SISTEM PERSAMAAN LINIERDUA VARIABEL

Sistem persamaan linier dua variabel adalah dua persamaan linier dan dua variabel yang hanya memiliki satu titik penyelesaian.

Bentuk umum :a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

Mencari himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier dua variabel ada 4 cara :

1. metode grafik2. metode subsitusi3. metode eliminasi4. metode eliminasi dan subsitusi.

METODE SUBSITUSI

Metode subsitusi dimulai dengan menyatakan sebuah variabel dari salah satu sistem persamaan linier dua variabel dalam variabel lain.

Contoh Soal - 1

Himpunan penyelesian dari : 2x + y = 6 dan x – y = - 3, adalah . . .

a . {(1,2)}b. {(1,4)}c. {(2,4)}d. {(2,-4)}

Pembahasan :

2x + y = 6 y = 6 – 2x ...............(1) x – y = -3 .....................................(2)Subsitusikan persamaan (1) ke (2),

x - y = -3 x - ( 6 – 2x ) = -3x – 6 + 2x = -3 3x - 6 = -3 3x = -3 + 6

3x = 3 x = 1

Subsitusikan x = 1 ke persamaan (1),maka: y = 6 – 2x y = 6 – 2(1) y = 6 – 2 y = 4

Jadi, Himpunan penyelesaiannya : {(1, 4)}

Contoh Soal – 2

Himpunan penyelesian dari :x – 3y = -7 dan 2x + 3y = 4 adalah . . .

a. {(1,2)}b. {(-1,2)}c. {(-1,-2)}d. {(2,-1)}

Pembahasan :

x - 3y = -7 x = -7 + 3y ...............(1) 2x +3 y = 4 .........................................(2)

Subsitusikan persamaan (1) ke (2),2x + 3 y = 4 2( -7+ 3y) + 3y =4-14 + 6y + 3y = 4 9y = 4 + 14 9y = 18 y = 2

Subsitusikan y = 2 ke persamaan (1),maka:x = -7 + 3y = -7 + 3 ( 2) = -7 + 6 = - 1

Jadi, Himpunan penyelesaiannya : {(-1, 2)}

Contoh Soal – 3

Himpunan penyelesian dari :3x – 2y = 7 dan 2x + y = 14 adalah {(a,b)}. Nilai a + b = . . ..

a.4b.5c. 7d. 9

Pembahasan :

2x + y = 14 y = 14 – 2x............(1) 3x - 2 y = 7.......................................(2)Subsitusikan persamaan (1) ke (2),3x - 2 y = 7 3x – 2( 14 – 2x ) = 73x -28 + 4x = 7 7x = 7 + 28 7x = 35 x = 5 a = 5

Subsitusikan x = 5 ke persamaan (1),maka:y = 14 – 2x = 14 – 2(5) = 14 - 10 = 4 b = 4

Nilai a + b = 5 + 4 = 9

METODE ELIMINASI

Metode eliminasi adalah cara untuk mendapatkan nilai pengganti suatu variabel melalui penghilangan variabel yang lain. Untuk mengeliminasi suatu variabel, langkah pertama yang dilakukan adalah menyamakan koefisien variabel tersebut.

Contoh Soal - 1

Determine the solution : 2x + y = 6 and x – y = - 3

Pembahasan :

Mencari nilai x dengan mengeliminasi y : 2x + y = 6 x – y = -3 -------------- +

3x = 3 x = 1

Pembahasan :

Mencari nilai y dengan mengeliminasi x : 2x + y = 6 x 1 2x + y = 6

x – y = -3 x 2 2x – 2y = -6 -------------- - 3y = 12 y = 4

Jadi Himpunan penyelesaian : {(1,4)}.

Contoh Soal – 2

Himpunan penyelesian dari :x – 3y = -7 dan 2x + 3y = 4 adalah . .

a. {(1,2)}b. {(-1,2)}c. {(-1,-2)}d. {(2,-1)}

Pembahasan :

Mencari nilai x dengan mengeliminasi y :

x – 3y = -72x + 3y = 4 -------------- + 3x = - 3

x = - 1

Karena koefisien y sudah sama dan berlawanan langsung di eliminasi.

Pembahasan :

Mencari nilai y dengan mengeliminasi x : x - 3 y = -7 x 2 2x - 6 y = -14 2x +3y = 4 x 1 2x + 3y = 4 ------------------- - -9 y =- 18 y = 2

Jadi Himpunan penyelesaian : {(-1,2)}.

Contoh Soal – 3

Himpunan penyelesian dari :3x – 2y = 7 dan 2x + y = 14 adalah . . ..

a. {(4, 5)}b. {(5,4)}c. {(-4,5)}d. {(4,-5)}

Pembahasan :

Mencari nilai x dengan mengeliminasi y :

2x + y = 14 x 2 4x + 2y = 28 3x - 2 y = 7 x 1 3x - 2y = 7 ----------------- + 7x = 35 x = 5

Mencari nilai y dengan mengeliminasi x :

2x + y = 14 x 3 6x + 3y = 42 3x - 2 y = 7 x 2 6x - 4y = 14 ----------------- - 7y = 28 y = 4

Jadi, himpunan penyelesaian : {( 5,4)}.

SOAL – 1

Penyelesaian sistem persamaan 3x –2y= 12 dan 5x + y = 7 adalah x = p dan y = q. Nilai 4p + 3q adalah . . . .

a. 17b. 1c. -1d. -17

Pembahasan :3x – 2y = 12 .....................................( 1)5x + y = 7 y = 7 – 5x .................(2 )

Subsitusikan persamaan ( 2) ke (1 )

3x – 2y = 123x – 2( 7 – 5x = 123x – 14 +10x = 12 13x = 12 + 14

x = 2................p = 2

Subsitusikan nilai x = 2 ke persamaan (2)y = 7 – 5x y = 7 – 5( 2)y = 7 – 10 = -3 ..................q = -3maka :Nilai 4p + 3q = 4( 2) + 3(-3) = 8 – 9 = -1Jadi, jawaban yang benar = -1 ......( C )

SOAL – 2

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x – 2y = 10 dan 3x + 2y = -2 adalah . . . .

a. {(-2, -4 )}b. {(-2 ,4)}c. {(2, -4)}d. {(2, 4)}

Pembahasan :

x – 2y = 10 x = 2y + 10 ........ (1)3x + 2y = -2 ..................................... (2)Subsitusikan persamaan (1) ke (2)3x + 2y = -23( 2y + 10 ) + 2y = -2 6y + 30 + 2y = - 2 8y = -32 y = - 4

Subsitusikan nilai y = -4 ke persamaan (1)x = 2y + 10x = 2(-4) + 10x = -8 + 10 x = 2

Jadi, HP adalah {( 2, -4 )}.

SOAL – 3

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linier 2y – x = 10 dan 3x + 2y = 29 adalah . . .

a. {(7, 4)}b. {(7,-4)}c. {(-4, 7)}d. {(4, 7)}

Pembahasan:

Gunakan cara eliminasi :Eliminasi y kalikan dengan koefisien y

2y – x = 10 x 3 6y – 3x = 303y + 2x = 29 x 2 6y + 4x = 58 - -7x = -28 x = -28: (-7) x = 4

Eliminasi x kalikan dengan koefisien x

2y – x = 10 x 2 4y – 2x = 203y + 2x = 29 x 1 3y + 2x = 29 + 7y = 49 y = 7

Himpunan penyelesaiannya = {( 4, 7 )}

SOAL - 4

Jika 2x + 5y = 11 dan 4x – 3y = -17, Maka nilai dari 2x – y = . . . .

a. -7b. -5c. 5d. 7

Pembahasan:

Gunakan cara eliminasi :Eliminasi x kalikan dengan koefisien x

2x + 5y = 11 x 2 4x +10y = 224x - 3y = -17 x 1 4x – 3y = -17 - 13y = -39 y = 3

Pembahasan:

Gunakan cara eliminasi :Eliminasi x kalikan dengan koefisien x

2x + 5y = 11 x 3 6x +15y = 334x - 3y = -17 x 5 20x -15y = -85 + 26x = -52 x = -2Nilai : 2x – y = 2(-2) – 3 = - 7