Koko Martono – FMIPA - ITB

001

Sistem bilangan real adalah himpunan dilengkapi operasi + (jum-lah) dan ⋅ (kali) yang memenuhi tiga aksioma berikut.

Aksioma Lapangan, mengatur berbagai sifat aljabar bilangan real. Aksioma Urutan, mengatur bilangan positif, negatif, relasi lebih kecil, relasi lebih besar, pertaksamaan, dan ketaksamaan.

Aksioma Kelengkapan, mengatur sifat korespondensi satu-kesatu antara bilangan real dan garis lurus.

Prima Genap

Ganjil Irasional Pecahan Komposit Cacah

= himpunan bilangan asli. = himpunan bilangan bulat. = himpunan bilangan rasional. = himpunan bilangan real.

2• 0• 1•

Pecahan Bulat

Bulat Negatif Cacah

Nol Asli

Rasional Irasional Ganjil

R e a l

Genap

Komposit Prima Satu

SBRdanF002

Beberapa Sifat Aljabar Bilangan Real Bentuk Kuadrat Definit Positif Bentuk 2ax bx c+ + dinamakan definit positif ⇔ 2 0ax bx c+ + > ∀ xŒ .

Ilustrasi Bentuk 2 2 2x x- + definit positif karena 2 22 2 1 1 1 0 .( )x x x x- + = - + ≥ > " Œ

Bentuk 2ax bx c+ + definit positif ⇔ a > 0 dan 2 4 0.D b ac= - <

Argumentasi ( )222 4 0 0 dan 0.b D

a aax bx c a x a D+ + = + - > ¤ > < . Pemfaktoran Bentuk Aljabar atas Faktor Linear dan Kuadrat Definit Positif

2 2 2 2 ( ) ( ) ( )( )x a x ax ax a x x a a x a x a x a- = + - - = + - + = + - . 3 3 3 2 2 2 2 3 2 2( )( )x a x ax ax a x a x a x a x ax a- = - + - + - = - + + . 4 4 2 2 2 2 2 2( )( ) ( )( )( )x a x a x a x a x a x a- = + - = + + - . 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( 2 ) ( 2 )( 2 )x a x a ax x a ax x a ax+ = + - = + + + - .

Latihan Tentukan faktor linear dan kuadrat definit positif dari bentuk aljabar (a) 4 4x + (b) 6 64x - (c) 6 6x a- (d) 6 6x a+ .

Bentuk Akar Bilangan berbentuk , 2,3,4,n n =i yang bukan bilangan rasional dinamakan bentuk akar. Bilangan irasional yang bukan termasuk bentuk akar di antaranya adalah 22 , 2 log3, π, e, dan sebagainya.

Definisi Bentuk Akar Akar kuadrat dari a ≥ 0, ditulis a , adalah bilangan x ≥ 0 yang me-menuhi x2 = a. Ilustrasi: 9 3= karena 3 ≥ 0 dan x2

= 9. Akar kubik dari a ∈ , ditulis 3 a , adalah bilangan x ∈ yang me-menuhi x3

= a. Ilustrasi: 3 8 2- = - karena −2 ∈ dan x3 = −8.

Akar ke-n dari a Untuk n genap positif dan a ≥ 0, n a adalah bilang-an x ≥ 0 yang memenuhi xn

= a. Untuk n ganjil, n > 1, dan a ∈ , n a adalah bilangan x ∈ yang memenuhi xn

= a.

SBRdanF003

Pertaksamaan

Aksioma Urutan Pada terdapat himpunan P ⊆ yang memenuhi: Jika a ∈ , maka atau a = 0, atau a ∈ P, atau −a ∈ P. Jika a, b ∈ P, maka a + b ∈ P dan ab ∈ P.

P ≡ himpunan bilangan positif dan unsur di P ≡ bilangan positif. Definisi Untuk bilangan real a dan b,

a dikatakan bilangan negatif jika −a ∈ P (positif). a dikatakan lebih besar dari b (ditulis a > b), jika a − b ∈ P (positif). a dikatakan lebih kecil dari b (ditulis a < b), jika b > a. a ≥ b jika a > b atau a = b; a ≤ b jika a < b atau a = b. Dua bentuk matematika yang dihubungkan dengan tanda >, <, ≥, atau ≤ dinamakan pertaksamaan atau ketaksamaan (berlaku ∀x ∈ domain).

Teorema (1) a > 0 ⇔ a positif (3) a > 0 ⇔ −a < 0 (2) a < 0 ⇔ a negatif (4) a < 0 ⇔ −a > 0

Teorema (1) Jika a < b dan b < c, maka a < c. (sifat transitif) (2) Jika a < b dan c ∈ , maka a + c < b + c. (3) Jika a < b dan c < d, maka a + c < b + d. (4) Jika a < b dan c > 0, maka ac < bc. (5) Jika a < b dan c < 0, maka ac > bc. (6) Jika 0 < a < b dan 0 < c < d, maka ac < bd. (7) Jika 0 < a < b atau a < b < 0, maka 1 1 .a b> .

Contoh Tentukan himpunan jawab (HJ) pertaksamaan 12 3 .x x

x x+- +£ .

12 3 0x x

x x+- +- £

2 24 3 2( 2)( 3) 0x x x xx x

+ + - +- + £

( )126

( 2)( 3) 0x

x x+

- + £

tak terdefinisi tak terdefinisi

− − − − − + + + + + + 0 − − − − − − + + + + + −3 1

2- 2

HJ = {x ∈ | x < −3 atau 12 2x- £ < },

Notasi selang: HJ = (−∞,−3) ∪ 12 ,2[ )- .

SBRdanF004

Garis Bilangan dan Selang

Terdapat korespondensi satu-kesatu antara dan garis lurus, setiap bi-langan real dapat digambarkan sebagai titik pada garis dan setiap titik dapat dinyatakan oleh bilangan real.

Garis yang menggambarkan dinamakan garis bilangan.

2 10 −4 −3 −2 −1 0 1 2 2 3 10 4 5

Selang Suatu ruas garis pada garis bilangan dinamakan selang hingga. Suatu selang hingga mempunyai batas atas dan batas bawah. Dalam ka-sus garis yang tak-terbatas, kita mempunyai selang tak-hingga.

Selang hingga Selang tak-hingga

(a,b) = {x ∈ | a < x < b}

a b (a,∞) = {x ∈ | x > a}

a

[a,b) = {x ∈ | a ≤ x < b}

a b [a,∞) = {x ∈ | x > a}

a

(a,b] = {x ∈ | a < x ≤ b}

a b (−∞,b) = {x ∈ | x < b}

b

[a,b] = {x ∈ | a ≤ x ≤ b}

a b

(−∞,b] = {x ∈ | x ≤ b}

b

Garis real adalah selang (−∞,∞). (−∞,∞) =

Selang yang tidak memuat titik batasnya dinamakan selang buka dan yang memuat semua titik batasnya dinamakan selang tutup.

Lambang ∞ (dibaca: positif tak-hingga) digunakan untuk sesuatu yang lebih besar dari setiap bilangan real, membesar tanpa batas.

Lambang −∞ (dibaca: negatif tak-hingga) digunakan untuk sesuatu yang lebih kecil dari setiap bilangan real, mengecil tanpa batas.

SBRdanF005

Nilai Mutlak

a b c 0 Jarak a ke b adalah b − a Jarak c ke 0 adalah −c

⇓

x 0 x Jarak x ke 0 pada garis bilangan adalah x jika x ≥ 0 dan −x jika x < 0

Jarak x ke 0 pada garis bilangan adalah , jika 0

( ,0), jika 0

x xj x

x x≥Ï

= Ì- <Ó.

Nilai mutlak dari x ∈ , ditulis | x |, didefinisikan sebagai , jika 0

| |, jika 0

x xx

x x≥Ï

= Ì- <Ó.

Arti geometri dari | x | adalah jarak x ke 0 pada garis real . Perhatikan bahwa −x adalah bilangan positif karena x bilangan real negatif.

Jarak dari x ke y pada garis bilangan adalah | x − y |.

Sifat Nilai Mutlak

Jika x ∈ , maka | x | ≥ 0, | x | = | −x |, −| x | ≤ x ≤ | x |, dan | x |2 = | x2 | = x2.

Jika x, y ∈ , maka | x | = | y | ⇔ x = ±y ⇔ x2 = y2 dan | x − y | = | y − x |.

Jika x ∈ , maka 2 | |x x= . Untuk a > 0, | x | ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a ⇔ x2

≤ a2; dan | x | ≥ a ⇔ x ≥ a atau x ≤ −a ⇔ x2

≥ a2. Ketaksamaan segitiga: Jika x, y ∈ , maka | x + y | ≤ | x | + | y |,

| x − y | ≤ | x | + | y |, | x | − | y | ≤ | x − y |, dan || x | − | y || ≤ | x − y |.

Jika x, y ∈ , maka | xy | = | x | | y | dan | || | , 0.xx

y y y= π

Catatan Dari sifat | x | ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a dengan a > 0 diperoleh | x − c | < a ⇔ c − a < x < c + a.

| x − c | c − a x c c + a

a

SBRdanF006

Beberapa Contoh Pertaksamaan dengan Nilai Mutlak

Contoh Tentukan himpunan jawab pertaksamaan | x2 − 2x | ≤ 3.

−3 ≤ x2 − 2x ≤ 3 −3 ≤ x2 − 2x dan x2 − 2x ≤ 3 x2 − 2x + 3 ≥ 0 dan x2 − 2x − 3 ≤ 0

(x − 1)2 + 2 ≥ 0 dan (x + 2) (x − 3) ≤ 0 definit positif dipenuhi oleh semua x

HJ = ∩ [−2,3] = [−2,3].

Contoh (a) Tentukan himpunan jawab pertaksamaan | x − 3 | ≤ 2 | x − 1 |.

(b) Tunjukkan ∀x ∈ berlaku 22 1

99| | 2( )x

xx-

+£ + .

(a) (x − 3)2 ≤ 4(x − 1)2 x2

− 6x + 9 ≤ 4x2 − 8x + 4

3x2 − 2x − 5 ≥ 0

(x + 1) (3x − 5) ≥ 0 HJ = (−∞,−1] ∪ 2

31 ,[ )• .

(b) Karena x2 + 9 ≥ 9, maka 2

1 199x +

£ .

Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga, diperoleh | x − 2 | ≤ | x | + 2. Akibatnya,

2 22 1 1

99 9| 2| | | 2( )x

x xx x-

+ += + £ + .

Contoh Sebuah cakram yang kelilingnya 10 dm harus dihasilkan oleh su- atu mesin bubut. Bila yang diukur adalah diameternya, tentukan besarnya toleransi δ untuk diameter agar galat kelilingnya paling banyak 0,02 dm.

cakram

Keliling cakram adalah 10 dm.

Jika diameter cakram ≡ x dm, maka kelilingnya ≡ π x dm. Untuk keliling = 10 dm, maka diameternya 10

p dm. Akan

ditentukan suatu δ > 0 agar 10 | 10| 0,02x xp d p- < fi - < .

Karena 10 1 | 10| | 10|x x xp pd p d p pd- < ¤ - < ¤ - < , ma-

ka ambillah πδ ≤ 0,02, sehingga diperoleh δ ≤ 0,02p dm.

−2 ≤ x ≤ 3 dan

diameter

SBRdanF007

Sistem Koordinat Kartesis dan Garis Lurus

y

x

Sistem Koordinat Kartesis (Koordinat xoy) Bidang datar: 2 {( , )| , }x y x y¥= = Œ .

Kuadran Sistem koordinat xoy membagi bi-dang datar atas 4 wilayah yang dinamakan kuadran, K-1 sampai dengan K-4.

K-1 = {(x,y) | x > 0 dan y > 0} K-2 = {(x,y) | x < 0 dan y > 0} K-3 = {(x,y) | x < 0 dan y < 0} K-4 = {(x,y) | x > 0 dan y < 0}

Jarak dua titik Jarak dari titik 1 1( , )P x y ke titik 2 2( , )Q x y adalah 2 2

1 2 1 2( ) ( )PQ x x y y= - + - .

Garis lurus Persamaan garis lurus (garis) di bidang xoy adalah ax + by + c = 0, a dan b tak semua nol.

Persamaan garis g yang tak sejajar sumbu y adalah y = mx + n, m di-namakan gradien garis g. Garis ini memotong sumbu y di titik (0,n). Persamaan garis g melalui titik 1 1( , )P x y dan gradiennya m adalah

1 1( )y y m x x- = - .

Persamaan garis g melalui titik A(a,0) dan B(0,b), a, b ≠ 0 adalah

1yxa b+ = .

Kondisi dua garis saling tegak lurus Garis g: y = mx + n dan h: y = px + q saling tegak lurus (g ⊥ h) ⇔ mp = −1. Jarak titik ke garis Jarak titik 0 0( , )R x y ke garis g: ax + by + c = 0 adalah

0 02 2

| |( , ) ax by c

a bd d R g + +

+= = .

b K-1

K-2

K-3 K-4

P(a,b)

0 a

SBRdanF008

Fungsi Real dan Grafiknya

f

Fungsi sebagai Pemetaan

y y = f (x) fR 0 a Df = A = [a,b] b x

Diagram Kartesis Fungsi

x ∈ Df masukan x ∈ Df y ∈ Rf keluaran

Fungsi real f : A ⊆ → adalah suatu aturan yang mengaitkan setiap unsur di A dengan tepat satu unsur di B. Himpunan A dinamakan daerah asal fungsi f dan ditulis Df . Unsur y ∈ yang terkait dengan x ∈ A ⊆ dinamakan peta dari x dan ditulis f (x). Unsur x ∈ A dinamakan peubah bebas dan y yang bergantung dari x dinamakan peubah tak bebas. Him-punan semua f (x), x ∈ A dinamakan daerah nilai fungsi f dan ditulis Rf .

Aturan Fungsi Lambang y = f (x) yang menyatakan y terkait dengan x dinamakan aturan fungsi. Dalam kasus aturan fungsi y = f (x) diberikan lebih dulu, daerah asal (alamiah) fungsi f adalah Df = {x ∈ | f (x) ∈ } dan daerah nilainya adalah Rf = { f (x) ∈ | x ∈ Df }.

Grafik Fungsi Grafik fungsi (kurva) y = f (x) adalah himpunan titik {(x,y) ∈

2 | y = f (x), x ∈ Df dan y ∈ Rf }. Kesamaan Fungsi f dan g dikatakan sama, ditulis f ≡ g, jika Df = Dg = D dan f (x) = g(x) ∀x ∈ D.

Operasi Aljabar pada Fungsi Untuk fungsi f dan g dengan Df = Dg = D didefinisikan operasi aljabar berikut.

Penjumlahan: ditulis f + g, aturannya ( f + g)(x) = f (x) + g(x) ∀x ∈ D. Pengurangan: ditulis f − g, aturannya ( f − g)(x) = f (x) − g(x) ∀x ∈ D. Perkalian: ditulis fg, aturannya ( fg)(x) = f (x)g(x) ∀x ∈ D.

Pembagian: ditulis fg , aturannya ( )

( )( )f f xg g xx = ∀x ∈ D dan g(x) ≠ 0.

mesin fungsi f (x)

A = Df Rf

x y

SBRdanF009

Fungsi Aljabar Fungsi ini diperoleh dengan sejumlah berhingga opera-si aljabar atas fungsi konstan y = k dan fungsi kesatuan (identitas) y = x. Contoh fungsi aljabar:

Sukubanyak: 20 1 2( ) ( ) n

n nP x P x a a x a x a x= = + + + + .

Fungsi Rasional: ( )( )( ) P x

Q xf x = , P dan Q sukubanyak.

Fungsi Irasional: ( ) ( )nf x g x= , g fungsi rasional.

Fungsi Transenden Fungsi transenden adalah fungsi real yang bukan fungsi aljabar. Contoh fungsi transenden:

Fungsi Trigonometri: y = sin x, y = cos x, y = tan x, ⋅ ⋅ ⋅ Fungsi Logaritma: y = loga x , a > 0 dan a ≠ 1, y = ln x.

Fungsi Eksponen: y = xa , a > 0 dan a ≠ 1, y = xe , e = ( )1lim 1 .n

n nƕ+

Fungsi transenden yang lain adalah invers fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik, dan invers fungsi hiperbolik.

Fungsi Implisit Persamaan F(x,y) = 0 secara implisit memuat informasi y = f (x) atau x = g(y). Keduanya dinamakan fungsi implisit. Sebagai ilus-trasi, persamaan x2

+ y2 = 4 memuat 24y x= - dan 24x y= - seba-

gai fungsi implisitnya. Tak semua bentuk implisit dapat dibuat eksplisit. Fungsi Terbatas Fungsi yang nilainya terletak di antara dua bilangan. Fungsi y = f (x) terbatas jika ∃ m, M ∈ ∋ m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ Df . Sebagai ilustrasi, fungsi y = sin x terbatas karena −1 ≤ sin x ≤ 1 ∀x ∈ Df = .

Fungsi Periodik Fungsi yang grafiknya selalu berulang setelah selang tertentu. Fungsi y = f (x) periodik jika ∃ p ≠ 0 ∋f (x + p) = f (x) ∀ x ∈ Df . Bilangan p > 0 terkecil yang menenuhi f (x + p) = f (x) dinamakan periode fungsi f. Sebagai ilustrasi, y = f (x) = sin x adalah fungsi periodik dengan periode 2π karena ∃ p ≠ 0, p = 2nπ, n bilangan bulat, sehingga

f (x + p) = f (x + 2nπ) = sin (x + 2nπ) = sin x = f (x) ∀x ∈ Df = , dan p = 2π adalah bilangan positif terkecil yang memenuhi f (x + p) = f (x). Hasil ini dapat diperumum, y = f (x) = sin kx adalah fungsi periodik dengan periode 2 .k

p

SBRdanF010

Beberapa Contoh Daerah Asal, Daerah Nilai, dan Grafik Fungsi

Contoh Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi (a) f (x) = 4x − x2 dan (b) g(x) = 24x x- kemudian gambarkan grafiknya.

(a) Pada aturan fungsinya x dapat diganti oleh sebarang bilangan real. Jadi daerah asal fungsi f adalah Df = . Untuk menentukan daerah nilainya, tulislah

f (x) = 4 − (x − 2)2, x ∈ Df = . Karena (x − 2)2

≥ 0, maka −(x − 2)2 ≤ 0, sehingga f (x) = 4 − (x − 2)2

≤ 4. Jadi daerah nilai fungsi f adalah Rf = (−∞,4].

(b) Dari sifat akar kuadrat, agar g(x) ∈ , syaratnya adalah 4x − x2 ≥ 0. Se-lesaikan pertaksamaan ini, diperoleh x(x − 4) ≤ 0, yang dipenuhi oleh 0 ≤ x ≤ 4. Jadi daerah asal fungsi g adalah Dg = [0,4]. Daerah nilai fungsi g dapat ditentukan dengan beberapa cara.

1. 0 ≤ x ≤ 4 −2 ≤ x − 2 ≤ 2 0 ≤ (x − 2)2 ≤ 4

−4 ≤ −(x − 2)2 ≤ 0 0 ≤ 4 − (x − 2)2 ≤ 4

0 ≤ 4x − x2 ≤ 4 20 ( ) 4 2g x x x£ = - £

Jadi Rg = [0,2].

2. Tulislah y = 24x x- , maka y2 = 4x − x2, y ≥ 0 mem- bentuk persamaan kuadrat x2 − 4x + y2 = 0, y ≥ 0. Sya-rat D ≥ 0 memberikan 16 − 4y2

≥ 0, sehingga −2 ≤ y ≤ 2. Karena y ≥ 0, maka 0 ≤ y ≤ 2. Jadi Rg = [0,2].

3. Tulislah y = 24x x- , maka y2 = 4x − x2, y ≥ 0 dapat ditulis (x − 2)2 + y2 = 4, y ≥ 0. Karena bentuk ini adalah lingkaran berpusat di (2,0) dan berjari-jari 2 yang ter-letak di atas sumbu x, maka Rg = [0,2].

y f (x) = 4x − x2

Kurva f

y

2( ) 4g x x x= - 1 0 1 2 3 4 x

Kurva g

−1 0 1 2 3 4 5 x

−4

4

2

−2

2

SBRdanF011

Fungsi dengan Banyak Aturan Fungsi ini mempunyai lebih dari satu aturan pada daerah asalnya. Contoh fungsi dengan banyak aturan:

, jika 0( ) | |

, jika 0x x

f x xx x

≥Ï= = Ì- <Ó

dan 2 2 , jika 1( )

3 2, jika 1x x xg x

x xÏ - ≥= Ì

- <ÔÓ

Sifat Simetri Kurva C: y = f (x) Kurva C: y = f (x) simetri terhadap sumbu y jika semua titik (x,y) dan (−x,y) terletak pada C. Syaratnya (x,y) ∈ C ⇔ (−x,y) ∈ C ∀x ∈ Df . Se-bagai ilustrasi, kurva C: y = x2 simetri terhadap sumbu y karena

(x,y) ∈ C ⇔ y = x2 ⇔ y = (−x)2 ⇔ (−x,y) ∈ C ∀ x ∈ Df = . Kurva C: y = f (x) simetri terhadap titik asal O(0,0) jika semua titik (x,y) dan (−x,−y) terletak pada C. Syaratnya (x,y) ∈ C ⇔ (−x,−y) ∈ C ∀ x ∈Df. Sebagai ilustrasi, kurva C: y = x3 simetri terhadap titik asal O karena

(x,y) ∈ C ⇔ y = x3 ⇔ −y = (−x)3 ⇔ (−x,−y) ∈ C ∀ x ∈ Df = . Latihan Tuliskan definisi sifat simetri kurva K: F(x,y) = 0 kemudian

berikan beberapa contohnya. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Fungsi y = f (x) dinamakan fungsi genap jika f (−x) = f (x) ∀x ∈ Df . Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu y. Fungsi y = f (x) dinamakan fungsi ganjil jika f (−x) = −f (x) ∀x ∈ Df . Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal O(0,0). Sebagai ilustrasi, y = f (x) = x2 adalah fungsi genap dan y = f (x) = x3 ada-lah fungsi ganjil (jelaskan mengapa!). Fungsi y = f (x) = 0 adalah fungsi genap dan ganjil. Fungsi y = f (x) = x3

+ x2 bukan fungsi genap dan juga bukan fungsi ganjil.

Pergeseran Kurva Kurva y = f (x − a) + b, a > 0, b > 0 diperoleh dari kur-va y = f (x) dengan cara menggeserkannya a satuan ke kanan dan b satuan ke atas. Dalam kasus a < 0 dan b < 0, kurva y = f (x) digeser ke arah seba-liknya. Sebagai ilustrasi, dari y = f (x) = x2

− 2x − 3 = (x − 1)2 − 4 diperoleh

bahwa kurva y = f (x) diperoleh dari kurva y = x2 dengan cara menggeser-kannya sejauh 1 satuan ke kanan dan 4 satuan ke bawah. Untuk latihan, gambarkan kurvanya dengan cara pergeseran.

SBRdanF012

Bilangan Bulat Terbesar Jika x ∈ , maka ada tak hingga banyaknya bilangan bulat n yang memenuhi n ≤ x. Dari jajaran ini, yang terbesar dinamakan bilangan bulat terbesar dan ditulis x . Dalam konteks ini,

1,x n n x n n= ¤ £ < + Œ . y ( )f x x= x

Fungsi Tangga

Perhatikan kurva f (x) = x pada gambar. Aturan fungsinya adalah

2, jika 2 11, jika 1 0

( ) 0, jika 0 11, jika 1 22, jika 2 3

xx

f x x xxx

ÏÔ- - £ < -Ô- - £ <Ô= = £ <Ì

£ <ÔÔ £ <ÔÓ

.

y 1 y θ −1 x 0 1 x x2

+ y2 = 1

−1

Fungsi Trigonometri Untuk θ = ∠(OP,sb-x pos), P(x,y) memenuhi x2

+ y2 = 1, fungsi trigonometri dari sudut θ didefinisikan sebagai

sin θ = y, cos θ = x, tan θ = yx ,

cot θ = xy , sec θ = 1

x , csc θ = 1y .

Sifat Fungsi Trigonometri sin2

x + cos2 x = 1, sec2

x = 1 + tan2 x, csc2

x = 1 + cot2 x.

sin (−x) = −sin x, cos (−x) = cos x, tan (−x) = −tan x. sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y, sin x + sin y = 2 sin 1

2 (x + y) cos 12 (x − y).

sin (x − y) = sin x cos y − cos x sin y, sin x − sin y = 2 cos 12 (x + y) sin 1

2 (x − y).

cos (x + y) = cos x cos y − sin x sin y, cos x + cos y = 2 cos 12 (x + y) cos 1

2 (x − y).

cos (x − y) = cos x cos y + sin x sin y, cos x + cos y = −2 sin 12 (x + y) sin 1

2 (x − y).

sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos2 x − sin2

x = 1 − 2 sin2 x = 2 cos2

x − 1, sin2

x = 12 − 1

2 cos 2x, cos2 x = 1

2 + 12 cos 2x.

tan (x + y) = tan tan

1 tan tanx y

x y+

- , tan 2x = 22 tan

1 tanxx- , sin 2x = 2

2 tan1 tan

xx+ , cos 2x =

2

21 tan1 tan

xx

-+

3 2 1

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 −1 −2 −3

P(x,y)

SBRdanF013

Fungsi Komposisi, Daerah Asal dan Daerah Nilainya

f g

Df Rf g fD f gR D« g fR f g

x f (x) g(f (x)) g f Dg Rg

Diagram Panah Fungsi Komposisi

x ∈ Df

f (x) ∈ Rf ∩ Dg f (x) ∉ Dg g(f (x)) ∈ Rg

Fungsi Komposisi Untuk fungsi f : Df → Rf dan g : Dg → Rg yang me-menuhi Rf ∩ Dg ≠ ∅ (tak kosong), fungsi komposisi dari f dan g, ditulis g f (f dilanjutkan g) adalah fungsi yang aturannya .( ) ( )( ) ( )g f x g f x= Daerah asal dan daerah nilai fungsi g f adalah

{ | ( ) }g f f gD x D f x D= Œ Œ dan { | ( ), }g f g fR y R y g s s R= Œ = Œ Fungsi komposisi f g didefinisikan serupa, dengan f dan g saling ber-tukar peran. Kondisi fungsi komposisi g f dapat disederhanakan dengan Rf ⊆ Dg. Daerah asal fungsi komposisi g fD dapat ditentukan dari aturan ( )( ) ( )( )g f x g f x= tetapi harus diiriskan dengan Df.

Sifat Komposisi Jika h: A → B, g: B → C, dan f : C → D, maka ( ) ( )f g h f g h= . Jika iA: A → A, iA(x) = x dan f : A → B, maka Af fi = . Jika iB: B → B, iB(x) = x dan f : A → B, maka B f fi = .

A B A B D C A B

M e s i n f

M e s i n g

f g

h g h

g

f

) ( )(f g h f g h=

f

f

Af i f= Ai Bi

Bi f f=

f f

SBRdanF014

Contoh Soal Fungsi Komposisi

Contoh Jika f (x) = 6x − x2 dan g(x) = x , tentukan fungsi komposisi g f dan f g , daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi, serta kurvanya.

Daerah asal fungsi f dan g adalah Df = dan Dg = [0,∞).

Karena f (x) = 9 − (x − 3)2 ∀ x ∈ Df = dengan (x − 3)2 ≥ 0, maka f (x) ≤ 9, sehingga daerah nilai fungsi f adalah Rf = (−∞,9]. Karena g(x) = x ≥ 0 ∀ x ∈ Dg = [0,∞), maka Rg = [0,∞). Jadi kita mempunyai

Rf = (−∞,9] dan Rg = [0,∞). Karena Rf ∩ Dg = (−∞,9] ∩ [0,∞) = [0,9] ≠ ∅, maka fungsi g f terdefi-

nisi dengan aturan 2 2( (6 ) 6)( ) ( )( )g g x x x xf x g f x = - = -= . Daerah asal dan daerah nilai fungsi g f adalah

2{ | ( ) } { |6 0} [0,6]g f f gD x D f x D x x x= Œ Œ = Œ - ≥ = dan

{ | ( ), } { 0 | , 9} [0,3]g f g fR y R y g s s R y y s s= Œ = Œ = ≥ = £ = .

Karena Rg ∩ Df = [0,∞) ∩ = [0,∞) ≠ ∅, maka fungsi g f terdefinisi de-ngan aturan

2( ( ) 6 6)( ) ( ) ( )( )f f x x x x xg x f g x = = - = -= . Daerah asal dan daerah nilai fungsi f g adalah

{ | ( ) } { 0 | } [0, )f g g fD x D g x D x x= Œ Œ = ≥ Œ = • 2{ | ( ), } { 9 | 6 , 0} ( ,9]f g f gR y R y f s s R y y s s s= Œ = Œ = £ = - ≥ = -• .

y x

y x

9 6 3

0 3 6

2( ) 6f x x x= -

( )g x x=

9 6 3

0 6 12 18 24 30 36

( )( ) 6f g x x x= -

2( )( ) 6g f x x x= -

SOAL LATIHAN MA 1201 – KALKULUS 1A Pokok Bahasan: Sistem Bilangan Real dan Fungsi

Soal uji konsep dengan benar – salah, berikan argumentasi atas jawaban Anda.

No. Pernyataan Jawab

1. Jika suatu bilangan real dikuadratkan, maka hasilnya lebih besar dari bilangannya. B − S

2. Terdapat tak hingga banyaknya pasangan bilangan real yang jumlahnya selalu lebih besar daripada hasilkalinya. B − S

3. Relasi 6 / 2 3a a= dipenuhi oleh setiap bilangan real a. B − S

4. Jika ketaksamaan x ≤ y, y ≤ z, dan z ≤ x semuanya berlaku, maka x = y = z. B − S

5. Jika | | 1,r < maka 1 1 111 | | 1 | | .rr r-+ -£ £ B − S

6. Jika a adalah suatu bilangan real, maka jari-jari lingkaran x2 + y2

+ 2ax = 0 adalah a. B − S

7. Jika garis g melalui (a,b) dan gradiennya 34, maka titik (a + 4,b + 3) terletak pada g. B − S

8. Kurva y = sin x diperoleh dari kurva y = cos x dengan menggesernya 12p ke kiri. B − S

9. Jika ( )g x x= dan 2( ) 2 ,f x x= - maka daerah asal fungsi komposisi f g adalah . B − S

10. Jika dua fungsi linear dikomposisikan, maka hasilnya juga adalah fungsi linear. B − S

Soal Pertaksamaan dan Nilai Mutlak

11. Tentukan himpunan solusi pertaksamaan (a) 1 1x ≥ dan ingkarannya (b) 1 1.x <

12. Tentukan himpunan solusi pertaksamaan −2 ≤ x2 − x ≤ 6.

13. Tentukan himpunan solusi pertaksamaan 61 5.xx£ - <

14. Tentukan himpunan solusi pertaksamaan nilai mutlak 2 ≤ | x2 − x | ≤ 6. 15. Tentukan himpunan solusi pertaksamaan nilai mutlak | 2x − 3 | ≤ | x + 2 |. 16. Tentukan himpunan solusi pertaksamaan nilai mutlak x | x | ≤ | x − 2 |.

17. Jika | x | ≤ 3, buktikan ketaksamaan 2

24 12 2

20.x xx x

- -- +

£

18. Jika a > 0 dan b > 0, buktikan ketaksamaan 1 1.a ba b£ ¤ ≥

19. Jika 0 < a ≤ b, buktikan ketaksamaan 2 12 ( ) .ab

a ba ab a b b+£ £ £ + £

20. Jika ε > 0 diberikan, tentukan suatu δ = δ (ε) > 0 sehingga | x + 5 | < δ ⇒ | 5x + 25 | < ε. 21. Jika 0 < | x − 2 | < 0,1, buktikan | x2 − 4 | < 0,41. 22. Buktikan 20 0 0 | 2| | 4| .x xe d d e" > $ > ' < - < fi - < 23. Sebuah cakram lingkaran yang kelilingnya 10 dm dihasilkan oleh mesin bubut. Bila yang diukur

diameternya, tentukan toleransi δ untuk diameter agar galat kelilingnya paling banyak 0,02 dm. 24. Kaitan suhu dalam derajat Fahrenheit dan Celcius adalah 5

9 ( 32).C F= - Jika suatu larutan harus dijaga pada suhu 50°C dengan toleransi 3%, tentukan toleransinya dalam derajat Fahrenheit.

15

Soal Fungsi dan Komposisi Fungsi A 10 B 10 C

25. Daerah D pada gambar di samping terdiri dari segitiga samakaki ABC digabung dengan setengah lingkaran berdiameter AC di ba-gian kanannya. Jika AB = BC = 10 dan ∠ ABC = θ, hitunglah luas daerah D dinyatakan sebagai fungsi dari θ.

A B D C

26. Daerah D pada gambar di samping terdiri dari segi panjang ABCD digabung dengan setengah lingkaran berdiameter AD di bagian ki-ri dan kanannya. Jika keliling (panjang batas) daerah D adalah 1 km dan diameter lingkarannya adalah x km, nyatakan luas D seba-gai fungsi dari x beserta daerah asal dan daerah nilainya.

27. Jika A(2,3), B(6,3), C(6,−1), dan D(2,−1), tunjukkan ABCD berbentuk persegi kemudian, tentu-kan persamaan lingkaran dalam dan lingkaran luar dari ABCD.

28. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi (a) 2( ) 4f x x x= - (b) 2( ) 4 .g x x x= +

29. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi (a) 1( ) xf x x= + (b) 1( ) .xg x x= -

30. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi (a) 22

1( ) x

xf x

+= (b)

2

211

( ) .xx

g x -+

=

31. Tentukan daerah nilai fungsi (a) 2( ) 2 5, 0 3f x x x x= - - £ £ (b) 2( ) 4 5, 0 5.f x x x x= - + £ £

32. Jika 3( 3) 3 ,f x x x+ = - tentukanlah aturan fungsi y = f (x) dan y = f (x + 1). 33. Jika f (x) = 2x − x2 dan ( ) 3,g x x= + tentukan aturan fungsi f g dan g f beserta daerah asal dan

daerah nilainya. 34. Untuk permintaan pasar sebesar x ribu laptop ditetapkan harganya Rp p juta per buah, yang me-

menuhi rumus hampiran 2( ) 4 25,0 6.p x x x x= - + £ £ Andaikan sejak tahun 2009 permintaan

bulan ke-t adalah x = x(t) ribu laptop dengan rumus hampiran x(t) = 1 + ,t 0 ≤ t ≤ 24. (a) Nyata-kan p sebagai fungsi dari waktu t; (b) Tentukan harga sebuah laptop pada bulan ke-9 (c) Tentu-kan permintaan pasar pada saat harga laptop Rp 5,2 juta; (d) Tentukan saat di mana harga laptop melampaui Rp 5,5 juta. (e) Tentukan saat di mana laptop ini mencapai harga termurah.

Kunci Jawaban

1. S 2. B 3. S 4. B 5. B 6. S 7. B 8. S 9. S 10. B 11.(a) [0,1] (b) (−∞,0) ∪ (1,∞) 12. [−2,3]

13. [−2,−1) ∪ [3,6) 14. [−2,−1] ∪ [2,3] 15. 13 ,5È ˘Î ˚ 16. (−∞,1] 17.

2

2 224 1 1

2 2 2 2| 4 1|x x

x x x xx x- -

- + - += - - ◊ ,

carilah batasnya dengan sifat kuadrat sejati 18. Gunakan ab > 0 dan b − a ≥ 0 19. gunakan (a − b)2 ≥ 0 20. ambillah δ ≤ 5

e 21. gunakan sifat nilai mutlak 22. pola penyelesaian seperti soal 21 23. 0 < δ ≤ 0,02p

24. toleransi dalam F adalah 2,7 derajat 25. 50(sinθ − π cosθ ) + 50π 26. ( )21 1 12 4( ) ; 0,fL x x x D pp= - = dan

( )140,fR p= 27. lingkaran dalam: x2

+ y2 − 16 x − 2y + 13 = 0; lingkaran luar: x2 + y2 − 16 x − 2y + 9 = 0

28. (a) Df = [0,4], Rf = [0,2]; (b) Dg = (−∞,−4] ∪ [0,∞), Rg = [0,∞) 29. (a) Df = − {0}, Rf = (−∞,−2] ∪ [2,∞) (b) Dg = − {0}, Rg = 30. (a) Df = , Rf = [−1,1]; (b) Dg = , Rg = (−1,1] 31. Rf = [−6,−2], Rg = [1, 10]

32. f (x) = x3 − 9x2

+ 24x − 18 dan f (x + 1) = x3 − 6x2

+ 9x − 2 33. f g (x) = x − 3, Dfοg = [−3,∞), Rfοg = [−6,∞)

g f (x) = 2 2 3x x- + + , Dgοf = [−1,3], Rgοf = [0,2] 34. (a) ( ) 2 22, 0 24p t t t t= - + £ £ ; (b) p(9) = Rp 5 juta

(c) 4.460 barang; (d) antara bulan ke-16 sampai bulan ke-17; (e) akhir bulan ke-2 dengan pmin = Rp 4,58 juta.

θ

D x x

16