1

Materi Pembelajaran Daring (online)

Matematika Kelas X

MATRIKS

TIM MGMP MATEMATIKA

SMK BHAKTI PRAJA DUKUHWARU

2

MATRIKS

Kompetensi Dasar

3.15 Menerapkan operasi matriks dalam

menyelesaikan masalah berkaitan

dengan matriks.

3.16 Menentukan nilai determinan, invers

dan tranpos pada ordo 2x2 dan nilai

determinan , tranpos pada ordo 3x3.

4.15 Menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan matriks.

4.16 Menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan determinan, invers dan tranpos

pada ordo 2x2 serta nilai determinan

dan tranpos pada ordo 3x3.

A. Pengertian Matriks

1. Pengertian dan Notasi Matriks

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berebentuk

persegi panjang. Susunan bilangan-bilangan itu dibatasi oleh kurva biasa “( )” atau kurung

siku “[ ]”

Contoh :

A =

543

1086

Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf besar dan ditulis secara umum sebagai

berikut:

mnmm

n

n

mxn

aaa

aaa

aaa

A

...

...

...

...

...

...

21

22221

11211

mkebaris

kebaris

kebaris

.

2.

1.

kolom ke-n

kolom ke-2

kolom ke-1

Amxn artinya matriks A mempunyai baris sebanyak m dan mempunyai kolom sebanyak n.

Setiap bilangan yang terdapat pada baris dan kolom dinamakan anggota atau elemen

matriks dan diberi nama sesuai dengan nama baris dan nama kolom serta dinotasikan

dengan huruf kecil sesuai dengan nama matriknya.

a11 = elemen baris pertama kolom pertama.

a12 = elemen baris pertama kolom kedua.

a1n = elemen baris pertama kolom ke-n.

3

a21 = elemen baris kedua kolom pertama.

a22 = elemen baris kedua kolom kedua.

a2n = elemen baris kedua kolom ke-n.

am1 = elemen baris ke-m kolom pertama.

am2 = elemen baris ke-m kolom kedua.

amn = elemen baris ke-m kolom ke-n.

Contoh:

A =

1067

952

834

6 = elemen baris ketiga kolom kedua.

5 = elemen baris kedua kolom kedua.

9 = elemen baris kedua kolom ketiga.

10 = elemen baris ketiga kolom ketiga.

dan seterusnya.

2. Ordo Matriks

Ordo suatu matriks adalah banyakna elemen-elemen suatu matriks atau perkalian antara

baris dan kolom.

Contoh:

A =

14

25; A berordo 2x2 atau A2x2.

B =

013

523 ; B berordo 2x3 atau B2x3.

C =

5

2

1

; C berordo 3x1 atau C3x1.

D = ( 6 7 8 ) ; D berordo 1x3 atau D1x3.

B. Macam-Macam Matriks

1. Matriks nol.

Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol, dilambangkan dengan “O”.

Contoh:

O2x2 =

00

00 O2x3 =

000

000

2. Matriks bujur sangkar (persegi).

Matriks bujur sangkar (persegi) adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama.

4

Contoh:

A =

31

24 B =

897

654

321

3. Matriks baris.

Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris.

Contoh:

A = ( 2 5 ) B = ( 1 2 3 5 )

4. Matriks kolom.

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom.

Contoh:

A =

2

4 C =

6

4

2

D =

7

6

5

1

5. Matriks diagonal.

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemennya nol, kecuali pada diagonal

utamanya ada yang tidak nol.

Contoh:

A =

10

02 B =

100

020

002

6. Matriks identitas.

Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya

bernilai satu, dilambangkan dengan “I” .

Contoh:

I2 = I3 =

100

010

001

C. Kesamaan Matriks

Dua buah matriks dikatakan sama jika kedua matriks itu berordo sama dan elemen-elemen

yang seletak besarnya sama.

Contoh:

Jika A =

15

23 dan B =

15

23 maka dikatakan A = B.

Jika M =

817

532 dan N =

817

532 maka dikatakan M = N.

10

01

5

D. Transpos Matriks

Jika pada matriks A setiap baris ditempatkan pada setiap kolom maka matriks itu merupakan

matriks transpos. Jika diketahui matriks A berordo mxn maka matriks transpos dari A

dilambangkan dengan At yang berordo nxm.

Contoh:

A =

1323

0231

5654

maka matriks transposnya At =

105

326

235

314

E. Penjumlahan Matriks

Dua matriks A dan matriks B dapat dijumlahkan jika ordo matriks A sama dengan ordo

matriks B. Menjumlahkan matriks A dengan matriks B dilakukan dengan cara menjumlahkan

elemen-elemen matriks A dengan elemen-elemen matriks B yang bersesuaian letaknya.

Apabila matriks A dan matriks B ordonya berlaianan maka penjumlahan matriks itu tidak

didefinisikan.

Contoh:

Diketahui matriks A = dan B =

a. Tentukan A + B

b. Tentukan B + A

Penyelesaian:

a. A + B = + =

1463

7251 =

59

96

b. B + A = +

43

21 =

4136

2715 =

59

96

Dari contoh di atas, ternyata A + B = B + A. Jadi pada matriks berlaku sifat komutatif

penjumlahan. Juga dapat kita buktikan bahwa pada matriks berlaku sifat assosiatif

penjumlahan yaitu (A+B)+C = A+(B+C).

F. Pengurangan Matriks

Jika A dan B dua matriks yang ordonya sama maka matriks hasil pengurangan A dan B sama

artinya dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatif (lawan) B, atau ditulis

sebagai berikut:

A – B = A + (-B).

43

21

16

75

43

21

16

75

16

75

6

Contoh:

1) Jika P =

23

74 dan Q =

23

12, maka tentukan P – Q !

Penyelesaian:

P – Q = - =

23

74 +

23

12 =

40

62

2) Jika X matriks ordo 2x2, tentukan matriks X jika diketahui persamaan :

X +

42

35 =

23

41

Penyelesaian:

X + =

X = - =

23

41 +

42

35 =

61

76

Jadi matriks X =

61

76

G. Perkalian Matriks

1. Perkalian Skalar Dengan Matriks

Jika k adalah sebuah bilangan real dan A adalah sebuah matriks, maka kA adalah matriks

yang diperoleh dengan cara mengalikan k (bilangan skalar) dengan setiap elemen matriks A.

Contoh:

Jika A = dan B = , tentukan :

a. 3A c. 3A + 4B

b. 4B d. 21 A +

21 B

Penyelesaian:

a. 3A = 3

95

64 =

b. 4B = 4

43

21 =

1612

84

c. 3A + 4B =

2715

1812 +

1612

84 =

433

2616

d. A + 21 B =

21

95

64 +

21

43

21 =

29

25

32 +

2

1

23

21

=

2

13

25

1

4

23

74

23

12

42

35

23

41

23

41

42

35

95

64

43

21

2715

1812

21

7

2. Perkalian Matriks Dengan Matriks

Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks A sama dengan

jumlah baris matriks B. Hasil perkaliannya adalah matriks baru yang ordonya adalah jumlah

baris matriks A kali jumlah kolom matriks B. Secara umum ditulis :

Amxp x Bpxn = Cmxn

Cara mengalikan kedua matriks tersebut adalah dengan jalan mengalikan setiap baris pada

matriks A dengan setiap kolom pada matriks B, kemudian dijumlahkan.

Contoh:

1) Jika A = dan B = , tentukan A x B !

Penyelesaian:

A x B =

12

34

2

3 =

2.13.2

2.33.4 =

8

18

2) Jika A = dan B =

62

13, tentukan A x B !

Penyelesaian:

A x B =

62

13 =

6.11.4)2.(13.4

6.51.2)2.(53.2 =

64212

302106 =

1010

324

3) Jika C =

654

123 dan D = , tentukan C x D !

Penyelesaian:

C x D =

654

123 =

1.62.56.4

1.12.26.3 =

40

23

4) Jika M =

15

32

64

dan N = , tentuakn M x N !

Penyelesaian:

M x N tidak dapat dikalikan karena tidak memenuhi definisi Amxp x Bpxn = Cmxn

H. Determinan dan Invers Matriks Ordo 2x2

Jika A = , maka matriks A akan mempunyai invers jika det(A) 0 atau A = a.d –

b.c 0.

Secara umum hubungan ini dinyatakan :

12

34

2

3

14

52

14

52

1

2

6

1

2

6

5

3

4

dc

ba

8

Jika A = , maka A-1

=

ac

bd

A)det(

1

Keterangan :

A-1

= Invers dari matriks A

det(A) = determinan dari matriks A

Contoh:

Diketahui A = , tentukan A-1

!

Penyelesaian:

det(A) = ad – bc = 3.2 – 5.1 = 6 – 5 = 1

A =

21

53 A

-1 =

ac

bd

A)det(

1

=

31

52

1

1 =

Jadi, invers matriks A adalah

31

52.

Apakah setiap matriks mempunyai invers? Telah diuraikan di atas bahwa matriks yang

determinannya sama dengan nol (det = 0) tidak mempunyai invers dan disebut matriks

singular; misalnya B =

12

36.

Invers sebuah matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan matriks.

Contoh:

Jika A matriks rdo 2x2, tentukan A dari :

A =

42

314 !

Penyelesaian:

Untuk mencari matriks A, kedua ruas dikalikan dengan invers matriks.

Invers matriks P = adalah P-1

=

24

13

10

1

24

13.

34

12

1

24

13

10

1

34

12 A =

42

314

A =

2060

540

10

1 =

26

421

Jadi, matriks A =

26

421

.

dc

ba

21

53

31

52

34

12

34

12

24

13

10

1

10

01

9

Dua matriks yang saling invers.

Jika A dan B adalah dua buah matriks persegi yang berordo sama dan berlaku AB = BA = I

(matriks satuan), maka dikatakan b invers dari A (ditulis B = A-1

) atau A invers dari B (ditulis

A = B-1

).

Contoh:

Diketahui A=

57

23 dan B =

37

25. Apakah A invers dari B ?

Penyelesaian :

AB = =

3.5)2.(7)7.(55.7

3.2)2.(3)7.(25.3 = = I

BA = =

5.32).7(7.33).7(

5).2(2.57).2(3.5 =

10

01 = I

Jadi, A invers dari B atau B invers dari A.

I. Determinan Dan Invers Matriks Ordo 3x3

Misal A =

332331

232221

131211

aaa

aaa

aaa

.

Invers matriks A yang berordo 3x3 dapat dicari dengan menggunakan aturan :

A-1

= )(.)det(

1AAdj

A

Keterangan :

A-1

= Invers dari matriks A

Adj(A) = matriks Adjoin dari A

det(A) = determinan dari matriks A

Cara menghitung determinan A adalah :

Cara I (metode sarrus)

- - -

det (A) =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

3231

2221

1211

aa

aa

aa

+ + +

= (a11a22a33) + (a12a23a31) + (a13a21a32) – (a31a22a13) – (a32a23a11) – (a33a21a12)

Cara II (metode cramer)

det (A) =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

= a11

3332

2322

aa

aa - a12

3331

2321

aa

aa + a13

3231

2221

aa

aa

= a11(a22a33-a32a23) – a12(a21a33-a31a23) + a13(a21a32-a31a22)

57

23

37

25

10

01

37

25

57

23

10

Cara menentukan matriks Adj(A) adalah :

Ajd(A) =

2221

1211

3231

1211

3231

2221

2321

1311

3331

1311

3331

2321

2322

1312

3332

1312

3332

2322

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

aa

Contoh:

Hitunglah invers matriks A =

543

320

121

!

Penyelesaian:

Pertama-tama kita hitung determinan A.

- - -

det(A) =

543

320

121

43

20

21

+ + +

= [1.(-2).5] + [2.3.(-3)] + [(-1).0.4] – [(-3).(-2).(-1)] – [4.3.1] – [ 5.0.2]

= -10 – 18 + 0 + 6 – 12 – 0 = -34

atau

det(A) =

543

320

121

= 154

32 - 2

53

30

+ (-1)

43

20

= 1(-10-12) – 2(0-(-9)) + (-1)(0-6)

= -22 -18 + 6 = -34

Jadi, determinan A adalah -34.

Adjoin dari A adalah:

Adj(A) =

20

21

43

21

43

20

03

11

53

11

53

30

32

12

54

12

54

32

=

2106

329

41422

Invers dari matriks A adalah :

A-1

= )(.)det(

1AAdj

A

11

Diperoleh : A-1

= 34

1

2106

329

41422

=

34

2

34

10

34

634

3

34

2

34

934

4

34

14

34

22

J. Penyelesaian Persamaan Matriks

Penyelesaian persamaan matriks berbentuk A.X = B atau X.A = B, dengan A, B, dan X adalah

matriks-matriks berordo 2x2, dan matriks A adalah matriks nonsingular, sehingga matriks A

mempunyai invers (A-1

).

1. Persamaan bentuk A.X = B

Untuk persamaan A.X = B, kalikan persamaan matriks tersebut dengan A-1

dari arah kiri.

A-1

.(A.X) = A-1

.B

(A-1

.A).X = A-1

.B

I.X = A-1

.B (sebab A-1

.A = I)

X = A-1

.B (sebab I.X = X.I = X)

Jadi, jika A.X = B, maka X = A-1

.B

2. Persamaan bentuk X.A = B

Untuk persamaan X.A = B, kalikan persamaan matriks tersebut dengan A-1

dari arah kanan.

(X.A) A-1

= B. A-1

X.(A. A-1

) = B. A-1

X.I = B. A-1

(sebab A.A-1

= I)

X = B. A-1

(sebab I.X = X.I = X)

Jadi, jika X.A = B, maka X = B. A-1

Contoh:

Diketahui matriks-matriks A =

57

23 dan B =

32

15.

Tentukan matriks X berordo 2x2 yang memenuhi persamaan berikut !

a. A.X = B b. X.A = B

Penyelesaian:

det(A) = 57

23 = 15 – 14 = 1, sehingga A

-1 =

37

25.

a. Untuk persamaan matriks A.X = B penyelesaiannya adalah :

X = A-1

.B =

37

25

32

15 =

229

121

b. Untuk persamaan matriks X.A = B penyelesaiannya adalah :

X = B. A-1

=

32

15

37

25 =

511

718

12

LATIHAN SOAL MATRIKS

Kerjakan soal-soal berikut dengan tepat dan benar!

1. Diketahui (

) (

) (

) (

)

( ) dan ( ).

Tentukan hasil dari matriks berikut.

a. Q + P c.

b. R + S d.

2. Diketahui matriks (

) (

) dan (

).

Tentukan: a. 2B + 3C+A d. AB

b. 5A – B + 4C e. C (A+B)

c.

3. Diketahui (

) dan (

). Tentukan :

a. AB c.

b. ( ) d.

4. Tentukan nilai a, b, c, dan d dari persamaan (

) (

) (

).

5. Tentukan determinan dari matriks berikut.

a. (

) c. (

)

b. (

)

6. Tentukan nilai x dari persamaan berikut.

a. |

| b. |

|

7. Tentukan invers dari matriks berikut.

a. (

) b. (

)

8. Tentukan nilai matriks X yang memenuhi persamaan berikut.

a. (

) (

) b. (

) (

)

9. Tentukan nilai dari dari kesamaan matriks (

) (

).

10. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan (

) (

) (

).