Matriks Invers Ordo 3 3

Oleh : Kelompok IV (Kelas A)

STMIK DIPANEGARA MAKASSAR

2013

Aljabar Linear

Bentuk Umum

Matriks yang terdiri dari 3baris dan 3 kolom merupakan

bentuk umum dari matriks

ordo 3 x 3.

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A =

Rumus Matriks Invers

1 =1

||.

Keterangan :

A1= Invers dari matriks A

adj A= matriks Adjoin dari A

|A|= determinan dari matriks A

Determinan Matriks (Cara Koofaktor)

Determinan dari sebuah

matriks dapat diperoleh

melalui minor dan kofaktor

matriks tersebut.

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A =

Pada matriks berorde 3 3, maka

minor elemen aij dinotasikan

dengan Mij, didefinisikan sebagai

determinan dari sub matriks A

berorde 2 x 2 setelah baris ke-i

dan kolom ke-j dihilangkan.

Sedangkan koofaktor diperoleh

dari perkalian Mij dengan (-1)i+j

dan ditulis dengan Cij.

Determinan Matriks (Cara Koofaktor)

Maka minor dari elemen a11 adalah

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

sehingga M11 =3332

2322

aa

aa

Sedangkan kofaktor elemen

aij = Cij = (-1)i + j Mij

Maka koofaktor elemen a11 dari matriks tersebut adalah

C11 = (-1)1 +1 M11 = (-1)

222 2332 33

Determinan Matriks (Cara Koofaktor)

Minor dari elemen a32 adalah

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

sehingga M32 =2321

1311

aa

aa

Maka koofaktor elemen a11 dari matriks tersebut adalah

C32 = (-1)3 +2 M32 = (-1)

511 1321 23

Determinan Matriks (Cara Koofaktor)

Ekspansi (penjabaran) kofaktor sepanjang baris ke-i :

1. det A = | A | = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13(baris ke-1)

2. det A = | A | = a21 C21 + a22 C22 + a23 C23(baris ke-2)

3. det A = | A | = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33(baris ke-3)

Ekspansi (penjabaran) kofaktor sepanjang kolom ke-j :

1. det A = | A | = a11 C11 + a21 C21 + a31 C31(kolom ke-1)

2. det A = | A | = a12 C12 + a22 C22 + a32 C32(kolom ke-2)

3. det A = | A | = a13 C13 + a23 C23 + a33 C33(kolom ke-3)

Nilai determinan matriks A berordo 3 dapat ditentukan dengan

menggunakan ekspansi determinan :

Determinan Matriks (Cara Koofaktor)

Tentukan nilai determinan dari matriks A dengan cara koofaktor

A = 1 2 13 1 21 4 2

Contoh Soal :

Determinan Matriks (Cara Koofaktor)

a21

21 =2 14 2

= 12+1 2 1

4 2

= (-1)(-4 (-4)) = 0

Penyelesaian : a22

22 =1 11 2

= 12+2 1 1

1 2

= (1)(-2 1) = -3

a23

23 =1 21 4

= 12+3 1 2

1 4

= (-1)(4 (-2)) = -6

Nilai Determinan

| A | = a21 C21 + a22 C22 + a23 C23

= (3)(0) + (1)(-3) + (2)(-6)

= -15

A = 1 2 13 1 21 4 2

Determinan Matriks (Cara Sarrus)

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

det A =

322113312312332211 aaaaaaaaa 122133112332132231 aaaaaaaaa

Du Ds = |A|

|A| = ( ) + ( )

Determinan Matriks (Cara Sarrus)

Tentukan nilai determinan dari matriks A =1 2 13 1 21 4 2

Contoh Soal :

Determinan Matriks (Cara Sarrus)

A =1 2 13 1 21 4 2

1 23 11 4

= {(1)(1)(-2) + (2)(2)(-1) + (-1)(3)(4)} {(-1)(1)(-1) + (4)(2)(1) + (-2)(3)(2)}

= {(-2) + (-4) + (-12)} { 1 + 8 + (-12)}

= (-18) + (-3)

|A| = -15

Penyelesaian:

Adjoin Matriks (Terpisah/Minor)

Jika matriks A =

11 12 1321 22 2331 32 33

dan matriks kofaktornya adalah

11 12 1321 22 2331 32 33

maka

adjoin matriks A adalah transpos dari matriks kofaktor itu, sehingga diperoleh:

Adj A =

11 21 3112 22 3213 23 33

C11 = (-1)1 +1 M11 = (-1)

222 2332 33

Adjoin Matriks (Terpisah/Minor)

Tentukan adjoin dari matriks

A =1 2 13 1 21 4 2

dengan matriks kofaktor (C) 10 4 130 3 65 5 5

Contoh Soal :

Adjoin Matriks (Terpisah/Minor)

Adj A = Ct = 10 0 54 3 513 6 5

matriks kofaktor (C) 10 4 130 3 65 5 5

Penyelesaian:

Adjoin Matriks (Gabungan)

Adj A =

+22 2332 33

12 1332 33

+12 1322 23

21 2331 33

+11 1331 33

11 1321 23

+21 2231 32

11 1231 32

+11 1221 22

Adjoin dari sebuah matriks juga dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut :

Adjoin Matriks (Gabungan)

Tentukan adjoin dari matriks

A =1 2 13 1 21 4 2

Contoh Soal :

Adjoin Matriks (Gabungan)

Penyelesaian:

Adj A =

1 24 2

(1)2 14 2

2 11 2

(1)3 21 2

1 11 2

(1)1 13 2

3 11 4

(1)1 21 4

1 23 1

=10 0 54 3 513 6 5

Contoh Soal

Matriks A =1 2 13 1 21 4 2

dengan det A = -15, dan adj A = 10 0 54 3 513 6 5

Tentukan invers dari matriks A!

Contoh Soal

Matriks A =1 2 13 1 21 4 2

dengan det A = -15, dan adj A = 10 0 54 3 513 6 5

Tentukan invers dari matriks A!

Contoh Soal

=1

|A|. adj A A

-1 =1

15.10 0 54 3 513 6 5

=

2

30

1

3

4

15

1

5

1

3

13

15

2

5

1

3

Penyelesaian:

det A =|A| = -15

adj A = 10 0 54 3 513 6 5

SEKIANTerima Kasih

KELOMPOK IV (KELAS A)

1. (122020) FITRI RAHAYU PASASIH

2. (122017) PUTRI CAMANI

3. (122026) ELMIRA SABBAN

4. (122018) YULI ANTI

5. (122330) KEZIA IMANUELA

6. (122348) NOVITA SAPAN

7. (122350) SITI MUNAWAROH AZIS