Variabel Random dan Nilai Harapan

Oleh Azimmatul Ihwah

• Outcomes dari suatu eksperimen dapat dinyatakan dengan angka untuk mempermudah.

• Suatu variabel yang mengasosiakan outcomes dari suatu eksperimen dengan suatu angka ini dinamakan variabel random

Variabel Random

• Definisi:

Merupakan suatu fungsi yang membawa setiap titik sampel dalam ruang sampel ke suatu bilangan real.

Variabel random disimbolkan dengan huruf X kapital, sedangkan nilai dari variabel random disimbolkan dengan x.

Variabel Random • Variabel Random Diskrit : merupakan variabel

random yang nilainya dapat terhitung (baik berhingga maupun tak hingga). Contoh banyaknya kerusakan hasil produksi, banyaknya eror gelombang yang diterima dari sebuah transmisi.

• Variabel Random Kontinu : merupakan variabel random yang nilainya dinyatakan dalam range interval. Contoh tekanan, temperatur, panjang, waktu, voltase, berat.

Variabel Random Diskrit • Contoh kasus : dalam suatu proses

manufaktur semikonduktor, dua sampel diambil acak untuk di tes. Tiap semikonduktor diklasifikasikan lolos atau gagal. Probabilitas sebuah semikonduktor lolos adalah 0.8 dan tiap sampel yang diambil adalah saling bebas. Bila akan dihitung probabilitas bahwa sampel pertama lolos dan sampel kedua gagal, maka 𝑃 𝑙𝑜𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑔𝑎𝑔𝑎𝑙 = 𝑃 𝑙𝑜𝑙𝑜𝑠 𝑥𝑃 𝑔𝑎𝑔𝑎𝑙

= 0.8𝑥0.2 = 0.16

Contoh Kasus

• Disajikan dalam tabel sebagai berikut :

dimana kolom terakhir pada tabel menyatakan variabel random X dimana X = banyaknya sampel yang lolos

Fungsi Probabilitas

• Jika dalam suatu proses tranmisi 4 gelombang melalui transmisi digital, terdapat dua kemungkinan penerimaan gelombang yaitu tanpa eror dan dengan eror. Jika X menyatakan banyak gelombang yang mengalami eror, nilai variabel random X dari eksperimen ini adalah 0,1,2,3,4 . Misalkan didefinisikan probabilitasnya sebagai berikut

Fungsi Probabilitas

• Fungsi yang mengawankan 0 dengan 0.6561, 1 dengan 0.2916, 2 dengan 0.0486, 3 dengan 0.0036 dan 4 dengan 0.0001 disebut dengan fungsi probabilitas. Jika digambarkan sebagai berikut

Fungsi Probabilitas

• Untuk suatu variabel random diskrit X dengan nilai-nilai 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 , fungsi probabilitasnya adalah fungsi yang memenuhi syarat :

• Pada contoh sebelumnya maka 𝑓 0 =0.6561, 𝑓 1 = 0.2916, 𝑓 2 = 0.0486, 𝑓 3 =0.0036, 𝑓 4 = 0.0001

Diskusikan

• Perhatikan tabel berikut

• Tentukan :

Fungsi Distribusi Kumulatif

• Pada contoh tansmisi gelombang sebelumnya, jika kita tertarik untuk mengetahui probabilitas terjadi 3 gelombang atau kurang yang mengalami eror, yaitu 𝑃 𝑋 ≤ 3 . Kejadian 𝑋 ≤ 3 merupakan union kejadian 𝑋 = 0 , 𝑋 = 1 , 𝑋 = 2 dan 𝑋 = 3 . Jelas

bahwa keempat kejadian ini saling asing (mutually exclusive), sehingga

Fungsi Distribusi Kumulatif • Dari contoh tadi bisa dihitung pula

Contoh diatas seringkali digunakan untuk menyatakan apa yang dinamakan probabilitas kumulatif, 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 . Dari probabilitas kumulatif ini selanjutnya dapat digunakan untuk memperoleh fungsi probabilitas.

• Untuk suatu variabel random diskrit, dengan nilai 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 , maka kejadian 𝑋 = 𝑥1 , 𝑋 = 𝑥2 , …, 𝑋 = 𝑥𝑛 adalah kejadian-

kejadian saling asing maka

Fungsi Distribusi Kumulatif

• Untuk suatu variabel random diskrit X, fungsi distribusi kumulatifnya memenuhi syarat sebagai berikut :

Diskusikan

• Tentukan fungsi probabilitas dari X jika diketahui fungsi distribusi kumulatifnya sebagai berikut :

Variabel Random Kontinu • Seperti telah dijelaskan sebelumnya bahwa

variabel random kontinu adalah variabel yang mempunyai nilai-nilai disajikan dalam interval. Misalnya waktu yang dibutuhkan perairan tercemar logam berat 1 ≤ 𝑥 ≤ 4 (dalam satuan minggu).

• Jika dalam variabel random diskrit dikenal nama fungsi probabilitas, maka dalam variabel random kontinu dikenal dengan nama fungsi densitas probabilitas.

Fungsi Densitas Probabilitas

• Untuk suatu variabel random kontinu X, fungsi densitas probabilitasnya adalah fungsi yang memenuhi :

• Dan untuk sebarang nilai 𝑥1 dan 𝑥2, berlaku

Diskusikan

• Didefinisikan fungsi untuk variabel random kontinu X, sebagai berikut:

𝑓 𝑥 = 1.5𝑥2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 − 1 < 𝑥 < 1

0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛

Buktikan bahwa 𝑓 𝑥 adalah fungsi densitas probabilitas dan gambarkan fungsinya. Determine :

Fungsi Distribusi Kumulatif

• Untuk suatu variabel random kontinu X, fungsi distribusi kumulatifnya didefinisikan sebagai berikut

Fungsi Distribusi Kumulatif • Jika F(x) merupakan fungsi distribusi kumulatif

dan f(x) dmerupakan fungsi densitas probabilitas dari variabel random kontinu X, maka :

• 0 ≤ 𝐹 𝑥 ≤ 1

• 𝐹 𝑥 merupakan fungsi tak turun

• 𝐹 −∞ = 0 dan 𝐹 ∞ = 1

• 𝑓 𝑥 =𝑑𝐹 𝑥

𝑑𝑥

• 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎

Contoh

• Jika dipunyai fungsi distribusi kumulatif dari variabel random kontinu sbb :

Berdasarkan definisi kita peroleh fungsi densitas probabilitasnya

Diskusikan

• Suatu variabel random kontinu X mempunyai fungsi distribusi kumulatif sbb

Tentukan :

Nilai Harapan (Expected Values)

• Seperti kasus terjadinya eror dalam transmisi gelombang kita dapat menghitung probabilitasnya, namun kita juga dapat mengetahui seberapa besar harapan untuk tidak terjadi eror. Dengan kata lain kita dapat menghitung ekspektasi (harapan)

Nilai Harapan dari Variabel Random Diskrit dan Variabel Random Kontinu

• Suatu variabel random diskit X, mempunyai nilai harapan yang didefinisikan sbb :

• Suatu variabel random kontinu X, nilai harapannya didefinisiskan sebagai

Teorema menyangkut Nilai Harapan Variabel Random Diskrit dan Kontinu

• Jika a, b, c merupakan sebarang konstanta serta X dan Y merupakan dua variabel random yang berbeda, maka berlaku :

• E (c) = c

• E(cX) = c E(X)

• E(aX + b) = aE(X) + b

• E (X - 𝜇) = 0

• E (X – Y) = E(X) – E(Y)

• E(X + Y) = E(X) + E(Y)

Mean dari Variabel Random

Nilai harapan dari variabel random diskrit maupun variabel random kontinu X disebut juga rataan (mean).

• Jadi untuk variabel random diskrit :

• Untuk variabel random kontinu :

Variansi dari Variabel Random

• Variansi suatu variabel random diskrit X didefinisikan sebagai berikut :

• Variansi suatu variansi random kontinu X didefinisikan sebagai berikut :

Diskusikan

• Misal

Tentukan :

a. E(X)

b. Var (X)

• Misalkan 𝑓 𝑥 = 0.125𝑥, 0 < 𝑥 < 4

Tentukan :

a. E(X)

b. Var (X)

Teorema Menyangkut Variansi Variabel Random Diskrit dan Kontinu

• Untuk suatu konstanta a, b dan c , maka berlaku

• Var(c) = 0

• Var(cX) = c2Var(X)

• Var(aX + b) = a2Var(X) = Var(aX – b)

• Var(X – Y) = Var(X) + Var (Y)

• Var(X) = E(X2) – *E(X)+2