PERSAMAAN KUADRAT Bab 3 - Tempat Ideal mencari Ilmu · PDF fileMatematika SMA by Drs. Pundjul...

Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 12

PERSAMAAN KUADRAT

1. Bentuk Umum : 2 0, 0, , , Reax bx c a a b c al

Menyelesaikan persamaan kuadrat :

1. dg. Memfaktorkan : ))((12 qaxpaxcbxax a

= a

pqxqpax )(2

dimana : b = p + q dan a

pqc , Jika qpac dan 0 berbeda tanda

qpac dan 0 sama tanda

2. dg. Melengkapkan bentuk kuadrat ( kuadrat sempurna ) :

Untuk suatu kuadrat sempurna cbxx 2, nilai c diperoleh dengan membagi koefisien x

dengan 2, kemudian mengkuadratkan hasilnya. 22bc

3. dg. Rumus abc : 04;2

42

2

2,1

acba

acbbx

Soal Latihan

1. Nilai a ,b dan c berturut-turut dari persamaan 4dan 4,3

10

4

4

4

4

xx

x

x

x

x adalah

…

a. 1 , 10 , 256 b. 0 , 6 , -256 c. 4 , 0 , -256 d.0 , 6 , 256 e. 10 , 4 , 256

2. Jika p dan q adalah bil. Bulat positip yang memenuhi ... Nilai ,7

41122 qp

qp

a. 50 b. 100 c. 150 d. 200 e. 250

3. Jumlah tiga kali kuadrat suatu bilangan dengan 7 kali bilangan itu sama demgan 20. Jika

bilangan itu p atau q dan p<q , nilai p + 3q = …

a. –9 b. –7 c. –1 d. 1 e. 9

4. Akar-akar dari persamaan 0)()(2 prxprxrq adalah …

a. 1;rq

pr

b. 1;

rq

qp

c. 1;

qp

rq

d. 1;

qp

pr

e. 1;

rp

pq

5. Persamaan kuadrat 0132 xx mempunyai akar-akar 2121 Jika;dan xxxx , nilai dari

...2

1

x

x

a. 2

53 b.

2

53 c.

2

57 d.

2

537 e.

2

5614

2. Pemakaian Diskriminan

Bentuk Umum : D = b2

- 4ac

Fungsi Diskriminan untuk menyelidiki sifat-sifat akar persamaan kuadrat.

Jika : 1. D > 0 , maka pers.kuadrat memp. dua akar nyata dan berlainan

2. D = 0, maka pers. Kuadrat memp. 2 akar sama

3. D< 0, maka pers. Kuadrat memp. akar imajiner/tidak nyata

4.2D k , merupakan bil kuadrat sempurna yg. memp. Dua akar rasional.

3. Sifat-sifat akar pers. Kuadrat

mempunyai dua akar yg. positip 1 20; 0x x

Syarat : 1 2 1 20; 0; . 0b c

D x x x xa a

mempunyai dua akar yg. negatif 1 20; 0x x

Syarat : 1 2 1 20; 0; . 0b c

D x x x xa a

mempunyai dua akar yg. berbeda tanda 1 20; 0x x

Bab 3


Syarat : 0; 0c

Da

mempunyai dua akar yg. berlawanan 1 2x x

Syarat : 0; 0D b

mempunyai akar yg. saling berkebalikan 1

2

1x

x

Syarat : 0;D c a

Contoh :

Jika akar-akar dari 2(2 7) 3 5 0k x x , saling berkebalikan maka tentukan nilai k

Jawab :

Saling berkebalikan syarat : a = c

2k – 7 = 5

2k = 12

k = 6

4. Jumlah,Selisih dan Hasil kali akar-akar pers. Kuadrat

x 1 +x 2 =b

a x 1 . x 2 =

c

a

a

Dxx 21

21

2

21

2

2

2

1 2)( xxxxxx 21

21

21

11

xx

xx

xx

))(( 2121

2

2

2

1 xxxxxx 2

21

2

2121

4

2

4

1 )(22)( xxxxxxxx

)(3)( 2121

3

21

3

2

3

1 xxxxxxxx ))((2)( 21212121

4

2

4

1 xxxxxxxxxx

)(3)( 2121

3

21

3

2

3

1 xxxxxxxx

Contoh :

Jika akar-akar pers. 0822 axx ialah 1x dan 2x , sedangkan akar-akar persamaan

016102 pxx ialah 13x dan 24x , maka nilai p = …

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 E. 16

Jawab dg. Cerdik :

8. 21 a

cxx

pxx 164.3 21

pxx 16.12 21

12(-8)=-16p maka p = 6

5. Perbandingan Akar

Persamaan kuadrat ax2

+ bx + c = 0 mempunyai akar-akar 1x dan 2x jika 21 .xmx maka

22 )1( macmb

Contoh :

Jika akar-akar pers. 0)22()3(2 pxpx ialah 1x dan 2x , Jika p bil. Asli dan 21 3xx

maka p= …

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 7

Jawab dg. Cerdik : 22 )1( macmb

22 )13)(22(1)3(3 pp


3232)96(3 2 ppp

05143 2 pp

(3p+1)(p-5)=0

3

1p , p = 5

6. Hubungan dua persamaan kuadrat

Dua persamaan kuadrat ekuivalen (memp. Akar-akar yg. sama ) 2

1 1 1 0a x b x c

2

2 2 2 0a x b x c

maka : 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c

Dua persamaan tidak ekuivalen 2

1 1 1 0a x b x c

2

2 2 2 0a x b x c

maka : 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c

7. Menyusun Persamaan Kuadrat

Jika 21 dan xx adalah akar-akar persamaan kuadrat maka dapat disusun persamaan kuadrat

dengan dinyatakan dengan : 0))(( 21 xxxx atau 0).()( 2121

2 xxxxxx

1. Pers baru yang akar-akarnya n kali akar pers. ax2

+ bx + c = 0

ax2

+ nbx + n2

.c = 0

2. Pers baru yang akar-akarnya berkebalikan pers. ax2

+ bx + c = 0

cx2

+ bx + a = 0

3. Pers. Baru yang akar-akarnya berlawanan pers. ax2

+ bx + c = 0

ax2

- bx + c = 0

4.Pers. Baru yang akar-akarnya mx 1 dan mx 2 dari pers. ax2

+ bx + c = 0

a(x-m)2

+b(x-m)+c=0

5.Pers. Baru yang akar-akarnya 2

1x dan 2

2x dari.pers. ax2

+ bx + c = 0

0)2( 2222 cxacbxa

Contoh :

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali dari akar-akar persamaan kuadrat

01082 xx

adalah ….

A. 020162 xx B. 040162 xx C. 080162 xx

D. 0120162 xx E. 0160162 xx

Jawab dg. Cerdik :

ax2

+ nbx + n2

.c = 0

x2

+ 2.8x + 22

.10 = 0

x2

+ 16x +40 = 0

8. Persamaan harga mutlak :

Jika x adalah bilangan real maka

0 jika

0 jika

xx

xxx

Contoh :

xx 26 Tentukan akar-akar persamaan tersebut.

Jawab : 22 2)6( xx ( kuadratkan kedua ruas )


036123 2 xx

01242 xx

0)2)(6( xx

x = 6 atau x = -2 ( Ujilah x kedalam persamaan awal )

maka Hp = {6}

9. Persamaan Tak Rasional

Persamaan tak rasional adalah persamaan yang variabelnya dibawah tanda akar. Misalnya

1x memiliki nilai rasional jika 0)1( x

Contoh :

152 2 xxx ( untuk menghilangkan tanda akar maka kuadratkan kedua ruas ) 22 )1(52 xxx

062 xx

( x – 3 )( x + 2 ) = 0

x = 3 atau x = - 2 ( Uji x ke persamaan awal )

Maka Hp : {3}

10. Persamaan yang diselesaikan dengan pemisalan.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari 054 24 xx

Misal ux 2 maka persamaan akan menjadi persamaan kuadrat. 0542 uu

Maka dapat diseleaikan dengan hasil u = -5 atau u = 1

Substitusikan kembali pada pemisalan semula maka diperoleh : 1dan x 5 22 x

Jadi Hp { -1 , 1 }

Soal Latihan :

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan harga mutlak berikut :

a. 74 x b. 842 x c. xx 42

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan tak rasional berikut :

a. 3722 xxx b. 2113 xx

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut :

a. 21)2(4)2( 222 xx b. 6454 xx


Soal Latihan.

1. Persamaan (m-1)x2

+ 4x + 2m = 0 mempunyai akar-akar real, maka nilai m adalah(98) …

A. 21 m B. 12 m C. 21 m

D. 1atau 2 mm E. 2atau 1 mm

2. Persamaan 025)42( 2 xxm mempunyai akar-akar real berkebalikan, maka nilai m

adalah(97) …

A. –3 B. 3

1 C.

3

1 D. 3 E. 6

3. Persamaan

2

2

4 2

6 3

x xt

x x

memiliki 2 akar sama ( kembar ) , maka t adalah …

A. 1 22 3

dan B. 1 14 2

dan C. 3 34 2

dan D. 23

1 dan E. 32

2 dan

4. Dikatahui persamaan 042 2 axx dengan a bilangan real . Supaya didapat 2 akar

berlainan yang positip , maka haruslah …

A. a > 0 B. a<0 C. 0 < a < 2 D. 0 < a < 4 E.

42 a

5. Akar-akar persamaan 02

1 22 qpxx adalah p dan q , p + 2q = 6 dan p 0 . Nilai p – q =

A. 4 B. 2 C. –2 D. –6 E. –8

6. Akar-akar persamaan kuadrat 052 2 xx adalah dan . Persamaan kuadrat baru yang

akar-akarnya )1( dan )1( adalah …

A. 062 2 xx B. 052 2 xx C. 0132 2 xx

D. 0252 2 xx E. 0452 2 xx

7. Jika 1x dan 2x merupakan akar-akar persamaan 0,044 2 bbxx , maka

)(163

2

3

1

1

2

1

1 xxxx

berlaku untuk bb 2 sama dengan …

A. 0 atau 2 B. 6 atau 12 C. 20 atau 30 D. 42 atau 56 E. 72 atau

90

8. Akar-akar persamaan kuadrat 02 cbxx adalah 21 dan xx . Persamaan kaudrat dengan

akar-akarnya 21 xx dan 21.xx adalah …

A. 02 cbbcxx B. 02 cbbcxx C.

0)(2 bcxcbx

D. 0)(2 bcxcbx E. 0)(2 bcxcbx

9. Akar-akar persamaan kuadrat 0)35(532 axax adalah 21 dan xx , Jika

1173

2

3

1 xx , maka aa 2 sama dengan …

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0

10. Jika 0p dan akar-akar persamaan 02 qpxx adalah p dan q maka 22 qp

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E.6

11. Dalam persamaan kuadrat 0)3()1(2 2 axax dengan a konstanta . Jika selisih

kedua akarnya sama dengan 1, maka kuadrat jumlah akar-akarnya adalah …

A. 1 atau 25 B. 1 atau 5 C. 3 atau 9 D. 9 atau 81 E. 5 atau 25

12. Agar akar-akar 1x dan 2x dari persamaan kuadrat 082 2 mxx memenuhi

207 21 xx , haruslah m = …

A. –24 B. –12 C. 12 D. 18 E. 20

13. Supaya kedua akar persamaan 012 pqxpx real dan yang satu kebalikan dari yang

lain, maka haruslah …

A. q = 0 B. 1atau 0 pp C. 1atau 1 qq

D. 044 22 ppq E. 1)1(

p

p


14. Jika dalam persamaan 02 cbxcx , diketahui c < 0, maka kedua akar persamaan ini

A. Positip berlainan B. Negatif dan berlainan C. berlawanan

D. Berlawanan tanda E. tidak real

15. Jika a dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat 0532 2 xx , maka persamaan kuadrat

yang akar-akarnya - a

1 dan -

b

1adalah …

A. 0235 2 xx B. 0235 2 xx C. 0235 2 xx

D. 0235 2 xx E. 0325 2 xx

16. Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan 032 nxx sama dengan jumlah pangkat tiga

akar-akar persamaan 02 nxx , maka nilai n adalah …

A. 8 B. 6 C. –2 D. –8 E. –10

17. Akar-akar persamaan kuadrat x2

- ax + 2a - 7 = 0 adalah 1x dan 2x . Jika 2 1x - 2x = 7,

maka nilai a adalah :

A. 72

atau -2 B. 72

atau 2 C. 72

atau 2 D. 7 atau 2 E. 7 atau –2

18. Persamaan kuadrat yang masing-masing akarnya tiga kali akar persamaan kuadrat x2

+ px + q

= 0 adalah :

A. 2x2

+ 3px + 9q = 0 D. x2

- 3 px + 9q = 0

B. 2x2

+ 3px + 18q = 0 E. x2

+ 3 px + 9q = 0

C. x2 + 3px – 9q = 0

19. Jika salah satu akar persamaan kuadrat x2

- (k + 1)x + (k + 3) = adalah dua kali akar lainnya,

maka nilai k adalah :

A. 5 atau -5 B. -5 atau 52

C. 5 atau 52

D. 5 atau 52

E. -5 atau 52

20. Jika dan merupakan akar-akar persamaan x2

+ bx - 2 = 0 ,1

( )2 2

maka nilai b

: A. -4 B. – 2 C. 1 D. 2 E. 4.

21. Jika p dan q merupakan akar-akar persamaan kuadrat x 2

- 3x +1 = 0, maka persamaan

kuadrat yang akar-akarnya p

q + 1 dan 1

q

p adalah:

A. x2

+9x+9 =0 B. x2

+9x-9 =0 C. x2

-9x +9 =0 D. 9x2

+x+9 =0 E. 9x2

- x + 9 = 0

22. Jika p dan q akar-akar dan persamaan 3x2

- 2x - 5 = 0 maka persamaan yang akar-akarnya

adalah (p + 2) dan (q + 2) adalah

A. 23 11 14 0x x D.

23 14 11 0x x

B. 2 14 11 0x x E.

2 9 14 0x x

C. 2 9 14 0x x

23. Akar-akar persamaan kuadrat (p - 2)x2

+ 4x + (p+2) = 0 adalah dan . Jika

2 20 , maka p =

A. -3 atau -6 / 5 B .3 atau 5 / 6 C. -3 atau -5 / 6 D. 3 atau 6 / 5 E. -3 atau 5/6

24. Jika x 1 dan x 2 akar persamaan kuadrat x2

- (5 - a)x - 5 = 0; dan 1 2 2 6x x maka nilai a

sama dengan :

A. -2 atau 2 B. -7 atau 7 C. -3 atau 3 D. 3 atau 7 E. -3 atau 7

25. Jika dalam persamaan cx2

+ bx - c = 0 diketahui c > 0, maka kedua akar persamaan ini :

A. positif dan berlainan D. negatif dan berlainan

B. berlawanan E. berlainan tanda

C. tidak real


SOAL UNAS

Materi Pokok : Persamaan Kuadrat

1. Persamaan kuadrat x2 – 5x + 6 = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Persamaan kuadrat yang akar –

akarnya x1 – 3 dan x2 – 3 adalah ….

a. x2 – 2x = 0

b. x2 – 2x + 30 = 0

c. x2 + x = 0

d. x2 + x – 30 = 0

e. x2 + x + 30 = 0

Soal Ujian Nasional Tahun 2007

2. Diketahui sebidang tanah berbentuk persegi panjang luasnya 72 m2. Jika panjangnya tiga kali lebarnya,

maka panjang diagonal bidang tersebut adalah …m.

a. 2 6 b.6 6 c.4 15 d.4 30 e.6 15


3. Pak Musa mempunyai kebun berbentuk persegi panjang dengan luas 192 m2. Selisih panjang dan

lebarnya adalah 4 m. Apabila disekeliling kebun dibuat jalan dengan lebar 2 m, maka luas jalan tersebut

adalah …m2.

a. 96 b.128 c.144 d.156 e.168


4. Keliling segitiga ABC pada gambar adalah 8 cm. Panjang sisi AB = … cm.

a. 4 2 b.4 – 2 c.8 – 2 2 d.4 – 2 2 e.8 – 4 2

Soal Ujian Nasional Tahun 2005 kurikulum 2004

5. Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar. Agar luasnya maksimum, panjang

kerangka (p) tersebut adalah … m.

a. 16 b.18 c.20 d.22 e.24

Soal Ujian Nasional Tahun 2005 kurikulum 2004

6. Diketahui akar – akar persamaan kuadrat 2x2 – 4x + 1 = 0 adalah dan . Persamaan kuadrat baru

yang akar – akarnya

dan

adalah ….

a. x2 – 6x + 1 = 0 b.x

2 + 6x + 1 = 0 c.x

2 – 3x + 1 = 0

4. x2 + 6x – 1 = 0 e.x

2 – 8x – 1 = 0



7. Persamaan 2x2 + qx + (q – 1) = 0 mempunyai akar – akar x1 dan x2. Jika x1

2 + x2

2 = 4, maka nilai q = ….

d. – 6 dan 2 b.– 6 dan – 2 c.– 4 dan 4 d.– 3 dan 5 e.– 2 dan 6


8. Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat 2x2 – 9x + c = 0 adalah 121, maka c = ….

a. – 8 b.– 5 c.2 d.5 e.8


9. Persamaan (1 – m)x2 + ( 8 – 2m )x + 12 = 0 mempunyai akar kembar, maka nilai m = ….

a. – 2 b.2

3 c.0 d.

2

3 e.2


10. Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan kuadrat x2 + x – p = 0, p kostanta positif, maka

2

1

x

x dan

1

2

x

x

= ….

a. p

12 b. 2

1

p

c.p

12 d.

p

1 e.p

12


11. Persamaan kuadrat x2 + (m – 2)x + 9 = 0 mempunyai akar – akar nyata. Nilai m yang memenuhi adalah

….

a. m – 4 atau m 8 b.m – 8 atau m 4 c.m – 4 atau m 10

a. – 4 m 8 e.– 8 m 4


12. Peramaan kuadrat mx2 + ( m – 5 )x – 20 = 0, akar – akarnya saling berlawanan. Nilai m = ….

a. 4 b.5 c.6 d.8 e.12


13. Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan kuadrat x2 + px + 1 = 0, maka persamaan kuadrat yang akar

- akarnya

21

22

xx dan x1 + x2 adalah ….

a. x2 – 2p

2x + 3p = 0 b.x

2 + 2px + 3p

2 = 0 c.x

2 + 3px + 2p

2 = 0

a. x2 – 3px + p

2 = 0 e.x

2 + p

2x + p = 0


14. Akar – akar persamaan 2x2 + 2px – q

2 = 0 adalah p dan q. Jika p – q = 6 maka nilai pq = ….

a. 6 b. – 2 c.– 4 d.– 6 e.– 8


1. C 2. C 3. B 4. E 5. C 6. A 7. E 8. B 9. A 10. A 11. A

12.B 13. C 14. E

Tidak ada kebanggaan,

kecualiSaat mampu memecahkan persoalan

PERSAMAAN KUADRAT Bab 3 - Tempat Ideal mencari Ilmu · PDF fileMatematika SMA by Drs. Pundjul...

Documents

Transcript of PERSAMAAN KUADRAT Bab 3 - Tempat Ideal mencari Ilmu · PDF fileMatematika SMA by Drs. Pundjul...