Integral Lipat

Integral Lipat dan Kalkulus Vektor/ Multiple Integral and

Vector Calculus Oleh :

Mohammad Iqbal, S.Si., M.Si.

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA

2014

OUTLINE Integral Lipat Dua

Integral Permukaan

Integral Lipat Tiga

Integral Lipat di Koordinat Tabung dan Bola

Transformasi Variabel

Teorema Green, Divergence, Stokes

Integral Lipat Dua Sepanjang persegi/ Double Integral over Rectangles

Diberikan fungsi = (, ) dimana variabel x dan y dibatasi persegi dengan = , , = , 2| , Misalkan daerah dibawah fungsi f dan diatas R adalah

= (,, ) 3|0 , , (,) kemudian akan dicari volume S


Dengan membuat partisi menjadi m buah partisi pada interval , dengan =

pada subinterval

1, dan n buah partisi pada interval , dengan =

pada

subinterval 1, sehingga subdaerah persegi menjadi

= 1, 1, = , 2|1 ,1 Dengan mengambil titik sampel , pada setiap dan =


Untuk volume

= = ,

Dengan volume total S adalah

= , =1

=1


Kemudian didekati pada saat m,n sangat besar untuk mendapatkan hasil pendekatan yang lebih baik yaitu

= lim, ,

=1

=1

Sehingga diperoleh definisi integral lipat dua

Definisi : Integral Lipat Dua dari f sepanjang R adalah

, =

lim, ,

=1

=1

Jika limitnya ada


Beberapa sifat yang ada pada integral lipat dua yaitu : , , = , , , = , Jika (,) (,) maka , ,

=

, = , =


Hitung integral dengan = 1,2 [0,]

Penyelesaian : Solusi 1 : pertama terhadap x

= () 120

2

1

0

= 2 + 0

= 12 sin 2 + sin () 0 = 0

E X A M P L E


syms x y; f=y*sin(x*y); F=int (f,x); F1=int (f,x,1,2); Ff=int (F1,y); Ff1=int (F1,y,0,pi); disp('fungsi integran adalah :') disp(f) disp('hasil integral tak tentu terhadap x:') disp(F) disp('hasil integral tentu terhadap x:') disp(F1) disp('hasil integral tak tentu terhadap y:') disp(Ff) disp('hasil integral tentu terhadap y:') disp(Ff1)

M A T L A B


Penyelesaian : Solusi 2 : pertama terhadap y

0

2

1

Dengan integral parsial subtitusi : = =

= sin = 1

cos () Sehingga

cos ()

0

cos ()

0

2

1

E X A M P L E


=

cos () + ()2

0

2

1

=

cos () + ()2

2

1

Dengan integral parsial subtitusi

= 1

= 12

= cos = sin () = sin ()2

1

2

()2

+ ()2

2

1

2

1

= sin 24 + sin = 0

E X A M P L E


clear all; clc; syms x y; f=y*sin(x*y); F=int (f,y); F1=int (f,y,0,pi); Ff=int (F1,x); Ff1=int (F1,x,1,2); disp('fungsi integran adalah :') disp(f) disp('hasil integral tak tentu terhadap y:') disp(F) disp('hasil integral tentu terhadap y:') disp(F1) disp('hasil integral tak tentu terhadap x:') disp(Ff) disp('hasil integral tentu terhadap x:') disp(Ff1)

M A T L A B

Integral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/

Double Integral over General Region

Didefinisikan fungsi F dengan domain R yaitu

, = , , , 0, , Sehingga

, = ,



Dikenal sebagai Integral lipat dua tipe I jika = , | ,1() 2()

Sehingga

, = , 2()1()



Dikenal sebagai Integral lipat dua tipe II jika = , | , () 2()

Sehingga

, = , 2()1()


Double Integral over General Region Hitung dengan D adalah

daerah yang dibatasi oleh garis = 1 dan parabola 2 = 2 +6

Penyelesaian : Gambar disamping merupakan daerah yang dibentuk oleh D sehingga Mencari titik potong :

1 = 2 + 6 2 2 + 1 = 2 + 6 2 4 5 = 0 5 + 1 = 0 = 5 = 1

E X A M P L E



= {(,)| 3 5, 2 + 6 2 + 6} = 2+6 2+6

1

3

+ 2+61

5

1

= 122 2+62+6 13

+ 122 12+6 51

= (0)13

+ 52 + 22 12 351

= 0 + 54 2 + 23 3 1841

5

= 36

E X A M P L E



clear all; clc; syms x y; f=x*y; F=int (f,y); F1=int (f,y,(-1)*sqrt(2*x+6),sqrt(2*x+6)); F2=int (f,y,x-1,sqrt(2*x+6)); Ff1=int (F1,x,-3,-1); Ff2=int (F2,x,-1,5); Fftot=Ff1+Ff2; disp('fungsi integran adalah :') disp(f) disp('hasil integral tak tentu terhadap y:') disp(F) disp('hasil integral tentu terhadap y:') disp(F1) disp(F2) disp('hasil integral tak tentu terhadap x:') disp(Ff1) disp(Ff2) disp('hasil integral tentu terhadap x:') disp(Fftot)

M A T L A B



= {(,)|22 3 + 1,2 4}

+1

22 3

4

2

= 122 22 3

+1

4

2

= 32 + 2 + 2 58 + 332 92 42

= 42 + 133 22 6482

4

= 36

E X A M P L E



clear all; clc; syms x y; f=x*y; F=int (f,x); F1=int (f,x,((y^2)/2)-3,y+1); Ff=int (F1,y); Ff1=int (F1,y,-2,4); disp('fungsi integran adalah :') disp(f) disp('hasil integral tak tentu terhadap x:') disp(F) disp('hasil integral tentu terhadap x:') disp(F1) disp('hasil integral tak tentu terhadap y:') disp(Ff) disp('hasil integral tentu terhadap y:') disp(Ff1)

M A T L A B


Double Integral over General Region Hitung Volume Tetahedron yang

dibatasi oleh bidang + 2 + =2, = 2, = 0, = 0; Penyelesaian : Untuk menggambar grafik tetrahedron Bid-xy : = 0 + 2 = 0 Bid-yz : = 0 2 + = 0 Bid-xz : = 0 + = 0 Seperti gambar disamping. Selanjutnya, ditentukan domain daerah D untuk menentukan batasan integral yaitu

E X A M P L E


Double Integral over General Region = {(, )|0 1, 2 1 2}

Sehingga, volume tetrahedron

= 122

1

0

= (2 2)122

1

0

= 2 2 2

12

1

0

E X A M P L E



= (2 + 22 1 + 24 + 22 + 24 )10

= 2 2 + 1 10

= 33 2 + 0

1 = 13

E X A M P L E


Double Integral over General Region Sketsa domain integral dan hitung

integral berikut

1

(1 + 2)1

1

0

Penyelesaian : Daerah integrasi : = {(,)|0 1, 1}

Dengan mengintegralkan fungsi terhadap x akan mengalami kesulitan sehingga dilakuka perubahan terhadap batas integrasinya yaitu : = {(,)|0 1,2 1}

E X A M P L E


Double Integral over General Region 1

(1 + 2)12

1

0

Subtitusi : = 1 + 2 = 1 + 2 = 2 (1 + 2)1 + 2 21 10

= 2 21 + 2 10

Subtitusi : = 1 + 2 = 2 = 2 tan1 + 2 1 + 20

1 = 2 + 2( 2 + 1)

E X A M P L E


Double Integral over General Region Sketsa domain integral dan hitung

integral berikut

2 + 220

1

0

Penyelesaian : Daerah integral : = {(,)|0 1,0 2}

Dengan melihat fungsi integran diatas terlihat sulit untuk diintegral terhadap y sehingga batas integrasi diubah ke koordinat kutub karena kurva batas integrasi merupakan lingkaran

E X A M P L E


Double Integral over General Region 2 = 2 = 2

2 + 2 = 0 ( 12)2+( 0)2= 14

Sehingga jari-jari =1/2 dan melihat daerah kurva maka diperoleh

= {(, )|0 12 , 0 } = , = ,

= cos

0

12

0

E X A M P L E



= cos 0

12

0

= 220

12 sin 0 = 8

E X A M P L E


Integral Permukaan

Integral Lipat Tiga




Integral Permukaan / Surface Integral

Didefinisikan S kurva permukaan parametrik oleh fungsi bernilai vektor 2 peubah yaitu

, =< , , , , (, ) > Dengan u,v berada pada region D Dengan vektor singgung terhadap 1 yaitu turunan r terhadap v

= + + Dan vektor singgung terhadap 2 yaitu turunan r terhadap u

= + + Jika normal vektor tdak nol maka permukaan S dikatakan smooth


Kemudian dibuat partisi sehingga

=1

=1

Atau

=

Jika fungsi parametrik = (,) dengan x=x dan y=y sebagai parameter

= + + , Dan

= + , = +


= 1 0

0 1

=

= 1 + 2 + 2 Maka integral permukaan adalah

= 1 +

2 +

2


Tentukan area dari parabolik = 2 + 2 dibawah bidang z=9

Penyelesaian : = 2 + 2

Merupakan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari Sehingga daerah = , 2 + 2 9

= 2, = 2 = 1 + 42 + 42

E X A M P L E


Dengan mengubah koordinat kartesius ke koordinat polar sehingga, = {(,)|0 2, 0 3} = 1 + 422 + 4223

0

2

0

= 20

1 + 4230

= 02 1 + 42 3/2120

3

= 2(37 37 112 ) = (37 37 1)6

E X A M P L E


Tentukan luas permukaan bidang 2 + 5 + = 10 yang berada dalam

tabung 2 + 2 = 9 Penyelesaian : 2 + 2 = 9 merupakan tabung dengan jari-jari 3 di titik asal 2 + 5 + = 10 Saat z=0 2 + 5 = 10 (0,2,0),(5,0,0) Saat y=0 2 + = 10 (0,0,10),(5,0,0) Saat x=0 5 + = 10 (0,0,10),(0,2,0) Sehingga domain daerah integrasi adalah :

= , |0 3,0 10 25 Dengan = 2 dan = 5

E X A M P L E


= 1 + 2 2 + 5 21025

0

3

0

= 3010250

3

0

= 30 01025 30

= 30 10 25 30

= 30 2 250

3

= 30 6 95 = 21 305

E X A M P L E


Integral Permukaan

Integral Lipat Tiga




Integral Lipat Tiga/Triple Integral

Didefinisikan balok dengan domain ={(,)| , , } Dibuat partisi kubus dengan domain =1, 1, 1,

Dan setiap kubus memiliki volume yaitu = Kemudian jumlahan riemann diperoleh

( , , )=1

=1

=1

Maka integral lipat tiga

= , ,

= lim,,( , , )

=1

=1

=1


Dari definisi integral lipat tiga dengan domain daerah = , , ,1 2 ,1 , 2 , Diperoleh

,, = ,, 2(,)1(,)

2()1()


Tentukan daerah integral dan volume dari integral

22

0

1

0

1

0

Penyelesaian : Daerah integrasi = {(, , )|0 1,0 2 2, 0 1 }

022

1

0

1

0

2 2 10

1

0

E X A M P L E


2 2 0110

2 2 1 + 2 2 10

1 2 10

33

0

1 = 1 13 = 23

E X A M P L E


Hitung volume integral

yang dibatasi oleh bidang z=y, bidang-xy, dan tabung parabolik y = 1 2 Penyelesaian :. Dengan daerah integrasi :

= , , |0 1 ,1 1,0 Sehingga

= 2 0

1

0

1

0

E X A M P L E


= 2 0 = 2 210

1

0

1

0

1

0

= 2 330

1

1

0

= 2 1 323 = 2. 215 1 52 01 = 41510

. 1 = 415

E X A M P L E


Integral Permukaan

Integral Lipat Tiga




Integral Lipat Koordinat Tabung

Dengan koordinat tabung : = , = , =

Dan =

Integral Lipat Koordinat Tabung

Hitung integral

2 + 2

Dengan D merupakan daerah yang dibatasi tabung 2 + 2 = 16 dan bidang z=-5, z=4 Penyelesaian : Daerah integrasinya = , , | 4 4,

16 2 16 2 ,5 4 Fungsi integran terlihat sulit untuk diintegral sehingga fungsi ditransformasikan ke dalam koordinat tabung yaitu

E X A M P L E

Integral Lipat Koordinat Tabung/Cylindrical Coordinate

= , = , =

Dan =

Dengan batas integrasi menjadi = ,, |0 4,0 2,5 4

= 4 . 40

= 4 45

2

4

0

2

0

2

0

4

5

= 4 54 02 330

4 = 4.9.2 . 643 = 384

E X A M P L E

Integral Lipat Koordinat Bola/spherical coordinate

Dengan koordinat bola = sin , = , =

Dan = 2 sin

Integral Lipat Koordinat Bola

Dengan menggunakan koordinat bola hitung integral

2 + 2 + 2

Dengan D merupakan bola dengan persamaan 2 + 2 + 2 1 Penyelesaian : Koordinat bola yaitu = sin , = , =

Dan = 2 sin

Sehingga daerah integrasi

E X A M P L E


= ,, |0 1,0 2, 0 2 = 82.2 sin1

0

2

0

2

0

= 8 sin410

2

0

2

0

= 8 02 cos 02 550

1 = 8.2 . 1. 15 = 45

E X A M P L E


Integral Permukaan

Integral Lipat Tiga





Suatu daerah integrasi dapat ditransformasi ke bentuk yang lain dengan melihat fungsi bernilai vektor singgung dari daerah tersebut yaitu Misalkan fungsi bernilai vektor , = , + , dimana = , , = (, ) Dengan fungsi bernilai vektor singgung

= + , = + = 0

0 =

=

Dimana (,)(,) =

dikenal sebagai matriks jacobian, sehingga

, = (, )

(,)(, ) dudv


Hitung integral 2

3 dengan

D merupakan daerah yang dibatasi oleh garis 2 = 0, 2 =4,3 = 1,3 = 8

Penyelesaian : Gambar grafik untuk daerah integrasi dapat dilihat disamping Terlihat juga bahwa sulit untuk mengintegralkan fungsi integran diatas. Dimisalkan = 2 dan = 3 Sehingga batas integrasinya berubah menjadi = , |0 4,1 8

E X A M P L E


Dengan matriks jacobian : (, )(, ) = 1(, )

(,) = 1

= 11 23 1 = 15 Diperoleh

=

. 15 = 15 = 1581

4

0

8

1

4

0

220

4 ln 18 = 15 . 16. ln 8 = 8 ln 85

E X A M P L E


Integral Permukaan

Integral Lipat Tiga




Teorema Green

Misalkan C merupakan kurva tertutup yang positif dan smooth dan D adalah daerah yang dibatasi oleh C. jika P dan Q fungsi yang mempunyai turunan parsial kontinu di daerah terbuka D maka,

+ =

Bukti :

Teorema Divergence

Misalkan E adalah daerah padatan dan S adalah batas permukaan dari E dengan arahan positif. Misal F merupakan lapangan vektor dengan elemen fungsi yang mempunyai turunan parsial kontinu pada daerah terbuka E maka

. =

Bukti :

Teorema Stokes

Misalkan S adalah permukaan yang smooth yang dibatasi kurva C tertutup dengan arah positif. Misal F adalah lapangan vektor dengan elemen yang mempunyai turunan parsial kontiu di daerah terbuka yang berisi S maka

= Bukti :

Integral Lipatdan Kalkulus Vektor/ Multiple Integral and Vector Calculus OUTLINEOUTLINEIntegral Lipat Dua Sepanjang persegi/Double Integral over RectanglesIntegral Lipat Dua Sepanjang persegi/Double Integral over RectanglesIntegral Lipat Dua Sepanjang persegi/Double Integral over RectanglesIntegral Lipat Dua Sepanjang persegi/Double Integral over RectanglesIntegral Lipat Dua Sepanjang persegi/Double Integral over RectanglesIntegral Lipat Dua Sepanjang persegi/Double Integral over RectanglesIntegral Lipat Dua Sepanjang persegi/Double Integral over RectanglesIntegral Lipat Dua Sepanjang persegi/Double Integral over RectanglesIntegral Lipat Dua Sepanjang persegi/Double Integral over RectanglesIntegral Lipat Dua Sepanjang persegi/Double Integral over RectanglesIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionIntegral Lipat Dua Sepanjang Daerah Secara umum/Double Integral over General RegionOUTLINEOUTLINEIntegral Permukaan / Surface IntegralIntegral Permukaan / Surface IntegralIntegral Permukaan / Surface IntegralIntegral Permukaan / Surface IntegralIntegral Permukaan / Surface IntegralIntegral Permukaan / Surface IntegralIntegral Permukaan / Surface IntegralOUTLINEOUTLINEIntegral Lipat Tiga/Triple IntegralIntegral Lipat Tiga/Triple IntegralIntegral Lipat Tiga/Triple IntegralIntegral Lipat Tiga/Triple IntegralIntegral Lipat Tiga/Triple IntegralIntegral Lipat Tiga/Triple IntegralOUTLINEOUTLINEIntegral Lipat Koordinat TabungIntegral Lipat Koordinat TabungIntegral Lipat Koordinat Tabung/Cylindrical CoordinateIntegral Lipat Koordinat Bola/spherical coordinateIntegral Lipat Koordinat BolaIntegral Lipat Koordinat BolaOUTLINEOUTLINETransformasi VariabelIntegral Lipat Koordinat BolaIntegral Lipat Koordinat BolaOUTLINEOUTLINETeorema GreenTeorema DivergenceTeorema StokesSlide Number 65

Integral Lipat

Documents

Transcript of Integral Lipat