RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN

BAB XIV

TRANSFORMASI KESEBANGUNAN

disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi

Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd

Oleh

Niamatus Saadah 1201125122

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA

2015

TRANSFORMASI KESEBANGUNAN

1. Definisi dan Sifat-sifat

Kita telah mempelajari macam-macam transformasi yang berupa suatu

isometri, yaitu suatu transformasi yang mengawetkan jarak.

Dalam bab ini, kita akan mempelajari transformasi yang mengubah jarak.

Transformasi demikian dinamakan suatu transformasi kesebangunan (bahasa

Inggris similitude).

Definisi suatu transformasi T adalah transformasi kesebangunan (atau

disingkat kesebangunan) apabila ada sebuah konstanta k > 0 sehingga untuk

setiap pasang titik P, Q, = kPQ dengan T(P) = P’dan T(Q) = Q’

Apabila k = 1, maka transformasi tersebut adalah sebuah isometri.

Teorema 14.1 sebuah kesebangunan T

1) memetakan garis pada garis

2) mengawetkan ukuran sudut

3) mengawetkan kesejajaran

Bukti :

1) Andaikan t sebuah garis, misalkan A t, B t, dua titik berbeda. Akan

dibuktikan bahwa T(t) = A’B’, untuk itu akan dibuktikan T(t) A’B’ dan

A’B’ T(t). Pilihlah sebuah titik P t. Apabila P terletak antara A dan B

maka AP + PB = AB. Jika A’ = T(A), B’ = T(B), P’ = T(P) maka

A’P’ + P’B’ = k(AP) + k(PB) (menurut definisi)

= k(AP+PB)

= k.AB

Menurut definisi A’B’ = kAB maka A’P’ + P’B’ = A’B’. Jadi P’ terletak

antara A’B’, yang berarti bahwa A’, P’, B’ segaris. Dengan cara yang

serupa, uraian di atas berlaku pula untuk A antara P dan B atau B antara A

dan P. Jadi P’ A’B’ atau T(P) A’B’. Karena ini berlaku untuk setiap

P AB = t, maka T(t) A’B’. Untuk bagian yang kedua, pilihlah sebuah

titik Q’ A’B’. Oleh karena T sebuah transformasi, jadi surjektif maka

ada Q sehingga Q’ = T(Q).

Andaikan Q’ letaknya antara A’ dan B’. Jadi A’Q’ + Q’B’. Apabila Q t

maka AQ + QB > AB, jadi k (AQ) + k(QB) > k(AB). Sehingga A’Q’ +

Q’B’ > A’B’. Ini berlawanan dengan A’Q’ + Q’B = A’B’. Jadi haruslah Q

t. Bukti serupa untuk A’ antara Q’ dan B’ dan B’ antara A’ dan Q’.

Dengan demikian maka A’B’ T(t).

Jadi T(t) = A’B’

2) Andaikan diketahui ABC dan T(ABC) = A’B’C’

Maka A’B’ = k(AB), B’C’ = k(BC), A’C’ = k(AC).

Sehingga A’B’C’ A’B’C = ABC

Akibat dari sifat di atas ialah bahwa oleh kesebangunan T, dua garis yang

saling tegak lurus tetap tegal lurus.

3) Andaikan T suatu kesebangunan dan andaikan ada dua garis l dan m

dengan l//m. Andaikan T(l) memotong T(m) di sebuah titik A', maka ada

A l sehingga T (A) T(l) dan T(A) T(m), jadi A l dan A m. ini

berarti l dan m berpotongan. ini bertentangan dengan pengandaian bahwa

l//m.

Dalam mempelajari isometri-isometri, reflexi-lah adalah isometri dasar. anda

masih ingat tentunya bahwa setiap isometri dapat ditulis sebagai hasilkali dari

tiga reflexi paling banyak. untuk transformasi kesebangunan transformasi

dasarnya adalah suatu perbaikan atau dilasi (dalam bahasa inggris dilation).

Definisi diketahui sebuah titik A dan sebuah bilangan positif r. suatu dilasi D

dengan faktor skala r dan pusat A adalah padanan yang bersifat.

1) D(A) = A

2) Jika P A, P' = D(P) adalah titik pada sinar AP sehingga AP' = r(AP). ( ini

setara dengan mengatakan bahwa AP' = rAP). dilasi dengan pusat A dan

faktor skala r ini dilambangkan dengan DA.r'

Akibat I DA.r' adalah suatu kesebangunan.

Untuk membuktikan ini akan dibuktikan dua hal, yaitu

1) DA.r' adalah suatu transformasi

2) Jika P, Q dua titik pada bidang yang berbeda maka P'Q' = r(PQ), dengan P'

= DA.r' (P) dan Q' = DA.r' (Y)

1) Andaikan ada dua titik X dan Y dengan X' = DA.r' (X) dan Y' = DA.r' (Y)

dan andaikan X' = Y'. Jadi X'Y' = 0. Oleh karena X'Y' = r(XY) dan r > 0

maka XY = 0. Ini berarti X = Y. jadi DA.r' injektif.

Andaikan Y sebarang titik. andaikan pula X sebuah titik pada sinar AY

sehingga AX = r(AY). Jadi DA.r' (X) = Y sebab AY=(AX). jadi setiap titik

Y memiliki prapeta. dengan demikian DA.r' suryektif sehingga terbukti

bahwa DA.r' adalah sebuah transformasi.

2) a) Jika P=A maka P' = A' = A. sehingga P'Q' =AQ'=r(PQ).

b) Jika Q AP, andaikan P' terletak antar A dan Q sehingga AP+ PQ=

AQ. Jadi AP < AQ dan r(AP) < r(AQ), maka AP' < AQ'. Ini berarti P'

terletak antara A dan Q', sehingga,

AP’ + P’Q’ = AQ’

P'Q' = AQ' – AP'

= r(AQ) – r(AP)

= r(AQ-AP) = r(AQ)

c) Andaikan A, P, Q tidak segaris. karena AP' = r(AP) dan AQ' = r(AQ),

maka

AQ

AQ

AP

AP ''

Sehingga AP'Q' APQ. Jadi .'''

rAP

AP

PQ

QP

Maka untuk setiap pasang titik P, Q, akan kita peroleh P'Q' = r(PQ).

Jadi dapat dikatakan bahwa setiap dilasi adalah suatu kesebangunan.

Akibat II Jika g sebuah garis dan g' = D A.r (g) maka g' = g apabila A g dan

g'//g apabila A g.

1) Andaikan A g maka DA.r(A)= A' g'.

Andaikan B g dan B A, DA.r (B) = B' dan B' g', tetapi menurut

ketentuan dari DA.r' B' terletak pada sinar AB g. sehingga B' g. Jadi A

g => A g dan B g => B’ g.

Ini berarti g = g'

2) Andaikan A g. Misalkan B g dan C g, maka B' = DA.r' (B), C' =

DA.r' (C) sehingga B' g, C' g'.

Karena AB' = r(AB), AC' = r(AC), maka B'C' = g'//g, sebab

AC

AB

AC

AB

'

'

2. Hasil kali Transformasi dengan Dilasi

Andaikan P = (x,y) dan andaikan ada dilasi D0,r'. Kita hendak mencari

koordinat-koordinat P' = D0,r'(P).

P' terletak pada sinar OP sehingga OP' = rOP. Jadi jika P' = (x',y') maka x'

= rx dan y' = ry. Sehingga P' = (rx,ry)

Sekarang andaikan A = (a,b) dan diketahui dilasi DA.r'. Kalau P" = (x",y")

dengan DA.r(P) = P" sedangkan P = (x,y). Apakah hubungan antara x", y", x,

dan y?

Untuk ini kita lakukan translasi GAQ' kemudian dilasi D0,r, disusul dengan

translasi Q0A, maka kita dapat menulis

DA.r = G 0AD0,rGA0

Jadi untuk P = (x,y) kita peroleh berturut-turut:

DA.r[(x,y)] = G0AD0rGA0 [(x,y)] =

= G0AD0r[(x-a,y-b)]

= G0A[r(x-a,r(y-b)]

= [r(x-a)+a,r(y-b)+b]

= [rx+a(1-r),ry+b(1-r)]

Dengan demikian dapat dikatakan

Teorema 14.2. Apabila DA,r sebuah dilasi dengan A = (a,b) dan P = (x,y),

maka DA.r (P) = [rx+a(1-r), ry+b(1-r)].

Sebaliknya: padanan T'(P) = (rx+c,ry+d) untuk P = (x,y) dengan r>0 dan r1

adalah suatu transformasi dan merupakan suatu dilasi. Pusat dilasi ini dapat

ditentukan sebagai berikut. Kita tulis T(P) =

r

r

dryr

r

crx 1

11

1

Dengan demikian pusat dilasi tersbeut adalah titik A =

r

d

r

c

1,

'1

Teorema 14.3 Hasilkali dua dilasi adalah sebuah dilasi

Bukti : Andaikan diketahui dilasi DAr dan DB,S

Kita pilih sebuah sistem koordinat ortogonal dengan AB sebagai sumbu –x

dan titik asal kita pilih di A. Andaikan B = (b,0) dan A = (0,0).

Jika P = (x,y) maka DA,r (P) = (rx,ry) dan DB,S (P) = [sx+b(1-s), sy]

Jadi DB,S.DA,r(P) = DB,S[rx,ry]

= [s(rx) + b(1-s), s(ry)]

Apabila rs 1, kita dapat menulis:

DB,S. DA.r (P) = [(rs)x +

rs

sb

1

1(1-rs),(rs)y]

Jadi hasilkali DB,S. DA.r adalah suatu dilasi dengan pusat C =

)0,1

1(

rs

sb

Sehingga hasilkali dilasi berpusat di C dengan faktor skala rs. Kalau rs = 1 dan

A B maka b 0; kalau P = (x,y) kita peroleh.

DB,S. DA.r (P) = [x+b(1-s),y]

Ini berarti bahwa DB,S. DA.r adalah suatu translasi dengan arah yang sejajar

dengan garis AB.

Akibat 1 jadi kalau DD,r dan DB.S dengan DB,S. DA.r adalah sebuah dilasi DC,rs

dengan C AB apabila rs 1.

Apabila rs = 1 maka hasilkali dua dilasi itu adalah suatu translasi yang sejajar

dengan AB.

Akibat 2 jika diketahui DA.r dan DA.s maka DA.s.DA.r adalah suatu dilasi

dengan skala faktor rs, jika rs 1.

Apabila rs = 1 maka hasilkali ini adalah transformasi identitas.

Akibat 3 Untuk sebuah dilasi DA.r berlaku D-1A.r = DA.1/r

Apabila diketahui dua dilasi DA.r dan DB.S bagaimana menentukan pusat dilasi

hasilkali dua dilasi tersebut?

Untuk ini misalkan P' = DB.S. DA.r (P) = DC,rs (P) menurut uraian di atas C

AB dan C PP. Jadi C adalah titik potong AB dan PP'; disini P dapat

dipilih sembarang kemudian P'.

Di atas telah kita buktikan, bahwa hasilkali dua dilasi adalah suatu dilasi atau

suatu translasi.

Apabila suatu dilasi dikalikan dengan sebuah reflexi atau rotasi maka

hasilkalinya bukan suatu dilasi atau suatu isometri. Mengenai ini dapat

dituangkan sebuah.

Teorema 14.4 : Hasilkali sebuah dilasi dan sebuah isometri adalah sebuah

kesebangunan.

Bukti: Sebuah isometri adalah sebuah kesebangunan dengan skala 1. Hasilkali

dua kesebangunan adalah kesebangunan. Dengan demikian maka hasilkali

suatu dilasi dan suatu isometri adalah suatu kesebangunan.

Akibat : Jadi pada umumnya hasilkali suatu reflexi dan suatu dilasi atau

hasilkali suatu rotasi dan suatu dilasi adalah sebuah kesebangunan.

Contoh: Buktikan bahwa garis-garis berat sebuah segi-3 melalui satu titik.

Bukti:

Andaikan M titik tengah AC dan N titik tengah BC. Andaikan X titik pada AN

sehingga AX = 2(XN) dan Y BM sehingga BY = 2(YM). Kita akan

membuktikan bahwa X = Y. Berturut-turut diperoleh.

X = DA.2/3(N), N = DB1/2(C)

Jadi X = DA.2/3(N), N = DB1/2(C).

Sedangkan D-1A,2/ 3= DA.3/2 dan D-1

B.1/2 = D-1B.1/2 = DB.2

Jadi C = DB.2 DA.3/2 (C). Maka

Y = D2/3 DA.1/2 DB.2 DA.3/2 (X)

DB.2/3 = DB.1/3 DB.2

DA.3/2 = DA.1/2 DA.3

Maka: Y = (DB.1/3DB.2) DA.1/2 DB.2 (DA.1/2 DA.3) (X)

= DB.1/3(DB.2DA.1/2) (DB.2DA.1/2) (DA.3) (X)

= DB.1/3SB.ASBADA.3 (X)

= DB.1/3SB.ADA.3 (X)

= DB.1/3(DB.3DA.1/3) DA.3 (X)

DB.2/3 = DB.1/3DB.2

DA.2/3 = DA.1/2DA.3

Maka: Y = (DB.1/3DB.2) DA.1/2DB.2 (DA.1/2DA.3) (X)

= DB.1/3(DB.2DA.1/2) (DB.2DA.1/2) (DA.3) (X)

= DB.1/3SB.ASB.ADA.3 (X)

= DB.1/3SB.ADA.3 (X)

= DB.1/3(DB.3DA.1/3) DA.3 (X)

= (DB.1/3DB.3) (DA.1/3DA.3) (X)

= X

Dengan cara yang serupa, kalau Z CK, K titik tengah AB sedangkan CZ =

2/3 CK atau CZ = 2ZK, maka Z = X.

Seperti halnya mengenai isometri yang mengatakan bahwa setiap

isometri adalah hasilkali dari paling banyak tiga reflexi dan apabila ada dua

segi-3, ABC XYZ, maka ada tepat satu isometri yang memetakan A pada

X, B pada Y dan C pada Z, adapula sifat di atas mengenai kesebangunan,

sebagai berikut:

Teorema 14.5 : Andaikan maka ada tepat satu

kesebangunan T sehingga T(A) = X, T(B) = Y, T(C) = Z.

Bukti : Kita akan membuktikan dua hal, yaitu

1) Eksistensi kesebangunan itu

2) Ketunggalan kesebangunan itu.

1) Oleh karena maka ada k > 0 sehingga XY = k.AB, YZ

= k.BC, XZ = k.AC. Buatlah DA.k sehingga Da.k =

Maka A’B’ = k.AB, B’C’ = k.BC, dan A’C’ = k.AC

Jadi

Berdasarkan atas eksistensi isometri, maka ada isometri M sehingga

M(A’) = X, M(B’) = Y, M(C’) = Z.

Jika hasil kali M.DA.k = T, maka T adalah suatu kesebangunan dan T(A)

= X, T(B) = Y, dan T(C) = Z.

2) Andaikan ada kesebangunan lain, S misalnya sehingga S =

Kita akan membuktikan bahwa S = T. Untuk ini kita ambil sebuah titik P

sebarang dan akan diperlihatkan bahwa S(P) = T(P).Misalkan P” = T(P),

A” = T(A), B” = T(B), C” = T(C) dan

P’ = S(P), A’ = S(A), B’ = S(B), C’ = S(C).

Oleh karena T dan S adalah kesebangunan maka

A”P” = XP” = kAP dan

A’P’ = XP’ = kAP

Jadi P” dan P’ terletak pada sebuah lingkaran L1 dengan pusat X dan

berjari – jari kAP. Tetapi P” dan P’ juga terletak pada L2 dengan pusat Y

dan berjari – jari kAB dan terletak pada L3 dengan pusat Z dan berjari –

jari kCP. Jadi

Oleh karena ketiga lingkaran itu bersekutu pada paling banyak satu titik.

Jadi P’ = P”. Sehingga terbukti bahwa S = T.

Teorema 14.6 : Setiap kesebangunan dapat ditulis sebagai hasil kali sebuah

dilasi dan tidak lebih dari tiga reflexi garis.

Bukti: Andaikan ada tiga titik A, B, C yang tak segaris dan andaikan T sebuah

kesebangunan dengan faktor skala k. Andaikan

A" = T(A), B" = T(B), C" = T(C)

Perhatikan sebuah dilasi DA.k sehingga

A'B'C' = DA.k (ABC)

Jadi A'B'C' A"B"C"

Maka ada tepat satu isometri M yang memetakan A'B'C' pada A"B"C",

sehingga dapat ditulis

M (A'B'C') = A"B"C"

Maka M. DA.k ((A'B'C') = A"B"C"

Dengan demikian menurut teorema sebelumnya dapat dikatakan bahwa T

= M. DA.k Karena M sebagai suatu isometri dapat dinyatakan sebagai hasilkali

paling banyak tiga reflexi garis, maka akhirnya terbuktilah teorema di atas.

Akhirnya kita dapat mengemukakan definsi berikut:

Definisi: Dua himpunan titik-titik dinamakan sebangun, apabila ada suatu

kesebangunan yang memetakan himpunan yang satu pada himpunan yang

lain.

Tugas:

1. Diketahui titik-titik A, P, Q, yang tak segaris. Lukiskan DA.r(P), DA.r(Q).

2. Diketahui A, P, Q segaris pada g dan R g. Lukislah DA.k(R) apabila;

a) DA.k(Q) = P b) DA.k(P) = Q

3. Diketahui ABC, K di luar ABC, I di dalam ABC.

Lukislah; a) DA.4/3(ABC) b) D2/3(ABC)

4. a) Jika DA.r suatu dilasi, apakah D-1A.r?

b) Jika DA3/4 (P) = K, nyatakanlah P dengan K

c) Sederhanakanlan (DA.2)3.

5. Diketahui ABC dan sebuah titik F di luar ABC.

a) Lukislah A'B'C' = DF.r(ABC) sehingga C A'B'

b) Lukislah A"B"C" = DF.r(ABC) sehingga luas (A"B"C") = 3 x luas

(ABC)

Jawaban Tugas

1. Diketahui titik-titik A, P, Q, yang tak segaris. Lukiskan DA.r(P), DA.r(Q).

Jawab :

A

DA,R (P)

DA,R (Q)

P

Q

2. Diketahui A, P, Q segaris pada g dan R g. Lukislah DA.k(R) apabila

a. DA.k(Q) = P

b. DA.k(P) = Q

3. Diketahui ABC, K di luar ABC, I di dalam ABC. Lukislah:

a) DA.4/3(ABC)

A Q DA.K(Q) = P

R

DA.K(R)

A

P DA.K(P) = Q

R

DA.K(R)

A

.K

.I

B C

B’ C’

DA.4/3(ABC)= ∆AB’C’

b) DK.2/3(ABC)

4. a. DA.r . D-1

A.r1 = 1

r1 = 1/r

DA.r1 merupakan suatu dilatasi.

b. DA.3/4(P) = K

DA.r.DA.3/4(P) = DA.r(K)

1 . P = DA.r(K)

r . ¾ = 1

r = 4/3

P = DA.4/3 (K)

c.

5.

.K

A

B C

B’ C’

A’ DA.2/3(ABC)= ∆A’B’C’

A P DA.2 (DA.2)3

A’

A B

B’

F

C

C’

taL 2

1

taL 2

133

ta2

3

Tugas:

1) Diketahui titik-titik A, B, P yang tak segaris

a) Lukislah P' = DA.1/2DB.3 (P)

b) Lukislah P" = DB.3DA.1/2 (P)

c) Jika DC.r = DA.1/2DB.3 lukislah C dan tentukan r.

2) Diketahui titik-titik E, F, P yang tak segaris

a) Lukislah P' = DF.3/2DE.2/3 (P)

b) Lukislah P" = DE.2/3DF.3/2 (P)

c) Nyatakan PP" dan PP' dengan jarak a = EF

3) Diketahui ruas garis berarah AB dan titik-titik C dan P

a) Lukislah P' = DC.2SA.B (P)

b) Lukislah P" = SA.BDC.2 (P)

c) Tentukan semua titik X sehingga DC.2SA.B (X) = X

4) Diketahui A = (1,3) dan P = (x,y)

a) Tentukan DA.3/4 (P)

b) Jika g = {(x,y) 2x+y=8} tentukan persamaan himpunan DA.3/4 (g)

5) Diketahui sebuah transformasi T. Jika P = (x,y) dan T(P) = {(x',y') x' = 3x

+7, y' = 3y-9}. Tentukan jenis transformasi T.

6) Diketahui A = (1,2) dan B = (4,10). Gunakan dilasi yang tepat untuk

menentukan,

a) Koordinat-koordinat E dengan E AB dan AE = 5

2AB

b) Koordinat-koordinat F pada AB dan BF = 3AB.

7) Tentukan ABC dengan A = (0,2), B = (6,0) dan C = (8,10). Jika G titik berat

ABC tentukan koordinat-koordinat titik-titik sudut SGDG.1/2 (ABC).

Jawaban Tugas :

1. Diketahui titik-titik A, P, Q yang tak segaris.

Lukislah DA,r (P), DA,r (Q)

2. Diketahui titik-titik E, F, P yang tak segaris.

a). Lukislah P’ = DA.1/2 DB.3 (P)

A

B P DB.3 (P)

b). Lukislah P”= DB.3 DA.1/2 (P

A P”= DB.3 DA.1/2 (P)

B

P

3. Diketahui titik-titik E, F, P yang tak segaris.

a). Lukislah P’ = DF.3/2 DE.2/3 (P)

E F

b) Lukislah P” = DE.2/3 DF.3/2 (P)

DF.3/2 (P)

E F

4. Diketahui ruas garis berarah AB dan titik-titik C dan P.

a). Lukislah P’ = DC.2 SAB (P)

B”

B

b). Lukislah P’ = SAB DC.2 (P)

A’

6. Diketahui A = (1,2) dan B = (4,10).

Gunakan dilasi yang tepat untuk menentukan :

a). Koordinat-koordinat E dengan E є AB dan AE = 2/5 AB

Penyelesaian:

Misalkan E AB dan AE = 2/5 AB

Maka dapat dicari koordinat E dengan menggunakan rumus

DA.r (B) = [rx + a(1-r), ry + b(1-r)]

Diperoleh DA.2/5(4,10) = [(2/5)4 + 1(1-2/5), (2/5)10 + 2(1-2/5)]

= [(8/5) + (3/5), (20/5) + (6/5)]

= [11/5, 26/5]

Jadi koordinat-koordinat di E adalah (11/5, 26/5)

b). Koordinat-koordinat F pada AB dan BF = 3 AB

Penyelesaian:

Misalkan F AB dan BF = 3AB

Diperoleh DA.3(4,10) = [3.4 + 1(1-3), 3.10+ 2(1-3)]

= [12-2, 30-4]

= [10, 26]

Jadi koordinat-koordinat di F adalah (10, 26).

7. Diketahui ∆ABC dengan A = (0,2), B = (6,0) dan C = (8,10).

Jika G titik berat ∆ABC

Tentukan Koordinat-koordinat titik-titik sudut SG DG.1/2 (∆ABC)

Penyelesaian :

(i) Diketahui G adalh koordinat titik berat ∆ABC

Misalkan : AP adalah garis berat ∆ABC pada garis BC dengan P titik

tengah BC.

BQ adalah garis berat ∆ABC pada garis AC dengan Q titik

tengah AC

CR adalah garis berat ∆ABC pada garis AB dengan R titik

tengah AB

Jelas AP, BQ, QR berpotongan di titik G.

Koordinat-koordinat dari P, Q, R dapat dicari dengan cara:

P = ((8+6)/2, (10+0)/2) = (7, 5)

Q = ((8+0)/2, (10+2)/2) = (4, 6)

R = ((6+0)/2, (0+2)/2) = (3, 1)

(ii). Selanjutnya akan dicari koordinat titik berat ∆ABC dengan

menggunakan dilasi,

DA.r (P) = [rx + a(1-r), ry + b(1-r)]

Diperoleh:

DA2/3 (7, 5) = [(2/3)7 + 0(1-(2/3)), (2/3)5 + 2(1-(2/3))]

= [(14/3), (12/3)]

Jadi koordinat titik G adlah (14/3, 12/3).

(iii). Akan dicari titik sudut SG DG.1/2 (∆ABC)

SG DG.1/2 (A) = SG [(1/2)0 + (14/3)(1-(1/2)), (1/2)2 + (1-(1/2)]

= SG (14/6, 3)

= [2(14/3) – (14/6), 2(12/3) – 3]

= (7, 5)

.

SG DG.1/2 (B) = SG [(1/2)6 + (14/3)(1-(1/2)), (1/2)0 + (12/3)(1-(1/2)]

B(6,0)

= SG(32/6, 2)

= [2(14/3) – (32/6), 2(12/3) – 2]

= (4,6).

SG DG.1/2 (C) = SG [(1/2)8 + (14/3)(1-(1/2)), (1/2)10 + (12/3)(1-

(1/2)]

= SG(38/6, 7)

= [2(14/3) – (38/6), 2(12/3) – 7]

= (3, 1).

Dari (i), (ii), (iii) diperoleh titik sudut ∆ABC adalah A”(7,5),

B”(4,6), C”(3,1).