NPM : 2013110002

Prodi : Teknik

Informatika

Dosen : Ir.Dedy

Hermanto,MT

1. Transformasi Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar. Koordinatpolar (Gambar1.1) Titik (x, y) dalam koordinat bidang dapat dinyatakandalam koordinat polar(r, Ѳ). Hubungan antara besaran dalam koordinatkutup dan koordinat polar sebagai berikut :

Gambar 1.1

Integral lipat dua dalam koordinat polar (Gambar1.2)

Gambar 1.2(a) :

D = {(r,Ѳ)|a≤r≤Ѳ , a≤Ѳ≤β}

Gambar1.2(b): dA = rdrdθMaka kita dapatkan :

CONTOH

1. Hitung

Dengan D adalah bidang

setengah lingkaran jari-jari

2.

Jawab :

D={(r,θ)|0≤r ≤2, 0 ≤θ ≤ }

= 8

= 8 [ -cos + cos 0 ]

= 16

2. Hitung

dengan S adalah

bidang lingkaran

Jawab :

Persamaan lingkaran berpusat

pada (0,0)

& brjari-jari 2. maka S={(x,y)|

}.

Dalam bentuk polar,

S*={(r,θ)|0≤r ≤2,

0 ≤θ ≤2 }.Dengan

transformasi

koordinat, :

seperti gambar ini :

3. Hitung

Jawab : D = {(x,y)|o≤y ≤1, y ≤x ≤ }. Daerah ini pada Gambar

dibawah ini :

Titik potong kedua kurva: X1 = X2

Maka

Untuk y=1,x=0 maka ⇨

Sehingga diperoleh D* = {(r,θ)|0 ≤1 ≤, 0 ≤θ ≤ /2}.

Maka,

2. MENGGANTI PEUBAH

INTEGRAL(TRANSFORMASI JACOBI)

Misalnya daerah S dalam bidang uv ditransformasikan satu ke

satu pada daerah D dalam bidang xy dengan persamaan

berbentuk:

X = g(u,v), Y = h(u,v) ⇨ Gambar2.1 :

Maka Turunan parsial kontinu :

Dengan J(u,v) adalah determinanan Jacobi yang

didefinisikan sebagai berikut :

CONTOH

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh xy=1, xy=4, y=2x, dan x=2y.

Jawab :

Dareah yang dimaksud Gambar 2.2 ⇨

Pilih U=XY dan V=Y/X.

Sebelum kita menentukan determinan Jacobi kita tentukan duluturunan parsial u dan

masing-masing terhadap x dan y sebagai berikut :

Persamaan garis pada bidang –uv yang berkaitan dengan garis padabidang u-v ialah :

Xy=1 ⇨ u=1 ; y=2x ⇨ y/x =2 ⇨ v=2;Xy=4 ⇨ u=4 ; x=2y ⇨ y/x= ½ ⇨ v=1/2;

Maka, S= = {(u,v)| 1 ≤ u ≤ 4, ½ ≤ v ≤2 }. Dan luas daerah D adalah :

3. TRANSFORMASI INTEGRAL LIPAT TIGA PADA

KOORDINAT TABUNGKoordinat tabung hubungkan dengan koordinat bidang(x,y,z) dan koordinat

tabung (r,θ,z)

Seperti gambar berikut ini ⇨

Transformasi Integral Lipat Tiga pada Koordinat Tabung (Gambar3.1).

Gambar 3.1 a : proyeksi B pada

bidang-xy dengan

D={(r, θ)| θ1≤θ≤θ2,r1(θ)≤r≤r2(θ)} . Pada

sumbu-z, benda B dibatasi oleh Z=

Z1(r,θ) dan Z= Z2(r,θ). Maka benda

pejal B ialah :

B={(r, θ, z)| θ1≤θ≤θ2,r1(θ)≤r≤r2(θ),z1(r,

θ)≤z≤z2(r, θ)}

Gambar 3.1 b :memperlihatkan

CONTOH

Benda B dibatasi oleh tabung X2+Y2=4, bidang xoy, dan bidang

y+2z=2. Tentukan volume benda B.

Jawab : Gambar 3.1 (a) :

Benda B

Gambar 3.1 (b) :

Proyeksi bendaB pada

bidang xoy ialah daerah D.

Jika ditransformasikan

ke koordinat

tabung , diperoleh :

X2+Y2=4 r2 = 4

r=2

Dengan demikian, daerah D={(r, θ)| 0≤θ≤2 , 0≤r≤2}. Batas-

batas pada sumbu z adalah

bidang xoy(z=0) dan bidang y+2z=2. Koordinat tabung r sinθ

+2z= 2z = 1 – ½ rsinθ

4 . TRANSFORMASI INTEGRAL LIPAT TIGA

PADA KOORDINAT BOLA

Titik-titik pada koordinat bola dinyatakan oleh (r, θ, ф) dan

hubungannya dengan koordinat

bidang (x, y, z) seperti diperlihatkan pada Gambar 4.1 ⇨

Elemen volume dV dalam koordinat bole diperlihatkan pada

Gambar 4.2 ⇊

dV = r2sin фdrdθdф

Hubungan antara integral lipat tiga dalam

Koordinat bidang dan koordinat bola dinyatakan

Sebagai berikut :

CONTOH

Buktikan bahwa volume bola berjari-jari R adalah 4/3 R3 .

Jawab :

Daerah pengintegralan bola adalah B={(r, θ, z)| 0≤θ≤2 ,

0≤θ≤ , 0≤r≤R} (Gambar 4.3)