Matrik Invers Editing
-
Upload
adnanlasuarda -
Category
Documents
-
view
153 -
download
0
description
Transcript of Matrik Invers Editing
MATRIKS INVERS
26/04/23 1
Suatu bilangan jika dikalikan dengan kebalikannya, maka hasilnya adalah 1. Misalkan 5.5-1 atau 5-1.5 = 1, Demikian juga halnya dengan matrik A.A-1 = A-1.A = I
Maka :
Jika tidak ditemukan matrik A-1, maka A disebut matrik tunggal (singular)
-1 2 -5 3 5A A
-1 3 1 2
-1 -1 1 0AA A A
0 1
Sifat-sifat matrik yang memiliki invers (invertibel)
11
1 1
1 1 1
1 TT 1
1 nn 1 n
1). A A
12). cA Ac
3). AB B A , A dan B memiliki ordo yang sama
4). A A
5). A A A , n bilangan bulat positip
Sifat-sifat Matriks Invers
(1) Matriks invers (jika ada) adalah tunggal (uniqe)Andaikan B dan C adalah invers dari matriks A, maka berlaku :AB = BA = I, dan jugaAC = CA = ITetapi untuk : BAC = B(AC) = BI = B ....................(*)
BAC = (BA)C = IC = C .....................(**)Dari (*) dan (**) haruslah B = C.
(2) Invers dari matriks invers adalah matriks itu sendiri.
Andaikan matriks C = A-1, berarti berlaku :AC = CA = I (*)Tetapi juga berlaku C C-1 = C-1 C = I (**)Dari (*) dan (**) berarti :C-1 = A(A-1)-1 = A.
Sifat-sifat Matriks Invers
(3) Matriks invers bersifat nonsingular (determinannya tidak nol )det (A A-1) = det (A) det (A-1)det (I) = det (A) det (A-1)1 = det (A) det (A-1) ; karena det (A) 0 , maka :
det (A-1) =
ini berarti bahwa det (A-1) adalah tidak nol dan kebalikan dari det (A).
)det(1A
(4) Jika A dan B masing-masing adalah matriks persegi berdimensi n, dan berturut-turut A-1 dan B-1 adalah invers dari A dan B, maka berlaku hubungan : (AB)-1 = B-1 A-1
(AB) (AB)-1 = (AB)-1 (AB) = I (*)di sisi lain :(AB) (B-1 A-1) = A(BB-1) A-1 = A I A-1 = A A-1 = I(B-1 A-1) (AB) = B-1(A-1A) B = B-1 I B = B-1 B = I (**)
Menurut sifat (1) di atas matriks invers bersifat uniqe (tunggal), karena itu dari (*) dan (**) dapatlah disimpulkan bahwa (AB)-1 = B-1 A-1 .
Untuk A matriks persegi, A-1 adalah invers dari A jika berlaku :
A A-1 = A-1 A = I
Untuk mendapatkan A-1, dapat dilakukan dengan cara :
1. Metode matriks adjoint
2. Metode OBE dan/atau OKE
Mencari Invers dengan Matriks Adjoint
Ingat kembali sifat matriks adjoint, yaitu :
A adj(A) = adj(A) A = |A| I
Jika |A| ≠ 0, maka :
A = A = I
||)(
AAadj
||)(
AAadj
||)(
AAadj
Menurut definisi matriks invers :
A A-1 = A-1 A = I
Ini berarti bahwa :
A-1 = dengan |A| ≠ 0
Matrik kofaktor dan matrik adjoint
11 12
21 22
a aA
a a
Jika baris ke i dan kolom j dibuang, makadisebut minor ke ij dari matrik A.
Kofaktor ke ij dari matrik A adalah :
ijA
ij ijM A
i+jij ijK ( 1) A
11 12
21 22
a aa a
2 121 12 12K ( 1) a a
2 222 11 11K ( 1) a a
Matrik kofaktor dari A adalah :
1 111 22 22K ( 1) a a
1 212 21 21K ( 1) a a 11 12
21 22
a aa a
11 12
21 22
a aa a
11 12
21 22
a aa a
Matrik adjoint merupakan matrik transpose dari matrik
kofaktor.
22 21
12 11
a -aK
-a a
Sehingga diperoleh matrik kofaktor A :
T22 21 22 12T
12 11 21 11
a -a a -aadj (A) K
-a a -a a
Matrik Adj (A) dari A2x2 =
dcba
C11 = M11 = d
C12 = - M12 = - c
C21 = - M21 = - b
C22 = M22 = a
=
2212
2111
CCCC
adj(A) =
acbd
Kesimpulan :
Contoh soal :1. Carilah matrik invers dari :
Jawab : Cara 1)
Misalkan :
=
3 7A
2 5
1A.A I
1 a bA
c d
3 72 5
a bc d
1 00 1
Carilah invers dari A =
dcba
Solusi :
C11 = M11 = d
C12 = - M12 = - c
C21 = - M21 = - b
C22 = M22 = a
adj(A) =
2212
2111
CCCC
=
acbd
| A | = ad – bc
A-1 = ||
)(AAadj
=
acbd
bcad 1
Carilah invers dari A =
321231442
Solusi : C11 = M11 = - 5
C12 = - M12 = 1
C13 = M13 = 1
C21 = - M21 = 4
C22 = M22 = - 2
C23 = - M23 = 0
C31 = M31 = - 4
C32 = - M32 = 0
C33 = M33 = 2
adj(A) =
332313
322212
312111
CCCCCCCCC
=
201021445
|A| = a11C11 + a12C12 + a13C13 = (2)(-5) + (4)(1) + (4)(1) = - 2
A-1 = ||
)(AAadj
= 21
201021445
=
100122
2121
25
Mencari invers dengan OBE
Jika A matriks persegi non singular, dengan OBE terhadap A dapatdireduksi menjadi bentuk normal I sedemikian hingga :
P A = Idengan P hasil penggandaan matriks elementer (baris).Selanjutnya, P A = I
P-1 P A = P-1 II A = P-1
A = P-1
Ini berarti A-1 = P
Dengan demikian hasil penggandaan matriks elementer (baris) ini padahakekatnya adalah invers dari matriks A.
Teknis pencarian invers dengan OBE :
(A | I) ~ (I | A-1)
Invers matrik 2 x 2 :
Maka , A-1 diperoleh dengan rumus :
1. A.A-1 = I
2.
3.
Jika ad – bc = 0, maka matrik A non-invertibel
a bA dapat di invers jika ad - bc 0
c d
-1A I I AOBE
-1 1A adj(A)A
Metode Gauss-Jordan
Mencari invers dengan OKE
Jika A matriks persegi non singular, dengan OKE terhadap A dapatdireduksi menjadi bentuk normal I sedemikian hingga :
A Q = Idengan Q hasil penggandaan matriks elementer (kolom).Selanjutnya, A Q = I
A Q Q-1 = I Q-1
A I = Q-1
A = Q-1
Ini berarti A-1 = Q
Dengan demikian hasil penggandaan matriks elementer (kolom) ini padahakekatnya adalah invers dari matriks A.
Teknis pencarian invers dengan OKE :
~
IA
1AI
1) Mencari invers dengan definisi Langkah-langkahnya : Dibuat suatu matrik invers dengan elemen-
elemen matrik permisalan sehingga mendapatkan suatu persamaan jika dilakukan perkalian dengan matriknya.
Perkalian matrik dengan matrik inversnya menghasilkan matrik identitas
Dilakukan penyelesaian persamaan melalui eliminasi ataupun substitusi sehingga diperoleh nilai elemen-elemen matrik invers.
A A-1 = A-1 A = I
2) Mencari invers dengan OBE (Operasi Baris Elementer)
Langkah-langkah : Dilakukan OBE pada hingga diperoleh dengan memperhatikan definisi operasi berikut:
-1A I I AOBE
A I -1I A
ij
i
ij i j
b menukar baris ke i dengan baris ke j
b (p) mengalikan baris ke i dengan p 0b (p) b pb
ganti baris ke i dengan baris baru yang merupakan baris ke i ditambah dengan
baris ke j yang dikalikan dengan p.
Carilah invers dari B =
321231442
dengan melakukan OBE !
Solusi :
(B | I) =
100321010231001442 H13
001442010231100321 H21(1)
201200110110100321
H31(2)
H1(-1)
H3(-1/2)
10100110110100321
21
H13(-3)
H23(1)
101000101020021
2121
23 H12(-2)
101000101022001
2121
25
= (I | B-1)
Jadi B-1 =
100122
2121
25
~ ~ ~
~ ~
Carilah invers dari B =
321231442
dengan melakukan OKE !
Solusi :
IB
=
100010001
321231442
K21(-2)
K31(-2)
100010221101
011002
K12(-1)
100011223
101010002
K13(-1)
101011225
100010002
K1(1/2)
100122
100010001
2121
25
K3(-1)
100122
100010001
2121
25 =
1BI
~ ~ ~ ~
~
Jadi B-1 =
100122
2121
25
Sifat-sifat Matriks Invers
(5) Jika matriks persegi A berdimensi n adalah non singular, maka berlaku (AT)-1 = (A-1)T .
Menurut sifat determinan : AT = A 0, oleh sebab itu (AT)-1 ada, dan haruslah :(AT)-1 AT = AT (AT)-1 = I (*)Di sisi lain menurut sifat transpose matriks :(A A-1)T= (A-1)T AT
IT= (A-1)T AT
(A-1)T AT = I, hubungan ini berarti bahwa (A-1)T adalah juga invers dari AT. Padahal invers matriks bersifat tunggal, oleh karena itu memperhatikan (*),haruslah :(A-1)T = (AT)-1 .
Matriks Elementer: (E)Matriks A(nxn) disebut elementer bila dengan sekali melakukan Operasi Baris Elementer (OBE) terhadap matriks identitas In.
3 3
1 0 0 1 0 0 1 0 0I 0 1 0 E 0 5 0 I 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
B2(5) B2(1/5)
3 3
1 0 0 0 1 0 1 0 0I 0 1 0 E 1 0 0 I 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
B12B12
3 3
1 0 0 1 0 0 1 0 0I 0 1 0 E 0 1 0 I 0 1 0
0 0 1 0 4 1 0 0 1
B32(4)
B3= B3+ 4B2
B32(-4)
B3= B3+(- 4)B2
A = EA
= . A
Contoh :
E = matrik elementer, maka EA = matrik baru yang terjadi bila OBE tersebut dilakukan pada matrik A.
OBE
I OBE
1 2 3 4A
3 4 1 2
B12
1 0 0 1I E
0 1 1 0
B12
E.A0 1 1 2 3 41 0 3 4 1 2
Notasi sebagai berikut :Ek…..E2E1A = In
1k 2 1 n
1k 2 1
1 1 11 2 k
A (E .....E E ) I
(E .....E E )
E E .....E
Tunjukkan bahwa matrik adalah perkalianmatrik elementer !Jawab :
Dari penyelesaian dengan OBE yang menghasilkan matrik identitas, maka matrik A adalah matrik invertibleDengan demikian, matrik A dapat dituliskan sebagai hasil kali dari matrik elementer.
2 3A
1 3
2
2 3 1 3 1 3
1 3 2 3 0 -3
1 0 1 0 I
0 -3 0 1
B12 B21(-2) B12(1)
B2(-1/3)
Kita memiliki E4E3E2E1A = I dengan :
Matrik elementer ini menyatakan operasi baris elementer untuk membentuk matrik A menjadi matrik identitas.
Dengan demikian :
1 2 3 4 13
1 00 1 1 0 1 1E , E , E , E
0 1 0 2 1 0 1
14 3 2 1
1 1 1 11 2 3 4
13
A (E E E E )
E E E E
1 00 1 1 0 1 1
0 1 0 2 1 0 1
3) Mencari Invers dengan Matrik Adjoint
Langkah-langkah :
Hitung
Cari matrik adjoint dengan terlebih dahulu
menentukan matrik kofaktor.
Matrik adjoint merupakan matrik transpose dari
matrik kofaktor.
Matrik invers diperoleh dengan mengkalikan
matrik adjoint dengan seper-determinan
|A| ≠ 0
-1 1A adj(A)A
3a 7c 3b 7d 1 02a 5c 2b 5d 0 1
3a 7c 1 3b 7d 02a 5c 0 2b 5d 1
3a 7c 1 x 2 6a 14c 2
2a 5c 0 x 3 6a 15c 0
-c 2 c -2
2a 5c 0 2a 5c 10 a 5
3b 7d 0 x2 6b 14d 0
2b 5d 1 x3 6b 15d 3
d 3 d 3
2b 5d 1 b 7
1 a b 5 7A
c d 2 3
Cara 2)(A | I) (I | A-1)OBE
7 13 31 0
2 5 0 1
21b ( 2)
7 13 3
1 23 3
1 00 - 1
2b (3) 7 13 31 0
0 1 -2 1
11 3b ( )
712 3b ( )
1 0 5 -70 1 -2 1
-1 5 -7A
-2 1
3 7 1 02 5 0 1
Cara 3) :
-1
-1
1A adj(A) A
a b d -bUntuk matrik A , maka adj(A)
c d -c a
5 7 5 71A2 3 2 31
2. Cari matrik invers dengan OBE dari matrik berikut :
Jawab :
1 2A
3 4
(A | I) (I | A-1)OBE
1 1 1 12 2 2 2
-11 12 2
1 2 1 0 1 2 1 0
3 4 0 1 0 -2 -3 1
1 2 1 0 1 0 -2 1
0 1 1 - 0 1 1 -
-2 1Jadi A
1 -
B21(-3) B2(-1/2)
B12(-2)
3. Tentukan A-1 dan B-1 pada matrik berikut ini :
1 2 12 15A dan B
3 4 4 5
A 1(4) 2(3) 2 0, maka A memiliki invers
-1 1A adj(A)A
2 1 4 21 3 13 1 2 2 2
B 12( 5) ( 15)4 0, maka B tidak memiliki invers
3. Apakah matrik B merupakan matrik invers dari matrik A?
dan
Jawab :
Harus dibuktikan apakah A.B = B.A = I
A.B = B.A = I
Jadi matrik B merupakan invers matrik A
Invers matrik 3 x 3
Sama seperti mencari invers matrik 2 x 2, hanya
diperlukan ketelitian yang lebih dibandingkan mencari
invers matrik 2 x 2.
a b c
A d e f g h i
Contoh soal :0 1 2
Tentukan invers matrik A 1 0 34 -3 8
-11 1 1 2 1 3
Jawab:
1A(0( 1) (0 ( 9)) 1( 1) (8 12) 2( 1) ( 3 0))
(0 9) (8 6) (3 0)x (8 12) (0 8) (0 2)
( 3 0) (0 4) (0 1)
-1
9 14 31 x 4 8 2
( 2)3 4 1
9 3 7 2 2 A 2 4 1
3 1 2 2 2
Carilah invers dari A =
321231442
Jawab : C11 = M11 = - 5
C12 = - M12 = 1
C13 = M13 = 1
C21 = - M21 = 4
C22 = M22 = - 2
C23 = - M23 = 0
C31 = M31 = - 4
C32 = - M32 = 0
C33 = M33 = 2
adj(A) =
332313
322212
312111
CCCCCCCCC
=
201021445
|A| = a11C11 + a12C12 + a13C13 = (2)(-5) + (4)(1) + (4)(1) = - 2
A-1 = ||
)(AAadj
= 21
201021445
=
100122
2121
25
Mencari invers dengan Operasi Kolom Elementer (OKE)
Seperti halnya dengan OBE, OKE mengabungkan matrik A di atas matrik identitas, kemudian dilakukan operasi kolom elementer sehingga matrik A bertransformasi menjadi matrik identitas (I) dan matrik invers berada di bawahnya.
Notasi pencarian invers dengan OKE :
-1
IA
I A
OKE
Carilah invers dari B =
321231442 dengan melakukan OKE !
Jawab:
100010221101
011002
IB
=
100010001
321231442 K21(-2)
K31(-2)
~
101011225
100010002
K12(-1)
100011223
101010002
K13(-1)
~ ~
100122
100010001
2121
25
K1(1/2)
~K3(-1)
100122
100010001
2121
25
~
Jadi B-1 =
100122
2121
25
1BI=
100122
100010001
2121
25
Carilah invers dari B =
321231442
dengan melakukan OBE !
Jawab :
(B | I) = B13~
100321010231001442
~
001442010231100321 B21(1)
B31(2)
201200110110100321 B1(-1)
B3(-1/2)
~
10100110110100321
21
B13(-3)
B23(1)
~
101000101020021
2121
23 B12(-2)
~
101000101022001
2121
25
= (I | B-1)
Jadi B-1 =
100122
2121
25
Cari matrik invers dari
Jawab : -1A I I AOBE
B21(-2)
B31(1)
B32(1) Karena elemen baris ke 3 pada matrik kiri semua nol, maka matrik A tidak punya invers (non-invertibel)
Mencari nilai x dari persamaan linier berikut ini:
Dalam bentuk matrik persamaan tersebut ditulis menjadi : A x = b, dengan :
Dengan menggunakan OBE diperoleh matrik invers dari matrik A :
Sehingga nilai x dari persamaan di atas adalah :
Faktorisasi Matrik
Faktorisasi suatu bilangan misalnya 30 = 2.3.5, juga
berlaku pada matrik. Jadi sebuah matrik dapat
dituliskan dalam perkalian dua atau lebih matrik yang
disebut : faktorisasi matrik.
Contoh : 3 1 1 0 3 19 5 3 1 0 2
Faktorisasi LU
Suatu matrik bujursangkar A dapat difaktorisasi menjadi matrik L (matrik segitiga bawah) dan matrik U (matrik segitiga atas), sehingga A = LUContoh :
Terdapat 3 matrik elementer yang mereduksi A menjadi matrik U.
2 1 3 2 1 3 2 1 3A 4 1 3 0 3 3 0 3 3 U
2 5 5 0 6 8 0 0 2
B21(-2)
B31(1)B32(2)
1 2 3
1 0 0 1 0 0 1 0 0E 2 1 0 , E 0 1 0 , E 0 1 0
0 0 1 1 0 1 0 2 1
Oleh karena itu :
Sehingga diperoleh :
3 2 1E E E A U
1 1 11 2 3A E E E U
1 0 0 1 0 0 1 0 02 1 0 0 1 0 0 1 0 U0 0 1 1 0 1 0 2 1
1 0 0 2 1 0 U LU
1 2 1
A = LU
Pemakaian faktorisasi LU pada sistem persamaan linier.
Jika didefinisikan y = Ux, maka x dapat diperoleh dengan
2 langkah yaitu :
1. Menyelesaikan persamaan Ly = b
2. Menyelesaikan persamaan Ux = y
Ax = b
Jika A = LU, LUx = b atau L(Ux) = b
Contoh soal :Selesaikan persamaan Ax = b dengan menggunakan faktorisasi LU jika diketahui :
Jawab :
Langkah 1: menyelesaikan persamaan Ly = b.
2 1 3 1A 4 1 3 dan b 4
2 5 5 9
1 0 0 2 1 3A 2 1 0 0 3 3 LU
1 2 1 0 0 2
Diperoleh sistem persamaan linier sebagai berikut :
1
2
3
1 0 0 1 2 1 0 4
1 2 1 9
yyy
y1 = 1
2y1 + y2 = – 4
–y1 – 2y2 + y3= 9
Diperoleh nilai y1 =1, y2 = – 6, y3 = – 2
1Sehingga : y 6
2
Langkah 2 : menyelesaikan persamaan Ux = y
Diperoleh sistem persamaan linier sebagai berikut :
1
2
3
x2 1 3 10 3 3 x 60 0 2 2x
2x1+ x2 + x3 = 1 – 3x2 – 3x3 = –6 2x3 = –2
Diperoleh nilai x1=1/2, x2 = 3, x3 = – 1
1 2Oleh karena itu hasil akhir diperoleh : x 3
1
Contoh : Cari faktorisasi matrik A dengan cara LU jika matrik A :
Jawab :Reduksi matrik A dalam bentuk eselon baris :
3 1 3 -4 6 4 8 -10
A 3 2 5 -1-9 5 -2 -4
3 1 3 -4 6 4 8 -10
A 3 2 5 -1-9 5 -2 -4
3 1 3 -4 0 2 2 -2 0 1 2 3 0 8 7 -16
B21(-2)
B31(-1)
B41(3)
3 1 3 -4 0 2 2 -2 0 1 2 3 0 8 7 -16
3 1 3 -4 0 2 2 -2 0 0 1 4 0 0 -1 -8
3 1 3 -4 0 2 2 -2
U 0 0 1 4 0 0 0 -4
B32(-1/2)
B42(-4)
B43(1)
Untuk mendapatkan matrik L, kita hanya memasukkan nilai perkalian pada subdiagonal matrik identitas.
Tiga nilai perkalian operasi pertama yaitu 2, 1 dan – 3 : 1 0 0 0 2 1 0 0
L 1 * 1 0 -3 * * 1
Dua nilai perkalian operasi kedua yaitu 1/2 dan 4 :
Nilai perkalian operasi terakhir yaitu – 1:
12
1 0 0 0 2 1 0 0
L 1 1 0 -3 4 * 1
12
1 0 0 0 2 1 0 0
L 1 1 0 -3 4 -1 1
Jadi hasil faktorisasi matrik A dengan metode LU adalah
3 1 3 -4 6 4 8 -10
A 3 2 5 -1-9 5 -2 -4
12
1 0 0 0 2 1 0 0 1 1 0 -3 4 -1 1
-3 1 3 -4 0 2 2 -2 0 0 1 4 0 0 0 -4
LU
Matrik permutasi (P)Matrik permutasi diperoleh dari matrik identitas yang
elemennya berpindah posisi/urutannya.Contoh :
Apabila matrik A adalah matrik bujursangkar, maka faktorisasi matrik A dapat dituliskan :
0 1 0 01 0 0
0 1 0 0 0 1, 0 0 1 ,
1 0 1 0 0 00 1 0
0 0 1 0
A = PTLU = P-1LU
Contoh : Cari faktorisasi matrik A dengan cara PTLU jika
0 0 6A 1 2 3
2 1 4
Jawab :
Langkah pertama, kita harus mereduksi A ke bentuk eselon baris. Minimal satu baris yang tukar posisi.
0 0 6 1 2 3 1 2 3 1 2 3A 1 2 3 0 0 6 0 0 6 0 -3 -2
2 1 4 2 1 4 0 -3 -2 0 0 6
B12B31(-2) B23
Dalam kasus ini, terjadi 2 perubahan posisi baris yaitu : , maka perlu matrik permutasi :
Selanjutnya dicari faktorisasi dari PA
1 2 2 3B B dan B B
2 1
1 0 0 0 1 0 0 1 0P P P 0 0 1 1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 1 1 0 0
0 1 0 0 0 6 1 2 3 1 2 3PA 0 0 1 1 2 3 2 1 4 0 -3 -2 U
1 0 0 2 1 4 0 0 6 0 0 6
B21(-2)
Jadi, L12 = 2 sehingga diperoleh faktorisasinya adalah :
T
0 0 1 1 0 0 1 2 3A P LU 1 0 0 2 1 0 0 -3 -2
0 1 0 0 0 1 0 0 6
Invers matrik n x n (n > 3) Untuk menyelesaikan invers matrik 2 x 2 dengan
metode OBE diperlukan 4 persamaan, sedangkan matrik 3 x 3 membutuhkan 9 persamaan dan jika diteruskan untuk matrik 4 x 4 membutuhkan 16 persamaan. Jadi untuk matrik n x n membutuhkan n2
persamaan, tentu saja memerlukan tingkat ketelitian yang sangat rumit.
Oleh karena itu, matrik berukuran besar akan lebih mudah dikerjakan secara bertahap yaitu dengan membagi matrik menjadi submatrik.