Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Departemen Teknik ... Distribusi Probabilitas...
Transcript of Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Departemen Teknik ... Distribusi Probabilitas...
Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan
DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL RANDOM Statistika dan Probabilitas
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Probabilitas Variabel Random q Distribusi probabilitas variabel
random diskrit q Distribusi Hipergeometrik q Proses Bernoulli
n Distribusi Binomial n Distribusi Geometrik n Distribusi Binomial Negatif
q Proses Poisson n Distribusi Poisson n Distribusi Exponensial n Distribusi Gamma
q Distribusi Multinomial
q Distribusi probabilitas variabel random kontinu q Distribusi Normal
q Distribusi t
q Distribusi Chi-kuadrat (χ2)
q Distribusi F
18-Oct-16
2
Distribusi Probabilitas Variabel Random
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Hipergeometrik
Distribusi Probabilitas Variabel Random Diskrit
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
3
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Hipergeometrik
Distribusi Probabilitas Variabel Random
4
q Situasi q Mengambil sampel (random) berukuran n tanpa pengembalian dari suatu
populasi berukuran N q Elemen-elemen di dalam populasi tersebut terbagi kedalam dua kelompok,
masing-masing berukuran k dan (N – k)
q Contoh q Suatu populasi berupa
n hari hujan dan hari tak hujan n stasiun dengan data baik dan stasiun dengan data jelek n sukses dan gagal
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Hipergeometrik
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
5
q Persamaan/rumus q Jumlah cara/hasil dari memilih n elemen dari N objek adalah sebuah kombinasi
q Jumlah cara/hasil dari memilih/memperoleh x sukses dan (n – x) gagal dari suatu populasi yang terdiri dari k sukses dan (N – k) gagal adalah:
( ) !!!nnN
NnN
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
( )( )
( ) ( )!!!
!!!
xnxnkNkN
xxkk
xnkN
xk
−+−−−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Hipergeometrik
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
6
q Jadi probabilitas mendapatkan X = x sukses dalam sampel berukuran n yang diambil dari suatu populasi berukuran N yang memiliki k elemen sukses adalah
q Distribusi kumulatif dari probabilitas mendapatkan x sukses atau kurang adalah:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
nN
xnkN
xk
knNxfX ,,;
( ) ∑=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
x
iX n
NinkN
ik
knNxF0
,,;
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Hipergeometrik
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
7
q Nilai rerata (mean) suatu distribusi hipergeometrik adalah
q Varian
q Catatan:
( )NknXE =
( ) ( )( )( )1
Var 2 −−−
=NN
nNnNknX
kNxnNnNknxkx −≤−≤≤≤≤ ;;;;
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Hipergeometrik
Distribusi Probabilitas Variabel Random
8
q Contoh q Suatu DAS memiliki 12 stasiun penakar curah hujan dan diketahui bahwa 2
diantaranya dalam keadaan rusak. q Manajemen telah memutuskan untuk mengurangi jumlah stasiun menjadi 6 saja.
q Apabila 6 stasiun dipilih secara acak dari 12 stasiun tersebut, berapakah peluang terpilihnya stasiun rusak sejumlah 2, 1, atau tidak ada sama sekali?
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Hypergeometric Distributions
Distribusi Probabilitas Variabel Random
9
q Penyelesaian q populasi, N = 12
q jumlah stasiun rusak, k = 2
q ukuran sampel, n = 6
q peluang (probabilitas) mendapatkan stasiun rusak sejumlah x = 2, 1, 0 dalam sampel berukuran n = 6 yang diambil dari populasi berukuran N = 12 yang memiliki stasiun rusak sejumlah k = 2 adalah:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
nN
xnkN
xk
knNxfX ,,;
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Hipergeometrik
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
10
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
nN
xnkN
xk
knNxfX ,,;
( )
( )
( ) 2273.0612
06212
02
2,6,12;0:0
5454.0612
16212
12
2,6,12;1:1
2273.0612
26212
22
2,6,12;2:2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
X
X
X
fx
fx
fx
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Hipergeometrik
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
11
q Ekspektasi jumlah stasiun rusak yang ada di dalam sampel adalah:
q atau
( ) 11226E =
×==
NknX
( ) 12273.025454.012273.002
01 =×+×+×==∑
=iiXi xfxM
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Hipergeometrik
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
12
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
nN
xnkN
xk
knNxfX ,,;
( ) ∑=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
x
iX n
NinkN
ik
knNxF0
,,;
=HYPGEOM.DIST(x,n,k,N,FALSE)
=HYPGEOM.DIST(x,n,k,N,TRUE)
fX(2;12,6,2)=HYPGEOM.DIST(2,6,2,12,FALSE) = 0.2273
fX(1;12,6,2)=HYPGEOM.DIST(1,6,2,12,FALSE) = 0.5454
fX(0;12,6,2)=HYPGEOM.DIST(0,6,2,12,FALSE) = 0.2273
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Binomial
Distribusi Probabilitas Variabel Random Diskrit
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
13
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Contoh Ilustrasi
Distribusi Probabilitas Variabel Random
14
q Investigasi thd suatu populasi q karakteristik populasi → variabel
q nilai variabel n nilai ujian: 0 s.d. 100
n status perkawinan: tidak kawin, kawin, cerai, duda/janda
n usia: 0 s.d. ...
n cuaca: cerah, berawan, hujan
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Contoh Ilustrasi
Distribusi Probabilitas Variabel Random
15
q Contoh lain q Jawaban pertanyaan:
n ya / tidak
n benar / salah
n menang / kalah
n lulus / tak-lulus
n sukses / gagal
SUKSES vs
GAGAL
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Binomial
Distribusi Probabilitas Variabel Random
16
q Jika q variabel hanya memiliki 2 kemungkinan hasil q probabilitas (peluang) kedua hasil tersebut tidak berubah (tetap) apapun hasil
eksperimen sebelumnya
q Probabilitas hasil suatu distribusi binomial q prob(sukses) = p q prob(gagal) = q = 1 – p
Distribusi Binomial
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Binomial
Distribusi Probabilitas Variabel Random
17
q Ilustrasi q Peluang sukses (S) dalam suatu eksperimen adalah p → prob(S) = p q Peluang gagal (G) adalah q = 1 – p → prob(G) = q q 1x eksperimen:
n peluang sukses p n peluang gagal q
q 2x eksperimen: n peluang sukses kmd sukses (S,S): pp n peluang sukses kmd gagal (S,G): pq n peluang gagal kmd sukses (G,S): qp n peluang gagal kmd gagal (G,G): qq
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Sukses-Gagal dalam 2x Eksperimen
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
18
Jumlah sukses Cara sukses Jumlah cara sukses Probabilitas sukses
2 SS 1 pp 1 p2q0
1 SG atau GS 2 pq+qp 2 p1q1
0 GG 1 qq 1 p0q2
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Sukses-Gagal dalam 3x Eksperimen
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
19
Jumlah sukses Cara sukses
Jumlah cara sukses Probabilitas sukses
3 SSS 1 ppp 1 p3q0
2 SSG, SGS, GSS 3 ppq+pqp+qpp 3 p2q1
1 SGG, GSG, GGS 3 pqq+qpq+qqp 3 p1q2
0 GGG 1 qqq 1 p0q3
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Sukses-Gagal dalam 3x atau 5x Eksperimen
Distribusi Probabilitas Variabel Random
20
3232 1025
qpqp =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
q 3x eksperimen: q peluang sukses pada eksperimen ke-3: qqp
q peluang sukses di salah satu eksperimen: pqq + qpq + qqp
q 5x eksperimen: q peluang sukses 2x: ppqqq + pqpqq + ... + qqqpp
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Binomial
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
21
q Jika q peluang sukses p dan peluang gagal q = 1 – p
q probabilitas sukses p tidak berubah apapun hasil eksperimen yang lain
q Maka q peluang mendapatkan x kali sukses dalam n kali eksperimen adalah:
( ) ( ) nxppxn
pnxf xnxX ...,,2,1,0,1,; =−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −
koefisien binomial =COMBIN(n,x)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Binomial
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
22
q Distribusi binomial dan distribusi binomial kumulatif
( ) ( )
( ) ( )∑=
−
−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
x
i
iniX
xnxX
ppin
pnxF
nxppxn
pnxf
0
1,;
...,,2,1,0,1,; =BINOM.DIST(x,n,p,FALSE)
=BINOM.DIST(x,n,p,TRUE)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Binomial
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
23
q Nilai rerata dan varian
q Koefisien skewness
( )( ) qpnX
pnX=
=
VARE
qpnpqcs
−=
p = q à simetris q > p à negative skew q < p à positive skew
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Binomial
Distribusi Probabilitas Variabel Random
24
q Contoh #1 q Setiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihan acak untuk menetapkan alokasi
dana kepada 1 dari 4 kegiatan (A,B,C,D). q Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masing kegiatan memiliki peluang yang
sama untuk terpilih (mendapatkan dana).
q Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 3x?
q Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 5x, 4x, 3x, 2x, 1x, 0x?
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Binomial
Distribusi Probabilitas Variabel Random
25
q Setiap kali pemilihan n prob(As) = probabilitas kegiatan A terpilih
prob(As) = ¼ = 0.25 = p
n prob(Ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilih prob(Ag) = 1 – p = 0.75 = q
q Dalam 5x pemilihan, maka probabilitas kegiatan A mendapatkan dana 3x adalah:
( ) ( ) ( ) 0879.025.0125.035
25.0,5;3,; 353 =−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== −
XX fpnxf
=BINOM.DIST(3,5,0.25,FALSE)
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Binomial
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
26
Jumlah sukses Jumlah cara sukses Probabilitas
0 1 0.237
1 5 0.396
2 10 0.264
3 10 0.088
4 5 0.015
5 1 0.001
Jumlah = 1.000
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Poisson
Distribusi Probabilitas Variabel Random Diskrit
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
27
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Poisson
Distribusi Probabilitas Variabel Random
28
q Situasi q Proses Bernoulli dalam suatu selang waktu à p adalah probabilitas terjadinya
suatu event dalam selang waktu tersebut. q Jika selang waktu t sangat pendek, sedemikian hingga probabilitas p menjadi
kecil dan jumlah pengamatan (eksperimen) n bertambah, sedemikian hingga np konstan, maka n ekspektasi jumlah kejadian dalam selang waktu total à tetap
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Poisson
Distribusi Probabilitas Variabel Random
29
q Sifat q Proses Poisson adalah suatu proses diskrit pada skala waktu kontinu.
n Oleh karena itu, distribusi probabilitas jumlah event dalam suatu waktu T adalah sebuah distribusi diskrit,
n akan tetapi distribusi probabilitas waktu antar events serta waktu sampai ke event ke-n adalah distribusi kontinu.
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Poisson
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
30
q Probabilitas distribusi Poisson
q Distribusi Poisson kumulatif
( ) 0dan...,2,1,0,; >=λ=!
λ=λ
λ−
pnxxexf
x
X
( ) ∑=
λ−
!λ
=λx
i
i
X iexF
0
;
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Poisson
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
31
q Nilai rerata dan varian
q Skewness coefficient
( ) ( ) λ=λ= XX VARE
21−λ=sc
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Poisson
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
32
q Contoh q Suatu printer membuat kesalahan secara random pada kertas cetak rerata 2
kesalahan per halaman. q Hitunglah probabilitas terjadi satu salah cetak dalam satu halaman.
q Penyelesaian
( ) ( ) 2707.021
22;1; 2
21
==!
==λ−
eefxf XX
λ = 2, x = 1
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Normal
Distribusi Probabilitas Variabel Random Kontinu
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
33
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Flash-back Distribusi Binomial
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
34
q Ilustrasi contoh pemilihan kegiatan q Setiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihan secara acak untuk menetapkan
alokasi dana kepada 1 dari 4 kegiatan (A,B,C,D). q Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masing kegiatan memiliki peluang yang
sama untuk terpilih (mendapatkan dana).
q Berapakah probabilitas kegiatan A mendapatkan dana 5×, 4×, 3×, 2×, 1×, 0×?
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Flash-back Distribusi Binomial
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
35
Distribusi Binomial
memilih 1 di antara 4 kegiatan untuk diberi dana
Histogram distribusi probabilitas kegiatan A mendapatkan dana
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Flash-back Distribusi Binomial
Distribusi Probabilitas Variabel Random
36
q Setiap kali pemilihan q prob(As) = probabilitas kegiatan A terpilih
prob(As) = ¼ = 0.25 = p q prob(Ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilih
prob(Ag) = 1 – p = 0.75 = q
q Dalam 5x pemilihan, maka probabilitas kegiatan A mendapatkan dana 3x adalah:
( ) ( ) ( ) 0879.025.0125.035
25.0,5;3,; 353 =−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== −
XX fpnxf =BINOM.DIST(3,5,0.25,FALSE)
18-Oct-16
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Flash-back Distribusi Binomial
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
37
Jumlah sukses Jumlah cara sukses Probabilitas
0 1 0.2373
1 5 0.3955
2 10 0.2637
3 10 0.0879
4 5 0.0146
5 1 0.0010
Jumlah = 1.0000
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Flash-back Distribusi Binomial
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
38
0.2373
0.3955
0.2637
0.0879
0.0146 0.0010 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 1 2 3 4 5
Prob
abili
tas
Frekuensi perolehan dana
Distribusi probabilitas kegiatan A mendapatkan dana
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Flash-back Distribusi Binomial
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
39
q Apabila pemilihan dilakukan untuk waktu yang lebih panjang q 10 tahun
q 20 tahun
q n tahun n diperoleh n + 1 kemungkinan hasil
n Kegiatan A dapat memperoleh dana sejumlah n kali, n – 1 kali, ... 0 kali
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Flash-back Distribusi Binomial
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Prob
abili
tas
Frekuensi perolehan dana
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Prob
abili
tas
Frekuensi perolehan dana
18-Oct-16
40
Distribusi Probabilitas Variabel Random
n = 10 n = 20
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Binomial vs Kurva Normal
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
41
q Apabila pemilihan (eksperimen) dilakukan sejumlah n kali dan n » q histogram distribusi probabilitas sukses (Kegiatan A memperoleh dana) memiliki
selang (interval) kecil q garis yang melewati puncak-puncak histogram → kurva mulus berbentuk seperti
lonceng
Kurva Normal
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random 42
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Peob
abili
tas
Frekuensi perolehan dana
Distribusi probabilitas kegiatan A mendapatkan dana
n = 20
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random 43
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
Peob
abili
tas
Frekuensi perolehan dana
Distribusi probabilitas kegiatan A mendapatkan dana
n = 50
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Kurva Normal dan Distribusi Normal
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
44
q Kurva Normal q berbentuk seperti lonceng dengan karakteristika tertentu q tidak setiap kurva berbentuk seperti lonceng adalah kurva normal
q Kurva Normal menggambarkan suatu distribusi yang disebut Distribusi Normal q Permasalahan distribusi binomial dapat diselesaikan dengan pendekatan
distribusi normal q Distribusi normal lebih mudah dilakukan daripada distribusi binomial karena
karakteristika distribusi normal telah diketahui (didefinisikan) q tabel distribusi normal q perintah/fungsi dalam MSExcel
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Normal
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
45
q Karakteristika distribusi normal q simetris terhadap nilai rerata (mean)
q score mengumpul di sekitar nilai rerata
q kisaran score tak terbatas, namun sangat sedikit yang berada di luar kisaran tiga kali simpangan baku dari nilai rerata
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Normal
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
46
μ−3σ −∞ X
luas = 1
μ−2σ μ−σ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ +∞
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Normal
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
47
X
luas = 0.9973 luas
= 0
.001
35
luas
= 0
.001
35
μ−3σ −∞ μ−2σ μ−σ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ +∞
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
μ−3σ −∞ μ−2σ μ−σ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ +∞
pdf Distribusi Normal
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
48
X
pX(x)
N(μ,σ2) ( ) ( ) ( ) 2σµ−−−2πσ= xX exp 2
121
2
pdf (probability density function)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
pdf Distribusi Normal
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
49
X
pX(x)
N(μ1,σ12)
N(μ2,σ22)
N(μ3,σ32)
μ1=μ2=μ3
σ1 > σ2> σ3
−∞ μ1=μ2=μ3 +∞
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
pdf Distribusi Normal
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
50
X
pX(x)
N(μ1,σ12)
N(μ2,σ22)
N(μ3,σ32)
μ1 < μ2 < μ3
σ1 = σ2= σ3
−∞ μ2 +∞ μ3 μ1
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Normal
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
51
q Jika X berdistribusi normal, N(µ,σ2), maka prob(X ≤ x) dapat dicari dengan:
+∞ −∞ x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞−
σµ−−−2
∞−
2
πσ===≤x
tx
XX tettpxPxX d2dprob 212
1
luas di bawah kurva pdf (dari −∞ s.d. x) à cdf
cdf (cumulative distribution function)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
pdf - cdf
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
52
µ–∞ 0
1
+∞
cdf pX(x)
PX(x)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Normal
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
53
q Luas di bawah kurva pdf q menunjukkan probabilitas suatu event
q menunjukkan percentile rank
q prob(X ≤ x) = prob(-∞ ≤ X ≤ x) = luas di bawah kurva antara -∞ s.d. x
q prob(-∞ ≤ X ≤ +∞) = 1 = luas di bawah kurva antara -∞ s.d. +∞
q prob(X ≥ x) = prob(x ≤ X ≤ +∞) = luas di bawah kurva antara x s.d. +∞ = 1 – prob(X ≤ x)
+∞-∞ x
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Normal
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
54
q Probabilitas q prob(X ≤ µ) = prob(X ≥ µ) = 0.50
q prob(µ-x ≤ X ≤ µ) = prob(µ ≤ X ≤ µ+x)
µ +∞ −∞
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Normal
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
55
q Probabilitas q prob(X = x) = luas di bawah kurva antara x s.d. x
= 0 q prob(X ≤ x) = prob(X < x)
q prob(X ≥ x) = prob(X > x)
q prob(xa ≤ X ≤ xb) = prob(xa < X < xb)
xa +∞-∞ xb
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Normal Standar
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
56
q Distribusi normal biasa disajikan dalam bentuk distribusi normal standar q dinyatakan dalam variabel Z
q Zx berdistribusi normal dengan μ = 0 dan σ = 1, N(0,1) à disebut dengan nama distribusi normal standar
σµ−
=XZx
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Distribusi Normal Standar
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
57
μ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ−3σ μ−2σ μ−σ −∞ +∞ X
luas = 1
0 −1 −2 −3 1 2 3 −∞ +∞ Z
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Tabel Distribusi Normal Standar
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
58
q Tabel z vs ordinat kurva normal standar q z vs ordinat pdf (probability density function) à file1
q Tabel z vs luas di bawah kurva q z vs cdf (cumulative distribution function)
q luas kurva dari 0 s.d. zx à file2
q luas kurva dari −∞ s.d. zx à file3
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Tabel Distribusi Normal Standar
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
59
q Contoh q Suatu variabel random X berdistribusi normal, serta memiliki nilai rerata 12,
dan simpangan baku 3
q prob(X < 15)= prob(Z < 1)= … (lihat tabel)
q prob(X < 9)= prob(Z < −1)= … (lihat tabel)
q prob(9 < X < 15)= prob(−1 < Z < 1)= … (lihat tabel)
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Perintah (Fungsi) MS Excel
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
60
q Distribusi Normal q NORM.DIST(x,mean,standard_dev,cumulative)
n x = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusi normalnya n mean = nilai rerata (aritmetik) n standard_dev = nilai simpangan baku n cumulative = TRUE atau FALSE; TRUE jika ingin menghitung cdf, FALSE jika ingin
menghitung pdf
q NORM.INV(probability,mean,standard_dev) n probability = probabilitas suatu distribusi normal n mean = nilai rerata (aritmetik) n standar_dev = nilai simpangan baku
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Perintah (Fungsi) MS Excel
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
61
q Distribusi Normal Standar q NORM.S.DIST(z,TRUE)
n menghitung nilai cdf distribusi normal standar q NORM.S.DIST(z,FALSE)
n menghitung nilai pdf distribusi normal standar q NORM.S.INV(probability)
n kebalikan dari NORM.S.DIST(z) n mencari nilai z apabila probabilitasnya diketahui
q Ingat q Distribusi Normal Standar
n mean = 0 n simpangan baku = 1
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Perintah (Fungsi) MS Excel
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
62
q Contoh 1 q NORM.DIST(15,12,3,TRUE)
n rerata = 12
n simpangan baku = 3
n prob(X < 15) = NORM.DIST(15,12,3,TRUE) = 0.8413
q NORM.INV(0.8,12,3) n prob(X < x) = 0.8
n x = NORM.INV(0.8,12,3) = 14.5249
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
Perintah (Fungsi) MS Excel
18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random
63
q Contoh 2 q NORM.S.DIST(3,TRUE)
n rerata = 0 n simpangan baku = 1 n prob(Z < 3) = NORM.S.DIST(3,TRUE) = 0.9987 n prob(0 < Z < 3) = NORM.S.DIST(3,TRUE) – 0.5 = 0.4987 n prob(1 < Z < 3) = NORM.S.DIST(3,TRUE) – NORM.S.DIST(1,TRUE) n prob(Z > 1.5) = 1 – NORM.S.DIST(1.5,TRUE)
q NORM.S.INV(0.65) n prob(Z < z) = 0.65 n z = NORM.S.INV(0.65) = 0.3843
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 18-Oct-16 Distribusi Probabilitas Variabel Random 64