MAKALAH KALKULUS

“Integral”

“Turunan”

“Limit”

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas rahmat dan karuniaNya penulis dapat menyelesaiakan makalah ini tepat waktu sesuai dengan waktu yang ditentukan.

Adapun yang menjadi judul makalah ini adalah pembahasan kalkulus dalam makalah ini membahas tentang Integral dalam ilmu matematika, teknik, ekonomi, serta masalah sederhana yang berhubungan langsung dengan kehidupan sehari-hari. Melalui makalah ini kita dapat melihat betapa pentingnya aplikasi aplikasi kalkulus dalam ilmu pengetahuan dan ilmu keseharian.

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Bapak Ir. Darmanto Soer, Mkom selaku dosen pengampu mata kuliah Kalkulus , yang telah memberikan bimbingan dan arahan kepada saya selama satu semester ini. Juga kepada teman-teman kls TI 1a (malam) yang turut membantu dalam pembuatan makalah ini.

Dalam makalah ini penulis juga menyadari masih banyak kekurangan yang menyebabkan makalah ini menjadi kurang sempurna, baik dalam penulisan maupun isinya, untuk ini dengan hati yang terbuka penulis menerima kritik dan saran yang bersifat membangun.

Akhir kata, semoga makalah ini bermanfaat. Terima kasih

DAFTAR ISI

Halaman Sampul ............................................................................... iKata Pengantar .................................................................................. iiDaftar Isi ....................................................................................... iiiLatar Belakang………………………………………………………ivBAB I PENDAHULUAN1.1 Anti Turunan (Integral Tak-tentu) …………………………… 11.2 Integral Tertentu ……………………………………………... 11.3 Sifat-Sifat Integral Tentu .......................................................... 21.4 Teorema Dasar Kalkulus …………………………………….. 4BAB II TEKNIK INTEGRAL2.1 Teknik Substitusi ...................................................................... 62.2 Integral Fungsi Trigonometri .................................................... 72.3 Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri .................................... 132.4 Integral Parsial ......................................................................... 152.5 Integral Fungsi Rasional .......................................................... 172.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri… 19BAB III PENUTUP3.1 Kesimpulan……………………………………………………..3.2 Saran saran………………………………………………………DAFTAR PUSTAKA

1.1 Latar Belakang

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematikayang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidangsains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.

Turunan merupakan salah satu bagian dari kalkulus yang mempunyai peranan yang sangat besar baik dalam bidang–bidang lain maupun dalam matematika itu sendiri. Dengan mempelajari turunan, maka dapat mempermudah kita dalam menyelesaikan masalah–masalah yang berkaitan dengan fungsi, integral dan bidang kalkulus lainnya. Turunan juga dapat digunakan untuk dapat menggambarkan grafik suatu fungsi aljabar yaitu dengan menggunakan penerapannya. Untuk menentukan turunan suatu fungsi biasanya digunakan konsep limit.

Konon dalam sejarah matematika, pelajaran integral lebih dikenal dengan anti-differensial atau kalo di sekolah atau perguruan tinggi, kita lebih mengenal kata “turunan” dibanding kata “differensial”. Jadi Integral itu adalah kebalikan dari turunan. Baik integral ataupun differensial, keduanya merupakan bagian dari ilmu Kalkulus dalam Matematika. Menurut sejarah, tokoh yang mengembangkan dan memperkenalkan konsep differensial dan anti-differensial (integral) dalam ilmu matematika adalah Gottfried Wilhelm Leibniz, atau lebih dikenal dengan Leibniz saja.

Lambang integral seperti cacing berdiri dahulunya dikenal dengan “Notasi Leibniz”, karena Leibniz lah yang memperkenalkan konsep integral dalam Matematika, lambang integral seperti ini : ∫, diambil dari huruf pertama nama si Leibniz, yaitu huruf “L”, namun pada zaman dahulu orang menuliskan huruf “L” dalam bentuk yang indah, seperti berikut :

Ilmuwan dalam Perkembangan Matematika Hitung Integral Sejak ilmu matematika berkembang dari abad sebelum masehi sampai abad sesudah

masehi juga sampai sekarang jaman modern. Ilmu tentang integral mengalami perkembangan

yang cukup bagus. Dari integral yang dikembangkan oleh Leibnizh pada abad sesudah masehi sampai integral yang kembangkan oleh Henstock-kurzweill jaman modern sekarang ini . menurut sejarahnya, orang yang tercatat pertama kali mengemukakan ide tentang integral adalah Archimides, seorang ahli matematika bangsa Yunani yang berasal dari Syracusa (287 – 212 SM). Ia menggunakan ide itu untuk menghitung luas daerah lingkaran, daerah yang dibatasi parabola dan tali busur, dan sebagainya. Hitung integral merupakan metode matematika dengan latar belakang sejarah yang cukup

unik. Banyak ilmuwan, baik matematika maupun non-matematika, yang berminat terhadap perkembangan matematika hitung integral, di antrannya sebagai berikut.

Tokoh-Tokoh Matematika dalam integral: 1. Archimedes (287-212 SM), seorang fisikawan sekaligus matematikawan

dari Syracuse, Yunani. Pada abad kedua sebelum masehi, Archimedes talah menemukan ide penjumlahan untuk menentukan luas sebuah daerah tertutup dan volume dari benda putar. Diantaranya adalah rumus lingkaran, luas segmen parabola, volume bola, volume kerucut, serta volume benda putar yang lain. Ide penjumlahan ini merupakan salah satu konsep dasar dari Kalkulus Integral

2. Isaac Newton (1642-1727 M), seorang matematikawan sekaligus fisikawan dari Inggris. Isaac Newton dan Gottfried wilhelm Leibniz dalam kurun waktu yang hampir bersamaan, meskipun bekerja sendiri-sendiri, telah menemukan hubungan antara Kalkulus Differansial dan Kalkulus Integral. Walaupun konsep luas daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup (integral tertentu) telah lebih dahulu diketahui, tetapi I Newton dan Leibniz merupakan dua tokoh terkemuka dalam sejarah Kalkulus. Sebab, mereka mampu mengungkapkan hubungan yang erat antara antiderivatif dengan intagral tertentu. Hubungan ini dikenal dengan Teorema Dasar Kalkulus.

3. Gottfried wilhelm Leibniz (1646-1716 M), seorang ilmuwan jenius dari Leipzig, Jerman. Leibniz seorang ilmuwan serba-bisa. Ia mendalami bidang hukum, agama, filsafat, sejarah, politik, geologi, dan matematika. Selain Teorema Dasar Kalkulus yang dikembangkan bersama Newton, Leibniz juga terkenal dengan pemakaian lambang matematika. Lambang dx/dy bagi turunan dan lambang ∫ bagi integral merupakan lambang-lambang yang diusulkan oleh Leibniz dalam Hitung Differensial dan Hitung Integral.

4. George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866 M), seorang matematikawan dari Gottingen, Jerman. Meskipun Teorema Dasar Kalkulus telah dikemukakan oleh Newton, namun Riemann memberi definisi mutakhir tentang integral tentu. Atas sumbangannya inilah integral tentu sering disebut sebagai Integral Riemann

(………………………………………………isi ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………isi makalah……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….isi sesuai yg tercantum dlm daftar isi……………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. dan sampai slesai :D )

BAB IIIPENUTUP

3.1 KesimpulanDalam kalkulus, integral takwajar adalah limit dari integral tentu denganbatas pengintegralan mendekati bilangan riil tertentu, atau ∞ −∞ atau, pada beberapakasus, keduanya.Dengan kata lain, integral tak wajar adalah limit dalam bentukatau dalam bentukdengan limit diambil pada salah satu batas atau keduanya. (Apostol 1967, §10.23).Integral takwajar juga dapat terjadi pada titik dalam domain pengintegralan, ataupada beberapa titik seperti itu.Integral takwajar sering perlu digunakan untuk menghitung nilai integralyang tidak ada dalam arti konvensional (misalnya sebagai integral Riemann), karenaadanya singularitas pada fungsi yang hendak diintegralkan, atau salah satu batasadalah takhingga..

Bentuk ba

f (x)dx disebut Integral Tidak Wajar jika:a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu(diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di titiktersebut.b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hinggaIntegral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar denganintegran diskontinu dan dengan batas integrasi tak hingga.Integral tak wajar dengan integran diskontinue, yaitu diantaranya :f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = bf(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = af(x) kontinu di [a,c) (c,b] dan tidak kontinu di x = cIntegral tak wajar dengan batas tak hingga, yaitu seperti:Intergral tak wajar dengan batas atas x = .Integral tak wajar dengan batas bawah di x = -

Integral tak wajar batas atas x = dan batas bawah di x = -

3.2 Saran-Saran Demikian makalah ini kami selesaikan sebagai salah satu tugas perkuliahan pada semester 2 ini. Namun kami sebagai penyusun , menyadari terdapat kekurangan maupun kekhilafan atau kesalahan, baik dalam penyelesaian maupun pemaparan dari makalah kami ini.

Dari itu, kami sangat mengharap dari para pembaca atau pendengar sekalian, baik teman-teman maupun Bapak Dosen sebagai pembimbing dalam mata kuliah ini, untuk turut serta dalam memberikan kritik yang membangun dan saran yang baik

tentunya agar kedepanya nanti kami akan dan bisa menjadi lebih maju dan baik dari sebelumnya. Amin Ya Rabbal ‘Alamin.!

DAFTAR PUSTAKA

Dale Varberg., Edwin J. Purcell. 2001. Kalkulus Jilid I (edisi 7). Alih Bahasa I Nyoman Susila. Batam: Interaksara. Koko Martono, 1993. Kalkulus Integral I. Bandung: Alva Gracia

Achsanul In’am, 2000. Kalkulus I. Malang: UMM Press