Bahan Ajar kesebangunan

17
KESEBANGUNAN Untuk SMP Kelas IX Ika Deavy Martyaningrum (4101414013) Desinta Yosopranata (4101414008)

Transcript of Bahan Ajar kesebangunan

Page 1: Bahan Ajar kesebangunan

KESEBANGUNAN

Untuk SMP Kelas IX

Ika Deavy Martyaningrum (4101414013) Desinta Yosopranata (4101414008)

Page 2: Bahan Ajar kesebangunan

Menunjukkan perilaku ingin tahu dalam melakukan

aktivitas di rumah, sekolah, dan masyarakat sebagai

wujud implementasi mempelajari sifat-sifat segitiga

sebangun dan kongruen (KI 2)

Memahami konsep kesebangunan dan kekongruenan

geometri melalui pengamatan (KI 3)

Menyelesaikan permasalahan nyata hasil pengamatan

yang terkait penerapan kesebangunan dan

kekongruenan (KI 4)

Mengetahui 2 bidang datar

kongruen

Mengetahui 2 bidang datar

sebangun

Mengetahui Segitiga kongruen

Mengetahui Segitiga sebangun

Aplikasi kesebangunan

Bangun datar (kelas VII)

Perbandingan

Mengidentifikasi besaran-besaran bangun datar

yang berkaitan dengan bentuk dan ukuran bangun.

Mengidentifikasi dua bangun datar sebangun atau

kongruen.

Mengetahui syarat 2 bidang datar kongruen

Mengetahui syarat 2 bidang datar sebangun

Mengetahui sifat 2 bidang datar kongruen

Mengetahui sifat 2 bidang datar sebangun

Mengidentifikasi segitiga kongruen atau sebangun

Mengetahui syarat segitiga kongruen

Mengetahui syarat segitiga sebangun

Mengetahui sifat segitiga kongruen

Mengetahui sifat segitiga sebangun

Memecahkan masalah sederhana yang berkaitan

dengan kesebangunan

Page 3: Bahan Ajar kesebangunan

:

PETA KONSEP

Kesebangunan

Bangun Datar

2 bidang datar kongruen 2 bidang datar sebangun

segitiga kongruen segitiga sebangun

Syarat Sifat

Aplikasi

Page 4: Bahan Ajar kesebangunan

Persegi panjang ABCD dengan AB = 30 cm dan AD = 12 cm dibagi menjadi 4 persegi, yaitu

persegi AEMH, EBFM, HMND, dan MFCN.

Dengan melihat pada gambar di atas, maka kita mungkin bertanya, sebagai contoh, apakah

persegi panjang AEMH bentuknya sama dengan persegi panjang ABCD?

Untuk menjawab pertanyaan ini, perhatikan persegi panjang AEMH dan ABCD.

Dan kita dapatkan,

i.

=

=

;

=

=

=

=

;

=

=

ii. m = m ; m = m ; m = m ; m = m

Jadi, dapat dikatakan bahwa persegi panjang AEMH sebangun dengan persegi panjang ABCD,

dan bentuk kedua persegi panjang tersebut adalah sama.

Kita dapat menuliskan, persegi panjang AEMH ~ persegi panjang ABCD, yang dibaca “persegi

panjang AEMH sebangun dengan persegi panjang ABCD”

Bangun-Bangun Goemetri yang Sebangun A.

Dua bangun geometri dikatakan sebangun jika dan hanya jika bentuknya sama.

A B E

D C

F H M

N

6 cm

6 cm

6 cm

6 cm

15 cm 15 cm

15 cm 15 cm

12 cm

30 cm

Perhatikan gambar berikut.

Dua bangun geometri dengan sisi-sisi lurus dikatakan sebangun jika:

a. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama

b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

Lambang ~ biasa digunakan untuk menunjukkan kesebangunan.

Page 5: Bahan Ajar kesebangunan

Contoh :

AD = 2 cm, dan CD = 3 cm ; EH = 2 cm, dan GH = 4 cm.

Apakah persegi panjang ABCD sebangun dengan persegi panjang EFGH?

Jawab :

Hanya ada dua jenis sisi pada sebuah persegi panjang, yang satu disebut panjang dan yang

satu lagi disebut lebar. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah perbandingan dari panjang

terhadapa panjang dan lebar terhadap lebar. Di mana panjang adalah sisi yang lebih panjang dan

lebar adalah sisi yang lebih pendek.

Perbandingan dalam panjang =

=

Perbandingan dalam lebar =

=

= 1

Karena perbandingan dalam panjang tidak sama dengan perbandingan dalam lebar, maka

persegi panjang ABCD tidak sebangun dengan persegi panjang EFGH.

Dapat ditulis sebagai :

Persegi panjang ABCD persegi panjang EFGH

A B

D C

E F

H G

Untuk keindahan estetika, gambar yang memiliki bentuk yang sama sering digunakan dalam desain

arsitektur. Jika kita berjalan-jalan disekitar lingkangan, kita dapat menemukan bangunan dengan

desain dinding dan lantai yang memiliki gambar yang bentuk dan ukurannya identik/ sama.

Disamping tujuan keindahan gambar, bentuk yang sama juga dapat digunakan untuk memecahkan

masalah dalam situasi nyata. Misalnya untuk menentukan ketinggian pohon yang tinggi tanpa

memanjatnya atau untuk memperkirakan jarak untuk melintasi danau.

Motif batik Motif wallpaper dinding Motif ubin

Page 6: Bahan Ajar kesebangunan

Bangun datar dikatakan kongruen jika dan hanya jika bangun-bangun datar tersebut mempunyai bentuk dan

ukuran yang sama. Lambang biasa digunakan untuk menunjukkan kekongruenan.

Bangun-Bangun Goemetri yang Sama dan Sebangun (Kongruen) B.

Dua bangun geometri dengan sisi-sisi lurus adalah kongruen jika

a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang

b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

Ikuti langkah-langkah berikut ini.

1. Buatlah jajargenjang ABCD dan EFGH seperti pada gambar di bawah ini.

2. Guntinglah kedua gambar tersebut dengan mengikuti sisi-sisinya.

3. Tempelkan jajargenjang ABCD di atas jajargenjang EFGH sedemikian hingga menutup

dengan sempurna jajargenjang EFGH.

4. Sekarang perhatikan masing-masing sisi dan sudut yang saling berhimpitan.

5. Diskusikan dengan dengan teman, apakah pada kedua bangun di atas terdapat pasangan sisi-

sisi yang sama panjang dan sudut-sudut yang sama besar? Apakah kedua segitiga itu

kongruen? Jelaskan alasanmu.

A

B

D

C

E

F

H

G

1. Sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar.

2. Sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sama panjang.

Page 7: Bahan Ajar kesebangunan

Contoh :

m = 30 dan m = 150

ABCD dan EFGH adalah jajar genjang - jajar genjang. Apakah ABCD kongruen dengan EFGH?

Jawab :

AB = EF = 6 cm; CD = GH = 6 cm

BC = FG = 4 cm; DA = HE = 4 cm

m = m = 150 ; m = m = 150

m = m = 30 ; m = m = 30

Jadi, ABCD EFGH

Seni Mozaik dan Kekongruenan

Seni mozaik adalah pola yang dibentuk oleh pengulangan bentuk utama, dengan tidak saling

tumpang tindih dan tidak ada celah diantara bentuk yang diulang.

Polygon beraturan yang dapat menjadi seni mozaik adalah persegi, segitiga sama sisi dan segienam

beraturan.

Seni mozaik juga dapat dibentuk dari polygon tak beraturan atau kombinasi dari dua atau lebih

polygon beraturan.

G H

F E A

B C

D

6 cm

4 cm

6 cm

4 cm E

Page 8: Bahan Ajar kesebangunan

Banyak bentuk lain yang dikombinasikan ada dimodifikasi dari polygon yang dapat menjadi seni

mozaik.

Bentuk mozaik juga dapat ditemukan di alam. Misalnya, sarang lebah yang terdiri dari banyak sel

berbentuk segienam atau heksagonal.

Pola berulang dari bentuk kongruen biasanya juga digunakan dalam desain dan arsitektur.

Contohnya seni mozaik juga digunakan dalam gambar islami yang dapat dinikmati pada elemen

arsitektur.

Maurits Cornelis Escher (1898-1972) seniman Belanda terkenal dengan seni gambar mozaik.

Page 9: Bahan Ajar kesebangunan

Contoh :

1.

Jika persegi panjang ABCD sebangun dengan persegi panjang EFGH, maka tentukan panjang sisi

EH!

Jawab :

Perbandingan dalam lebar = perbandingan dalam panjang

=

EH = 6 x

= 9 cm

2. Pada segitiga ABC, AC = 8 cm dan m = 80 . Pada segitiga DEF, m = 40 . Jika

segitiga ABC kongruen dengan segitiga DEF, maka tentukan :

a. m

b. DF

Jawab :

a. m = m = 80

m = 180 - m - m = 180 - 40 - 80 = 60

b. DF = AC = 8 cm

Menentukan Sisi yang Belum Diketahui dari Bangun-

Bangun Geometri yang Sebangun atau Kongruen C.

A B

C D

E F

G H

A

B

C

E

D F

Page 10: Bahan Ajar kesebangunan

Dalil kekongruenan segitiga:

1. Dalil S S S (sisi sisi sisi)

Dua segitiga kongruen jika semua sisi dari segitiga yang pertama kongruen dengan semua

sisi pada segitiga yang kedua.

2. Dalil S Sd S (sisi sudut sisi)

Jika dua sisi dan sudut diantara kedua sisi tadi pada suatu segitiga kongruen dengan dua sisi

dan dan sudut diantara kedua sisi pada segitiga lainnya, maka kedua segitiga tersebut kongruen.

3. Dalil Sd S Sd (Sudut Sisi Sudut)

Jika dua sudut dan sisi diantara kedua sudut tadi pada suatu segitiga kongruen dengan dua

sudut dan sisi diantara kedua sudut pada segitiga lainnya, maka kedua segitiga tersebut

kongruen.

A B

C

Q

Segitiga-segitiga kongruen D.

𝐴𝐵 𝑃𝑄 atau 𝐴𝐵 = 𝑃𝑄

𝐵𝐶 𝑄𝑅 atau 𝐵𝐶 = 𝑄𝑅

𝐶𝐴 𝑅𝑃 atau 𝐶𝐴 = 𝑅𝑃

Maka menurut dalil S S S, segitiga ABC

kongruen dengan segitiga PQR dapat ditulis:

∆𝐴𝐵𝐶 ∆𝑃𝑄𝑅 (S S S)

Maka ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝑃𝑄𝑅, ∠𝐵𝐶𝐴 ∠𝑄𝑅𝑃,

∠𝐶𝐴𝐵 ∠𝑅𝑃𝑄

𝐴𝐵 𝑄𝑅 atau 𝐴𝐵 = 𝑄𝑅

∠𝐴 ∠𝑃 atau 𝑚∠𝐴 = 𝑚∠𝑃

𝐶𝐴 𝑃𝑄 atau 𝐶𝐴 = 𝑃𝑄

Maka menurut dalil S Sd S, segitiga ABC kongruen

dengan segitiga PQR dapat ditulis: ∆𝐴𝐵𝐶 ∆𝑃𝑄𝑅

(SSdS)

Maka: 𝐵𝐶 𝑅𝑃 , ∠𝐴𝐵𝐶 ∠𝑃𝑄𝑅, ∠𝐵𝐶𝐴 ∠𝑄𝑅𝑃

Page 11: Bahan Ajar kesebangunan

Contoh :

∠𝐴 ∠𝑃 atau 𝑚∠𝐴 = 𝑚∠𝑃

𝐴𝐵 𝑃𝑄 atau 𝐴𝐵 = 𝑃𝑄

∠𝐵 ∠𝑄 atau 𝑚∠𝐵 = 𝑚∠𝑄

Maka menurut dalil Sd S Sd, segitiga

ABC kongruen dengan segitiga PQR

dapat ditulis: ∆𝐴𝐵𝐶 ∆𝑃𝑄𝑅 (Sd S Sd)

Maka: ∠𝐵𝐶𝐴 ∠𝑄𝑅𝑃, 𝐵𝐶 𝑄𝑅 ,

𝐶𝐴 𝑅𝑃

Syarat kekongruenan pada segitiga

H

A B

C D

E F

G

ABCD.EFGH adalah sebuah

kubus. Buktikan bahwa ∆𝐵𝐻𝐷

∆𝐴𝐺𝐶!

Jawab:

Misalkan AB=a, maka:

BH = AG = a 3

HD = GC = a

BD = AC = a 2

Jadi, ∆𝐵𝐻𝐷 ∆𝐴𝐺𝐶 (SSS)

Page 12: Bahan Ajar kesebangunan

G

J

K

Mengapa Sudut Sudut Sudut bukan

merupakan dalil kekongruenan dua segitiga?

Gambarlah dua segitiga dengan (model) ruas garis dan / atau sudut yang diketahui. Gunakan jangka

untuk “memindahkan” ruas garis dan sudut yang diketahui. (Guru memberi contoh terlebih dahulu)

1.

2.

Dari komponen yang diketahui pada soal nomor (1), (2), (3) dan (4), manakah yang dapat digambar

menjadi dua segitiga yang bentuk, panjang sisi dan besar sudutnya sama pada masing-masing soal?

Berikan tanggapan / argumen dari gambar yang kamu miliki!

Untuk mengetahi jawabannya, lakukan kegiatan

berikut!

A B

C

B

A

C

5 cm

2 cm

4 cm

D E 5 cm

D F 4 cm

D 30°

3.

Titik sudut ketiga adalah titik I

4.

80°

G H 3 cm

30° H

80° L

60°

40°

J

G

Page 13: Bahan Ajar kesebangunan

Dalil kesebangunan segitiga:

1. Dua segitiga adalah sebangun jika terdapat kesesuaian antara dua sudut pada kedua segitiga

tersebut.

Contoh :

2. Dua segitiga adalah sebangun jika terdapat kesesuaian antara perbandingan panjang dua sisi dan

sudut yang terletak diantara kedua sisi tersebut pada kedua segitiga.

3. Dua segitiga adalah sebangun jika terdapat kesesuaian antara perbandingan panjang semua sisi

pada kedua segitiga.

Segitiga-segitiga sebangun E.

A B

C

K L

M

𝑚∠𝐴 = 𝑚∠𝐾

𝑚∠𝐵 = 𝑚∠𝐿

Maka 𝑚∠𝐶 = 𝑚∠𝑀

Bukti :

𝑚∠𝐴 +𝑚∠𝐵 +𝑚∠𝐶 = 180 (jumlah sudut dalam segitiga)

𝑚∠𝐶 = 180 −𝑚∠𝐴 −𝑚∠𝐵

𝑚∠𝐾 +𝑚∠𝐿 +𝑚∠𝑀 = 180 (jumlah sudut dalam segitiga)

𝑚∠𝑀 = 180 −𝑚∠𝐾 −𝑚∠𝐿

𝑚∠𝑀 = 180 −𝑚∠𝐴−𝑚∠𝐵 (𝑚∠𝐾 = 𝑚∠𝐴 dan 𝑚∠𝐿 = 𝑚∠𝑀)

𝑚∠𝑀 = 𝑚∠𝐶

𝑚∠𝐶 = 𝑚∠𝑀

A B

C

K L

M

𝐴𝐵

𝐴𝐶=

𝐾𝐿

𝐾𝑀 dan 𝑚∠𝐴 = ∠𝐾

𝐴𝐵

𝐵𝐶=

𝐾𝐿

𝐿𝑀 dan 𝑚∠𝐵 = 𝑚∠𝐿

𝐵𝐶

𝐴𝐶=

𝐿𝑀

𝐾𝑀 dan 𝑚∠𝐶 = 𝑚∠𝑀

A B

C

K L

M 𝐴𝐵

𝐾𝐿=

𝐴𝐶

𝐾𝑀=

𝐵𝐶

𝑀𝐿

Page 14: Bahan Ajar kesebangunan

Contoh :

1.

Syarat kesebangunan pada segitiga

𝛼

𝐴 B

C

D

Buktikan ∆𝐴𝐷𝐵~∆𝐴𝐵𝐶!

Jawab :

𝑚∠𝐴𝐷𝐵 = 𝑚∠𝐴𝐵𝐶 = 90

𝑚∠𝐵𝐴𝐷 = 𝑚∠𝐶𝐴𝐵 = 𝛼

Jadi, ∆𝐴𝐷𝐵~∆𝐴𝐵𝐶 (Sd Sd Sd)

Rumus-rumus yang diperoleh dari kesebangunan segitiga D.

𝐴

𝐵 𝐶

𝐷 𝐸

𝑐 𝑏

𝑒 𝑑

𝑓

𝑎

atau

atau

i) Jika garis yang memuat 𝐶𝐵 sejajar dengan 𝐶𝐵

ii) AC = b, AB = c, CE = d, BD = e, ED = a, CB = f

maka

(i)

(ii)

𝑏

𝑏 + 𝑑=

𝑐

𝑐 + 𝑒=𝑓

𝑎

𝑏

𝑑=𝑐

𝑒

𝐴𝐶

𝐴𝐸=𝐴𝐵

𝐴𝐷=𝐶𝐵

𝐸𝐷

𝑏𝑒 = 𝑑𝑐

Page 15: Bahan Ajar kesebangunan

2.

3.

𝐴

𝐵

𝐶

𝐷 𝐸

𝑐 𝑏

𝑒 𝑑

𝑓

𝛿

𝛾

Jika:

i) 𝛾 + 𝛿 = 180 atau 휀 + 𝛽 = 180

ii) AC=b, AB=c, CE=d, BD=e, ED=a, CB=f, maka:

𝐴𝐵

𝐴𝐸=𝐴𝐶

𝐴𝐷=𝐵𝐶

𝐸𝐷

𝑐

𝑏 + 𝑑=

𝑏

𝑐 + 𝑒=𝑓

𝑎 atau

𝐶 A

B

D Jika:

iv) 𝐶𝐷 =𝐶𝐴.𝐶𝐵

𝐴𝐵

v) 𝐶𝐷 = 𝐷𝐴.𝐷𝐵

vi) 𝐶𝐴 = 𝐴𝐷.𝐴𝐵

Jika ∠𝐴𝐶𝐵 adalah sudut siku-siku dan garis yang

memuat 𝐶𝐷 tegak lutus dengan garis yang memuat

𝐴𝐵 , maka:

i) 𝐶𝐵 = 𝐵𝐷.𝐵𝐴

ii) 𝐴𝐶 =𝐵𝐶.𝐶𝐷

𝐷𝐵

iii) 𝐵𝐶 =𝐶𝐴.𝐶𝐷

𝐴𝐷

𝛽

Page 16: Bahan Ajar kesebangunan

1.

2.

3.

~ Selamat Mengerjakan ~

LEMBAR EVALUASI PESERTA DIDIK KESEBANGUNAN

𝐵 C

A

D

Pada gambar di samping, segitiga ABC siku-

siku di titik B.

Garis yang memuat 𝐵𝐷 ⊥ garis yang memuat

𝐴𝐶 . Jika panjang AB = 40 cm, AC = 50 cm, dan

panjang BD adalah…

a. 18 cm

b. 24 cm

c. 30 cm

d. 32 cm

Perhatikan gambar limas di samping!

Bila garis yang memuat 𝑇𝑂 ⊥ bidang 𝐴𝐵𝐶𝐷 ,

maka dua segitiga yang kongruen adalah…

a. ∆TOG dan ∆𝑇𝑂D

b. ∆TOG dan ∆TOG

c. ∆TOH dan ∆TOG

d. ∆ADT dan ∆CDF

PQST adalah sebuah trapezium dan garis yang

memuat 𝑈𝑅 sejajar dengan garis yang memuat

𝑇𝑆 . Jika PQ=8 cm, PU=5 cm, UT=7 cm dan

TS=20cm. Carilah panjang 𝑈𝑅 !

𝑄

𝑅 𝑈

𝑆 𝑇

𝑃

5 𝑐𝑚

7 𝑐𝑚

20 𝑐𝑚

8 𝑐𝑚

𝐺

𝐻

Page 17: Bahan Ajar kesebangunan

Jawaban

1. Jawab : b

BC = − = 50 − 40 = 30 cm

BD =

=

= 24 cm

2. Jawab : c

∆EFH ∆EFG (S Sd S)

3.

𝑌 Z 8 𝑐𝑚

𝑄

𝑅 𝑈

𝑆 𝑇

𝑃

5 𝑐𝑚

7 𝑐𝑚

20 𝑐𝑚

8 𝑐𝑚

𝑋 𝑊 8 𝑐𝑚

Karena TZ=YS, maka 𝑇𝑍 = 𝑌𝑆 = −

= 6

∆𝑃𝑈𝑊~∆𝑃𝑇𝑍 (sd sd sd)

𝑈𝑊

𝑇𝑍=

𝑃𝑈

𝑃𝑈+𝑈𝑇

𝑈𝑊

=

+7 𝑈𝑊 = 6 ×

= 2,5

XR = UW =2,5

UR = UW + WX +XR = 2,5 + 8 + 2,5 = 13

Jadi , panjang 𝑈𝑅 adalah 13 cm