FUNGSI DUA VARIABEL ATAU

LEBIH

Tim Pengajar Kalkulus II

Fungsi Secara Umum

Misalkan A dan B himpunan.

Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi

jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan

tepat satu elemen di dalam B, dan dapat dituliskan:

f : A B

artinya f memetakan A ke B.

A daerah asal (domain) dari f

B daerah hasil (codomain) dari f.

Fungsi Secara Umum

Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan

(image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan

(pre-image) dari b.

a b

A B

f

Fungsi Secara Umum

Definisi fungsi real f dari dua variabel

Fungsi real f dari dua variabel x dan y adalah

suatu aturan yang menghubungkan suatu bilangan

real yang unik f(x,y) ke setiap titik pasangan

berurut (x,y) dalam himpunan domain D pada

bidang xy.

Contoh 1

Misalkan

Tentukan f(1,4), f(0,9),f(t2,t) dan tentukan domain

dari f.

13),( 2 yxyxf

Fungsi Dua Variabel

(a,b)

(a,b)

(c,d)

(e,f)

x

y

z

A B

f : (a,b) x

f

Definisi fungsi real f dari tiga variabel

Fungsi real f dari tiga variabel x, y dan z adalah

suatu aturan yang menghubungkan suatu bilangan

real yang unik f(x,y,z) ke setiap titik pasangan

berurut (x,y,z) dalam himpunan domain D pada

ruang tiga dimensi.

Contoh 2 :

Tentukan nilai f(0,1/2,-1/2) dan domain dari fungsi

2221),,( zyxzyxf

Fungsi Tiga Variabel

(a,b)

(a,b,c)

(d,e,f)

(g,h,i)

x

y

z

A B

f : (a,b,c) x

f

Grafik Fungsi

Grafik fungsi satu variabel f(x) dinyatakan sebagai

suatu grafik dari persamaan y=f(x).

Jika f fungsi dua variabel, grafik f(x,y) dinyatakan

sebagai grafik dari persamaan z=f(x,y), yang

merupakan suatu permukaan di ruang dimensi tiga.

Grafik Fungsi

Contoh

Gambarkan domain dari fungsi

Contoh

Gambarkan grafik dari fungsi

)ln(),( 2 yxyxf

22 49363

1),( yxyxfz

Lengkungan Ketinggian Fungsi

(Peta Kontur)

Jika suatu bidang z=k sejajar bidang xy memotong

permukaan z=f(x,y), dan lengkungan

perpotongannya diproyeksikan ke bidang xy, maka

tiap titik pada lengkungan proyeksi akan

berpadanan dengan suatu titik unik pada

permukaan tersebut yang k satuan di atasnya (atau

di bawahnya).

Lengkungan Ketinggian Fungsi

Jika sekumpulan n bidang serupa itu, z=ki (i= 1, 2,

3,..n) semuanya sejajar bidang xy memotong suatu

permukaan z=f(x,y) dan semua lengkungan

perpotongannya diproyeksikan pada bidang xy

maka proyeksinya merupakan pemetaan

lengkungan-lengkungan perpotongan tadi pada

bidang xy.

Tiap lengkungan proyeksi pada bidang xy

dinamakan lengkungan ketinggian (level curves)

Contoh: Gambarlah kurva tingkat z=k untuk nilai-nilai k

yang diberikan:

4,3,2,1,0

22

k

yxz

Grafik 3-D dari

4,3,2,1,022 kyxz

Contoh: Permukaan paraboloid

dan peta konturnya

22),( yxyxgz

Lengkungan Ketinggian Fungsi

Contoh

Tentukan lengkungan ketinggian fungsi

22 4936

3

1),( yxyxfz

Grafik Fungsi

Jika f fungsi tiga variabel, grafik f(x,y,z) dinyatakan sebagai grafik dari persamaan w=f(x,y,z), yang hasilnya sudah berbicara pada ruang dimensi empat.

Sehingga untuk fungsi tiga variabel hanya mungkin menggambarkan untuk daerah domainnya saja.

Contoh

Gambarkan beberapa tingkat permukaan dari persamaan 222),,( zyxzyxf