TUGAS PORTOFOLIO MATEMATIKA DASAR

Dosen Pengampu : Riza Arifudin S.Pd ,M.Cs

Nama :Emas Agus Prastyo WibowoNIM :4311413013Prodi:Kimia

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG2013

BAB IISISTEM BILANGAN REAL

A. Kompetensi dan IndikatorA.1 Standar KompetensiMenggunakan konsep bilangan real dalam soal dan permasalahan yang relevan.A.2 Kompetensi DasarMemahami matematika pada materi sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai mutlak, akarkuadrat dan kuadrat, koordinat kartesius dan kutub, grafik, serta sistem persamaan linearA.3 Indikator PembelajaranMahasiswa mampu mengerjakan soal-soal

Kalkulus-1 : Sistem Bilangan RealA. Sistem BilanganB. PertidaksamaanC. Nilai Mutlak

A. Sistem Bilangan

BILANGAN REAL

Himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasionalBilangan Rasional

Adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pq

di mana p, q Z, dengan q 0. Notasinya: Q = {x|x = , p dan qZ, dengan q 0}.

Bilangan Irrasional (Tak Rasional)

Adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk .Notasinya: iR = {x|x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk }contoh : , e, log 5

Sistem Bilangan / Himpunan BilanganHimpunan Bilangan Asli: N = {1, 2, 3, 4, 5, · · ·}

Himpunan Bilangan Bulat: Z = {· · · ,−2,−1, 0, 1, 2, 3, · · ·}

Himpunan Bilangan Rasional: Q = { pq | p, q ∈ Z, q_=

0}

Perhatikan gambar segitiga di samping. Panjang sisi miringnyaadalah √2. Apakah bilangan tersebut merupakanbilangan rasional .

Gabungan himpunan bilangan rasional dan irrasional disebut himpunan bilanganreal, disimbolkan R. Jelas N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

1) Sifat-sifat Bilangan Real- Komutatif (pertukaran), hanya untuk penjumlahan dan perkalian

x+y= y + x dan xy =yx

- Asosiatif (pengelompokan), hanya untuk penjumlahan dan perkalian

(x+y)+z = x +(y +z) dan (xy)z = x(yz)

- Distributif, perkalian terhadap penjumlahan(x+y) = xz+yz

- Unsur identitasTerhadap operasi jumlah yaitu 0 sehingga x + 0 = xTerhadap operasi kali yaitu 1 sehingga x.1 = x

- InversTerhadap penjumlahan yaitu – x sehingga x +(-x) = 0Terhadap perkalian yaitu1

x sehingga x .1x = 1

2) Sifat-sifat Urutan Bilangan Real

Trikotomi Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y

Ketransitifan Jika x < y dan y < z maka x < z

Perkalian Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz

Garis bilangan

Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan(real)

-3 0 1

Sistem Bilangan Real

Himpunan bilangan real dengan semua operasi dan sifat-sifat yang berlaku di dalamnya dinamakan sistem bilangan real

INTERVAL BILANGAN REAL

Interval adalah suatu himpunan bagian dari garis bilangan real yang mengandung paling sedikit 2

π

a b

a b

a b

a

a

bilangan real yang berbeda dan semua bilangan real yang terletak diantara keduanya.

Penulisan himpunan dalam bentuk interval/selang:{ x|a ≤ x≤b,x∈R} =[a,b ] disebut selang tutup{x|a¿ x<b<, x∈ R } =(a,b ) disebut selang buka

{ x|a≤ x<b , x∈R } = [ a,b) keduanya disebut selang setengah buka / setengah tutup

{ x|a¿ x ≤ b , x∈R } =(a,b ]

{x |x≥ b , x∈R } =[ b, ∞) keduanya disebut selang tak terbatas

{x |x¿a , x<∈R } =(-∞,a]

B. Pertidaksamaan

Notasi Interval: Misalkan a, b ∈ R,

1. (a, b) = { x |a < x < b}

2. [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }

3. [a, b) = { x | a ≤ x < b}

4. (a,∞) = { x |x > a}

5. [a,∞) = { x | x ≥ a }

6. (−∞, b) = { x |x < b} b

7. (−∞, b] = { x | x ≤ b } b

8. (−∞,∞) = R

B. Pertidaksamaan

Pertidaksamaan tidak boleh dikalikan atau dibagi oleh suatu variabel karena variabel tersebut bisa bernilai positif atau negatif.Pertidaksamaan akan berubah tanda apabila variabel pengali/pembagi bernilai negatif.

Bentuk umum:A (x )B ( x )

<C ( x )D ( x )

A(x),B(x), C(x), dan D(x) masing-masing polinom.

Catatan: Tanda < dapat juga berupa ≤ , > atau ≥

Contoh:

x3+1x2−2 x+8

≥ 3 xx5+3 x−4

Himpunan dari semua titik x ∈ R yang ’memenuhi’ pertaksamaan tersebut disebut solusi.

Langkah-Langkah menentukan solusi pertaksamaan rasional:(dijelaskan seiring dengan pencarian solusi dari x+12−x

≥ xx+3)

Tentukan ’daerah definisi’ dari pertaksamaan tersebut

Tambahkan kedua ruas dengan –C (x)D(x)sehingga

diperoleh bentuk P(x )Q(x)

<0

Faktorkan P(x) dan Q(x) atas faktor-faktor ’linier’ & ’kuadrat definit’.

Gambarkan garis bil. real dan tandai akar-akar dari P(x) dan Q(x).

Pada setiap ’subinterval’ yang terbentuk, ambil satu buah titik dan periksa tanda dari P(x )

Q(x)

+ - - +

Simpulkan solusi dari pertaksamaan tersebut.

Diskusi: Perhatikan langkah kelima di atas. Untuk menentukan tanda dari P(x )

Q(x) sepanjang suatu

subinterval, mengapa cukup kita uji pada satu titik saja ? Jelaskan !

Latihan Tentukan solusi dari:

a)2 ≤ x2 −x < 6b)(x – 1)2 ≤ 4

c)5x – 3 ≤ 7 - 3x

Hati-Hati:•Jangan mengalikan pertaksamaan dengan bilangan yang tidak diketahui tandanyailustrasi: 1

x−1<1

•Sebaiknya, hindari mencoret faktor yang sama, ilustrasi:¿¿

C. Nilai Mutlak

Definisi nilai mutlak

Nilai mutlak x dengan notasi |x | didefinisikan sebagai:

Contoh: | 6 | = 6 ,karena 6≥0

|x|={ x , x≥0−x , x<0

| -4| = - ( - 4) = 4,karena – 4 ¿0 | 0 | =0

Akibat definisi nilai mutlak −a< x<a↔∨x<α∨¿

x¿a atau x<−a ↔|x|>α

Sifat-sifat Nilai Mutlaka. |x.y | = |x | .|y |b.

c. | x+y| ¿|x |+ | y|d. |x |¿ |y |↔ x2< y2

e. |x −y| ≥ | |x| − |y| |

Contoh:

|x+5| < 6

Latihan

a) |x − 3| = x – 3b) |x − 1| = 2.c) |x 5 ||2 x 6|d) |2x − 7| < 3e) |x − 2| + |x + 2| > 7f) |x − 2| < 3 |x + 7|

|xy|=

|x||y|

Sistem Koordinat Kartesius / Persegi Panjang

Pelopor: Pierre de Fermat (1629) & Ren´e Descartes (1637)

Sistem koordinat adalah suatu metode untuk menentukan letak suatu titik dalam grafik. Adabeberapa macam system koordinat yaitu:

Sistem Koordinat Cartesius; Sistem Koordinat Kutub; Sistem Koordinat Tabung, dan Sistem Koordinat Bola.

Sistem Koordinat CartesiusKoordinat ini terdiri dari 2 garis saling tegak lurus, yaitu satu mendatar

(horizontal) dan yang lain tegak (vertikal). Garis mendatar ini disebut sumbu-x

sedangkan garisyang tegak disebut sumbu-y. Perpotongan kedua sumbu

tersebut dinamakan titik asal (origin) dan diberi tanda O. Seperti biasanya, titik-

titik di sebelah kanan O nilainya adalah positif (bilangan-bilangan real positif)

sedangkan titik-titik di sebelah kiri O dengan bilangan-bilangan real negatif.

Demikian pula dengan titik-titik di sebelah atas O dan di sebelah bawah O

masing-masing dikaitkan dengan

bilangan-bilangan real positif dan negatif. Oleh ke dua sumbu, bidang datar

(bidang koordinat) terbagi menjadi 4 daerah (kwadran), yaitu kwadran I,

kwadran II, kwadran III, dan kwadran IV

Gambar Koordinat Katesius dan kwadrannyaLetak sembarang titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan variable berurutan (x,y). Titik P(x,y) berarti bahwa jarak titik P ke sumbu-x dan sumbu-y masing masing adalah |y|

dan |x|. Apabila x < 0 (atau y < 0) maka titik P berada di sebelah kiri (atau sebelah bawah) titik asal O dan apabila x > 0 (atau y > 0) maka titik P terletak di sebelah kanan (atau sebelah atas) titik asal O dalam hal ini, x disebut absis titik P sedangkan y disebut ordinat titik P.

Jarak dua titik di bidang

Misalkan P(x1, y1) dan Q(x2, y2) dua buah titik pada bidang, jaraknya adalah d(P,Q) =√ ( x2 – x 1 )2+( y 2 – y 1 )2

¿¿

Garis LurusBentuk umum: Ax + By + C = 0 dengan A,B, dan C konstanta.Nilai A dan B tidak boleh nol secara bersamaan.

Grafik garis lurus ditentukan oleh dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) yangmemenuhi persamaan tersebut.Hal-hal khusus: Bila A = 0, persamaan berbentuk y =−C

B , grafiknya sejajar sumbu-x.

Bila B = 0, persamaan berbentuk x =−CA , grafiknya

sejajar sumbu-y. Bila A,B tak nol, Ax + By + C = 0 ⇐⇒ y = −A

Bx−C

B

Misalkan (x1, y1) dan (x2, y2) dua titik pada garis tersebut. Kemiringan garis didefinisikan sebagai m =y2− y1x2−x1

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) :

y− y1y2− y1

= x−x1x2−x1

Persamaan garis lurus dengan kemiringan m dan melalui titik (x1, y1) :

y − y1 = m(x − x1)

Misalkan garis _1 dan _2 dua buah garis dengan kemiringan m1 dan m2. Kedua garis tersebut sejajar ⇐⇒ m1 = m2

Kedua garis tersebut saling tegak lurus ⇐⇒ m1 · m2 = −1 (mengapa?)

Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang jaraknya sama terhadap titik

tertentu (disebut pusat lingkaran). Persamaan lingkaran yang berpusat

di (0, 0) dan jari-jari r adalah: x2+ y2=¿ r2Bila pusat lingkaran berada di titik (p,

q) maka persamaannya menjadi (x−p)2+ y−q2= r2

Contoh 1:Tulislah persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 satuan dan pusatnya O(0,0).Jawab:

Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjarijari 5 adalahx2+ y2=52ataux2+ y2=25.

Contoh 2.Tulislah pusat dan jari-jari lingkaran yang persamaannya x2+ y2= = 27.Jawab:Pusat lingkaran x2+ y2= 27 adalah O(0,0), jari-jarinya adalah r = √27 = 3√3 satuan.

Contoh 3:Tulislah persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 satuan dan berpusat di titik (2,4).Jawab:Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,4) dan berjari-jari 5 adalah( x−2 )2+¿ atau ( x−2 )2+¿

Persamaan Lingkaran x2+ y2+ A x + B y + C = 0.Ini adalah persamaan lingkaran denganPusat : P( −1

2A ,−1

2B ¿

Jari-jari : r =√❑

Contoh:Carilah pusat dan jari-jari lingkaran yang persamaannyax2+ y2 - 6 x + 4 y - 12 = 0.Jawab:Pada persamaan x2+ y2 - 6 x + 4 y - 12 = 0, nilai A = -6, B = 4 dan C = -12.Misalkan pusat lingkarannya P dan jari-jarinya r.Pusat : P( −1

2A ,−1

2B ¿= (3,-2)

Jari-jari : r = √ 14

.36+ 14

.16−(−12)

r = √25 = 5 satuan

Latihan

a. Tentukan persamaan lingkaran di kuadran I yang menyinggung garis y = √3 x dan sumbu X di titik (4,0).

b. Hitung jarak terdekat antara titik P(-7,2) ke lingkaranx2+ y2 -10x – 14y -151 = 0.

c. Diketahui titik P(1,7) dan lingkaran (x+3)2 + ( y−4)2 = 16. Hitung jarak terdekat P kelingkaran.

KOORDINAT KUTUBDalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat kutub. Koordinat kutub menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.

A(r,α)rα

0

Suatu titik A dapat dinyatakan sebagai pasangan berurut A(r,a)

r : jarak titik A terhadap titik asal O (0,0) a : besar sudut antara sb-X (x positif) terhadap

garis OA

Cos a = xr

Sin a = yr

Jika diketahui Koordinat Kutub ( r , a ) :

Maka :

x = r. cos a

y = r. sin a

Jika diketahui Koordinat Kartesius ( x , y ) :

Maka :

r =

tan a = yx

Contoh Soal :

Diketahui Koordinat Kutub :

A(10,30° ¿

10

30°

√ x2+ y2

0

Ubahlah ke Koordinat Kartesius :

A(10,30° ¿

Maka :

x = r. cos a

y = r. sin a

Penyelesaian :Titik A(10,30° ¿ x = r. cos a

=10 .cos 30°

=10.12 √3

=5√3

y= r. sin a

=10. sin30°

=10.12

= 5 ` Jadi .A(10, 30°) Û (5√3 , 5)

Diketahui Koordinat Kartesius :

A(x,y)

Ubahlah ke Koordinat Kutub :

Titik A ( 4, 4√3)

Maka :

r =

tan a = yx

Penyelesaian :

√ x2+ y2

√42+(4√3 )2

Titik A (4, 4√3 ) Þ r =

=

=√64

= 8

tan α = yx

=4 √34

=√3

= 60°

Jadi A( 4, 4√3 ) Û A ( 8,600)

Grafik Persamaan KutubCardioid:r a(1sin) dan r a(1cos)Contoh : r = sin + 1

√16+48

Limaçon:r = a + b cos , r = a + b sin contoh : r = 3 – 5 sin

Mawar (Rose)Persamaan berbentuk r = cos (n ) atau r = sin(n )mempunyai grafik berbentuk mawar (rose);dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil,2n jika n genap

Contoh : r = cos

Lemniscate:Contoh: untukr 2 a cos(2) atau r 2 asin(2)

r 2 4sin(2)

Spiral:Persamaan berbentuk r = n

Contoh : r =

Grafik dari “butterfly curve”

r() = exp(cos())- 2*cos(4* ) + sin(/4)^3

KOORDINAT POLAR

Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti berada diposisi: - derajat dari sumbu-x (sb. polar) ( diukur berlawanan arah jarum-jam)

- berjarak sejauh r dari titik asal kutub O.

Perhatian:

jika r < 0, maka P berada di posisi yang berlawanan arah.

• r: koordinat radial • : koordinat sudut

• Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar (r, ) = (- r, + n ), untuk n bil. bulat ganjil = ( r, + n ) , untuk n bil. bulat genap

Persamaan dalam Koordinat Polar

• Pers. polar dari lingkaran berjari-jari a: r = a

• Untuk lingkaran berjari a - berpusat di (0,a): r = 2a sin

- berpusat di (a,0): r = 2a cos

r = 2 sin r =cos

Konversikan persamaan polar r = 2 sin kedalam sistem koordinat tegak: Kalikan kedua sisi dengan r: r2 = 2r sin

r

0 0

2 /2

0

r

2 0

0 /2

-2

x2 + y2 = 2y

x2 + y2 - 2y = 0

Jadi persamaan tsb. dalam koordinat tegak adalah x2 + (y -1)2 = 1

• Cari titik potong antara 2 persamaan polar berikut: r = 1 + sin and r2 = 4 sin .

Solusi:

(1 + sin )2 = 4 sin

1 + 2 sin + sin2 - 4 sin = 0

sin2 - 2 sin + 1 = 0

(sin - 1)2 = 0 Þ sin = 1

Jadi sudut = /2 + 2n, dimana n = 0,1,… Jadi salah satu titik potong: (2, /2)

Grafik Persamaan PolarCardioid:

Limaçon: r = a + b cos , r = a + b sin

Limaçon: r()= 3 – 2 cos()

r=a(1±sinθ ) dan r=a (1±cosθ )

• Persamaan berbentuk r = cos (n ) atau r = sin(n )

mempunyai grafik berbentuk mawar (rose); dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil,2n jika n genap

Rose: r() = a – b sin (n) contoh: r() = 5 – sin(2)

Grafik persamaan polar

Lemniscate:

r=2cos (2 θ)

r2=a cos (2θ ) atau r2=a sin(2 θ)

r2=−4sin(2 θ )

Spiral: r =

Menghitung Luas dalam Koordinat Polar• Definisi:

Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis radial = a dan = b dan kurva r = f( ), a£ £ b, adalah

=b r = f()

BAB III FUNGSI DAN LIMIT

MATERI YANG DI BAHASA.DEFINISI FUNGSIB.NOTASI FUNGSIC.DAERAH ASAL DAN AERAH HASILD.GRAFIK FUNGSIE. FUNGSI GENAP DAN GANJILF. OPERASI FUNGSIG.KOMPOSISI FUNGSI

A=∫α

β12 [ f (θ )]2 dθ

H.FUNGSI TRIGONOMETRI

A.DEFINISI FUNGSI

Ada dua buah definisi

1.Sebuah fungsi adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap objek x dalam satu himpunan yang disebut daerah asal ,dengan sebuah nilai unik f ( x ) dari himpunan kedua .Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi tersebut

2.Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut(x,y) dimana tidak terdapat dua pasangan berbeda yang bilangan pertamanya sama.Himpunan semua nilai x yang mungkin dinamakan daerah asal (domain)fungsi,dan himpunan semua nilai y yang di hasilkan dinamakan daerah nilai fungsi

Dari kedua definisi di atas diambil garis besarnya adalah

Suatu himpunan pasangan terurut bilangan (x,y) dimana tidak terdapat dua pasangan berbeda yang bilangan pertamanya sama .Tiap objek x dalam satu himpunan pertama,yang disebut daerah asal (domain) dihubungkan dengan sebuah titik unikf (x) dari himpunan kedua yang dinamakan daerah nilai (range/jelajah/hasil)

B.NOTASI FUNGSI

Di pakai sebuah huruf tunggal seperti f atau gatau F . Maka f (x) dibaca f dari x” atau pada x” menunjukkan nilai yang diperoleh oleh f kepadax

Contoh .Jika f ( x )=x3−4 ,hitunglah f (2 ) , f (−1 ) , f (a ) , f (a+h)

Penyelesaian :

f (2 )=(2 )3−4=4

f (−1 )=(−1 )3−4=−5

f ( a )=a3−4

f ( a+h )=(a+h )3−4=a3+3 a2 h+3 a h2+h3−4

Contoh 2 .Jikaf ( x )=x2−2x ,hitunglah f ( 4 ) , f ( 4+h ) , f ( 4+h )− f (4 )

Penyelesaian :

f ( 4 )=(4 )2−2 (4 )=8

f ( 4+h )=( 4+h )2−3 (4+h )=8+6 h+h2

f ( 4+h )−f (4 )=8+6 h

f (4+h )−f (4)h

=6h+h2

h=6+h

Latihan

Selesaikanlah

1. Untuk f ( x )=x2−1 ,hitunglah f (1 ) , f (−2 ) , f (k ) , f (0 ) , f (−6)

2. Untuk F ( x )=3 x3+x ,hitunglah F (−6 ) ,F ( 32 ) ,F ¿

C.DAERAH ASAL DAN DAERAH HASIL

Definisi Daerah Asal

Daerah asal adalah himpunan – himpunan elemen – elemen pada mana fungsi itu mendapat nilai

Definisi Daerah Hasil

Himpunan nilai- nilai yang diperoleh secara demikian

Contoh 1. F adalah fungsi dengan aturan F ( x )=x2+1.Daerah asalnya {−1,0,1,2,3 }

.Carilah daerah hasilnya.

Penyelesaian :

Daerah hasilnya {1,2,5,10}

Bilamana daerah asalnya tidak dirinci kita selalu menganggap bahwa daerah

asalnya adalah himpunan bilangan riil yang terbesar sehingga aturan fungsi ada

maknanyadan memberikan nilai bilangan riil,daerah asal ini disebut daerah asal

mula(domain natural)

Contoh.2 Carilah daerah asal mula(natural) untuk:

1. f ( x )= 1x−3

2. g ( t )=√9−t 2

Penyelesaian :

1.Daerah hasil untuk f ( x )= 1x−3 adalah {x x∈ R , x ≠3 } dibaca Himpunan x

dan R (Bilangan riil) sedemikian rupa sehingga x tidak sama dengan 3

2.Harus membatasi t sedemikian rupa sehingga 9−t 2≥ 0g (t )=√9−t 2 dengan tujuan menghindari bilangan imajiner sehingga {t ∈R ; t ≤ 3 }

Latihan

Tentukan daerah asalnya

1. f ( x )=√x−4

2. f ( x )=√x2−4

3. f ( x )=√4−x2

4. f ( x )=√x+1

D.GRAFIK FUNGSI

Bilamana daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan bilangan riil,kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat.Dan grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y=f ( x )

Contoh .Buatlah sketsa grafik dari :

1. f (x)=x2−22. g ( x )=x3−2 x

3. h ( x )= 2x−1

Penyelesaian:

1.f ( x )=x2−2

Daerah asal {x x∈R }

Daerah hasil {y y∈R ; y ≥−2 }

2.

2.g ( x )=x3−2 x

Daerah asal {x x∈ R }

Daerah hasil {y y∈R }

Grafiknya :

3.h ( x )= 2x−1

Daerah asal {x x∈ R ;x ≠ 1}

Daerah hasil {y y∈R ; y≠ 0 }

Grafiknya :

Tentukan daerah asal ,daerah hasil ,dan buat grafiknya

1. f ( x )=3 x

2. F ( x )=2 x+1

3. F ( x )=3 x−√2

E.FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL

Definisi Fungsi Genap

Suatu fungsi f dikatakan fungsi genap jika setiap x di daerah asalf , f (−x )=f (x)

Definisi Fungsi Ganjil

Suatu fungsi dikatakan fungsi ganjil jika setiap x di daerah asalf , f (−x )=−f (x)

Dari kedua definisi ini dapat dipahami bilamana x terletak pada daerah asal f ,maka – x juga

Contoh.Tentukan apakah fungsi- fungsi dibawah ini genap,ganjil,atau bukan keduanya

f ( x )=x2−2

g ( x )=x3−2 x h ( x )=2 x4+7 x3−x2+9

Penyelesaian:

.f ( x )=x2−2

f (−x )=(−x )2−2=x2−2 (Fungsi Genap) g ( x )=x3−2 x

g (−x )=(−x )3−2 (−x )=−x3+2 x=−(x3−2 x ) (Fungsi Ganjil) h ( x )=2 x4+7 x3−x2+9 h (−x )=2 (−x )4+7 (−x )3−(−x )2+9

h (−x )=2 x4−7 x3−x2+9(Fungsi bukan keduanya)

F.OPERASI FUNGSI

Operasi pada FungsiSeperti halnya pada bilangan, kita definisikan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, danpembagian pada fungsi, sebagai berikut:(f + g)(x) = f(x) + g(x)(f – g)(x) = f(x) – g(x)(f.g)(x) = f(x).g(x)

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

asalkan bentuk di ruas kanan terdefinisi. Daerah asal f + g adalah irisan dari daerah asal f dandaerah asal g, yakni {x ∈ R | x ≠ 0 }.Contohjika f(x) = x2

dan g(x) = 1x , maka f + g

adalah fungsi yang memetakan x ke x2+1x , yakni (f + g)(x) = x2+

1xSelain keempat operasi tadi, kita dapat pula mendefinisikan pangkat p dari fungsi f, yaknif p(x) = [f(x)]p, asalkan bentuk di ruas kanan terdefinisi.

G.KOMPOSISI FUNGSIAturan fungsi komposisi

Fungsi g : A B dan h : B C dua fungsi dengan Dh = Rf. Pada gambar berikutmengilustrasikan fungsi g bekerja lebih dulu baru dilanjutkan fungsi h. Fungsi g memetakan xke y dan h memetakan y ke z. Fungsi f memetakan x langsung ke z. Fungsi f : A C adalahkomposisi dari fungsi g dan h, yakni f = h g.

Perhatikan ilustrasi di atas, y = g(x) dan z = h(y). Fungsi f : A C ditentukan oleh rumus f(x) = h(g(x)) untuk semua x anggota A. adalah fungsi komposisi g dan h, dan dinotasikan dengan f = h g.f(x) = (h g)(x) = h(g(x)) untuk semua x anggota A.Perhatikan bahwa h g g h.(h g)(x) = h(g(x)) g(h(x)) (g h)(x).h g merupakan fungsi komposisi dengan g bekerja lebih dulu baru kemudian h, tetapi g h merupakan fungsi komposisi dengan h bekerja lebih dulu baru g.Contoh :Misalkan dua fungsi g : R R dan h : RR, keduanya berturut-turut ditentukan oleh rumus:g(x) = 2x + 1 dan h(x) = x2

a. Carilah (i) (h g)(3); (ii) (h g)(-5); dan (iii) daerah hasil f = h g.b. Carilah x R, sehingga f(x) = 100, jika f = h g.Jawab:a. (i) (h g)(3) = h(g(3)) = h(2.3 + 1) = h(7) = 7 2 = 49.(ii) (h g)(-5) = h(g(-5)) = h(2(-5) + 1) = h(-9) = −92 = 81.(iii) Misalkan f = h g.f(x) = (h g)(x) = h(g(x)) = h(2x + 1) = (2 x+1 )2

untuk semua x R.Jadi Rf = {x R/ x 1}.b. f(x) = 100, jika f = h g. Berarti f(x) = (h g)(x) = 100.Berdarkan a(iii);(2 x+1 )2= 1002x + 1 = 10 atau 2x + 1 = -10

x=4 12atau x=−5 1

2

H.FUNGSI TRIGONOMETRI

Definisi Fungsi Trigonometri

Fungsi ini didefinisikan dalam ukuran radian

Misalkan AOB adalah suatu sudut dalam posisi baku dan OA = 1.Jika s satuan adalah panjang busur lingkaran yang ditempuh titik A bila sisi awal OA diputar ke sisi terminal OB maka ukuran radien t dari sudut AOB ditentukan oleh:

a.t=s ,bila putarannnya berlawanan dengan arah putaran jarum jam

b.t=-s ,bila putarannya searah dengan arah putaran jarum jam.

Ukuran panjang keliling suatu lingkaran 2 π .Beberapa contoh ukuran-ukuran sudutnya

2.Ukura derajat dan radian dan hubungannya dengan trigonometri sudut.

Sudut 360 ° sama dengan 2 π radian

Sudut 180 °sama dengan π radian

1 ° ≈ 1180

π radian

1 rad≈ 180 °π

≈ 57 °18 '

Contoh 1.Rubahlah 162° dalam bentuk radian

Penyelesaian :

162 °=162× 1180

π rad= 910

π rad

Contoh.2 Rubahlah 512

π rad dalam bentuk derajat

Penyelesaian :

512

π rad= 512

π × 180π

=75 °

Pembagian suatu putaran menjadi 360 bagian dilakukan oleh suatu bangsa Babylon kuno ,yang menyenangi kelipatan 60.Pembagian ke dalam 2 π bagian lebih mendasar dan berlatar belakang pada pemakaian ukuran radian yang umum dalam kalkulus.Panjang busur s dari potongan busur sebuah lingkaran radius r

Dengan sudut pusat t radian adalah :

s2πr

= t2π

Sehingga

s=r× t

dengan :

r=radius

t=besarnya sudut (dalam radian (π ))

Bila r=1 ,ini memberikan s=t.Dengan kalimat ,panjang busur pada potongan lingkaran satuan dengan sudut pusat t radian adalah t

Latihan

Konversikan ke dalam bentuk π rad

1.240 °

2.−135 °

3.600 °

Konversikan ke dalam bentuk derajat

4.76

π rad

5.−13

π rad

6 .54

πrad

FUNGSI TRIGONOMETRI

Rumus Jumlah dan Selisish Dua Sudut1. Menentukan Rumus untuk cos (α± β)

Titik A dan B pada lingkaran. OA = OB = 1 satuan. OA dengan sumbu x positif membentuksudut α . OB dengan sumbu x positif membentuk sudut β.AOC =α dan BOC = .βDengan demikian koordiant titik A (cos α , sinα ) dan (cosβ , sinβ ).

Rumus

cos ( α−β )=cosαcosβ+sinαsinβ

Dengan mengubah α+β¿menjadi α−(−β) diperoleh:

cos ( α+β )=cosα cos (−β )+sinα sin (−β )

¿cosαcosβ−sinαsinβ

Jadi ,

cos ( α+β )=cosαcosβ−sinαsinβ

Ingat

2.Menentukan rumus sin ab

Rumus sinus jumlah dua sudut dapat ditentukan sebagai berikut ini.sin (α+β )=cos {90 °−(α+β )}

¿cos {(90 °−α )−β }¿cos ( 90°−α )cosβ+cosβ+sin (90 °−α ) sinβ

¿ sinαcosβ+cosαsinβ

Jadi,sin (α+β )=sinαcosβ+cosαsinβ

Setelah kita memperoleh sinus jumlah, yaitu sin (a +b ) kita dapat menentukan rumus selisih dua sudut sebagi berikut:

sin (α−β )=sin {α+ (−β )}¿ sinα cos (−β )+cosα sin (−β)

=sinαcosβ+cosα (−sinβ)

=sinαcosβ−cosαsinβ

Jadi,sin (α−β )=sinαcosβ−cosαsinβ

sin(−α)=−sinα

cos (−α )=cosα

Ingat !!sin 90° a= cosacos 90 °a= sin a

3.Menentukan rumus untuk tan (α±β )

Dari rumus sinus dan cosinus jumlah dua sudut dapat digunakan untuk menentukan rumus tan (α+β) sebagai berikut :

tan ( α+β )= sin (α+ β)cos (α+β)

¿ sinαcosβ+sinαcosβcosαcosβ−co sαcosβ

¿ sinαcosβcosαcosβ

− cosαsinβcosαcosβ

cosαcosβcosαcosβ

− sinαsinβcosαcosβ

¿ sinαcosα + sinβ

cosβ 1− sinα

cosα− sinβ

cosβ

= tanα+tanβ1−tanα .tanβ

Rumus Trigonometri Sudut Rangkap1. Menentukan Sudut Rangkapa. Menentukan rumus sin 2α

Dengan rumus sin (α+β )=sinαcosβ+cosαsinβ dan dengan mengubah 2 α=α+α didapat sin 2α=sin (α+α ) ¿ sinαcosα+cosαsinα

¿2 sinαcosα

Jadi ,sin 2 α=2 sinαcosα

b. Menentukan rumus cos 2α

Dengan rumus cos ( α+β )=cosαcosβ−sinαsinβ dan dengan mengubah 2 α=α+α didapat cos2α=cos (α+α )

¿cosαcosα−sinαsinα

¿cos2α−sin2 α

Jadi,cos2 α=cos2 α−sin2 α

Rumus cos2α=cos2 α−sin2 α dapat dinyatakan dalam bentuk lain

cos2 α=cos2 α−sin2 α

¿cos2α−¿

¿cos2α−1+cos2α

¿2cos2 α−1

Jadi .cos2α=2cos2 α−1

cos2 α=1−sin2 α

Ingat!

cos2α+sin2 α=1

sin2 α=1−cos2 α

cos2α=1−sin2 α

2. Identitas Trigonometri

Rumus – rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan cosinus bersama-sama

dengan rumus- rumus yang terdahulu dapat digunakan untuk menunjukkan

kebenaran dari suatu identitas trigonometriBuktikan identitas berikut!.a.( sinα+cosα )2=1+sin 2α

b.sin 3 α=3 sinα−4 sin3 α

Bukti:

a. ( sinα+cosα )2=sin2 α+2 sinαcosα+cos2 α

¿ sin2 α+cos2 α+2 sinαcosα

¿1+sin 2 α (terbukti)b.3α dapat dinyatakan 2 α+α ,sehingga sin 3 α=sin (2α+α )

¿ sin 2αcosα+cos2αsinα

¿ (2 sinαcosα ) cosα+ (1−2sin2 α ) sinα

¿2 sinα cos2α+sinα−2sin3 α

¿2 sin α (1−sin2 α )+sinα−2sin3 α

¿2 sinα−2sin3α+sinα−2sin3 α

¿3 sinα−4 sin3 α(terbukti)

Latihan

a. Jika asudut lancip yang memenuhi 2 cos2 a= 1 + 2 sin 2a, tentukan nilai tan a.

b. a, b, dan adalah sudut-sudut sebuah segitiga. Tentukan nilai tan a.tan bjika tan a.+ tan =2 tan b

Empat Fungsi Trigonometri Lainnya

Empat fungsi trigonometri tambahan yaitu tangent ,kotangen,sekan,kosekan

tan t= sintcost

cot t=¿ cos tsin t

¿

sec t= 1cos t

csc t= 1sin t

Contoh 1.Buktikan bahwa tangent t adalah fungsi ganjil

Penyelesaian :

tan (−t )= sin (−t)cos (−t )

tan (− t )=−sintcost

tan (−t )=−tant

Contoh 2 .Buktikan bahwa 1+cot2 t=csc2 t

Penyelesaian

1+cot2 t=1+ cos2 tsin2t

1+cot2 t=sin2 t+ cos2tsin2 t

1+cot2 t= 1sin2t

1+cot2 t=csc2 t (terbukti)

Ringkasan fungsi trigonometri yang penting

Kesamaan ganjil-genap

sin (−x )=−sinx

cos (−x )=cosx

tan (−x )=−tanx

Kesamaan Pythagoras

sin2 x+cos2x =1

1+ tan2 x=sec2 x

1+cot2 x=csc2 x

Kesamaan penambahan

sin ( x+ y )=sinxcosy+cosxsiny

cos ( x+ y )=cosx .cosy−sinxsiny

tan ( x+ y )= tanx+tany1−tanx . tany

Kesamaan sudut ganda

sin 2 x=2 sinxcosx

co s2=cos2 x−sin2 x=2cos2 x−1=1−2 sin2 x

Kesamaan setengah sudut

sin2 x=1− cos2 x2

cos2 x=1+ cos2 x2

Kesamaan jumlah

sin x+sin y=2 sin ( x+ y2 ¿¿)cos ( x− y

2)¿¿

cosx+cosy=2cos ( x+ y2 )cos ( x− y

2)

Latihan

Buktikanlah

1. (1+sinz ) (1−sinz )= 1sec2 z

2. ( sect−1 ) (sect+1 )=tan2 t3. sect−sinttant=cost

LIMIT

A.GRAFIK FUNGSI

Gambarkan sketsa grafiknya dan tentukan daerah asal dan daerah nilainya

Daerah asalnya {x x∈R } intervalnya (¿(−∞ , ∞)

Daerah hasilnya{f (x) f ( x )=−3,1,4 } intervalnya (-3,1,4)

Pendahuluan Limit

Perkataan limit dipergunakan dalam bahasa sehari-hari

“Saya mendekati batas kesabaran saya”

Pemahaman secara intuisi

Suatu fungsi

f ( x )=x3−1

x-1

Fungsi tersebut tidak terdefinisi pada x=1 dimana 00= tak

terdefinisi.Secara lebih tepat apakah f (x) mendekati beberapa bilangan tertentu bilamana x mendekati 1 ?

Tiga hal yang dapat dilakukan :

1.Menghitung beberapa nilai x dekat 1 dalam bentuk tabel

2.Menunjukkan nilai –nilai tersebt dalam sebuah diagram skematis

3,Membuat sketsa grafiky=f (x )

Semua hal di atas menunjukkan ke kesimpulan yang samaf (x) mendekati 3 bilamana x mendekati 1

Dalam lambing matematisnya

Konsep LimitMisalkan I = (a,b) suatu interval buka di R dan c Î I. Fungsi f(x) dikatakan

terdefinisi di I kecuali mungkin di c, artinya f(x) terdefinisi di semua titik pada

I/{c} dan di c boleh terdefinisi boleh juga tidak

Limit fungsi di satu titikJika nilai x cukup dekat dengan nilai tetap a, menghasilkan nilai f(x) cukup dekat kenilai tetap L, dan juga jika nilai f(x) dapat dibuat sekecil mungkin dekat dengan L dengan caramemilih nilai x yang cukup dekat dengan a, dan ini benar untuk semua nilai x dalam daerah asalfungsi f kecuali mungkin untuk x = a, maka kita katakan bahwa limit fungsi f(x) untuk xmendekati a sama dengan L, ditulis xalim f(x) = L.

Dengan ungkapan lain:xalim f(x) = L jika dan hanya jika > 0, > 0, 0 < |x – a| < maka | f(x) - L| < .Nilai bergantung pada pada sebarang x sehingga f(x) terdefinisi. Namun pada nilaix = a tidak dipersoalkan.Misalnya pada fungsi f(x) = 3x – 4, = 0,1 untuk = 0,3; dan = 0,001 untuk = 0,003.Karena |(3x – 4) – 5| = |3x – 9| = 3|x – 3|, maka relasi antara dan pada kasus ini adalah = 3untuk nilai fungsi di sekitar x = 3.Jika tidak ada nilai L yang memenuhi definisi limit, maka kita katakanxalim f(x) = L tidak ada.

Limit kiri dan kanan (sepihak)

KEKONTINUAN FUNGSI

Kekontinuan SepihakFungsi f dikatakan kontinu kiri di x = c bila

Fungsi f dikatakan kontinu kanan di x = c bila

Kekontinuan Pada Interval

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval buka (a,b) jika f kontinu pada setiap

titik di (a,b)

Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tutp [a,b] jika f kontinu pada (a,b)

kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b

TURUNAN

Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan Diferensial dan Aproksimasi

Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung

Misalkan sebuah benda bergerak sepanjang garislurus menurut persamaan x = x(t),dengan x menyatakan posisi benda tersebut dan t menyatakanwaktu. Kecepatan rata-ratanya dari t = a s/dt = b adalahv[a,b] = [x(b) – x(a)]/(b – a).Kecepatan sesaat pada t = a adalah

v(a) =lim x (b )−x (a)b−a

b aSekarang misalkan kita mempunyai

fungsi y = f(x) yang grafiknya cukup mulus, khususnyadi sekitar x = a, sehingga mempunyai garissinggung di aGradien garis lurus yang melalui titik P(a,f(a)) danQ(b,f(b)) adalah [f(b) – f(a)]/(b – a). Gradien garissinggung pada grafik y = f(x) di P(a,f(a)) adalah

m=lim ¿ f (b )−f (a)b−a

b a

Hubungan antara Turunan dan KekontinuanJika f mempunyai turunan di a, maka f kontinu di a(lihat Purcell hal. 118). Namun sebaliknya tidakberlaku: kekontinuan di a tidak menjamin adanyaturunan di a. Sebagai contoh, fungsi f(x) = | x |

kontinu di 0 tetapi tidak mempunyai turunan di 0.TurunanFungsi y = f(x) dikatakan mempunyai turunan di a jika ada. Turunan f di a didefinisikan sama dengan limitdi atas,Aturan Dasar Turunan1. Jika f(x) = k, maka f ’(x) = 0.2. Jika f(x) = x, maka f ’(x) = 1.3. Aturan Pangkat: Jika f(x) = xn (n є N), makaf ’(x) = n.xn-1.4. Aturan Kelipatan Konstanta: (kf )’(x) = k.f ’(x).5. Aturan Jumlah: (f + g)’(x) = f ’(x) + g’(x).6. Aturan Hasilkali: (f.g)’(x) = f ’(x).g(x) + f(x).g’(x).7.Aturan Hasilbagi:

( fg )

'

(x )= f ' ( x ) g ( x )−f ( x ) g' (x)[g ( x )]2

8. Aturan Rantai: (f ° g)’(x) = f ’(g(x)).g’(x).

Latihan. Dengan menggunakan Aturan DasarTurunan, tentukan turunan fungsi berikut:1. f(x) = x(x2+1).

2. g(x) = 5 x−43 x2+1

3. h(x) = (x2+1)10.4. k(x) = sin2 t