1

Kuliah Ke-815.7 Nilai Maksimum dan Minimum15.8 Pengali Lagrange

Tujuan Instruksional : Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa akan dapat menentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi variabel banyak, serta menggunakan pengali Lagrange untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minimum dengan kendala.

Prasyarat: yang diperlukan adalah pengetahuan tentang nilai maksimum dan minimum fungsi satu variabel.

2

PretestI. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum global

fungsi f dengan :

]0,2[;1

)().

]4,0[;2710)().

2

3

xx

xxfb

xxxfa

II. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum lokal fungsi f dengan :

2

32

)1()().

35)().

x

xxfb

xxxfa

3

15.7 Nilai Maksimum dan Minimum

Definisi Nilai Ekstrim:

Jika f(x,y) ≤ f(a,b) ketika (x,y) dekat (a,b) maka f(a,b) disebut nilai maksimum lokal.

Jika f(x,y) ≥ f(a,b) ketika (x,y) dekat (a,b) maka f(a,b) disebut nilai minimum lokal.

Catatan :Jika definisi di atas berlaku untuk semua (x,y) dalam Df maka f mempunyai maksimum mutlak (minimum mutlak) di (a,b).

4

Teorema (Uji Turunan Pertama) :Jika f mempunyai maksimum atau minimum lokal di (a,b) dan turunan parsial orde satu di (a,b) ada, maka fx(a,b) dan fy(a,b) = 0.

Definisi Titik Kritis:

Titik (a,b) disebut titik kritis, bila:fx(a,b) = 0 atau fx(a,b) tidak ada fy(a,b) = 0 atau fy(a,b) tidak ada

5

Teorema (Uji Turunan Kedua) :Misal turunan parsial kedua dari f kontinu pada cakram dengan pusat (a,b) dan misalkan fx(a,b) dan fy(a,b) = 0. D = D(a,b) = fxx(a,b) fyy(a,b) – [fxy(a,b)]2

yyxy

xyxx

ff

ffD .3

a). Jika D > 0 dan fxx(a,b) > 0, maka f(a,b) minimum lokal.b). Jika D > 0 dan fxx(a,b) < 0, maka f(a,b) maksimum lokal.c). Jika D < 0 maka f(a,b) bukan maksimum dan minimum lokal.

Catatan :1. Pada (c) titik (a,b) disebut titik pelana f.2. Jika D = 0, maka tidak ada kesimpulan.

6

Contoh : Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal serta titik pelana fungsi f berikut. xyyxf ),(

0),(

0),(

xyxf

yyxf

y

xJawab:

Dalam hal ini titik (0,0) adalah satu-satunya titik kritis

,0)0,0(,1)0,0(,0)0,0(

0),(1),(0),(

yyxyxx

yyxyxx

fff

yxfyxfyxf

Untuk titik (0,0) diperoleh D= -1, jadi (0,0) adalah ttk pelana

7

xyyxfGambar ),(:

8

Contoh : Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal serta titik pelana fungsi f berikut. yxyxyxf 493),( 23

042),(

099),( 2

yyxf

xyxf

y

xJawab:

Dalam hal ini titik (1,-2) dan (-1,-2) adalah titik kritis

,2)2,1(,0)2,1(,18)2,1(

,2)2,1(,0)2,1(,18)2,1(

2),(0),(18),(

yyxyxx

yyxyxx

yyxyxx

fff

fff

yxfyxfxyxf

Untuk titik (1,-2) diperoleh D= 36, jadi (1,-2) adalah minimum

Untuk titik (-1,-2) diperoleh D= -36, jadi (-1,-2) adalah pelana

9

Contoh : Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal serta titik pelana fungsi f berikut. 4),( 222 yxyxyxf

02),(

0)1(222),(2

xyyxf

yxxyxyxf

y

xJawab:

Dalam hal ini titik (0,0), (±√2,-1) adalah titik kritis

,2)1,2(,22)1,2(,2)1,2(

,2)1,2(,22)1,2(,2)1,2(

,2)0,0(,0)0,0(,2)0,0(

2),(2),(22),(

yyxyxx

yyxyxx

yyxyxx

yyxyxx

fff

fff

fff

yxfxyxfyyxf

Untuk titik (0,0) diperoleh D= 4, jadi (0,0) adalah minimum

Untuk titik (-√2,-1) diperoleh D= -4, jadi (-√2,-1) adalah pelana

Untuk titik (√2,-1) diperoleh D= -4, jadi (√2,-1) adalah pelana

10

Contoh : Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal serta titik pelana fungsi f berikut. 2333),( 2223 yxyxyyxf

0363),(

0)1(666),(22

xyyyxf

yxxyxyxf

y

xJawab:

Dalam hal ini titik (0,0), (0,2), (-1,1), (1,1) adalah titik kritis

6)1,1(,6)1,1(,0)2,0(,0)0,0(

0)1,1(,0)1,1(,6)2,0(,6)0,0(

0)1,1(,0)1,1(,6)2,0(,6)0,0(

66),(6),(66),(

xyxyxyxy

yyyyyyyy

xxxxxxxx

yyxyxx

ffff

ffff

ffff

yyxfxyxfyyxf

Untuk titik (0,0) diperoleh D= 36, jadi (0,0) adalah maksimum

Untuk titik (0,2) diperoleh D= 36, jadi (0,2) adalah minimum

Untuk titik (-1,1) diperoleh D= -36, jadi (-1,1) adalah pelana

Untuk titik (1,1) diperoleh D= -36, jadi (1,1) adalah pelana

11

2333),(: 2223 yxyxyyxfGambar

12

Nilai Maksimum dan Minimum Mutlak (Selang Tertutup)

Analog dengan nilai ekstrim global fungsi satu variabel di selang tutup [a,b].

Teorema (Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel) :

Jika f kontinu pada himpunan tertutup dan terbatas,D R2, maka f mencapai nilai maksimum mutlak f(x1,y1) di (x1,y1) D dan mencapai nilai minimum mutlak f(x2,y2) di (x2,y2) D.

13

Langkah-langkah mencari maksimum dan minimum mutlak fungsi kontinu pada himpunan tertutup dan terbatas :1. Tentukan titik kritis dalam D.2. Tentukan nilai ekstrim f pada perbatasan D.3. f(x0,y0) terbesar maksimum mutlak. f(x0,y0) terkecil minimum mutlak.

Catatan :• Himpunan terbatas dalam R2 adalah himpunan yang memiliki

jangkauan berhingga.• Himpunan tertutup dan tidak tertutup

Tertutup

Tidak tertutup-5 < x < 3 1 < y < 6

-5 ≤ x ≤ 3 1 ≤ y ≤ 6

14

Contoh 2.Tentukan nilai maksimum dan minimum mutlak pada Df(x,y) = x2 + y2 + x2y + 4 , D = {(x,y) | |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}.

15

02),(

0)1(222),(2

xyyxf

yxxyxyxf

y

xJawab:

Titik (0,0) adalah titik kritis, tetapi (±√2,-1) bukan titik kritisAda 4 batas yang harus diperiksa : x= ± 1, y = ± 1

Untuk x = -1, f(-1,y) = 1 + y2 + y + 4 = y2 + y +5 , |y| ≤ 1,TK : y = -0.5 , f(-1,-0.5) = 4.75TUS: y = -1 dan y = 1, f(-1,-1) = 5, f(-1,1) = 7

Untuk x = 1, f(1,y) = 1 + y2 + y + 4 = y2 + y +5 , |y| ≤ 1TK : y = -0.5 , f(1,-0.5) = 4.75TUS: y = -1 dan y = 1, f(1,-1) = 5, f(1,1) = 7

16

Pada titik (0,0) nilai f(x,y) = f(0,0) = 4

Pada batas : x = -1, nilai terbesar = 7 , nilai terkecil = 4.75

Pada batas : x = 1, nilai terbesar = 7 , nilai terkecil = 4.75

Pada batas : y = -1, nilai terbesar = 5 , nilai terkecil = 5

Pada batas : y = 1, nilai terbesar = 7 , nilai terkecil = 5

Untuk y = -1, f(x,-1) = x2 + 1 –x2 + 4 = 5 TUS: x = -1 dan x = 1, f(1,-1) = 5, f(1,-1) = 5

Untuk y = 1, f(x,1) = x2 + 1 + x2 + 4 = 2x2 +5 TK : x = 0 , f(0,1) = 5TUS: x = -1 dan x = 1, f(-1,1) = 7, f(1,1) = 7

Jadi Maksimum global 7, minimum global 4

17

15.8 Pengali Lagrange

Menentukan nilai maksimum atau minimum dari fungsi f(x,y,z) dengan kendala g(x,y,z) = k.

Kasus 1 Kendala :a). Tentukan titik (x,y,z) D sehingga Of(x,y,z) = λ Og(x,y,z) dan g(x,y,z) = k.b). Hitung nilai fungsi f di semua titik (x,y,z) dari (a). Terbesar → nilai maksimum f, Terkecil → nilai minimum f

Catatan :Of(x,y,z) = λ Og(x,y,z) dan g(x,y,z) = k berakibat:

fx(x,y,z) = λ gx(x,y,z) fy(x,y,z) = λ gy(x,y,z)

fz(x,y,z) = λ gz(x,y,z) g(x,y,z) = k

18

Contoh: Berapa luas terbesar siku empat yang panjang diagonalnya 2?

Jawab: Panjang diagonal:

222 yx

Berarti harus dicari nilai maksimum dengan kendala

xyyxf ),(

222 yx

Of(x,y) = λ Og(x,y) dan x2 + y2 = 4.Persamaan yang harus diselesaikan:y = λ (2x) ; x = λ (2y) ; x2 + y2 = 4.y2 = λ (2xy) ; x2 = λ (2xy) → x2 = y2 → x = y = √2 dan λ = 0.5

Jadi nilai maksimum adalah f(√2 , √2 ) = 2

19

Kasus 2 Kendala : a). Tentukan titik (x,y,z) D, sehingga O f(x,y,z) = λ O g(x,y,z) +

µ O h(x,y,z) dengan g(x,y,z) = k dan h(x,y,z) = c. b). Hitung f di semua titik (x,y,z) dari (a).

Terbesar → nilai maksimum f, Terkecil → nilai minimum f

Catatan :O f(x,y,z) = λ O g(x,y,z) + µ O h(x,y,z) dengan g(x,y,z) = k dan h(x,y,z) = c berakibat:

fx(x,y,z) = λ gx(x,y,z) + µ hx(x,y,z) fy(x,y,z) = λ gy(x,y,z) + µ hy(x,y,z) fz(x,y,z) = λ gz(x,y,z) + µ hz(x,y,z) g(x,y,z) = k h(x,y,z) = c

20

Contoh: Maksimumkan

dengan kendala dan

berarti harus siselesaikan persamaan-persamaan berikut:

21

Lebih lanjut,

sehingga,

Untuk kasus

Bila disubstitusikan ke persamaan menjadi:

dan

22

Nilai fungsi pada titik-titik tersebut adalah:

dan

Bila disubstitusikan ke persamaan menjadi:

maks

min

23

Latihan:

1. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f dengan f(x,y) = x2y, dengan kendala x2 +2y2 = 6.

2. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f dengan f(x,y,z) = yz + xy dengan kendala xy = 1 dan x2 + y2 = 1.

3. Tentukan volume maksimum dan minimum dari kotak persegi panjang yang luas permukaannya 1500 cm2 dan panjang sisi totalnya 200 cm.

24

Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum

lokal serta titik pelana dari fungsi berikut :

Post Test

xy

yxyxyxf

yxxyyxf

yxyxyxf

8),(.3

2),(.2

4),(.1

22

222

I.

25

1. Carilah jarak terpendek dari titik (2,-2,3) ke bidang 6x + 4y – 3z = 2.

2. Carilah tiga bilangan positif yang jumlahnya 100 dan hasil kalinya maksimum.

3. Cari ukuran kotak persegi panjang dengan volume maksimum sehingga jumlah panjang 12 rusuknya adalah konstanta c.

II.

26

III. Tentukan nilai maksimum dan minimum mutlak f pada D

50,90|),(;6),(.2

1|),(;2),(.12

2243

yxyxDyxyxyyxf

yxyxDyxyxf

IV. Gunakan pengali Lagrange untuk mencari nilai maksimum dan minimum fungsi f terhadap kendala yang diberikan.

14 kendala ; ),( .3

1dan 1 kendala ; ),,( .2

62 kendala ; ),( .1

22

22

222

yxeyxf

zyxyxyyzzyxf

yxyxyxf

xy

27

Latihan 15.7 (hal 406 – 408)

Nomor : 4, 6, 13, 15, 27

32, 37, 44, 48, 51

Latihan 15.8 (hal 417 – 418)

Nomor : 1, 6, 9, 13, 16, 19

23, 38, 39, 42