BAB 3Sistem Persamaan Linear dan Pertidaksamaan Satu Variabel

Standar Kompetensi: Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan pertidaksamaan linear

Kompetensi Dasar:

Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem persamaan campuran linear dan kuadrat dalam dua variabel

Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan penafsirannya

Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan bentuk pecahan aljabar

Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel dan penafsirannya

Sistem Persamaan Linear dengan Dua Variabel (SPLDV)

SPLDV dalam variabel x dan y dapat ditulis sebagai

dengan a, b, c, p, q, dan r atau a1, b1, c1, a2, b2, dan c2 merupakan bilangan-bilangan real.

rqypx

cbyax

222

111

cybxa

cybxa

atau

SPLDV homogen:

5

1

yx

yx

SPLDV tak homogen:

0

132

yx

yx

Penyelesaian SPLDV

Contoh

x + y = 1x + y = 5

mempunyai penyelesaian (2,3)

1

-1 2 3 4 5

Y

X0

(-1, 0)

(2, 3)

2

3

4

5 (0, 5)

(5, 0)

g : x + y = 11

g : x + y = 52

Penyelesain suatu SPLDV dengan dua peubah dapat ditentukan dengan beberapa cara

i. Metode Grafik

ii. Metode Subtitusi

iii. Metode Eliminasi, dan

iv. Metode Determinan

Metode Subtitusi

Contoh: 2x 3y = 7

3x + 2y = 4 Jawab: 2x 3y = 7

2x = 7 + 3y

x = 7 + 3y

2Subtitusikan ke persamaan

3x + 2y = 4, diperoleh:

32

7 + 3y+ 2y = 7

3(7 + 3y) + 4y = 8

21 + 9y + 4y = 8

13y = 13 y = 1

Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV adalah (2, 1)

x =

x = 2

7 + 3y(1)2

Subtitusikan nilai y = 1 ke persamaan x = 7 + 3y2

diperoleh:

Metode Eliminasi

Nilai x dicari dengan cara mengeliminasi peubah y, sedangkan nilai y dicari dengan cara mengeliminasi peubah x.

Contoh:Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan:

83

4

34

2

yx

yx

Jawab:

x 2+ y

4= 3 ,tiap ruas dikalikan 4

y + 4

3x + = 8, tiap ruas dikalikan 3

Dengan demikian, persamaan semula ekuivalen dengan SPLDV:

x + 4y = 14

3x + y = 20

Sistem Persamaan Linear dengan Tiga Variabel (SPLTV)

SPLTV dalam variabel x, y, dan z dapat ditulis sebagai:

Himpunan penyelesaian SPLTV dapat ditentukan dengan:

i. Metode Subtitusi,

ii. Metode Eliminasi, atau

iii. Metode Determinan.

atau

lkzjyix

hgzfyex

dczbyax

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK)

SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Eksplisit

y = ax + b

y = px2 + qx + r

...... bagian linear

...... bagian kuadrat

Langkah 1

Subtitusikan bagian linear y = ax + b ke bagian kuadrat y = px2 + qx + r, diperoleh

ax + b = px2 + qx + r

px2 + qx − ax + r − b = 0

px2 + (q − a)x + (r − b) = 0, merupakan persamaan kuadrat dalam x.

Langkah 2

Nilai-nilai x pada Langkah 1 (jika ada) disubtitusikan ke persamaan ke persamaan

y = ax + b.

SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Implisit

SPLK dengan bagian berbentuk implisit

px + qy + r = 0

ax + by2 + cxy + dx + ey + f = 0

...... bagian linear

...... bagian kuadrat berbentuk implisit

Himpunan penyelesaian SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan

Langkah 1:

Pada bagian persamaan linear, nyatakan x dalam y atau y dalam x.

Langkah 2:

Substitusikan x atau y pada Langkah 1 ke bagian bentuk kuadrat, sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.

Langkah 3:

Selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh pada Langkah 2, kemudian nilai-nilai

yang didapat disubstitusikan ke persamaan linear.

ContohCarilah himpunan penyelesaian dari SPLK

x + y − 1 = 0

x2 + y2 − 25 = 0

Jawab:

Substitusi y = 1 − x ke persamaan x² + y² − 25 = 0

x2 + (1 − x)2 − 25 = 0

Û x2 + 1 − 2x + x2 − 25 = 0

Û 2x2 − 2x − 24 = 0

Û x2 − x − 12 = 0

Û (x + 3)(x − 4) = 0

Û x = −3 atau x = 4

Untuk x = −3 diperoleh: y = 1 − (−3) = 4 (−3,4).

Untuk x = 4 diperoleh: y = 1 − 4 = −3 (4, −3).

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah: (−3, 4),(4,−3).

3 4 521

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

−1−2−3−4−5

0

(-3, 4)

(4, −3)

x + y − 1 = 0

Y

X

SPLK dengan Bagian Kuadrat Berbentuk Implisit Dapat Difaktorkan

Menentukan himpunan penyelesaian SPLK

Bentuk linear

Bentuk kuadrat yang dapat difaktorkan

SPLDV yang diperoleh

L = 0

L = 0

L = 01

L = 0

L = 02

L = 02

atauL = 01

atau

1L ·L = 0

2

Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut

2x + 3y = 8

4x 2 − 12x + 9y2 = 16

Jawab:

4x2 − 12xy + 9y2 = 16

Û (2x− 3y)2 − 16 = 0

Û (2x − 3y + 4)(2x − 3y − 4) = 0

Û 2x − 3y + 4 = 0 atau 2x − 3y −4 = 0

2x + 3y = 8

2x − 3y + 4 = 0

Dari SPLDV ini diperoleh penyelesaian (1,2).

2x + 3y = 8

2x − 3y − 4 = 0

Dari SPLDV ini diperoleh penyelesaian (3, ).2

3

Jadi, himpunan penyelesaian SPLK itu adalah {(1,2), (3, )}.2

3

Contoh

Pertidaksamaan Satu Variabel

Pengertian Selang

Misalkan R adalah himpunan bilangan real.

{x l x < 3, x R

Himpunan-himpunan bagian dari himpunan bilangan real R dinamakan selang ata interval.

Selang pada umumnya merupakan himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan.

−2 −1 0 1 2 3

{x l x < 3, x R

No. Selang atau Interval Grafik Selang

1. p < x < q

2. p ≤ x ≤ q

3. p ≤ x < q

4. p < x ≤ q

5. x < q

6. x ≤ q

7. x p

8. x ≥ p

po o

q

p q

p q

o

op q

oq

q

p

qo

Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Contoh: 4x − 6 0

Û 3x 6Û x 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya, HP = {x l x 2}.

−2 −1 0 1 2 3 4

21

2

x < 1

−2 −1 0 1 2 3 4

x 2

Pertidaksamaan PecahanHimpunan penyelesian pertidaksamaan berbentuk pecahan

dapat ditentukan melalui langkah-langkah berikut.

f(x)g(x)

f(x)g(x)

f(x)g(x)

f(x)g(x) 0,< 0, ≤ 0, ≥ 0atau

Langkah 1Carilah nilai-nilai nol bagian pembilang dan bagian penyebut dari bentuk pecahanyaitu f(x) = 0 dan g(x) = 0

f(x)g(x)

Langkah 2Gambarlah nilai-nilai nol itu pada diagram garis bilangan, sehingga diperoleh interval-interval.

Langkah 3Tentukan tanda-tanda interval dengan cara mensubstitusikan nilai-nilai uji yang berada dalam masing-masing interval.

Langkah 4Berdasarkan tanda-tanda interval yang diperoleh pada Langkah 3, kita dapat menentukan interval yangmemenuhi g(x) = 0.

o21

+ +

Penyebut tidak boleh sama dengan nol 3x + 3 0 x 1

Jadi, himpunanpertidaksamaan pecahan adalah

HP = {x l 1 < x ≤ 2}

2x 43x + 3

≤ 0

2x 43x + 3

≤ 0

Jawab:

Nilai nol bagian pembilang : 2x 4 = 0 x = 2

Nilai nol bagian penyebut : 3x + 3 = 0 x = 1

Nilai-nilai nol pembilang dan penyebut, serta tanda-tanda interval diperlihatkan pada

Contoh