VARIABEL RANDOM DISKRET DAN DISTRIBUSI

PELUANGBY

RADO YENDRA, S.Si, M.Sc

Variabel random y dikatakan diskret jika dapat Variabel random y dikatakan diskret jika dapat diasumsikan dengan diasumsikan dengan nilai yang terbatasnilai yang terbatas atau atau jumlah yang tak terbatas tapi dapat dihitungjumlah yang tak terbatas tapi dapat dihitung..

Jumlah yang tak terbatas tapi dapat dihitung Jumlah yang tak terbatas tapi dapat dihitung adalah jika elemen dalam himpunan dapat adalah jika elemen dalam himpunan dapat berhubungan satu ke satu dengan berhubungan satu ke satu dengan menggunakan bilangan bulatmenggunakan bilangan bulat

Contoh : jumlah bakteri dalam suatu area dalam Contoh : jumlah bakteri dalam suatu area dalam kajian obat untuk mengontrol pertumbuhan kajian obat untuk mengontrol pertumbuhan bakteribakteri

Jumlah televisi yang cacat dalam 100 Jumlah televisi yang cacat dalam 100 pengiriman televisi.pengiriman televisi.

Peluang sangat diperlukan untuk menafsirkan Peluang sangat diperlukan untuk menafsirkan tentang suatu populasitentang suatu populasi

Peristiwa yang diminati adalah peristiwa numerik Peristiwa yang diminati adalah peristiwa numerik yang sangat berhubungan dengan penentuan yang sangat berhubungan dengan penentuan variabel acak diskret, oleh karena itu sudah variabel acak diskret, oleh karena itu sudah sangat mendesak untuk diketahui peluang dari sangat mendesak untuk diketahui peluang dari peristiwa numerik tersebut.peristiwa numerik tersebut.

Karena beberapa jenis variabel random sering Karena beberapa jenis variabel random sering terjadi dalam prakteknya, oleh sebab itu sangat terjadi dalam prakteknya, oleh sebab itu sangat diperlukan nilai peluang bagi variabel randomdiperlukan nilai peluang bagi variabel random

Dan sering suatu eksprimen memiliki sifat yang Dan sering suatu eksprimen memiliki sifat yang sama, oleh sebab itu diperlukan distribusi sama, oleh sebab itu diperlukan distribusi peluang yang dikelompokkan kepada peluang yang dikelompokkan kepada permasalah yang mempunyai sifat yang samapermasalah yang mempunyai sifat yang sama

Untuk itu diperlukan suatu Untuk itu diperlukan suatu pengetahuan tentang distribusi pengetahuan tentang distribusi peluang variabel random yang peluang variabel random yang dihubungkan dengan kebiasaan dihubungkan dengan kebiasaan jenis eksprimen yang akan jenis eksprimen yang akan menghilangkan kebutuhan menghilangkan kebutuhan untuk memecahkan masalah untuk memecahkan masalah peluang yang samapeluang yang sama..

Penggunaan huruf besar seperti Y Penggunaan huruf besar seperti Y menggambarkan variabel acak sedangankan menggambarkan variabel acak sedangankan huruf kecilnya seperti y menyatakan beberapa huruf kecilnya seperti y menyatakan beberapa nilai dimana variabel random diasumsikannilai dimana variabel random diasumsikan

Contoh : misal Y adalah 6 nilai kemungkinan Contoh : misal Y adalah 6 nilai kemungkinan yang diobservasi ketika dadu dilempar, setelah yang diobservasi ketika dadu dilempar, setelah dadu dilembar nilai yang nyata yang diminati dadu dilembar nilai yang nyata yang diminati akan diberikan oleh y. akan diberikan oleh y.

Sehingga dapat diambil suatu keputusan bahwa Sehingga dapat diambil suatu keputusan bahwa Y adalah variabel randaom sendangkan y tidak Y adalah variabel randaom sendangkan y tidak random.random.

Pernyataan (Y=y) dapat diartikan sebagai Pernyataan (Y=y) dapat diartikan sebagai himpunan semua titik dalam ruang sampel yang himpunan semua titik dalam ruang sampel yang dberikan y oleh variabel random Ydberikan y oleh variabel random Y

Definisi : Peluang Y yang mengambil nilai Definisi : Peluang Y yang mengambil nilai y, P(Y=y) didefinisikan sebagai y, P(Y=y) didefinisikan sebagai jumlah peluang semua titik jumlah peluang semua titik sampel dalam ruang sampel sampel dalam ruang sampel yang diberikan nilai y. yang diberikan nilai y.

Kadang-kadan penulisan P(Y=y) disingkat Kadang-kadan penulisan P(Y=y) disingkat dengan P(y)dengan P(y)

Definisi : Distribusi peluang untuk variabel Definisi : Distribusi peluang untuk variabel diskret Y dapat dinyatakan dengan diskret Y dapat dinyatakan dengan rumus, tabel atau grafik,rumus, tabel atau grafik, yang diberikan yang diberikan oleh oleh P(Y=y) untuk semua yP(Y=y) untuk semua y

Contoh : pengawas pabrik memiliki 3 karyawan Contoh : pengawas pabrik memiliki 3 karyawan pria dan tiga karyawan wanita. Dia ingin memilih pria dan tiga karyawan wanita. Dia ingin memilih dua karyawan untuk suatu pekerjaan yang dua karyawan untuk suatu pekerjaan yang khusus, dia memutuskan untuk memilih dua khusus, dia memutuskan untuk memilih dua pekerja tersebut secara acak. Misal Y adalah pekerja tersebut secara acak. Misal Y adalah jumlah wanita terpilih, tentukan distribusi jumlah wanita terpilih, tentukan distribusi peluang Y.peluang Y.

Untuk menjawab ini, terlebih dahulu anda Untuk menjawab ini, terlebih dahulu anda mengingat bahwa peluang adalah hasil bagi mengingat bahwa peluang adalah hasil bagi peristiwa dan ruang sampel. Ruang sampel peristiwa dan ruang sampel. Ruang sampel dalam soal ini jelas adalah memilih 2 orang dari dalam soal ini jelas adalah memilih 2 orang dari 6 pekerja yaitu 6 pekerja yaitu

152

6

Selanjutnya pemberian nilai y sangat diperlukan Selanjutnya pemberian nilai y sangat diperlukan pada soal ini, yaitupada soal ini, yaitu

Untuk itu ada 3 pristiwa yang diminati yang Untuk itu ada 3 pristiwa yang diminati yang berhubungan dengan y, dan harus dicari berhubungan dengan y, dan harus dicari peluangnyapeluangnya

y = 0 dua orang terpilih tak satupun wanita

y = 1 dua orang terpilih satu wanita

y = 2 dua orang terpilih kedua-dua wanita

15

3

2

6

2

3

0

3

0

YPyYP?

SelanjutnyaSelanjutnya

Penulisan dalam bentuk tabel dapat dilakukan Penulisan dalam bentuk tabel dapat dilakukan sebagai sebagai

Selanjutnya penulisan dalam bentuk rumus Selanjutnya penulisan dalam bentuk rumus adalahadalah

15

9

2

6

1

3

1

3

1

YPyYP 15

3

2

6

0

3

2

3

2

YPyYP

yy P (Y=y)P (Y=y)

00 3/153/15

11 9/159/15

22 3/153/15

2,1,0,

2

6

2

33

yyy

yYP

Secara grafik dapat digambarkan sebagai Secara grafik dapat digambarkan sebagai berikutberikut

Theorema : Untuk distribusi peluang diskret hal Theorema : Untuk distribusi peluang diskret hal berikut harus terpenuhi berikut harus terpenuhi

0 1 2

3/15

9/15

1.2

10.1

yyp

ysemuauntukyp

CONTOH-CONTOH SOALCONTOH-CONTOH SOAL

BYBY

RADO YENDRA, S.Si, M.ScRADO YENDRA, S.Si, M.Sc

Anda dan teman anda bermain anda sebuah Anda dan teman anda bermain anda sebuah permainan dimana tiap kamu melantunkan permainan dimana tiap kamu melantunkan sebuah koin. Jika kedua muncul belakang, kamu sebuah koin. Jika kedua muncul belakang, kamu akan menang $ 1, jika kedua muncul muka akan menang $ 1, jika kedua muncul muka kamu akan menang $ 2, jika koin tidak seimbang kamu akan menang $ 2, jika koin tidak seimbang (satu muka dan satu belakang) kamu akan kalah (satu muka dan satu belakang) kamu akan kalah $ 1 (mengan $ -1), berikan distribusi peluang $ 1 (mengan $ -1), berikan distribusi peluang untuk kemengan kamu (Y) untuk kemengan kamu (Y)

Jawab : pikirkanlah ruang sampel yang terjadi, Jawab : pikirkanlah ruang sampel yang terjadi, yaitu MM, MB, BM, BB dan berikan variabel yaitu MM, MB, BM, BB dan berikan variabel acak yang dimaksud yaitu : 2,-1,-1,1 lalu acak yang dimaksud yaitu : 2,-1,-1,1 lalu nyatakan distribusi peluang dalam bentuk tabel nyatakan distribusi peluang dalam bentuk tabel seperti pada tabel slide berikutseperti pada tabel slide berikut

Tabel distribusi peluangTabel distribusi peluang

Contoh : lima bola diberi label 1,2,3,4,5 Contoh : lima bola diberi label 1,2,3,4,5 diletakkan dalam satu mangkuk. Dua bola diambil diletakkan dalam satu mangkuk. Dua bola diambil secara acak dari 5 bola, dan bilangan mereka secara acak dari 5 bola, dan bilangan mereka dicatat. Tentukan distribusi peluang berikut :dicatat. Tentukan distribusi peluang berikut :

a. Yang terbesar dari jumlah dua sampela. Yang terbesar dari jumlah dua sampel

b. Jumlah dari dua sampelb. Jumlah dari dua sampel

yy p (y)p (y)

-1-1 ½½

11 ¼¼

22 ¼¼

Jawab : perhatikan ruang sampel yang mungkinJawab : perhatikan ruang sampel yang mungkin S = {(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),S = {(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4), (2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)} Selanjutnya perhatikan varibel random untuk Selanjutnya perhatikan varibel random untuk

soal a 2,3,4,5,3,4,5,4,5,5. Sehingga distribusi soal a 2,3,4,5,3,4,5,4,5,5. Sehingga distribusi peluang adalahpeluang adalah

Selanjutnya untuk soal b adalahSelanjutnya untuk soal b adalah

yy p(y)p(y)

22

33

44

55

0,10,1

0,20,2

0,30,3

0,40,4

Perhatikan variabel random untuk soal ini Perhatikan variabel random untuk soal ini adalah 3,4,5,6,5,6,7,7,8,9. Dan dapatkan adalah 3,4,5,6,5,6,7,7,8,9. Dan dapatkan distribusi peluang dalam bentuk tabel berikut :distribusi peluang dalam bentuk tabel berikut :

Kadang soal secara tak langsung telah Kadang soal secara tak langsung telah menyebutkan peluang untuk setiap titik sampel menyebutkan peluang untuk setiap titik sampel tertentu, seperti pada contoh soal berikut :tertentu, seperti pada contoh soal berikut :

yy p(y)p(y)

33

44

55

66

77

88

99

0,10,1

0,10,1

0,20,2

0,20,2

0,20,2

0,10,1

0,10,1

Dengan tujuan memperjelas keakuratan Dengan tujuan memperjelas keakuratan hitungan finansial, perusahaan menggunakan hitungan finansial, perusahaan menggunakan auditors secara regular untuk memferifikasi auditors secara regular untuk memferifikasi kesalahan akounting, pekerja perusahaan kesalahan akounting, pekerja perusahaan membuat kesalahan 5%, andaikan auditors membuat kesalahan 5%, andaikan auditors mencek secara acak 3 masukkan, dapatkanmencek secara acak 3 masukkan, dapatkana. distribusi peluang untuk Y, jumlah kesalahan a. distribusi peluang untuk Y, jumlah kesalahan yang ditemukan oleh auditor yang ditemukan oleh auditorb. tentukan peluang bahwa auditor akan b. tentukan peluang bahwa auditor akan menemukan kesalahan lebih dari 1menemukan kesalahan lebih dari 1

Jawab : pertama tentukan ruang sampel yang Jawab : pertama tentukan ruang sampel yang berkenaan dengan Y, yaitu, EEE, EEN, ENE, berkenaan dengan Y, yaitu, EEE, EEN, ENE, NEE, ENN, NEN, NNE,NNN.NEE, ENN, NEN, NNE,NNN.E = errorE = errorN = tidak errorN = tidak error

Kemudian tentukan y = 0,1,2,3. Dan dapatkan Kemudian tentukan y = 0,1,2,3. Dan dapatkan peluang-peluang berikut :peluang-peluang berikut :

P(Y=3) = P(EEE) = (0,05) (0,05) (0,05) = P(Y=3) = P(EEE) = (0,05) (0,05) (0,05) = 0,0001250,000125

P(Y=2) = P(EEN) + P(ENE) + P(NEE)P(Y=2) = P(EEN) + P(ENE) + P(NEE)

3 (0,05) (0,05) (0,95) = 0,0071253 (0,05) (0,05) (0,95) = 0,007125

P(Y=1) = P(ENN) + P(NEN) + P (NNE)P(Y=1) = P(ENN) + P(NEN) + P (NNE)

3 (0,05) (0,95) (0,95) = 0,1353753 (0,05) (0,95) (0,95) = 0,135375

P(Y=0) = P(NNN) = (0,95) (0,95) (0,95) P(Y=0) = P(NNN) = (0,95) (0,95) (0,95) = 0,857375 = 0,857375

0,007125

0

0,000125

123

p(y)

y

0,8573750,135375

NILAI HARAPAN VARIABEL NILAI HARAPAN VARIABEL ACAK ATAU FUNGSI ACAK ATAU FUNGSI

VARIABEL ACAKVARIABEL ACAK

BYBY

RADO YENDRA, S.Si, M.ScRADO YENDRA, S.Si, M.Sc

Definisi : misal Y adalah variabel random diskret Definisi : misal Y adalah variabel random diskret dengan fungsi peluang p (y), maka nilai harapan dengan fungsi peluang p (y), maka nilai harapan dari Y. E(Y) didefinisikan sebagai dari Y. E(Y) didefinisikan sebagai

Theorema : misal Y variabel random diskret Theorema : misal Y variabel random diskret dengan fungsi peluang p (y), dan g(y) adalah dengan fungsi peluang p (y), dan g(y) adalah fungsi bernilai real dari Y, maka nilai harapan fungsi bernilai real dari Y, maka nilai harapan g(y) diberikan oleh g(y) diberikan oleh

y

yypyE

y

ypygygE

Definisi : varians dari variabel random Y Definisi : varians dari variabel random Y didefinisikan sebagai nilai harapan (Y-didefinisikan sebagai nilai harapan (Y-μμ))22, yakni, yakni

simpangan baku adalah akar positif V (Y)simpangan baku adalah akar positif V (Y) Theorema : misal Y variabel acak diskret Theorema : misal Y variabel acak diskret

dengan fungsi peluang p (y) dan c adalah dengan fungsi peluang p (y) dan c adalah konstan, maka E(c) = ckonstan, maka E(c) = c

Theorema : misal Y adalah variabel acak diskret Theorema : misal Y adalah variabel acak diskret p(y), g(Y) adalah fungsi dari Y, dan c adalah p(y), g(Y) adalah fungsi dari Y, dan c adalah konstan, makakonstan, maka

2 YEYV

YgcEypygcypycgygEcyy

Theorema : misal Y adalah variabel acak diskret Theorema : misal Y adalah variabel acak diskret dengan fungsi peluang p (y) dan gdengan fungsi peluang p (y) dan g11(Y), (Y),

gg22(Y), …,g(Y), …,gkk(Y) dalah k fungsi dari Y, maka(Y) dalah k fungsi dari Y, maka

Theorema : misal Y adalah variabel acak dengan Theorema : misal Y adalah variabel acak dengan fungsi peluang p (y), makafungsi peluang p (y), maka

Contoh : Menager industri perkebunan Contoh : Menager industri perkebunan merencanakan untuk membeli mesin baru dengan merencanakan untuk membeli mesin baru dengan type A maupun type B, jika t menotasikan jumlah type A maupun type B, jika t menotasikan jumlah waktu operasi harian, jumlah perhari perbaikan Ywaktu operasi harian, jumlah perhari perbaikan Y11

diperlukan mesin bertipe Adiperlukan mesin bertipe A

YgEYgEYgEYgYgYgE kk 2121

2222 YEYEYV

Adalah variabel acak dengan rata-rata dan Adalah variabel acak dengan rata-rata dan variansi yang sama yaitu 0,10 t, jumlah harian variansi yang sama yaitu 0,10 t, jumlah harian perbaikan Yperbaikan Y22 untuk mesin berjenis B adalah untuk mesin berjenis B adalah

variabel acak dengan rata-rata dan variansi variabel acak dengan rata-rata dan variansi yang sama 0,12 t. Jumlah biaya operasi mesin A yang sama 0,12 t. Jumlah biaya operasi mesin A adalah Cadalah CAA(t) = 10 t + 30 Y(t) = 10 t + 30 Y11

22 sedangkan untuk sedangkan untuk

jenis B adalah Cjenis B adalah CBB (t) = 8 t + 30 Y (t) = 8 t + 30 Y2222, Pertanyaan, Pertanyaan

mesin mana yang nilai harapan biaya perhari mesin mana yang nilai harapan biaya perhari terkecil, jika pekerjaan satuhari terdiri dariterkecil, jika pekerjaan satuhari terdiri dari

a. 10 jama. 10 jam

b. 20 jamb. 20 jam

Nilai harapan untuk mesin A dan mesin B, Nilai harapan untuk mesin A dan mesin B, adalahadalah

2

2

222

22

22

2

2

211

21

21

432,06,11

12,012,0308

308

308308

3,013

10,010,03010

3010

30103010

tt

ttt

YEYVtE

YEtEYtEtCE

tt

ttt

YEYVtE

YEtEYtEtCE

B

A