SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN

PERTIDAKSAMAAN LINEAR

PERSAMAAN LINIER

• Sebuah garis dalam bidang x dan y secara umum dapat ditulis dalam bentuk

• a1x + a2y = b

• Secara lebih umum didefinisikan sebuah persamaan linier dengan n buah variabel

• a1x1 + a2x2 + …. + anxn = b

• Dimana a1, a2, a3, …, an adalah konstanta bilangan real

CONTOH PERSAMAAN LINIER

• x + 3y = 7

• y = 1/2x + 3z + 1

• x1 - 2x2 – 3x3 + x4 = 7

• x1 + x2 + …. + xn = 1

BUKAN PERSAMAAN LINIER

• Persamaan linier tidak melibatkan suatu hasil kali ataupun akar variabel. Contoh:

• x + 3y2 = 7

• y – sin x = 0

• 3x + 2y – z + xz = 4

• x11/2 + 2x2 + x3 = 1

SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)

• Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier di dalam variabel-variabel x1 x2, x3, … xn disebut dengan sistem persamaan linier atau sistem linier.

• Urutan bilangan s1, s2, s3,… sn dinamakan sebuah pemecahan dari sistem tersebut jika x1=s1, x2=s2, x3=s3, …. xn=sn adalah sebuah pemecahan dari tiap-tiap persamaan dalam sistem tersebut

CONTOH SPL

• 4x1 – x2 + 3x3 = -1

• 3x1 + x2 + 9x3 = -4

• Mempunyai pemecahan x1 = 1, x2 = 2, x3 = -1

• Tetapi x1 = 1, x2 = 8, x3 = 1 bukan pemecahan

• Mengapa??

MENCARI PENYELESAIAN SPL

• Grafik

• Substitusi

• Eliminasi

• Metode Gauss

• Metode Gauss-Jordan

METODE GRAFIK

• Langkah I – Gambarkan grafik masing – masing persamaan pada

bidang Cartesius.

• Langkah 2 a. Jika kedua garis berpotongan pada satu titik maka

himpunan penyelesaiannya tepat memiliki satu anggota

b. Jika kedua garis sejajar, maka himpunan penyelesaiaannya tidak memilki anggota. Dikatakan himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong

c. Jika kedua garis berimpit maka himpunan penyelesaiaannya memiliki anggota yang tak hingga banyaknya

MEMILIKI SOLUSI

• Equation1: x1 + 2x2 = 4

• Equation 2: x1 – x2 = 2

2

-2

TIDAK MEMILIKI SOLUSI

• Equation1: x1 + 2x2 = 4

• Equation 2: 2x1 + 4x2 = 5

SOLUSI TAK BERHINGGA

• Equation1: x1 + 2x2 = 4

• Equation 2: 2x1 + 4x2 = 8

METODE SUBSTITUSI

• Langkah 1

Pilihlah salah satu persamaan (jika ada pilih yang sederhana), kemudian nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x

• Langkah 2

Subtitusikan x atau y pada langkah 1 ke persamaan yang lain

CONTOH SUBSTITUSI • Diketahui ada dua persamaan

• x + y = 4 (1)

• 4x + 3y = 13 (2)

• Dari persamaan (1) x + y = 4 didapat y = 4 – x (3)

• Persamaan (3) Disubstitusikan ke persamaan (2)

4x + 3y = 13

4x + 3 (4 – x) = 13

4x + 12 – 3x = 13

x + 12 = 13

x = 1

• Nilai x = 1 disubstitusikan ke persamaan y = 4 – x, diperoleh

y = 4 - 1

y = 3

• Jadi solusi untuk persamaan (1) dan (2) adalah {(1,3)}

METODE ELEMINASI

• Nilai x dicari dengan cara mengeliminasi peubah y sedangkan nilai y di cari dengan cara mengeliminasi peubah x

CONTOH METODE ELIMINASI

Contoh : Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut :

2x + 3y = 13 3x + 4y = 19

Untuk mencari nilai x kita mengeliminasi peubah y

2x + 3y = 13 X 4 8x + 12y = 52

9x + 12y = 57

– x = – 5

x = 5

3x + 4y = 19 X 3

2x + 3y = 13

3x + 4y = 19

X 3 X 2

6x + 9y = 39

6x + 8y = 38

y =1

Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {( 5,1)}

SOAL 1

• Di sebuah toko, Samijan membeli 3 barang A dan 4 barang B dan dia harus membayar Rp2.700,00. Sedangkan Tukimin harus membayar Rp3.600,00 untuk pembelian 6 barang A dan 2 barang B. Jika Ponirin membeli 1 barang A dan 1 barang B, maka ia harus membayar ….

SOAL 2

• Dono, Kasino, dan Indro berbelanja di pasar. Dono membeli dua bungkus merica, sebuah paprika dan sebuah jeruk purut dengan membayar Rp4.700,00. Kasino membeli sebungkus merica , dua buah paprika dan sebuah jeruk purut dengan membayar Rp4.300,00. Indro membeli tiga bungkus merica, dua buah paprika dan sebuah jeruk purut dengan membayar Rp7.100,00.

• Berapakah harga untuk sebungkus merica, sebuah paprika dan sebuah jeruk purut?

ELEMINASI GAUS

• Merubah sistem persamaan linier menjadi bentuk matriks

• Terdiri dari dua tahap

– Forward Elimination of Unknowns (Membentuk Eselon Baris)

– Back Substitution

CXA

SPL MATRIKS

x1 + 2x2 = 4

x1 – x2 = 2

Jika dirubah bentuknya menjadi matriks:

2

4

11

21

2

1

x

x

BENTUK ESELON BARIS

• Jika sebuah baris tidak terdiri seluruhnya dari angka nol, maka bilanggan tak nol pertama adalah 1 (dinamai 1 utama)

• Jika ada suatu baris yang terdiri seluruhnya dari 0, maka baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks

• Di dalam sebarang dua baris yang berurutan yang tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka 1 utama pada baris yang lebih rendah, letaknya lebih jauh ke kanan dari pada 1 utama pada baris yang lebih tinggi.

CONTOH BENTUK ESELON BARIS

• Gunakan OBE (Operasi Baris Elementer) untuk membentuk matriks ke dalam bentuk eselon baris

CONTOH ESELON BARIS

• Ubah matriks persamaan berikut menjadi bentuk eselon baris

CONTOH KASUS

8325

1232

7352

2232

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

83125

12312

71352

21232

FORWARD ELIMINATION (ESELON BARIS)

83125

12312

71352

21232

32

162

190

13140

92120

12

112

31

'

14

'

4

'

13

'

3

'

12

'

2

1'

1

5

2

2

2

RRR

RRR

RRR

RR

32

162

190

13140

92120

12

112

31

41599

4500

1973002

912

110

12

112

31

'

14

'

4

'

23

'

3

2'

2

1

'

1

219

4

2

RRR

RRR

RR

RR

FORWARD ELIMINATION (ESELON BARIS)

12572

12143000

319

37100

291

2110

12

112

31

'

34

'

4

3'

3

2

'

2

1

'

1

45

3

RRR

RR

RR

RR

41599

4500

1973002

912

110

12

112

31

12572

12143000

319

37100

291

2110

12

112

31

1435721000

319

37100

291

2110

12

112

31

121434'

4

3

'

3

2

'

2

1

'

1

RR

RR

RR

RR

FORWARD ELIMINATION (ESELON BARIS)

4

143572

319

37

29

21

12

12

3

4

4

43

432

4321

x

x

xx

xxx

xxxx

BACK SUBSTITUTION

• Setelah didapat hasil x4 = 4

• Lakukan subtitusi X4 ke persamaan diatasnya untuk mencari x3

• Lakukan lagi subtitusi x3 dan x4 ke persamaan diatasnya untuk mendapatkan x2

• Terakhir, lakukan substitusi x2, x3, dan x4 ke persamaan pertama untuk mendapatkan x1

SOAL 3

• Gunakan metode eliminasi Gauss untuk menyelesaikan SOAL 2

NEXT TIME…

• Eselon baris tereduksi

• Eliminasi Gauss – Jordan

• Latihan Soal

SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR

Program Linier yang diterjemahkan dari linier

programming (LP) adalah Model matematik dalam

mengalokasikan sumber daya yang langkah untuk

mencapai tujuan tunggal seperti memaksimalkan

keuntungan atau meinimummkan biaya. sebagai suatu

model mtematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan

linier dan sistem kendala linier

Formulasi model matematik ada 3 tahap:

1. Tentukan variabel yang tidak diketahui dan dinyatakan

dalam simbol.

2. Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu

hubungan linier dari variabel keputusan

3. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan

mengekspresikannya dalam persamaan atau

pertidaksamaan.

Contoh :

Suatu perusahaan menghasilkan dua barang, boneka dan

mobil-mobilan. Harga masing-masing barang dan kebutuhan

sumber daya terlihat pada tabel berikut ini dan disamping itu,

menurut bagian penjualan, permintaan boneka tidak akan

melebihi 4 unit.

Pada kasus ini, maslaah yang dihadapi perusahaan adalah menentukan jumlah masing-masing produk yang harus dihasilkan agar keuntungan maksimum. Sekarang kita akan merumuskan masalah dalam suatu model matematika! Jawab : Variabel keputusan Variabel masalah ini adalah penjualan masing-masing mainan yaitu: X1 = boneka X2 = mobil-mobilan

Fungsi Tujuan

Tujuan maslaah ini adalah memaksimumkan keuntungan. Biaya

total dalam konteks ini adalah harga per unit dari masing-

masing jenis mainan yang dijual sehingga biaya total Z,

dituliskan sebagai berikut: Z = 4X1 + 5X2

Sistem kendala

Dalam maslaah ini kendala adalah kebutuhan maksimum akan

sumber daya dalam pembuatannya. Kendala untuk bahan

mentah adalah: X1 + 2X2 ≤ 10

Pada contoh ini digunakan pertidaksamaan ” ≤” yang

menunjukkan jumlah maksimum bahan mentah yang

dibutuhkan.

Jadi model matematika :

Memaksimumkan Z = 4X1 + 5X2

Dengan syarat : X1 + 2X2 ≤ 10

6X1 + 6X2 ≤ 36

X1 ≤ 4

X1 ≥ 0, X2 ≥ 0

Penyelesaian Grafik model LP:

Karena solusi optimum terlatak pada suatu titik pojok yang

merupakan perpotongan dari dua kendala atau pada titik B maka

x1 dan x2 dapat dicari melalui penyelesaian dua persamaan

kendala ini dengan metode subtitusi atau elminasi.

X1 + 2X2 ≤ 10

6X1 + 6X2 ≤ 36

sehingga x1 = 2 dan x2 = 4 bila dimasukkan ke fungsi tujuan

diperoleh Z = 28.

PT. Sumber Produksi menghasilkan 2 produksi yaitu produk I dan

produk II.Untuk menghasilkan kedua produksi tersebut melalui 3

mesin berurutan:

Tentukan:

a. variabel

b. formasi

c. solusi optimum

LATIHAN

Perhatikan soal berikut ini :

Sebuah pesawat terbang mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 300 kursi ,terdiri atas kelas ekonomi dan VIP Penumpang kelas ekonomi boleh membawa bagasi 3 kg dan kelas VIP boleh membawa bagasi 5 kg sedangkan pesawat hanya mampu membawa bagasi 1200 kg,Tiket kelas ekonomi memberi laba Rp 100.000.00 dan kelas VIP Rp 200.000,00 Berapakah laba maksimum dari penjualan tiket pesawat tersebut ?