Sistem Persamaan Liniear

Pendahuluan SPLEliminasi Gauss

MatriksMatriks balikanMatriks khusus

Sistem Persamaan Linier (SPL)

Dipo Aldila1

1Departemen Matematika FMIPA UIKampus UI Depok, Depok 16424

2013/2014

1/38 Matematika UI SPL



Persamaan linierSPLSolusi SPLOperasi baris elementer

Contoh persamaan linier dan aspek geometri dari solusinya:

1 2x = 4 (titik di garis x)

2 2x+ 3y = 5 (garis di bidang xy)

3 −2x+ 4y − 3z = 4 (bidang di ruang xyz)

4 0, 1x1 + 2, 3x2 + 3, 45x3 + 2x4 = 27 (hyperplane dihyperspace x1x2x3x4)

Carilah solusinya!

Bentuk umum persamaan linier:

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b

x1, x2, . . . , xn : variabel, a1, a2, . . . , an : koefisien, b : konstanta





Contoh sistem persamaan linier (SPL):

1 x+ 4y = 72x− 6y = 8

2 x+ y = 4x+ y = −6

3 x+ 2y = 42x+ 4y = 8

Carilah solusinya! Bagaimana menguji kebenaran solusi tersebut?Aspek geometri dari solusinya?

Matriks yang diperbesar (augmented matrix) dari SPL.





Secara umum SPL selalu mempunyai:

1 0 solusi (tidak punya solusi) atau

2 1 solusi atau

3 tak hingga banyaknya solusi

SPL yang tidak punya solusi dikatakan tak-konsisten.

SPL yang punya solusi dikatakan konsisten.





Bentuk umum SPL:

a11 x1 + a12 x2 + · · ·+ a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + · · ·+ a2n xn = b2...

am1 x1 + am2 x2 + · · ·+ amn xn = bm

Matriks yang diperbesar dari SPL di atas:a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2

......

......

...am1 am2 . . . amn bm





Operasi baris elementer (OBE) pada matriks yang diperbesar dariSPL:

1 Mengalikan suatu baris dengan bilangan tak-nol.

2 Menukar 2 baris

3 Menambahkan perkalian suatu baris ke baris lain.

Jika dilakukan dengan benar, OBE tidak mengubah solusi darisuatu SPL. Aman!




PendahuluanEselon baris tereduksiContoh matriks eselon barisContoh

Eliminasi Gauss

1 metode sistematis untuk menyelesaikan SPL

2 mengubah matriks yang diperbesar suatu SPL menjadimatriks eselon baris .

Johann Carl Friedrich Gauss, 1777 - 1855, matematikawan Jerman.





Eliminasi Gauss-Jordan :

1 metode sistematis untuk menyelesaikan SPL

2 mengubah matriks yang diperbesar suatu SPL menjadimatriks eselon baris tereduksi

Wilhelm Jordan, 1842 - 1899, ahli Geodesi Jerman.





Baris-nol : baris yang seluruh angkanya adalah angka 0.

Baris-tak-nol : baris yang mempunyai minimal 1 angka tak-nol.

Matriks eselon baris:

1 Jika suatu baris adalah baris-tak-nol, maka angka tak-nolpertama di baris tersebut harus angka 1. Angka 1 ini disebutsatu-utama (leading 1).

2 Baris-nol harus dikelompokkan di dasar matriks.

3 Dalam 2 baris-tak-nol yang berurutan, satu-utama dalam barisyang lebih bawah harus terletak di sebelah kanan darisatu-utama baris yang lebih atas.

Matriks eselon baris tereduksi: memenuhi sifat 1, 2, 3 ditambah

(4) Masing-masing kolom yang berisi satu-utama mempunyaiangka 0 di baris lainnya dalam kolom tersebut.





Contoh matriks eselon baris: 1 0 -5 −30 1 0 50 0 1 7

,

1 -4 00 1 00 0 1

,

1 11 0 −30 1 0 50 0 0 00 0 0 0

.

Contoh matriks eselon baris tereduksi: 1 0 0 −30 1 0 50 0 1 7

,

1 0 00 1 00 0 1

,

1 0 0 −30 1 0 50 0 0 00 0 0 0

,

[0 00 0

].





Seimbangkan persamaan kimia berikut

HCl +Na3PO4 → H3PO4 +NaCl (1)





Tentukan kuat arus I1, I2, I3 dalam skema rangkaian berikut.

Hukum Ohm: Tegangan yang hilang melalui resistor adalah hasilkali arus dengan hambatannya (E = IR).Hukum arus Kirchhoff: Jumlah arus yang masuk ke suatu titiksama dengan jumlah arus yang keluar dari titik tersebut.Hukum tegangan Kirchoff: dalam jaringan (loop) tertutup, jumlahaljabar tegangan yang hilang adalah nol.




Operasi matriksAritmetika matriksMatriks nol dan matriks identitas

Matriks : susunan yang terdiri atas bilangan-bilangan danberbentuk persegi panjang.Entri : bilangan di dalam matriks.Ukuran matriks: banyak baris x banyak kolom.

Contoh:

[2],

[−2 33 0

],

1 −4 00 1 00 0 1

,

1 −40 10 0

,

534

,[5 12 13

],





Matriks A dan B dikatakan sama (equal) jika keduanyamempunyai ukuran yang sama dan entri yang bersesuaian jugasama.

Contoh:

A =

[4 3 55 12 13

], B =

[4 3 55 12 13

].

Misalkan matriks A = [aij ] dan B = [bij ] berukuran sama.A = B jika dan hanya jika aij = bij untuk setiap i dan j.





Misalkan matriks A dan B berukuran sama.A+B adalah matriks yang didapat dengan menjumlahkanentri-entri dari A dengan entri-entri yang bersesuaian B.A−B adalah matriks yang didapat dengan mengurangkanentri-entri dari A dengan entri-entri yang bersesuaian B.Contoh:

A =

[4 3 55 12 13

], B =

[1 0 −20 −2 −3

].

A+B =

[5 3 35 10 10

], A−B =

[3 3 75 14 16

].

Misalkan matriks A = [aij ] dan B = [bij ] berukuran sama.(A+B)ij = aij + bij untuk setiap i dan j.(A−B)ij = aij − bij untuk setiap i dan j.





Misalkan A adalah matriks dan c adalah sembarang bilangan.cA adalah matriks yang didapat dengan mengalikan setiap entridari A dengan c.

A =

[4 3 55 12 13

], c = 2.

cA = 2A =

[8 6 1010 24 26

].

Misalkan matriks A = [aij ] dan c adalah sembarang bilangan.(cA)ij = c aij .





Misalkan matriks A berukuran m× r, dan B berukuran r × n.Maka matriks AB berukuran m× n, dengan entri

(AB)ij = ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3j + · · ·+ air brj





Misalkan matriks A berukuran m× n.Transpose dari A (dinotasikan sebagai AT ) adalah matriks n×mdengan cara menukar baris dan kolom matriks A.

A =

[4 3 55 12 13

], AT =

4 53 125 13

.

Sifat:

1 (AT )T = A

2 (A+B)T = AT +BT

3 (A−B)T = AT −BT

4 (kA)T = k AT

5 (AB)T = BT AT





Misalkan matriks A berukuran m×m (matriks persegi).Trace dari A (dinotasikan sebagai tr(A)) adalah jumlah darientri-entri di diagonal utama matriks A.

tr(A) = a11 + a22 + · · ·+ amm.

A =

[4 35 12

], tr(A) = 4 + 12 = 16.





1 A+B = B +A (hukum komutatif penjumlahan)

2 A+ (B + C) = (A+B) + C (hukum asosiatif penjumlahan)

3 A(BC) = (AB)C (hukum asosiatif perkalian)

4 A(B + C) = AB +AC (hukum distributif kiri)

5 (B + C)A = BA+ CA (hukum distributif kanan)

6 A(B − C) = AB −AC

7 (B − C)A = BA− CA

8 a(B + C) = aB + aC

9 a(B − C) = aB − aC

10 (a+ b)C = aC + bC

11 (a− b)C = aC − bC

12 a(bC) = (ab)C

13 a(BC) = (aB)C = B(aC)





Penting!!!AB 6= BA (hukum komutatif perkalian matriks tidak berlaku).





Matriks nol (zero matrix) : matriks yang semua entrinya bernilai0. [

0 00 0

],

[0 0 00 0 0

],

0 0 00 0 00 0 0

,

000

.

Sifat matriks nol:Misalkan A adalah sembarang matriks dan 0 adalah matriks nol.

1 A+ 0 = 0 +A = A.

2 A−A = 0.

3 0−A = −A.

4 A0 = 0, 0A = 0





Matriks identitas (identity matrix): matriks persegi dengansemua entri diagonalnya bernilai 1 dan semua entrinon-diagonalnya bernilai 0.

I2 =

[1 00 1

], I3 =

1 0 00 1 00 0 1

.

Sifat matriks identitas:Diberikan matriks Am×n.

AIn = A

ImA = A





Dalam matriks, jika AB = AC, maka belum tentu B = C.

A =

[0 10 2

], B =

[1 13 4

], C =

[2 53 4

].

Perhatikan

AB = AC =

[3 46 8

], tapi B 6= C.

Dalam matriks, bisa terjadi AB = 0, tapi A 6= 0 dan B 6= 0.

A =

[0 10 2

], B =

[3 70 0

], AB =

[0 00 0

].




DefinisiSifatProsedurSifat

Misalkan A adalah matriks persegi.Jika ada matriks persegi B dan AB = BA = I, maka Adikatakan dapat dibalik (invertible) dan B disebut matriksbalikan (inverse) dari A.

Matriks B tersebut biasa ditulis sebagai A−1.

Jika tidak ada matriks B yang memenuhi AB = BA = I, makaA disebut matriks singular.





TheoremMatriks

A =

[a bc d

].

dapat dibalik jika dan hanya jika ad− bc 6= 0.

A−1 =1

ad− bc

[d −b−c a

]





TheoremJika A dan B adalah matriks yang dapat dibalik dan berukuransama, maka AB juga dapat dibalik dan

(AB)−1 = B−1A−1.

TheoremJika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka AT juga dapatdibalik dan

(AT )−1 = (A−1)T .





Diberikan matriks persegi (n× n) A.Apakah ada matriks balikan dari A (A−1)?

Gunakan operasi baris elementer, apakah [A|I] dapat diubahmenjadi [I|A−1]?





TheoremMisalkan A adalah matriks persegi.

1 Jika B adalah matriks persegi dan BA = I, maka B = A−1.

2 Jika B adalah matriks persegi dan AB = I, maka B = A−1.





TheoremJika A adalah matriks berukuran n× n, maka pernyataan berikutekivalen.

1 A dapat dibalik.

2 Ax = 0 punya solusi trivial (x = 0).

3 Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah matriks identitasI.

4 Ax = b punya tepat 1 penyelesaian untuk setiap vektor b.





TheoremMisalkan A dan B adalah matriks persegi yang berukuran sama.Jika AB dapat dibalik, maka masing-masing A dan B juga dapatdibalik.




Matriks diagonalMatriks segitigaMatriks simetrik

Matriks diagonal: matriks persegi yang entri-entri non-diagonalnyabernilai 0. [

1 00 −3

],

−11 0 00 0 00 0 10

.

D =

d1 0 0 . . . 00 d2 0 . . . 0...

......

... 00 0 0 . . . dn

, Dk =

dk1 0 0 . . . 00 dk2 0 . . . 0...

......

... 00 0 0 . . . dkn

.





Jika

D =

d1 0 0 . . . 00 d2 0 . . . 0...

......

... 00 0 0 . . . dn

,

dan d1, d2, . . . , dn tak-nol , maka

D−1 =

1/d1 0 0 . . . 00 1/d2 0 . . . 0...

......

... 00 0 0 . . . 1/dn

.





Matriks segitiga bawah (lower triangular): matriks persegi yangsemua entri di atas diagonal utamanya bernilai 0.

Matriks segitiga atas (upper triangular): matriks persegi yangsemua entri di bawah diagonal utamanya bernilai 0.





Theorem

1 Transpose dari matriks segitiga bawah (atas) adalah matriks

segitiga atas (bawah) .

2 Hasil kali beberapa matriks segitiga bawah (atas) adalah

matriks segitiga bawah (atas) .

3 Matriks segitiga bawah atau atas dapat dibalik jikan danhanya jika semua entri diagonalnya tak nol.

4 Balikan dari matriks segitiga bawah (atas) yang dapat dibalik

adalah matriks segitiga bawah (atas) .





Matriks persegi A dikatakan simetrik jika A = AT .

[1 88 −3

],

−11 1 31 0 73 7 10

.

TheoremJika A dan B adalah matriks simetrik yang berukuran sama dan kadalah sembarang bilangan, maka

1 AT simetrik.

2 A+B dan A−B simetrik.

3 kA simetrik





TheoremJika A adalah matriks simetrik yang dapat dibalik, maka A−1

simetrik.

TheoremJika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka AAT dan ATAdapat dibalik.


Sistem Persamaan Liniear

Documents

Transcript of Sistem Persamaan Liniear