Dosen Pembimbing : Erda, ST., MT

TUGAS MAKALAH KALKULUS II

Judul MakalahIntegral Tak Tentu, Tertentu, dan Parsial

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS FAJARJURUSAN TEKNIK SIPIL 2013/2014

Disususn Oleh : Bagas Budiarto

DAFTAR ISIKATA PENGANTARBAB I : PENDAHULUANI.ILatar Belakang ...................................................................................................I.II Rumusan Masalah...............................................................................................I.IIITujuan...................................................................................................................

BAB II : INTEGRAL TAK TENTU..................................................................................II. I Deskripsi Integral Tak Tentu...............................................................................II.IITeorima/Rumus Integral Tak Tentu.....................................................................II.IIIContoh penyelesaian soal-soal Integral Tak Tentu.............................................

BAB III : INTEGRAL TERTENTU.................................................................................III.IDeskripsi Integral Tertentu..................................................................................III.IITeorima/Rumus Integral Tertentu........................................................................III.IIIContoh Penyelesaian soal-soal Integral Tertentu................................................

BAB IV : INTEGRAL PARSIAL....................................................................................IV.IDeskripsi Integral Parsial....................................................................................IV.IITeorima/Rumus Integral Parsial...........................................................................IV.IIIContoh Penyelesaian soal-soal Integral Parsial....................................................

BAB V : PENUTUP..........................................................................................................V.IKesimpulan..........................................................................................................V.IISaran....................................................................................................................

DAFTAR PUSTAKA

KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulilah atas limpahan rahmat dan hidayah-NYA sehingga makalah kalkulus 2 ini dapat terselesaikan. Dan tak lupa pula penulis ucapkan terimakasih kepada dosen yang memberikan arahan dan bimbingan serta teman-teman seangkatan maupun kakanda-kakanda senior teknik sipil unifa yang juga memberikan support atau motivasi serta dukunganya sehingga dapat terselesaikan makalah kalkulus 2 ini.

Sebagai pengganti mid terkhusus jurusan teknik sipil universitas fajar diwajibkan membuat makalah ini demi memenuhi permintaan satuan kredit semester. Jumlah SKS mata kuliah kalkulus 2 ini terdiri atas 3 SKS, agar supaya mahasiswa teknik sipil dapat memenuhi Satuan Kredit Semester maka agar kiranya memenuhi standar SKS yg telah di tetapkan oleh pihak birokrasi Teknik unifa. Demikianlah kata pengantar dari penulis, sekiranya ada kekeliruan dalam pembuatan makalah ini penulis bersedia menerima kritikan dan masukan yang bersifat membangun sekian dan terimakasih.

Makassar, 20 April 2014Penulis ;Bagas Budiarto

BAB I : PENDAHULUAN

I.I Latar Belakang Masalah

Kalkulus(Bahasa Latin:calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmumatematikayang mencakuplimit,turunan,integral, danderet takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimanageometriadalah ilmu mengenai bentuk danaljabaradalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidangsains,ekonomi, danteknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan denganaljabar elementer.

Kalkulus memiliki dua cabang utama,kalkulus diferensialdankalkulus integralyang saling berhubungan melaluiteorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajarifungsidanlimit, yang secara umum dinamakananalisis matematika.Integraladalah kebalikan dari prosesdiferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah.

Integral terbagi dua yaituintegral tak tentudanintegral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.

I.II. Rumusan Masalah

Berikut ini adalah rumusan-rumusan masalah dalam pembuatan makalah seputar kalkulus 2 sebagai berikut :

1. Deskripsikanlah dari Integral Terentu, Integral Tak Tentu, dan Integral Parsial!2. Bagaimanakah Teori/Rumus2 dari Integral Tertentu, Integral Tak Tentu, dan Integral Parsial?3. Berkanlah contoh soal2 Penyelesaian Integral Tertentu, Integral Tak Tentu, dan Integral Parsial!

I.III Tujuan

Tujuan dibuatnya makalah kalkulus 2 ini adalah sebagai berikut :

1. Untuk memenuhi standar penilaian mid mahasiswa teknik sipil unifa sesuai jumlah SKS yang telah ditetapkan.2. Agar mahasiswa dapat memahami deskripsi integral tertentu, integral tak tentu, dan integral parsial3. Agar mahasiswa mengetahui rumus2 atau persamaan2 dari integral tertentu, tak tentu, dan parsial.4. Agar mahasiswa dapat menyelesaikan soal2 kalkulus dengan benar khusus integral tertentu, tak tentu, dan parsial sebagai bahan bekal untuk penyelesaian soal2 matematika ke jenjang selanjutnya.

BAB II : INTEGRAL TAK TENTU

II.I Deskripsi Integral Tak Tentu

Integral tak tentu atau antiderivatif adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut integral tak tentu. Bila f adalah integral tak tentu dari suatu fungsi F maka F'= f. Proses untuk memecahkan antiderivatif adalah antidiferensiasi Antiderivatif yang terkait dengan pasti integral melalui Teorema dasar kalkulus, dan memberikan cara mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi. Integral tak tentu adalah suatu proses untuk menentukan bentuk umum dari anti turunan fungsi dan integral merupakan invers atau kebalikan dari turunan fungsi. Integral disebut juga anti turunan, sehingga jika F(x) merupakan integral dari f(x), maka f(x) dx = F(x) + c disebut integral tak tentu dari f(x) dengan c suatu konstanta (Husen Tampomas, 1999).

II.II Teorima/Rumus Integral Tak Tentu

Jika f dan g dapat di integralkan atau memiliki anti turunan dan k dan c adalah konstanta, maka:

II.III Contoh Soal Penyelesaian Integral Tak Tentu

Tentukan integral tak tentu setiap fungsi dibawah ini!

[Penyelesaian]Untuk fungsi pangkat gunakan rumus No.3,

[Penyelesaian] Ubah kedalam bentuk pangkat,

[Penyelesaian]Ubah dahulu bentuk akar kedalam bentuk pangkat!

[penyelesaian]Untuk integral jumlah dan selisih gunakan rumus No.4,

[Penyelesaian]Ubah dahulu bentuk akar ke dalam bentuk pangkat,

[Penyelesain]Buka dahulu tanda kurung menggunakan rumus jumlah kuadrat,

BAB III : INTEGRAL TERTENTU

III.I Deskripsi Integral Tertentu

Integral sebagai bagian dari kalkulus adalah objek matematika yang digunakan untuk menunjukkan luas wilayah ataupun generalisasi dari sebuah wilayah. Didalam integral ini ada yang dinamakan dengan pengintegralan ataupun integrasi yang merupakan sebuah proses untuk menemukan sebuah integral dari satu fungsi tertentu. Integral Tertentu adalah yang digunakan untuk menentukkan luas tertentu dari sebuah luas bangun ruang dengan bentuk yang tertentu yang dibatasi dalam sebuah kurva dari sumbu X dan sumbu Y.

III.II Teorima/Rumus Integral Tertentu

Kalian tahu bahwa :

f (x) dx = F(b) F(a)

menyatakan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b.

Misalkan f kontinu pada interval tertutup [a, b] atau axb.

Jika F suatu fungsi sedemikian rupa sehingga F'(x) = f(x) untuk semua x pada [a, b], berlaku :

f (x) dx == F(b) F(a)

F(x) adalah antiturunan dari f(x) pada axb.

Menggambar Daerah yang Dibatasi oleh Kurva

Tentu kalian masih ingat bagaimana menggambar grafik fungsi linear, fungsi kuadrat, maupun fungsi trigonometri. Grafik fungsi-fungsi tersebut banyak dibahas di sini, berkaitan dengan pencarian luas daerah yang batasi oleh kurva. Bagaimana cara menggambarkan daerah itu? Misalkan kita akan menggambar daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = x dari x = 0 sampai x = 2, sumbu X, dan garis x = 2.

Langkah pertama adalah menggambar grafik f(x) = x.

Kemudian, tarik garis batasnya, yaitu dari x = 0 sampai x = 2 hingga memotong kurva. Arsir daerah yang berada di bawah kurva f(x) = x dari x = 0 sampai x = 2 dan di atas sumbu X. Hasilnya tampak seperti gambar di bawah ini.

Gambar 6.Menggambar Daerah yang Dibatasi oleh Kurva.

Bagaimana jika daerah yang akan digambar dibatasi oleh dua kurva? Pada dasarnya sama dengan cara di atas. Misalkan kita akan menggambar daerah yang dibatasi oleh grafik f(x) = x dan g(x) = 2x dari x = 0 sampai x = 2 dan garis x = 2.

Terlebih dahulu, kita gambar f(x) = x dan g(x) = 2x pada bidang koordinat. Tarik garis batasnya, yaitu x = 0 dan x = 2 hingga memotong kedua grafik. Kemudian, arsir daerah yang dibatasi oleh grafik itu dari x = 0 sampai x = 2. Hasilnya tampak seperti gambar di samping.

Cobalah kalian gambar daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut.

1. f(x) =x2dan sumbu X2. f(x) =x2dan g(x) = x3. f(x) =x2dan g(x) =x3

III.III Contoh Soal Penyelesaian Integral Tertentu

Tentukan nilai-nilai integral berikut.

a.(x +3) dx

b.(x3- x) dx

Penyelesaian :

BAB IV : INTEGRAL PARSIAL

IV.I Deskripsi Integral Parsial

Integral Parsial adalah suatu cara untuk menaikan pangkat suatu bilangan dua perkalian fungsi yang berbeda sehingga fungsi bilangan tersebut dapat menaikan pangkatnya (diintegralkan). Integral parsial dihubungkan dengan fungsi bilangan (u) dan (dv) yang fungsi tersebut akan dikali dan diintegralkan sesuai dengan aturan rumus integral parsial.

Integral Parsial memiliki cara khusus dimana dua bilangan fungsi dari (u) dan (dv) akan dihitung untuk mencari penurunan pangkat dari (u) atau biasa disebut (du) dan mencari kenaikan pangkat (dv) atau biasa disebut (v). Bilangan fungsi-fungsi diatas memiliki hubungan yang sangat penting dalam integral parsial

Sering kali terdapat banyak pendapat yang menyatakan bahwa integral parsial hampir sama penyederhanaannya seperti integral subtitusi. Padahal dalam konsep penyederhanaan integral parsial lebih rumit dibandingkan integral subtitusi. Integral parsial menyederhanakan fungsi dengan pemilihan fungsi yang akan diturunkan dan yang akan diintegralkan untuk membuat fungsi-fungsi baru yang akan digunakan pada rumus integral parsial.

Integral parsial adalah cara menyelesaikan integral yang memuat perkalian fungsi, tetapi tidak dapat diselesaikan secara substitusi biasa. Integral parsial memiliki dua variabel pembantu yaitu (u) dan (v). Variabel (u) dan (v) ini dapat membantu perhitungan nilai dua perkalian bilangan yang akan diintegralkan. Bilangan tersebut memiliki perkalian integral khusus yang tidak dapat digunakan pada integral subtitusi.Berikut ini adalah rumus dari integral parsial :

d.(uv) = u.dv + v.duu.dv = d.(uv) v.duu.dv = d.(uv) - v.du = u.v - v.du

Pada rumus diatas biasanya dalam soal kita memiliki bilangan (u) dan (dv). Bilangan (u) akan diturunkan menjadi (du) sedangkan (dv) akan diintegralkan menjadi bilangan (v). Sehingga akan menemukan empat bilangan yang akan dimasukan kedalam rumus integral parsial sehingga nilai dari integral (u) dikali (dv) sama dengan (u) dikalikan dengan (v) dikurangi integral (v) dikali (du).

IV.II Teorima/Rumus Integral Parsial

Soal-soal integral terkadang ditanyakan dalam bentuk yang tidak sederhana, salah satunya adalah bentuk yang terdiri dari perkalian beberapa fungsi. Untuk menyelesaikan soal tersebut, bisa menggunakan cara integral parsial. Rumus integral parsial adalah dimana kita perlu memilih salah satu fungsi pada soal sebagai u dan fungsi sisanya sebagai dv. Saat mengerjakan soal integral parsial, kita perlu memilih fungsi u yang tepat dengan syarat saat u diturunkan, hasil turunannya akan lebih sederhana daripada u sendiri. Sebagai pedoman umum, gunakan urutan dibawah ini sebagai prioritas permisalan : 1. 2. 3.

Dimana dalam rumus diatas kita harus memilih salah satu fungsi (u) pada soal dan fungsi sisanya sebagai (dv). Saat mengerjakan integral parsial, kita perlu memilih fungsi (u) yang tepat dengan syarat (u) diturunkan hasil turunannya akan lebih sederhana dari (u) sendiri. Contoh-contohnya untuk turunan dibawah ini :

1. F(x) = ln x F(x) = 1/x2. F(x) = x2 F(x) = 2x3. F(x) = e2x F(x) = 2.e2x

Turunan (u) diatas akan digunakan dalam rumus integral parsial u.dv = u.v - v.du . Dengan (u) sebagai F(x) dan (du) sebagai F(x)'. Dan untuk fungsi (v) dan (dv) dalam soal kita memilih fungsi (dv) dengan syarat (dv) diintegralkan sehingga membentuk (v). Contoh-contohnya untuk integral dibawah ini :

1. 3x2 = (3/3).x3 x3 + C2. sin x = cos x + C

Setalah menemukan turunan (u) menjadi (du) dan integral (dv) menjadi (v). Nilai akan siap dimasukan ke dalam rumus integral parsial. Sebagai contoh perhatikan soal contoh dibawah ini :

1. x2.(x + 3)2 = x2 . (x2 + 6x + 9)Untuk (u) kita mengambil fungsi x2 dan (dv) adalah (x + 3)2 atau (x2 + 6x + 9) sehingga :(u) = x2 (du) = 2x(dv) = (x+3)2 = (x2 + 6x + 9) (v) = (1/3 x3 + 3x2 + 9x)

Setelah menemukan (u), (du), (dv), dan (v) soal siap untuk dimasukan ke dalam rumus integral parsial menjadi :

u.dv = u.v - v.du x2.(x+3)2 = (x2). (1/3 x3 + 3x2 + 9x) - (1/3 x3 + 3x2 + 9x). (2x) x2.(x+3)2 = (1/3 x5 + x4 + 9x3) - (2/3 x4 + 6x3 + 18x2) x2.(x+3)2 = (1/3 x5 + x4 + 9x3) (10/3 x5 + 3/2 x4 + 6x3) x2.(x+3)2 = (- 9/3 x5 3/2 x4 + 3x3)

Jadi integral parsial dari x2.(x+3)2 hasilnya (- 9/3 x5 3/2 x4 + 3x3).

IV.III Contoh Soal Penyelesaian Integral Parsial

1. JawabanPertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u. Secara umum, pedomannya adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana. Untuk kasus ini, pilihlah Karena memilih berarti Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial 2. JawabanAda dua kemungkinan untuk memisalkan u, yaitu atau . Tetapi kita memilih karena turunannya lebih sederhana dibanding .Jadi misalkan : Lalu Lakukan substitusi u dan v

3. JawabanMelihat soal diatas, ada 2 fungsi yang bisa dijadikan u. Lalu dengan mempertimbangkan prioritas permisalan, kita memilih dan Lalu Lakukan substitusi integral parsial Bentuk menyebabkan kita harus sekali lagi melakukan metode integral parsial. Jadi lakukan permisalan : Dan sama seperti sebelumnya Lakukan substitusi sekali lagi melanjutkan yang tadi 4. JawabanBerdasarkan pedoman permisalan, lakukan permisalan dan Lalu : Lakukan substitusi menggunakan integral parsial Lakukan proses integral parsial sekali lagi pada persamaan , kali ini dengan memilih lagi, dengan . Karena persamaan u sama, langsung saja ke persamaan dv. Substitusi untuk Tulis lagi persamaan semula, dan lakukan substitusi

5. JawabanSesuai dengan prioritas permisalan, maka kita pilih persamaan dan . dan Masukkan ke dalam rumus integral parsial 6. JawabanMisalkan sehingga Lalu sehingga . Setelah itu masukkan ke rumus integral parsial. Misalkan lagi untuk melakukan integral parsial pada . Kali ini pilihlah sehingga . Lalu sehingga dan masukkan kembali ke rumus integral parsial Karena masih ada bentuk integral parsial di penyelesaian, maka misalkan sekali lagi. Kali ini sehingga .Lalu sehingga . /p>Masukkan ke rumus integral parsial lagi 7. JawabanMisalkan dan . Cari nilai du terlebih dahulu. Lalu cari nilai v Masukkan ke rumus integral parsial 8. Jawaban Misalkan sehingga dan sehingga . Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

BAB V : PENUTUP

V.I Kesimpulan

Kesimpulan makalah ini dapat diambil dari isi pokok pembahasan yang telah dijelaskan diatas yakni Mengenai Integral. Secara umum Integral terbagi menjadi tiga bagian yaitu Integral Tak Tentu, Integral Tertentu, dan Integral Parsial. Masing-masing Integral memiliki persamaan atau rumus/teorima yang berbeda-beda, Sehingga dengan demikian Jika terdapat persoalan Integral yang terdapat dalam pembahasan diatas maka cara penyelesaianyapun harus memenuhi kaedah yang telah ada.

V.II Saran

Saran yang patut diberikan dalam pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut :

1. Hendaknya dapat menyelesaikan persoalan-persoalan integral sesuai dengan penduan teorima integral yang ada baik integral tak tentu, integral tertentu, dan integral parsial.

DAFTAR PUSTAKA

http://id.wikipedia.org/wiki/Integral_tak_tentuhttp://xxcilasxsweetseventyfive.wordpress.com/2013/05/15/integral-tak-tentu-dan-integral-tentu/http://hernakuncoro.blogspot.com/2010/02/integral.htmlhttp://matemakita.com/integral/integral-tak-tentu-dan-integral-tentu.phphttps://www.google.com/#q=rumus+integral+tentu