Matrik Invers Editing

Click here to load reader

  • date post

    08-Apr-2016
  • Category

    Documents

  • view

    121
  • download

    0

Embed Size (px)

description

matriks

Transcript of Matrik Invers Editing

  • MATRIKS INVERS**

    *

  • Suatu bilangan jika dikalikan dengan kebalikannya, maka hasilnya adalah 1. Misalkan 5.5-1 atau 5-1.5 = 1, Demikian juga halnya dengan matrik A.A-1 = A-1.A = I

    Maka :

    Jika tidak ditemukan matrik A-1, maka A disebut matrik tunggal (singular)

  • Sifat-sifat matrik yang memiliki invers (invertibel)

  • Sifat-sifat Matriks Invers(1) Matriks invers (jika ada) adalah tunggal (uniqe)Andaikan B dan C adalah invers dari matriks A, maka berlaku :AB = BA = I, dan jugaAC = CA = ITetapi untuk : BAC = B(AC) = BI = B ....................(*)BAC = (BA)C = IC = C .....................(**)Dari (*) dan (**) haruslah B = C.(2) Invers dari matriks invers adalah matriks itu sendiri. Andaikan matriks C = A-1, berarti berlaku :AC = CA = I (*)Tetapi juga berlaku C C-1 = C-1 C = I (**)Dari (*) dan (**) berarti :C-1 = A(A-1)-1 = A.

  • Sifat-sifat Matriks Invers(3) Matriks invers bersifat nonsingular (determinannya tidak nol )det (A A-1) = det (A) det (A-1)det (I) = det (A) det (A-1)1 = det (A) det (A-1) ; karena det (A) 0 , maka :

    det (A-1) =

    ini berarti bahwa det (A-1) adalah tidak nol dan kebalikan dari det (A).(4) Jika A dan B masing-masing adalah matriks persegi berdimensi n, dan berturut-turut A-1 dan B-1 adalah invers dari A dan B, maka berlaku hubungan : (AB)-1 = B-1 A-1(AB) (AB)-1 = (AB)-1 (AB) = I (*)di sisi lain :(AB) (B-1 A-1) = A(BB-1) A-1 = A I A-1 = A A-1 = I(B-1 A-1) (AB) = B-1(A-1A) B = B-1 I B = B-1 B = I (**)Menurut sifat (1) di atas matriks invers bersifat uniqe (tunggal), karena itu dari (*) dan (**) dapatlah disimpulkan bahwa (AB)-1 = B-1 A-1 .

  • Untuk A matriks persegi, A-1 adalah invers dari A jika berlaku :A A-1 = A-1 A = IUntuk mendapatkan A-1, dapat dilakukan dengan cara :1. Metode matriks adjoint2. Metode OBE dan/atau OKE

  • Mencari Invers dengan Matriks AdjointIngat kembali sifat matriks adjoint, yaitu :A adj(A) = adj(A) A = |A| IJika |A| 0, maka :A = A = IMenurut definisi matriks invers :A A-1 = A-1 A = IIni berarti bahwa :A-1 = dengan |A| 0

  • Matrik kofaktor dan matrik adjointJika baris ke i dan kolom j dibuang, makadisebut minor ke ij dari matrik A.

    Kofaktor ke ij dari matrik A adalah :

  • Matrik kofaktor dari A adalah :

  • Matrik adjoint merupakan matrik transpose dari matrik kofaktor. Sehingga diperoleh matrik kofaktor A :

  • Kesimpulan :

  • Contoh soal :Carilah matrik invers dari :

    Jawab : Cara 1) Misalkan : =

  • Carilah invers dari A = Solusi :C11 = M11 = dC12 = - M12 = - cC21 = - M21 = - bC22 = M22 = aadj(A) = =| A | = ad bc A-1 = =

  • Carilah invers dari A = Solusi :C11 = M11 = - 5C12 = - M12 = 1C13 = M13 = 1C21 = - M21 = 4C22 = M22 = - 2C23 = - M23 = 0C31 = M31 = - 4C32 = - M32 = 0C33 = M33 = 2adj(A) = = |A| = a11C11 + a12C12 + a13C13 = (2)(-5) + (4)(1) + (4)(1) = - 2A-1 = = =

  • Mencari invers dengan OBEJika A matriks persegi non singular, dengan OBE terhadap A dapatdireduksi menjadi bentuk normal I sedemikian hingga :P A = Idengan P hasil penggandaan matriks elementer (baris).Selanjutnya, P A = IP-1 P A = P-1 II A = P-1A = P-1Ini berarti A-1 = PDengan demikian hasil penggandaan matriks elementer (baris) ini padahakekatnya adalah invers dari matriks A.Teknis pencarian invers dengan OBE :(A | I) ~(I | A-1)

  • Invers matrik 2 x 2 :

    Maka , A-1 diperoleh dengan rumus : 1. A.A-1 = I 2. 3. Jika ad bc = 0, maka matrik A non-invertibel

    OBEMetode Gauss-Jordan

  • Mencari invers dengan OKEJika A matriks persegi non singular, dengan OKE terhadap A dapatdireduksi menjadi bentuk normal I sedemikian hingga :A Q = Idengan Q hasil penggandaan matriks elementer (kolom).Selanjutnya, A Q = IA Q Q-1 = I Q-1A I = Q-1A = Q-1Ini berarti A-1 = QDengan demikian hasil penggandaan matriks elementer (kolom) ini padahakekatnya adalah invers dari matriks A.Teknis pencarian invers dengan OKE :

    ~

  • Mencari invers dengan definisi

    Langkah-langkahnya :Dibuat suatu matrik invers dengan elemen-elemen matrik permisalan sehingga mendapatkan suatu persamaan jika dilakukan perkalian dengan matriknya.

    Perkalian matrik dengan matrik inversnya menghasilkan matrik identitas

    Dilakukan penyelesaian persamaan melalui eliminasi ataupun substitusi sehingga diperoleh nilai elemen-elemen matrik invers.

    A A-1 = A-1 A = I

  • 2) Mencari invers dengan OBE (Operasi Baris Elementer)

    Langkah-langkah : Dilakukan OBE pada hingga diperoleh

    dengan memperhatikan definisi operasi berikut:

  • Carilah invers dari B = dengan melakukan OBE !Solusi :(B | I) = H13H21(1)H31(2)H1(-1)H3(-1/2)H13(-3)H23(1)H12(-2)= (I | B-1)Jadi B-1 = ~~~~~

  • Carilah invers dari B = dengan melakukan OKE !Solusi :=K21(-2)K31(-2)K12(-1)K13(-1)K1(1/2)K3(-1)= ~~~~~Jadi B-1 =

  • Sifat-sifat Matriks Invers(5) Jika matriks persegi A berdimensi n adalah non singular, maka berlaku (AT)-1 = (A-1)T .Menurut sifat determinan : AT = A 0, oleh sebab itu (AT)-1 ada, dan haruslah :(AT)-1 AT = AT (AT)-1 = I (*)Di sisi lain menurut sifat transpose matriks :(A A-1)T= (A-1)T ATIT= (A-1)T AT(A-1)T AT = I, hubungan ini berarti bahwa (A-1)T adalah juga invers dari AT. Padahal invers matriks bersifat tunggal, oleh karena itu memperhatikan (*),haruslah :(A-1)T = (AT)-1 .

  • Matriks Elementer: (E)Matriks A(nxn) disebut elementer bila dengan sekali melakukan Operasi Baris Elementer (OBE) terhadap matriks identitas In.

    B2(5)B2(1/5)B12B12B32(4)B3= B3+ 4B2B32(-4)B3= B3+(- 4)B2

  • A = EA = . AContoh :

    E = matrik elementer, maka EA = matrik baru yang terjadi bila OBE tersebut dilakukan pada matrik A.OBEOBEB12B12

    E.ANotasi sebagai berikut :

    Ek..E2E1A = In

  • Tunjukkan bahwa matrik adalah perkalianmatrik elementer !Jawab :

    Dari penyelesaian dengan OBE yang menghasilkan matrik identitas, maka matrik A adalah matrik invertibleDengan demikian, matrik A dapat dituliskan sebagai hasil kali dari matrik elementer.

  • Kita memiliki E4E3E2E1A = I dengan :

    Matrik elementer ini menyatakan operasi baris elementer untuk membentuk matrik A menjadi matrik identitas.Dengan demikian :

  • 3) Mencari Invers dengan Matrik Adjoint

    Langkah-langkah : HitungCari matrik adjoint dengan terlebih dahulu menentukan matrik kofaktor.Matrik adjoint merupakan matrik transpose dari matrik kofaktor. Matrik invers diperoleh dengan mengkalikan matrik adjoint dengan seper-determinan

    |A| 0

  • Cara 2)

    (A | I) (I | A-1)OBE

  • Cara 3) :

  • Cari matrik invers dengan OBE dari matrik berikut :

    Jawab :

  • 3. Tentukan A-1 dan B-1 pada matrik berikut ini :

  • 3. Apakah matrik B merupakan matrik invers dari matrik A? danJawab :

    Harus dibuktikan apakah A.B = B.A = I

    A.B = B.A = IJadi matrik B merupakan invers matrik A

  • Invers matrik 3 x 3 Sama seperti mencari invers matrik 2 x 2, hanya diperlukan ketelitian yang lebih dibandingkan mencari invers matrik 2 x 2.

  • Jawab :C11 = M11 = - 5C12 = - M12 = 1C13 = M13 = 1C21 = - M21 = 4C22 = M22 = - 2C23 = - M23 = 0C31 = M31 = - 4C32 = - M32 = 0C33 = M33 = 2

  • adj(A) = = |A| = a11C11 + a12C12 + a13C13 = (2)(-5) + (4)(1) + (4)(1) = - 2

  • Mencari invers dengan Operasi Kolom Elementer (OKE)Seperti halnya dengan OBE, OKE mengabungkan matrik A di atas matrik identitas, kemudian dilakukan operasi kolom elementer sehingga matrik A bertransformasi menjadi matrik identitas (I) dan matrik invers berada di bawahnya.Notasi pencarian invers dengan OKE :

  • Carilah invers dari B = dengan melakukan OKE !Jawab:

  • Carilah invers dari B = dengan melakukan OBE !Jawab :~

  • = (I | B-1)

  • Cari matrik invers dari Jawab :B32(1)Karena elemen baris ke 3 pada matrik kiri semua nol, maka matrik A tidak punya invers (non-invertibel)

  • Mencari nilai x dari persamaan linier berikut ini:Dalam bentuk matrik persamaan tersebut ditulis menjadi : A x = b, dengan :

  • Dengan menggunakan OBE diperoleh matrik invers dari matrik A : Sehingga nilai x dari persamaan di atas adalah :

  • Faktorisasi MatrikFaktorisasi suatu bilangan misalnya 30 = 2.3.5, juga berlaku pada matrik. Jadi sebuah matrik dapat dituliskan dalam perkalian dua atau lebih matrik yang disebut : faktorisasi matrik.Contoh :

  • Faktorisasi LUSuatu matrik bujursangkar A dapat difaktorisasi menjadi matrik L (matrik segitiga bawah) dan matrik U (matrik segitiga atas), sehingga A = LUContoh :

    Terdapat 3 matrik elementer yang mereduksi A menjadi matrik U.

  • Oleh karena itu :Sehingga diperoleh :

    A = LU

  • Pemakaian faktorisasi LU pada sistem persamaan linier.

    Jika didefinisikan y = Ux, maka x dapat diperoleh dengan2 langkah yaitu :Menyelesaikan persamaan Ly = bMenyelesaikan persamaan Ux = y

    Ax = bJika A = LU, LUx = batau L(Ux) = b

  • Contoh soal :Selesaikan persamaan Ax = b dengan menggunakan faktorisasi LU jika diketahui :

    Jawab :

    Langkah 1: menyelesaikan persamaan Ly = b.

  • Diperoleh sistem persamaan linier sebagai berikut :

    y1 = 12y1 + y2 = 4 y1 2y2 + y3= 9Diperoleh nilai y1 =1, y2 = 6, y3 = 2

  • Langkah 2 : menyelesaikan persamaan Ux = y

    Diperoleh