Rumus Matematika yang kali ini menjadi topik pembahasan kita yaitu persamaan kuadrat, semoga

penjelasan tentang persamaan kuadrat yang saya berikan kali ini dapat dengan mudah dipahami.

Persamaan Kuadrat merupakan suatu persamaan polinomial berorde 2 dengan bentuk umum dari

persamaan kuadrat yaitu y=ax²+bx+c  dengan a≠0 dan  koefisien kuadrat a merupakan koefisien dari

x², koefisien linear b merupakan koefisien dari x sedangkan c adalah koefisien konstan atau biasa

juga disebut suku bebas. Nilai koefisien a,b dan c ini yang menentukan bagaimana bentuk parabola

dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

a menentukan seberapa cekung/cembung, jika nilai a>0 maka parabola akan terbuka keatas.

Begitu juga sebaliknya jika a<0 maka parabola akan terbuka kebawah.

 

b menentukan posisi x puncak parabola atau sumbu simetri dari kurva yang dibentuk, dengan

posisi tepatnya -b/2a.

 

c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau pada saat x=0.

Rumus Kuadratis

Rumus ini biasa disebut juga dengan rumus abc, disebut demikian karena digunakan untuk

menghitung akar-kar persamaan kuadrat yang tergantung nilai-nilai a, b dan c.

 dengan pembuktian sebagai berikut.

Dari bentuk umum persamaan kuadrat,

bagi kedua ruas untuk mendapatkan 

Pindahkan   ke ruas kanan

sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa digunakan di ruas kiri.

Pindahkan   ke ruas kanan

lalu samakan penyebut di ruas kanan.

Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul

tanda plus-minus di ruas kanan.

Pindahkan   ke ruas kanan

sehingga didapat rumus kuadrat

Pada rumus abc diatas terdapat istilah diskriminan atau determinan yaitu notasi dalam tanda akar b²-

4ac yang terkadang dinotasikan dengan huruf D.

Persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki sebuah atau dua buah akar yang

berbeda dimana akar-akarnya dapat berupa bilangan riil atau bilangan kompleks. Terdapat 3

kemungkinan kasus :

1. Diskriminan bersifat positif, maka akan terdapat dua akar berbeda dan keduanya riil. Untuk

persamaan kuadrat yang koefisiennya berupa bilangan bulat dan diskriminanya adalah kuadrat

sempurna maka akar-akarnya adalah bilangan rasional, atau sebaliknya dapat pula merupakan

bilangan irasional kuadrat.

2. Diskriminan bernilai 0 maka akan terdapat eksak satu akar dan riil. Hal ini terkadang disebut

sebagi akar ganda, dimana nilainya adalah

3. Diskriminan bernilai negatif  maka tidak terdapat akar riil melainkan terdapat 2 buah akar

kompleks yang satu sama lain merupakan konjuget kompleks.

dan

Jadi dapat disimpulkan akan diperoleh akar-akar berbeda jika dan hanya jika D≠0 dan akan diperoleh

akar-akar riil jika dan hanya jika D>0.

Terdapat 3 cara dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu :

1. Memfaktorkan, untuk bentuk persamaan kuadrat ax²+bx+c=0 maka kita harus menentukan dua

buah bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya b dan dikalikan menghasilkan c.

2. Melengkapkan kuadrat sempurna, merubah bentuk persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat

sempurna.

3. Menggunakan rumus abc.

contoh :

1. Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat  x²-5x+6=0 !

Jawab :

x2 – 5 x + 6 = 0  (cara memfaktorkan)

<=> ( x-2 ) ( x-3 ) = 0

<=> x- 2 = 0 atau x – 3 = 0

<=> x = 2     atau x = 3

Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {2, 3}

 

2.  Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x2 + 2x – 15 = 0 !

Jawab    :         x2 + 2x – 15 = 0  (cara melengkapkan kuadrat sempurna)

x2 + 2x = 15

Agar x2 + 2x menjadi bentuk kuadrat sempurna maka harus ditambah dengan kuadrat dari setengah

koefisien (½ .2)2 = 1

Dengan menambahkan 1 pada kedua ruas, diperoleh :

x2 + 2x + 1 = 15 + 1

<=>     (x + 1)2 = 16

<=>     x + 1 = ± √16

<=>     x + 1 =  ± 4

<=>     x + 1 = 4 atau x + 1 = -4

<=>     x = 4 – 1 atau x = -4 -1

<=>     x = 3 atau x = -5

Sehingga  himpunan penyelesaiannya adalah {3, -5}

 

3.  Tentukan  himpunan penyelesaian persamaan x2 + 4x – 12 = 0 !

Penyelesaian :      (menggunakan rumus abc)

Berdasarkan persamaan diketahui bahwa   a =1,  b = 4, c = -12 selanjutnya koefisien tersebut kita

masukkan dalam rumus abc.

x1,2 = (- b ± √b2 – 4ac) /2a

<=>     x1,2 =(  - 4  ± √42 – 4 . 1. (-12) )/2.1

<=>     x1,2 =  (- 4  ± √16 + 48)/2

<=>     x1,2 =  (- 4  ± √64)/2

<=>     x1,2 =  (- 4  ± 8)/2

<=>     x1,2 =  (- 4  +  8) /2           atau        x1,2 =  (- 4   –  8 )/2

<=>     x1 = 2                        atau       x2 = -6

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2,-6}

 

4.  Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5?

Jawab :

Cara 1 :    Memakai faktor, dengan memasukkan nilai akar kedalam rumus     (x-x1) (x-x2) = 0 

x1 = 2 dan x2 = 5

Maka   (x-x1) (x-x2) = 0

<=>     (x-2) (x-5) =  0

<=>     x2 – 7x + 10 = 0

Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0

Cara 2   : Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar yaitu     x2 – (x1+x2)x + x1.x2 = 0

x1 = 2 dan x2 = 5

Maka   x2 – (x1+x2)x + x1.x2 = 0

Dengan (x1 + x2) = 2 + 5 = 7

x1. x2 = 2.5 = 10

Jadi persamaan kuadratnya x2 – 7x + 10 = 0

Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar diperoleh dari  penjumlahan dan perkalian rumus abc,

perhatikan penjelasan berikut ini.

x1 + x2 =  - b   + √ b2 – 4ac    +  – b   – √ b2 – 4ac   

                               2a                              2a

 

=   -2b/a

=     -b/a

x1 .x2  =  - b   + √ b2 – 4ac    .  – b   – √ b2 – 4ac   

                              2a                           2a

 

= ( b2 – (b2 – 4 ac)) / 4a2

=  4ac /4a2

= c/a

Dari rumus umum persamaan kuadrat  y=ax²+bx+c=0, jika kita mencari akar-akar menggunakan

pemfaktoran b diperoleh dari penjumlahan akar-akar dan c diperoleh dari perkalian akar-akar ( baca

kembali metode penyelesaikan persamaan kuadrat diatas) sehingga kita dapat memperoleh

pernyataan

x2 – (x1   + x2) x + x1.x2 = 0