MA1101 MATEMATIKA 1A · 3.2 Kemonotonan dan Kecekungan 3.3 Maksimum dan Minimum Lokal 3.4 Masalah...
Transcript of MA1101 MATEMATIKA 1A · 3.2 Kemonotonan dan Kecekungan 3.3 Maksimum dan Minimum Lokal 3.4 Masalah...
Apa yang Telah Dipelajari pada Bab 3
3.1 Maksimum dan Minimum
3.2 Kemonotonan dan Kecekungan
3.3 Maksimum dan Minimum Lokal
3.4 Masalah Maksimum dan Minimum
3.5 Menggambar Grafik Fungsi dengan Cermat(Menggunakan Kalkulus)
3.6 Teorema Nilai Rata-Rata
3.7 Menyelesaikan Persamaan Secara Numerik
3.8 Anti-Turunan dan Integral Tak Tentu
3.9 Pengantar Persamaan Diferensial10/23/2013 2(c) Hendra Gunawan
Sasaran Kuliah Hari Ini
4.1 Luas Daerah di Bawah Kurva
Menghitung luas daerah di bawah suatu kurvasederhana (baik sebagai hampiran maupunsecara eksak).
4.2 Integral Tentu
Memahami konsep integral tentu dan meng-hitung integral tentu dari suatu fungsisederhana pada selang tertentu sebagai limit jumlah Riemann (regular).
10/23/2013 3(c) Hendra Gunawan
4.1 LUAS DAERAH DI BAWAH KURVAMA1101 MATEMATIKA 1A
10/23/2013 (c) Hendra Gunawan 4
Menghitung luas daerah di bawah suatu kurvasederhana (baik sebagai hampiran maupunsecara eksak).
Notasi Sigma
Penjumlahan deret n bilangan a1 + a2 + … + an
dilambangkan dengan notasi sigma
Sebagai contoh,
Teorema (Kelinearan Sigma)
n
i
ia1
5
1
222222 .54321i
i
n
i
n
i
ii akak1 1
;.
n
i
n
i
n
i
iiii baba1 1 1
.)(
(c) Hendra Gunawan
Beberapa deret khusus (dengan indeks i berjalan dari1 sampai dengan n), a.l.:
∑ i = 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.
∑ i2 = 12 + 22 + … + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6.
∑ i3 = 13 + 23 + … + n3 = n2(n + 1)2/4.
Deret pertama merupakan deret aritmetika n bilangandengan suku pertama 1 dan beda 1.
Bukti rumus deret kedua diberikan di papan tulis.Bukti rumus deret ketiga diserahkan sebagai latihan.10/23/2013 (c) Hendra Gunawan 6
Luas Daerah di Bawah Kurva
Misalkan kita ingin menghitungluas daerah di bawah kurva y = f(x) = x2, 0 ≤ x ≤ 1. Pertama,bagi selang [0,1] atas n selangbagian yang sama panjangnya.Lalu, luas daerah tersebut (L) kita hampiri dengan jumlah luasn persegi-panjang di bawah kurva,yakni
10/23/2013 (c) Hendra Gunawan 7
.)1(
...21
01
2
2
2
2
2
22
n
n
nnnL
11/n 2/n0
Perhatikan bahwa deret di ruas kanan dapat kita tulis-ulang sebagai
yang jumlahnya
Jadi, kita kita peroleh hampiran
Dari sini kita amati bahwa Ln ≈ 1/3 bila n cukup besar. Jadi, kita dapat menduga bahwa luas daerah yang sedang kita cari adalah 1/3. [Apakah luasnya = 1/3 ??]10/23/2013 (c) Hendra Gunawan 8
222
3)1(...21
1 n
n
.6
)12()1(3n
nnn
.:6
)12()1(3 nL
n
nnnL
Latihan
1. Taksirlah luas daerah di bawah kurva y = f(x) = x2, 0 ≤ x ≤ 1, dgn luas sejumlah persegi-panjangdi atas kurva. Dengan hasil ini dan hasil sebelum-nya, simpulkan bahwa luas daerah di bawahkurva tersebut mestilah sama dengan 1/3.
2. Tentukan luas daerah di bawah kurva y = g(x) = x3, 0 ≤ x ≤ 1, dengan terlebih dahulu menaksirnyadengan luas sejumlah persegi-panjang di bawahdan di atas kurva.
10/23/2013 (c) Hendra Gunawan 9
4.2 INTEGRAL TENTUMA1101 MATEMATIKA 1A
10/25/2013 (c) Hendra Gunawan 10
Memahami konsep integral tentu dan meng-hitung integral tentu dari suatu fungsisederhana pada selang tertentu sebagai limit jumlah Riemann (regular).
Jumlah Riemann
Misalkan f : [a,b] → R kontinukecuali di sejumlah terhinggatitik. Bagi selang [a,b] atas nselang bagian (tak perlu samapanjang), sebutlah titik-titikpembaginyaa = x0 < x1 < x2 < … < xn-1 < xn = b. Himpunan titik-titik ini disebutsebagai partisi dari [a,b]. Untuki = 1, …, n, tulis ∆xi = xi – xi-1(= lebar selang bagian ke-i).
10/25/2013 (c) Hendra Gunawan 11
a b
y=f(x)
a bx1 xn-1
Jumlah Riemann
Dari setiap selang bagian, pilih titik sampel ti є[xi-1, xi], sembarang. Lalu bentuk penjumlahanberikut
RP = ∑ f(ti).∆xi
dengan indeks i berjalan dari 1 hingga n.
Bentuk ini dikenal sebagai jumlah Riemann utkf terhadap partisi P = {a=x0, x1, …, xn-1, xn=b}dan titik-titik sampel ti.
10/25/2013 (c) Hendra Gunawan 12
Contoh
Misalkan f(x) = x2, x є [0,1],
P = {0, ⅓, ¾, 1}, dan
t1 = ⅓, t2 = ½, t3 = ⅞.
Maka jumlah Riemann untuk fterhadap partisi P dan titik-titiksampel ti adalahRP = f(⅓).⅓ + f(½).(¾ – ⅓) + f(⅞)(1 – ¾)
= 1/27 + 5/48 + 49/256.
10/25/2013 (c) Hendra Gunawan 13
1¾ 0 1/3 ½ 7/8
Latihan
1. Misalkan f(x) = x2, x є [0,1], P = {0, ¼, ½, ¾, 1}, dan t1 = 1/8, t2 = 1/3, t3 = ½, t4 = ⅞. Tentukanjumlah Riemann untuk f terhadap partisi Pdan titik-titik ti tersebut.
2. Misalkan f(x) = x2, x є [0,1], P = {0, ¼, ½, ¾, 1}, dan t1 = 1/8, t2 = 3/8, t3 = 5/8, t4 = ⅞. Tentukanjumlah Riemann untuk f terhadap partisi Pdan titik-titik ti tersebut.
10/25/2013 (c) Hendra Gunawan 14
Integral TentuJumlah Riemann untuk f merupakan hampiran untukluas daerah di bawah kurva y = f(x), x є [a,b]. Semakin‘halus’ partisinya, semakin baik hampiran tersebut. Jika
ada, maka f dikatakan terintegralkan pada [a,b] danintegral tentu f pada [a,b] didefinisikan sebagai
10/25/2013 (c) Hendra Gunawan 15
n
i
iiP
xtf1
0||).(lim
b
a
dxxf )(
n
i
iiP
xtf1
0||).(lim
Catatan. |P| = maks {∆xi : i = 1, …, n}. Jika ∆xi =(b-a)/n dan n ∞, maka |P|0.
Catatan
Dalam notasi , kita mengasumsikan bahwa
a < b. Jika a > b, maka kita definisikan
Jika a = b, maka kita definisikan
Catat pula bahwa
10/25/2013 (c) Hendra Gunawan 16
b
a
dxxf )(
b
a
a
b
dxxfdxxf .)()(
b
a
a
a
dxxfdxxf .0)()(
b
a
b
a
b
a
duufdttfdxxf .)()()(
TeoremaJika f terbatas dan kontinu kecuali di sejumlahterhingga titik pada [a,b], maka fungsi f ter-integralkan pada [a,b].
10/25/2013 (c) Hendra Gunawan 17
Akibat: Fungsi polinom, fungsi rasional, f(x) =|x|, g(x) = √x, s(x) = sin x, dan c(x) = cos x merupakan fungsi yang terintegralkan padasembarang selang terbatas yg termuat dalamdaerah asalnya.
Contoh
Diketahui f(x) = x2, x є [0, 1], kontinu; karena ituf terintegralkan pada [0, 1]. Integral tentu fpada [0, 1] dapat dihitung sebagai limit jumlahRiemann dengan partisi regular:
10/25/2013 (c) Hendra Gunawan 18
.3
1
6
)12)(1(lim
1lim
1lim)(lim)(
31
2
3
1 12
2
1
1
0
n
nnni
n
nn
ifdxxf
n
n
in
n
i
n
in
nni
n
Latihan
1. Fungsi g(x) = x3 terintegralkan pada [0, 1]. Nyatakan integral tentu g pada [0, 1] sebagailimit jumlah Riemann dengan partisi regular, danhitunglah nilainya.
2. Fungsi g(x) = x3 terintegralkan pada [0, b]. Nyatakan integral tentu g pada [0, b] sebagailimit jumlah Riemann dengan partisi regular, danhitunglah nilainya.
3. Menggunakan hasil di atas, hitung integral tentug(x) = x3 pada [a, b], dengan 0 < a < b.
10/25/2013 (c) Hendra Gunawan 19