Catatan Kuliah BAB V. INTEGRAL · Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB V. INTEGRAL ......

Hendra Gunawan, Ph.D. / Departemen Matematika ITB

MA1123 KALKULUS ELEMENTER ICatatan Kuliah

BAB V. INTEGRAL

• Anti-turunan dan Integral Tak Tentu• Persamaan Diferensial Sederhana• Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva• Integral Tentu• Teorema Dasar Kalkulus• Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut• Substitusi dalam Penghitungan Integral Tentu



Anti-turunan dan Integral Tak Tentu

Fungsi F disebut anti-turunan f pada I apabilaF’(x) = f(x)

untuk setiap x є I. Sebagai contoh, F(x) = x4 + 1 adalahanti-turunan f(x) = 4x3 pada R. Secara umum, keluargafungsi F(x) = x4 + C merupakan anti-turunan f(x) = 4x3

pada R, karena F’(x) = 4x3 = f(x) untuk setiap x є R.

Keluarga fungsi anti-turunan f(x) disebut integral taktentu dari f(x), dan dilambangkan dengan ∫ f(x) dx. Jadi, sebagai contoh,

∫ 4x3 dx = x4 + C.



Secara grafik, keluarga fungsi anti-turunan f(x) adalah keluarga fungsi yang anggotanya merupakanpergeseran ke atas atau ke bawah dari anggotalainnya. Semua anggota keluarga fungsi tersebutmempunyai turunan yang sama, yaitu f(x).

Keluarga fungsi yang turunannya sama



Terkait dengan perbendaharaan turunan yang telahkita pelajari sebelumnya, kita mempunyai beberapateorema berikut tentang integral tak tentu.

Teorema 1 (Aturan Pangkat). Jika r є Q dan r ≠ -1, maka ∫ xr dx = xr+1/(r+1) + C.

Contoh 1(a) ∫ x2 dx = x3/3 + C. (b) ∫ x-2 dx = - x-1 + C.

Teorema 2 (Integral Tak Tentu sin x dan cos x)∫ sin x dx = - cos x + C;∫ cos x dx = sin x + C.



Teorema 3 (Kelinearan Integral Tak Tentu)Jika f dan g fungsi dan k adalah konstanta, maka

∫ k.f(x) dx = k.∫ f(x) dxdan

∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx.

Contoh 3. ∫ (6x2 + 1) dx = 2 ∫ 3x2 dx + ∫ 1 dx = 2.x3 + x + C.

Teorema 4 (Aturan Pangkat yang Diperumum)Jika r є Q dan r ≠ -1 dan g adalah fungsi yang mem-punyai turunan, maka

∫ [g(x)]r.g’(x) dx = [g(x)]r+1/(r+1) + C.



Contoh 4. ∫ (x2 + 1)5.2x dx = (x2 + 1)6/6 + C. (Di sini kita menerapkan Aturan Pangkat yang Diperumum dengan g(x) = x2 + 1, g’(x) = 2x.)

Contoh 5. Jika g(x) = sin x, maka g’(x) = cos x. Jadi, menurut Aturan Pangkat yang Diperumum,kita peroleh

∫ sin x.cos x dx = (sin x)2/2 + C.

Latihan. Tentukan integral tak tentu di bawah ini.1. ∫ (x2 + x-2) dx.2. ∫ (x3 + 1).x2 dx.3. ∫ sin2 x.sin 2x dx.



Persamaan Diferensial Sederhana

Jika F’(x) = f(x), maka ∫ f(x) dx = F(x) + C. Dalambahasa diferensial: jika F’(x) = f(x), maka(*) dF(x) = F’(x) dx = f(x) dxsehingga

∫ dF(x) = ∫ f(x) dx = F(x) + C.

Persamaan (*) merupakan contoh persamaandiferensial yang (paling) sederhana.

Persamaan diferensial banyak dijumpai dalammatematika, fisika, maupun bidang ilmu lainnya.



Contoh 6. Tentukan persamaan kurva yang melaluititik (1,2) dan mempunyai turunan 2x di setiap titik(x,y) yang dilaluinya.

Jawab. Misalkan persamaan kurva tersebut adalah y = f(x). Maka, dalam bahasa diferensial, informasi diatas mengatakan bahwa

dy = 2x dx.Integralkan kedua ruas,

∫ dy = ∫ 2x dx.sehingga kita peroleh

y + C1 = x2 + C2atau y = x2 + C, C = C2 – C1.



Persamaan y = x2 + C merepresentasikan keluargakurva yang mempunyai turunan 2x di titik (x,y).

Sekarang kita akan mencari anggota keluarga kurvatersebut yang melalui titik (1,2). Dalam hal ini kitamempunyai persamaan

2 = 12 + C,sehingga mestilah C = 1. Jadi persamaan kurva yang kita cari adalah

y = x2 + 1.

Latihan. Tentukan fungsi y = f(x) sedemikiansehingga f ’(x) = 3x2 + 1 dan f(1) = 4.



Notasi Sigma

Penjumlahan deret n bilangan a1 + a2 + … + andilambangkan dengan notasi sigma

Sebagai contoh,

Teorema 5 (Kelinearan Sigma)

∑=

n

iia

1

∑=

++++=5

1

222222 .54321i

i

∑ ∑= =

=n

i

n

iii akak

1 1;. ∑ ∑ ∑

= = =

+=+n

i

n

i

n

iiiii baba

1 1 1

.)(



Beberapa deret khusus (dengan indeks i berjalan dari1 sampai dengan n), di antaranya:

∑ i = 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.

∑ i2 = 12 + 22 + … + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6.

∑ i3 = 13 + 23 + … + n3 = n2(n + 1)2/4.

Deret pertama merupakan deret aritmetika n bilangandengan suku pertama 1 dan beda 1. Untuk pembuktian rumus deret kedua dan ketiga, lihat Purcell hal. 262-264.



Luas Daerah di Bawah Kurva

Misalkan kita ingin menghitungluas daerah di bawah kurva y = f(x) = x2, 0 ≤ x ≤ 1. Pertama,bagi selang [0,1] atas n selangbagian yang sama panjangnya.Lalu, luas daerah tersebut (L) kita hampiri dengan jumlah luaspersegipanjang di bawah kurva,yakni

.)1(...21012

2

2

2

2

22

−++++≈

nn

nnnL

11/n 2/n0



Perhatikan bahwa deret di ruas kanan dapat kita tulis-ulang sebagai

yang jumlahnya

Jadi, kita kita peroleh hampiran

Dari sini kita amati bahwa Ln → 1/3 bila n →∞. Jadi, luas daerah yang sedang kita cari adalah 1/3.

[ ]2223 )1(...211

−+++ nn

.6

)12()1(3n

nnn −−

.:6

)12()1(3 nL

nnnnL =−−

≈



Integral Tentu

Misalkan f : [a,b] → R kontinukecuali di sejumlah terhinggatitik. Bagi selang [a,b] atas n selang bagian (tak perlu samapanjang), sebutlah titik-titikpembaginya a = x0 < x1 < x2 < … < xn-1 < xn = b. Himpunantitik-titik ini disebut sebagaipartisi dari [a,b]. Untuk tiapi = 1, …, n, tulis ∆xi = xi – xi-1(= lebar selang bagian ke-i).

a bx1 xn-1

a b

y=f(x)



Dari tiap selang bagian, pilih sebarang titik ti є [xi-1, xi]. Lalu bentuk penjumlahan berikut

RP = ∑ f(ti).∆xi

dengan indeks i berjalan dari 1 hingga n. Bentuk inidikenal sebagai jumlah Riemann untuk f terhadappartisi P = {a=x0, x1, …, xn-1, xn=b} dan titik-titik ti.

Contoh 7. Misalkan f(x) = x2, x є [0,1], P = {0, ⅓, ¾, 1}, t1 = ⅓, t2 = ½, t3 = ⅞. Maka jumlah Riemann untuk f terhadap partisi P dan titik-titik ti adalahRP = f(⅓).⅓ + f(½).(¾ – ⅓) + f(⅞)(1 – ¾) = 1/27 + 5/48 + 49/256.



Jumlah Riemann untuk f merupakan hampiran untukluas daerah di bawah kurva y = f(x), x є [a,b]. Semakin ‘halus’ partisinya, semakin baik hampirantersebut. Jika

ada, maka f dikatakan terintegralkan pada [a,b] danintegral tentu f dari a ke b didefinisikan sebagai

Catatan. |P| = maks {∆xi : i = 1, …, n}.

∑=

→∆

n

iiiP

xtf10||

).(lim

∫ =b

a

dxxf )( ∑=

→∆

n

iiiP

xtf10||

).(lim



Dalam notasi , kita mengasumsikan bahwa

a < b. Jika a > b, maka kita definisikan

Jika a = b, maka kita definisikan

Catat pula bahwa

∫b

a

dxxf )(

∫ ∫−=b

a

a

b

dxxfdxxf .)()(

∫ ∫ ==b

a

a

a

dxxfdxxf .0)()(

∫ ∫∫ ==b

a

b

a

b

a

duufdttfdxxf .)()()(



Teorema 6. Jika f terbatas dan kontinu kecuali disejumlah terhingga titik pada [a,b], maka fungsi fterintegralkan pada [a,b].

Akibat 7. Fungsi polinom, fungsi rasional, f(x) =| x |, g(x) = √x, s(x) = sin x, dan c(x) = cos x meru-pakan fungsi yang terintegralkan pada sebarangselang terbatas yang termuat dalam daerah asalnya.

Sampai di sini kita hanya dapat mengatakan apakahsebuah fungsi terintegralkan pada suatu selang, dengan melihat apakah fungsi tersebut terbatas dankontinu kecuali di sejumlah terhingga titik.



Namun, untuk menghitung integral tentu fungsitersebut, selain dengan menggunakan definisinya, memerlukan ‘alat bantu’ yang lebih ampuh.

Teorema Dasar Kalkulus

Salah satu alat bantu untuk menghitung integral tentuadalah Teorema Dasar Kalkulus, yang berbunyi:

Jika f kontinu dan mempunyai anti-turunan F pada[a,b], maka

∫ −=b

a

aFbFdxxf ).()()(



Catatan. Dalam penghitungan integral tentu, notasiberarti F(b) – F(a).

Contoh 8(a)

(b)

Teorema 9 (Kelinearan Integral tentu)

]baxF )(

]∫ =−==1

031

311

032 .03xdxx

] .10sinsinsin)(cos2/

02

2/0 =−==∫

πππxdxx

∫ ∫=b

a

b

a

dxxfkdxxfk ;)(.)(.

∫ ∫ ∫+=+b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf .)()()]()([



Contoh 9. Dengan menggunakan kelinearan integral tentu, kita dapat menghitung

Sifat-sifat Lanjut Integral Tentu

Selain kelinearan, integral tentu juga memenuhi:

Sifat penjumlahan selang:

∫ ∫ ∫ +=+=+2

0

2

0

2

034

3822 .2)( dxxdxxdxxx

∫ ∫ ∫+=c

a

b

a

c

b

dxxfdxxfdxxf .)()()(



Sifat pembandingan: Jika f(x) < g(x) pada [a,b], maka

Sifat keterbatasan: Jika m ≤ f(x) ≤ M pada [a,b], maka

Contoh 10. Pada [0,1] berlaku 1 ≤ √1 + x4 ≤ √2; karena itu menurut sifat keterbatasan

∫ ∫<b

a

b

a

dxxgdxxf .)()(

∫ −≤≤−b

a

abMdxxfabm ).()()(

∫ ≤+≤1

0

4 .211 dxx



Misalkan f terintegralkan pada[a,b]. Definisikan

Di sini, G(x) menyatakan luasdaerah di bawah kurva y = f(t),a ≤ t ≤ x (lihat gambar).

Teorema Dasar Kalkulus II. G’(x) = f(x) pada [a,b]; yakni,

∫=x

a

dttfxG .)()(

].,[),()( baxxfdttfdxd x

a

∈∀=

∫

a x b

y = f(t)



Contoh 11(a)

(b)

(c)

(d)

.3

1

3 xdttdxd x

=

∫

.3

1

31

3 xdttdxddtt

dxd x

x

−=

−=

∫∫

.162. 33

1

322

1

3 xudxdudtt

duddtt

dxd uxux

==

=

∫∫

=

.1516 333

2

1

31

32

3

xxx

dttdxddtt

dxddtt

dxd x

x

x

x

=+−=

+

=

∫∫∫



Teorema Nilai Rata-rata Integral

Jika f kontinu pada [a,b], maka terdapat c є [a,b] sedemikian sehingga

Catatan. Nilai f(c) dalam teoremaini disebut nilai rata-rata integral f pada [a,b] (lihat gambar). Per-hatikan bahwa luas daerah di ba-wah kurva y = f(t), t є [a,b], samadengan f(c)(b – a).

∫−=

b

a

dttfab

cf .)(1)(

a bc

y = f(t)



Contoh 12. Misalkan f(x) = x2, x є [0,1]. Maka

Jadi nilai rata-rata integral f pada [0,1] adalah ⅓.

Latihan. Tentukan nilai rata-rata integral f(x) = 4x3

pada [1,3].

Substitusi dalam Penghitungan Integral Tentu

Misalkan kita ingin menghitung integral berikut

]∫ =−==1

031

311

032 .03xdxx

∫ ++4

0

2 .)12.( dxxxx



Dengan menggunakan Aturan Pangkat yang Diper-umum, kita dapat menghitung integral tak tentunya:

∫ (x2 + x)½.(2x + 1) dx = ⅔(x2 + x)3/2 + C.

Dengan demikian, integral tentu tadi dapat dihitung:

Integral semacam ini, baik integral tentu maupunintegral tak tentu, dapat pula dihitung dengan tekniksubstitusi, yang akan kita bahas selanjutnya.

]∫ =+=++4

0

2/3324

02/32

322/12 .)20()()12()( xxdxxxx



Sebagai contoh, untuk menghitung integral tak tentu∫ (x2 + x)½.(2x + 1) dx, kita gunakan substitusi peubahu = x2 + x, sehingga du = (2x + 1)dx dan integral diatas menjadi ∫ u½ du. Dengan Aturan Pangkat, kitaperoleh

∫ u½ du = ⅔ u3/2 + C.

Substitusikan kembali u = x2 + x, kita dapatkan

∫ (x2 + x)½.(2x + 1) dx = ⅔(x2 + x)3/2 + C,

sebagaimana yang kita peroleh sebelumnya denganAturan Pangkat yang Diperumum.



Sekarang, untuk menghitung integral tentu

kita lakukan substitusi seperti tadi: u = x2 + x, du = (2x + 1)dx. Selanjutnya kita perhatikan efeksubstitusi ini terhadap kedua batas integral. Padasaat x = 0, kita peroleh u = 0; sementara pada saatx = 4, kita dapatkan u = 20. Dengan demikian

sama seperti yang kita peroleh sebelumnya.

]∫ ∫ ===++4

0

20

0

2/33220

02/3

322/12/12 ,)20()12()( uduudxxxx

∫ ++4

0

2/12 ,)12()( dxxxx



Catatan. Dalam menghitung integral tentu denganteknik substitusi, kedua batas integral pada umum-nya berubah dan kita dapat menghitung integral dalam peubah baru tanpa harus mensubstitusikankembali peubah lama.

Secara umum, dengan melakukan substitusi u = g(x), du = g’(x)dx, kita peroleh

Integral tak tentu: ∫ f(g(x)).g’(x)dx = ∫ f(u) du.

Integral tentu: ∫ ∫=b

a

bg

ag

duufdxxgxgf)(

)(

.)()(')).((



Latihan. Hitung integral tentu/tak tentu berikut:

1. ∫ √3x + 2 dx.2. ∫ cos(3x + 2) dx.

3.

4.

5.

∫ +1

0

3 .)23( dxx

∫4/

0

cos

2

.π

dxx

x

∫ +

4

1)1(

1 .3 dttt



SOAL-SOAL BAB V

5.1 no. 1, 5, 10, 15, 22, 23, 32, 33.5.2 no. 5, 13, 15.5.3 no. 1, 9, 21, 25.5.4 no. 19.5.5 no. 1, 11, 21, 25.5.6 no. 1, 7, 12, 15, 22.5.7 no. 1, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 27, 30.5.8 no. 5, 8, 17, 20, 25, 32.



BAB. VI PENGGUNAAN INTEGRAL

• Luas Daerah di Bidang• Volume Benda Pejal di Ruang:

– Metode Cincin– Metode Kulit Tabung– Metode Irisan Sejajar

• Momen dan Pusat Massa



Luas Daerah di Bidang

Diketahui daerah di bidangseperti pada gambar disamping, bagaimana kitadapat menghitung luasdaerah tersebut?

Pada prinsipnya, kita dapat membagi daerah tersebutmenjadi beberapa bagian, di mana tiap bagian me-rupakan daerah di antara dua kurva. Jadi persoalan-nya adalah bagaimana menghitung luas daerah diantara dua kurva, yang akan dibahas selanjutnya.



Contoh 1. Hitung luas daerah(tertutup) yang dibatasi olehkurva y = x2 dan y = x.

Jawab: Misal kita ‘iris’ daerahtersebut secara vertikal, dantiap irisannya mempunyai lebar∆x dan tinggi kira-kira sama dengan x – x2, sehinggaluasnya adalah ∆L ≈ (x – x2)∆x (lihat gambar). Jadi, luas daerah tersebut secara keseluruhan adalah L ≈∑x (x – x2)∆x. Ambil limitnya, kita peroleh

]∫ =−=−=1

0611

0322 .)( 32 xxdxxxL

y = x

y = x2

10 ∆x



Latihan. Hitung luas daerah di Kuadran I yang dibatasi oleh kurva y = 2 – x2, garis y = x, dansumbu-x. (Petunjuk. Setelah anda menggambardaerah yang dimaksud, irislah daerah tersebutsecara horisontal dan taksir luas tiap irisannya.)

Volume Benda Pejal di Ruang; Metode Cincin

Bila suatu daerah D diputarmengelilingi sebuah sumbu, maka akan diperoleh suatubenda putar. Bagaimanamenghitung volumenya?

D



Contoh 2. Daerah yang dibatasioleh kurva y = x2 dan y = xdiputar mengelilingi sumbu-x.Hitung volume benda putaryang terbentuk.

Jawab: Tiap irisan membentuk cincin dengan jari-jariluar x2, jari-jari dalam x4, dan tebal ∆x, yang volume-nya adalah ∆V ≈ π(x2 – x4)∆x. Jumlahkan dan ambillimitnya, kita peroleh

[ ]∫ =−=−=1

01521

05342 .)( 53 πππ xxdxxxV

y = x

y = x2

10 ∆x



Latihan. Daerah pada Contoh 2diputar mengelilingi sumbu-y.Hitung volume benda putar yangterbentuk. (Petunjuk. Iris daerahtersebut secara horisontal dantaksir volume cincin yang ter-bentuk dari tiap irisannya.)

Metode Kulit Tabung

Volume benda putar pada soal latihan di atas dapatpula dihitung dengan Metode Kulit Tabung sebagaiberikut. Iris daerahnya secara vertikal, sehingga tiap

y = x

y = x2

10



irisannya akan membentuk su-atu kulit tabung dengan jari-jarix, tinggi x – x2, dan tebal ∆x.Volume kulit tabung tsb adalah

∆V ≈ 2πx(x – x2)∆x. Jumlahkan dan ambil limitnya, kita peroleh

Anda dapat menghitung integral ini dan bandingkanhasilnya dengan hasil yang Anda peroleh denganMetode Cincin.

y = x

y = x2

10 ∆x

∫ −=1

0

2 .)(2 dxxxxV π



Latihan. Hitung volume bendaputar yang terbentuk apabiladaerah yang dibatasi oleh y = x2

dan y = x diputar mengelilingigaris x = 1, dengan (a) MetodeCincin dan (b) Metode Kulit Tabung.

Metode Irisan Sejajar

Benda putar memiliki penampang berbentuk cakramatau cincin. Volume benda dengan penampangtertentu secara umum dapat dihitung dengan MetodeIrisan Sejajar.

y = x

y = x2

10



Contoh 3. Alas sebuah benda adalahdaerah di Kuadran I yang dibatasioleh kurva y = 1 – x2, sumbu-x, dansumbu-y. Penampangnya yang tegaklurus terhadap sumbu-x berbentukbujursangkar. Hitung volume bendatersebut.

Jawab: Iris benda tersebut secara tegak lurus ter-hadap sumbu-x. Maka, tiap irisannya berbentukseperti keping bujursangkar dengan panjang sisi1 – x2 dan tebal ∆x, sehingga volumenya adalah∆V ≈ (1 – x2)2∆x. Jumlahkan dan ambil limitnya,

alas benda

y = 1-x2

∆x

alas keping



kita peroleh volume benda tersebut

Latihan. Alas sebuah bendaadalah daerah yang dibatasioleh lingkaran x2 + y2 = 1. Penampangnya yang tegaklurus terhadap sumbu-x ber-bentuk bujursangkar. Hitungvolume benda tersebut.

∫ =−=1

015822 .)1( dxxV

1



Momen dan Pusat Massa

Misalkan kita mempunyai kawat yang kita letakkanpada garis bilangan real sehingga menutupi selang[a,b]. Misalkan diketahui rapat massa kawat tersebutdi titik x adalah ρ(x). Maka, massa potongan kawatyang lebarnya ∆x kurang-lebih akan sama dengan∆m ≈ ρ(x)∆x.

Jumlahkan dan ambil limitnya, kita peroleh massakawat tersebut:

∫=b

a

dxxm .)(ρ

0 a b∆x



Kita juga dapat menghitung momennya terhadap titik0. (Momen = jarak × massa.) Pertama, momen tiappotongan kawat dengan lebar ∆x terhadap 0 adalah∆M ≈ xρ(x)∆x. Jumlahkan dan ambil limitnya, kitaperoleh momen kawat tersebut terhadap 0:

Dengan mengetahui massa kawat dan momennyaterhadap 0, kita dapat menentukan pusat massanya, yakni

∫=b

a

dxxxM .)(ρ

.)(

)(

∫∫== b

a

b

a

dxx

dxxx

mMx

ρ

ρ



Contoh 4. Diketahui kawat dengan panjang 10 cm dan rapat massa di setiap titik sama dengan 3 kali kuadrat jarak titik tsb dari salah satu ujung kawat.Tentukan massa dan pusat massa kawat tersebut.

Jawab: Kita letakkan kawat tersebut sehingga me-nempati selang [0,10] pada garis bilangan real. Maka, rapat massanya di titik x adalah ρ(x) = 3x2. Massakawat tersebut dan momenya terhadap 0 adalah

Jadi, pusat massanya adalah 7,5 cm dari ujung kiri.

∫ ==10

0

2 ;10003 dxxm ∫ ==10

0

3 .75003 dxxM



Sekarang misalkan kita mem-punyai suatu keping homogen(rapat massanya ρ konstan) ygmenempati daerah D yang ter-letak di antara dua kurva, sebuty = f(x) dan y = g(x), sepertipada gambar. Iris daerah D secara vertikal. Maka, massa, momen terhadap sumbu-y, dan momen ter-hadap sumbu-x dari tiap irisannya adalah

[ ][ ][ ] .)()(

;)()(;)()(

2221 xxgxfM

xxgxfxMxxgxfm

x

y

∆−≈∆

∆−≈∆∆−≈∆

ρ

ρρ

a b

y=f(x)

y=g(x)



Jumlahkan dan ambil limitnya, kita peroleh massakeping dan momennya terhadap kedua sumbu ko-ordinat, yakni

Koordinat pusat massa keping tersebut adalah

[ ]

[ ]

[ ] .)()(

;)()(

;)()(

2221 dxxgxfM

dxxgxfxM

dxxgxfm

b

ax

b

ay

b

a

−=

−=

−=

∫∫∫

ρ

ρ

ρ

.;m

Mym

Mx xy ==



Contoh 5. Diketahui keping homogen dengan rapatmassa 1 yang menempati daerah yang dibatasi olehkurva y = √x dan y = x2. Tentukan massa dan pusatmassa keping tersebut.

Jawab. Massa keping tersebut adalah

Momennya terhadap kedua sumbu koordinat adalah∫ =−=1

0

2 .31)( dxxxm

.)(

;)(

20341

021

20321

0

=−=

=−=

∫∫

dxxxM

dxxxxM

x

y



Dengan demikian pusat massanya adalah (9/10,9/10).(Di sini pusat massanya terletak pada garis y = x, yang merupakan sumbu simetri keping tersebut.)

Latihan. Tentukan massa dan pusat massa kepingsetengah lingkaran x2 + y2 = 1 bagian atas.

Teorema Pappus. Jika suatu daerah D pada bidang diputar mengelilingi suatusumbu yang tidak me-motong D, makavolume benda putar yang terbentuk samadgn luas daerah D kali keliling lingkaranyang ditempuh oleh titik pusat massa D.

D



SOAL-SOAL BAB VI

6.1 no. 3, 9, 11, 15, 25.6.2 no. 1, 9, 13, 19, 27, 32, 33.6.3 no. 8, 9, 11, 15.6.8 no. 11, 19, 24.

Catatan. Bagian 6.4 - 6.7 tidak dibahas.

Catatan Kuliah BAB V. INTEGRAL · Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB V. INTEGRAL ......

Documents

Transcript of Catatan Kuliah BAB V. INTEGRAL · Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB V. INTEGRAL ......