Buku Ajar Kalkulus II

download Buku Ajar Kalkulus II

of 62

  • date post

    11-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    1.622
  • download

    99

Embed Size (px)

Transcript of Buku Ajar Kalkulus II

BAB IINTEGRAL TAK TENTUKompetensi Umum: Mahasiswaterampil menentukanintegral taktentudari suatufungsi tertentu dengan menggunakan rumus-rumus yang telah dipelajari serta dapat menggunakankonsepintegral taktentuuntukmenyelesaikansuatumasalah sederhana. Kompetensi Khusus: Mahasiswa dapat: a)menentukan anti turunan suatu fungsi tertentu.b)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna- kan aturan pangkat.c)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna- kan rumus pokok integral fungsi trigonometrid)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna-kan aturan pangkat yang diperumume)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna-kan teknik subsitusi dengan variabel baruf)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna-kan teknik subsitusi tanpa variabel barug)menggunakan konsep integral tak tentu untuk menyelesaikan suatu masalah sederhanaPendahuluanKonsep integral tak tentu diperkenalkan sebagai invers pendiferensialan, sehingga integral tak tentu didefinisikan sebagai anti diferensial. Anti diferensial adalah bentuk paling umum dari anti turunan. 1.1 Anti TurunanAndaikan dari bentuk F(x)=f(x) atau dF(x)= f(x) dxakan ditentukan fungsi F.Fungsi Fyang demikian kita namakan anti turunan atau fungsi primitif darif .Definisi 1.1: (Anti Turunan)Andaikan fungsifterdefinisi pada selang terbuka I.Fungsi F dinama-kan anti turunan atau fungsi primitif darifpadaI , jika dipenuhi F(x) = f(x)padaI. ContohAndaikan F (x) = x2maka F(x) = 2xdiR Sehinggaanti turunan darif(x) = 2xadalah F(x) = x2 . Anti turunan dari suatu fungsitidak tunggal, perhatikan bahwa fungsi G dan H berikut juga anti turunan dari f.G(x) = x2 + 3 juga anti turunan darif(x) = 2xsebabG(x) = 2x = f(x)H(x) = x2 5 juga anti turunan darif(x) = 2xsebab H(x) = 2x = f(x)Jadi fungsi f(x) = 2x mempunyai banyak anti turunan atau fungsi primitif.Perbedaan anti turunan yang satu dengan yang lain terletak pada konstanta nya saja. Kenyataan ini berlaku untuk semua fungsi, hal ini dijamin oleh teoremaJikaF(x) = G(x)untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstantaC sedemikian hingga F (x) = G(x) + C Teorema tersebut sudah anda pelajari di Kalkulus I (Kalkulus Diferensial).Adanya perbedaan anti turunan yang satu dengan yang lain hanya pada konstantanya maka terdapat bentuk anti turunan yang paling umum (merupakan keluarga fungsi) yang dinamakan anti diferensial.Definisi 1.2: (Anti Diferensial) Anti diferensial adalah bentuk paling umum dari anti turunan.JikaF(x) = f(x) pada selang terbukaI, maka anti diferensial darif(x)padaI adalahy = F(x) + C dengan C konstanta sembarang.Contoh1.UntukF (x) = x3 1 diperoleh F(x) = 3x2 = f(x)diRmaka anti diferensial darif(x) =3x2 di Radalah y = x3 1 + Catauy = x3 + C2.UntukF (x) = sin x diperoleh F(x) = cos x = f(x)diRmaka anti diferensial darif(x) =cos xdi Radalah y = sin x + C1.2 Intergal Tak TentuProses menentukan anti diferensial adalah kebalikan dari proses menentukan diferensial, yaitu dariF(x) = f(x)diperoleh dF(x) =f(x) dxdenganf diketahui. danFakan ditentukan.Proses ini disebut integral tak tentu, istilah tak tentu berarti memuat konstanta riil sembarang.Leibniz memperkenalkan cara penulisan simbol operasi anti diferensial dengan dx .... Definisi 1.3: (Integral Tak Tentu)Andaikan fungsifterdefinisi pada selang terbuka I dan fungsiFadalah suatu anti turunan dari fungsifpadaI.Proses menentukan anti diferensial dari fungsi f dinamakan integral tak tentu dari f pada I, disajikan dengan lambang + c x F dx x f ) ( ) ( dengan C konsanta sebarangdan dibaca integral tak tentu darifdengan peubah x atau integral tak tentu dari f terhadap peubah x secara singkat integral fterhadapx.Catatan1lambangadalah lambang integral2lambang dx ... adalah operator integral3f(x) adalah fungsi yang diintegralkan dinamakan integran4istilah tak tentu berarti mengandung konstanta sembarang5pekerjaan menghitung integral adalah mengintegralkan Perhatikan! i. Hubungan turunan, diferensial, dan integral tak tentu.) ( ) ( x f x F

+ C x F dx x f x dF x f x dF x fdxx dF) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () (turunan diferensial anti diferensial (integral tak tentu) ii. Turunan dari suatu integral tak tentu adalah integran, [ ] [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( x f x F C x Fdxddx x fdxd + Contoh1.C x dx x x d dx x x d xdxx d+ + + +3 23 ) 13(23 ) 13( 23) 13( 2.[ ] x xdxdxdcos cos 1.3 Rumus-rumus Integral Tak TentuTeorema 1.1:(Aturan Pangkat)Jikanadalah bilangan rasional sembarang kecuali1,maka Cnnxdxnx +++11 Bukti:Karena [ ] [ ] ) ( ) ( ' ) ( ) ( x f x F C x Fdxddx x fdxd + ,maka bukti teorema tersebut sebagai berikutnxnnx nCnnxdxd +++ +++11]1

01) 1 (11Contoh C x Cxdx x dx dx + +++ 1 01 001C x Cxdx x + +++991

1 81 88CtCtdt t dtt+ ++ + 1 1 21 2221Dapat kita pahami bahwa x adalah variabel boneka artinya bahwa jika untuk setiap kemunculan x diganti dengan variabel lain misalnya t, u, v dsb, nilai integral tak tentu tersebut tidak berubah. dsb ... . ) ( ) ( ) ( ) ( dv v f du u f dt t f dx x fContoh

( ) ( ) ( ) dsb .... 3 3 32 2 2 du u dt t dx xTeorema 1.2: (Integral Fungsi Trigonometri) + + + + + + C xx dx xvi. C xx dx C xx dx xC xx dx C xx dxC xx dxicsc csc cottan2sec. iiisec sec tanv. sin cos ii.cot2csc iv. cos sin ..Bukti teorema i,bukti teorema lainnya diserahkan kepada pembaca.Bukti: C x dx x x xdxC x d+ + cos sinmaka sin ) sin () cos (KarenaTeorema 1.3: (Kelinieran...dx )Andaikan fungsifdang mempunyai integral tak tentu dan andaikan k suatu konstanta, maka [ ][ ] + + ) ( ) ( ) ( ) ( .) ( ) ( ) ( ) ( .) ( ) (. dx x g dx x f dx x g x f iii dxx g dx x f dx x g x f ii dx x f k dxx k f i ii dan iiidapat diperluas untuk sejumlah berhingga fungsiBukti teorema i, bukti teorema lainnya diserahkan kepada pembaca.Bukti:

[ ] [ ] dx x f k dx x kf x kf dx x fdxdk dx x f kdxd) ( ) ( maka ) ( ) ( ) ( KarenaContoh ( )( ) cos221

2 1cos221

2cos1221 sin ) sin ( .C x xC C x x C x C xdx x dx x dx x x+ + + + + ,_

+ + + 1( )( )C x x xC C C x x xC x C x C xdx dx x dx x dx x x+ + + + + + + + ,_

+ ,_

+ + + 6225 441 362516225 441 36222151441

6 53) 6 53( . 2Teorema 1. 4: (Aturan Rantai untuk Anti Pendiferensialan) Andaikan g adalah fungsi yang dapat didiferensialkan dengan daerah nilainya adalah selang I, danandaikanfadalah fungsi yang didefinisikan pada selang I serta F adalah anti turunan dari f pada I, makaC x g F dxx g x g f + )) ( ( ) ( )) ( (Bukti: Menurut aturan rantai turunan suatu fungsi diperoleh[ ] ) ( ' )). ( ( ) ( ' )). ( ( ' )) ( ( x g x g f x g x g F C x g Fdxd + Oleh karenanya,berdasar definisi integral tak tentu berlaku C x g F dxx g x g f + )) ( ( ) ( )) ( (Contoh( )( )) ( sin ) ( ) ( ) 1 cos( 2 ). 1 sin( ). 1 sin( 2.) ( cos ) ( ) ( ) ( 2 sin 2 . 2 cos2 2 2 .t tf g'(x) x gC t dt t t dt t tt tf xg' x g C x dx x + + + + + 21 Teorema berikut merupakan keadaan khusus dari teorema 1.4.Teorema 1. 5: (Aturan Pangkat yang Diperumum) Andaikan g adalah fungsi yang dapat didiferensialkan dan n bilangan rasional yang bukan 1, maka [ ][ ]Cnnx gdx x gnx g +++ 11) () ( ) (Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.Contoh( )1

7 3221) 3 2 )( 7 32(.5 61261 ) 2 (5122 + ,_

+ + + ,_

n g'(x) g(x)C x x dx x x xn g'(x) g(x)C x dx x x21.Teknik Subsitusi Dengan Variabel BaruJika pada teorema 1.4 dan 1.5 di atas,dimisalkang(x) = umakad[g(x)] = dusehingga g(x) dx = du Dari teorema 1.4 diperoleh C x g F C u F duu f dxx g x g f + + )) ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( Dari teorema 1.5 diperoleh[ ][ ]Cnnx gCnnudu nu dxx gnx g ++ ++ 1) ( 1) ( ) ( Prosedur ini selanjutnya disebut teknik subsitusi dengan variabel baruContoh( )( ) cos . in3 . 3 sin Jadi3) 3 (3 misalan Penyelesai3 . 3 sinHitung .C udu u s dx xdu dxdu x duxdx x+

: 1( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) C xC udu u udx x x dx x xdu dxdu x duxdx x xdx x x+ + 2 secsec . sec tan2 . 2 sec 2 tan 2 sec 2 tan 2Jadi2 ) 2 (2 misal2 . 2 sec 2 tansebagai Pandang an Penyelesai 2 sec 2 tan 2 Hitung . : 2( )( )C x C udu u dx x xdu xdxdu x duxdx x x + ,_

+ 61261

661

5) 2 (512Jadi 2) 12( 12isal man Penyelesai ) 2 .(512Hitung

:3.C x x C u du u dx x x x dx x x x du dx x du x x du xxdx x x xdx x x x+ ,_

+ + + + + + + + 47 32414413) 3 2 (3) 7 32(3) 7 32)( 3 2 ( Jadi) 32() 7 32(7 32misal) 3 2 (3) 7 32( sebagai Pandang : an Penyelesai3) 7 32)( 3 2 ( Hitung . 4Teknik Subsitusi Tanpa Variabel BaruKarena g(x) dx = d[g(x)] makadari teorema 1. 4 dapat diperolehC x g F x g d x g f dxx g x g f + )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( )) ( ( dan dari teorema 1.5 diperoleh[ ] [ ][ ]Cnnx gx g dnx g dxx gnx g ++ 1) ()) ( ( ) ( ) ( ) ( samaPada ruas kanan kita pikirkan g(x) sebagai u Prosedur ini selanjutnya disebut teknik subsitusi variabel baruContoh ( )( ) ( ) ( ) C x x d x dx xx d dxdx x+ 3 tan ) 3 ( . 3 sec 3 . 3 sec maka) 3 ( 3 Karena3 . 3 sec Hitung .2 22 : an Penyelesai1( ) ( )( )Cnnudunu C xx d xdx x d x dx x x+++ + ,_

11 karena 61261

) 12( 2 karena 12512 ) 2 (512. 2( ) ( ) ( ) ( )( )( ) C xC xx d dx x d x dx x+ + + + + + + + 57 3151 57 351.31 1 331 karena 7 347 331 47 3 3.Latihan 1.1Hitunglah dengan berbagai cara yang telah anda pelajari di atas( )( )( )( ) ( )( )( ) t dt t. dx x xdx x dx xdx x x x dx x x x dx x x . dx x x dx x .dxx.dx x. dx xdx x x .dx x x .dx x dx xdx x x dx x xdxxx xdxxxdxxxx dx x xdx x dx x3 cos 32sin 24 sin cos . cos23. 4 5 sin22.2 cos. 2153 22120. 3921 219.13 28 1 312 . 7 12) 4 8 ( 16 7 3 157) 5 2 ( 4 121 213.) 6 (9)23 1 ( 12 ) 2 (5) 12( 11

32. 10 21) ( 9.) cos 2 (3sin8. ) sin (37.

6 42 6.282 3x 5.)21 2(3 4 ) 4325(. 32112. 4 5. 1 +

,_

+ ,_

+ ++ ,_

+ + + ++ + + + +

,_

+ 30 cos 1sin2941sin41cos218 2sin27342236 2 31121253dx x x . dxxx. dxxx. dt tt. dyyy. dxxx. ++1.4 Penggunaan Integral Tak TentuDalambahasan ini, kita akan menggunakan integral tak tentu untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial dan masalah yang melibatkan persamaandiferensial. Tetapi di sini kitaakanmembatasi perhatiankitapada persamaan diferensial sederhana yaitu persamaan diferensial yang hanya mengandungturunantunggal dari fungsi yangtidakdiketahui denganpeubah-peubah yang dapat dipisahkan. Kita ingat kembali hubungan turunan, diferensial, dan integral tak tentu. Andaikan fungsiy= F(x) dengan) ( ) ( ' x f x Fdxdy maka kita peroleh hubungan + C x F dxx f dyy dxx f dy x fdxdy) ( ) ( ) ( ) ( \Jika pada bentuk dx x f dy x fdxdy) ( atau) ( , f(x) diketahui danyakan dicari maka bentuk tersebut dinamakan persamaan diferensial disingkat PD. Persamaan diferensial (PD) adalah sembarang persamaan dengan hal yang tidak diketahui berupa fungsi dan yang melibatkan turunan atau diferensial fungsi yang tidak diketahui tersebut. Misal,

( ) dsb 0 2. 0 1.22223 + + + xydxdydxy dydxy dxdxdyMenyelesaikanPDadalahmencari fungsi yangtidakdiketahui tersebut. Prosedur yangkitagunakanuntukmencari penyelesaianPDsederhanasebagai berikutPertama, ubah PD menjadi dx x f dy y f ) ( ) ( dengan memisahkan variabel x dan y. Kedua, integralkan kedua ruas dan sederhanakan sehingga diperoleh fungsi C x F y + ) (. Fungsi ini merupakan jawab (pemecahan) umum PD.Ketiga,untuk menentukan jawab khusus PD.carilah nilai C berdasarkan syarat PD selanjutnya subsitusikan nilai C ke jawab umum PD.Contohumum) jawab (disebut331 adalah tersebutPD jawab Jadi 331 12 12125

125 Selesaikan.C x x yC x x ydx x dydx x dy xdxdyxdxdy+ + + +

,_

+

,_

+ + + : an Penyelesai17221 2adalah tersebut PD khusus jawab Jadi 7221 2diperoleh PD umum jawab dalam 7 an Subsitusik7 22 .2123diperolehPD umum jawab dalam 2 di 3 syarat an subsitusik a Selanjutny

PD umum jawab221 2

241C221

21

21 2

2 di 3 untuk 2 Selesaikan.2 1+ + + + + + x yx y CC Cx yC x yC x yxdx dy ydx x dy yyxdxdyx yyxdxdy: an Penyelesai2222229 , 4sehinga 0 diperoleh0 ) 0 ( anSubsitusik 9 , 4 ,8 9 8 , 98 , 9 Dari8 , 9sehinga 0 diperoleh0 ) 0 ( anSubsitusik 8 , 9 ,8 9 8 , 9 diperoleh 8 , 9 Dari 0 ) 0 ( dan 0 ) 0 ( awal syaratdengan8 , 9 adalah rsebutmasalah te dari matematika model Sehingga danmaka percepatan danlaju, menyatakan ditempuh, yang jarakmenyatakan Bila . m/detik 9,8 ituditempatgrafitasi percepatan bila itusaatpada lajunya an dan tentuk tanahmencapai itubola detikberapa Setelahm. 169 tingginya yang gedung suatudari datardianggap yang tanahpermukaanke lurus tegakdijatuhkan bola Sebuah.22atau22adalahditanyakan yang kurva persamaanJadi1 diperoleh(*) dalam 1 untuk 2 an Subsitusik.......(*) .......... .......... 22adalah PD umum Jawab 21

1 212

212 221 tersebut, PD Selesaikan 1 untuk2 syarat dengan 221

adalah itumasalahuntuksesuai yang matematika Model

. ordinatnya kuadratsetengahtitiksembarang pada singgung garis arahkoefisiendan(1,2) titikmelalui yang kurva persamaanTentukan.t s C sC t s dt t ds dt t ds t vdtdst v C vC t v dt dv dt dvdtdvs v adtdvdts ddtdvadtdsva v sxyxyC x yC xyC xydxydydxydyydxdyx y ydxdy + + + + : an Penyelesai: an Penyelesai43Latihan 1.2Untuk nomor1 s.d 10 carilah fungsi yang memenuhi ( )(1,1) dan titikasal titikmelalui fungsi rafik; 23 2 122 . 2 13. dan(4,4) titikmelalui fungsi rafik;8322 . 11822dan , 0 , 0 di 5 ; 03310. 3 dan , 0 di 1 ;6 222 .. 92 di 1 ;02 3 . 8 0 di 3 ; 021. 71 di 1 ;121. 61 di 1 ;212. 523 4.. 34) 52( 2. 37. 1g x xdxy ddxdygxdxy ddxy ddxdyx ydxy ddxdyx y xdxy dx y y xdxdyx y x xdxdyx yy xdxdyx yxxdxdyxydxdyy xdxdyx xdxdyxdxdy + + + + 13. Jika y = 3 untuk x = 3 dan 22yxdxdycarilah nilai y untuk x = 114. Tentukan persamaan fungsi implisitF(x,y) = 0 yang melalui titik (2,-1) dan koefisien arah garis singgung grafik fungsi disembarang titik ditentukan dengan persamaan 0 ,4' yyxy15. Jika grafik fungsi) (x f y melalui titik (9,4) dan koefisien arah grafik fungsi tersebut di sembarang titik adalahx y 3 ' . Tentukan persamaan fungsi tersebut! 16. Di suatu titik (x,y) pada grafik fungsi f diketahui f(x) = 2. Jika pada daerah definisinya grafik fungsifhanya mempunyai tepat satu titik belok di (1,3) dan garis singgung di titik beloknya sejajar dengan garis y= 2xmaka tentukan persamaan fungsif. 17.Kira-kira dengankecepatan berapa seorangpenyelam memasukiair setelah melompat dari tebing sungai setinggi 30 meter. (Gunakan percepatan grafitasi ditempat itu 9,8 m/det2)18. Percepatanyangdisebabkanolehgrafitasi suatutempat adalah9,8m/det2. Sebuahpeluruditembakkanluruskeatasdari permukaantanahtempat itu yang dianggap datar dengan kecepatan 50 m/det. Setelah berapa detik peluru mencapai titik tertinggi dan berapa jarak titik tertinggi tersebut dari tanah?19.Suatu titik meteri bergerak dari keadaan diam dengan percepatanpada setiap t ditentukan dengan persamaan a(t) = t(4 t) m/det2 . Tentukan kecepatan titik materi itu sebagai fungsi darit. Setelah berapa detik titik materi itu berhenti dan bergerak lagi. Tentukan persamaan gerak titik materi itu.20. Seorangkolektor benda-bendaseni membeli sebuahlukisandari seorang senimanseharga$1000, yangnilainyasekarangbertambahsejalandengan berjalannya waktu sesuai dengan rumus 50 10 5 + + t t tdtdvdengan vadalah nilai dolar yangdiharapkandari lukisansesudahttahunpembelian. Jika rumus ini berlaku untuk 6 tahun kemudian, berapa nilai harapan dari lukisan itu empat tahun dari waktu pembelian?1.5Penggunaan Integral TentuIntegral tentu khususnya integral tunggal dapat digunakan dalam meng-hitung luas daerah bidang rata, volume benda putar, panjang kurva, luas permukaan benda putar, usaha yang dilakukan oleh gaya tertentu, gaya pada cairan, momen dan pusat massa.A. Luas Daerah Bidang Rata Untuk menghitung luas daerah bidang rata menggunakan integral diperlukan prosedur sbb: Gambar daerah bersangkutan Potong menjadi jalur-jalur Hampiri luas suatu jalur dengan luas persegi panjang Jumlahkan luas hampiran tersebut Ambilah limit dari jumlah itu dan nyatakan dalam integral Hitung Integralnya = luas daerah.y=f(x)yy=f(x) y y D y=g(x) Da b a b xx abx DGambar 1.Gambar 2. Gambar 3. 1.Daerah di atas sumbu-x Perhatikan gambar 1daerah datar D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) denganf(x) 0pada [a,b], garisx = a,garis x = b,dan sumbu-x. Luas daerah Dyang demikian dapat dinyatakan sebagai badx x f D L) ( ) (

2.Daerah di bawah sumbu-x. Perhatikan gambar 2daerah datar D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y= f(x) dengan f(x) 0 pada [a,b],garis x = a,garis x = b,dan sumbu-x.Luas daerah D yang demikian dapat dinyatakan sebagai badx x f D L) ( ) (3. Daerah antara dua kurva Perhatikan gambar 3.Daerah datar D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y= f(x), kurva y = g(x) dengan f(x) g(x) pada [a,b],garis x = a,garis x = b, dan sumbu-x.Luas daerah D yang demikian dapat dinyatakan sebagai [ ] badx x g x f D L) ( ) ( ) (

Bahan diskusi1. Bagaimana bentuk integral yang menyatakan luas suatu daerah yang terletak di kanan sumbu-y, di kiri sumbu-y, dan antara dua kurva, jika kurva pembatasannya dinyatakan sebagai x = f(y) dan garis-garis pembatasnya y = c, y = d, dan sb y.2. Tunjukan luas daerah: persegi panjang, segitiga,trapesium, lingkaran dengan menggunakan integral tunggal. 3. Hitung luas daerah yang dibatasi kurva-kurva dan garis-garis sebagai berikut:x x y ,x y x x x x yx ,x x,x y x y , x y y x , x x x y- sumbu dan, 6 f. - sumbu dan 62 3c.0 x ,2y 6yx e.- sumbu dan , sin b.22d. - sb dan - sb , 2 3 22a.+ + B. Volume Benda PutarBenda putar adalah benda pejal yang didapat dari hasil pemutaran daerah datar terhadap suatu garis tertentu (sumbu putar). Dasar perhitungan menggunakan rumus volume tabung1. Metode Cakram Jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x), garis x = a, x = b, dan sb-xdibawah, diputar mengelilingi sumbu x , akan didapat suatu benda putar. Apabila benda putar ini dipotong-potong tegak lurus sb-x akan diperoleh lempengan berupa cakram.Andaikan lempengan yang ke-i memiliki tebal xi dan volume Vi . xi y=f(x)f(xi)axi b sb x hRumus dasar:h r V2 dengan) (ix f r dan ix h Volume lempengan ke-i [ ]ixix fiV 2) ( Jika dijumlahkan dan diambil limitnya diperoleh V=dxbax f 2)] ( [

sumbu putar sumbu x2.Metode Cincin Jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dan y = g(x) di bawah diputar mengelilingi sumbu x , akan didapat suatu benda putar. Apabila benda putar ini dipotong-potong tegak lurus sumbu-x akan diperoleh lempengan berupa cincin. Andaikan lempengan yang ke-i memiliki tebal xi dan volume Vi . xi

y=f(x)r1y=g(x)r2 sbxabhRumus dasar ( )h r r h r h r V2221 2221 Volume lempengan ke-i [ ]ixix gix fiV 2) (2) ( Jika dijumlahkan dan diambil limitnya diperoleh V = [ ]badx x g x f2) (2) ( , sumbu putar sb x3.Metode Kulit TabungDalamberbagai persoalan metode ini lebih mudahdigunakan. r1r2

h h

K=2 rr = r1 r2Rumus dasar ( )( )( )( )( )x tebal x tinggi jari - jari rerata x2 2 1

22 1 2 2 1 2 1

2221 2221 + + r r hr rh r r r rh r r h r h r V

[ ] [ ]x x f x Vixix fixiV ) ( 2 sehingga ) ( 2 yy y=f(x)xif(xi) a b a bxiSehingga volume benda putar [ ] dxbax f x ) ( 2,sumbu putar sb y

Bahan diskusi I. Tuliskan integral yang menyatakan volume benda putar yang terjadi kemudian hitunglah, jika daerah D dibatasi kurva-kurva dan atau garis-garis yang persama-annya diberikan dan diputar mengelilingi sumbu putar yang diketahui di bawah ini. 1.y = 2x , x = 3 , sumbu x4.y = x2 + 1, x = 2, sumbu y2.y = 2x , x = 3 , sumbu y5.y = x + 1 , x = 2 , x = 5 , sumbu y3.y = x2 + 1, x = 2, sumbu x 6.y = 2x2r , y = 0, x = 0, sumbu xII.Apakah vormula yang kita bahas di atas mampu untuk menjawab persoalan berikut? Tentukan volume benda yang alasnyaadalah suatu daerah rata pada kuadran yang dibatasi oleh 412xy , sumbu x dan sumbu y dan andaikan penampang-penampang yang tegak lurus sumbu x berbentuk persegi. Jika tidak, bagaimana kita menghitungnya?Latihan: Soal-soal6.2 dan 6.3. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5C. Panjang Kurva pada Bidang (Kurva Rata)Definisi: Sebuah kurva rata disebut mulus apabila kurva tersebut ditentukan oleh persamaan-persamaan b t a t g y t f x , ) ( ), ( , dengan ketentuan bahwa turunan-turunanf dan gkontinu pada [a,b] sedangkan f(t)dan g(t) tidak bersama-sama nol pada (a,b)Andaikan terhadap sebuah kurva mulus dengan persamaan parameter b t a t g y t f x , ) ( ), ( kita buat partisi pada selang[a,b] menjadi n selang bagian dengan titik-titik a=t0

< '>< xxxxxx xdxx dfx xx xx x fx x fIntegral Fungsi Logaritma AsliBerdasarkan contoh 2 di atas, kita peroleh0 , ln1dan 0 , ln1 + + u C u duux C x dxx Contoh:4 2 ln23

) 4 2 (4 21 21. 3 4 2134 23atau 4 2 ln23 ln23

1 23 21.134 23 Sehingga .214 2 Misal : Jawab 4 23TentukanC xx dxdxxdxxC x C uduuduudxxdu dx u xdxx+ + + Sifat Logaritma AsliTeoremaJika a dan b bilangan-bilangan positif dan r bilangan rasional, makaa r a ivb abaiiib a ab iiirln ln.ln ln ln.ln ln ln.0 1 ln. + Bukti:T.i. 011 ln diperolehdefinisi Dari11 dttT. ii.Karena untuk x > 0 berlaku[ ] [ ]xxdxdxaaxaxdxd 1ln dan 1.1ln makaC x ax + ln lnuntuk x = 1 diperolehC = ln a sehinggaa x ax ln ln ln + dan jika kita subsitusikanx = b kita peroleh b a ab ln ln ln + T. iii. Jika pada T.ii kita subsitusikan 0 1 ln ln perolehkita1 abbab ababababbbbbbln ln1ln ln1. ln ln sehinggaln1ln maka ln1ln .1ln padahal + + T. iv. Karena untuk x > 0 berlaku[ ] [ ]xrx rdxdxrrxxxdxdrrr ln dan.1ln1makaC x r xr+ ln lnuntuk x = 1 diperolehC = ln 1= 0 sehinggax r xrln ln Contoh 1:[ ]( )( ) [ ]( ) 8 ln21324ln213 ln 24 ln21 1 ln21111 21

1atau

8 ln21324ln213 ln 24 ln21 ln21 1 21 1Sehingga

24 53 2 211 Misal : Jawab

1Tentukan522 25225222432435222522 x x dxdxxxu duudxxxu xu xdu xdxu xdxxxContoh 2:Tentukan turunan dari 3235lnxxy+Jawab:Karena [ ] x xxxy ln 2 3 ln ) 5 ln(3135ln32 + +Maka) 5 ( 310 205131++ 1]1

+x xxx x dxdy Grafik Fungsi Logaritma NaturalPerhatikan fungsiy = ln xdengan( ) R R Df f dan, 0, grafik fungsi ini melalui titik (1,0). Turunan pertama dan keduanya adalah

01dan 012 22< > x dxy dx dxdy Sehingga grafik fungsi naik dan cekung kebawah pada daerah definisinya. Kemudian + x xxxln limit danln limit0jadi sumbu y merupakanasymtot tegak.Y 0 1 XLatihan:Soal-soal 7.1. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 52. Fungsi InversKita akan mengulas secara umum pembalikan atau penginversan suatu fungsi. Kita ingat bahwa ciri suatu fungsi mempunyai balikan atau invers, apabila fungsi itu merupakan fungsi satu-kesatu, yaitu ( ) ( )2 1 2 1x f x f x x Sifat yang mudah adalah TeoremaApabila fmonoton murni pada daerah definisinya, maka fmempunyai invers.Selanjutnya apabila 1 f adalah invers dari fungsi f , maka sebaliknyaf juga merupakan infers dari fungsi 1 f.Jadi antara f dan 1 f saling menginvers dan berlaku(1 fo f)(x)= 1 f(f(x)) = xdan f(1 f(y)) = yJadi untuk membuktikan bahwa suatu fungsi mempunyai invers, tunjukkan bahwafungsi tersebut monoton murni atau berlaku (1 fo f)(x)= 1 f(f(x)) = xdan f(1 f(y)) = yCara untuk menentukan invers fungsiy = f(x) sebagai berikut:Langkah 1. Nyatakanxdalamydari persamaany = f(x)Langkah 2. Nyatakan bentuk dalam y sebagai x =1 f(y) Langkah 3. Gantikan y dengan x danx dengan ydari bentuk x =1 f(y)Perhatikan bahwa dengan menentukanx =1 f(y) dariy = f(x) berarti menentukan pasangan titik (x,y) yang sama atau identik, hanya menukar variabel x denganvariabel y sebagai varibel bebas. Penukaran ini mengakibatkan pencerminan grafik fungsi pada garisy = x. Jadi grafik fungsi invers dan grafik fungsi asalnya simetris terhadap garis y = x.Contoh: Jika fungsi f didefinisikan sebagai1) (+xxx f. Tentukan rumus fungsi invers, garfik fungsi dan grafik fungsi inversnya.Turunan Fungsi InversTeorema. (Turunan Fungsi Invers)Apabila fmempunyai turunan dan monoton murni pada selang I. Jika 0 ) ( x f pada suatu I x , maka 1 fmempunyai turunan di titik ) (x f y pada daerah hasil fdan berlaku ( )) (1) (1x fy f atau dxdydydx 1Contoh: Tentukan turunan dari ( ) ) 7 (1 f dari1 ) (3 x x f yLatihan:Soal-soal 7.2. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 53. Fungsi Eksponen AsliDari sifat kekontinuan fungsi logaritma natural kita dapat definisikan bilangan e (bilangan ini pertama kali digunakan oleh Leonhard Euler) sebagai berikut: Definisi1. Bilangan e adalah bilangan real positif yang merupakan jawab tunggal dari persamaanln x = 1 (atau memenuhi ln e = 1). Nilai hampirannya ialah 2,718281828459...2.xe adalah bilangan real yang memenuhi x ex ln3. Fungsi eksponen asli adalah suatu fungsi yang didefinsikan R x e x f yx , ) ( Dari definisi di atas dapat dibuktikan bahwa fungsi eksponen asli adalah invers dari fungsi logaritma asli.TeoremaFungsiR x e yx , adalah invers dari fungsi0 , ln > x x yAkibatnya:0, ln, > y y x R x e yxGrafik Fungsi Eksponen Asli y=ex y=xY y= ln x10 1XBentuk Limit Dari Bilangan eTeorema( )nnnnnnhhne ivne iine iii h e i

,_

,_

+

,_

+ + + + 11 limit .11 limit .11 limit .1 limit .10Bukti:i.Misalx x f ln ) ( maka111) 1 ( dan 1) ( fxx f sehingga ( )( )( )( ) hhhhhh h hh ex x fh ehhhhf h ff e101010 0 01 limit maka kesatu, - satu fungsi merupakanln ) ( fungsi Karena . 1 limit ln ln perolehkita1 ln limit1 lnlimit) 1 ( ) 1 (limit ) 1 ( 1 ln+

,_

+ + + + Selanjutnya silahkan anda buktikan ii, iii, dan iv dengan menggantikan nh 1 dari bentuk i.Sifat-sifat Eksponen AsliTeoremaAndaikan a dan b bilangan rasional, maka( )abba b abab a b ae e iii eeeii e e e i +.. ..Bukti i: b aebeaeebeaee e eb a +

,_

+

,_

ln ln. ln..Selanjutnya untukii dan iiisilahkan anda buktikan sendiri.Turunan Fungsi Eksponen AsliTeoremadxduedxdyx f u e yedxdye yu ux x. maka ) ( dengan , Jika2.makaJika1. Bukti:Karena 0, ln, > y y x R x e yxmaka xe ydxdyy dydx 1 Dengan aturan rantai, buktikan yang ke 2.Contoh:322 322232324 2) (dan 2) ( : Jawab) (dari kedua danpertama urunanTentukan t+ + +++ x x xxe x edxx f dxedxx dfe x fIntegral Fungsi Eksponen AsliDari sifat turunan fungsi eksponen kita perolehC e dxex x+ dan C e dueu u+ Contoh:( )e e e de e dx e e dx eC e x d e dx xedx xeexe xxe xxe xxex x xx 1]1

+ + 220202020) (522 525252. Hitung . 221521: JawabTentukan . 1Latihan:Soal-soal 7.3. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 54. Fungsi Eksponen Umum dan Logaritma UmumFungsi eksponen umum ialah fungsi eksponen dengan bilangan dasara > 0.Dari relasiR b e a a a bb > , 0 , ln kita peroleh 0,ln> a e aa sehingga ( ) 0,ln ln> a e e aa xxa xDefinisiFungsi eksponen dengan bilangan dasara > 0 dan peubah bebas x didefinisikan sebagaia x xe a x fln) ( Daerah definisinya adalah R Df dan daerah nilainya ( ) + , 0fRSifat-sifat Eksponen UmumTeoremaAndaikan a > 0 ,b > 0 , xdan y bilangan real, maka( )( )xyyxxxxy xyxx x x y x y xa a iiibabav aaaiib a ab iv a a a i

,_

+

. . ..Akan dibuktikan untuk iii dan v, yang lain buktikan sendiri.Bukti:( ) ( )xyxya a yxya xyxa e e e a iii ln ln ln. ( )yxb xa xb a x baxxbaeee ebav

,_

,_

lnlnln lnln.Diferensial dan Integral Fungsi Eksponen umumTeorema 1 ,lnatau 1 ,ln .. ln . ) ( ,. ln . + + a Caadu a a Caadx a iiidxdua adxdyx f u a y iia adxdya y iuuxxu ux xBukti: 1 ,ln 1 , ) (ln1

1 , ) (ln1ln) (.ln) ( ln) (.) (1 ln ln ) ( ln ) ( . + a Caadx aa x dfadx aa dx a x dfaa adxx dfiiia adxx dfadxx dfx fa x a x f a x f ixxxx xxx x

Contoh:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x xx xx xdxx dfx fdxdyysin sin sin2 cos 2 ln cos 2 ln 2) (2 ) (. 23 ln 3 3. 1 Grafik Fungsi0 , ) ( > a a x fx 0 < a < 1Ya > 11XFungsi Logaritma Umum ialah fungsi logaritma dengan bilangan pokok (bilangan dasar) a > 0 dan a1. DefinisiJika 0 > a dan 1 a, maka fungsi logaritma dengan bilangan pokok a, ditulis x x falog ) ( didefinisikan sebagai invers fungsi 0 , > a a yx.Akibatnya:1 , 0 ,log > a a a x x yy aPerhatikan hubungan berikut,axxaxy a y x a xa ylnlnlog atau lnlnln ln

Jika kita gantia dengan e kita peroleh xexxelnlnlnlog Teorema i. a x dxdyx yaln1maka logJika ii.dxdua u dxdyx f u u ya.ln1maka ) (, logJika Bukti i:a x dxdyaxx yaln1lnlnlog Selanjutnya silahkan anda buktikan teorema ii.Grafik Fungsix x falog ) ( Y0 < a < 1 a > 1 1 X5.Penggunaan Fungsi Logaritma dan Eksponena. Pendiferensialan LogaritmaDalam kasus tertentu metode ini sangat efektif.Contoh 1: Tentukan turunan dari 31 2 ) 4 (7+ +x xxyJawab:Karena

( ) ( ) ( ) 1 2 ln314 ln 7 ln21 1 2 ) 4 (7ln ln3+ + + + x x xx xxyMaka ( )( )( )( )1]1

+++ + 1]1

++ ++ ) 1 2 ( 32417 211 2 ) 4 (7 ) 1 2 ( 32417 21

) 1 2 ( 32417 21 1 ln3x x xx xxdxdyx x xydxdyx x x dxdyy dxy d Latihan: Gunakan pendiferensialan logaritma untuk1. Menentukan turunan dari ) ( dan), ( ), ( dengan , x h w x g v x f u uvw y Gunakan rumus yang anda peroleh untuk menentukan turunan pertama dari ( ) ( ) 1 2 5 12 232+ + x x x y2. Carilah rumus turunan pertama dari [ ] { } 0 ) ( , ) () (> x g x x x f yx gGunakan rumus yang anda peroleh untuk menentukan turunan pertama dari( ) sin ). , )., ).cos sin x x xx y c x y b x y a b. Limit Fungsi Bentuk Tak Tentu 1 dan, , 00 0Untuk menghitung limit bentuk ini, tulislah limitnya sebagai L kemudian ambilah logaritma natural dari kedua ruasnya, gunakan sifat kekontinuan fungsi logaritma dan selesaikan limitnya dengan teorema Lhospital. Bentuk 00Bentuk ini muncul dari [ ] 0 ) ( limit ) ( limit dengan) ( limit) ( x g x f x fa x a xx ga x

+ x x a x atauatau sepihaklimitdiganti dapatContoh: Hitunglahlimit0xxx+Jawab:Andaikanlimit0xxx L+maka0 ) ( limit11limit1ln limit lnlimit limit ln ln020 00 0 +++++xxxxxx x Lx x xxxxxJadiL = 10 eatau1 limit0+xxxBentuk 0Bentuk ini muncul dari[ ] 0 ) ( limit dan ) ( limit dengan) ( limit) ( t x g x f x fa x a xx ga x

+ x x a x atauatau sepihaklimitdiganti dapatContoh:Hitunglah( ) 1 limitln 1 xxx ++ Jawab:Andaikan( ) 1 limitln 1 xxx L + + maka( ) ( )( )111limit1limitln1 lnlimit 1 ln limit 1 limit ln lnln 1 ln 1 +++ + + + + + + x x xxxxxxxxxx x LJadiL = e e 1atau( ) 1 limitln 1e xxx ++ Bentuk 1Bentuk ini muncul dari[ ] + ) ( limit dan 1 ) ( limit dengan) ( limit) (x g x f x fa x a xx ga x

+ x x a x atauatau sepihaklimitdiganti dapatContoh:Hitunglah( ) 1 limitcsc0xxx +Jawab:Andaikan( ) 1 limitcsc0xxx L +maka( ) ( )( ) ( )111 cos1 1limitsin1 lnlimit 1 ln limit 1 limit ln ln0 0csc0csc0 ++++xxxxx x Lx xxxxxJadi( )1 csc01 limit+ e xxx5. Fungsi Invers Trigonometri Karena fungsi trigonometri pada daerah definisinya (himpunan bilangan real) bukan merupakan fungsi satu-kesatu maka fungsi trigonometri tersebut tidak mempunyai invers, tetapi dengan membatasi daerah definisi fungsi trigonometri kita dapat mendefinisikan fungsi invers untuk semua fungsi trigonometri.Definisi0 ,2 2dengan csc1csc.2, 0 dengan sec1sec .0 dengan cot1cot.2 2dengan tan1tan.0 dengan cos1cos .2 2dengan sin1sin. < < < < < < y y y x x y viy y y x x y vy y x x y ivy y x x y iiiy y x x y iiy y x x y i Turunan Fungsi Invers TrigonometriTeorema1 , 11 maka cscJika . 1 , 11 maka secJika.11 makacotJika .

11 maka tanJika .1 1 , 11 maka cosJika.1 1 , 11 makasin Jika.212121212121> > + + < < < < xx xdxdyx y vixx xdxdyx y vxdxdyy ivxdxdyx y iiixxdxdyx y iixxdxdyx y iBukti: Akan dibuktikan teorema iidan iii, yang lain silahkan buktikan anda buktikan.21111) cos(sin1cos1 cos sinsin .-xxy dxdyydydxy x x y i 1x 21 x + x x1sin

x1tan

21 x 12 1 2 22111) (tan sec1sec1 sec tantan .-x x ydxdyydydxy x x y ii+ Contoh:Integral Fungsi Invers TrigonometriDari rumus turunan fungsi invers trigonometri kita peroleh rumus integral berikut. Silahkan Anda buktikan!Teorema0 , sec1

1 . 0 , tan1

1.0 , sin 1.csc atau sec11 .cot atau tan 11.cos atau sin 11.12 212 212 21 121 121 12> + + +> + + + + + ++ + a Caxadxa x xvia Caxadxx ava Cax dxx aivC x C x dxx xiiiC x C x dxxiiC x C x dxxiPerhatikan!0 , tan1

11

1 1

12 2 2 +

,_

,_

++ a Caxa axdaxadxx aContoh:Cxdxx xCxdxx+ + 4sec41161 . 23sin91 . 112126. Fungsi Hiperbolik dan InversnyaBentuk parameter hiperbol satuan 12 2 y x dapat ditampilkan sebagai fungsi sinus dan cosinus hiperbolik. Fungsi hiperbolik didefinisikan sebagai kombinasi dari fungsi xe y dan xe y Definisi( ) ( )x x x xx xx xx xx xx x x xe ex x f ive ex x f ve ee ex x f ive ee ex x f iiie e x x f ii e e x x f i + + + + 2sinh1csch) ( . 2cosh1sech) ( .sinhcoshcoth ) ( . coshsinhtanh ) ( .21cosh ) ( .21sinh ) ( .Untuk sinh, cosh, tanh, dan coth terdefinisi pada R, sedangkan untuk sech dan csch terdefinisi pada { } 0 R.Keterkaitan Fungsi hiperbolik dengan hiperbol 12 2 y x Y Y 1sinh t (x,y)sin t (x,y) t t -1cos t 1X -11cosh t X parameter ; sincos12 2tt yt xy x' +

parameter ; sinhcosh12 2tt yt xy x' Sifat-sifat Fungsi HiperbolikSifat fungsi hiperbolik mirip dengan fungsi trigonometri. Teorema ini dibuktikan dengan menggunakan definisi dan sifat eksponen, silahkan Anda buktikan!Teorema 2csch 12coth12.csch) csch( . 6 2sech2tanh 111. sech) sech(. 512sinh2cosh10.coth ) coth( . 4sinh cosh 9. tanh ) tanh( . 3sinh cosh 8. cosh) cosh(. 2coth 1tanh7. sinh ) sinh( . 1x x x xx x x xx x x xxe x x x xxe x x x xxx x x + xxxx x x x xx x xy x y x y xy x y x y xy x y x y xy x y x y x2tanh 1tanh 22 tanh . 192sinh 1 12cosh 22sinh2cosh 2 cosh. 18cosh sinh 2 2 sinh17. sinh sinh cosh cosh) cosh(16.sinh sinh cosh cosh) cosh(15.sinh cosh cosh sinh) sinh(. 14 sinh cosh cosh sinh) sinh(. 13++ + + + + +Turunan Fungsi HiperbolikDengan menggunakan turunan fungsi eksponen dan sifat fungsi hiperbolik, kita peroleh rumus turunan berikut. Silahkan anda buktikan!Teorema[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]coth cschcsch. 6 2sech tanh . 3tanh sechsech . 5 sinh cosh . 2 2csch coth . 4 cosh sinh. 1x x xdxdx xdxd x x xdxdx xdxdx xdxdx xdxd Grafik fungsi hiperboliky = cosh xYy = sinh x y = tanh x X Integral Fungsi HiperbolikBerdasarkan turunan fungsi hiperbolik, kita peroleh rumus integralnya. Teoremacschcoth csch. 6 tanh2sech . 3sechtanh sech . 5coshsinh. 2coth 2csch . 4sinh cosh. 1C x dx x x C x dx xC x dx x x C x dx xC x dx x C x dx x+ + + + + + TEKNIK INTEGRASI1. PENGINTEGRALAN DENGAN SUBSITUSI2. INTEGRAL TRIGONOMETRI3. SUBSITUSI YANG MERASIONALKAN4. PENGINTEGRALAN PARSIAL5. PENGINTEGRALAN FUNGSI RASIONAL6. TEKNIK SUBSITUSI x21tan