FUNGSI DUA VARIABEL ATAU
LEBIH
Tim Pengajar Kalkulus II
Fungsi Secara Umum
Misalkan A dan B himpunan.
Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi
jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan
tepat satu elemen di dalam B, dan dapat dituliskan:
f : A B
artinya f memetakan A ke B.
A daerah asal (domain) dari f
B daerah hasil (codomain) dari f.
Fungsi Secara Umum
Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan
(image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan
(pre-image) dari b.
a b
A B
f
Fungsi Secara Umum
Definisi fungsi real f dari dua variabel
Fungsi real f dari dua variabel x dan y adalah
suatu aturan yang menghubungkan suatu bilangan
real yang unik f(x,y) ke setiap titik pasangan
berurut (x,y) dalam himpunan domain D pada
bidang xy.
Contoh 1
Misalkan
Tentukan f(1,4), f(0,9),f(t2,t) dan tentukan domain
dari f.
13),( 2 yxyxf
Fungsi Dua Variabel
(a,b)
(a,b)
(c,d)
(e,f)
x
y
z
A B
f : (a,b) x
f
Definisi fungsi real f dari tiga variabel
Fungsi real f dari tiga variabel x, y dan z adalah
suatu aturan yang menghubungkan suatu bilangan
real yang unik f(x,y,z) ke setiap titik pasangan
berurut (x,y,z) dalam himpunan domain D pada
ruang tiga dimensi.
Contoh 2 :
Tentukan nilai f(0,1/2,-1/2) dan domain dari fungsi
2221),,( zyxzyxf
Fungsi Tiga Variabel
(a,b)
(a,b,c)
(d,e,f)
(g,h,i)
x
y
z
A B
f : (a,b,c) x
f
Grafik Fungsi
Grafik fungsi satu variabel f(x) dinyatakan sebagai
suatu grafik dari persamaan y=f(x).
Jika f fungsi dua variabel, grafik f(x,y) dinyatakan
sebagai grafik dari persamaan z=f(x,y), yang
merupakan suatu permukaan di ruang dimensi tiga.
Grafik Fungsi
Contoh
Gambarkan domain dari fungsi
Contoh
Gambarkan grafik dari fungsi
)ln(),( 2 yxyxf
22 49363
1),( yxyxfz
Lengkungan Ketinggian Fungsi
(Peta Kontur)
Jika suatu bidang z=k sejajar bidang xy memotong
permukaan z=f(x,y), dan lengkungan
perpotongannya diproyeksikan ke bidang xy, maka
tiap titik pada lengkungan proyeksi akan
berpadanan dengan suatu titik unik pada
permukaan tersebut yang k satuan di atasnya (atau
di bawahnya).
Lengkungan Ketinggian Fungsi
Jika sekumpulan n bidang serupa itu, z=ki (i= 1, 2,
3,..n) semuanya sejajar bidang xy memotong suatu
permukaan z=f(x,y) dan semua lengkungan
perpotongannya diproyeksikan pada bidang xy
maka proyeksinya merupakan pemetaan
lengkungan-lengkungan perpotongan tadi pada
bidang xy.
Tiap lengkungan proyeksi pada bidang xy
dinamakan lengkungan ketinggian (level curves)
Contoh: Gambarlah kurva tingkat z=k untuk nilai-nilai k
yang diberikan:
4,3,2,1,0
22
k
yxz
Grafik 3-D dari
4,3,2,1,022 kyxz
Contoh: Permukaan paraboloid
dan peta konturnya
22),( yxyxgz
Lengkungan Ketinggian Fungsi
Contoh
Tentukan lengkungan ketinggian fungsi
22 4936
3
1),( yxyxfz
Grafik Fungsi
Jika f fungsi tiga variabel, grafik f(x,y,z) dinyatakan sebagai grafik dari persamaan w=f(x,y,z), yang hasilnya sudah berbicara pada ruang dimensi empat.
Sehingga untuk fungsi tiga variabel hanya mungkin menggambarkan untuk daerah domainnya saja.
Contoh
Gambarkan beberapa tingkat permukaan dari persamaan 222),,( zyxzyxf
Top Related