Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

KALKULUS LANJUT

Yunita S. Anwar

Universitas Mataram

10 September 2015

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Silabus

SILABUS:

1 Turunan dalam ruang dimensi-n

Fungsi MultivariabelLimit, Kekontinuan, KeterdiferensialanTurunan berarah, Gradien, Aturan Rantai, Bidang SinggungMaksimum dan Minimum, Metode Lagrange

2 Integral dalam ruang dimensi-n

Integral Lipat pada daerah segiempat dan bukan segiempatIntegral Lipat dalam koordinat polar

3 Deret Taylor dan Maclurin

REFERENSI:

1 Kalkulus, D.Varberg dan E.J.Purcell

2 Kalkulus, J.Stewart

3 Kalkulus, Koko Martono

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Silabus

SILABUS:

1 Turunan dalam ruang dimensi-n

Fungsi MultivariabelLimit, Kekontinuan, KeterdiferensialanTurunan berarah, Gradien, Aturan Rantai, Bidang SinggungMaksimum dan Minimum, Metode Lagrange

2 Integral dalam ruang dimensi-n

Integral Lipat pada daerah segiempat dan bukan segiempatIntegral Lipat dalam koordinat polar

3 Deret Taylor dan Maclurin

REFERENSI:

1 Kalkulus, D.Varberg dan E.J.Purcell

2 Kalkulus, J.Stewart

3 Kalkulus, Koko Martono

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Silabus

SILABUS:

1 Turunan dalam ruang dimensi-n

Fungsi MultivariabelLimit, Kekontinuan, KeterdiferensialanTurunan berarah, Gradien, Aturan Rantai, Bidang SinggungMaksimum dan Minimum, Metode Lagrange

2 Integral dalam ruang dimensi-n

Integral Lipat pada daerah segiempat dan bukan segiempatIntegral Lipat dalam koordinat polar

3 Deret Taylor dan Maclurin

REFERENSI:

1 Kalkulus, D.Varberg dan E.J.Purcell

2 Kalkulus, J.Stewart

3 Kalkulus, Koko Martono

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Silabus

SILABUS:

1 Turunan dalam ruang dimensi-n

Fungsi MultivariabelLimit, Kekontinuan, KeterdiferensialanTurunan berarah, Gradien, Aturan Rantai, Bidang SinggungMaksimum dan Minimum, Metode Lagrange

2 Integral dalam ruang dimensi-n

Integral Lipat pada daerah segiempat dan bukan segiempatIntegral Lipat dalam koordinat polar

3 Deret Taylor dan Maclurin

REFERENSI:

1 Kalkulus, D.Varberg dan E.J.Purcell

2 Kalkulus, J.Stewart

3 Kalkulus, Koko Martono

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Silabus

SILABUS:

1 Turunan dalam ruang dimensi-n

Fungsi MultivariabelLimit, Kekontinuan, KeterdiferensialanTurunan berarah, Gradien, Aturan Rantai, Bidang SinggungMaksimum dan Minimum, Metode Lagrange

2 Integral dalam ruang dimensi-n

Integral Lipat pada daerah segiempat dan bukan segiempatIntegral Lipat dalam koordinat polar

3 Deret Taylor dan Maclurin

REFERENSI:

1 Kalkulus, D.Varberg dan E.J.Purcell

2 Kalkulus, J.Stewart

3 Kalkulus, Koko Martono

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Silabus

SILABUS:

1 Turunan dalam ruang dimensi-n

Fungsi MultivariabelLimit, Kekontinuan, KeterdiferensialanTurunan berarah, Gradien, Aturan Rantai, Bidang SinggungMaksimum dan Minimum, Metode Lagrange

2 Integral dalam ruang dimensi-n

Integral Lipat pada daerah segiempat dan bukan segiempatIntegral Lipat dalam koordinat polar

3 Deret Taylor dan Maclurin

REFERENSI:

1 Kalkulus, D.Varberg dan E.J.Purcell

2 Kalkulus, J.Stewart

3 Kalkulus, Koko Martono

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Silabus

SILABUS:

1 Turunan dalam ruang dimensi-n

Fungsi MultivariabelLimit, Kekontinuan, KeterdiferensialanTurunan berarah, Gradien, Aturan Rantai, Bidang SinggungMaksimum dan Minimum, Metode Lagrange

2 Integral dalam ruang dimensi-n

Integral Lipat pada daerah segiempat dan bukan segiempatIntegral Lipat dalam koordinat polar

3 Deret Taylor dan Maclurin

REFERENSI:

1 Kalkulus, D.Varberg dan E.J.Purcell

2 Kalkulus, J.Stewart

3 Kalkulus, Koko Martono

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Fungsi Multivariabel

Definisi

Fungsi f dari dua variabel adalah aturan yang memberikan dengantunggal kepada masing-masing pasangan terurut bilangan real (x , y)didalam himpunan D sebuah bilangan real yang dinyatakan f (x , y)

Himpunan D disebut daerah asal dan daerah nilainya{f (x , y)|(x , y) D}z = f (x , y) dengan variabel bebas x dan y , variabel tak bebas z

Example

Contoh Tentukan daerah asal fungsi multivariabel:

1 f (x , y) =y2 x

2 g(x , y) =

9 x2 y23 h(x , y) = ln(x+y+1)yx

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Fungsi Multivariabel

Definisi

Fungsi f dari dua variabel adalah aturan yang memberikan dengantunggal kepada masing-masing pasangan terurut bilangan real (x , y)didalam himpunan D sebuah bilangan real yang dinyatakan f (x , y)

Himpunan D disebut daerah asal dan daerah nilainya{f (x , y)|(x , y) D}z = f (x , y) dengan variabel bebas x dan y , variabel tak bebas z

Example

Contoh Tentukan daerah asal fungsi multivariabel:

1 f (x , y) =y2 x

2 g(x , y) =

9 x2 y23 h(x , y) = ln(x+y+1)yx

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Fungsi Multivariabel

Definisi

Fungsi f dari dua variabel adalah aturan yang memberikan dengantunggal kepada masing-masing pasangan terurut bilangan real (x , y)didalam himpunan D sebuah bilangan real yang dinyatakan f (x , y)

Himpunan D disebut daerah asal dan daerah nilainya{f (x , y)|(x , y) D}

z = f (x , y) dengan variabel bebas x dan y , variabel tak bebas z

Example

Contoh Tentukan daerah asal fungsi multivariabel:

1 f (x , y) =y2 x

2 g(x , y) =

9 x2 y23 h(x , y) = ln(x+y+1)yx

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Fungsi Multivariabel

Definisi

Fungsi f dari dua variabel adalah aturan yang memberikan dengantunggal kepada masing-masing pasangan terurut bilangan real (x , y)didalam himpunan D sebuah bilangan real yang dinyatakan f (x , y)

Himpunan D disebut daerah asal dan daerah nilainya{f (x , y)|(x , y) D}z = f (x , y) dengan variabel bebas x dan y , variabel tak bebas z

Example

Contoh Tentukan daerah asal fungsi multivariabel:

1 f (x , y) =y2 x

2 g(x , y) =

9 x2 y23 h(x , y) = ln(x+y+1)yx

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Fungsi Multivariabel

Definisi

Fungsi f dari dua variabel adalah aturan yang memberikan dengantunggal kepada masing-masing pasangan terurut bilangan real (x , y)didalam himpunan D sebuah bilangan real yang dinyatakan f (x , y)

Himpunan D disebut daerah asal dan daerah nilainya{f (x , y)|(x , y) D}z = f (x , y) dengan variabel bebas x dan y , variabel tak bebas z

Example

Contoh Tentukan daerah asal fungsi multivariabel:

1 f (x , y) =y2 x

2 g(x , y) =

9 x2 y23 h(x , y) = ln(x+y+1)yx

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Latihan

Tentukan daerah asal dari fungsi-fungsi berikut:

1 f (x , y) =x +y

2 g(x , y) = 3x+5yx2+y243 h(x , y) =

x2 + y2 1 + ln(4 x2 y2)

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Grafik

Salah satu cara menvisualisasikan perilaku fungsi adalah denganmeninjau grafiknya

Definisi

Jika f adalah fungsi dua variabel dengandaerah asal D, maka grafik f adalahhimpunan semua titik (x , y , z) di R3sedemikian hingga z = f (x , y) dan (x , y)berada di D atau

S = {(x , y , z)|z = f (x , y), (x , y) D}

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Grafik

Salah satu cara menvisualisasikan perilaku fungsi adalah denganmeninjau grafiknya

Definisi

Jika f adalah fungsi dua variabel dengandaerah asal D, maka grafik f adalahhimpunan semua titik (x , y , z) di R3sedemikian hingga z = f (x , y) dan (x , y)berada di D atau

S = {(x , y , z)|z = f (x , y), (x , y) D}

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Grafik

Salah satu cara menvisualisasikan perilaku fungsi adalah denganmeninjau grafiknya

Definisi

Jika f adalah fungsi dua variabel dengandaerah asal D, maka grafik f adalahhimpunan semua titik (x , y , z) di R3sedemikian hingga z = f (x , y) dan (x , y)berada di D atau

S = {(x , y , z)|z = f (x , y), (x , y) D}

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Contoh

1 Sketsa grafik f (x , y) = 6 3x 2y

2 Sketsa grafik f (x , y) =

9 x2 y23 Sketsa grafik f (x , y) = x2 4y2

Jejak permukaan dengan bidangXOY : sepasang garis x = 2yJejak permukaan dengan bidangYOZ : parabol z = 4y 2Jejak permukaan dengan bidangXOZ : parabol z = x2

Jejak permukaan dengan bidangsejajar XOY : hiperbolx2 4y 2 = k

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Contoh

1 Sketsa grafik f (x , y) = 6 3x 2y2 Sketsa grafik f (x , y) =

9 x2 y2

3 Sketsa grafik f (x , y) = x2 4y2

Jejak permukaan dengan bidangXOY : sepasang garis x = 2yJejak permukaan dengan bidangYOZ : parabol z = 4y 2Jejak permukaan dengan bidangXOZ : parabol z = x2

Jejak permukaan dengan bidangsejajar XOY : hiperbolx2 4y 2 = k

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Contoh

1 Sketsa grafik f (x , y) = 6 3x 2y2 Sketsa grafik f (x , y) =

9 x2 y2

3 Sketsa grafik f (x , y) = x2 4y2

Jejak permukaan dengan bidangXOY : sepasang garis x = 2yJejak permukaan dengan bidangYOZ : parabol z = 4y 2Jejak permukaan dengan bidangXOZ : parabol z = x2

Jejak permukaan dengan bidangsejajar XOY : hiperbolx2 4y 2 = k

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Contoh

1 Sketsa grafik f (x , y) = 6 3x 2y2 Sketsa grafik f (x , y) =

9 x2 y2

3 Sketsa grafik f (x , y) = x2 4y2

Jejak permukaan dengan bidangXOY : sepasang garis x = 2yJejak permukaan dengan bidangYOZ : parabol z = 4y 2Jejak permukaan dengan bidangXOZ : parabol z = x2

Jejak permukaan dengan bidangsejajar XOY : hiperbolx2 4y 2 = k

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Kurva Ketinggian atau Kontur

Definisi

Kurva ketinggian dari f (x , y) adalah kurva-kurva dengan persamaanf (x , y) = k, dengan k adalah konstanta

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Kurva Ketinggian atau Kontur

Definisi

Kurva ketinggian dari f (x , y) adalah kurva-kurva dengan persamaanf (x , y) = k, dengan k adalah konstanta

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Permukaan curam terdapat pada tempat dimana kurvaketinggiannya saling berdekatan

Kurva agak rata di pada tempat dimana mereka berjauhan

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Permukaan curam terdapat pada tempat dimana kurvaketinggiannya saling berdekatan

Kurva agak rata di pada tempat dimana mereka berjauhan

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Latihan

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi Multivariabel

Kurva Ketinggian

Latihan

Yunita S. Anwar KALKULUS LANJUT

Silabus dan ReferensiFungsi MultivariabelKurva Ketinggian