3_stRatified Random SampLing

7/25/2019 3_stRatified Random SampLing

1/38

3

Penarikan Sampel Acak Berstrata

Tuan, Dalam suatu puisi indah (The Vission of Sin) terdapat suatu

versi yang mengungkapkan Setiap kejadian kematian seseorang,

setiap kejadian satu adalah kelahiran. Dengan pengertian , hal ini

tidak dapat diperaya dan saya yakin !ah"a pada edisi selanjutnya

#nda telah mem!aanya Setiap kejadian kematian seseorang,

setiap kejadian $ $%$& adalah kelahiran.

Tentu saja nilai terse!ut dengan kesalahan yang sangat keil tapi

mengharuskan akurasi yang ukup untuk kumpulan puisi.

(Dalam suatu surat untuk Lord Tennyson)

Charles Babbage

3.1. PENGENALAN

Dari keseluruhan metode pengambilan sampel, pada umumnya prosedur yang

digunakan dalam survey adalah pengambilan sampel berstrata. Dalam pengambilan

sampel berstrata, populasi dari N unit dibagi menadi k bagian populasi yang disebut

strata, bagian populasi ke!" mempunyai Ni unit dimana i.#$, %,&.,k

Bagian ' bagian populasi tersebut tidak boleh saling tumpang tindih sehingga masing '

masing populasi terpisah, yaitu

'''' k=+++ ...%$(3.$.$)

uatu sampel diambil dari setiap strata ' strata yang independen, umlah sampel antar

strata ke 'i. *enadi ni dimana i.#$,%,&.,k yaitu

nnnn k =+++ ...%$(3.$.%)

+rosedur pengambilan sampel dengan ara ini dikenal denga pengambilan sampelberstrata. -ika sampel diambil seara aak dari setiap strata, prosedurnya dikenal dengan

pengambilan sampel aak berstrata.

Tuuan utama dalam stratiikasi adalah untuk membuat hubungan timbal balik yang

lebih baik dalam populasi sehingga dapat memberikan ukuran yang lebih tinggi untuk

keputusan relati.

/gar dapat terapai, hal ' hal yang harus dilakukan untuk menguinya dengan hati '

hati adalah

(i) Bentuk strata

(ii) -umlah strata yang akan dibuat

(iii) /lokasi umlah sampel antar masing ' masing strata.


2/38

(iv)/nalisis data dari ranangan stratiikasi.

0ita harus mempertimbangkan pertama dua hal setelah mengui dua hal yang terakhir

agar berhubungan dengan tori pengambilan sampel berstrata.

3.2. POKOK POKOK STRATIIKASI

+okok ' pokok stratiikasi yang mengikuti proses stratiikasi suatu populasi

dirangkum sebagai berikut

(i) trata harus tidak saling tumpang tindih dan harus saling terpisah dalam populasi.

(ii) tratiiaksi populasi harus dilakukan pada strata yang bersiat homogen dalam strata

tersebut dengan karakteristik tertentu.

(iii) +ada kenyataannya di lapangan, ketika hal ini sulit untuk distratakan dengan suatu

nilai karakteristik tertentu, maka kemudahan administrasi menadi dasar pemikiran

dalam stratiikasi.(iv) -ika akurasi batas untuk kepastian tiap ' tiap populasi diberikan, hal ini akan

menadi lebih baik dan terperaya untuk tiap ' tiap populasi sebagai suatu strata.

3.3. KE!NT!NGAN STRATIIKASI

+enggunaan stratiikasi memiliki banyak kegunaan. Beberapa prinsipnya adalah

sebagai berikut

(i) tratiikasi memberikan kemudahan administrasi. uatu badan oragnisasi

membentuk survey dapat berdiri dalam kantor ' kantor dengan bermaam ' maam

daerah administrasi dengan penelasan kepemilikan sah dengan maksud menadikan

organisasi lebih baik dengan hasil pekeraan yang lebih akurat.

(ii) tratiikasi dengan karakteristik alami membantu memperbaiki desain sampel.

ebagai ontoh , di area dan daerah survey terdapat banyak perbedaan tipe

permasalahan pengambilan sampel di daerah daratan, padang pasir, dan pegunungan

yang mempunyai perbedaan arak tempuh sehingga hal ini akan menadi lebih

mudah ika tiap ' tiap area dipisahkan dalam suatu strata.

(iii) tratiikasi seara praktek lebih eekti ketika terdapat nilai ' nilai ekstrim dalam

populasi yang dapat dibedakan ke dalam strata dengan maksud mengurangi

keragaman dalam strata. +emisahan dugaan menadi strata tersendiri dapatdikombinasikan ke dalam dugaan akurat untuk keseluruhan populasi.

(iv) tratiikasi memberikan kemungkinan penggunaan desain sampel yang berbeda '

beda pada strata yang berbeda ' beda.

+ada kenyataannya di lapangan, inormasi mengenai stratiikasi tidak seara

keseluruhan tersedia untuk setiap unit populasi. Dalam kasus tersebut, keseluruhan

populasi dibagi menadi beberapa strata mengikuti inomasi sebenarnya yang

tersedia dan beberapa pengambilan sampel yang dapat diperaya dalam perenanaan

pemilihan unit dalam strata tersebut digunakan.

(v) tratiikasi ukup me1akili keragaman kelompok dalam populasi yang

memberikan beberapa keterterikan atau eek yang besar.


3/38

(vi) tratiikasi uga memilih sampel seara ross setion yang lebih baik dengan

populasi dari yang tidak berstrata.

(vii) tratiikasi memberikan keputusan yang tepat dalam memperkirakan karakteristik

suatu populasi. 2ntuk dapat menapainya, populasi yang heterogen dibagi ' bagi

menadi beberapa populasi yang masing masing dalam strata adalah homogen.

-ika tiap ' tiap strata homogen, menggambarkan pengukuran dalam strata tersebutdari satu unit ke unit yang lain, estimasi yang lebih akurat diperoleh dengan

menggunakan sampel yang relati lebih besar.

3.". NOTASI

Diketahui " dinotasikan sebagai strata ' strata sebagai unit sampel dalam strata.

+enulisan simbol untuk tiap strata i.

i'

# umlah keseluruhan unit

in

# -umlah sampel unit

'' ii =

trata penimbang

ii 'nf =

raksi sampel dalam strata

Diketahui

ijy

adalah nilai unit ke ' dalam strata.

=i'

j

iiji 'y)

4ata ' rata strata

=in

j

iiji nyy

4ata ' rata sampel

( ) ( ) = i

i

'

j

i)iji 'yS $

%%

4ata ' rata varians

3.# Estimasi Rata$rata %an &arians P'p(lasi

*isalkan bah1a sebuah populasi N unit dibagi ke dalam k strata. 4ata!rata populasi

per unit dapat dituliskan seperti


4/38

Y=i

k

j

Ni y ijN=

i

k Ni YiN

=i

k

Wi Yi

ebuah pendugayst (st stratiikasi) untuk rata!rata populasi Y bisa dituliskan

seperti

yst=i

k y iNiN

(3.5 .1)

Di mana bentuk rumus di atas berbeda dengan semua rumus rata!rata sampel

umumnya

y=i

k

niyi/n(3.5.2)

T5645*/ 3.7.$

-ika di setiap strata penduga sampelyi adalah unbias dan sampel diambil seara

bebas di setiap strata berbeda, kemudianyst adalah penduga unbias bagi rata!rata dan

varians populasi, maka diperoleh

V(yst)=ik

Ni2

V(yi )N

2 =

i

k

Wi2V(yst)(3.5 .3)

Bukti kita punya

E (yst)=E {i

k

(Niyi/N)}

ik NiE (y i )

N =ik Ni Yi

N =Y(3.5.4 )

"ni menunukkan bah1ayst merupakan penduga yang unbias.

2ntuk memperoleh varians samplinngnya ,ingat bah1a pengambilan sampel

dilakukan seara bebas8independen di setiap strata, oleh karena itu, varians samplingnya

V(yst)=V(i

k N1y1N )=i

k

Wi2

V( y i)


5/38

T5645*/ 3.7.%

2ntuk sampling random stratiikasi dengan 964, penduga sampelyst merupakan

unbias dan varians samplingnya diperoleh dengan

V(yst)=i

k Ni(Nini )Si2

N2ni

=i

k (1fi ) Si2Wi2

ni(3.5.6)

Bukti 0etika di setiap strata sampel diambil seara aak sederhana (simple random

sampling), y merupakan penduga yang unbias terhadap Y dan sebab itu melalui

teorema 3.7.$ bisa ditunukkan bah1ayst merupakan penduga yang unbias terhadap Y

.

Lebih lanutnya, dengan mengaplikasikan teorema %.3.$ ke setiap strata individu,diperoleh

V(y i )=(Nin i ) Si

2

Ni n i

ubstitusikan nilai ke dalam rumus teorema 3.7.$, diperoleh

V(yst)=i

k Ni2V(yi )N

2 =

i

k Ni (Nini )Si2

N2ni

i

k

(1fi ) Wi2

S i2/ni

impulan $

-ika Yst=Ny st merupakan penduga total populasi bagi :, kemudian Yst

merupakan penduga yang unbias, sehingga diperoleh rumus varians samplingnya yaitu

V( Yst)=i

k Ni (Nini )S i2

n i

(3.7.;)

i

k

N2 (1fi )Wi

2Si2/ni

impulan %


6/38

-ika di setiap strata (nin)=(Ni

N) , maka varians yst dapat dituliskan seperti

V(yst)=

(Nn)

N ik NiSi

2

nN =

(1f)

n ik

WiS i2

(3.5.8

)

impulan 3

-ika di setiap strata ( nin)=(Ni

N) ,dan varians di semua strata memiliki nilai yang

sama yaitu Sw2

, hasilnya berkurang menadi

1fSw

2

V(yst)=(Nn ) Sw

2 /Nn=

impulan

Dengan stratiikasi random sampling, seara 964 sebuah penduga unbias variansyst diperoleh melalui ?

v (yst)=i

k

Ni(Nin i ) si2/N2ni

i

k Wi2si2

ni

i

k Wi si2

N (3.6.2)

+embuktiannya sudah elas.

impulan $

Dengan stratiikasi random sampling seara 964, penduga unbias bagi =( yst )

menadi

v (yst)=i

k WiS i2

ni(3.6 .3)

impulan %

Dengan stratiikasi random sampling seara 964, pendugan unbias bagi =(^Pst

)menadi

v ( ^Pst)=i

k (1fi )Wi2pi (1p i )

ni1(3.6 .4 )

3.- ALOKASI !K!RAN SA*PEL ,ALA* STRATA ANG BERBE,A

Dalam stratiikasi sampling, alokasi sampel ke strata yang berbeda!beda dilakukan

atas pertimbangan 3 aktor, yaitu

(i) Total unit!unit di dalam strata merupakan ukuran strata(ii) 0emampuan variable dalam strata

(iii) Biaya dalam melakukan observasi tiap unit sampling di dalam strata

uatu alokasi sampel yang bagus adalah di mana memaksimumkan ketelitian yang

dapat diperoleh dengan meminimumkan sumber atau dengan kata lain ukuran untuk suatu

alokasi adalah meminimumkan biaya untuk memperoleh varians atau meminimumkan

varians dengan biaya yang telah ditetapkan, dengan demikian yang paling eekti dalam

mengalokasikan sampel yaitu menggunakan sumber!sumber yang telah tersedia.

/da < metode alokasi ukuran sampel untuk strata yang berbeda dalam prosedur

sa8mpling stratiikasi, yaitu sebagai berikut

(i) /lokasi ama

(ii) /lokasi +roportional 8 /lokasi +erbandingan


9/38

(iii) /lokasi Neyman

(iv) /lokasi 6ptimum

3.-.1 !k(ran Sampel Sama %ari setiap Strata

ini adalah suatu kondisi yang sangat praktis dimana terkeadang digunakan untuk

alasan!alasan administrasi atau kera lapangan yang menyenangkan. Dalam metode ini, totalukuran sampel n dibagi sama rata diantara semua strata.

ni=n

k(3.7.1)

3.-.2 Al'kasi Pr'p'rsi'nal

eara umum alokasi ini dikenal sebagai alokasi proporsional yang seara murni

diusulkan oleh Bo1ley ($@%>). +rosedur alokasi ini dalam latihan biasa saa karena sangat

sederhana. 0etika tidak ada inormasi tambahan keuali

Ni, kemudian total unit!unit di

dalam tiap strata ke!" tersedia, maka pengalokasian sampel yang berukuran n ke setiap strata

yang berbeda dilakukan dalam proporsi ke setiap ukuran masing!masing strata ke!i.

ni=n Ni

N (ataufi) (3.7 .2)

"ni artinya bah1a raksi sampling di semua strata itu sama. Aal tersebut memberikan

sebuahself*"eighting sampel atau dikenal sebagai penimbang!sendiri sampel dimana angka!

angka estimasi bisa dibuat dengan melihat deraat ketelitian yang tinggi dan keepatan yang

bagus.3.-.3 Al'kasi Ne/man

+engalokasian total ukuran sampel ke dalam strata disebut dengan alokasi varians

minimum dan teori alokasi ini diberi hak kepada Neyman ($@3


10/38

*ungkin agak sulit menggunakan metode ini karena biasanya nilaiS i tidak

diketahui. Bagaimana pun, varians strata mungkin bisa diperoleh dari survey terdahulu atau

dari renana khususpilot survey. /lternative lainnya adalah mengadakan survey utama dan

menggunakan data yang telah terkumpul pada tahap pertama untuk memastikan alokasi yang

lebih baik digunakan pada tahap kedua.

3.-." Al'kasi Optim(m

+ada metode alokasi ini, ukuran sampel n dalam masing!masing strata telah

ditetapkan untuk meminimumkan

yV( st)

untuk biaya spesiik pengadaan survey sampel

atau meminimumkan biaya untuk nilai spesiik

yV( st)

. Dalam sampling stratiikasi

ungsi biaya sangat sederhana, yaitu

C=a+i

k

ni ci(3.7.5)

dimana, seperti yang tertera di atas bah1a biaya a merupakan konstanta danc i

merupakan rata!rata biaya survey per unit di dalam strata ke!" yang bergantung pada alam

dan ukuran unit!unit di dalam strata sendiri.

2ntuk menetapkan nilai optimum dari ni , kita perlu mempertimbangkan ungsi

berikut

y( st)+ C(3.7.6)

=V

dimana merupakan beberapa konstanta yang tidak dikenal.

+ertama!tama kita pilihni dan konstanta

untuk meminimumkan

,

perhitungannya gunakan metode kalkulus pengalian Lagrange.

Turunan terhadapni , diperoleh

Wi2

S i2

ni2 + ci=0(i=1,2, , k)

/tau


11/38

ni=WiSi

ci(3.7.7)

Dengan menumlahkan semua strata, diperoleh

n=i

k

(WiSi /ci)(3.7 .8)

Dari hubungan persamaan (3.;.;) dan (3.;.), diperoleh

ni=n (Wi S i/ci)

i

k

(Wi S i/c i)

=n Ni Si/ci

i

k

(Ni Si /ci)

(3.7.9)

+ada hubungan persamaan di atas (3.;.@) menunukkan hal!hal penting yang perlu

diperhatikan di dalam strata, kita ingin mengmabil sampel dalam umlah yang besar ika

(i) 2kuran strata lebih besar

(ii) trata memiliki variable yang lebih besar

(iii) Didalam strata biaya per unitnya lebih murah8 lebih sedikit

-ikac i sama dari strata ke strata, hubungan (3.;.@) akan memba1a pada alokasi

Neyman. ama halnya, ikaci dan

S i tidak berbeda dari strata ke strata maka

hubungan (3.;.@) akan memba1a pada alokasi proporsional.

Total ukuran sampel n memerlukan untuk estimasi populasi dengan biaya C yang

diperoleh melalui

n=

(Ca)i

k

(Wi S i/ci)

i

k

(Wi Si ci)

(3.7.10)

-ika = telah ditetapkan8 sudah pasti, diperoleh

n=

(i

k

WiS i /ci)i

k

(WiS ic i)

V+i

k

WiS i2/N

(3.7.11)

Nilai varians strata dapat diperoleh dari survey pendahulu atau dari ukuran dalam tiap

strata. uatu pembuktian alternative alokasi dilakukan oleh tuart ($@7


12/38

*eminimumkan = untuk biaya yang sudah ditetapkan atau sebaliknya keduanya

ekuivalen terhadap hasil perkalian yang minimum

V'C

'=( Ain i )( c ini )(3.7.12)ekarang, dalam pertidaksamaan Cauhy!h1arts

(x i2 ) ( yi2)(xiy i)2

sehingga

(A i c i)2

( A ini ) ( c i ni ) +ersamaannya menadi ika dan hanya ika

y i proporsional terhadapx i

cini

A i

ni

=k!nstanta

Dimana ni " Ai /c i(3.7.13)

(i) +ada kasus A i=Wi2Si2

, dari hubungan (3.;.$3) ukuran sampel yang optimum di dalam

strata didapatkan pada hubungan (3.;.@).

(ii) +ada kasusc i=c dan A i=Wi

2Si2

, ukuran sampel yang optimum untuk alokasi Neyman

didapatkan uga dari hubungan di atas.

(iii) +ada kasusA i=Wi dan c i=c , alokasi proporsional uga diperoleh dari hubungan

di atas.

3.0 Peran%inan Presisi Stratified Random Sampling %enan Simple Random

Sampling

Pa%a aian ini kita akan mem(at s(at( peran%inan ilm( antara pen%(a

/an iasan/a men(nakan met'%e simple ran%'m samplin tanpa strati4ikasi %an

strati4ie% ran%'m samplin /an memper(nakan eraai skema al'kasi seperti

al'kasi pr'p'rti'nal %an al'kasi 'ptim(m. &arians pen%(a+estimat'r rata$rata

%in'tasikan %enanV

S#

, V%an

V .

TA5645*/ 3..$

-ika p diabaikan, tunukkan bah1a

V!pt$V$VS#(3.8 .1)

Bukti 0etika p diabaikan, kita memiliki

VS#=S2/n

V=i

k NiSi2

Nn =

i

k

Wi Si2/n


13/38

V!pt=(

i

k

NiSi)2

N2n

=(i

k

WiSi)2

/n

eak1/N

i dan $8N tidak berarti, kita bisa peroleh

NS2=

i

k

Ni S i2+

i

k

Ni(YiY)2

6leh karena itu, diperoleh

VS#=S2

n=

1

nN[

i

k

NiSi2+

i

k

Ni(YiY)2]

V+i

k

Ni(YiY)2/nN(3.8.2)

/tauVS#V= menghasilkan sebuah bilangan positi

Aal ini lah yang membuktikan bah1aV$VS#

6leh karena itu, dapat disimpulkan bah1a tingkat presisi8ketepatan yang tertinggi

dapat diperoleh dengan alokasi proporsi dibandingkan dengan simple random sampling.

Dengan ara yang sama

VV!pt= 1

nN

[

i

k

NiSi2(

i

k

NiS i)2

N

] 1nN(ik Ni (S iS )2)(3.8.3)Dimana S=

i

k

NiSi/N

a p!sitiv%&uantity

-uga VS#=V!pt+ [ik

Ni (S i S)2+i

k

Ni(YiY)2]nN (3.8 .4)

ehingga terbukti bah1a V!pt$V

6leh karena itu V!pt$V$VS#

0esimpulannya bah1a alokasi optimum Neyman memberikan hasil yang lebih baik

dibandingkan alokasi proporsional. 0ita amati dari persamaan (3..


14/38

kita mengubah dari simple random sampling ke stratiied random sampling dengan alokasi

Neyman, hasil keuntungan dalam ketepatan mengestimasi dipengaruhi dari % aktor, yaitu

(i) +erbedaan diantara rata!rata strata dan

(ii) +erbedaan diantara standar deviasi strata.

impulan -ika p diabaikan, terbukti bah1aV!pt$V$VS#

Contoh 3.$

%EEE petani pemilik lahan di 2ttar +radesh (india) dikelompokkan berdasarkan

ukuran masing!masing. Di ba1ah ini terdapat data umlah pemiliki lahan ( Ni ), rata!rata

1ilayah yang dimiliki setiap pemilik lahan ( Yi ) dan standar deviasi 1ilayah yang dimiliki

setiap pemilik lahan, yaitu sebagai berikut

N

o.

trata

-umlah

+emilik lahan

4ata!rata lahan yang

dimiliki

per pemilik lahan

tandar Deviasi lahan yang

dimiliki

per pemilik lahan

(Ni)( Yi )

($)

$ 3@< 7.< .3

% $ $>.3 $3.3

3 3$ %


15/38

$ % 3 < 7 > ; @

$

E $$

$

3

@

3

.;>

>

$.%@

@

7

$

$

$

.


16/38

=

==


17/38

-n!iased estimator dari =(

y

4) pada sampel strata adalah

+=

k

i

iii

k

i

stii

k

i

iiS, ns((yy(

''

n's(

'n

yv H8)$()(I

)$(

)()

$$()(

%%

%

(3.@.$)

0etelitian relati pada penarikan ontoh berstrata adalah

)(

)()(

st

stS,

yv

yvyv

(3.@.%)

-ika alokasi sampel ukup besar untuk tiap strata, yaitu n iJ 7E maka hubungan antar (3.@.$)

akan menadi,

+

=

H)(I)( %%

%

iiiiiiS, y(y(s('n

n'yv

([email protected])

Dalam prakteknya, ditemukan bah1a varians sampel tidak ukup untuk memperkeilstandar

deviasipada alokasi. -ika alokasinya proporsional, yaitu n$ # n9i ? kita dapat menulis s%,

dengan teknik analisis varians, yaitu

+=

H)(I %%

%%iiiiii y(y(s(s

menunukkan bah1a s%adalah -n!iased estimatorpada proporsi alokasi.

Contoh 3.3

-umlah lada yang terpilih sebagai sampel di suatu desa, yang dibagi menadi tiga strata dari

1ilayah Trivandium diberikan sebagai berikut,

trata

-umlah

desa

-umlah desa

sampel

-umlah lada yang

terpilih

$


18/38

$$7,

$7@, $%E

5stimasikan umlah total dari lada beserta standar errornya di 1ilayah Trivandum.0emudian estimasi pula tingkat ketelitiannyaK

+erhitungan yang relevan diberikan di table 3.%.

5stimasi umlah total lada yaitu

== k

iist y')$

7

Dan estimasi varians darist)

adalah

%@.@


19/38

5kman ($@7@) member solusi seara teori. Cohran($@>$) melakukan perobaan atau

penilitian guna membuktikan teori seara empirisme. ethi ($@>3) menurunkan solusi untuk

nilai optimum dari kasus strata populasi dan Aess, ethi dan Balakrishnan ($@>>) mena1ab

masalah ini dengan persamaan seara empiris. +ada bab ini akan diterangkan seara rini

tentang konsep ' konsep dari stratiikasi, meskipun hasilnya berupa pendekatan dan terbatas

pada penerapannya.

Dari k strata, mengandung nilai ' nilai subbagian dari y$, y%, . . . , yk!$ sehingga

!yyya k


20/38

H)(IH)(I %$%

$$

%%+

++

++ iiiiiiii )yS()yS(

(3.$E.3),

dan ,

$

%$

%

$$

%% H)(IH)(I

+

+

++

+

+

i

iiii

i

iiii

S

)yS(

S

)yS(

(3.$E.


21/38

3.11 *ENENT!KAN 9!*LA7 STRATA

Didalam konteks dalam pengambilan umlah strata, poin yang mesti diperhatikan adalah

(i) Bagaimana =(

y

st) berkurang pada saat k bertambahF

(ii) Bagaimana dengan biaya survei mempengaruhi umlah kF

Dalenius dan urney ($@7$), Dalenius ($@73), Cohran ($@>$), ethi ($@>3), dan Aess,

ethi, dan Balakrishman($@>>) membahas pertanyaan dan beberapa model yang telah

diusulkan untuk menentukan umlah strata. 2ntuk yang kedua yang berkenaan pengaruh

biaya pada umlah k melebihi > akan kurang eisien. Beberapa hasil yang telah diteliti seara

signiikan pada survei telah dibahas pada bagian atas.

Aal itu dapat ditunukkan dengan mudah bah1a stratiikasi menambah eisiensi ikaumlah strata bertambah. Batas atas dari strata adalah ukuran sampel sampai pada poin yang

terseleksi pada tiap strata. Tetapi dapat uga ditunukkan bah1a keragaman strata melebihi

yang seharusnya maka metode strata tidak eisien. Dalam survei skala besar, maka tidak

ukup eisien dengan menambah umlah strata sampai dengan kemungkinan umlah

maksimum karena akan berpengaruh pada biaya yang besar. Aal itu telah diperkirakan oleh

Dalenius ($@73) bah1a rasio varians estimasi dari rata ' rata populasi berdasarkan k strata

optimum terhadap k!$ strata optimum adalah (k!$)%8k%yaitu

%%

$ 8)$())(8( kkyVyV stkstk =

(3.$$.$)

Aubungan ini dapat dibuktikan oleh Cohran ($@>$) untuk nilai k#%, 3, dan


22/38

-umlah strata optimum kemudian dapat ditetapkan dengan baik.

3.12 *ETO,E PENGGOLONGAN STRATA

0etika kita bertemu dengan populasi yang beragam dan untuk memberikan gambaran agar

mudah di kerakan maka dengan strata dapat dipilih sampel pada tiap strata yang telah

dikelompokkan menurut karakteristiknya masing ' masing. Dalam penelitian, hal itu tidak

mungkin menduga varians rata ' rata. 2ntuk menduga parameter varians rata ' rata

dikelompokkan dalam strata berkelompok. *engelompokkan bagian tiap strata yang tidak

auh berbeda karakteristiknya disebut metode penggolongan strata.

Diberikan unit dalam keadaan berpasangan,ij

y

dan%j

y

, dimama adalah nilai dari $

sampai k8%, k merupakan umlahnya. 0emudian rata ' rata dari sampel adalah

)(%)()()(%$%$%$

%%

jjjjjj yy.y.y.yy. +=

%$%%

$$

%)$()$(

%%

%%

jjj

j

jjj

j

jj yyS

'

')S

'

')

++

+=

)()$(

)( %%%%%

%$%$ jj

j

jjj SS

'

')) +

+=

(3.$%.$)

+ada saat nilai sienya sama N, maka

+= %8

%%8

%)()()( %$

%$

k

j

jj

k

jstjj ))yVyy.

(3.%$.%)

"ni menunukkan bah1a seara kuantitati

%8

%)(%$

k

jjj yy

, digunakan pada saat

mengestimasi varians, kemudian

)( styV

. 0edua pernyataan dapat ditiadakan ika strata

dibentuk menadi kelompok dan perbedaan nilai tiap strata keil. Dengan kata lain

memasangkan data yang telah tersusun menunukkan persamaan sie total nilai y.

Aartley, 4ao, dan 0eier ($@>@) memberikan pernyataan sebuah metode yang berbeda

dengan ara di atas. *ereka menunukkan dengan mengestimasi rataan pada strata pada

regresi linier. *etode ini memberikan nilai bias yang lebih keil dalam mengestimasi varians,

dalam berbagai keadaan. Ouller ($@;E) uga mengembangkan konsep strata yang

menunukkan tidak bias pada =(

y

st) dengan satu unit per strata untuk sama dan tidaknyapeluang sampel terpilih.


23/38

3.12 STRATIIKASI SETELA7 SA*PEL TERSELEKSI :POST-

STRATIFICATION;

Dalam stratiikasi diasumsikan bah1a ukuran strata dan rame sampel pada tiap strata

tersedia. Bagaimanapun uga ada ontoh yang akhirnya tidak tersedia yang menunukkan

datar sampel , umur tiap individu tersedia, meskipun tidak ada perbedaan antara datar

sampelnya dengan umurnya. Dengan bermaam ' maam karakteristik yang ook untuk

distratiikasi, hal ini tidak mungkin terambilnya sampel. *aka post / stratifiation

bergantung pada pengklasiikasian populasi dan terambilnya sampel dari umlah unit dalam

strata. *asalah dari metode ini dibahas oleh Aansen, Aur1it, dan *ado1 ($@73). +rosedur

yang sederhana untuk menduga varians dengan metode ini diberikan oleh 9illiams ($@>%).

0ita akan mengui kebaikan dalam menentukan presisinya.

Diberikan asumsi bah1a Ni dan 9i (i # $, %, . . . , k) diketahui. -ika sampel

dipertimbangkan berdasarkan sampel berstrata, makanilai rata

y

dengan menggunakan

)(

=k

iii"

y(y

yang merupakan -n!iased estimatorbagi

). ebab untuk setiap nilai i

iiii )).ny..y.

=== )()Q()( $$%$(3.$3.$)

Dan

=== ))(y.(y. ik

iii

k

ii"

)()(

(3.$3.%)

2ntuk selanutnya kita akan mengira sie sampel yang besar dan tidak ada nilai n is (i #

$, . . . , k) yang E. *aka

= k

iiiiiki" S('nnnyV

%%)8$8$()....Q(

(3.$3.3)

Dengan menggunakan varians bersyarat maka rumus $.3.$E menadi

)....Q()....Q()( %$$%$ ki"k"" nny.VnnyV.yV

+=

)....Q( $%$ k" nnyV.

=

0arena nilai n"independen, maka


24/38

H)8$8$(I %%$ iik

iii S('n. =

%%)H8$)8$(I iik

i

ii S('n. =

(3.$3.E) telah memberikan solusi yang menarik dan

sederhana untuk masalah ini. Langkah!langkahnya adalah sebagai berikut

(i) 0onsep kuadrat dari sel

%ndengan n baris dan n kolom

(ii) +ilih n dengan peluang yang sama sehingga tidak ada dua sel pada kolom atau barisyang sama.


25/38

(iii) abung n baris ke dalam k strata sehingga strata ke i memiliki alokasi dari unitin

,

dan

(iv) abung n kolom ke dalam k strata sehingga strata ke memiliki alokasi unit

jn

.

*isalkan

ijn

menadi umlah sel dari strata ke i yang terpilih dalam sampel. 5stimator

(penduga) yang tak bias dari rata!rata populasi adalah sebagai berikut

=i j

ijijiju yn0ny 8$

(3.$


26/38

oodman dan 0ish ($@7E) menyarankan sebuah prosedur pemilihan yang dinamakan

pemilihan terkontrol, yang mempertimbangkan apa yang diperlukan yaitu bah1a kombinasi

tertentu dari unit!unit atau kombinasi yeng terpilih memiliki peluang yang lebih besar dalam

pemilihan dan peluang yang lebih keil dalam pemilihan untuk semua kombinasi yang tidak

terpilih. /ndaikan, dalam sebuah petak gandum, dianurkan untuk memilih sebuah sampelaak dan sederhana dari dua lahan untuk mengestimasi rata!rata hasil per hektar. Dalam

sampel, ada tiga kemungkinan (i) kedua lahan teririgasi, (ii) kedua lahan tidak teririgasi atau

(iii) satu lahan teririgasi dan yang lainnya tidak teririgasi. Tidak diragukan lagi, seluruh

sampel akan memberikan hasil estimasi yang tak bias dari rata!rata hasil, tetapi dua sampel

dari kemungkinan yang pertama akan melebihi perkiraan atau parameternya. 6leh karena itu,

dilakukanlah pengelompokan lahan ke dalam dua strata, pertama yaitu lahan teririgrasi dan

strata lainnya yaitu lahan yang tidak teririgasi, dan kemudian memilih sampel aak dan

sederhana dalam satu lahan dari tiap strata. ampel tersebut disebut sampel terpilih dan

lainnya dapat disebut sampel tidak terpilih. +ada tahapan ini, mungkin disebutkan bah1a

peluang beberapa atau semua kombinasi yang terpilih meningkat dan beberapa atau semua

kombinasi yang tidak terpilih berkurang. -adi, pemilihan sampel berstrata dapat dikatakan

suatu metode dari pemilihan terkontrol. Bagaimanapun uga, dalam hal ini 1aktu pemilihan

terkontrol digunakan dalam penambahan kontrol pada stratiikasi untuk memperkeil varians

yang mengestimasi parameter. Aess, 4iedel dan 0itpatrik ($@>$) menggambarkan metode

dan mendapatkan rumus untuk mengestimasi varians estimator dan varians yang

diestimasikan. +endekatan lainnya, menggunakan desain blok yang tidak sempurna, telah

dibahas oleh /vadhani dan ukhatme ($@;3). Dalam hal ini, kita dapat menggambarkan

metode untuk mengui bagaimana peluang dari sampel yang terpilih dapat ditingkatkan.

*isal /,B,C,D merupakan < lahan yang teririgasi dikumpulkan ke dalam strata " dan

misal a.,b,,d,e merupakan 7 lahan yang tidak teririgasi ke dalam strata "". /ndaikan, lebih

auh diketahui bah1a /,B,a dan b tidak diberi pupuk, memiliki kode E, dan lahan C,D,,dan e

diberi pupuk, memiliki kode $. +er1akilan masing!masing dari dua tipe pemberian pupuk

uga diperlukan, tetapi hanya satu unit (lahan) diambil dari tiap i srata. Dalam penumlahan

unit tiap strata, sebuah subsript mengindikasikan tipe aplikasi pemupukan. +ada pemilihan

terkontrol, suatu usaha dibuat untuk meningkatkan peluang dari sampel yang terpilih. alah

satu ara untuk menapainya adalah mengubah unit dalam strata "" agar sampel yang disukai

terpilih pertama. emua kemungkinan sampel dalam stratiikasi dan pemilihan terkontrol,

dengan peluang mereka adalah sebagai berikut

Tael 3.3 Sem(a Kem(nkinan Sampel %alam Strati4ikasi %an Pemili


27/38

r'l

I

II

A8

B8

61

,1

A8

B8

c1

%1

e1

EEa#

A88

A8c1

A8%1

A8e1

B8a1

B81

B8c1

B8%1

B8e1

8.8#

8.8#

8.8#

8.8#

8.8#

8.8#

8.8#

8.8#

8.8#

8.8#

61a8

618

61c1

61%1

61e1

,1a8

,18

,1c1

,1%1

,1e1

8.8#

8.8#

8.8#

8.8#

8.8#

8.8#

8.8#

8.8#

8.8#

8.8#

A8

B8

61

,1

61

,1

E1

A8

B8

A8c1

A8%1

B8%1

B8c1

61e1

61a8

,1a8

,18

8.28

8.8#

8.1#

8.18

8.18

8.1#

8.8#

8.28

Dalam pemilihan sampel berstrata, ika unit /E atau BEdiambil dari strata ", kita dapat

mengambil $ ,d$ , atau e$dari strata "" agar kedua tipe stratiikasinya sekarang ialah ukuran

sampel %. ama halnya, C$ atau D$(starat ") dengan aE atau bE (strata ""). +eluang atau

kombinasi yang dinginkan adalah E,7 S E,>P E,7 E,


28/38

++=ji

ji

ij

j

j

i

i

pp

yyp

p

y

p

y)V

%%

)(

(3.$7.%)

:ang berbeda dari pemilihan independent

Lati


29/38

3.3 =ariasi S,, yang bukan bernilai negative mengikuti distribusi eksponensiald2e i

2

.

+opulasinya dibagi ke dalam % strata pada titik tertentuE2

,dan sampel aak berstrata

berukuran n yang diambil dengan alokasi proporsional. Cari)( st2V

sebagai suatu ungsi

dari . Cari uga nilai optimum dariE2

yang akan meminimumkan nilai varians

3.< =ariasi y mengikuti distribusi retangulardalam interval (a,aPd). "ntervalnya dibagi ke

dalam sub interval k stara berukuran sama. Dari tiap strata, sebuah sampel aak dan

sederhana berukuran nk unit diambil. *isal$V

dan%V

menadi varians untuk sampel

berstrata dan sampel bukan berstrata berukuran n, buktikan bah1a

%

%$ 8 = kVV

3.7 2ntuk populasi normal N(E,$), (y) merupakan ordinat pada y dan 1 merupakan

penimbang antara$y

dan%y

. -ika distribusinya memotong pada$y

dan%y

, tunukan

bah1a rata!rata * dan varians

%Spada perpotongan distribusinya yaitu

*#

"yfyf 8)V()(W %$ , dan

%

%

%$%%$$% )H()(I)()($"

yfyf

"

yfyyfyS

=

3.> uatu populasi dibagi ke dalam % strata berukuran%$dan''

dan standar deviasinya

%$danSS

. Biaya surveinya tetap dan persamaannya yaitu C#%%$$

nn +. /sumsikan

bah1a%$danSS

hampir sama dan p nya dapat diabaikan, tunukan bah1a

%

%%$$%%$$ )8()(8 '''''VV optprop ++=

-ika%$ '' =

, hitung ketelitian peningkatan relati dengan alokasi proporsional ketika

$8 $% = dan %


30/38

3.; +eneliti ingin mengambil sampel aak berstrata dengan mengikuti asumsi yaitu

Stratai' iS i3

:%alam Rs.;

1

2

"88

)88

18

28

"

5

(i) +erkirakan nilai

nn 8$dan

nn 8%yang meminimumkan biaya total

C#%%$$ nn +untuk menyari nilai

)( styV

(ii) +erkirakan total sampel yang diperlukan , dengan menggunakan alokasi

6ptimum, untuk membuat

)( styV

#$,ketika p diabaikan.

(iii) +erkirakan uga biaya survey

3. etelah sampel pada latihan 3.; diambil, ditemukan bah1a biaya penelitian sebenarnya

4s. % per unit pada stara $ dan 4s. $E pada strata %.

(i) Berapa besarnya biaya penelitian yang berubah dari nilai yang diharapkan

(ii) -ika biaya penelitiannya diketahui naik, bagaimana bisa dihasilkan nilai

)( styV

#$

untuk perkiraan biaya yang telah diberikan pada latihan 3.;

3.@ 2ntuk memperkirakan rata!rata hasil penangkapan ikan di 1ilayah tertentu di pesisir

"ndia, sepanang pesisir dibagi ke dalam dua strata geograi dengan umlah yang sama

pada pusat penangkaran ikan. Di antara seumlah besar pusat pada tiap strata, sebuah

sampel aak dan sederhana dari kelima pusat dan uga pada tiap pusat dipilih, keluar

seumlah unit, 3 unit dipilih dengan pemilihan sampel aak dan sedehana (4) untuk

menatat berat dari hasil penangkapan. Datanya adalah sebagai berikut

S N' P(sat Besarn/a penankapan /an terpili


31/38

:k;

1 2 3

Strata I

Strata II

1

2

3

"

#

1

2

3

"

#

)18

25-

110-

125-

0)8

180#

01-

528

#11

58)

-#"

"11

52

#33

3#-

5#)

-3)

)1)

320

558

)00

#1#

"0-

1138

)#)

508

52)

185

"12

-3)

Carilah perkiraan rata!rata hasil penangkapan per unit, untuk di pesisir, beserta standar

error nya. 2ntuk seumlah pusat yang terpilih, berapakah selisih optimum di antara %

strata ketika umlah dari unit yang terpilih pada pusat adalah 3 dan , >!$7, dan $7 ke atas pada masing!masing. ebuah sampel aak dan sederhana

dari tiap strata dipilih, dan umlah kebun apelnya diatat pada desa yang terpilih.

-umlah kebun apel untuk beragam strata adalah

Strata 9(mla< t'tal 9(mla< %esa

/an terpili

#

)

-

0

5

121

11#

123

183

)3

1"

1"

1"

1"

1"

"202

1133"

2585

#-#3

18882

:##20#3;2

:"3223)"; 2

:1202))#; 2

:18130-2; 2

:250#"#); 2

520 12# #2220

3.$3 2ntuk suatu survei sosial ekonomi seluruh desa dalam suatu 1ilayah, termasuk yang

tidak berpenghuni, dikelompokkan ke dalam < strata berdasarkan ketinggian diatas

permukaan lautdn kepadatan populasinya. Dari tiap strata, dipilih $E desa dengan 4

94. Datanya dalam umlah anggota rumah tangga pada tiap sampel desa adalah

Strat

a

T'tal

>(mlaml peker>a

9(mla3).

ingh,4avindra. Some ontri!utins to the theory of onstrution of strata,+h.D

Thesis,"./8.4.".,Ne1 Delhi,($@>;).

tephan,O.O,.YThe e2peted value and variane of the reiproal and other

negative po"er of a positive Aernoulli variate, /nn.*ath.tatist.,$>,7E!

>$,($@,%3@!%3, ($@%3).

9illiams, .A.,Y+n the variane of an estimator "ith post stratifiation , -.

/mer. tatist./sso.,7;,>%%!>%;,($@>%).

3_stRatified Random SampLing

Documents

Transcript of 3_stRatified Random SampLing