Matrik Invers

download Matrik Invers

If you can't read please download the document

  • date post

    24-Jan-2016
  • Category

    Documents

  • view

    176
  • download

    28

Embed Size (px)

description

Matrik Invers. Suatu bilangan jika dikalikan dengan kebalikannya, maka hasilnya adalah 1. Misalkan 5.5 -1 atau 5 -1 .5 = 1, Demikian juga halnya dengan matrik A.A -1 = A -1 .A = I Maka : Jika tidak ditemukan matrik A -1 , maka A disebut matrik tunggal (singular). - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of Matrik Invers

  • Matrik InversSuatu bilangan jika dikalikan dengan kebalikannya, maka hasilnya adalah 1. Misalkan 5.5-1 atau 5-1.5 = 1, Demikian juga halnya dengan matrik A.A-1 = A-1.A = I

    Maka :

    Jika tidak ditemukan matrik A-1, maka A disebut matrik tunggal (singular)

  • Sifat-sifat matrik yang memiliki invers (invertibel)

  • Invers matrik 2 x 2 :

    Maka , A-1 diperoleh dengan rumus : 1. A.A-1 = I 2. 3. Jika ad bc = 0, maka matrik A non-invertibel

    OBEMetode Gauss-Jordan

  • Mencari invers dengan definisi Langkah-langkahnya :Dibuat suatu matrik invers dengan elemen-elemen matrik permisalan sehingga mendapatkan suatu persamaan jika dilakukan perkalian dengan matriknya.

    Perkalian matrik dengan matrik inversnya menghasilkan matrik identitas

    Dilakukan penyelesaian persamaan melalui eliminasi ataupun substitusi sehingga diperoleh nilai elemen-elemen matrik invers. A A-1 = A-1 A = I

  • 2) Mencari invers dengan OBE (Operasi Baris Elementer)

    Langkah-langkah : Dilakukan OBE pada hingga diperoleh dengan memperhatikan definisi operasi berikut:

  • Matriks Elementer: (E)Matriks A(nxn) disebut elementer bila dengan sekali melakukan Operasi Baris Elementer (OBE) terhadap matriks identitas In.

    B2(5)

    B2(1/5)

    B12

    B12

    B32(4)

    B3= B3+ 4B2

    B32(-4)

    B3= B3+(- 4)B2

  • A = EA = . AContoh :

    E = matrik elementer, maka EA = matrik baru yang terjadi bila OBE tersebut dilakukan pada matrik A.OBEOBEB12B12E.ANotasi sebagai berikut :Ek..E2E1A = In

  • Tunjukkan bahwa matrik adalah perkalianmatrik elementer !Jawab :

    Dari penyelesaian dengan OBE yang menghasilkan matrik identitas, maka matrik A adalah matrik invertibleDengan demikian, matrik A dapat dituliskan sebagai hasil kali dari matrik elementer.

  • Kita memiliki E4E3E2E1A = I dengan :

    Matrik elementer ini menyatakan operasi baris elementer untuk membentuk matrik A menjadi matrik identitas.Dengan demikian :

  • 3) Mencari Invers dengan Matrik Adjoint

    Langkah-langkah : HitungCari matrik adjoint dengan terlebih dahulu menentukan matrik kofaktor.Matrik adjoint merupakan matrik transpose dari matrik kofaktor. Matrik invers diperoleh dengan mengkalikan matrik adjoint dengan seper-determinan

    |A| 0

  • Matrik kofaktor dan matrik adjointJika baris ke i dan kolom j dibuang, makadisebut minor ke ij dari matrik A.

    Kofaktor ke ij dari matrik A adalah :

  • Matrik kofaktor dari A adalah :

  • Matrik adjoint merupakan matrik transpose dari matrik kofaktor.

    Sehingga diperoleh matrik kofaktor A :

  • Kesimpulan :

  • Contoh soal :Carilah matrik invers dari :

    Jawab : Cara 1) Misalkan : =

  • Cara 2)

    (A | I) (I | A-1)OBE

  • Cara 3) :

  • Cari matrik invers dengan OBE dari matrik berikut :

    Jawab :

  • 3. Tentukan A-1 dan B-1 pada matrik berikut ini :

  • 3. Apakah matrik B merupakan matrik invers dari matrik A? danJawab :

    Harus dibuktikan apakah A.B = B.A = I

    A.B = B.A = IJadi matrik B merupakan invers matrik A

  • Invers matrik 3 x 3 Sama seperti mencari invers matrik 2 x 2, hanya diperlukan ketelitian yang lebih dibandingkan mencari invers matrik 2 x 2.

  • Jawab :C11 = M11 = - 5C12 = - M12 = 1C13 = M13 = 1C21 = - M21 = 4C22 = M22 = - 2C23 = - M23 = 0C31 = M31 = - 4C32 = - M32 = 0C33 = M33 = 2

  • adj(A) = = |A| = a11C11 + a12C12 + a13C13 = (2)(-5) + (4)(1) + (4)(1) = - 2

  • Mencari invers dengan Operasi Kolom Elementer (OKE)Seperti halnya dengan OBE, OKE mengabungkan matrik A di atas matrik identitas, kemudian dilakukan operasi kolom elementer sehingga matrik A bertransformasi menjadi matrik identitas (I) dan matrik invers berada di bawahnya.Notasi pencarian invers dengan OKE :

  • Carilah invers dari B = dengan melakukan OKE !Jawab:

  • Carilah invers dari B = dengan melakukan OBE !Jawab :~

  • = (I | B-1)

  • Cari matrik invers dari Jawab :B32(1)

    Karena elemen baris ke 3 pada matrik kiri semua nol, maka matrik A tidak punya invers (non-invertibel)

  • Mencari nilai x dari persamaan linier berikut ini:Dalam bentuk matrik persamaan tersebut ditulis menjadi : A x = b, dengan :

  • Dengan menggunakan OBE diperoleh matrik invers dari matrik A : Sehingga nilai x dari persamaan di atas adalah :

  • Faktorisasi MatrikFaktorisasi suatu bilangan misalnya 30 = 2.3.5, juga berlaku pada matrik. Jadi sebuah matrik dapat dituliskan dalam perkalian dua atau lebih matrik yang disebut : faktorisasi matrik.Contoh :

  • Faktorisasi LUSuatu matrik bujursangkar A dapat difaktorisasi menjadi matrik L (matrik segitiga bawah) dan matrik U (matrik segitiga atas), sehingga A = LUContoh :

    Terdapat 3 matrik elementer yang mereduksi A menjadi matrik U.

  • Oleh karena itu :Sehingga diperoleh :

    A = LU

  • Pemakaian faktorisasi LU pada sistem persamaan linier.

    Jika didefinisikan y = Ux, maka x dapat diperoleh dengan2 langkah yaitu :

    Menyelesaikan persamaan Ly = bMenyelesaikan persamaan Ux = y

    Ax = bJika A = LU, LUx = batau L(Ux) = b

  • Contoh soal :Selesaikan persamaan Ax = b dengan menggunakan faktorisasi LU jika diketahui :

    Jawab :

    Langkah 1: menyelesaikan persamaan Ly = b.

  • Diperoleh sistem persamaan linier sebagai berikut :

    y1 = 12y1 + y2 = 4 y1 2y2 + y3= 9

    Diperoleh nilai y1 =1, y2 = 6, y3 = 2

  • Langkah 2 : menyelesaikan persamaan Ux = y

    Diperoleh sistem persamaan linier sebagai berikut :

    2x1+ x2 + x3 = 1 3x2 3x3 = 6 2x3 = 2

    Diperoleh nilai x1=1/2, x2 = 3, x3 = 1

  • Contoh : Cari faktorisasi matrik A dengan cara LU jika matrik A :

    Jawab :Reduksi matrik A dalam bentuk eselon baris :

    B21(-2)B31(-1)B41(3)

  • B32(-1/2)B42(-4)B43(1)

    Untuk mendapatkan matrik L, kita hanya memasukkan nilai perkalian pada subdiagonal matrik identitas.Tiga nilai perkalian operasi pertama yaitu 2, 1 dan 3 :

  • Dua nilai perkalian operasi kedua yaitu 1/2 dan 4 :

    Nilai perkalian operasi terakhir yaitu 1:

  • Jadi hasil faktorisasi matrik A dengan metode LU adalah

  • Matrik permutasi (P)Matrik permutasi diperoleh dari matrik identitas yang elemennya berpindah posisi/urutannya.Contoh :

    Apabila matrik A adalah matrik bujursangkar, maka faktorisasi matrik A dapat dituliskan :

    A = PTLU = P-1LU

  • Contoh : Cari faktorisasi matrik A dengan cara PTLU jikaJawab :Langkah pertama, kita harus mereduksi A ke bentuk eselon baris. Minimal satu baris yang tukar posisi.B12

    B31(-2)B23

  • Dalam kasus ini, terjadi 2 perubahan posisi baris yaitu : , maka perlu matrik permutasi :

    Selanjutnya dicari faktorisasi dari PA

    B21(-2)

  • Jadi, L12 = 2 sehingga diperoleh faktorisasinya adalah :

  • Invers matrik n x n (n > 3) Untuk menyelesaikan invers matrik 2 x 2 dengan metode OBE diperlukan 4 persamaan, sedangkan matrik 3 x 3 membutuhkan 9 persamaan dan jika diteruskan untuk matrik 4 x 4 membutuhkan 16 persamaan. Jadi untuk matrik n x n membutuhkan n2 persamaan, tentu saja memerlukan tingkat ketelitian yang sangat rumit.

    Oleh karena itu, matrik berukuran besar akan lebih mudah dikerjakan secara bertahap yaitu dengan membagi matrik menjadi submatrik.