Definisi Integral

Integral adalah : proses pembalikan diferensial untuk mencarifungsi awal F(X), yang tingkat perubahan atau turunannya telahdi ketahui.

Integral suatu fungsi f(x) dapat dinyatakan sebagai :

∫ f(x) dx = F(X)+C

∫ Dibaca : INTEGRAL fungsi X berkenaan dengan X .

dimana :

Lambang ∫ adalah tanda INTEGRAL , f(X) adalah integranc adalah konstanta pengintegralan

F(X) + c.

1.

2.

3.

4.

Rumus- rumus pada integral tak tentu :

cxdx

caxadx

cxdxx n

n

n 1

11

cxdxax n

nan 1

1

3

dx f(x) a dx f(x) a .3

g(x)dx -f(x)dx dx g(x)f(x) .2

g(x)dx f(x)dx dx g(x)f(x) 1.

.1

1

1 cxdxx n

n

n

.1

1

1 cxdxx n

n

n

1.1

1

ncxdxax n

nan

..3

2.2

.1

4

514

4.543

54

3

322

2

21

cxcxdxx

cxdxx

cxdxx

6

dx x

1 d

dx x c

dx x

1 b

dx5x a.

:iniberikut tak tentuintegral-IntegralTentukan

3 2

4 3

3

4

dx5x g.

dx )xx-(x f.

dx )x(x e.

256

23

dx x .

dx x .

3

dx .

dx 5 h.

6-

10

k

j

i

1 .

4 .

3 .

)54( l.

2

3

2

dxx

o

dxxn

dxxm

dxx

PENERAPAN EKONOMISurplus konsumen dan surplus produsen

Surplus konsumen adalah suatu fungsi yang menunjukanhubungan Antara jumlah produk yang diminta oleh konsumendengan berbagai harga Tertentu. Jika harga pasar produktersebut adalah Pe , maka jumlah produk yang akan Dibeli olehkonsumen adalah Qe. Tetapi berdasarkan kurva permintaanyang ada, Menurut para ahli ekonomi bahwa konsumen masihbersedia dan mampu Untuk membayar produk tersebutdengan harga yang lebih tinggi dari pada harga Pe Sampaipada titik B. Namun,dalam kenyataan nya tingkat harga yangterjadi di pasar hanyalah 0Pe dengan demikian surplus hargatersebut (Pe B) adalah kuntungan total Bagi Konsumen, dan inidi sebut sebagai SURPLUS KONSUMEN / KELEBIHANKONSUMEN

Surplus Konsumen

PB (O1Pe)

KK

PeE (QePe)

P=f(Q)

A(O,0)

Qe

Q

Gambar kurva surplus konsumen

Secara geometri, kelebihan konsumen ini di tinjukan oleh luasdaerah di bawah kurva permintaan dan di atas garis peE yangsejajar dengan sumbu horisontal Q ( daerah yang di arsir ).Besarnya kelebihan konsumen ini dapat di peroleh dengan caramengintegralkan fungsi permintaan dengan menggunakanmetode integral tertentu.Jikafungsi permintaan berbentuk P=f(Q),maka kelebihankonsumennya adalah :

KK = Oqe f (Q) Dq - [QePe]Dimana : KK = kelebihan konsumen

Qe = jumlah keseimbanganPe = Harga keseimbangan

Jika fungsi permintaan berbentuk Q=f(P), maka surpluskonsumen adalah :KK = Pe∫

Qe f(P) Dp

Dimana, KK = kelebihan konsumenB = Titik potong sumbu P jika Q =0Pe = Harga keseimbangan

Contoh kasus :

Jika fungsi permintaan suatu produk ditunjukan oleh P= 25-Q2 dan harga

keseimbangan adalah 9, carilah kelebihan konsumen dan gambarlah ?

JAWABAN ;

Jika P=9 ,maka Q2 =25-9 Q2 = 16 Q1 = +4 Q2 = -4

Jadi keseimbangan atau market Equilibrium pasar terjadi pada E (4,9 )

Jika P=0, maka Q = 25

Q1 =+5 dan Q2= -5 Jadi titik potong untuk sumbu Q (5,0)

Jika Q=0 maka, P=25 Jadi titik potong sumbu p adalah ( 0,25)

Karena fungsi permintaan P=f(Q), Maka :

KK= Oqe f(Q) dQ –[ QePe] = 0 4 (25-Q2) Dq - (9x4) Dq

= 25Q-1/3 Q30

4 – 36

=25(4)-1/3 (4)3 0

4 -36

=100-21,3-36

=42,7

P -

-

25-

-

-

-

10-

-

-

0- ---

4 5

Q

(O,25)

E(4,9)

P=25-Q2

(5,0)

KK

Surplus Produsen

Suatu fungsi penawaran menunjukan hubunganantara jumlah produk yang di tawarkan olehprodusen dengan berbagai harga tertentu. Jikaharga pasar produk tersebut adalah Pe maka jumlahproduk yg akan ditawarkan oleh produsen adalahQe . Tetapi berdasarkan kurva penawaran yang ada,maka produsen masih bersedia dan mampu untukmenjual produknya dengan harga yang lebihrendah dari pada harga Pe yaitu sampai pada titikB. Namun, dalam kenyataanya tingkat harga yangterjadi di pasar hanyalah setinggi 0Pe Dengandemikian,surplus harga tersebut (PeB) adalahkeuntungan total bagi produsen, dan ini yangdisebut surplus produsen.

P

Pe

P=f(Q)

E(Qe1Pe)

B(0,9)

Qe

Q

S

Gambar kurva surplus produsen

Secara Geometri, kelebihan produsen ini di tunjukan oleh luasdaerah diatas kurva penawaran dan di bawah garis PeE( Daerah yang diarsir ). Besarnya kelebihan produsen ini dapatdiperoleh dengan cara mengintegralkan fungsi penawarandengan menggunakan metode integral tertentu. jika fungsipenawaran berbentuk P=f(Q), maka kelebihan produsenadalah :KP = (Qe.Pe)- 0∫

Qe f(Q)DqDimana :KP= Surplus produsen Qe = Jumlah keseimbangan Pe = harga keseimbangan

Sedangkan, apabilah fungsi penawaran berbentuk Q=f(P),Kelebihan produsen adalah :KP = Pe∫B f(P) dPDimana : KP = kelebihan ProdusenB = titik potong sumbu P jika Q=0Pe = harga keseimbangan

Contoh kasus

Jika fungsi penawaran suatu produk di tunjukan oleh P=Q2+3Dan harga keseimbangan adalah 12, carilah surplus produsen dan gambar kanlah kurva nya?

Jawaban ;Jika P=12, maka Q2=12-3 Q2=akar 9Q1=+3 Q2=-3 ( tidak memenuhi karna (-) )Jadi, keseimbangan pasar terjadi pada E (3,12 )

Jika Q=0, maka P=3Jadi titik potong sumbu P adalah (0,3)

Karena fungsi penawaran P=f(Q), Maka

KP =(Qe.Pe)-0∫Qef(Q)Dq=(3x12)-0∫3 (Q2+3)dQ

=36-[1/3Q3+3Q]03

= 36-[1/3(3) 3+3(3)]03

= 36-9+9= 18

P

12

9

6

3

01 2 3

Q

P=Q2+3

E (3,12)

(2,7)

(1,4)

(0,3)

KP

Contoh Kasus

Fungsi permintaan dan penawaransuatu barang asing-masing ditunjukkandengan fungsi sebagai berikut : Qd =30 – 2P dan Qs = -6 + P.Hitunglah surplus konsumennya

Solusi

Mencari harga dipasar dengan cara :

Qd = Qs

30 – 2P = – 6 +P

30 + 6 = P + 2P

36 = 3P

Pe = 12, dan Qe = –6 + 12

Qe = 6

Lanjutannya …

Solusi

Fungsi permintaan

Qd = 30 – 2P

2p = 30 – Qd

P = 15 – ½ Qd

Lanjutannya …

Fungsi penawaran

Qs = – 6 + P

Qs + 6 = P

P = Qs + 6

Solusi

Lanjutannya …

Gambar

Surplus Produsen

Surplus konsumen

P = Qs + 6 atau Qs = –6 + P

P = 15 – ½ Qd atau Qd = 30 – 2P

P

P`= 15

Pe = 12

P``= 6

Qe = 6

30Q0

1. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan olehpersamaan Q = 48 – 0.03 P2. Hitunglah surplus konsumenjika tingkat harga pasar adalah 30.

2. Seseorang produsen mempunyai fungsi penawaranP = 0,50Q + 3. Berapa surplus produsen itu bila tingkatkeseimbangan di pasar adalah 10?

3. Diketahui fungsi permintaan dan penawaran D : p= -½ x² - ½x+ 33 dan S : p= 6 + x. Dapatkan besarnya surpluskonsumen pada saat terjadi market equilibrium (ME) ?

4. Diberikan fungsi permintaan sebagai berikut :Qd = 75 – 3P2, gambarkan fungsi tersebut pada sebuahgrafik Qd vs P serta carilah surplus konsumenya jika hargapasar Pe = 2

5. Diberikan fungsi penawaran sebagai berikut : P = 20 + 5Qs,gambarkan fungsi tersebut pada sebuah grafik P vs Q, sertacarilah surplus produsenya untuk harga pasar sebesar 40.

Jawaban Integral

26

dx x

1 d).

dx x c).

dx x

1 b).

dx5x a).

:iniberikut tak tentuintegral-IntegralTentukan

3 2

4 3

3

4

27

c x

c x14

5 dx 5x a).

5

144

c2x

1-

c)1

(2

1-

c2

1-

c x13-

1

dxx dx x

1 b).

2

2

2

13-

3-

3

x

x

28

cxx7

4

c7

4

c

4

7

1

cx

14

3

1

dxx dx x c).

4 3

4

7

4

7

14

3

4

3

4 3

x

x

29c x3

c3x

c

13

2-

1

dxx dx x

1 d).

3

3

1

13

2

3

2-

3 2

x

30

dx5x 3.

dx )xx-(x 2.

dx )x(x 1.

iniberikut tak tentuIntegralTentukan

256

23

31

Cx3

1x

4

1

ccx3

1x

4

1

cx3

1cx

4

1

dx x dx x dx )x(x 1.

34

21

34

2

3

1

4

2323

32

Cx3

1x

6

1x

7

1

cx3

1cx

6

1-cx

7

1

dx xdx x- dxx dx )xx-(x 2.

367

3

3

2

6

1

7

256256

33

cx2

5

cx)2

15(

dxx 5 dx5x 3.

2

2

34

C 5x

1-

C )x

1(

5

1-

x5

1- dxx .4

x 11

1 dxx .3

x3

1 dx

3

1

3

dx .2

C5x dx 5 1.

5

5

5-6

1110

C

C

C

xadalahCxxfturunankarenaCxdxxJadi 2)(,2 22

5452)(,52)54( 22 xadalahCxxxfturunankarenaCxxdxx

2332 3)(,3 xadalahCxxfturunankarenaCxdxx

3443 4)(,4 xadalahCxxfturunankarenaCxdxx

22

11)(,

11

xadalahC

xxfturunankarenaC

xdx

x

Jawaban Surplus Konsumen dan Produsen

Soal 1

Fungsi permintaan suatu barangditunjukkan oleh persamaan Q =48 – 0.03 P2. Hitunglah surpluskonsumen jika tingkat hargapasar adalah 30.

Jawab

Q = 48 – 0,03 P2 Jika Q = 0, P = 40 = Pˆ

Jika P = 0, Q = 48 P = 30, Q = Qe = 21

Cs

.110)2701440()6401920(

)30(01.0)30(48)40(01.0)40(48

01.048

)03.048()(

33

40

30

3

240

30

^

PP

dPPdPPfp

Pe

Soal 2Seseorang produsen mempunyai fungsi penawaran P = 0,50Q + 3. Berapa surplus produsen itu bila tingkat keseimbangan di pasar adalah 10?

Jawab :

P = 0,50Q + 3 Q = -6 + 2PP = 0 Q = -6Q = 0 P = 3 = P^Pe = 10 Qe = 14

.49

091140

)0(3)0(25,0)14(3)14(25,0140

325,0140

)350,0()10)(14(

)(

22

14

0

2

14

0

0

QQ

dQQ

dQQfPQ Qe

ee

Diketahui fungsi permintaan dan penawaran

D : p= -½ x² - ½x + 33 dan S : p= 6 + x

Dapatkan besarnya surplus konsumen padasaat terjadi market equilibrium (ME) ?

Soal 3

JAWAB :

ME terjadi pada saat D = S

Atau -½ x² - ½x + 33 = 6 + x

-½ x² - 1½x + 27 = 0

x² - 3x – 54

(x+9) (x-6) = 0

Jadi, kuantitas equilibrium x ๐ = 6 unit dan price equilibrium

p๐ = 6 + 6 = 12 satuan rupiah

Karena market equilibrium terjadi saat x ๐ = 6 dan p๐ =

12, maka :

P

33-

SK

S

C 12 - B

SP

E 6-

A

0 6 X

Soal 4

Diberikan fungsi permintaan sebagai berikut : Qd = 75 – 3P2, gambarkan fungsi tersebut pada

sebuah grafik Qd vs P serta carilah surplus konsumenya jika harga

pasar Pe = 2

Solusi

Qd = 75 – 3P2

Qe = 75 – 3.(22)

Qe = 75 – 3.4

Qe = 75 – 12

Qe = 63

Jadi (Pe, Qe) = (2, 63)

Fungsi Qd = 75 – 3P2 merupakan kurva parabola yang terbuka di bawah dengan titik puncaknya (P, Qd) = (0,75).

Lanjutannya …

GambarQd

7563

0 2 5P

Surplus Konsumen (SK)

Solusi

Soal 5

Diberikan fungsi penawaran sebagai berikut : P = 20 + 5Qs, gambarkan fungsi tersebut pada sebuah grafik

P vs Q, serta carilah surplus produsenya untuk harga pasar

sebesar 40.

Solusi

Lanjutannya …

Gambar

Pe =40

P = 20

04

Qs

P Pe = 20 –5Qs

SurplusProdusen

Solusi

Lanjutannya …

Solusi

Lanjutannya …