Y

X

Z

6

32

0R

II.2 Aplikasi Integral Lipat

II.2.1 Aplikasi Integral Lipat Dua

Volume Benda Pejal

Integral Lipat rangkap dua diturunkan untuk menghitung volume benda ruang

yang dibatasi oleh dua permukaan. Misal z = f(x,y) dan R merupakan daerah yang

terletak pada bidang XOY yang diberikan atau bisa merupakan proyeksi dari

permukaan z = f(x,y) dan dibatasi di bawah oleh R dituliskan:

V = ∬ f ( x , y )dA

Contoh:

Hitung volume bagian ruang yang terletak di oktan pertama yang dibatasi oleh

bidang 2x + 3y + z - 6 = 0

Jawab:

Dari 2x + 3y + z - 6 = 0 didapatkan f(x,y) = -2x - 3y + 6. Misal R daerah di oktan

pertama (x ≥ 0, y ≥ 0) dan z ≥ 0) merupakan proyeksi f(x,y) dibidang XOY.

Maka

R = {(x , y)∨0≤ x≤3 ,0≤ y ≤ 6−3 x3 } atau

R = {(x , y)∨0≤ x≤ 6−3 x3

,0≤ y≤2}Jadi volume bangun ruang:

V = ∬ f ( x , y )dA = ∬ f (−2 x−3 y )dA

Pusat Massa

Momen adalah hasil kali massa m dan jarak berarah dari suatu titik tertentu,

dengan konsep yang sama jika suatu sistem yang terdiri dari n massa, yaitu m1,

m2, ...,mn yang masing-masing ditempatkan di (x1,y1), (x2,y2), ..., (xn,yn) pada

bidang, maka momen total terhadap sumbu Y dan sumbu X berturut-turut

diberikan oleh:

My = ∑k=1

n

xkmk Mx = ∑k=1

n

ykmk

Lebih lanjut pusat massa (titik keseimbangan) sistem adalah titik (x,y) dengan

x = M ym = ∑k=1

n

xkmk

∑k=1

n

mk y = M xm =

∑k=1

n

ykmk

∑k=1

n

mk

Sekarang perhatikan suatu lamina, yaitu suatu pelat yang sangat tipis sehingga

dapat dipandang sebagai berdimensi dua. Misalkan lamina itu mencakup daerah S

dibidang XY dengan kerapatan (massa per satuan kelas) dinyatakan oleh δ(x,y),

maka massa lamina adalah

m = ∬δ (x , y )dA

dan pusat massa dari lamina adalah titik (x,y) dengan

x = M ym = ∬xδ (x , y )dA

∬δ (x , y )dA y = M xm = ∬

yδ (x , y )dA

∬δ (x , y)dA

Momen Inersia

Momen inersia ditandai oleh I, adalah perkalian massa dengan kuadrat jarak,

yaitu: I = r2m.

Jika suatu sistem yang terdiri dari n partikel pada suatu bidang dengan massa m1,

m2, ..., mn dan berjarak r1, r2, ..., rn dari garis L maka momen inersia sistem itu

terhadap L didefinisikan sebagai

I = ∑k=1

n

mk r2k

Untuk lamina dengan kerapatan δ(x,y) yang mencakup daerah S dari bidang XY,

maka momen inersia lamina terhadap sumbu-sumbu X, Y dan Z berturut-turut

diberikan oleh:

Ix = ∬ y2δ (x , y )dA

Iy = ∬ x2δ (x , y )dA

Iz = ∬( y¿¿2+x2)δ (x , y )dA ¿ = Ix + Iy

Contoh:

x

y

8

y = x2/34

0

Sebuah lamina dengan kerapatan δ(x,y) = xy dibatasi sumbu x, garis x = 8 dan

kurva y = x2/3 . Tentukan massa totalnya! Tentukan momen inersia terhadap

sumbu x, y dan z!

Penyelesaian:

m = ∬ x , y dA

= ∫0

8

∫0

x32

xy dy dx

= ∫0

8 [ x y2

2 ]0

x23

dx

= ∫0

8 12x

73 dx

= 12 [ 3

10x

103 ]

0

8

= 7685 = 153,6

Ix = ∬ x y3dA = ∫0

8

∫0

x32

x y3dy dx = 14∫0

8

x113 dx = 6144

7 = 877,71

Ix = ∬ x3 y dA = ∫0

8

∫0

x31

x3 ydy dx = 14∫0

8

x133 dx = 6144

Iz = Ix +Iy = 877, 71 + 6144 = 7021,21

Contoh:

Tentukan massa dan pusat dari lamina yang dinyatakan oleh f(x,y) = 2x-y+4

dengan massa jenis δ(x,y) = x - y.

Jawab:

Proyeksi f(x,y) = 2x - y + 4 pada bidang XOY. R ={(x,y)|-2≤x≤0, 0≤y≤2x+4}

Massa, m = ∬δ (x , y )dA= ∫−2

0

( ∫0

2x+4

( x− y )dy)dx = -8

Momen terhadap sumbu Y, My = ∬δ (x , y )dA= ∫−2

0

( ∫0

2x+4

x ( x− y )dy )dx = 163

G

S

X

Y

Z

Momen terhadap sumbu X, Mx = ∬δ (x , y )dA= ∫−2

0

( ∫0

2x+4

y (x− y )dy)dx = 3289

Pusat massa, (M ym , M xm ) = (−2

3, 41

9 )

Luas Permukaan

Misalkan G suatu permukaan dengan persamaan z = f(x,y) yang proyeksinya

suatu daerah tertutup terbatas S dibidang XY, sebagai gambar berikut:

Maka luas permukaan G ditulis A(G) diberikan sebagai

A(G) = ∬√ f x2+ f y2 +1dA

Dengan fx : turunan parsial f(x,y) terhadap x

fy : turunan parsial f(x,y) terhadap y

dA : dxdy atau dy/dx bersesuaian dengan batas S

Contoh:

Jika S daerah persegi panjang bidang XY yang dibatsi oleh garis x = 0, x = 1 dan

y= 0 dan y = 2, tentukan luas sebagian dari permukaan setengah tabung z =

√4−x2 yang terproyeksikan pada S.

Jawab:

Dalam Koordinat Cartesius S = {(x,y) : 0≤x≤1, 0≤y≤2}

Andaikan f(x,y) = √4−x2 , maka fx = -x/√4−x2, fy = 0,

A(G) = ∬√ f x2+ f y2 +1dA = ∬√ x2

4− x2 +1 dA = ∬ 2√4+x2 dA = ∫

0

1

∫0

2 2√4+ x2

dy

dx = 4∫0

1 2√4+x2

dx = 4[sin−1 x2 ]0

1

= 2π3

Contoh:

Tentukan luas permukaan z = x2 + y2 dibawah bidang z = 9

Jawab:

Permukaan G diproyeksikan ke bidang XY menjadi lingkaran Sdengan persamaan

x2 + y2 = 9

f(x,y) = x2 + y2

fx = 2x, fy = 2y, maka A(G) = ∬√4 x2+4 y2+1 dA.

Dalam koordinat kutub S={(x,y)|0≤θ≤2π, 0≤r≤3}

A(G) = ∫0

2π

∫0

3

√4 r2+1 r dr dθ

= ∫0

2π 18 [ 2

3( 4 r2−1 )

23]

0

3

dθ

= ∫0

2π1

12(37

32−1) dθ = π

6(37

32−1) ≈ 117,32

II.2.2 aplikasi integral lipat tiga

Volume Benda Pejal

Misalkan S benda pejal maka

∭dV=Volume S

Massa dan Pusat Massa

Misalkan S benda pejal non homogen dengan kerapatan dirumuskan sebagai

maka:

1.Massatotal m=∭ δ (x , y , z )dV

2. Pusat massa S adalah

Contoh:

Tentukan massa dan pusat massa suatu tabung pejal S, dengan menganggap

kerapatan sebanding terhadap jarak dari alas.

Penyelesaian:

Dengan S ditinjau seperti yang diperlihatkan pada gambar 4, kita dapat

menuliskan fungsi kerapatan sebagai δ (x , y , z )=kz, dengan k suatu konstanta.

Maka ,

Mxy = ∭s

❑

zδ (x , y , z )dV=k∫0

2 π

∫0

θ

∫0

h

z2 r dzdr dθ

¿k∫0

2π

∫0

θ 13h3 rdθ=1

3kh3∫

0

2π

∫0

θ

r dr dθ

= 13kh3πa2

z = M xy

m=

13k h3πa2

12k h2πa2

=23h

dari simetri x = y = 0.

Contoh 2 :

Tentukan volume daerah pejal S yang dibatasi di atas oleh paraboloid z = 4 – x 2 –

y2 , di bawah oleh z = 0, dan secara menyamping oleh y = 0 dan tabung x2 + y2 =

2x, seperti diperlihatkan pada gambar 5.

Penyelesaian :

Dalam koordinat tabung, paraboloid adalah z = 4 – r2 dan tabung adalah r = 2

cosϑ. Jadi :

V=∭S

❑

1dV=¿∫0

π2

∫0

2cosθ

∫0

4−r2

r dz dr dθ ¿

¿∫0

π2

∫0

2cosθ

∫0

4−r 2

r ( 4−r2 )dr dθ=¿∫0

π2

❑[2 r2−14r4]

0

2cosθ

dθ¿

¿∫0

π /2

(8cos2θ−4cos4θ )dθ

¿8 . 12. π

2−4 . 3

8. π

2=5 π

4

Gambar 5