Bahan Ajar Kalkulus Diferensial -...

of 277 /277
Bahan Ajar Kalkulus Diferensial Yosep Dwi Kristanto https://orcid.org/0000-0003-1446-0422

Embed Size (px)

Transcript of Bahan Ajar Kalkulus Diferensial -...

  • Bahan Ajar

    Kalkulus DiferensialYosep Dwi Kristanto https://orcid.org/0000-0003-1446-0422

    https://orcid.org/0000-0003-1446-0422https://orcid.org/0000-0003-1446-0422

  • Ciptaan disebarluaskan di bawah Lisensi Creative Commons Atribusi 4.0

    Internasional.

    http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

  • Model-Model Matematis:Daftar Fungsi-Fungsi Esensial

  • Proses Pemodelan

    Permasalahan kehidupan nyata

    Model matematis

    Kesimpulan matematis

    Prediksi kehidupan nyata

  • Model Linear

    Fungsi linear adalah fungsi yang dapat dinyatakan ke dalam bentuk𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑐𝑐

    Grafik fungsi tersebut berupa garis dengan gradien 𝑚𝑚 dan memotong sumbu-y di 𝑐𝑐.

  • Latihan Soal

    a. Ketika udara kering naik, udara tersebut akan mengembang dan menjadi dingin. Jika suhu di permukaan tanah adalah 20℃ dan suhu pada ketinggian 1 km adalah 10℃, nyatakan suhu 𝑇𝑇 (dalam ℃) sebagai fungsi terhadap ketinggian (dalam km), dengan mengasumsikan bahwa model linear berlaku untuk masalah ini.

    b. Gambarlah grafik fungsi pada bagian a. Apa yang direpresentasikan gradiennya?

    c. Berapakah suhu pada ketinggian 2,5 km?

  • Latihan Soal

    Tabel berikut mendaftar tingkat karbondioksida dalam atmosfer, yang diukur dalam ppm dari 1980 sampai 2012. Gunakan data dalam tabel tersebut untuk menentukan model tingkat karbondioksida.Tahun 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996Tingkat CO2

    338,7 341,2 344,4 347,2 351,5 354,2 356,3 358,6 362,4

    Tahun 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012Tingkat CO2

    366,5 369,4 373,2 377,5 381,9 385,6 389,9 393,8

    https://www.desmos.com/calculator/mvprfvintq

  • Polinomial

    Fungsi 𝑃𝑃 disebut polinomial jika𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑛𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑎2𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0

    dimana 𝑛𝑛 adalah bilangan bulat tidak negatif dan 𝑎𝑎0, 𝑎𝑎1, 𝑎𝑎2, …, 𝑎𝑎𝑛𝑛adalah bilangan-bilangan real. Bilangan-bilangan 𝑎𝑎1, 𝑎𝑎2, …, 𝑎𝑎𝑛𝑛 yang disebut koefisien dan 𝑎𝑎0 disebut konstanta.

  • Latihan Soal

    Sebuah bola dijatuhkan dari gedung dengan ketinggian 450 m, dan tingginya dicatat setiap 1 detik dalam tabel di bawah. Temukan model yang cocok untuk data tersebut untuk memprediksi kapan bola tersebut sampai di permukaan tanah.

    Waktu (detik) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    Tinggi (meter) 450 445 431 408 375 332 279 216 143 61

    https://www.desmos.com/calculator/phx5ivtspo

  • Fungsi Pangkat

    Fungsi yang memiliki bentuk 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑎𝑎, dimana 𝑎𝑎 konstanta disebut sebagai fungsi pangkat.Beberapa kasus fungsi ini adalah sebagai berikut.1. 𝑎𝑎 = 𝑛𝑛 dimana 𝑛𝑛 bilangan bulat positif.2. 𝑎𝑎 = ⁄1 𝑛𝑛 dimana 𝑛𝑛 bilangan bulat positif.3. 𝑎𝑎 = −1.

  • Fungsi Rasional

    Fungsi rasional 𝑓𝑓 merupakan rasio dari dua polinomial:

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 =𝑃𝑃 𝑥𝑥𝑄𝑄 𝑥𝑥

    dimana 𝑃𝑃 dan 𝑄𝑄 adalah polinomial.Domain fungsi ini memuat semua nilai 𝑥𝑥 sedemikian sehingga 𝑄𝑄 𝑥𝑥 ≠ 0.

  • Fungsi Aljabar

    Suatu fungsi 𝑓𝑓 disebut sebagai fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibentuk dengan operasi-operasi aljabar yang dimulai dari polinomial.Contoh:

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 − 1

    𝑔𝑔 𝑥𝑥 =𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 𝑥𝑥

    + 𝑥𝑥 − 1 3 𝑥𝑥 + 1

  • Fungsi Trigonometri

    Fungsi-fungsi sinus dan cosinus memiliki domain −∞,∞ dan range selang tutup −1, 1 .

    −1 ≤ sin 𝑥𝑥 ≤ 1 −1 ≤ cos 𝑥𝑥 ≤ 1Fungsi-fungsi sinus dan cosinus merupakan fungsi-fungsi periodik dengan periode 2𝜋𝜋.

    sin 𝑥𝑥 + 2𝜋𝜋 = sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 + 2𝜋𝜋 = cos 𝑥𝑥

  • Latihan Soal

    Tentukan domain fungsi berikut.

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 =1

    1− 2 cos 𝑥𝑥

  • Fungsi Eksponensial

    Fungsi eksponensial adalah fungsi yang memiliki bentuk 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏𝑥𝑥 , dimana basis 𝑏𝑏 merupakan konstanta positif.

  • Fungsi Logaritma

    Fungsi logaritma 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = log𝑏𝑏 𝑥𝑥, dimana basis 𝑏𝑏 merupakan konstanta positif, adalah fungsi invers dari fungsi eksponensial.

  • Latihan Soal

    Klasifikasikan fungsi-fungsi berikut sesuai dengan jenis-jenis fungsi yang telah dibahas sebelumnya.(a) 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 10𝑥𝑥

    (b) 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥10

    (c) ℎ 𝑥𝑥 = 1+𝑥𝑥1+ 𝑥𝑥

    (c) 𝑢𝑢 𝑡𝑡 = 5𝑡𝑡4 − 3𝑡𝑡2 + 9

  • Latihan Soal (Lagi)Biaya berkendara sebuah mobil setiap bulannya bergantung pada jarak tempuh. Pada bulan Mei, Maria mengeluarkan biaya Rp380.000,00 untuk berkendara sejauh 480 km dan pada bulan Juni dia mengeluarkan biaya Rp 460.000,00 untuk berkendara sejauh 800 km.a. Nyatakan biaya berkendara bulanan 𝐵𝐵 sebagai fungsi terhadap jarak 𝑠𝑠,

    dengan asumsi bahwa relasinya linear.b. Gunakan bagian a untuk memprediksi biaya berkendara sejauh 1.500 km

    per bulan.c. Gambarlah grafik fungsi linear tersebut. Apa yang direpresentasikan

    gradiennya?d. Apa yang direpresentasikan perpotongan grafik terhadap sumbu vertikal?e. Mengapa fungsi linear cocok sebagai model pada permasalahan ini?

  • Fungsi Baru dari Fungsi Lama

  • Transformasi Fungsi

    Pergeseran vertikal dan horizontal Misalkan 𝑐𝑐 > 0. Untuk memperoleh grafik

    𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐, geser grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 sejauh 𝑐𝑐 satuan ke atas𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐, geser grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 sejauh 𝑐𝑐 satuan ke bawah𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 , geser grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 sejauh 𝑐𝑐 satuan ke kanan𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 , geser grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 sejauh 𝑐𝑐 satuan ke kiri

  • Pergeseran

    x

    y

    𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥

    𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐

    𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐

    𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐

    𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐

    0

    𝑐𝑐 𝑐𝑐

    𝑐𝑐

    𝑐𝑐 Pergeseran grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥

  • Transformasi FungsiDilatasi dan pencerminan vertikal dan horizontal Misalkan 𝑐𝑐 > 1. Untuk mendapat grafik

    𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑓𝑓 𝑥𝑥 , rentangkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 secara vertikal dengan faktor 𝑐𝑐.𝑦𝑦 = ⁄1 𝑐𝑐 𝑓𝑓 𝑥𝑥 , susutkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 secara vertikal dengan faktor 𝑐𝑐.𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑐𝑐𝑥𝑥 , susutkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 secara horizontal dengan faktor 𝑐𝑐.𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 ⁄𝑥𝑥 𝑐𝑐 , rentangkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 secara horizontal dengan faktor 𝑐𝑐.𝑦𝑦 = −𝑓𝑓 𝑥𝑥 , cerminkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 terhadap sumbu-x.𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 −𝑥𝑥 , cerminkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 terhadap sumbu-y.

  • Dilatasi dan Pencerminan

    0x

    y

    𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥

    𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑐𝑐 > 1

    𝑦𝑦 =1𝑐𝑐 𝑓𝑓 𝑥𝑥

    𝑦𝑦 = −𝑓𝑓 𝑥𝑥

    𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 −𝑥𝑥

    Dilatasi dan pencerminan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥

  • Latihan Soal

    Diberikan grafik fungsi 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥di samping. Gunakan transformasi untuk menggambar grafik 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 2, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 2, 𝑦𝑦 = − 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 2 𝑥𝑥dan 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥. 1

    1

    x

    y𝑦𝑦 = 𝑥𝑥

  • Latihan Soal

    Skestasalah grafik fungsi-fungsi berikut.a. 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 + 13.b. 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = sin 2𝑥𝑥c. ℎ 𝑥𝑥 = 1− sin 𝑥𝑥

  • Kombinasi Fungsi-Fungsi

    Dua fungsi 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔 dapat dikombinasikan untuk membentuk fungsi baru 𝑓𝑓 + 𝑔𝑔, 𝑓𝑓 − 𝑔𝑔, 𝑓𝑓𝑔𝑔, dan ⁄𝑓𝑓 𝑔𝑔 dengan cara yang serupa ketika menjumlahkan, mengurangi, mengalikan, dan membagi bilangan-bilangan real.

    𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥 Domain: 𝐷𝐷𝑓𝑓 ∩ 𝐷𝐷𝑔𝑔𝑓𝑓 − 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑔𝑔 𝑥𝑥 Domain: 𝐷𝐷𝑓𝑓 ∩ 𝐷𝐷𝑔𝑔𝑓𝑓𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 Domain: 𝐷𝐷𝑓𝑓 ∩ 𝐷𝐷𝑔𝑔⁄𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥

    𝑔𝑔 𝑥𝑥Domain: 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷𝑓𝑓 ∩ 𝐷𝐷𝑔𝑔 | 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ≠ 0

  • Komposisi Fungsi

    Definisi Diberikan dua fungsi 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔, fungsi komposit 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 (juga disebut dengan komposisi 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔) didefinisikan sebagai berikut.

    𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥

  • Latihan Soal

    Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 dan 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 2− 𝑥𝑥, tentukan masing-masing fungsi berikut beserta domainnya.a. 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔b. 𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓c. 𝑓𝑓 ∘ 𝑓𝑓d. 𝑔𝑔 ∘ 𝑔𝑔

  • Latihan Soal

    Diberikan 𝐹𝐹 𝑥𝑥 = sin2 𝑥𝑥 − 4 , tentukan fungsi 𝑓𝑓, 𝑔𝑔, dan ℎsedemikian sehingga 𝐹𝐹 = 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 ∘ ℎ.

  • Permasalahan Garis Singgung dan Kecepatan

  • Permasalahan Garis Singgung

    Apa yang dimaksud garis singgung?

  • Garis Singgung?

    (a) (b)

    𝑡𝑡𝐶𝐶

    𝑡𝑡

    𝑠𝑠

  • Contoh 1

    Tentukan persamaan garis singgung parabola 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 pada titik 𝑃𝑃 1, 1 .

    𝑃𝑃 1, 1

    0

    𝑄𝑄 𝑥𝑥, 𝑥𝑥2

    𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2

    𝑥𝑥

    𝑦𝑦

  • Garis Potong

    Gradien garis potong 𝑃𝑃𝑄𝑄adalah

    𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 =𝑥𝑥2 − 1𝑥𝑥 − 1

    Misalkan, untuk 𝑥𝑥 = 1,5:

    𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 =1,5 2 − 11,5− 1

    = 2,5

    𝑃𝑃 1, 1

    0

    𝑄𝑄 𝑥𝑥, 𝑥𝑥2

    𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2

    𝑥𝑥

    𝑦𝑦

    𝑅𝑅

    𝑡𝑡

  • Pendekatan Gradien

    𝒙𝒙 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷2 31,5 2,51,1 2,11,01 2,011,001 2,001

    𝒙𝒙 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷0 10,5 1,50,9 1,90,99 1,990,999 1,999

    Berdasarkan tabel di samping, maka gradien garis singgung parabola adalah

    𝑚𝑚 = lim𝑃𝑃→𝑃𝑃

    𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃dan

    𝑚𝑚 = lim𝑥𝑥→1

    𝑥𝑥2 − 1𝑥𝑥 − 1

    = 2

  • Persamaan Garis Singgung

    Berdasarkan investigasi sebelumnya diperoleh gradien garis singgung 𝑚𝑚 = 2 dan melalui titik 𝑃𝑃 1, 1 . Maka, persamaan garis singgung tersebut adalah𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1𝑦𝑦 − 1= 2 𝑥𝑥 − 1𝑦𝑦 − 1= 2𝑥𝑥 − 2

    𝑦𝑦= 2𝑥𝑥 − 1

    𝑃𝑃 1, 1

    0

    𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 1

    𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2

    𝑥𝑥

    𝑦𝑦

    1−1−1

    1

  • Ilustrasi Proses Limit

    https://www.desmos.com/calculator/ubs81hhodz

  • Permasalahan Kecepatan

    Bagaimana mendefinisikan kecepatan sesaat?

  • Contoh 2

    Misalkan sebuah bola dijatuhkan dari puncak Gama Tower di Jakarta, 290 meter di atas permukaan tanah. Tentukan kecepatan bola tepat setelah 5 detik dijatuhkan.

  • Kecepatan

    Jarak 𝑠𝑠 yang telah ditempuh bola setelah jatuh 𝑡𝑡 detik dapat dirumuskan

    𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 4,9𝑡𝑡2

    Rumus kecepatan rata-rata adalah

    kecepatan rata−rata =perubahan posisi

    waktuBerapakah kecepatan bola tepat ketika 𝑡𝑡 = 5 detik?

  • Pendekatan Kecepatan Sesaat

    Kecepatan rata-rata ketika 𝑡𝑡 = 5 detik sampai 𝑡𝑡 = 5,1:

    kecepatan rata-rata = perubahan posisiwaktu

    =𝑠𝑠 5,1 − 𝑠𝑠 55,1− 5

    =4,9 5,1 2 − 4,9 5 2

    5,1− 5= 49,49m/s

    Kecepatan rata-rata pada selang 5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,1 adalah 49,49 m/s.

  • Kecepatan Sesaat

    Berdasarkan tabel di samping kecepatan rata-ratanya akan mendekati —? —.Kecepatan sesaat ketika 𝑡𝑡 = 5didefinisikan sebagai nilai limit kecepatan rata-rata tersebut selama periode waktu yang terus menerus semakin singkat, yang dimulai dari 𝑡𝑡 = 5.

    Selang Waktu Kecepatan rata-rata (m/s)5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,1 49,495 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,055 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,015 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,0055 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,001

  • Hubungan Garis Singgung & Kecepatan Sesaat

    0 𝑡𝑡

    𝑠𝑠

    𝑃𝑃

    𝑄𝑄

    𝑎𝑎 𝑎𝑎 + ℎ

    𝑠𝑠 = 4,9𝑡𝑡2

    Gradien garis potong = kecepatan rata-rata

    0 𝑡𝑡

    𝑠𝑠

    𝑃𝑃

    𝑠𝑠 = 4,9𝑡𝑡2

    Gradien garis singgung = kecepatan sesaat

  • Latihan SoalTitik 𝑃𝑃 3,−1 terletak pada kurva 𝑦𝑦 = ⁄1 2− 𝑥𝑥 .(a) Jika 𝑄𝑄 adalah titik 𝑥𝑥, ⁄1 2− 𝑥𝑥 , gunakan kalkulator untuk

    menentukan gradien garis potong 𝑃𝑃𝑄𝑄 (sampai 6 angka di belakang koma) untuk nilai-nilai 𝑥𝑥 berikut:(i) 2,5 (ii) 2,9 (iii) 2,99 (iv) 2,999(v) 3,5 (vi) 3,1 (vii) 3,01 (viii) 3,001

    (b) Dengan menggunakan hasil di bagian (a), perkirakan gradien garis singgung kurva pada titik 𝑃𝑃 3,−1 .

    (c) Dengan menggunakan gradien di bagian (b), tentukan persamaan garis singgung pada titik 𝑃𝑃 3,−1 .

  • Limit Suatu Fungsi

  • Pertanyaan Awal

    Bagaimana perilaku fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 3 untuk

    nilai-nilai 𝑥𝑥 yang dekat dengan 3?

  • Tabel Nilai Fungsi

    𝒙𝒙 𝒇𝒇 𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝒇𝒇 𝒙𝒙2 3 4 112,5 4,25 3,5 8,252,8 5,24 3,2 6,842,9 5,61 3,1 6,412,95 5,8025 3,05 6,20252,99 5,9601 3,01 6,04012,995 5,98003 3,005 6,020032,999 5,996 3,001 6,004

  • Grafik Fungsi

    Tampak bahwa kita dapat membuat nilai f(x) mendekati 6 dengan memilih nilai x yang dekat dengan 3.

    lim𝑥𝑥→3

    𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 3 = 6

    3

    0

    6

    𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 3

    𝑥𝑥

    𝑦𝑦

    f(x) mendekati

    6.

    x mendekati 3.

  • Definisi Intuitif Limit

    Misalkan f(x) terdefinisi ketika x dekat dengan a. Maka kita menuliskan

    lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿

    dan mengatakan “limit f(x), untuk x mendekati a, sama dengan L”jika kita dapat membuat nilai f(x) dekat ke L (sedekat yang kita suka) dengan memilih nilai x yang dekat ke a (pada kedua sisinya) tetapi tidak sama dengan a.

  • Ilustrasi Limit Fungsi

    https://www.desmos.com/calculator/onyjtb1t8b

  • … tetapi 𝑥𝑥 ≠ 𝑎𝑎

    a0

    L

    x

    y

    a0

    L

    x

    y

    a0

    L

    x

    y

  • Contoh 1

    Tebaklah nilai limit

    lim𝑥𝑥→2

    𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥2 − 4

    Pembahasan Tabel di samping memberikan nilai-nilai 𝑓𝑓 𝑥𝑥untuk 𝑥𝑥 mendekati 2 (tetapi tidak sama dengan 2).

    𝒙𝒙 < 𝟐𝟐 𝒇𝒇 𝒙𝒙1,5 0,2857141,9 0,256411,99 0,2506721,999 0,2500631,9999 0,250006

    𝒙𝒙 > 𝟐𝟐 𝒇𝒇 𝒙𝒙2,5 0,2222222,1 0,2439022,01 0,2493772,001 0,2499382,0001 0,249994

  • Contoh 1

    Berdasarkan tabel sebelumnya dan grafik di samping diperoleh

    lim𝑥𝑥→2

    𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥2 − 4

    = 0,25

    2

    0,25

    x

    y

    𝑦𝑦 =𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥2 − 4

  • Masalah…

    Bagaimana jika,

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = �𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥2 − 4

    , 𝑥𝑥 ≠ 2

    1, 𝑥𝑥 = 2Berapakah nilai

    lim𝑥𝑥→2

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = —?—

    2

    0,25

    x

    y

    𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥

  • Latihan Soal

    Perkirakan nilai limit berikut.

    lim𝑡𝑡→0

    𝑡𝑡2 + 25− 5𝑡𝑡2

  • Kesalahan Kalkulator

    Pada latihan soal sebelumnya bagaimana jika kita memilih nilai-nilai x yang sangat dekat dengan 0?

    𝒕𝒕 𝒕𝒕𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟐𝟐

    𝒕𝒕𝟐𝟐±0,000001 0.099476±0,0000001 0.0888178±0,00000001 0,0000000

    −5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5

    −10−6 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 10−6

  • Latihan Soal

    Selidikilah nilai limit berikut.

    lim𝑥𝑥→0

    sin𝜋𝜋2𝑥𝑥

  • Nilai Limit Tidak Ada

    2–2 x

    y

    1

    –1

    𝑦𝑦 = sin𝜋𝜋2𝑥𝑥

    Terlalu banyak fluktuasi

  • Nilai Limit Tidak Ada

    –1–2–3 1 2 3 x

    1

    –1

    yf(x) = 1

    f(x) = –1

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 =− 𝑥𝑥𝑥𝑥

    Perilaku kanan & kiri tidak sama

  • Limit Sepihak

    DEFINISI LIMIT KIRI Kita menulislim𝑥𝑥→𝑎𝑎−

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿

    dan mengatakan limit kiri f(x) untuk x mendekati a [atau limit f(x) untuk x mendekati a dari kiri] sama dengan L jika kita dapat membuat nilai f(x) dekat ke L (sedekat yang kita suka) dengan memilih x yang dekat ke a dengan x kurang dari a.

  • Limit Sepihak

    DEFINISI LIMIT KANAN Kita menulislim𝑥𝑥→𝑎𝑎+

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿

    dan mengatakan limit kanan f(x) untuk x mendekati a [atau limit f(x) untuk x mendekati a dari kanan] sama dengan L jika kita dapat membuat nilai f(x) dekat ke L (sedekat yang kita suka) dengan memilih x yang dekat ke a dengan x lebih dari a.

  • Ilustrasi Limit Sepihak

    x a x

    y

    0

    f(x) L

    x

    y

    0 a x

    f(x)L

    lim𝑥𝑥→𝑎𝑎−

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 lim𝑥𝑥→𝑎𝑎+

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿

  • Limit dan Limit Sepihak

    lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿

    jika dan hanya jikalim𝑥𝑥→𝑎𝑎−

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 dan lim𝑥𝑥→𝑎𝑎+

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿.

  • Latihan Soal

    Gunakan grafik di samping untuk menentukan nilai-nilai limit (jika ada) berikut.(a) lim

    𝑥𝑥→2−𝑔𝑔 𝑥𝑥 (b) lim

    𝑥𝑥→2+𝑔𝑔 𝑥𝑥

    (c) lim𝑥𝑥→5−

    𝑔𝑔 𝑥𝑥 (d) lim𝑥𝑥→5+

    𝑔𝑔 𝑥𝑥

    (e) lim𝑥𝑥→2

    𝑔𝑔 𝑥𝑥 (f) lim𝑥𝑥→5

    𝑔𝑔 𝑥𝑥

    1 2 3 4 5

    1

    2

    3

    4

    y

    x

    y = g(x)

  • Definisi Formal (ε-δ) Limit

  • Permasalahan Awal

    Gunakan grafik 12𝑥𝑥2 untuk menentukan

    seberapa dekat 𝑥𝑥 ke 2 untuk menjamin bahwa 𝑓𝑓 𝑥𝑥 berjarak kurang dari 0,5 dari 2. Mengapa?

    1 2 3 x

    1

    2

    3

    y

    0

    𝑦𝑦 =12𝑥𝑥2

  • Pembahasan

    1 2 3 x

    1

    2

    3

    y

    0

    21,5 2,5

    2

    1,5

    2,5

    2 2,52 1,5

  • Pembahasan

    Nilai 𝑓𝑓 𝑥𝑥 akan berjarak kurang dari 0,5 dari 2, atau dapat dituliskan𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 2 < 0,5

    Jika nilai-nilai 𝑥𝑥 berada di antara 2 1,5 ≈ 1,732 dan 2 2,5 ≈2,236, yaitu 1,732 < 𝑥𝑥 < 2,236. Dari dua ujung interval tersebut, 2,336 lebih dekat ke 2, yaitu 2 – 2,236 = 0,236.Jadi kita dapat menyimpulkan bahwa:

    Jika 1,764 < 𝑥𝑥 < 2,236 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 2 < 0,5

  • Definisi Formal Limit

    Misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi pada beberapa selang buka yang memuat bilangan a, kecuali mungkin di a itu sendiri. Maka kita mengatakan limit f(x) untuk x mendekati a adalah L, dan dituliskan

    lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿

    Jika untuk setiap bilangan ε > 0 ada bilangan δ > 0 sedemikian sehingga

    jika 0 < 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 < 𝛿𝛿 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀(Definisi ini sering disebut dengan definisi ε-δ limit.)

  • Cerita Nanang & Christin

    Nanang memiliki dugaan bahwa:lim𝑥𝑥→1

    2𝑥𝑥 + 3 = 5

    Bagaimana Nanang membuktikan kepada Christin bahwa dugaannya benar?

  • Contoh Soal

    Dengan menggunakan definisi ε-δ limit, buktikan bahwa limit (4x –5) untuk x mendekati 2 sama dengan 3, yaitu

    lim𝑥𝑥→2

    4𝑥𝑥 − 5 = 3

  • PembahasanAnalisis Pendahuluan Misalkan diberikan bilangan positif ε. Kita ingin mencari bilangan positif δ sedemikian sehingga

    jika 0 < 𝑥𝑥 − 2 < 𝛿𝛿 maka 4𝑥𝑥 − 5 − 3 < 𝜀𝜀.Padahal, dengan menggunakan aljabar kita peroleh

    4𝑥𝑥 − 5 − 3 < 𝜀𝜀⇔ 4𝑥𝑥 − 8 < 𝜀𝜀⇔ 4 𝑥𝑥 − 2 < 𝜀𝜀⇔ 4 𝑥𝑥 − 2 < 𝜀𝜀⇔ 𝑥𝑥 − 2 < 𝜀𝜀

    4

    Sehingga kita pilih 𝛿𝛿 = ⁄𝜀𝜀 4.

    Sifat Nilai Mutlak: 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 𝑎𝑎

  • Pembahasan

    Bukti Formal Diberikan ε > 0 pilih δ = ε/4. Jika 0 < |x – 2| < δ, maka4𝑥𝑥 − 5 − 3 = 4𝑥𝑥 − 8

    = 4 𝑥𝑥 − 2= 4 𝑥𝑥 − 2< 4 � 𝜀𝜀

    4= 𝜀𝜀

    Dengan menggunakan sifat transitif = dan

  • Tugas Kelompok

  • Definisi Limit SepihakDefinisi Limit Kiri

    lim𝑥𝑥→𝑎𝑎−

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿

    Jika untuk setiap bilangan 𝜀𝜀 > 0 ada bilangan 𝛿𝛿 > 0 sedemikian sehinggajika 0 < 𝑎𝑎 − 𝑥𝑥 < 𝛿𝛿 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀.

    Definisi Limit Kananlim𝑥𝑥→𝑎𝑎+

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿

    Jika untuk setiap bilangan 𝜀𝜀 > 0 ada bilangan 𝛿𝛿 > 0 sedemikian sehinggajika 0 < 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 < 𝛿𝛿 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀.

  • Contoh

    Gunakan definisi limit sepihak untuk membuktikan bahwalim𝑥𝑥→0+

    𝑥𝑥 = 0

    PEMBAHASANAnalisis Pendahuluan Misalkan ε adalah bilangan positif yang diberikan. Kita akan mencari bilangan positif δ sedemikian sehingga

    jika 0 < 𝑥𝑥 − 0 < 𝛿𝛿 maka 𝑥𝑥 − 0 < 𝜀𝜀yaitu, jika 0 < 𝑥𝑥 < 𝛿𝛿 maka 𝑥𝑥 < 𝜀𝜀

  • PembahasanPerhatikan bahwa,

    𝑥𝑥 < 𝜀𝜀𝑥𝑥 < 𝜀𝜀2

    Sehingga, kita pilih 𝛿𝛿 = 𝜀𝜀2.Bukti formal Diberikan 𝜀𝜀 > 0 ada 𝛿𝛿 = 𝜀𝜀2, sedemikian sehingga jika 0 <𝑥𝑥 − 0 < 𝛿𝛿, maka

    𝑥𝑥 − 0 = 𝑥𝑥 < 𝛿𝛿 = 𝜀𝜀2 = 𝜀𝜀Berdasarkan definisi limit sepihak, terbukti bahwa lim

    𝑥𝑥→0+𝑥𝑥 = 0.

  • Teorema-Teorema Limit

  • Beberapa Limit Dasar

    Teorema A Misalkan 𝑛𝑛 bilangan bulat positif, 𝑘𝑘 adalah konstanta. Maka1. lim

    𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑘𝑘 = 𝑘𝑘; 2. lim

    𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑥𝑥 = 𝑎𝑎; 3. lim

    𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛.

  • Teorema Limit Utama

    Teorema B Misalkan 𝑛𝑛 bilangan bulat positif, 𝑘𝑘 adalah konstanta, dan 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔 adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di 𝑎𝑎. Maka1. lim

    𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑘𝑘𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 lim

    𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑓𝑓 𝑥𝑥 ;

    2. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 + lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑔𝑔 𝑥𝑥 ;

    3. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 − lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑔𝑔 𝑥𝑥 ;

    4. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 � 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 � lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑔𝑔 𝑥𝑥 ;

    5. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑔𝑔 𝑥𝑥

    =lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥

    lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑔𝑔 𝑥𝑥jika lim

    𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑥𝑥 ≠ 0;

    6. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑛𝑛;

    7. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑛𝑛 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑛𝑛 lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 , asalkan

    lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≥ 0 jika 𝑛𝑛 genap.

  • Contoh 1Tentukan limit berikut dan berikan alasan pada setiap langkahnya.

    lim𝑥𝑥→1

    3𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 5

    PEMBAHASAN Kita gunakan teorema-teorema limit sebelumnya.lim𝑥𝑥→1

    3𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 5 = lim𝑥𝑥→1

    3𝑥𝑥2 − lim𝑥𝑥→1

    2𝑥𝑥 + lim𝑥𝑥→1

    5

    = 3 lim𝑥𝑥→1

    𝑥𝑥2 − 2 lim𝑥𝑥→1

    𝑥𝑥 + lim𝑥𝑥→1

    5

    = 3 12 − 2 1 + 5= 6

    Teorema B2 dan B3

    Teorema B1

    Teorema A3, A2, dan A1

  • Latihan 1

    Tentukan limit berikut dan berikan alasan setiap langkahnya.

    lim𝑥𝑥→2

    3𝑥𝑥5 − 7𝑥𝑥4 + 5𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 + 1

  • Teorema Substitusi

    Teorema C Jika 𝑓𝑓 adalah fungsi polinomial atau fungsi rasional dan 𝑎𝑎 berada di domain 𝑓𝑓, maka

    lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎

  • Latihan 2

    Tentukan limit berikut.

    lim𝑥𝑥→5

    𝑥𝑥2 − 25𝑥𝑥 + 5

  • Fungsi yang Berbeda di Satu Titik

    Teorema D Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ketika 𝑥𝑥 ≠ 𝑎𝑎, maka lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 =lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑔𝑔 𝑥𝑥 dengan syarat limit-limitnya ada.

  • Contoh 2

    Tentukan lim𝑥𝑥→5

    𝑔𝑔 𝑥𝑥 dimana

    𝑔𝑔 𝑥𝑥 = �𝑥𝑥 + 5 jika 𝑥𝑥 ≠ 5𝜋𝜋 jika 𝑥𝑥 = 5PEMBAHASAN Di sini fungsi 𝑔𝑔 terdefinisi di 𝑥𝑥 = 5 dan 𝑔𝑔 5 = 𝜋𝜋. Tetapi nilai limit 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ketika 𝑥𝑥 mendekati 5 tidak tergantung pada nilai fungsi di 5. Karena 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 5 untuk 𝑥𝑥 ≠ 5, maka

    lim𝑥𝑥→5

    𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→5

    𝑥𝑥 + 5 = 5 + 5 = 10

  • Pembahasan

    0 2 4 6 8

    5

    10

    𝑥𝑥

    𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥

    0 2 4 6 8

    5

    10

    𝑥𝑥

    𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔 𝑥𝑥

    Grafik fungsi f (Latihan 2) dan fungsi g (Contoh 2)

  • Latihan 3

    Tentukan nilai limit-limit berikut.

    (a) limℎ→0

    2+ℎ 2−4ℎ

    (b) lim𝑡𝑡→0

    𝑡𝑡2+9−3𝑡𝑡

  • Teorema Apit

    Teorema E Misalkan 𝑓𝑓, 𝑔𝑔, dan ℎadalah fungsi-fungsi yang memenuhi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≤ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ≤ ℎ 𝑥𝑥untuk semua 𝑥𝑥 yang dekat dengan 𝑎𝑎, kecuali mungkin di 𝑎𝑎 dan

    lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    ℎ 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿

    maka lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿a

    L

    x

    y

    0

    f

    g

    h

  • Latihan 4

    Tunjukkan bahwa

    lim𝑥𝑥→0

    𝑥𝑥2 sin1𝑥𝑥

    = 0

  • Ilustrasi

    x

    y

    0

  • Limit-Limit Trigonometri

  • Limit Fungsi-Fungsi Trigonometri

    Teorema A Untuk setiap bilangan real a dalam domain fungsi,1. lim

    𝑥𝑥→𝑎𝑎sin 𝑥𝑥 = sin𝑎𝑎 2. lim

    𝑥𝑥→𝑎𝑎cos 𝑥𝑥 = cos𝑎𝑎

    3. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    tan 𝑥𝑥 = tan 𝑎𝑎 4. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    cot 𝑥𝑥 = cot 𝑎𝑎

    5. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    sec 𝑥𝑥 = sec 𝑎𝑎 6. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    csc 𝑥𝑥 = csc 𝑎𝑎

  • Pembuktian Teorema A

    Bukti Teorema A1 Pertama kita akan buktikan untuk x = 0. Misalkan x > 0 dan misalkan titik-titik A, B, dan P didefinisikan seperti pada gambar di samping. Maka,

    0 < 𝐵𝐵𝐵𝐵 < 𝐴𝐴𝐵𝐵 < �𝐴𝐴𝐵𝐵Karena 𝐵𝐵𝐵𝐵 = sin 𝑥𝑥 dan �𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝑥𝑥, maka

    0 < sin 𝑥𝑥 < 𝑥𝑥Jika 𝑥𝑥 < 0 maka 𝑥𝑥 < sin 𝑥𝑥 < 0. Dengan menggunakan Teorema Apit, kita peroleh lim𝑥𝑥→0

    sin 𝑥𝑥 = 0.

    𝑂𝑂 𝐵𝐵 𝐴𝐴 1, 0

    𝐵𝐵 cos𝑥𝑥 , sin 𝑥𝑥

    0, 1

    𝑥𝑥

  • Pembuktian Teorema A

    Untuk melengkapi bukti, kita perlu membuktikan lim𝑥𝑥→0

    cos 𝑥𝑥 = 1. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan identitas trigonometri dan limit akar.

    lim𝑥𝑥→0

    cos 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→0

    1− sin2 𝑥𝑥 = 1− lim𝑥𝑥→0

    sin 𝑥𝑥2= 1− 02 = 1

  • Pembuktian Teorema A

    Sekarang, untuk menunjukkan bahwa lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    sin 𝑥𝑥 = sin𝑎𝑎, pertama kita misalkan ℎ = 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 sehingga ℎ → 0 jika 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎. Maka,

    lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    sin 𝑥𝑥 = limℎ→0

    sin 𝑎𝑎 + ℎ

    = limℎ→0

    sin𝑎𝑎 cos ℎ + cos𝑎𝑎 sinℎ

    = sin𝑎𝑎 limℎ→0

    cos ℎ + cos𝑎𝑎 limℎ→0

    sin ℎ

    = sin𝑎𝑎 1 + cos𝑎𝑎 0= sin𝑎𝑎

  • Contoh 1

    Tentukan lim𝑥𝑥→0

    𝑥𝑥2−1 sin 𝑥𝑥𝑥𝑥+1

    .

    PEMBAHASAN Pertama kita gunakan teorema limit perkalian,kemudian kita gunakan Teorema A1.

    lim𝑥𝑥→0

    𝑥𝑥2−1 sin 𝑥𝑥𝑥𝑥+1

    = lim𝑥𝑥→0

    𝑥𝑥2−1𝑥𝑥+1

    lim𝑥𝑥→0

    sin 𝑥𝑥

    = −1 0 = 0.

    Limit perkalian

    Substitusi dan A1

  • Latihan 1

    Tentukan nilai limit berikut.

    lim𝑡𝑡→0

    cos2 𝑡𝑡1 + sin 𝑡𝑡

  • Limit-Limit Trigonometri Khusus

    Teorema B1. lim

    𝑥𝑥→0sin 𝑥𝑥𝑥𝑥

    = 1 2. lim𝑥𝑥→0

    1−cos 𝑥𝑥𝑥𝑥

    = 0

  • Pembuktian Teorema B

    Bukti Teorema B1 Pada pembuktian sebelumnya, kita telah menunjukkan

    lim𝑥𝑥→0

    cos 𝑥𝑥 = 1 dan lim𝑥𝑥→0

    sin 𝑥𝑥 = 0

    Untuk − ⁄𝜋𝜋 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ ⁄𝜋𝜋 2, 𝑥𝑥 ≠ 0, kita gambar ruas garis vertikal BP dan busur BC, seperti pada gambar di samping.Dari gambar kita dapat melihat bahwa

    𝐿𝐿juring 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 ≤ 𝐿𝐿∆𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 ≤ 𝐿𝐿juring 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂

    𝐵𝐵 cos𝑥𝑥 , sin 𝑥𝑥

    𝑂𝑂 𝐵𝐵 𝐴𝐴 1, 0

    0, 1

    𝑥𝑥𝐶𝐶

  • Pembuktian Teorema B

    Luas segitiga adalah setengah alas dikali tinggi, sedangkan luas juring dengan sudut pusat x dan berjari-jari r adalah 1

    2𝑟𝑟2 𝑥𝑥 .

    Sehingga,12cos 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 ≤ 1

    2cos 𝑥𝑥 sin 𝑡𝑡 ≤ 1

    212 𝑥𝑥

    Dengan mengalikan semua ruas dengan ⁄2 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 , kita peroleh

    cos 𝑥𝑥 ≤ sin 𝑥𝑥𝑥𝑥

    ≤ 1cos 𝑥𝑥

  • Pembuktian Teorema B

    Karena bentuk ⁄sin 𝑥𝑥 𝑥𝑥 positif untuk − ⁄𝜋𝜋 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ ⁄𝜋𝜋 2, 𝑥𝑥 ≠ 0, maka ⁄sin 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = ⁄sin 𝑥𝑥 𝑥𝑥. Sehingga,

    cos 𝑥𝑥 ≤sin 𝑥𝑥𝑥𝑥

    ≤1

    cos 𝑥𝑥Karena limit fungsi-fungsi “terluar” di atas untuk x mendekati 0 sama dengan 1, maka dengan menggunakan Teorema Apit, kita peroleh

    lim𝑥𝑥→0

    sin 𝑥𝑥𝑥𝑥

    = 1

  • Contoh 2

    Tentukan lim𝑥𝑥→0

    sin 5𝑥𝑥𝑥𝑥

    .

    PEMBAHASAN Dengan menggunakan teorema-teorema limit, kitaperoleh

    lim𝑥𝑥→0

    sin 5𝑥𝑥𝑥𝑥

    = lim𝑥𝑥→0

    5 � sin 5𝑥𝑥5𝑥𝑥

    = 5 lim𝑥𝑥→0

    sin 5𝑥𝑥5𝑥𝑥

    = 5 lim𝑦𝑦→0

    sin 𝑦𝑦𝑦𝑦

    = 5 1 = 5

    Kalikan dengan 5/5

    Limit perkalian konstanta

    Misal 𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥

  • Latihan 2

    Tentukan nilai limit-limit trigonometri berikut.

    (a) lim𝑥𝑥→0

    sin 2𝑥𝑥3𝑥𝑥

    (b) lim𝑡𝑡→0

    1−cos 𝑡𝑡sin 𝑡𝑡

    (c) lim𝑥𝑥→0

    tan 3𝑥𝑥sin 𝑥𝑥

  • Tugas

    Pada gambar di samping, misalkan D adalah luas segitiga ABP dan E adalah luas daerah yang diarsir.

    (a) Tebaklah lim𝑥𝑥→0+

    𝐷𝐷𝐸𝐸

    dengan melihat gambar di samping.

    (b) Temukan rumus D/E dalam x.(c) Gunakan kalkulator untuk mendapat

    perkiraan yang lebih akurat dari nilai lim𝑥𝑥→0+

    𝐷𝐷𝐸𝐸.

    𝐵𝐵 cos𝑥𝑥 , sin 𝑥𝑥

    𝑂𝑂 𝐵𝐵 𝐴𝐴 1, 0

    0, 1

    𝑥𝑥

    𝑥𝑥

  • Limit di Tak Hingga;Limit Tak Hingga

  • Limit di Tak Hingga

    Apa yang terjadi pada g(x) ketika nilai x semakin besar terus menerus?

    5–5 0

    0,5

    –0,5

    x

    y𝑔𝑔 𝑥𝑥 =

    𝑥𝑥𝑥𝑥2 + 1

  • Tabel Nilai-Nilai Fungsi

    Dari tabel dapat dilihat bahwa g(x) semakin kecil ketika x semakin besar.

    lim𝑥𝑥→∞

    𝑥𝑥𝑥𝑥2 + 1

    = 0

    Dengan cara yang serupa dapat ditunjukkan bahwa

    lim𝑥𝑥→−∞

    𝑥𝑥𝑥𝑥2 + 1

    = 0

    𝑥𝑥𝑥𝑥2

    𝑥𝑥2 + 110 0,0990100 0,01001.000 0,001010.000 0,0001

    ↓ ↓∞ ?

  • Definisi Formal Limit Ketika 𝑥𝑥 → ±∞

    Limit Ketika 𝑥𝑥 → ∞ Misalkan f terdefinisi pada [a, ∞) untuk beberapa bilangan a. Kita mengatakan lim

    𝑥𝑥→∞𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 jika untuk

    setiap ε > 0 ada bilangan M sedemikian sehinggajika 𝑥𝑥 > 𝑀𝑀 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀

    Limit Ketika 𝑥𝑥 → −∞ Misalkan f terdefinisi pada (–∞, a] untuk beberapa bilangan a. Kita mengatakan lim

    𝑥𝑥→−∞𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 jika untuk

    setiap ε > 0 ada bilangan M sedemikian sehinggajika 𝑥𝑥 < 𝑀𝑀 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀

  • Contoh 1

    Tunjukkan bahwa jika k adalah bilangan bulat positif, maka

    lim𝑥𝑥→∞

    1𝑥𝑥𝑘𝑘

    = 0

    Analisis Pendahuluan Diberikan ε > 0. Kita akan menemukan bilangan M sedemikian sehingga

    jika 𝑥𝑥 > 𝑀𝑀 maka 1𝑥𝑥𝑘𝑘− 0 < 𝜀𝜀

  • Pembahasan

    Perhatikan bahwa1𝑥𝑥𝑘𝑘− 0 < 𝜀𝜀

    1𝑥𝑥𝑘𝑘

    < 𝜀𝜀

    Misalkan kita pilih M > 0. Akibatnya x > 0. Sehingga

    1𝑥𝑥𝑘𝑘< 𝜀𝜀

    𝑥𝑥𝑘𝑘 > 1𝜀𝜀

    𝑥𝑥 > 𝑘𝑘 ⁄1 𝜀𝜀Sehingga, kita akan memilih

    𝑀𝑀 = 𝑘𝑘 ⁄1 𝜀𝜀

  • Pembahasan

    Bukti Formal Misalkan diberikan 𝜀𝜀 > 0. Pilih 𝑀𝑀 = 𝑘𝑘 ⁄1 𝜀𝜀, sedemikian sehingga jika 𝑥𝑥 > 𝑀𝑀, maka

    1𝑥𝑥𝑘𝑘− 0 = 1

    𝑥𝑥𝑘𝑘< 1

    𝑀𝑀𝑘𝑘= 𝜀𝜀

  • Latihan 1

    Buktikan bahwa

    lim𝑥𝑥→−∞

    1𝑥𝑥𝑘𝑘

    = 0

  • Contoh 2

    Buktikan bahwa

    lim𝑥𝑥→∞

    𝑥𝑥𝑥𝑥2 + 1

    = 0

    PEMBAHASAN Kita bagi pembilang dan penyebut dengan 𝑥𝑥berpangkat tertinggi yang muncul di penyebut, yaitu 𝑥𝑥2.

    lim𝑥𝑥→∞

    𝑥𝑥𝑥𝑥2 + 1

    = lim𝑥𝑥→∞

    1𝑥𝑥

    1 + 1𝑥𝑥2=

    lim𝑥𝑥→∞

    1𝑥𝑥

    lim𝑥𝑥→∞

    1 + lim𝑥𝑥→∞

    1𝑥𝑥2

    =0

    1 + 0= 0

  • Latihan 2

    Tentukan lim𝑥𝑥→−∞

    3𝑥𝑥3

    1−𝑥𝑥3.

  • Definisi

    Limit Suatu Barisan Misalkan sn terdefinisi untuk semua bilangan asli lebih dari atau sama dengan beberapa bilangan a. Kita mengatakan bahwa lim

    𝑛𝑛→∞𝑠𝑠𝑛𝑛 = 𝐿𝐿 jika untuk setiap ε > 0 ada bilangan

    asli M sedemikian sehinggajika 𝑛𝑛 > 𝑀𝑀 maka 𝑠𝑠𝑛𝑛 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀

  • Latihan 3

    Tentukan limit barisan berikut.

    lim𝑛𝑛→∞

    2𝑛𝑛 + 1𝑛𝑛 − 2

  • Limit Tak Hingga

    Definisi Kita mengatakan bahwa lim𝑥𝑥→𝑎𝑎+

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ∞ jika untuk setiap bilangan positif M, ada δ > 0 sedemikian sehingga

    jika 0 < 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 < 𝛿𝛿 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 > 𝑀𝑀

  • Contoh 3

    Tentukan lim𝑥𝑥→3+

    1𝑥𝑥−3 2

    dan lim𝑥𝑥→3−

    1𝑥𝑥−3 2

    .

    PEMBAHASAN Ketika 𝑥𝑥 → 3+ penyebutnya tetap positif tetapi mendekati 0, sedangkan pembilanganya tetap 1. Sehingga ⁄1 𝑥𝑥 − 3 2dapat dibuat besar dengan membatasi x untuk dekat, tetapi di kanan 3. Sehingga,

    lim𝑥𝑥→3+

    1𝑥𝑥−3 2

    = ∞

    Dengan alasan yang serupa

    lim𝑥𝑥→3−

    1𝑥𝑥−3 2

    = ∞

    0 2 4 6

    2

    x

    y𝑦𝑦 =

    1𝑥𝑥 − 3 2

  • Limit Tak Hingga & Asimtot

    Garis 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 merupakan asimtot vertikal grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 jika sembarang dari empat pernyataan berikut benar.1. lim

    𝑥𝑥→𝑐𝑐+𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ∞ 2. lim

    𝑥𝑥→𝑐𝑐+𝑓𝑓 𝑥𝑥 = −∞

    3. lim𝑥𝑥→𝑐𝑐−

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ∞ 4. lim𝑥𝑥→𝑐𝑐−

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = −∞

  • Kekontinuan Fungsi

  • Kekontinuan di Suatu Titik

    Definisi 1 Misalkan f terdefinisi pada selang buka yang memuat a. Fungsi fkontinu di a jika

    lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎

    Perhatikan bahwa definisi ini secara implisit memerlukan tiga hal untuk dipenuhi agar f kontinu di a:1. f(a) terdefinisi (yaitu, a berada di domain f)2. lim

    𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑓𝑓 𝑥𝑥 ada

    3. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎

  • Contoh 1

    Gambar di samping menunjukkan grafik fungsi f. Di mana sajakah f tidak kontinu? Mengapa?PEMBAHASAN Fungsi f tidak kontinu di 1 karena tidak terdefinisi di x = 1. Fungsi f tidak kontinu di 3 karena limitnya tidak ada. Fungsi f juga tidak kontinu di 5 karena

    lim𝑥𝑥→5

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≠ 𝑓𝑓 51 2 3 4 5 x

    y

    0

  • Latihan 1

    Misalkan 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2−9𝑥𝑥−3

    , 𝑥𝑥 ≠ 3. Bagaimana f didefinisikan di x = 3 agar f kontinu di 3?

  • Kontinu dari Kiri dan dari Kanan

    Definisi 2 Suatu fungsi f kontinu dari kanan di a jikalim𝑥𝑥→𝑎𝑎+

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎

    Dan f kontinu dari kiri di a jikalim𝑥𝑥→𝑎𝑎−

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎

  • Contoh 2

    Untuk setiap bilangan bulat 𝑛𝑛, fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 (lihat gambar di samping) kontinu dari kanan tetapi tidak kontinu dari kiri karena

    lim𝑥𝑥→𝑛𝑛+

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑛𝑛+

    𝑥𝑥 = 𝑛𝑛 = 𝑓𝑓 𝑛𝑛 1 2 3 x–1

    y

    0

    1

  • Kekontinuan pada Interval

    Definisi 3 Suatu fungsi kontinu pada interval jika fungsi tersebut kontinu di setiap bilangan dalam interval tersebut. (Jika f terdefinisi hanya pada satu sisi titik ujung, maka yang dimaksud kontinu pada titik ujung tersebut berarti bahwa kontinu dari kiri atau kontinu dari kanan.)

  • Contoh 3

    Tunjukkan bahwa fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 1 − 𝑥𝑥2 kontinu pada selang [–1, 1].PEMBAHASAN Jika –1 < a < 1, maka dengan menggunakan teorema-teorema limit

    lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    1 − 𝑥𝑥2

    = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    1− 𝑥𝑥2

    = 1− 𝑎𝑎2

    = 𝑓𝑓 𝑎𝑎Sehingga, berdasarkan definisi, f kontinu di a jika –1 < a < 1.

  • Pembahasan

    Dengan menggunakan perhitungan yang serupa, diperoleh

    lim𝑥𝑥→−1+

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 −1 , dan

    lim𝑥𝑥→1−

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 1

    sehingga f kontinu dari kanan di –1 dan kontinu dari kiri di 1. Akibatnya, berdasarkan Definisi 3, f kontinu pada [–1, 1].

    –1 1

    1

    y

    x0

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 1− 𝑥𝑥2

  • Operasi-Operasi Fungsi

    Teorema 4 Jika f dan g kontinu di a dan jika c adalah konstanta, maka fungsi-fungsi berikut juga kontinu di a.1. f + g 2. f – g 3. cf4. fg 5. f/g, jika g(a) ≠ 0

  • Pembuktian

    Bukti Kelima bagian dari Teorema 4 dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema-teorema limit. Misalkan di sini kita akan membuktikan bagian pertama. Karena f dan g kontinu di a, maka

    lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎 , dan

    lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑔𝑔 𝑎𝑎 .

    Sehingga,lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥

    = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥

    = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 + lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑔𝑔 𝑥𝑥

    = 𝑓𝑓 𝑎𝑎 + 𝑔𝑔 𝑎𝑎Hal ini menunjukkan bahwa f + gkontinu di a.

  • Fungsi-Fungsi Kontinu

    Teorema 5 Jenis-jenis fungsi berikut kontinu di setiap bilangan dalam domainnya.• Fungsi polinomial• Fungsi rasional• Fungsi akar• Fungsi trigonometri

  • Latihan 2

    Di interval-interval mana saja fungsi berikut kontinu?

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 =𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥2 − 4

  • Teorema Limit Fungsi Komposit

    Teorema 6 Jika f kontinu di b dan lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏, maka lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑏𝑏 . Dengan kata lain

    lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑔𝑔 𝑥𝑥

    Secara khusus, jika g kontinu di a dan f kontinu di g(a), maka fungsi komposit 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 kontinu di a.

  • Latihan 3

    Dimanakah fungsi berikut kontinu?

    𝐹𝐹 𝑥𝑥 =1

    𝑥𝑥2 + 7− 4

  • Teorema Nilai Tengah

    Teorema 7 Misalkan f kontinu pada selang tutup [a, b] dan misalkan N sembarang bilangan di antara f(a) dan f(b), dimana f(a) ≠ f(b). Maka ada bilangan c di dalam (a, b) sedemikian sehingga f(c) = N.

    a bc1 c2 c3

    N

    f(a)

    f(b)

    0 x

    y

  • Latihan 4

    Tunjukkan bahwa ada akar persamaan x4 + x – 3 = 0 di antara 1 dan 2.

  • Turunan

  • Permasalahan Garis Singgung

    0 x

    y

    P

    Q

    Q

    Q

    QQ

    Q

    0 a x x

    P(a, f(a))

    Q(x, f(x))

    x – a

    fx) – f(a)

    y

    y = f(x)

  • Garis Singgung

    DEFINISI Garis singgung kurva y = f(x) pada titik P(a, f(a)) adalah garis yang melalui P dan bergradien

    𝑚𝑚 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑓𝑓 𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑎𝑎

  • Latihan

    Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 2/x di titik (2, 1).x0

    y

    (2, 1)

    y = 2/x

  • Permasalahan Kecepatan

    0

    Posisi ketika t = a

    Posisi ketika t = a + h

    f(a)

    f(a + h)

    f(a + h) – f(a) sKecepatan rata-rata

    𝑓𝑓 𝑎𝑎 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑎𝑎ℎ

  • Kecepatan Sesaat

    Kecepatan sesaat adalah nilai limit dari kecepatan rata-rata:

    𝑣𝑣 𝑎𝑎 = limℎ→0

    𝑓𝑓 𝑎𝑎 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑎𝑎ℎ

  • Latihan

    Sebuah mobil mula-mula bergerak dengan kecepatan 60 km/jam dan kemudian direm, sehingga posisinya dari awal pengereman dapat dimodelkan dengan

    𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 60𝑡𝑡 − 5𝑡𝑡2

    Tentukan kecepatan sesaat mobil tersebut 5 detik setelah pengereman.

  • Dua Bentuk Satu Makna

    lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑓𝑓 𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑎𝑎

    limℎ→0

    𝑓𝑓 𝑎𝑎 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑎𝑎ℎ

  • Turunan

    DEFINISI Turunan suatu fungsi f pada bilangan a, dinotasikan dengan f’(a), adalah

    𝑓𝑓′ 𝑎𝑎 = limℎ→0

    𝑓𝑓 𝑎𝑎 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑎𝑎ℎ

  • Latihan

    Tentukan turunan fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 3 di 𝑥𝑥 = 4.

  • Latihan

    Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut di bilangan a.(a) 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 3− 5𝑥𝑥(b) 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 1(c) ℎ 𝑡𝑡 = 𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥(d) 𝐹𝐹 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 > 0

  • Latihan

    Masing-masing bentuk berikut ini merupakan turunan, tetapi turunan dari fungsi apa dan di bilangan mana?

    (a) limℎ→0

    4+ℎ 2−16ℎ

    (b) lim𝑥𝑥→3

    5𝑥𝑥−

    53

    𝑥𝑥−3

  • Tugas

    Jari-jari balon udara yang berbentuk bola bertambah dengan kecepatan 0,5 cm per detik. Jika jari-jarinya adalah 0 cm ketika t = 0, tentukan kecepatan perubahan volume balon udara tersebut pada saat t = 3.

  • Turunan Sebagai Suatu Fungsi

  • Turunan Sebagai Suatu Fungsi

    DEFINISI Turunan f didefinisikan sebagai berikut.

    𝑓𝑓𝑓 𝑥𝑥 = limℎ→0

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑥𝑥ℎ

    untuk sembarang nilai x yang membuat nilai limit tersebut ada.Catatan: Nilai f’ di x, yaitu f’(x), dapat diinterpretasikan secara geometris sebagai gradien garis singgung grafik f di titik (x, f(x)).

  • Contoh 1

    Grafik fungsi f ditunjukkan pada gambar di samping. Gunakan gambar tersebut untuk mensketsa grafik f’.

    1 2 3

    1

    2

    0 x

    y

    y = f(x)

  • Pembahasan

    Kita dapat memperkirakan nilai turunan pada sembarang x dengan menggambar garis singgung di titik (x, f(x)) kemudian memperkirakan gradiennya. Dengan memperkirakan turunan f di beberapa titik kemudian menghubungkannya dengan kurva harus, diperoleh grafik f’ seperti gambar di samping.

    1 2 3 x

    1

    2y

    m = 0

    m = 0

    m = 0m = 1

    y = f’(x)

  • Soal 1

    (a) Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥, tentukan rumus untuk f’(x).(b) Ilustrasikan rumus ini untuk membandingkan grafik f dan f’.

  • Soal 2

    Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥, carilah turunan f. Nyatakan domain f’.

  • Soal 3

    Tentukan f’ jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 2−𝑥𝑥1+𝑥𝑥

    .

  • Notasi-Notasi Lainnya

    Jika kita gunakan notasi y = f(x) untuk menunjukkan bahwa xsebagai varibel bebas dan y sebagai variabel terikat, maka beberapa notasi alternatif turunan adalah sebagai berikut.

    𝑓𝑓′ 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦′ =𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

    =𝑑𝑑𝑓𝑓𝑑𝑑𝑥𝑥

    =𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐷𝐷𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐷𝐷𝑥𝑥𝑓𝑓 𝑥𝑥

    Jika kita ingin menunjukkan nilai turunan dalam notasi dy/dx (notasi Leibniz) pada bilangan tertentu a, maka kita tuliskan

    �𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥=𝑎𝑎

    atau �𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥=𝑎𝑎

  • Fungsi Terdiferensialkan

    DEFINISI Fungsi f terdiferensialkan di a jika f’(a) ada. Fungsi tersebut terdiferensialkan di selang buka (a, b) [atau (a, ∞) atau (–∞, a) atau (–∞, ∞)] jika fungsi tersebut terdiferensialkan di semua titik dalam selang tersebut.

  • Soal 4

    Dimanakah fungsi f(x) = |x| terdiferensialkan?

  • Terdiferensialkan Mengakibatkan Kekontinuan

    TEOREMA Jika f terdiferensialkan di a, maka f kontinu di a.

  • Bagaimana Bisa Fungsi Tidak Terdiferensialkan

    (a) Pojok (b) Tidak kontinu (c) Garis singgung vertikal

    0 a x

    y

    0 a x

    y

    0 a x

    y

  • Turunan yang Lebih Tinggi

    Jika f adalah fungsi yang terdiferensialkan, maka turunannya f’ juga merupakan suatu fungsi, sehingga f’ memiliki turunan sendiri, dan dinotasikan dengan (f’)’ = f”. Fungsi baru ini disebut dengan turunan kedua dari f. Dengan menggunakan notasi Leibniz, turunan kedua dari y = f(x) dapat dituliskan menjadi

    𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

    𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

    =𝑑𝑑2𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥2

  • Soal 5

    Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥, cari dan interpretasikan f”(x).

  • EksplorasiDiberikan 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 dan 𝑥𝑥0 = 1.

    (a) Gambarlah grafik y = f(x).(b) Tentukan bentuk

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑥𝑥ℎ

    (c) Tentukan limit bentuk (b) ketika h mendekati 0.(d) Substitusi nilai 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 dan gambarlah grafik fungsi y = f(x) bersama dengan garis

    singgungnya di titik tersebut.(e) Substitusikan beberapa nilai x yang lebih dari atau kurang dari x0 ke dalam rumus (c).

    Apakah hasilnya masuk akal dengan grafiknya?(f) Gambarlah grafik yang diperoleh pada bagian (c). Apa artinya ketika nilainya negatif? Nol?

    Positif? Apakah masuk akal dengan grafik pada bagian (a)? Berikan alasan.

  • Aturan-Aturan Turunan

  • Apa yang Telah Kalian Pelajari?

    • Menentukan gradien garis singgung suatu kurva pada titik tertentu.

    • Menentukan kecepatan sesaat suatu objek pada waktu tertentu.• Menggunakan definisi limit untuk menentukan turunan suatu

    fungsi pada titik tertentu.• Menyatakan turunan sebagai suatu fungsi dengan menggunakan

    definisi limit.• Memahami hubungan antara kekontinuan dan keterdiferensialan.

  • Apa yang Akan Kalian Pelajari?

    • Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Fungsi Konstan.

    • Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Pangkat.• Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Perkalian

    Konstanta.• Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Fungsi

    Konstan.• Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan

    Penjumlahan dan Pengurangan.• Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Hasil Kali

    dan Hasil Bagi.

  • Fungsi Konstan

    • L

    0 x

    y

    c

    gradien = 0

    y = c

    Gambar di samping adalah grafik fungsi

    konstan. Apakah turunan dari fungsi konstan?

  • Turunan Fungsi Konstan

    TEOREMA 1 Turunan dari fungsi konstan adalah 0. Yaitu, jika cadalah bilangan real, maka

    𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝑐𝑐 = 0

    BUKTI Kita terapkan definisi turunan kepada f(x) = c, fungsi yang outputnya selalu konstanta c. Untuk setiap nilai x, diperoleh

    𝑓𝑓′ 𝑑𝑑 = limℎ→0

    𝑓𝑓 𝑑𝑑 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑑𝑑ℎ

    = limℎ→0

    𝑐𝑐 − 𝑐𝑐ℎ

    = limℎ→0

    0 = 0

  • Turunan Pangkat Bilangan Bulat Positif

    TEOREMA 2 Jika n adalah bilangan bulat positif, maka𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝑑𝑑𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛−1

  • Ekspansi Binomial

    Sebelum membuktikan turunan bilangan bulat positif, kita akan cari pola dalam ekspansi binomial:

    𝑑𝑑 + ℎ 2 = 𝑑𝑑2 + 2𝑑𝑑ℎ + ℎ2

    𝑑𝑑 + ℎ 3 = 𝑑𝑑3 + 3𝑑𝑑2ℎ + 3𝑑𝑑ℎ2 + ℎ3

    𝑑𝑑 + ℎ 4 = 𝑑𝑑4 + 4𝑑𝑑3ℎ + 6𝑑𝑑2ℎ2 + 4𝑑𝑑ℎ3 + ℎ4

    𝑑𝑑 + ℎ 5 = 𝑑𝑑5 + 5𝑑𝑑4ℎ + 10𝑑𝑑3ℎ2 + 10𝑑𝑑2ℎ3 + 5𝑑𝑑ℎ4 + ℎ5

    Secara umum, ekspansi binomial untuk suatu bilangan bulat positif n adalah

    𝑑𝑑 + ℎ 𝑛𝑛 = 𝑑𝑑𝑛𝑛 + 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛−1ℎ + 𝑛𝑛 𝑛𝑛−1 𝑥𝑥𝑛𝑛−2

    2ℎ2 +⋯+ ℎ𝑛𝑛.

    Faktor persekutuan suku-suku ini adalah h2

  • Turunan Pangkat Bilangan Bulat Positif

    BUKTI Jika n adalah bilangan bulat positif lebih dari 1, maka dengan menggunakan ekspansi binomial kita peroleh

    𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

    𝑑𝑑𝑛𝑛 = limℎ→0

    𝑥𝑥+ℎ 𝑛𝑛−𝑥𝑥𝑛𝑛

    = limℎ→0

    𝑥𝑥𝑛𝑛+𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛−1ℎ+𝑛𝑛 𝑛𝑛−1 𝑥𝑥𝑛𝑛−2

    2 ℎ2+⋯+ℎ𝑛𝑛−𝑥𝑥𝑛𝑛

    = limℎ→0

    𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛−1 + 𝑛𝑛 𝑛𝑛−1 𝑥𝑥𝑛𝑛−2

    2ℎ +⋯+ ℎ𝑛𝑛−1

    = 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛−1 + 0 +⋯+ 0= 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛−1

    Untuk kasus n = 1, pembuktian diserahkan kepada pembaca.

  • Aturan Pangkat

    TEOREMA 3 Jika n adalah sembarang bilangan real, maka𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝑑𝑑𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛−1

    untuk semua x dimana xn dan xn – 1 terdefinisi.

  • CONTOH 1

    (a) Jika 𝑓𝑓 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑8, maka 𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑 = 8𝑑𝑑7.(b) Jika 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑100, maka 𝑦𝑦𝑓 = 100𝑑𝑑99.(c) Jika 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡5, maka 𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝑑𝑑𝑑𝑑= 5𝑡𝑡4

    (d) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝑟𝑟3 = 3𝑟𝑟2

    Sekarang coba Uji Pemahaman 7

  • Aturan Perkalian Konstanta

    TEOREMA 4 Jika c adalah suatu konstanta dan f adalah fungsi yang terdiferensialkan, maka

    𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝑐𝑐𝑓𝑓 𝑑𝑑 = 𝑐𝑐𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝑓𝑓 𝑑𝑑

  • Aturan Perkalian Konstanta

    BUKTI Misalkan g(x) = cf(x). Maka,

    𝑔𝑔𝑓 𝑑𝑑 = limℎ→0

    𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥ℎ

    = limℎ→0

    𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥ℎ

    = limℎ→0

    𝑐𝑐 𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐 𝑥𝑥ℎ

    = 𝑐𝑐 limℎ→0

    𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐 𝑥𝑥ℎ

    = 𝑐𝑐𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑

  • Contoh 2Turunan berikut

    𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝟑𝟑𝑑𝑑2 = 𝟑𝟑 � 2𝑑𝑑 = 6𝑑𝑑

    menyatakan bahwa jika kita mengalikan masing-masing koordinat-y dengan 3, maka kita juga mengalikan gradien garis singgung pada masing-masing titik dengan 3. 1 2–2 –1 0

    1

    2

    3(1, 3)

    (1, 1)

    gradien = 2

    gradien = 6

    x

    y

    y = 3x2

    y = x2

    Sekarang coba Uji Pemahaman 8

  • Aturan Penjumlahan dan Pengurangan

    TEOREMA 5 Jumlah (atau selisih) dua fungsi-fungsi yang terdiferensialkan menghasilkan fungsi yang terdiferensialkan. Selain itu, turunan dari f + g (atau f – g) merupakan jumlah (atau pengurangan) dari turunan f dan g.

    𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝑓𝑓 𝑑𝑑 + 𝑔𝑔 𝑑𝑑 =𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝑓𝑓 𝑑𝑑 +𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝑔𝑔 𝑑𝑑

    𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝑓𝑓 𝑑𝑑 − 𝑔𝑔 𝑑𝑑 =𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝑓𝑓 𝑑𝑑 −𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝑔𝑔 𝑑𝑑

    Aturan Penjumlahan

    Aturan Pengurangan

  • Aturan Penjumlahan dan PenguranganBUKTI Misalkan F(x) = f(x) + g(x). Maka,

    𝐹𝐹𝑓 𝑑𝑑 = limℎ→0

    𝐹𝐹 𝑥𝑥+ℎ −𝐹𝐹 𝑥𝑥ℎ

    = limℎ→0

    𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ +𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ − 𝑐𝑐 𝑥𝑥 +𝑔𝑔 𝑥𝑥ℎ

    = limℎ→0

    𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐 𝑥𝑥ℎ

    + 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥ℎ

    = limℎ→0

    𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐 𝑥𝑥ℎ

    + limℎ→0

    𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥ℎ

    = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑓𝑓 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑

    𝑑𝑑𝑥𝑥𝑔𝑔 𝑑𝑑

    Aturan Pengurangan dapat dibuktikan dengan cara yang serupa.

  • Contoh 3

    Apakah kurva y = x4 – 2x2 + 2 memiliki garis singgung horizontal? Jika iya, dimana?PEMBAHASAN Garis singgung horizontal, jika ada, terjadi jika gradiennya nol. Padahal

    𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

    = 4𝑑𝑑3 − 4𝑑𝑑

  • PembahasanSelanjutnya kita selesaikan persamaan dy/dx = 0:

    4𝑑𝑑3 − 4𝑑𝑑 = 04𝑑𝑑 𝑑𝑑 + 1 𝑑𝑑 − 1 = 0

    𝑑𝑑 = 0, −1, 1Jadi, kurva tersebut memiliki garis singgung horizontal di x = 0, –1, dan 1. Perhatikan gambar di samping.

    1–1

    1

    (0, 2)

    (1, 1)(–1, 1)

    0 x

    yy = x4 – 2x2 + 2

    Sekarang coba Uji Pemahaman 12–14

  • Aturan Hasil Kali

    TEOREMA 6 Jika f dan g keduanya terdiferensialkan, maka𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝑓𝑓 𝑑𝑑 𝑔𝑔 𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝑔𝑔 𝑑𝑑 + 𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝑓𝑓 𝑑𝑑

    Catatan: Aturan Hasil Kali tersebut juga sering dinyatakan dalam𝑢𝑢𝑢𝑢 ′ = 𝑢𝑢𝑢𝑢′ + 𝑢𝑢′𝑢𝑢

  • Aturan Hasil Kali

    BUKTI Misalkan F(x) = f(x)g(x). Maka

    𝐹𝐹𝑓 𝑑𝑑 = limℎ→0

    𝐹𝐹 𝑥𝑥+ℎ −𝐹𝐹 𝑥𝑥ℎ

    = limℎ→0

    𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥ℎ

    Untuk menentukan nilai limit ini, kita akan memisahkan fungsi-fungsi f dan g seperti pada pembuktian di Aturan Penjumlahan.

  • Aturan Hasil Kali

    Untuk memisahkan f dan g, kita jumlahkan dan kurangkan sukuf(x + h)g(x) pada pembilang.

    𝐹𝐹𝑓 𝑑𝑑 = limℎ→0

    𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 +𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 −𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥ℎ

    = limℎ→0

    𝑓𝑓 𝑑𝑑 + ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥ℎ

    + 𝑔𝑔 𝑑𝑑 𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐 𝑥𝑥ℎ

    = limℎ→0

    𝑓𝑓 𝑑𝑑 + ℎ � limℎ→0

    𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥ℎ

    + limℎ→0

    𝑔𝑔 𝑑𝑑 � limℎ→0

    𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐 𝑥𝑥ℎ

    = 𝑓𝑓 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑔𝑔 𝑑𝑑 + 𝑔𝑔 𝑑𝑑 𝑑𝑑

    𝑑𝑑𝑥𝑥𝑓𝑓 𝑑𝑑

  • Contoh 4Tentukan turunan dari F(x) = (x2 – 3)(x3 + 1).PEMBAHASAN(a) Dari Aturan Hasil Kali, kita peroleh

    𝐹𝐹𝑓 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑2 − 3 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

    𝑑𝑑3 + 1 + 𝑑𝑑3 + 1 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

    𝑑𝑑2 − 3

    = 𝑑𝑑2 − 3 3𝑑𝑑2 + 𝑑𝑑3 + 1 2𝑑𝑑= 3𝑑𝑑4 − 9𝑑𝑑2 + 2𝑑𝑑4 + 2𝑑𝑑 = 5𝑑𝑑4 − 9𝑑𝑑2 + 2𝑑𝑑

    (b) Turunan F juga bisa ditentukan dengan mengalikan faktor-faktornya terlebih dahulu: F(x) = (x2 – 3)(x3 + 1) = x5 – 3x3 + x2 – 3. Sehingga

    𝐹𝐹𝑓 𝑑𝑑 = 5𝑑𝑑4 − 9𝑑𝑑2 + 2𝑑𝑑 Sekarang coba Uji Pemahaman 11

  • Gambaran Aturan Hasil KaliMisalkan f(x) dan g(x) positif dan nilainya naik ketika x naik, dan h > 0. Maka, perubahan fg merupakan selisih luas “persegi” yang lebih besar dengan yang lebih kecil, yang sama dengan jumlah dari luas persegi panjang merah bagian atas dan kanan.

    ∆𝑓𝑓𝑔𝑔 = 𝑓𝑓 𝑑𝑑 + ℎ 𝑔𝑔 𝑑𝑑 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑑𝑑 𝑔𝑔 𝑑𝑑

    = 𝑓𝑓 𝑑𝑑 + ℎ ∆𝑔𝑔 + 𝑔𝑔 𝑑𝑑 ∆𝑓𝑓

    Dengan membagi bentuk tersebut dengan h, diperoleh∆𝑐𝑐𝑔𝑔ℎ

    = 𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ ∆𝑔𝑔+𝑔𝑔 𝑥𝑥 ∆𝑐𝑐ℎ

    Limit bentuk tersebut untuk ℎ → 0+ akan menghasilkan Aturan Hasil Kali.

    f(x) f(x + h)

    Δf

    g(x)

    g(x + h)Δg

    f(x)g(x)

    f(x + h)Δg

    g(x)Δf

    0

  • Aturan Hasil Bagi

    TEOREMA 7 Jika f dan g terdiferensialkan, maka

    𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑔𝑔 𝑑𝑑

    =𝑔𝑔 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓 𝑑𝑑 − 𝑓𝑓 𝑑𝑑

    𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑔𝑔 𝑑𝑑

    𝑔𝑔 𝑑𝑑 2

    Catatan: Aturan Hasil Kali tersebut juga sering dinyatakan dalam𝑢𝑢𝑢𝑢

    ′=𝑢𝑢𝑓𝑢𝑢 − 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑓

    𝑢𝑢2

  • Aturan Hasil Bagi

    BUKTI Misalkan F(x) = f(x)/g(x). Maka

    𝐹𝐹𝑓 𝑑𝑑 = limℎ→0

    𝐹𝐹 𝑥𝑥+ℎ −𝐹𝐹 𝑥𝑥ℎ

    = limℎ→0

    𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −

    𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑔𝑔 𝑥𝑥

    = limℎ→0

    𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 −𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎℎ𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥

    Selanjutnya kita akan memisahkan f dan g.

  • Aturan Hasil Bagi

    Pemisahan f dan g dapat dilakukan dengan menjumlahkan dan mengurangkan bentuk f(x)g(x) pada pembilang.

    𝐹𝐹𝑓 𝑑𝑑 = limℎ→0

    𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 −𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎℎ𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥

    = limℎ→0

    𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 −𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 +𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 −𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎℎ𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥

    = limℎ→0

    𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ −𝑓𝑓 𝑥𝑥ℎ −𝑐𝑐 𝑥𝑥𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥

    ℎ𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥

    =limℎ→0

    𝑔𝑔 𝑥𝑥 �limℎ→0

    𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ −𝑓𝑓 𝑥𝑥ℎ −limℎ→0 𝑐𝑐 𝑥𝑥 �limℎ→0

    𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥ℎ

    limℎ→0

    𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ �limℎ→0

    𝑔𝑔 𝑥𝑥=

    𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑐𝑐 𝑥𝑥 −𝑐𝑐 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑔𝑔 𝑥𝑥

    𝑔𝑔 𝑥𝑥 2

  • Contoh 5

    Misalkan 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2−𝑥𝑥−6𝑥𝑥3+5

    , maka

    𝑦𝑦𝑓 =𝑥𝑥3+5 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥

    2−𝑥𝑥−6 − 𝑥𝑥2−𝑥𝑥−6 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥3+5

    𝑥𝑥3+5 2

    = 𝑥𝑥3+5 2𝑥𝑥−1 − 𝑥𝑥2−𝑥𝑥−6 3𝑥𝑥2

    𝑥𝑥3+5 2

    = 2𝑥𝑥4−𝑥𝑥3+10𝑥𝑥−5 − 3𝑥𝑥4−3𝑥𝑥3−18𝑥𝑥2

    𝑥𝑥3+5 2

    = −𝑥𝑥4+2𝑥𝑥3+18𝑥𝑥2+10𝑥𝑥−5

    𝑥𝑥3+5 2

  • Pembahasan

    Kita dapat menggunakan kalkulator grafik untuk memeriksa jawaban Contoh 8 masuk akal. Gambar di samping menunjukkan grafik fungsi pada Contoh 5 dan turunannya. Perhatikan bahwa ketika y naik dengan cepat (di dekat –2), y’bernilai besar. Dan ketika y naik secara perlahan, y’ dekat dengan 0.

    –4

    3

    –3

    4

    y

    y’

    Sekarang coba Uji Pemahaman 10

  • Rangkuman

    𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

    𝑐𝑐 = 0 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

    𝑑𝑑𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛−1

    𝑐𝑐𝑓𝑓 ′ = 𝑐𝑐𝑓𝑓𝑓 𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 ′ = 𝑓𝑓′ + 𝑔𝑔𝑓 𝑓𝑓 − 𝑔𝑔 ′ = 𝑓𝑓′ − 𝑔𝑔𝑓

    𝑓𝑓𝑔𝑔 ′ = 𝑓𝑓𝑔𝑔′ + 𝑔𝑔𝑓𝑓𝑓 𝑐𝑐𝑔𝑔

    ′= 𝑔𝑔𝑐𝑐

    ′+𝑐𝑐𝑔𝑔′

    𝑔𝑔2

  • Turunan Fungsi-Fungsi Trigonometri

  • Fungsi Sinus

    π/2 π 2π0

    π/2 π 2π0

    y = f(x) = sin x

    y = f’(x)

    y

    y

    x

    x

    Apakah turunan fungsi sinus?

  • Menemukan Turunan Fungsi SinusMisalkan f(x) = sin x. Maka

    𝑓𝑓𝑓 𝑥𝑥 = limℎ→0

    𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ −𝑓𝑓 𝑥𝑥ℎ

    = limℎ→0

    sin 𝑥𝑥+ℎ −sin 𝑥𝑥ℎ

    = limℎ→0

    sin 𝑥𝑥 cos ℎ+cos 𝑥𝑥 sin ℎ−sin 𝑥𝑥ℎ

    = limℎ→0

    sin 𝑥𝑥 cos ℎ−sin 𝑥𝑥ℎ

    + cos 𝑥𝑥 sin ℎℎ

    = limℎ→0

    sin 𝑥𝑥 cos ℎ−1ℎ

    + cos 𝑥𝑥 sin ℎℎ

    = limℎ→0

    sin 𝑥𝑥 � limℎ→0

    cos ℎ−1ℎ

    + limℎ→0

    cos 𝑥𝑥 � limℎ→0

    sin ℎℎ

    = sin 𝑥𝑥 0 + cos 𝑥𝑥 1 = cos 𝑥𝑥

    Definisi turunan

    Substitusi f(x) = sin x

    Identitas penjumlahan sudut

    Pisahkan

    Faktorkan

    Limit Perkalian

    Sederhanakan

  • Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus

    TEOREMA 1 Fungsi-fungsi f(x) = sin x dan g(x) = cos x keduanya terdiferensialkan, dan

    𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

    sin 𝑥𝑥 = cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

    cos 𝑥𝑥 = − sin 𝑥𝑥

  • Latihan 1

    Tentukan turunan dari 𝑦𝑦 = 5 sin 𝑥𝑥 − 7 cos 𝑥𝑥.

  • Menemukan Turunan Fungsi Tangen

    Dengan menggunakan Aturan Hasil Bagi, kita bisa mendapatkan𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

    tan 𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

    sin 𝑥𝑥cos 𝑥𝑥

    =cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 sin 𝑥𝑥−sin 𝑥𝑥

    𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 cos 𝑥𝑥

    cos2 𝑥𝑥

    = cos 𝑥𝑥�cos 𝑥𝑥−sin 𝑥𝑥 − sin 𝑥𝑥cos2 𝑥𝑥

    = cos2 𝑥𝑥+sin2 𝑥𝑥cos2 𝑥𝑥

    = 1cos2 𝑥𝑥

    = sec2 𝑥𝑥

    Identitas trigonometri

    Aturan Hasil Bagi

    Turunkan

    Sederhanakan

    Identitas trigonometri

  • Turunan Fungsi Trigonometri Lainnya

    Teorema 2 Untuk semua x dalam domain fungsi,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

    tan 𝑥𝑥 = sec2 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

    cot 𝑥𝑥 = − csc2 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

    sec 𝑥𝑥 = sec 𝑥𝑥 tan 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

    csc 𝑥𝑥 = − csc 𝑥𝑥 cot 𝑥𝑥

  • Latihan 2

    Tentukan turunan 𝑓𝑓 𝑥𝑥 =sec 𝑥𝑥

    1+tan 𝑥𝑥. Tentukan semua nilai x

    yang membuat grafik f memiliki garis singgung horizontal.

    –π π x

    y

    2

    –2

    0

    y = f(x)

  • Latihan 3

    Suatu objek di ujung sebuah pegas ditarik sejauh 4 cm dari posisi istirahatnya dan dilepaskan pada waktu t = 0. (perhatikan gambar di samping.) Posisi objek tersebut pada waktu t adalah

    𝑠𝑠 = 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = 4 cos 𝑡𝑡Tentukan kecepatan dan percepatan pada saat t dan gunakan hasilnya untuk menganalisis gerak objek tersebut.

    0

    4

    s

  • Latihan 4

    Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat fungsi yang tidak diketahui dan turunan-turunannya. Perhatikan persamaan diferensial berikut.

    𝑦𝑦𝑦 𝑡𝑡 + 𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 0(a) Tunjukkan bahwa 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴 sin 𝑡𝑡 memenuhi persamaan tersebut untuk

    sembarang konstanta A.(b) Tunjukkan bahwa 𝑦𝑦 = 𝐵𝐵 cos 𝑡𝑡 memenuhi persamaan tersebut untuk

    sembarang konstanta B.(c) Tunjukkan bahwa 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴 sin 𝑡𝑡 + 𝐵𝐵 cos 𝑡𝑡 memenuhi persamaan tersebut

    untuk sembarang konstanta A dan B.

  • Latihan 5

    Turunan sinn x Tentukan turunan-turunan berikut dengan menggunakan Aturan Hasil Kali.

    (a) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

    sin2 𝑥𝑥 (b) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

    sin3 𝑥𝑥 (c) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

    sin4 𝑥𝑥

    (d) Berdasarkan jawaban pada bagian (a) – (c), buatlah dugaan mengenai 𝑑𝑑

    𝑑𝑑𝑥𝑥sin𝑛𝑛 𝑥𝑥 .

  • Aturan Rantai

  • Turunan Fungsi Komposit

    Fungsi 𝑦𝑦 = 23𝑥𝑥 = 1

    32𝑥𝑥 merupakan komposisi dari fungsi 𝑦𝑦 = 1

    3𝑢𝑢

    dan 𝑢𝑢 = 2𝑥𝑥. Padahal,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑= 2

    3, 𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝑑𝑑𝑑𝑑= 1

    3, dan 𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝑑𝑑𝑑𝑑= 2.

    Karena 23= 1

    3� 2, kita dapat melihat dalam kasus ini bahwa

    𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑= 𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝑑𝑑𝑑𝑑� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

  • B: u putaran

    32

    1

    C: y putaranA: x putaran

  • CONTOH 1

    Fungsi y = (2x2 – 1)2 merupakan komposisi dari fungsi y = f(u) = u2dan u = g(x) = 2x2 – 1. Kita tentukan turunan fungsi komposit tersebut, dan diperoleh

    𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑= 𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝑑𝑑𝑑𝑑� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

    = 2𝑢𝑢 � 4𝑥𝑥= 2 2𝑥𝑥2 − 1 � 4𝑥𝑥= 16𝑥𝑥3 − 8𝑥𝑥

    Turunan y = (2x2 – 1)2 juga dapat ditentukan dengan mengekspansi (2x2 – 1)2 = 4x4 – 4x2 + 1. Sehingga kita peroleh

    𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑= 𝑑𝑑

    𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑥𝑥4 − 4𝑥𝑥2 + 1

    = 16𝑥𝑥3 − 8𝑥𝑥

  • Aturan Rantai

    Aturan Rantai Jika f(u) terdiferensialkan di titik u = g(x) dan g(x) terdiferensialkan di x, maka fungsi komposit (f ∘ g)(x) = f(g(x)) terdiferensialkan di x, dan

    𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 ′ 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓′ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ⋅ 𝑔𝑔′ 𝑥𝑥Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x), maka

    𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

    =𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑢𝑢

    ⋅𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑𝑥𝑥

    dimana dy/du ditentukan di u = g(x).

  • Latihan 1

    Jika 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 , dimana grafik f ditunjukkan pada gambar di samping, tentukan g’(4) dan g’(–2).

    2

    2

    0 x

    y

    y = f(x)

  • Latihan 2

    Sebuah objek bergerak di sepanjang sumbu-x sedemikian sehingga posisinya pada sembarang waktu t ≥ 0 diberikan oleh persamaan

    𝑥𝑥 𝑡𝑡 = sin 𝑡𝑡2 + 1Tentukan kecepatan objek tersebut sebagai fungsi terhadap t.

  • Contoh 2

    Aturan Luar-Dalam Tentukan turunan sin(x2 + x) terhadap x.PEMBAHASAN Kita langsung gunakan Aturan Rantai untuk memperoleh

    𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

    sin 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 = cos 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 ⋅ 2𝑥𝑥 + 1

    Fungsi dalam

    Fungsi dalam tetap

    Turunan fungsi dalam

  • Latihan 3

    Penggunaan Berulang Aturan Rantai Tentukan turunan fungsi berikut.

    𝑓𝑓 𝑡𝑡 = tan 3 + cos 5𝑡𝑡

  • Aturan Rantai untuk Fungsi Pangkat

    Aturan Pangkat dan Aturan Rantai Jika n adalah sembarang bilangan real dan u = g(x) terdiferensialkan, maka

    𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

    𝑢𝑢𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑢𝑢𝑛𝑛−1𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑𝑥𝑥

    Atau dapat dituliskan menjadi𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

    𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 ⋅ 𝑔𝑔′ 𝑥𝑥

  • Latihan 3

    Tentukan turunan dari fungsi berikut.

    𝑔𝑔 𝑡𝑡 =1− 3𝑡𝑡3 + 𝑡𝑡

    10

  • Bagaimana Pembuktian Aturan Rantai?

    Analisis Pendahuluan Misalkan y = f(x) dan x berubah dari a ke a + Δx, kita definisikan perubahan y sebagai

    Δ𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎 + Δ𝑥𝑥 − 𝑓𝑓 𝑎𝑎Berdasarkan definisi turunan,

    limΔ𝑑𝑑→0

    ∆𝑑𝑑∆𝑑𝑑= 𝑓𝑓′ 𝑎𝑎

    Sehingga jika kita notasikan selisih Δy/Δx dan f’(a) sebagai ε, kita peroleh

    limΔ𝑑𝑑→0

    𝜀𝜀 = limΔ𝑑𝑑→0

    ∆𝑑𝑑∆𝑑𝑑− 𝑓𝑓′ 𝑎𝑎

    = 𝑓𝑓′ 𝑎𝑎 − 𝑓𝑓′ 𝑎𝑎 = 0

    Tetapi

    𝜀𝜀 =∆𝑦𝑦∆𝑥𝑥 − 𝑓𝑓′ 𝑎𝑎 ⇒ ∆𝑦𝑦 = 𝑓𝑓′ 𝑎𝑎 ∆𝑥𝑥 + 𝜀𝜀∆𝑥𝑥

    Jika kita definisikan ε sama dengan nol ketika Δx = 0, maka ε menjadi fungsi yang kontinu terhadap Δx. Sehingga untuk fungsi f yang terdiferensialkan, kita dapat menulis

    ∆𝑦𝑦 = 𝑓𝑓′ 𝑎𝑎 ∆𝑥𝑥 + 𝜀𝜀∆𝑥𝑥 Persamaan 1dimana 𝜀𝜀 → 0 ketika ∆𝑥𝑥 → 0 dan εmerupakan fungsi kontinu terhadap Δx.

  • Bagaimana Pembuktian Aturan Rantai?

    Pembuktian Aturan Rantai Misalkan u = g(x) terdiferensialkan di adan y = f(u) terdiferensialkan di b = g(a). Jika Δx adalah perubahan di x dan Δu dan Δy merupakan perubahan di u dan y yang bersesuaian, maka kita dapat menuliskan

    ∆𝑢𝑢 = 𝑔𝑔′ 𝑎𝑎 ∆𝑥𝑥 + 𝜀𝜀1∆𝑥𝑥 = 𝑔𝑔′ 𝑎𝑎 + 𝜀𝜀1 ∆𝑥𝑥 Persamaan 2dimana 𝜀𝜀1 → 0 ketika ∆𝑥𝑥 → 0. Dengan cara yang serupa,

    ∆𝑦𝑦 = 𝑓𝑓′ 𝑏𝑏 ∆𝑢𝑢 + 𝜀𝜀2∆𝑢𝑢 = 𝑓𝑓′ 𝑏𝑏 + 𝜀𝜀2 ∆𝑢𝑢 Persamaan 3dimana 𝜀𝜀2 → 0 ketika ∆𝑥𝑥 → 0.

  • Bagaimana Pembuktian Aturan Rantai?

    Jika kita substitusi bentuk Δu dari persamaan 2 ke persamaan 3, kita peroleh∆𝑦𝑦 = 𝑓𝑓′ 𝑏𝑏 + 𝜀𝜀2 𝑔𝑔′ 𝑎𝑎 + 𝜀𝜀1 ∆𝑥𝑥

    Sehingga∆𝑑𝑑∆𝑑𝑑= 𝑓𝑓′ 𝑏𝑏 + 𝜀𝜀2 𝑔𝑔′ 𝑎𝑎 + 𝜀𝜀1

    Ketika ∆𝑥𝑥 → 0 persamaan 2 menunjukkan bahwa ∆𝑢𝑢 → 0 juga. Sehingga 𝜀𝜀1 →0 dan 𝜀𝜀2 → 0 ketika ∆𝑥𝑥 → 0. Oleh karena itu

    𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

    = lim∆𝑑𝑑→0

    ∆𝑑𝑑∆𝑑𝑑= lim

    ∆𝑑𝑑→0𝑓𝑓′ 𝑏𝑏 + 𝜀𝜀2 𝑔𝑔′ 𝑎𝑎 + 𝜀𝜀1

    = 𝑓𝑓′ 𝑏𝑏 𝑔𝑔′ 𝑎𝑎 = 𝑓𝑓′ 𝑔𝑔 𝑎𝑎 ′𝑔𝑔 𝑎𝑎Kita telah membuktikan Aturan Rantai.

  • Pemecahan Masalah

    Piston Roda Perhatikan piston roda pada gambar di samping. Roda tersebut memiliki jari-jari 10 cm dan berputar berlawanan arah jarum jam pada kecepatan 2 radian per detik. Batang besi yang menghubungkan roda dan kepala piston tersebut panjangnya 50 cm. Pada waktu t = 0, titik Pberkoordinat di (10, 0).(a) Tentukan koordinat P pada waktu t.(b) Tentukan koordinat-y titik Q pada waktu t (koordinat-x

    titik Q selalu nol).(c) Tentukan kecepatan Q pada waktu t. (Gunakan fakta

    bahwa 𝐷𝐷𝑑𝑑 𝑢𝑢 =1

    2 𝑑𝑑.)

    (10, 0)x

    y

    P

    Q

    50

  • Turunan Implisit

  • Fungsi Terdefinisi Implisit

    Beberapa fungsi didefinisikan secara implisit sebagai suatu relasi antara x dan y:

    𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 25, 𝑦𝑦2 − 𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥3 + 𝑦𝑦3 = 9𝑥𝑥𝑦𝑦

  • Grafik Fungsi Implisit

    4–4 0

    𝑦𝑦1 = 𝑓𝑓1 𝑥𝑥

    𝑦𝑦2 = 𝑓𝑓2 𝑥𝑥

    𝑦𝑦3 = 𝑓𝑓3 𝑥𝑥

    𝑦𝑦1 = 25− 𝑥𝑥2

    𝑦𝑦1 = − 25 − 𝑥𝑥2

    –5 50 x

    y

    30

    𝑦𝑦1 = 𝑥𝑥

    𝑦𝑦1 = − 𝑥𝑥

    x

    y

    x

    y

  • Contoh 1

    Tentukan ⁄𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 dari 𝑦𝑦2 − 𝑥𝑥 = 0.PEMBAHASAN Persamaan 𝑦𝑦2 − 𝑥𝑥 = 0 mendefinisikan dua fungsi yang terdiferensialkan terhadap x, yaitu 𝑦𝑦1 = 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦2 = − 𝑥𝑥. Sehingga turunan kedua fungsi ini adalah

    𝑑𝑑𝑦𝑦1𝑑𝑑𝑑𝑑

    = 12 𝑑𝑑

    dan 𝑑𝑑𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑑𝑑

    = − 12 𝑑𝑑

  • Pembahasan

    Turunan y terhadap x juga dapat ditentukan tanpa kita harus mengetahui persamaan fungsinya. Dengan menurunkan kedua ruas kita peroleh

    𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝑦𝑦2 − 𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

    0𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝑦𝑦2 − 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

    𝑥𝑥 = 0

    2𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑− 1 = 0𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑= 1

    2𝑦𝑦

  • Latihan 1

    Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 25 di titik (3, –4).

  • Turunan Implisit

    PROSEDUR Langkah-langkah berikut digunakan untuk menentukan turunan implisit.(1) Turunkan kedua ruas terhadap x, anggap y sebagai fungsi

    terdiferensialkan terhadap x.(2) Asingkan suku-suku dy/dx pada satu ruas persamaan,

    kemudian selesaikan dy/dx.

  • Latihan 2

    Tentukan dy/dx jika𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥2 + sin 𝑥𝑥𝑦𝑦

    𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥2 + sin 𝑥𝑥𝑦𝑦

    2

    2

    x

    y

  • Latihan 3

    Tentukan ⁄𝑑𝑑2𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥2 jika 2𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥2 = 8.

  • Tugas

    Apakah ada yang spesial dari garis singgung kurva 𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥3 dan 2𝑥𝑥2 +3𝑥𝑥2 = 5 di titik 1,±1 ? Berikan alasan.

    𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥3

    2𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥2 = 5

    (1, –1)

    (1, 1)

    x

    y

  • Nilai Maksimum dan Minimum

  • Pertanyaan Awal

    Apa yang dapat kalian amati pada grafik f ketika x = 1 dan 5?

    2 4 6

    2

    4

    x

    y

    0

    y = f(x)

  • Maksimum dan Minimum Absolut

    DEFINISI Misalkan c adalah bilangan dalam doman D fungsi f. Maka f(c) merupakan• Nilai maksimum absolut dari f di D jika f(c) ≥ f(x)

    untuk semua x di D.• Nilai minimum absolut dari f di D jika f(c) ≤ f(x)

    untuk semua x di D.

    Nilai maksimum dan minimum disebut sebagai nilai ekstrem.

  • Contoh 1

    2–2 0

    2

    x

    y

    2–2 0

    2

    x

    y

    2–2 0

    2

    x

    y

    2–2 0

    2

    x

    y

    y = x2 pada (–∞, ∞)Hanya min absolut

    y = x2 pada [0, 2]Maks dan min absolut

    y = x2 pada (0, 2]Hanya maks absolut

    y = x2 pada (0, 2)Tidak ada maks/min

    absolut

  • Teorema Nilai Ekstrem

    TEOREMA 1 Jika f kontinu pada selang tutup [a, b], maka f memiliki nilai maksimum absolut f(c) dan nilai minimum absolut f(d) untuk beberapa bilangan c dan d di [a, b].

  • Latihan 1

    Tentukan nilai ekstrem absolut fungsi f dan g di samping. Apakah kedua fungsi tersebut memenuhi Teorema Nilai Ekstrem?

    –1 10

    –1

    1

    x

    y

    y = f(x)

    –1 10

    –1

    1

    x

    y

    y = g(x)

  • Maksimum dan Minimum Lokal

    DEFINISI Misalkan c adalah bilangan dalam domain D fungsi f. Maka f(c) merupakan• Nilai maksimum lokal dari f jika f(c) ≥

    f(x) untuk semua x dalam beberapa selang buka yang memuat c.

    • Nilai minimum lokal dari f jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x dalam beberapa selang buka yang memuat c.

    c2c1 c3 x

    yMaks lokal

    Min lokal Min

    lokal

  • Teorema Turunan Pertama untuk Nilai-Nilai Ekstrim Lokal

    TEOREMA 2 Jika f memiliki nilai maksimum atau minimum lokal di cdan f’(c) ada, maka f’(c) = 0.

  • Calon Titik Ekstrim Lokal

    a bc d e

    f’(d) = 0

    f’(e) tidak ada

    f’(c) tidak ada

    x

  • Titik Kritis

    DEFINISI Titik kritis suatu fungsi f adalah c dalam domain fsedemikian sehingga f’(c) = 0 atau f’(c) tidak ada.

  • Latihan 2

    Tentukan titik-titik kritis fungsi fberikut pada [–3, 3].

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 𝑥𝑥 + 3–4 4

    –5

    –25

  • Menentukan Maksimum dan Minimum Absolut

    METODE SELANG TUTUP Penentuan nilai maksimum dan minimum absolut fungsi kontinu pada selang tutup [a, b] dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut.1. Tentukan nilai f di titik-titik kritis pada (a, b).2. Tentukan nilai f di titik-titik ujung selang [a, b].3. Nilai terbesar dari nilai-nilai pada Langkah 1 dan 2 merupakan

    nilai maksimum absolut; nilai terkecil dari nilai-nilai tersebut merupakan nilai minimum absolut.

  • Latihan 3

    Tentukan nilai maksimum dan minimum absolut fungsi f pada Latihan 2.

  • Tugas

    Setiap Detik Berharga Anda harus pergi dari titik P untuk menolong seseorang yang akan tenggelam dalam danau, yang posisinya 50 m dari titik Q di pantai dan titik tersebut terletak 50 m dari posisi Anda, perhatikan gambar di samping. Jika Anda dapat berlari dengan kecepatan 4 m/s dan berenang dengan kecepatan 2 m/s, di titik manakah seharusnya Anda mulai berenang?

    50 mx50 – x

    QP

    50 m

  • Turunan dan Grafik Fungsi

  • Fungsi Naik dan Fungsi Turun

    DEFINISI Suatu fungsi f dikatakan naik pada selang I jika

    𝑓𝑓 𝑥𝑥1 < 𝑓𝑓 𝑥𝑥2 ketika 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 dalam ISuatu fungsi f dikatakan turun pada selang I jika

    𝑓𝑓 𝑥𝑥1 > 𝑓𝑓 𝑥𝑥2 ketika 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 dalam I

    f turun: f(x1) > f(x2) ketika x1 < x2

    x1 x20 x

    yy = f(x)

    x1 x20 x

    yy = f(x)

    f naik: f(x1) < f(x2) ketika x1 < x2

  • Apa yang Ditunjukkan f’ Tentang f?

    A

    B

    C

    D

    0 x

    y

  • Uji Naik/Turun

    Teorema 1(a) Jika f’(x) > 0 pada suatu selang, maka f naik pada selang

    tersebut.(b) Jika f’(x) < 0 pada suatu selang, maka f turun pada selang

    tersebut.

  • Uji Naik/Turun

    Bukti(a) Misalkan x1 dan x2 sembarang dua

    bilangan dalam suatu selang dengan x1 < x2. Berdasarkan definisi fungsi naik, kita akan tunjukkan bahwa f(x1) < f(x2).Karena f’(x) > 0, maka fterdiferensialkan dalam [x1, x2]. Sehingga berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, ada bilangan c di antara x1 dan x2 sedemikian

    sehinggaf(x2) – f(x1) = f’(c)(x2 – x1)

    Karena f’(c) > 0 dan (x2 – x1) > 0, maka ruas kanan persamaan sebelumnya positif.

    f(x2) – f(x1) > 0 atauf(x2) > f(x1)

    Sehingga f fungsi naik.(b) Bagian (b) dapat dibuktikan

    dengan cara serupa.

  • Latihan 1

    Tentukan di mana fungsi f(x) = x4 – 2x2 + 3 naik dan di mana fungsi tersebut turun.

  • Nilai-Nilai Ekstrem Lokal

    Teorema 2 Uji Turunan PertamaMisalkan c adalah titik kritis fungsi kontinu f.(a) Jika f’ berubah dari positif ke negatif di c, maka f memiliki

    maksimum lokal di c.(b) Jika f’ berubah dari negatif ke positif di c, maka f memiliki

    minimum lokal di c.(c) Jika f’ positif di kiri dan kanan c, atau negatif di kiri dan kanan c,

    maka f tidak memiliki lokal maksimum atau minimum di c.

  • Ilustrasi Uji Turunan Pertama

    (a) Maksimum lokal (b) Minimum lokal (c) Tidak ada maks atau min

    (d) Tidak ada maks atau min

    f’(x) > 0f’(x) > 0

    f’(x) > 0

    f’(x) < 0f’(x) < 0

    f’(x) < 0 f’(x) < 0

    f’(x) > 0

    c x

    y

    0 c x

    y

    0 c x

    y

    0 c x

    y

    0

  • Latihan 2

    Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal fungsi f pada Latihan 1.

  • Kecekungan

    DEFINISI Grafik fungsi terdiferensialkan y = f(x)(a) terbuka ke atas pada selang I

    jika f’ naik pada I;(b) terbuka ke bawah pada selang I

    jika f’ turun pada I.0 x

    y

    y = x3

    f’ turun

    f’ naik

  • Uji Kecekungan

    Teorema 3(a) Jika f”(x) > 0 untuk semua x

    dalam I, maka grafik f terbuka ke atas pada I.

    (b) Jika f”(x) < 0 untuk semua xdalam I, maka grafik f terbuka ke bawah pada I.

    –1

    y = x2

    x

    y

    2

    0

    y” > 0 y” > 0

  • Titik Belok

    DEFINISI Titik P pada kurva y = f(x) disebut titik belok jika f kontinu di titik tersebut, dan kecekungan kurvanya berubah (dari terbuka ke atas menjadi terbuka ke bawah, atau sebaliknya).

  • Latihan 3

    Sketsalah grafik fungsi f yang memenuhi kondisi-kondisi berikut.(a) f(0) = 0, f(2) = 3, f(4) = 6, f’(0) = f’(4) = 0.(b) f”(x) > 0 untuk x < 1 dan f”(x) < 0 untuk x > 1.

  • Uji Turunan Kedua

    Teorema 4 Misalkan f” kontinu di dekat c.(a) Jika f’(c) = 0 dan f”(c) > 0, maka f memiliki minimum lokal di c.(b) Jika f’(c) = 0 dan f”(c) < 0, maka f memiliki maksimum lokal di c.

  • Latihan 4Sketsa grafik fungsi

    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥4 − 4𝑥𝑥3 + 10dengan langkah-langkah berikut.(a) Tentukan dimana ekstrim f terjadi.(b) Tentukan selang ketika f naik dan selang ketika f turun.(c) Tentukan dimana grafik f terbuka ke atas dan di mana f terbuka ke

    bawah.(d) Sketsa bentuk umum grafik f.(e) Plot beberapa titik, misalkan titik-titik maksimum dan minimum lokal, titik-

    titik belok, dan titik-titik potong sumbu-x dan sumbu-y.

  • Rangkuman Sketsa Grafik

  • Panduan Sketsa Grafik y = f(x)

    1. Domain. Tentukan domain Ddari f, yaitu himpunan nilai-nilai x dimana f didefinisikan.

    2. Simetri. Gunakan kesimetrian fungsi. Apakah ffungsi genap? Fungsi ganjil?

    3. Turunan pertama dan kedua. Informasi ini berguna untuk menentukan nilai

    ekstrem, kecekungan, titik belok, dan selang naik/turun.

    4. Titik kritis dan titik belok.Tentukan titik-titik dimana f’(x) = 0 atau f’(x) tidak terdefinisi. Tentukan titik-titik dimana f”(x) = 0 atau f”(x) tidak terdefinisi.

  • Panduan Sketsa Grafik y = f(x)

    5. Selang naik/turun dan terbuka ke atas/bawah.Turunan pertama digunakan untuk menentukan selang naik/turun. Turunan kedua digunakan untuk menentukan selang terbuka ke atas/bawah.

    6. Nilai ekstrem dan titik belok.

    Gunakan turunan pertama atau kedua untuk mengklasifikasi titik-titik kritis.

    7. Asimtot dan perilaku ujung.Asimtot vertikal sering muncul ketika penyebutnya nol. Tentukan limit x → ±∞ untuk menentukan asimtot horizontal.

  • Panduan Sketsa Grafik y = f(x)

    8. Titik potong. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu-y dengan mensub-stitusi x = 0. Titik potong sumbu-x dapat dicari dengan menyelesaikan f(x) = 0.

    9. Sketsa grafik. Dengan menggunakan semua informasi 1–8, sketsalah grafik fungsi yang diberikan.

  • Contoh 1

    Pemanasan Berikut ini merupakan informasi mengenai turunan pertama dan kedua fungsi f yang kontinu pada (−∞, ∞). Rangkumlah informasi tersebut dengan garis bilangan, dan sketsalah kemungkinan grafik fungsi f.

    f’ < 0, f” > 0 pada (−∞, 0) f’ > 0, f” > 0 pada (0, 1)f’ > 0, f” < 0 pada (1, 2) f’ < 0, f” < 0 pada (2, 3)f’ < 0, f” > 0 pada (3, 4) f’ > 0, f” > 0 pada (4, ∞)

  • Garis Bilanganf’ < 0, f” > 0

    TurunTer. ke atas

    f’ > 0, f” > 0Naik

    Ter. ke atas

    f’ > 0, f” < 0Naik

    Ter. ke bawah

    f’ < 0, f” < 0Turun

    Ter. ke bawah

    f’ < 0, f” > 0Turun

    Ter. ke atas

    f’ > 0, f” > 0Naik

    Ter. ke atas

    0 1 2 3 4

    Minim