    maka H21(1) (A)=

    987

    975

    321

    Baris 1 kali 1 tambahkan dengan baris 2 diletakkan di baris 2

    (3b) Menambah kolom ke-i dengan skalar 0 kali kolom ke -j, ditulis Kij() (A)

    Contoh :

    A =

    987

    654

    321

    maka K31(2) (A)=

    2387

    1475

    521

    Kolom 1 kali 2 tambahkan dengan kolom 3 diletakkan di kolom 3

    E. Matriks Singular, Nonsingular, dan Rank Matriks

    Matriks bujur sangkar A disebut matriks singular apabila ๐‘‘๐‘’๐‘ก(๐ด) = 0.

    Matriks singular tidak mempunyai matriks invers

    Matriks bujur sangkar A disebut matriks Nonsingular apabila ๐‘‘๐‘’๐‘ก(๐ด) โ‰  0.

    Matriks Nonsingular mempunyai matriks invers

    Rank adalah banyaknya maksimum baris atau kolom yang tidak dapat

    dinolkan

    Contoh :

    2 4 1

    3 0 2

    5 4 3

    A

    Cara 1

    ( 1) ( 1)31 32

    2 4 1 2 4 1 2 4 1

    3 0 2 3 0 2 3 0 2

    5 4 3 3 0 2 0 0 0

    H H

    Jadi, r(A) = 2.

  • Cara 2

    ( 3)2 ( 1)21 32

    ( 5)231

    2 4 1 2 4 1 2 4 1

    3 0 2 0 12 1 0 12 1

    5 4 3 0 12 1 0 0 0

    H H

    H

    Jadi, r(A) = 2.

    F. Determinan Matriks

    - Matriks 2ร—2

    a bA

    c d

    maka det(A) = |A|= ad - bc.

    Contoh :

    1 2

    4 3A

    maka |A|= (-1)(3) - (4)(-2) = -3 + 8 = 5

    - Matriks 3ร—3

    a. Metode Sarrus

    a b c

    A d e f

    g h i

    a b c a b

    A d e f d e

    g h i g h

    maka |A|= aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi

    Contoh :

    1 3 1 1 3

    1 2 2 1 2

    2 4 3 2 4

    A

    maka |A|= (1)(2)(3) + (3)(2)(2) + (-1)(-1)(4) - (-1)(2)(2) - (1)(2)(4) - (3)(-1)(3)

    = 6 + 12 +4 + 4 - 8 + 9 = 27

    b. Ekspansi Baris atau Kolom

    - Minor

    Mij yaitu matriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke i dan

    kolom ke j.

    + + + - - -

  • Contoh :

    1 3 1

    1 2 2

    2 4 3

    A

    1 3 1

    1 2 2

    2 4 3

    A

    M23 (A) = 1 3

    2 4

    - Kofaktor

    Cij = (-1)i+j| Mij |

    C23 (A) = (-1)2+3 51 3

    ( 1) (1)(4) (3)(2) (4 6) 22 4

    Mencari determinan dari A dengan ekspansi baris 1

    1 3 1

    1 2 2

    2 4 3

    2 2 1 2 1 21 3 1

    4 3 2 3 2 4

    (6 8) 3( 3 4) ( 4 4)

    2 21 8 27

    A

    Mencari determinan dari A dengan ekspansi kolom 2

    1 3 1

    1 2 2

    2 4 3

    1 2 1 1 1 13 2 4

    2 3 2 3 1 2

    3( 3 4) 2(3 2) 4(2 1)

    21 10 4 27

    A

    baris 2

    kolom 3

    +

    -

    -

  • G. Sifat-Sifat Determinan

    Sifat 1

    det(๐ด) = ๐‘‘๐‘’๐‘ก(๐ด๐‘‡)

    Contoh :

    Berdasarkan Contoh sebelumnya

    Diketahui matriks

    1 3 1

    1 2 2

    2 4 3

    A

    dengan |๐ด| = 27

    Maka

    |๐ด๐‘‡| = |1 โˆ’1 23 2 4โˆ’1 2 3

    | = |๐ด| = 27

    Sifat 2

    Tanda determinan berubah apabila dua baris/kolom ditukar tempatnya.

    Contoh :

    Diketahui matriks

    1 3 1

    1 2 2

    2 4 3

    A

    dengan |๐ด| = 27

    Misalkan matriks ๐ต = ๐ป21(๐ด) = (โˆ’1 2 21 3 โˆ’12 4 3

    ) maka

    |๐ต| = โˆ’1. |๐ด| = โˆ’27

    Catatan :

    Jika pada matriks terdapat baris/kolom sama maka ๐‘‘๐‘’๐‘ก = 0

    Contoh :

    |1 โˆ’1 23 2 41 โˆ’1 2

    | = 0 (karena baris 1 dan baris 3 sama)

    Sifat 3

    Harga determinan menjadi ๐œ† kali, jika suatu baris/kolom dikalikan dengan ๐œ†

    (suatu skalar).

    Contoh :

    Diketahui matriks

    1 3 1

    1 2 2

    2 4 3

    A

    dengan |๐ด| = 27

    Misalkan matriks ๐ถ = ๐ป1โˆ’2(๐ด) = (

    โˆ’2 โˆ’6 2โˆ’1 2 22 4 3

    ) maka

    |๐ถ| = โˆ’2. |๐ด| = โˆ’54

    Catatan :

    Jika suatu matriks, salah satu baris/kolom nol, maka ๐‘‘๐‘’๐‘ก = 0

  • Contoh :

    |1 โˆ’1 23 2 40 0 0

    | = 0 (karena baris 3 adalah baris nol)

    Sifat 4

    Harga determinan tidak berubah apabila baris/kolom ke-i ditambah dengan ๐œ†

    Baris/kolom ke-j.

    Contoh :

    Diketahui matriks

    1 3 1

    1 2 2

    2 4 3

    A

    dengan |๐ด| = 27

    Misalkan matriks ๐ท = ๐ป12(โˆ’2)(๐ด) = (

    3 โˆ’1 โˆ’5โˆ’1 2 22 4 3

    ) maka

    |๐ท| = |๐ด| = 27

    Catatan :

    Determinan dari matriks segitiga atas atau segitiga bawah diselesaikan dengan

    cara berikut :

    |โˆ’1 0 09 2 09 8 3

    | = โˆ’1.2.3 ; |โˆ’1 9 80 2 90 0 3

    | = โˆ’1.2.3

    H. Menghitung Determinan dengan Sifat-Sifat Determinan

    Hal ini dilakukan untuk menentukan determinan 4x4 dengan menggunakan :

    1. Operasi elementer baris/kolom ke-i ditambah dengan ๐œ† Baris/kolom ke-j

    (Karena berdasarkan sifat determinan operasi ini tidak merubah nilai

    determinan)

    2. Penguraian baris/kolom

    Contoh :

    Tentukan determinan dari matriks ๐ด = (

    3 2 32 4 5โˆ’1 3 2

    324

    4 2 3 2

    ) !

    Penyelesaian :

    Misalkan dipilih baris 3 kemudian lakukan operasi elementer

    ๐พ21(3), ๐พ31

    (2), ๐พ41(4)

    diperoleh

  • |

    3 2 32 4 5โˆ’1 3 2

    324

    4 2 3 2

    | = |

    3 11 92 10 9โˆ’1 0 0

    15100

    4 14 11 18

    |

    Kemudian lakukan penguraian baris dengan memilih baris 3

    |๐ด| = โˆ’1 |11 9 1510 9 1014 11 18

    |

    Karena tidak ada elemen -1 atau 1, maka kurangi kolom 2 dengan kolom 1

    atau dilakukan operasi elementer ๐พ21(โˆ’1)

    โˆ’1 |11 9 1510 9 1014 11 18

    | = โˆ’1 |11 โˆ’2 1510 โˆ’1 1014 โˆ’3 18

    |

    Selanjutnya lakukan operasi elementer ๐พ12(10) dan ๐พ13

    (10) sehingga diperoleh

    โˆ’1 |11 โˆ’2 1510 โˆ’1 1014 โˆ’3 18

    | = โˆ’1 |โˆ’9 โˆ’2 โˆ’50 โˆ’1 0โˆ’16 โˆ’3 โˆ’12

    |

    Kemudian pilih baris ke-2 sehingga

    |๐ด| = โˆ’1.โˆ’1 |โˆ’9 โˆ’5โˆ’16 โˆ’12

    | = (โˆ’9.โˆ’12) โˆ’ (โˆ’16. โˆ’5) = 28

    Jadi diperoleh determinan dari Matriks A adalah 28

    I. Matriks Invers

    Definisi

    Sebuah matriks bujur sangkar A berordo n:

    (

    ๐‘Ž11 ๐‘Ž12 โ‹ฏ๐‘Ž21 ๐‘Ž22 โ‹ฏ

    โ‹ฎ โ‹ฎ ๐‘Ž1๐‘›๐‘Ž2๐‘›โ‹ฎ

    ๐‘Ž๐‘›1 ๐‘Ž๐‘›2 โ‹ฏ ๐‘Ž๐‘›๐‘›

    )

    mempunyai invers, jika ada suatu matriks B, sehingga ๐ด๐ต = ๐ต๐ด = ๐ผ๐‘›.

    Matriks B disebut invers matriks A ditulis ๐ดโˆ’1

    Rumus Umum

    ๐ดโˆ’1 =1

    det(๐ด). ๐‘Ž๐‘‘๐‘— (๐ด)

    Matriks Invers ๐ด2๐‘ฅ2

    A = (a bc d

    ) Matriks invers dari A yaitu Aโˆ’1 =1

    adโˆ’bc (d โˆ’bโˆ’c a

    )

    Contoh :

    Tentukan invers dari A = (โˆ’2 โˆ’14 3

    ) !

    Penyelesaian :

    Aโˆ’1 =1

    โˆ’2.3 โˆ’ (โˆ’1.4)(3 1โˆ’4 โˆ’2

    )

  • =1

    โˆ’2(3 1โˆ’4 โˆ’2

    )

    Aโˆ’1 = (โˆ’3

    2โˆ’1

    2

    2 1)

    Matriks Invers ๐ด๐‘›๐‘ฅ๐‘›

    Untuk matriks berukuran ๐ด๐‘›๐‘ฅ๐‘› dengan diperoleh Adj (A) adalah Transpose

    dari matriks Kofaktor.

    Matriks Kofaktor dari ๐ด = (๐‘Ž๐‘–๐‘—) adalah

    (

    ๐ถ11 ๐ถ12 โ‹ฏ๐ถ21 ๐ถ22 โ‹ฏ

    โ‹ฎ โ‹ฎ

    ๐ถ1๐‘›๐ถ2๐‘›โ‹ฎ

    ๐ถ๐‘›1 ๐ถ๐‘›2 โ‹ฏ ๐ถ๐‘›๐‘›

    )

    Contoh :

    Tentukan invers dari = (2 3 โˆ’40 โˆ’4 11 โˆ’1 5

    ) !

    Penyelesaian :

    # Kofaktor dari kesembilan elemen dari matriks A adalah sebagai berikut :

    ๐ถ11 = + |โˆ’4 2โˆ’1 5

    | = โˆ’18

    ๐ถ12 = โˆ’ |0 21 5

    | = 2

    ๐ถ13 = + |0 โˆ’41 โˆ’1

    | = 4

    ๐ถ21 = โˆ’ |3 โˆ’4โˆ’1 5

    | = โˆ’11

    ๐ถ22 = + |2 โˆ’41 5

    | = 14

    ๐ถ23 = โˆ’ |2 31 โˆ’1

    | = 5

    ๐ถ31 = + |3 โˆ’4โˆ’4 2

    | = โˆ’10

    ๐ถ32 = โˆ’ |2 โˆ’40 2

    | = โˆ’4

    ๐ถ33 = + |2 30 โˆ’4

    | = โˆ’8

    Jadi Matrik Kofaktor dari matriks A yaitu ๐ถ๐‘–๐‘— = (โˆ’18 2 4โˆ’11 14 5โˆ’10 โˆ’4 โˆ’8

    )

    Sehingga diperoleh Adj (A) adalah ๐ด๐‘‘๐‘—(๐ด) = (โˆ’18 โˆ’11 โˆ’102 14 โˆ’44 5 โˆ’8

    )

    # Determinan dari Matriks A (Penguraian Baris ke-2)

    |๐ด| = ๐‘Ž21. ๐ถ21 + ๐‘Ž22. ๐ถ22 + ๐‘Ž23. ๐ถ23

  • = 0.โˆ’11 + (โˆ’4.14) + 2.5

    |๐ด| = โˆ’46

    # Matriks Invers dari matriks A :

    ๐ดโˆ’1 =1

    โˆ’46(โˆ’18 โˆ’11 โˆ’102 14 โˆ’44 5 โˆ’8

    ) =

    (

    9

    23

    11

    46

    5

    23

    โˆ’1

    23โˆ’7

    23

    2

    23

    โˆ’2

    23โˆ’5

    46

    4

    23)

    Latihan Soal

    1. Diketahui :

    ๐ด = [1 โˆ’2 63 0 โˆ’11 1 โˆ’2

    ] ; ๐ต = [โˆ’7 โˆ’2 18 โˆ’3 4โˆ’5 2 1

    โˆ’2โˆ’17] ; ๐ถ = [

    1 โˆ’3 52 1 โˆ’31 0 โˆ’2

    ]

    Tentukan :

    (a) 3๐ถ โˆ’ 2๐ด

    (b) ๐ด๐ต

    (c) โˆ’1

    4๐ต

    (d) 3๐ถ โˆ’ 2๐ด

    (e) ๐ต๐‘‡๐ถ

    2. Tentukan Determinan dari matriks berikut :

    (a) ๐ด = [1 โˆ’3 52 1 โˆ’31 0 โˆ’2

    ]

    (b) ๐ด = [โˆ’4 1 22 โˆ’2 03 4 1

    ]

    (c)

    4321

    3231

    1313

    1221

    A

  • (d)

    1312

    1212

    2111

    4321

    A

    3. Tentukan invers dari matriks :

    (a) ๐ด = [1 โˆ’2 63 0 โˆ’11 1 โˆ’2

    ]

    (b)

    323

    254

    211

    A

    (c)๐ด = [1 2 23 1 01 1 1

    ]

    (d)

    115

    321

    142

    A