INTEGRALRUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI

sin 2x = 2 sin x cos x½ sin 2x = sin x cos x- ½ sin 2x = - sin x cos xsin 2 x = 1 – cos2 x = (1 – cos x) (1 + cos x)sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a

Konsep Turunan: Jika f(x) = x n maka f’(x) = n x n-1

contoh : f(x) = x 4 f’(x) = 4 x 4-1 = 4x 3

contoh : f(x) = 2 x 3 f’(x) = 2.3 x 3-1 = 6 x 2

Konsep Integral: jika f(x) = x n maka f(x) dx = x n + 1 + C

contoh : f(x) = x 4 f(x) dx = x 4 + 1 = x 5 + C

contoh : f(x) = 6 x 2 f(x) dx = 6. x 2 + 1 + C = 2 x 3 + C

TURUNAN DAN INTEGRAL TRIGONOMETRI

Turunan (derivate) Integral (anti derivate)F(x) = sin x f’(x) = cosx

cos x dx = sin x + cf(x) = cos x f’(x) = - sin x

–sin x dx = cos x + cf(x) = -cos x f’(x) = sinxf(x) = tan x f’(x) = sec2 x

sin x dx = - cos x + c

sec2x dx = tan x + c

MENCARI INTEGRAL yang belum ada di daftar, menggunakan Integral Parsial:

Rumus Integral Parsial (u dv) : f(x) dx = uv – v du

x .sin x dx =x sin x dxu dv u = x, dv = sin x dx, du = dx , dv = sin x dx, v = - cos x

x sin x dx = u v – v du

x sin x dx = x (-cos x) – (-cos x) dx

x sin x dx     =       -  x cos x         +     cos x dx

x sin x dx     =       -  x cos x         +     sin x          + c

x .cos x dx = xcos x dxudv u = x, dv = cos x dx, du = dx, dv = cos x dx

x cos x dx    =            u     v         –   v           du

x cos x dx    =          x (sin x)     –  (sin x)  dx

x cos x dx    =           x sin x         –    ( –  cos x )

x cos x dx    =          x sin x          +     cos x          + c

sin2 x dx =sin xu

sin x dxdv u = sin x, dv = sin x dx, du = cos x dx , dv = sinx dx, v = - cos x

sin2 x dx    =            u     v         –   v du

sin2 x dx    =       sin x (-cos x)   –  (-cos x) cos x dx

sin2 x dx    =       - sin x cos x     +   cos2 x dx

cos2 x dx =∫ cos xu

cos x dxdv u = cos x, dv = cos x dx, du = - sin x dx, dv = cos x

dx, v = sin x

cos2 x dx     =            u     v         –   v du

cos2 x dx     =       cos x (sin x)   –  (sin x) (-sin x) dx

cos2 x dx     =       sin x cos x     +   sin2 x dx

Terlihat bahwa    sin2 x dan   cos 2 x     hanya bolak-balik dan tak terselesaikan, tapi jangan putus asa. coba  minta bantuan aljabar, kedua hasilnya kita jumlahkan.

sin2 x dx      =       - sin x cos x     +   cos2 x dx

-cos2 x dx    =      - sin x cos x    +   -sin2 x dx      + 

sin2 x – (1 – sin2 x) dx     = -2 sin x cos x +  (1 – sin2 x) – sin2 x dx 

sin2 x – 1 + sin2 x dx       = -2 sin x cos x +  1 – sin2 x – sin2 x dx

2sin2 x – 1  dx                 = -2 sin x cos x +  1 – 2 sin2 x  dx

2 sin2 x  dx –   1  dx     = -2 sin x cos x +  1 dx – 2  sin2 x  dx

2 sin2 x  dx     –     x          = -2 sin x cos x +    x        – 2  sin2 x  dx

4 sin2 x  dx                       = -2 sin x cos x +    2x     

2 sin2 x  dx                       = - sin x cos x +    x     

   sin2 x  dx                       =   –  ½ sin x cos x   +  ½ x      + cSekarang kita akan menggunakan pendekatan yang berbedakita tahu:          sin2 x     =    1 – cos 2 x

sin2 x dx =   (1 – cos x)  (1 + cos x) dx u = 1 – cos x, dv = (1 + cos x) dx,                                   u                    dv du = sin x dx, dv = 1dx+ cosxdx, v =x+sin x

sin2 x dx     =    uv –   v du

sin2 x dx     =    (1 – cos x ) ( x + sin x ) –   (x + sin x) sin x dx

sin2 x dx     =    (1 – cos x ) ( x + sin x ) –   x .sinx dx   –    sin2 x dx

sin2 x dx     =    (1 – cos x ) ( x + sin x ) – (– x cos x + sin x)   –    sin2 x dx

  sin2 x dx    =    x + sin x – x cos x  – cos x sin x    + x cos x  – sin x   –  sin2 x dx

2  sin2 x dx    =    x + sin x – x cos x  – cos x sin x    + x cos x  – sin x  

2  sin2 x dx    =    x        –  sin x cos x   

   sin2 x dx    =    ½ x    –  ½ sin x cos x          + c   dinyatakan dalam x , sin dan cos atau , karena kita tahu bahwa               sin 2x     =    2  sinx cos x

                                      dan            ½ sin 2x     =   1  sin x cos x                                                        ¼ sin 2x     =    ½ sin x cos xmaka

    sin2 x dx    =    ½ x    –  ¼ sin 2x        + c          dinyatakan dalam x dan sin 

  cos2 x dx    =     (1 + sin x)  (1 – sin x) dx u = 1+sinx , dv=(1–sinx)dx,                                        u                    dv

cos2 x dx     =    uv –   v du

cos2 x dx     =    (1 + sin x ) ( x + cos x ) –   (x + cos x) cos x dx

cos2 x dx     =    (1 + sin x ) ( x + cos x ) –   x .cos x dx     –    cos2 x dx

cos2 x dx     =    (1 + sin x ) ( x + cos x ) – (x sin x + cos x) –    cos2 x dx 

     cos2 x dx     =    x + cos x + x sin x  + sin x cos x    – x sin x  – cos x   –    sin2 x dx

2  cos2 x dx     =    x + cos x + x sin x  + sin x cos x    – x sin x  – cos x   

2  cos2 x dx     =    x        +  sin x cos x   

   cos2 x dx     =    ½ x    +  ½ sin x cos x         + c       dinyatakan dalam x , sin dan cos 

Atau cos2 x dx = ½ x + ¼ sin 2x + c dinyatakan dalam x dan sinSEKARANG MARI KITA RANGKUMKAN PEKERJAAN KITA:asal fungsi                     turunan fungsiy =     sin x                     y’ = cos xy =     cos x                    y’ = - sin xy =  -  cos x                    y’ = sin x                 ( membaca integral tinggal dibaca dari belakang )turunan fungsi           integral turunan fungsi ( = fungsi  atau kembali ke asal fungsi itu sendiri )

y’ = sin x                      sin x dx           =        - cos x   + c

y’ = cos x                      cos x dx         =          sin x  + c 

y’ = x sin x                     x sin x dx       =        -  x cos x        +     sin x    +  c

y’ = x cos x                    x cos x   dx    =            x sin x         +     cos x    + c 

y’ =  sin2 x                      sin2 x dx        =          ½ x            –       ½ sin x cos x     + c

y’ =  cos2 x                     cos2 x dx       =          ½ x            +        ½ sin x cos x     + c Kesimpulan apa yang dapat kamu tarik dari rangkuman di atas? 

Menurutmu kira-kira seperti apakah hasil   dari     sin3x dx    dan       cos3x dx    ?   MENGGUNAKAN NOTASI YANG TEPAT 

* Misalkan kita hendak mencari   sin x cos x dxada banyak cara, misalnya dengan cara I , integral parsial : 

 sin x    cos x dx           u           dv                                   u = sin x                          dv =    cos x dx

                                                           du = cos x dx               dv =    cos x dx                                                                                                     v =   sin x

 sin x  cos x dx       =      uv –  v du

 sin x  cos x dx       =      sin x . sin x  –  sin x cos x dx

2  sin x  cos x dx     =      sin2 x

    sin x  cos x dx     =      ½ sin2 x     + c        dinyatakan dalam sin * Sekarang kita coba menggunakan notasi yang tepat, cara II:

 sin x   cos x dx                                                                     u               = sin x                  

                                                                  d u             = cos x dx                                                                              sin x                                                  

                                                                d sin x          =  cos x dx                     

sehingga soal diatas dapat ditulis menjadi   sin x  d sin x ,  yang mana menjadi

serupa dengan  u   du yg hasilnya adalah    ½ u 2

dengan u = sin x    sehingga      sin x   cos x dx   =    ½ sin2 x   + c 

* jangan terkecoh bila hasilnya tidak sama, lihat penyelesaian di bawah ini :Cara III : 

 sin x  cos x dx                                                               u   = cos x                          dv =    sin x dx

                                                             du = - sin x dx               dv =    sin x dx                                                                                                         v =   - cos x

 sin x  cos x dx       =      uv –  v du

 sin x  cos x dx       =      cos x . (- cos x )  –  (- cos x) (- sin x) dx

 sin x  cos x dx       =      - cos2 x  –   sin x cos x dx

2 sin x  cos x dx      =      - cos2 x 

   sin x  cos x dx      =      - ½ cos2 x     + c           dinyatakan dalam  cos                                                                             Kelihatan gak sama. karena hasilnya berbentuk cos. 

 * Sekarang kita coba menggunakan notasi yang tepat, cara IV:

 sin x   cos x dx                                                                     u  = cos x                 

                                                                d u = - sin x dx                                                                              cos x                                                                 d cos x = - sin x dx                                                                            - d cos x =    sin x dx               

sehingga soal diatas dapat ditulis menjadi    cos x . - d cos x , yang mana menjadi

serupa dengan -   u   d u yg hasilnya adalah   -  ½ u 2 dgn u = cos x sehingga    sin x cos x dx= - ½ cos2 x + c Ini juga hasilnya bbtk cos. 

* KEDUA  Hasil integral diatas sebenarnya sama (meskipun hasilnya tertulis berbeda)   Kedua jawaban bisa dicek dengan ALJABAR: 

Kita tahu            sin2 x    = 1 – cos2x        maka        ½ sin2 x = ½ (1 – cos2x )                        ½ sin2 x = ½.1 – ½ cos2x                        ½ sin2 x =   ½  – ½ cos2x                        ½ sin2 x =        – ½ cos2x  + ½

shg                   sinx cos x dx     =   ½ sin2 x +  c kongruen dgn   sinx cos x dx =   - ½ cos2x + ½ +  c  ( krn c atau ½ + c adl knstnta jg)

PENGEMBANGAN LEBIH LANJUT:

1.        dx    =  ….

               jwb :   lihat batas x , dimana -   <   x    <                    (dikali 2)

-   < 2x    <                    - 45  < 2x    <  45        tg - 45  <  tg 2x < tg 45  ( tg 45 = 1) - 1  < tg 2x <  1

                                                                             - nilai untuk  tg  dari 0 sampai -1  identik dgn 0 sampai 1 cuma beda tanda jika dikuadratkan nilai nya malah persis, karena jadi positif semua. jadi cukup melihat batas  0  sampai  1                                                                              0  < tg2 2x <  1                                                                                      -1< -tg2 2x < 0        

sekarang kita lihat    + …  sebagai deret    Snmungkin pembaca bertanya, mengapa tandanya  min plus min plus, apa gak

seharusnya plus semua, seperti  + …   ? Jawabnya, tanda plus minus plus minus itu dimaksudkan supaya deretnya menjadi konvergen, sebab jika tandanya plus semua, maka deretnya menjadi divergen (alias tak hingga). yang mana hasil integralnya pun tak hingga juga. ok, saatnya beraksi.

                      deret          + …  memiliki : a =   1                                  (suku pertama)                   r = - tg22x                            (rasio)

               rumus Sn geometri :     Sn =  

 kita lihat  (1 – rn) , semakin besar pangkatnya misalnya n =  ~ maka nilai   rn = r ~   juga tak hingga, dan nilai (tg 2 2x)n  nya menjadi  (tg 2 2x)~ yg mana hasilnya tetap saja antara 0 dan 1kita ambil saja misalnya sudut  440    yg mana hasil tan nya mendekati 1, misalnya 0,9                       0,9 dipangkatkan tak hingga, hasilnya mendekati 0 (bukan mendekati 1)                        sehingga (1-rn)  menjadi  (1 – mendekati 0)                                                  mirip dengan (1 – 0)                                                                   =    1    

dan rumus Sn nya menjadi :  Sn =      atau      Sn =   krn a = 1  dan r = -tg22x

                                                                          Sn =                  

                                                                       Sn =   kita tahu tg2x + 1 = sec2x 

                                                                           Sn =                  

                             =       =       =  cos 2x     

  sehingga integralnya menjadi    cos 2x dx

                                                                          =     cos 2x d x

                                                                          =    ½  cos 2x d2x                                                                          =    ½ ( - sin 2x )                                                                          =    -½  sin 2x  + C            (selesai)