Integral (1)

Cakupan Bahasan

Integral Tak-TentuLuas Sebagai Suatu Integral

Integral Tak Tentu

Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan

Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian

)(xfdx

dy

Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti ini disebut persamaan diferensial.

036

652

222

2

2

yxdx

dyxy

dx

yd

xxdx

dy

Contoh persamaan diferensial

Pengertian-Pengertian

)(xFy Suatu fungsi dikatakan merupakan solusi dari persamaan diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat memenuhi

)()(

xfdx

xdF

)(xfdx

dyTinjau persamaan diferensial

0

)()()(

dx

xdF

dx

dK

dx

xdF

dx

KxFdKarena maka

KxFy )(fungsi juga merupakan solusi

Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian

Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum

KxFdxxf )()(

dxxfxdF )()(

Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral

tak tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari

)()(

xfdx

xdF

dapat dituliskan

Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian

45xdx

dy

dxxdy 45

dxxxd 45 5)(

Kxxddxxy 554 )(5

Cari solusi persamaan diferensial

ubah ke dalam bentuk diferensial

Kita tahu bahwa

Contoh:

oleh karena itu

Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian

Carilah solusi persamaan

yxdx

dy 2

Contoh:

dxyxdy 2 kelompokkan peubah sehingga ruas kiri dan kanan

mengandung peubah berbeda dxxdyy 22/1

dyyyd 2/12/12 dxxxd 23

3

1

32/1

3

12 xdyd

Jika kedua ruas diintegrasi

23

12/1

3

12 KxKy

KxKKxy 312

32/1

3

1

3

12

Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian

Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah

ini dapat memperingan upaya pendugaan tersebut.

Kydy

1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K.

dyaady

2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan

1 jika ,1

1

nKn

ydyy

nn

3. Jika bilangan n 1, maka integral dari yndy diperoleh dengan menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1).

Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian

Penggunaan Integral Tak Tentu

Integral Tak Tentu, Penggunaan

Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang.

Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimiliki

oleh K.

kurva 210xy adalah kurva bernilai tunggal

50

100

-5 -3 -1 1 3 5x

y = 10x2

y

50

100

-5 -3 -1 1 3 5

K1

K2

K3

yi = 10x2 +Ki

y

x

Kxdxx

23

103

10kurva

adalah kurva bernilai banyak

Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.

Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai

30 sPosisi benda pada waktu t = 0 adalah ; tentukanlah

posisi benda pada t = 4.

Contoh:

tatv 3

kecepatan percepatan waktu

dt

dsv Kecepatan adalah laju perubahan jarak,

dt

dva Percepatan adalah laju perubahan kecepatan,

.

vdtds

KtKt

atdts 22

5,12

3

274 ssehingga pada t = 4 posisi benda adalah

K03 3KKondisi awal: pada t = 0, s0 = 3 35,1 2 ts

Integral Tak Tentu, Penggunaan

Luas Sebagai Suatu Integral

Luas Sebagai Suatu Integral

Integral Tak Tentu, Luas Sebagai Suatu Integral

)(xfy Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q.

Contoh:y = f(x) =2

y

x0

2

p x x+x q

Apx Apx

)(2 xfx

Apx

atau

2)(lim0

xf

dx

dA

x

A pxpx

xKxdxdAA pxpx 22

Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p

Kp 20 pK 2 atau

xApx 2

pxApx 22 )(222 pqpqApq

Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang qxp

p x x+x q

y

x

y = f(x)

0

f(x)f(x+x )

Apx Apx

Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan

Apx = f(x)x atau Apx = f(x+x)x

xxxfxxfxxfApx )()()( 0

x0 adalah suatu nilai x yang terletak antara x dan x+x

Jika x 0: )(lim0

xfdx

dA

x

A pxpx

x

KxFdxxfdAA pxpx )()(

qppq xFpFqFA )()()(

Integral Tak Tentu, Luas Sebagai Suatu Integral

Course Ware

Integral (1)

Sudaryatno Sudirham