SISTEM PERSAMAAN LINIER homogen · Sistem Persamaan Linier Homogen Suatu sistem persamaan linier...

13
SISTEM PERSAMAAN LINIER homogen JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 2013

Transcript of SISTEM PERSAMAAN LINIER homogen · Sistem Persamaan Linier Homogen Suatu sistem persamaan linier...

Page 1: SISTEM PERSAMAAN LINIER homogen · Sistem Persamaan Linier Homogen Suatu sistem persamaan linier dimana semua elemen koefisien pada ruas kanan persamaan sama dengan nol. Jika ada

SISTEM PERSAMAAN

LINIER homogen

JURUSAN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

2013

Page 2: SISTEM PERSAMAAN LINIER homogen · Sistem Persamaan Linier Homogen Suatu sistem persamaan linier dimana semua elemen koefisien pada ruas kanan persamaan sama dengan nol. Jika ada

DEFINISI…….

Sistem Persamaan Linier Homogen

Suatu sistem persamaan linier dimana semua elemen koefisien pada ruas kanan persamaan sama dengan nol. Jika ada salah satu elemen bi tidak sama dengan nol, maka disebut sistem persamaan linier non homogen.

Page 3: SISTEM PERSAMAAN LINIER homogen · Sistem Persamaan Linier Homogen Suatu sistem persamaan linier dimana semua elemen koefisien pada ruas kanan persamaan sama dengan nol. Jika ada

PENDAHULUAN

Bentuk umum:

Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat tetap apabila semua sistem mepunyai x1 = 0 , x2 = 0 , ... , xn = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial. Solusi non trivial didapatkan dengan menentukan nilai dari variabel X sampai dengan persamaan yang ada dapat digunakan untuk menyelesaikan atau mendapatkan nilai X yang lain.

0xxxx

0xxxx

0xxxx

0xxxx

nmnjmj2m21m1

nn ijj i22 i11 i

nn2jj2222121

nn1jj1212111

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

Page 4: SISTEM PERSAMAAN LINIER homogen · Sistem Persamaan Linier Homogen Suatu sistem persamaan linier dimana semua elemen koefisien pada ruas kanan persamaan sama dengan nol. Jika ada

PERSAMAAN GERAK SISTEM DENGAN DUA DERAJAT KEBEBASAN

Persamaan Kesetimbangan Massa 1:

0211

2112

1

2

1

xxkdt

xxdc

dt

xdm .…(85)

Persamaan Kesetimbangan Massa 2:

0211

21122

222

2

2

2

xxkdt

xxdcxk

dt

dxc

dt

xdm (86)

Page 5: SISTEM PERSAMAAN LINIER homogen · Sistem Persamaan Linier Homogen Suatu sistem persamaan linier dimana semua elemen koefisien pada ruas kanan persamaan sama dengan nol. Jika ada

Kedua persamaan tersebut disusun dalam bentuk matriks:

0

0

0

0

2

1

211

11

2

1

211

11

2

2

2

2

1

2

2

1

dt

dxdt

dx

ccc

cc

x

x

kkk

kk

dt

xddt

xd

m

m

(87)

02

2

dt

dxCxK

dt

xdM (88)

Untuk redaman = 0

02

2

xKdt

xdM (89)

Page 6: SISTEM PERSAMAAN LINIER homogen · Sistem Persamaan Linier Homogen Suatu sistem persamaan linier dimana semua elemen koefisien pada ruas kanan persamaan sama dengan nol. Jika ada

Solusi persamaan homogen tersebut adalah: xdt

xd 2

2

2

Dengan ω adalah frekuensi alami getaran. Substitusi persamaan (90) ke dalam persamaan (89):

(90)

02 xKxM (91)

Atau: 0

12

xIxMK (92)

2

1 1dan DMK

Maka diperoleh persamaan homogen:

0 xID

Yang menghasilkan nilai eigen λ dan eigen vektor (x) melalui persamaan penentu:

0 IDDet

(93)

(94)

[D] adalah matriks dinamis

Page 7: SISTEM PERSAMAAN LINIER homogen · Sistem Persamaan Linier Homogen Suatu sistem persamaan linier dimana semua elemen koefisien pada ruas kanan persamaan sama dengan nol. Jika ada

Contoh:

Tentukan bentuk ragam (mode-shape) dari struktur disamping

Jawab

Matriks kekakuan:

kk

kkKkk

kkK

3

1

3

13

1

3

4

4

1

Matriks massa:

m

mM

0

0

Page 8: SISTEM PERSAMAAN LINIER homogen · Sistem Persamaan Linier Homogen Suatu sistem persamaan linier dimana semua elemen koefisien pada ruas kanan persamaan sama dengan nol. Jika ada

Matriks dinamik:

k

m

k

mk

m

k

m

MKD

33

33

4

1

k

m

k

mk

m

k

m

ID

33

33

4

0333

40

2

k

m

k

m

k

mIDDet

k

m

k

m

mkmkm

mkmkm

kk

m

k

m

k

m

51,0833,0

09154

0334

30333

4

2,1

2222

2

2

Page 9: SISTEM PERSAMAAN LINIER homogen · Sistem Persamaan Linier Homogen Suatu sistem persamaan linier dimana semua elemen koefisien pada ruas kanan persamaan sama dengan nol. Jika ada

m

k

k

m

m

k

k

m

,0903 323,0

,7440 343,1

2

2

2

1

Ragam getaran diperoleh dengan memasukkan nilai frekuensi alami ke dalam persamaan gerak:

012

xIxMK

k

m

k

mk

m

k

m

MKD

33

33

4

1

Ragam 1 m

k,7440 2

0

0

10

01

33

33

4

744,02

1

2

1

x

x

x

x

k

m

k

mk

m

k

m

m

k

Page 10: SISTEM PERSAMAAN LINIER homogen · Sistem Persamaan Linier Homogen Suatu sistem persamaan linier dimana semua elemen koefisien pada ruas kanan persamaan sama dengan nol. Jika ada

00,1

07,3

0

0

10

01

248,0248,0

248,0992,0

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

Ragam 2 m

k,0903 2

0

0

10

01

33

33

4

090,32

1

2

1

x

x

x

x

k

m

k

mk

m

k

m

m

k

00,1

33,0

0

0

10

01

03,103,1

03,112,4

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

Page 11: SISTEM PERSAMAAN LINIER homogen · Sistem Persamaan Linier Homogen Suatu sistem persamaan linier dimana semua elemen koefisien pada ruas kanan persamaan sama dengan nol. Jika ada

Latihan Soal:

Selesaikan sistem persamaan linier homogen di bawah ini dengan menggunakan variabel x3 sebagai pengali…

Page 12: SISTEM PERSAMAAN LINIER homogen · Sistem Persamaan Linier Homogen Suatu sistem persamaan linier dimana semua elemen koefisien pada ruas kanan persamaan sama dengan nol. Jika ada

Tugas: Suatu bangunan mempunyai persamaan ragam struktur dalam bentuk sistem persamaan linier sebagai berikut:

Tentukan penyelesaian dari persamaan ragam tersebut.

036,103000030000

03000054,157000040000

04000091,2590000

64,833

036,103000030000

03000054,157000040000

04000091,2590000

96,562

036,103000030000

03000054,157000040000

04000091,2590000

17,251

33

2

323

3323

2

313

2313

2

3

3

32

2

222

3222

2

212

2212

2

2

2

31

2

121

3121

2

111

2111

2

1

1

xx

xxx

xx

dtkradRagam

xx

xxx

xx

dtkradRagam

xx

xxx

xx

dtkradRagam

Page 13: SISTEM PERSAMAAN LINIER homogen · Sistem Persamaan Linier Homogen Suatu sistem persamaan linier dimana semua elemen koefisien pada ruas kanan persamaan sama dengan nol. Jika ada

Main menu