Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real -...

Fungsi Variabel Banyak Bernilai RealPengantar Fungsi dan Grafik

Wono Setya Budhi

KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 19

Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Pada termodinamika, terdapat tiga besaran yaitu tekanan (P),volume (V ) dan temperatur (T ).


Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Pada termodinamika, terdapat tiga besaran yaitu tekanan (P),volume (V ) dan temperatur (T ).Berdasarkan hukum termodinamika terdapat hubungan PV = nRT .


Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel


Dengan menuliskan

P = (nR)T

Vmaka kita dapat melihat bahwa P sebagai fungsi dua variabel T danV .


Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel


Dengan menuliskan

P = (nR)T


Dalam hal ini T dan V merupakan variabel bebas dan P variabelyang bergantung pada T dan V .


Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel


Dengan menuliskan

P = (nR)T



Di matematika, khususnya di kuliah ini, variabel bebas biasanyaditulis sebagai x dan y .


Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel


Dengan menuliskan

P = (nR)T



Di matematika, khususnya di kuliah ini, variabel bebas biasanyaditulis sebagai x dan y .

Jika z bergantung pada x , y , ditulis

z = f (x , y )

dengan f suatu fungsi.


Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel


z = f (x , y )

dengan f suatu fungsi, artinya


Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel


z = f (x , y )


setiap (x , y ) yang berada di daerah definisi menentukan satu danhanya satu nilai z .


Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel


z = f (x , y )



Daerah definisi fungsi f , biasanya, adalah himpunan terbesar sehinggaformula f mempunyai arti.


Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel


z = f (x , y )



Daerah definisi fungsi f , biasanya, adalah himpunan terbesar sehinggaformula f mempunyai arti.

Sudah tentu kita dapat memperkecil daerah definisi fungsi.


Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Misalkan diketahui fungsi

z =√

x2 − y2


Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel


z =√

x2 − y2

Daerah definisi fungsi adalah semua (x , y ) sehingga x2 − y2 ≥ 0


Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel


z =√

x2 − y2


Dalam bahasa himpunan

D ={(x , y ) : x2 − y2 ≥ 0

}


Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel


z =√

x2 − y2



D ={(x , y ) : x2 − y2 ≥ 0

}

Untuk menggambar, pertama kita menentukan jawab persamaan

x2 − y2 = 0


Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel


z =√

x2 − y2



D ={(x , y ) : x2 − y2 ≥ 0

}

Untuk menggambar, pertama kita menentukan jawab persamaan

x2 − y2 = 0

yaituy = x dan y = −x


Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Grafik dari D ={(x , y ) : x2 − y2 ≥ 0

}


Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel


}

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4


Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel


}

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4

y = x


Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel


}

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4

y = xy=-x


Fungsi Dua Variabel

Grafik Fungsi Dua Variabel

Grafik fungsi z = f (x , y )


Fungsi Dua Variabel



� (x , y , 0)


Fungsi Dua Variabel



� (x , y , 0)

�(x,y,f(x,y))


Fungsi Dua Variabel

Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel

Misalkan, kita akan menggambar grafik z = x2 + y2


Fungsi Dua Variabel



Kita dapat menyelidikinya melalui fungsi dengan variabel lebih sedikit,yaitu dengan mengambil satu variabel bergerak dan lainnya konstan.


Fungsi Dua Variabel



Kita dapat menyelidikinya melalui fungsi dengan variabel lebih sedikit,yaitu dengan mengambil satu variabel bergerak dan lainnya konstan.

Kemudian, kita menggunakan pengetahuan tentang fungsi satuvariabel.


Fungsi Dua Variabel




Fungsi Dua Variabel




Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel Lain


Fungsi Dua Variabel





Menggambar Grafik Fungsi Macam2


Fungsi Dua Variabel





Menggambar Grafik Fungsi Macam2

Masalah Panas


Fungsi Dua Variabel

Cara Lain Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel

Misalkan kita akan menggambar f (x , y ) = cos x + cos y

0 2 4 6 8 10 12

0

2

4

6

8

10

12


Fungsi Dua Variabel


Misalkan kita akan menggambar f (x , y ) = cos x + cos y


Fungsi Dua Variabel



Fungsi Dua Variabel

Menggambar Permukaan Ketinggian Fungsi 3 Variabel

Misalkan, kita akan mempunyai fungsi

f (x , y , z) = z2 − x2 − y2


Fungsi Dua Variabel

Menggambar Permukaan Ketinggian Fungsi 3 Variabel

Misalkan, kita akan mempunyai fungsi

f (x , y , z) = z2 − x2 − y2

Menggambar Permukaan Ketinggian Tiga Variabel


Fungsi Dua Variabel

Himpunan Buka

Misalkan a ∈ R, dan ε > 0, maka semua bilangan di

{x : |x − a| < ε}dapat dihampiri oleh a dengan kesalahan sebesar ε.


Fungsi Dua Variabel

Himpunan Buka


{x : |x − a| < ε}dapat dihampiri oleh a dengan kesalahan sebesar ε.Himpunan ini disebut sebagai lingkungan berjari-jari ε > 0 denganpusat a.

1 2 3 4 5a�

c

εε


Fungsi Dua Variabel

Himpunan Buka



1 2 3 4 5a�

c

εε

Himpunan di atas dapat ditulis sebagai interval

a− ε < x < a+ ε


Fungsi Dua Variabel

Himpunan Buka



1 2 3 4 5a�

c

εε


a− ε < x < a+ ε

Di R2, himpunan sejenis di atas mempunyai bentuk sebagai berikut.


Fungsi Dua Variabel

Himpunan Buka



1 2 3 4 5a�

c

εε


a− ε < x < a+ ε

Di R2, himpunan sejenis di atas mempunyai bentuk sebagai berikut.Misalkan (a, b) ∈ R2, lingkungan dengan jari-jari ε > 0 dan pusat(a, b) adalah { √ }Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 13 / 19

Fungsi Dua Variabel

Himpunan Buka

Misalkan a ∈ R, dan ε > 0, maka semua bilangan di{x : |x − a| < ε} atau −a− ε < x < a+ ε dapat dihampiri oleh adengan kesalahan sebesar ε.

Di R2, himpunan sejenis di atas mempunyai bentuk sebagai berikut.


Fungsi Dua Variabel

Himpunan Buka


Di R2, himpunan sejenis di atas mempunyai bentuk sebagai berikut.Misalkan (a, b) ∈ R2, lingkungan dengan jari-jari ε > 0 dan pusat(a, b) adalah {

(x , y ) |√(x − a)2 + (y − b)2 < ε

}

merupakan cakram berjari-jari ε dan pusat (a, b).


Fungsi Dua Variabel

Himpunan Buka


Di R2, himpunan sejenis di atas mempunyai bentuk sebagai berikut.Misalkan (a, b) ∈ R2, lingkungan dengan jari-jari ε > 0 dan pusat(a, b) adalah {

(x , y ) |√(x − a)2 + (y − b)2 < ε

}

merupakan cakram berjari-jari ε dan pusat (a, b).

1 2 3 4 5(a, b)�

c

uv


Fungsi Dua Variabel

Himpunan BukaTitik Dalam, Titik Batas dan Titik Luar


Fungsi Dua Variabel


�C


Fungsi Dua Variabel


�C

�A


Fungsi Dua Variabel


�C

�A

�D


Fungsi Dua Variabel


�C

�A

�D

Titik x0 disebut titik batas dari himpunan A, jika untuk setiap ε, diskD (x0, ε) ∩A �= φ dan D (x0, ε) ∩Ac �= φ


Fungsi Dua Variabel


�C

�A

�D

Titik x0 disebut titik batas dari himpunan A, jika untuk setiap ε, diskD (x0, ε) ∩A �= φ dan D (x0, ε) ∩Ac �= φTitik x0 disebut titik dalam dari himpunan A, jika ada ε > 0,sehingga D (x0, ε) ⊂ A.


Fungsi Dua Variabel


�C

�A

�D

Titik x0 disebut titik batas dari himpunan A, jika untuk setiap ε, diskD (x0, ε) ∩A �= φ dan D (x0, ε) ∩Ac �= φTitik x0 disebut titik dalam dari himpunan A, jika ada ε > 0,sehingga D (x0, ε) ⊂ A.Titik x0 disebut titik luar dari himpunan A, jika ada ε > 0, sehinggaD (x0, ε) ⊂ Ac .


Fungsi Dua Variabel


Example

Misalkan D = {(x , y ) : 0 ≤ x < 1}Carilah semua titik dalam himpunan D.

Solution


Fungsi Dua Variabel


Example


Carilah semua titik batas himpunan D.

Solution


Fungsi Dua Variabel


Example


Carilah semua titik batas himpunan D.

Solution

2

4

6

2

4

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0�E

�F


Fungsi Dua Variabel

Himpunan Buka

Definition

Himpunan D ⊂ R2 disebut himpunan buka jika setiap titik di D adalahtitik dalam.

Konsep ini dengan mudah dapat diperluas di Rn


Fungsi Dua Variabel

Himpunan Buka

Definition



Bola di R berpusat di x0 dengan jari-jari ε > 0 adalah

{x : |x − x0| < ε}


Fungsi Dua Variabel

Himpunan Buka

Definition




{x : |x − x0| < ε}Bola di R2 berpusat di (x0, y0) dengan jari-jari ε > 0 adalah{

(x , y ) :√|x − x0|2 + |y − y0|2 < ε

}


Fungsi Dua Variabel

Himpunan Buka

Definition




{x : |x − x0| < ε}Bola di R2 berpusat di (x0, y0) dengan jari-jari ε > 0 adalah{

(x , y ) :√|x − x0|2 + |y − y0|2 < ε

}

Bola di R3 berpusat di (x0, y0, z0) dengan jari-jari ε > 0 adalah{(x , y ) :

√|x − x0|2 + |y − y0|2 + |z − z0|2 < ε

}


Fungsi Dua Variabel

Titik Limit

Definition

Titik x0 disebut titik limit dari himpunan K jika untuk setiap ε > 0,cakram

D (x0, ε) ∩K �= φ

0.2

0.4

−0.2

−0.4

0.2 0.4−0.2−0.4

�

��


Fungsi Dua Variabel

Titik Limit

Definition

Titik x0 disebut titik limit dari himpunan K jika untuk setiap ε > 0,cakram

D (x0, ε) ∩K �= φ

0.2

−0.2

0.2−0.2

��


Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real -...

Documents

Transcript of Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real -...