BAB 1

INTEGRAL TAK TENTU

1.1 Definisi Integral

Jika f (x) adalahsebuahfungsi, dimanaturunandari f(x): f’(x)=f(x)

f’(x)=f(x)

d f (x )dx

=f (x )

Maka f(x) disebut anti turunanatau integral tidaktentudari f(x) ditulis∫ f ( x )dx.

1.2 Rumus-rumusdasar integral

1. ∫ d ( f (x ))dx dx=f ( x )+c

2. ∫ xr dx= 1r+1

xr+1+c

3. ∫(u+v)dx=∫udx+∫v dx

4. ∫ xu du= 1m+1

um+1+c , m ≠ -1

5. ∫ au dx=a∫u dx , a = konstanta

6. ∫ 1u

du = |n|u|+c

7. ∫ au du= au

¿na+c , a > 0 dan a ≠ 1

8. ∫ eu du=eu+c

9. ∫ du√a2+u2

=arc sin ua+c

10. ∫ duu√u2+a2

=1a

arc sec ua+c

11. ∫ dua2+u2=

1a

arc tan ua+c

12. ∫ dua2+u2=

12a

¿ [ a+ua−u ¿]+c

13. ∫ duu2+a2=

12a

¿ [ u−au+a ¿]+c

14. ∫ du√u2+a2

=¿ (u+√u2+a2 )+c

15. ∫ du√u2+a2

=¿ (u+√u2+a2 )+c

16. ∫√a2−u2 du=12

u√a2−u2+ 12

a2 arc sin ua+c

17. ∫√u2+a2du=12

u√u2+a2+12

a2∈(u+√u2+a2 )+c

18. ∫ √u2−a2 du=12

u√u2−a2−12

a2∈¿u+√u2−a2∨+c

Contoh soal :

1. ∫ ( 3 x7−4 x5+5 x3−6 x ) dx=¿ 38

x8−23

x6+ 54

x2+c ¿

2. ∫ ( x2+5 ) dx=¿∫ x2 dx+¿∫5 dx=¿ 13

x3+c ,+5 x+c=13

x3

+5 x+c¿¿¿

3. ∫ 1x3 dx = ∫ x−3= 1

−2x−2+c

4. ∫¿¿

5. ∫2 x (x2¿−1

x)dx=∫(2 x3¿−2)dx=1

2x4−2 x+c¿¿

6. ∫ x3−5 x2+6x2 dx=¿∫(x−5+6 x−2¿)dx=1

2x4−2 x+c¿¿

7. ∫ dx√1−x2

=¿arc sin x+c¿

8. ∫ dx1+x2=¿arc tan x+c¿

9. ∫ dxx √x2−1

=¿¿arc sec x + c

10. ∫ dx4 x2+9

=¿ 16

arc tan 2 x3

+c¿

11. ∫ dxx2−1

=¿ 12

¿[ x−1x+1 ¿]+c¿

12. ∫ dx1−x2 =¿ 1

2¿[ 1+x

1−x ¿]+c¿

13. ∫ dx√4 x2+9

=¿ 12∈(2 x+√4 x2+9 )+c¿

14. ∫ dx√ x2−1

=¿∈[ x+√x2−1¿]+c¿

15. ∫√25−x2 dx=12

x √25−x2+ 252

arc sin x5+c

16. ∫√x2−36 dx=12

x √x2−36−18∈[ x+√x2−36¿]+c

BAB 2

INTEGRAL TRIGONOMETRI

2.1 Rumus – rumusdasar

1. ∫sin u du=−cosu+c

2. ∫sin u du=sin u+c

3. ∫ tan udu=¿[sec u¿]+c

4. ∫cot u du=¿[sin u¿ ]+c

5. ∫ sec u du=¿[sec u+tan u¿ ]+c

6. ∫ cosecu du=¿[cosec u+cotu¿]+c

7. ∫ sec2udu=tanu+c

8. ∫ cosec2u du=−cot u+c

9. ∫ cosecu tanu du=secu+c

10. ∫ cosecu cot u du=−cosec u+c

2.2 HubunganDalamTrigometri

1. sin2 x+cos2 x=1

2. 1+ tan2 x=sec2 x

3. 1+cot2 x=cosec2 x

4. sin2 x=12(1−cos2 x)

5. cos2 x=12(1+cos2 x)

6. sin xcos x=12

sin2 x

7. sin xcos y=12(sin ( x− y )+sin (x+ y ))

8. sin x sin y=12(cos ( x− y )+cos ( x+ y ))

9. cos x cos y=12¿

10. 1−cos x=2sin2 12

x

11. 1+cos x=2 cos2 12

x

12. 1 ±sin x=1± cos(¿ 12

x−x )¿

13. tan x= sin xcos x

14. cot x= cos xsin x

15. sec x= 1cos x

16. cosec x= 1sin x

Contoh soal :

1. ∫sin 12

x dx¿2∫ sin 12

x−12

dx¿−2 cos 12

x+c

2. ∫cos 3 x dx ¿ 13∫ cos3 x−3.dx ¿ 1

3sin 3 x+c

3. ∫ tan 2 x dx¿ 12∫ tan2 x .2¿ 1

2¿[sec 2 x¿ ]+c

4. ∫ (sin x+cos x ) dx¿∫sin x dx+cos xdx ¿−cos x+sin x+c

5. ∫ (2cos x+3 sin x )dx ¿∫ 2cos xdx−∫3 sin x dx¿2 sin x+3 cos x+c

6. ∫ ( 2 sec2 x−2 tan x . sec x ) dx ¿∫ 2 sec2 x dx−∫5 tan sec x dx ❑

¿2sin x+3 cos x+c

= 2 tan x – 5 sec x + c

7. ∫cos (2x−π ) dx ¿ 12

sin (2 x−π )+c

8. ∫2 sec25 xdx ¿2∫ sec25 x dx¿2¿¿¿

9. ∫ cosec2(2 x+ 14

π)dx ¿−12

cot (2 x+ 14

π )+c

10. ∫5 tan (3 x ) . sec(3 x)¿5∫ tan (3 x ) . sec(3x )¿5¿¿¿

= 53

sec3 x+c

11. ∫cot 5 (x−12

π ) . cosec(x−12

π )dx=cosec(x−12

π )+c

12. ∫¿¿

= sin2 x+cos2 x−2sin x cox x

= 1 –sin 2x

∫( 1 –sin 2 x) dx = x – (-12

cos2 x¿+c¿

= x + 12

cos2 x+c

13. ∫cos23 x dx= ∫ ¿¿ cos 2 x =2 cos2 x−1

= ∫ 12

dx+ ∫ 12

cos6 x dx cos 2 x = 12(1+cos 2 x )

= 12

x+ 12

. 16

sin 6 x+c cos 2 3x = 12(1+cos 6 x)

= 12

x+ 112

sin 6 x+c = 12+ 1

2cos6 x

14. ∫sin 2 xcos 2 x dx= ∫ 12

sin 4 xdx sin 2x = 2 sinxcosx

= 12¿

= −18

cos 4 x+c

15. ∫sin 5 x cos2x dx= ∫ 12¿¿

Ingat : sinx cosx= 12

sin ( x+ y )+sin (x− y ) Maka

= 12

∫ sin 7 x dx+ ∫ sin3 x dx

= 12¿

= -1

14cos7 x−1

6cos3 x+c

16. ∫2 cos10 x . cos 4 x dx=∫ ¿¿¿¿¿

Ingat cosx cosy=12

cos ( x+ y ) cos ( x− y )Maka

= 1

14sin x+ 1

6sin 6 x+c

17. ∫sin3 x .cos2 x dx

Misalkan : U = cos x du = - sin x dx

∫sin 3 x .cos2 x dx=¿∫sin2 x . cos2 x sin x dx¿ sin2 x+cos2 x=1

sin2 x=1−cos2 x

= ∫ (1−cos2 x ) cos2 x sinx dx

= - ∫ (1−u2 ) u2 du=−∫ (u2−u4 ) du

= ∫ (u2−u4 ) du

= 15

u5−13

u3+c=15

cos5 x−13

cos3 x+c

18. ∫sin4 x . cos7 x dx

U = sin x du = cos x dx

= ∫sin 4 x .cos7 x dx

= ∫sin 4 x .cos6 x cos xdx

= ∫u4 ¿¿

= ∫u4(1−3 u2+3u4−u6)du

= ∫(u5−3 u6+3 u8−u10)du

= 16

u6−37

u7+ 39

u9− 111

u11 x+c

19. ∫sin5 x dx

U = cosx du = - sin x dx

= ∫sin5 x sin x dx

= ∫¿¿¿

= - ∫¿¿¿= ∫(1−2 u¿¿2+u4)du¿

= - (u-23

u3+ 15

u5 ¿+c

=- 15

cos5 x+ 23

cos3 x−cos x+c

20. ∫ tan2 x sec 4 x dx

U = tan x du = sec2 x dx

= ∫ tan2 x (1+ tan2 x )sec4 x dx

= ∫u2(1+u2)du

= ∫(u¿¿ 4+u2)du¿

= 15

u5+ 13

u3+c

= 15

tan5+ 13

tan3 x+c

21. ∫ tan3 xsec x dx

U = sex x du = sec x tan x dx

= ∫ tan2 x sec x tan x dx

= ∫(sec¿¿2 x−1)sec x tan x dx¿

= 13

u3−u+c

= 13

sec3 x−sec x+c

22. ∫sin 7 x cos3 xdx = ∫ 12¿¿

= 12¿

= 12¿

= 140

¿

23. ∫sin 7 x sin 3x dx = ∫ 12¿¿

= 12¿

= 12¿

= 140

¿

24. ∫cos 7 xcos 3 x dx = ∫ 12¿¿

= 12¿

= 12¿

= 140

¿

Latihan Soal-soal

25. ∫sin 2 x dx

26. ∫cos2(3 x)dx

27. ∫sin 2 x cos3 xdx

28. ∫sin3 x sin2 x dx

29. ∫sin 2 xcos 5x dx

30. ∫cos 4 x cos2 xdx

31. ∫ tan2 x dx

32. ∫sin 2 xcos 3 x dx

BAB III

TEKNIK PENGINTEGRALAN DENGAN SUBSTITUSI

Contoh Soal

1. ∫ X2

4 √X3+2dx

Misalkan : u = x3+2 du = 3 dx dx = 1

3 x2 du

= ∫ X2

4 √ X3+2dx = ∫ X2

4 √u. 13 X2 du

= 13∫u

14 du

= 13∫

14√4

du

= 13

. 43

u34 = 4

9u

34 +c =

49

¿¿

2. ∫ X2

1−2 x3 dx

Misalkan : u = 1- 2 x3 du = −6 x2 du dx =- 1

6 x2 du

= ∫ X2

1−2 x3 dx = ∫ X2

u. (¿− 1

6 x2 )du¿

= −16 ∫ 1

udu

= −16

∨n∨u∨¿+c

= −16

|n|1−2x3∨+c

3. ∫¿¿¿

Misalkan : U = x3+2 dx = 1

3x2 du du = 3 x2dx

.∫¿¿¿ = ∫u23 x2. 13 x2 du

= ∫u2du−13

u3+c

= 13¿

4. ∫3 x3 √1+2 x2dx

Misalkan U = 1 - 2 x2 du = -4x dx dx = - 1

4 xdu

.∫3 x3 √1+2 x2dx = ∫3 x √u.−14 x

du

= −34 ∫√u .du

= −34

. 23

u32 +c

= −612

¿

5. ∫ sec √x dx√ x

Misalkan : U = √ x du = 1

2√ xdx = 2√x du

.∫ sec √x dx√ x

= ∫ sec u√x

.2√ xdu

= 2|n|sec u + tan u|+c

= 2 ∫ sec u du

= 2 |n|sec√ x+ tan √ x∨+c

6. ∫ xcos2( x¿¿2)dx

¿

Misalkan : U = x2 du = 2x dx dx = 1

2 xdu

.∫ xcos2( x¿¿2)dx

¿ = ∫ xcos2 . u

. 12x

du

= ∫ xcos2 . u

. du

= 12∫ sec2 u du

= 12

tan x2+c

= 12

tan u+c

7. ∫ 6 e1x

x2 dx

Misalkan : U = 1x du =

−1x2 dx dx = −x2 du

.∫ 6 e1x

x2 dx = −∫ 6 eu

x2 x2 du

= −6 eu+c

= −∫eu du

= −6 e1x +c

8. ∫ x3 √x4+11 dx

Misalkan : U = x4+11 du = 4 x3 dx dx = 1

4 x3 du

.∫ x3 √x4+11 dx = ∫ x3 .√u . 14 x3 dx

= 14

. 23

u32+c

= 16

u32 +c

= 16¿

SUBSTITUSI DENGAN RUMUS BAKU FUNGSI ALJABAR

1. ∫ du√au−u2

=sin−1(¿ ua)+c¿

2. ∫ duu√u2−a2

=1a

sec−1(|u|a )+c=1a

cos−1( a|u|)+c

3. ∫ dua2+u2=

1a

tan−1

( ua )+c

Contoh :

1. ∫ 3√5−9 x2

dx=¿∫ du√au−u2

=sin−1(¿ ua)+c¿¿

Misalkan : u = 3x du = 3 dx dx = 13

du

= ∫ 3√5−u2

. 13

du=¿∫ 1√5−u2

du=¿ sin−1( u√5 )+c=sin−1( 3 x

√5 )+c ¿¿

2. ∫ ex

4+9 e2 x dx=¿∫ dua2−u2 =

1a

tan−1

( ua )+c¿

Misalkan : u = 3 ex du =3ex dx dx = 1

3 ex du

= ∫ ex

4+u2 . 13 ex du=¿ 1

3∫1

4+u2 du=¿ 13

. 12

tan−1(u2 )+c¿¿

= 16

tan−1( 3 ex

2 )+c

BAB IV

INTEGRAL FUNGSI EKSPONEN

ex=fungsi pangkat / fungsi eksponen pangakat fungsi

¿¿

bentuk=∫eu du=¿eu+c ¿

∫ au du=¿ au

|n|a∨¿+c¿¿

Contoh soal :

1. ∫ e2 x

Misalkan : u = 2x du = 2 dx dx = 12

du

= ∫ eu . 12

du=12∫eu . du=1

2eu=1

2e2x+c

2. ∫ x e−x2

dx

Misalkan : u = −x2 du = - 2x dx dx = 12

du

= ∫ x eu 12

x du=¿−12∫ eu+c=1

2. e−x2

+c¿

3. ∫ x ex2

dx

Misalkan : u = x2 du = 2x dx 2x dx=du dx=1

2 xdu

= ∫ x ex2

dx=x . eu . 12x

du=12

eu du=12

ex2

+c

4. ∫ ex

1+ex dx

Misalkan : u = 1+ex du = ex dx ex dx=du dx=duex

=∫ ex

u. du

ex =∫ duu

=|n|u|+c=|n|1+ex|+c

5. ∫ esin y cos y dy

Misalkan : u = sin y du = cos y dy dy=du

cos y

= ∫ eu . cos y . ducos y

=eu .du=esin y+c

6. ∫10cot 3x cosec23 x dx

Misalkan : u = cot 3x du = −13

cosec2 3 xdx

−13

cosec2 3 xdx=du dx = du

−13

cosec23 x

= ∫10cot 3x cosec23 x dx=∫ 10u cosec23 x du−13

cosec2 3 x

= ∫10u du−13

=−3.10cosec2

+c

7. ∫ e−x dx

Misalkan : u = -x du =-dx dx =-du

=∫ eu du=−e−x+c=−eu+c

8. ∫ e3 x dx

Misalkan : u=3x du = 3 dx dx = 13

du

= eu . 13

du=13

e3 x+c

9. ∫ a2 x

Misalkan : u = 2x du = 2 dx dx = du2

= ∫ au . du2

=12

a2 x+c

10. ∫ e3cos 2x−sin2 x dx

Misalkan : u = 3 cos2 x du = -3.2 sin 2x = -6 sin2x dx

dx = du

−6sin 2x

=eu .sin 2 x . du−6 sin 2 x

=eu . du−6

=eu .−16+c=−1

6e3cos 2x+c

11. ∫ e4 x dx

Misalkan : u = 4x du = 4 dx

4 dx =du

dx = du4

= ∫ eu . du4

= 14

eu+c=14

e4 x+c

12. ∫ e−x2+2 xdx

Misalkan : u = −x2+2 du = -2x dx

-2x dx = du

dx = du

−2x

= ∫ eu . x du−2 x

=−12

eu+c=−12

e− x2+2+c

13. ∫ e tan 2 x sec22 xdx

Misalkan : u = tan2 x du = 2sec22xdx

2sec22xdx=du

dx = du

2 sec22 x

= ∫ eu . sec2 2 xdx dusec22 x

=12

e4+c=12

etan 2 x +2+c

14. ∫ e2sin3 x cos 3 xdx

Misalkan : u =2sin 3x du = 2.3cos3xdx

6cos3xdx=du

dx = du

6 cos3 x

= ∫ eu . cos3 x du6cos3 x

=∫ eu . du6

=16

e2sin 3 x+c

Bila Integral, adalahRasionalkecualibentukakar :

1. n√au+b, substitusi au+b=zn

akanmenggantikanbentukitudengan integral rasional.

2. √q+ pu+u2, substitusi q+ pu+u2=( z−u )2

akanmenggantikannyadengan integral rasional.

3. √q+ pu−u2=√ (α+u ) (β−u )

substitusiq+ pu−u2= (α+u )2 z2

atauq+ pu−u2= ( β−u )2 z2

akanmenggantikannyadengan integral rasional.

Contoh :

1. Carilah∫ dxx √1−x

Substitusi1−x=z2

Makax=1−z2 sehingga dx = -2 z dx

∫ dxx √1−x

=∫ −2 zdx(1−z2 ) z

=−2∫ dz1−z2 =−2 1

2|n|1+z

1−z+c=−|n| 1+ z

1−z+c

2. Tentukan∫ dx(x−2)√ x+2

Jawab :

Substitusix+2=z2 maka x=z2−z sehingga dx = -2 z dx

Jadi

∫ dx(x−2)√ x+2

=∫ 2 z dz(z¿¿2−2−2)z

=∫ 2 z dz(z¿¿2−4)z

=2∫ dzz2−4

=2. 12.2

|n| z−2z+2

=12|n|√ x+2−2

√ x+2+2∨+c ¿¿

v

BAB 5

SUBSTITUSI TRIGONOMETRI

Integral yang mengandung√a2−b2 x2 ,√a2+b2 x2 ,√b2 x2−a2

Dapatdirubahkedalambentuklain yang

menyangkutfungsitrigometripeubahbarusebagaiberikut:

Untuk Dapat Untukmendapatkan

- √a2−b2 x2 x= ab

sin z a√1−sin2 z=acos z

- √a2+b2 x2 x=ab

tan z a√1+tan 2 z=a sec z

- √b2 x2−a2 x=ab

sec z a√sec 2 z−1=a tan z

Example

1. ∫ dxx2√4+x2 mengacua2+b2 berarti

a2=4a=2

x=ab

tan z

x=21

tan z

x=2 tan z

2 tan z=x

tan z= x2

√4+x = 2 sec zMengacu pada

a√1+tan 2 z = a sec z= 2 sec z

x=2 tan z d x=2 sec2 zdz

v

2. ∫ dxX √9+4 x2 a = 3 mengacu a2+b2

∫ dxx2√4+x2 = ∫ 2 sec 2 z dz

(2 tan z )2 (2 sec z )

=∫ 2 sec2 zdz( 4 tan2 z ) (2 sec z )

= ∫ 2 sec z sec z4 tan2 z2 sec z

dz

= 14∫

sec ztan2 z

dz

= 14∫

1cos zsin 2 zcos2 z

dz

= 14∫1

cos z× cos2 z

sin2 zdz

= 14∫

cos zsin2 z

dz

∫ dxx2√4+x2 = 14∫ sin−2 zcos z dz

u=sin zdu=cos z dzcos z dz=du

dz= ducos z

∫ dxx2√4+x2 =

14∫ u−2 cos z du

cos z

= 14−u−1+c

= −14

u−1+c

= −14

sin−1 z+c

a2=9b2=4b=2 x=d

btan z

x= 32

tan z

2 x=3 tan z3 tan z=2 x

tan z=2 x3

x=32

tan z

dx=32

sec2 z dz

v

3. ∫ √9+4 x2

xdx mengacu ke a2−b2

Mengacu pada rumus

a=√1+ tan2 z=a sec z√9+4 x2=3 sec z

∫ dxx √9+4 x2 = ∫

32

sec2 z dz

32

tan z .3 sec z

=∫ sec z . sec z3 tan z .3 sec z

dz

= ∫ 13

. sec ztan z

dz

= 13∫cosec z dz

= 13∫

1cos zsin 2 zcos2 z

dz

= 14 |n|cosec z−cot z∨¿+c ¿

Ket :Sin = cosecTan = cotCos = sec

a2=9 a= 3b2=4 b=2

x= ab

sin z

x=32

sin z

2 x=3 sin z3 sin z=2 x

sin z=2x3

dx=32

cos zdz

Mengacupadarumusa=√1+sin2 z=a cos z

√9−4 x2=3cos z

v

∫ √9−x2

xdx=∫

3 cos z . 32

cos zdz

32

sin z=∫ 3 cos2 z

sin zdz=3∫ (1−sin2 z )

sin z

¿3∫ 1sin z

−3∫ 1−sin2 zsin z

dz=3∫cosec dz−¿3∫sin z dz¿

¿3|n|cosec z−cot z∨+c ingat rumus

= 3|n|cosec z−cot z∨+¿cos z+c¿

= = 3|n|3−√9−4 x2

x∨+√9−4 x2+c

4. ∫ x2

√ x2−4dx a2=4 a= 2

b=1

x=21

sec z

x=2 sec z2 sec z=x

sec z= x2

sec z= 1cos

Mengacu√b2 x2−a2

x=ab

sec z

dx=2 sec x tan x dz

√ x2−4=2 tan zMengacu

a√sec 2 z=a tan z

v

- ∫ x2

√ x2−4dx=∫¿¿¿

= ∫ 4 sec2 z . sec z dz

= ∫ 4 sec3 z dz

= sec z tan z+2|n|sec z+tan z∨+c

= 12

x√ x2−4+2|n|x+√x2−4∨+c

5. ∫ dx√9+4 x2

- ∫ dx√9+4 x2

=∫32

sec2 z

3 sec zdz=∫

32

sec 2 z

3dz=∫ 1

2sec z dz=¿ 1

2∫ sec z dz¿

= 12|n|sec z+ tan z∨+c

= 12|n|√9+4 x2

3+2 x

3∨+c

= 12|n|√9+4 x2+2 x

3∨+c

a2=9a= 3b2=1b=2

x=db

tan z

x=32

tan z

dx=32

sec2 z dz

√9+4 x2=a sec z= 3 sec z

2 x=3 tan z3 tan z=2 x

tan z=2 x3

v

v

6. ∫ xdx√ x2+16

=∫ xdx√16+x2

- ∫ xdx√ x2+16

=∫ 4 tan z .4 sec2 zdz4 sec z

=∫ tan z .4 sec z dz

= ∫ 4 tan z sec z dz=4 sec z+c

= √16+ x2

4+c

= √16+x2+c

7. ∫ x2

√9+2 x2 dx

a2=16 a= 4b2=1b=1

x=ab

tan z

x=41

tan z

x=4 tan z4 tan z=x

tan z= x4

a2=9a= 2b2=3 b=√2

x= 3√2

sin z

√2 x=3sin z3sin z=√2 x

sin z=√2x3

a√1−sin 2 z=a cos z√9−2x2=cos z

dx= 3√2

cos z dz

3√2

sin z=x

sin z=¿ x3√2

=3√22

¿

BAB 6

INTEGRAL PARSIAL/BAGIAN

Jika pengintergralan dengan substitusi tidak berhasil, maka menggunakan integral

parsial. Teknik integral parsial didasarkan pada pengintegralan rumus turunan hasil dua

fungsi.

Jika u dan v adalah fungsi x yang dapat diturunkan.

d (uv) = u. dv + v du

u dv = d (uv) – v du

∫u dv=uv−∫v du

Catatan :

1. Integral yang diberikan harus dipisahkan menjadi 2 bagian u, du, dx dan dv.

2. Yang dipilih dv harus yang dapat segera diintegrasi.

3. ∫ v du tidak boleh lebih sulit dari pada ∫u .dv

Contohsoal :

1. ∫ x . sin x dx

Mislakan : u = x dv = sin x du = dx v = ∫sin x dx=−cos x

- ∫ x . sin x dx=uv−∫ v du

= −x .cos x−¿∫−cos x¿

= −x .cos x+sin x+c

2. ∫ x . cos x dx

Mislakan :u = x dv = cos x du = dx v = ∫cos xdx=sin x

- ∫ x . cos xdx=uv−∫ vdu

= x sin x−¿∫ sinx dx ¿

= x sin x+cos x+c

3. ∫sin 2 x dx

- ∫sin x sin xdx

Mislakan : U = sin x dv = sin x du = cos x dx

v = ∫sin xdx=−cosx

- ∫sin 2 x dx=sin x−¿cos x+∫cos x cos xdx ¿

= −sin x . cos x+∫cos2 x dx

=−sin x . cos x+∫ (1−sin¿¿2¿x )dx ¿¿

= −sin x . cos x+∫dx−∫ sin2 x dx

2 ∫sin 2 x dx=−sin x . cos x+x+c

2 ∫sin 2 x dx=−12

sin 2x+x+c

2 ∫sin 2 x dx=−12

sin 2x+x+c

∫sin 2 x dx=−12

. 12

sin 2 x+ 12

x+c

= −14

sin 2x+ 12

x+c

4. ∫ sec2 x dx = ∫ sec x sec 2 x dx

Mislakan :U = sec x du = sec x tan x dx

dv = sec2 x v = ∫ sec2 x dx=tan x

- ∫ sec2 x dx = sec x tan x - ∫ tan2 x sec x dx

= sec x tan x - ∫(sec¿¿2¿−1)sec x dx¿¿

= sec x tan x - ∫ (sec¿¿3¿−sec x)dx ¿¿

= sec x tan x - ∫ sec3+∫ sec x dx

2 ∫ sec3 x dx=sec x tan x+∫ sec x dx

= sec x tan x+|n|sec x+ tan x∨¿+c¿

∫ sec3 x dx=12{sec x tan x+|n|sec x+ tan x∨¿+c }¿

= 12

sec x+tan x+12|n|sec x+ tan x∨¿+c }¿

BAB 7

INTEGRAL PECAHAN PARSIAL

- Sebuahfungsi f (x) =f (x )g (x) , dimana f (x) dan g(x) adalah polonomial

Disebutpecahanrasional

Jika :

- derajat f(x) lebihkecildariderajat g(x), f(x) disebutnaik.

- Derajat f(x) lebihbesardariderajat g(x), f(x) disebuttidaknaik.

Contohsoal :

1. Factor linear yang berlainan

1. ∫ dxsec 2 sec2−4

a. Uraianpenyebutnyax2−4= (x−2 ) ( x+2 )

= 1

x2−4= A

x−2+ B

x+2 hilangkan pecahan sehingga diperoleh :dikalikan (x-

2)(x+2)3

I = A (x+2)+B (x-2)

b. Tentukankonstanta A dan B

Nilai-nilai yang diperolehadalahnilai x yang

menyebabkanpenyebutdalampecahanparcialmenjadi0 ;yaitu x = -2 dan x = 2

Subtitusi

X= -2 x = 2

I = A (x+2)+B (x-2) I = A (x+2)+B (x-2)

I = A (-2+2)+B (-2-2) I = A (2+2)+B (2-2)

I = -4 B I = 4 B

B =- 14 B =

14

c.1

x2−4= a

x−2+ b

x+4 jadi

= 14

x−4+

14

x+4

2. Carilah∫ (x+1)x3+ x2−6 x

dx

a. x3+ x2−6 x=x ( x2+x−6 )

= x (x−2 )(x+3)

-(x+1)

x3+x2−6 x= x+1

x3+x2−6 x=a

x+ b

x−2+ c

x+3

X + 1 = a ( x−2 ) ( x+3 )+bx (x+3 )+cx¿

b. X = 0 x = 2 x = -3

∫ dxx2−4

=14∫

dxx−4

− 14∫

dxx+4

¿ 14|n|x−2|−1

4 |n|x+2|+c

X = 0

I = -6a a(0-2)(0+3)+b.0(0+3)+c.0(0-2)

A =- 16 -2 a. 3 a = -6a

X = 2

X+1 = a(x-2)(x+3)+bx(x+3)+cx(x-2)

2+1 = a(2-2)(2+3)+bx(2+3)+cx(2-2)

3 = a. 0. 6 + 2b (5) + 2c.0

3 = 10 b

10b = 3

B = 3

10

X = -3

X+1 = a(x-2)(x+3)+bx(x+3)+cx(x-2)

-3+1 = a(-3-2)(-3+3)+bx(-3+3)+cx(-3-2)

-2 = 5. 0. 6 + -3b. 0 + 15c

-2 = 15c

15 c = -2

c = −215

c. ∫ (x+1)x3+ x2−6 x

dx=−16 ∫ dx

x+¿ 3

10− 2

15∫dx

x+3¿

= −16

|n|x ¿

3. Faktor Linear yang berulang

∫ (3 x+5)x3−x2−x+1

- Untuk factor yang tidakdapatdireduksia2+bx−c yang muncul sekali dalam

penyebut pecahan rasional yang baik, terdapat pecahan parcial tunggal

berbentuk ax+b

ax2+b+c dimana A dan B adalah konstanta :

Yang harusditentukan

1. ∫ x3+ x2+x+2x4+3 x2+2

Lanjutanlatihansoal integral parsial

4. ∫ x∈xdx

5. ∫ x ex dx

6. ∫ ex cos x dx

u=¿ xdu=1x

dx

dv=xdx v=12

x2

u=xdu=dx

dv=ex dxv=∫ ex dx=ex

u=ex du=ex dx

dv=cos x v=sin x

7. ∫ x2∈x dx

8. ∫ x2 sin x

9. ∫√1+x dx

BAB 8

INTEGRAL TERTENTU

- Definisi : integral tertentudarisudutfungsi f (x) terhadap x

Dari x = a hingga x = b

u=¿ xdu=dxx

=1x

dx

dv=x2 dx v=13

x3

u=x2 du=2x dx

dv=sin x v=−cos x

u=xdu=dx

dv=√1+x v=∫ √1+x dx=23¿

∫b

a

f (x )dx=f (b )−f (a) F = anti turunan f

- Sifat-sifat :

1. ∫a

b

f (x )dx=0

2. ∫a

b

f (x )dx=−∫b

a

f (x )dx

3. ∫a

b

c f (x)dx=c∫a

b

f (x)dx c = konstanta

4. ∫a

b

[ f ( x ) ± g ( x ) ]=¿∫a

b

f ( x )dx ±∫a

b

g ( x ) dx¿

5. ∫a

b

f ( x )dx+∫a

c

f ( x ) dx=∫a

c

f ( x ) dx

Contoh :

1. ∫1

2

2 x dx

2. ∫0

4

3 dx

3. ∫0

2

x2+2 x−1 dx

4. ∫1

2 1x3 dx

5. ∫0

13

√x dx

6. ∫−1

1

(2 x2−x3¿)dx ¿

7. ∫−6

−10 dxx+2

8. ∫1

8

(¿ x13+x

43 )dx¿

9. ∫0

π2

cos xdx

10. ∫0

π

¿¿

11. ∫π4

π2

2 sin 2 xdx

12. ∫0

π

3 sin x dx

13. ∫π2

34 π

sin x dx

14. ∫−1

2 dxx2−9

15. ∫0

2 π

sin 12

t dt

16. ∫1

2

2(¿x2−1)¿

BAB 9

LUAS DAERAH BIDANG RATA

A. DAERAH DIATAS SUMBU X

Jika y = f (x) menentukanpersamaansebuahkurvapadabidang x y

danjikakontinudantidak negative padaselang (interval) a cx < b lihatlahdaerah R yang

dibatasiolehgrafik-grafikdari y=f(x) x=a, x=b dan y=0.

Terlihatbahwa R terletakdibawah y=f(x) antara x=0 dan y=b denganluasdaerah, A(R)

ditentukanoleh:

A(R) = ∫b

a

f (x )dx

Contohsoal :

- Tentukanluasdaerah R dibawahkurva y=x4−2 x3+2 antara x=-1 dan x=2

A(R) = ∫−1

2

(x 4−2 x3+2)dx=(3 25−16

3+4)=51

10 satuan luas atau satuan kuadrat

= ( x5

5− x4

2+2 X)

B. Daerah dibawahsumbu x

Luasdinyatakanolehbilangan yang tidak negative Jikagrafik y=f(x)

terletakdibawahsumbu x, maka∫a

b

f (x )dx adalah bilangan negatif, sehingga tidak dapat

menggambarkansuatuluas. Akan tetapibilanganituadalah negative untukluasdaerah

yang dibatasioleh y=f(x), x=a, x=b, dan y=0.

Contohsoal :

- Tentukanluasdaerah R yang dibatasioleh x2

3−4

Sumbu x. X=-2 dan x=3

- A(R) = ∫−2

3

( x2

3−4)dx=¿∫

−2

3

(−x2

3−4)dx ¿

= [−x3

9+4 x¿=[−27

9+12]−[ 8

9−8 ]=145

9

Y = 0

Y = x2

3=12

3

X=0

Y=-4

C. Luasdaerah yang terletakdibawahfungsi y=f(x), diatassumbu x dandiantara x=a

hingga x=b, dapatdicaridengancara.

Membagidaerahdari x=a hingga x=b menjadi n bagian.

Luassetiappersegipanjangadalahf(xk) ∆k x.

Jadijumlah n buahpersegipanjang yang didekatiadalah:

∑k =1

n

F ( Xk ) ∆ k x limit dari jumlah ini adalah ∫b

a

f (x )dx yang merupakan luas dari

daerah tersebut.

Jikasuatudaerahdibatasiolehfungsi f(x) dan g(x), makaluasdaerahtersebut.

Latihansoal :

1. Cariluasdaerah yang dibatasiolehkurvay=x2 sumbu x dari x = 1 sampai x = 3.

2. Carilahluas yang terletakdiatassumbu x dandibawahparabola y=4 x−x2.

3. Carilahluas yang dibatasioleh parabola x=8+2 y− y2, sumbu y garis y = -1

dan y = 3

4. Carilahluas yang dibatasi parabola y=x2−7 x+6

Sumbu x dangaris x = 2 dan x = 6

5. Carilahluaskurvay=x3−6 x2+8 x dan sumbu x.

6. Carilahluas yang dibatasi parabola x=4− y2 dan sumbu y.

7. Carilahluaspotonganterkecildarilingkaranx2+ y2=25 oleh garis x = 3.

8. Carilahluas yang dibatasioleh parabola y=6x−x2 dan y=x2−2 x

9. Tentukanluasdaerah yang dibatasiolehkurvaf ( x )=4−x2

Sumbu x = 0 dan x = 1.

10. Tentukanluasdaerah yang dibatasiolehgarisy= 14

x−2 sumbu x

Garis x = 4 dansumbu y.

11. Tentukanluasdaerah yang dibatasiolehkurvay=f ( x )=−sin x ,0 ≤ x≤ 2π

Dan sumbu x.

12. Tentukanluas yang dibatasikurvaf ( x )=4−x2, garis x = 0 dan diatas garis y =

1.

BAB 10

VOLUME BENDA PUTAR

Benda putardibentukdenganmemutarsuatubidangdaftarsekelilingsebuahgaris yang

disebutsumbuputarpadabidangdatar.

Volume bendaputar yang terbentukolehperputarankurva y =

f(x) mengelilingisumbux ,dari x = a, sampai x = b.

Diperolehdengan :

- Membagidaerahmenjadi n bagianpersegipanjang

(gambardiatas) masing-masingdenganlebar Δ x.

- Jikadiputarmengelilingisumbu x makaakanterbentukcakramdenganjari-jari y

dantinggi Δ x.

Sehingga volume untuksetiapcakramadalahπ y2 Δ x

Maka volume bendaputar∫a

b

π y2 dx=¿∫a

b

π y2(x )dx ¿

Jikadaerahdibatasiolehfungsi f (x) dan g(x), maka volume daerahtersebut.

∫a

b

π [ y¿¿2 ( x )−g2(x)]dx ¿

Apabiladaerahdiputarmengelilingisumbu y,

makadigunakanmetoderumahsiputdenganrumus :

v=2π∫a

b

x y dx

Contoh :

1. Carilah volume bendaputar yang terbentukolehperputarandaerahdikuadran 1 yang

dibatasioleh parabola y2=8 x dan latus rectumnnya (x = 2) sekeliling sumbu x.

2. Carilah volume benda yang terbentukkarenaperputarandaerah yang dibatasi

Olehy2=8 x , latus rectum (x = 2) sekeliling latus rectum.

3. Cari volume benda yang diperolehdenganmemutarellips.

4. Cari volume benda yang diperolehdenganmemutardaerahantara y=x2−5 x+6

Dan y = 0 mengelilingisumbu y.

5. Carilah volume benda yang dibatasiolehkurva y= 1√ x

sumbu x garis x = 1 dangaris x = 4 diputarmengelilingisumbu y.

6. Tentuka volume bendaputar, jikadibatasiolehgrafikf (x)=4−x2sumbu x dansumbu

y diputar 360⁰ terhadapsumbu x dansumbu y.

7. Hitung volume bendaputar yang dibatasiolehkurva y=x2 sumbum x,0 ≤ x≤ 2 diputar

terhadap sumbu x.

8. Hitung volume bendaputar yang terbentukjikadaerah yang dibatasiolehkurva y=x2

Dan y=−x2+4 x diputar terhadap sumbu x.

BAB 11

PANJANG BUSUR

Jika A (a,c) dan B(b,d) duatitik yang terletakpadakurva y = f(x) dengan f(x)

danturunannya f’(x) masing-masing continue dalamselang a ≤ x ≤ b.

Makapanjangbusur AB adalah :

s=∫ab

❑

ds=∫b

a

√1+¿¿¿

JikaA(a,c) dan B(b,d) duatitikpadakurva x=g(y) dengan g(y)

danturunannya g’(y), masing-masing continue dalamselang c ≤ x ≤ d makapanjangbusur

AB adalah.

s=∫ab

❑

ds=∫c

d

√1+¿¿¿

Jika A (U=U₁) dan B (U=U₂) duatitikpadakurva yang

didefinisikandenganpersamaanparameter

X = f(u) dan y = g(u)

Makapanjangbusur AB adalah.

s=∫ab

❑

ds=∫U ₂

U ₁

√¿¿¿

Contohsoal :

1. Caripanjangbusurkurvay=x32dari x = 0 sampai x = 5

2. Caripanjangbusurkurvax=t 2 y=t3dari t = 0 sampai t = 4

3. Caripanjangbusurkurvax=3 y32−1 dari y = 0 sampai y = 4

4. Tentukanpanjanggarisdenganpersamaan y = x+1 x = 1 sampai x = 5

BAB 12

INTEGRAL RANGKAP

0 Merupakandaerahtertutuppadabidang x ◦y

Yang dibatasikurvatertutup c

Daerah D dibagimenjadi n daerah

Daerah bagianke-I (I = 1, 2, …)denganluas ∆

Titik A (xi, yi) merupakansebarangtitik

Dalambagiandaerahke-i

Sedangkan di adalah diameter yang terpanjang

Padadaerahbagianke-i

Ditentjumlah

∑ f ( xi , yi ) ∆ i A= f ( xi , yi ) ∆2 A+ f ( x2 , y2 ) ∆ 2 A+…+ f ( xn , yn ) ∆ n A

Jikalimn→ 0

∑i=1

n

f ( xi , yi ) ∆ i Aada , maka limit itu ditulis :

∬ f ( x , y ) dA=¿ limn→ ∞

∑i=1

n

f (xi , yi ) ∆ i A ¿

Contohsoal :

1. ∫0

1

∫x2

x

dy dx= 16

2. ∫−1

2

∫2 x2−2

x2+ x

x dydx= 94

3. ∫1

2

∫y

3 y

(x+ y)dx dy=14

4. ∫0

3

∫1

2

(2 x+3 y )dxdy= 452

5. ∫1

2

∫0

3

(2 x+3 y )dxdy= 452

6. ∫0

8

∫0

4

(x2+ y )dx dy=1283

+128=8963

7. ∫1

2

∫0

3

(x+ y)dx dy=9

8. ∫2

4

∫1

2

(x2+ y2)dxdy=703

9. ∫0

1

∫1

2

dxdy=1

10. ∫2

4

∫y

8− y

ydxdy=323

11. ∫0

1

∫x

√ x

( y+ y3 ) dy dx=7060

12. ∫1

2

∫0

y 32

❑ xy2 dx dy=3

4

13. ∫0

1

∫x2

x

x y2dy dx= 140

14. ∫0

π 2

∫2

4 cosѳ

ρ3 d ρ dѳ=10 π

15. ∫0

π

∫0

cosѳ

ρsin ѳ dρ dѳ=13