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MONOGRAFÍA DE BACHILLERATO INTERNACIONAL
Nº del Candidato: 049471–0009
Tema de Investigación: Análisis y modelamiento geométrico de
un sistema unívoco de coordenadas
reales para un vector unitario en cuatro
dimensiones, empleando un tetraedro
regular.
Materia del IB: Matemáticas Análisis y Enfoques NM
Pregunta de Investigación: ¿En qué medida es factible el uso de un
tetraedro regular para representar
unívocamente un vector unitario de una
dimensión más alta, o sea,
tetra–dimensional?
Cantidad de Palabras: 3313
EL PRESENTE TRABAJO DE INVESTIGACIÓN SE DA EN
CUMPLIMIENTO DEL REQUISITO DEL PROGRAMA DEL DIPLOMA
DE LA ORGANIZACIÓN DEL BACHILLERATO INTERNACIONAL
CONVOCATORIA:
MAYO 2021
1
ANÁLISIS Y MODELAMIENTO GEOMÉTRICO DE UN SISTEMA UNÍVOCO DE
COORDENADAS REALES PARA UN VECTOR UNITARIO EN CUATRO DIMENSIONES,
EMPLEANDO UN TETRAEDRO REGULAR.
ÍNDICE GENERAL
1.
INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………………
………………….…
2. MARCO TEÓRICO
…………………………………………………………………………………………….…
2.1. COSENOS DIRECTORES DE UN VEC
………………………………………………………
2.2. DIAGRAMA TRIANGULAR DE TRES FA
……………………………………………………
2.3. PROCESO DEMOSTRATIVO INDUCTIVO
………………………………………………………
3. DESARROLLO
…………………………………………………………………..…………………………
……
3.1. ESTRATEGIA DE RESOLUC
…………………………………………………………………
3.2. DEMOSTRACIÓN BIDIMENSIONAL
……………………………………………………
4
5
5
6
7
7
7
9
11
15
16
23
23
23
24
2
3.3. DEMOSTRACIÓN TRIDIMENSIONAL
………………………………………………….
3.4. DEMOSTRACIÓN TETRADIMENSIONAL
…………………………………………….
3.5. ANÁLISIS DE UNA APLICACIÓN REAL
………………………………………………………..
4. CONCLUSIONES Y
RECOMENDACIÓN…………………………………………………………….…...…
4.1. CONCLUSIONES
………………………………………………………………………………………….
4.2. RECOMENDACIÓN
……………………………………………………………………………………
5.
BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………………
……………….…..
3
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1. Diagrama triangular de tres fases
…………………………………………………… 4
Figura 2. Dirección de un vector 3D
……………………………………………………………… 6
Figura 3. Triángulo equilátero
……………………………………………………………………… 6
Figura 4. Representación de objetos matemáticos de 1D, 2D, 3D y 4D………………
8
Figura 5. Proceso Inductivo Matemático
………………………………………………………… 8
Figura 6. Utilizando la unidad de longitud 1
…………………………………………………… 9
Figura 7. El punto B parte del eje a y el punto A tiende de A en llegar al eje b… 10
Figura 8. Plano cartesiano de 2D
…………………………………………………………………… 10
Figura 9. Los vértices opuestos se alínean
……………………………………………………… 11
Figura 10. Teorema de Viviani con la altura de referencia 1 ó 100% …………………
12
Figura 11a. Vector unitario 3D representado en una figura de 2D………………………
12
Figura 11b. Código en GeoGebra de la Figura 11a
……………………………………………… 13
Figura 12. Vector unitario 3D representado en el triángulo equilátero de 2D…… 14
4
Figura 13. Teorema de Viviani extendido a 3D en un tetraedro…………………………
15
Figura 14. Proceso demostrativo de 2D
…………………………………………………………… 18
Figura 15. Proceso demostrativo de 3D
…………………………………………………………… 20
Figura 16. Proceso demostrativo de 4D
…………………………………………………………… 22
5
1. INTRODUCCIÓN
La inducción matemática demuestra que podemos subir tan alto como queramos
en una escalera, si demostramos que podemos subir el primer peldaño el "caso base", y
que desde cada peldaño podemos subir al siguiente el "paso" inductivo (Concrete
Mathematics).
En ciencias como la química, la geología y termodinámica, existe un diagrama
triangular ternario, que se emplea frecuentemente para representar tres informaciones
simultáneas dentro de un triángulo equilátero, de tal forma, que a cada uno de sus
puntos internos le correspondan tres números únicos (Figura 1). La función de las líneas
paralelas, que se miden usando los vértices representan los compuestos puros.
Utilizando la composición se mide usando líneas paralelas al lado opuesto al vértice que
representa el compuesto puro. Todo punto sobre un lado de triángulo es un sistema
binario. Todo punto en el interior del triángulo es un sistema ternario.
Figura 1. Diagrama triangular de tres fases (Calderon.S,2010).
Las matemáticas no solo consisten en la deducción formal, sino que es una ciencia
donde también se tiene procesos creativos en el descubrimiento o redescubrimiento de
conjeturas (Blandón, 2008). Es importante destacar que, en este diagrama ternario se
está representando un punto de tres coordenadas diferentes, en tan solo dos
6
dimensiones, ya que, un triángulo equilátero sigue siendo una figura plana
bidimensional. ¿Cómo es posible esto? ¿Acaso existe alguna explicación para ahorrar una
dimensión en la representación de un punto tridimensional dentro de una figura plana
bidimensional?
Sabiendo que este diagrama ternario es muy usado en dichas ciencias, por su
fiabilidad y sencillez de manejo; surge entonces, la expectativa de descubrir si es posible
una expansión en una dimensión más alta de este diagrama, para poder representar un
punto de cuatro dimensiones dentro de un sólido tridimensional. Este último,
correspondería a la figura de un tetraedro (Ver Figura 13), debido a que es uno de los
cinco sólidos regulares platónicos, que gozan de propiedades geométricas especiales.
Por lo tanto, se plantea la siguiente pregunta de investigación:
¿En qué medida es factible el uso de un tetraedro regular para
representar unívocamente un vector unitario de una dimensión más alta,
o sea, tetra–dimensional?
2. MARCO TEÓRICO
2.1. COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR
Se producen al variar las coordenadas de los vectores, al favorecer la visualización
espacial de los cosenos directores de un vector situado en cualquier octante y favorecer
la visualización espacial de las coordenadas inicial y final de un vector para determinar
su valor unitario y su módulo, a partir de la formación pertinente (Vergara et al., 2018).
Viéndose que en estas dos figuras no varía ni la posición del punto final ni el valor
de los cosenos directores del vector, es decir, el único cambio existente entre ambas
7
figuras es la visualización del objeto desde diferentes puntos de vista. Tomado de
Vergara et al. (2018).
Figura 2. Dirección de un vector 3D (Wissen, 2018).
2.2. DIAGRAMA TRIANGULAR DE TRES FASES
Un diagrama ternario es la representación gráfica del comportamiento de una
propiedad característica con relación a la composición de un sistema de tres o multé
componentes. Cualquier línea paralela hacia cualesquiera de los lados del diagrama
ternario indica una proporción constante del componente opuesto a la base (Novelo et
al., 2010).
Figura 3. Triángulo equilátero (Novelo, 2010).
8
2.3. PROCESO DEMOSTRATIVO INDUCTIVO
En un teorema, existe un conjunto único de coordenadas para cada punto en el
interior del triángulo equilátero. Mediante el proceso de demostración en las
coordenadas, se proporcionan verdaderos axiomas que son verdades matemáticas
demostrables, al considerar la 2D, estando en un punto medio, me daría la posibilidad de
tener una relación de unicidad ya que, al tener un triángulo en la 2D, cada punto siendo
solo de 1 punto del vector, transformándolo en una a 3D con el tetraedro,
inmediatamente los puntos tendrán una correspondencia de coordenadas, siendo mi
verdad del teorema o el axioma.
Por su parte Pólya (1945) argumenta que el razonamiento inductivo es el
razonamiento natural que da lugar al conocimiento científico mediante el
descubrimiento de leyes generales a partir de la observación de casos particulares
(Castro, 2010).
3. DESARROLLO
3.1. ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN
Analizando un modelamiento geométrico sistemas unívocos de coordenadas reales
en cuatro coordenadas, se parte desde los conceptos más básicos a los más elementales.
Empleado objetos matemáticos desde, como una recta lineal de 1D representa 2D, o en
un triángulo equilátero de 2D representan 3D, y de igual forma en el caso de un
tetraedro regular de 3D lo que nos lleva a representar como una aplicación práctica para
cumplir con la propuesta que, en su interior se representa un vector, un punto de hasta
4D siendo una inducción matemática.
9
Figura 4. Representación de objetos matemáticos de 1D, 2D, 3D y 4D (Por la estudiante, 2021).
El propósito principal de este proceso es el adquirir pequeños fragmentos y
estructuras básica, que heredan, desde la 1D que nos brinda la recta con sus puntos y
coordenadas de tramo A y B, en medida que se va agregando una dimensión a cada uno
de las dimisiones hasta llegar al 4D. La realidad de los objetos matemáticos desde 1D a
las 3D siendo objetos de la realidad, siendo la realidad lo que contiene mayor
información que el mismo objeto demostrando desde la 2D a la 4D siendo una
representación del objeto. Mediante los componentes a, b, c, y d representan a un vector
unitario no representan ningún modulo, siendo característico en el diagrama triangular
que se emplea como por ejemplo en: geología o ingeniería química.
Figura 5. Proceso Inductivo Matemático (Por la estudiante).
10
Como parte de la estrategia de resolución, aplicando un proceso inductivo
matemático, mediante las menciones del objeto que estamos represento, las
dimensiones del objeto físico que existen y las dimensiones de un punto representativo
de la realidad conteniendo mayor información en 2D, 3D y 4D en el mismo objeto 1D, 2D
y 3D.
Demostrando que los componentes a, b, c y d representan a un vector unitario, no
representan un módulo, representando sus proporciones, siempre dándonos el 100%
representando 1 siendo idéntico al concepto que en geometría se emplea, el vector
unitario, el que aporta con la dirección del vector principal.
3.2. DEMOSTRACIÓN BIDIMENSIONAL (2D)
En el caso de 1D el único objeto matemático existente es la recta lineal, en el cual se
bautizan sus dos puntos: Punto origen y punto final. Al ser una dimensión se tiene
infinitos puntos entre el extremo A y B, obteniendo un cierto valor de distancia de A al
otro extremo y viceversa con la distancia B para llegar al punto original. Surgiendo como
pregunta ¿cómo establecemos los puntos A y B o viceversa, a minúsculas en a y b?
Figura 6. Utilizando la unidad de longitud 1 (Por la estudiante, 2021).
Sabiendo que a + b = 1 lo cual es la unidad de longitud y al tener un vi componente
al ser 100% de A y 0% de B, viceversa en 100% de B y 0% de A. Las posiciones de las
letras minúsculas nacen desde su punto opuesto enteramente, ya que parte desde donde
11
no hay en un 0% y tiende a subir a la cumbre en un 100%. Siendo la respuesta que el
punto A pertenece al eje b y el punto B pertenece al eje a.
Figura 7. El punto B parte del eje a y el punto A tiende de A en llegar al eje b (Por la estudiante,
2021).
En un objeto de 2D, se proyecta un primer cuadrante en un plano cartesiano, donde
los puntos del eje son x, el eje y, además del punto origen 0. El punto A esta en las
coordenadas (1;0), el punto B esta en las coordenadas (0;1) y la línea universal del
vector en el punto P con coordenadas de (x; y).
Figura 8. Plano cartesiano de 2D (Por la estudiante).
Trazando la line de A hasta B con una altura de 1 en ambos lados, formando un
triángulo rectángulo y con una hipotenusa de y formando un ángulo (α) y (β),2
resultando el punto P en un punto de corte con la recta AB. El vector de P con
12
componentes de (x; y) en columna, además de una circunferencia de radio notable en la
cual dentro de la circunferencia se encuentran todos los vectores unitarios.
3.3. DEMOSTRACIÓN TRIDIMENSIONAL (3D)
Todo partió de un triángulo equilátero siendo un polígono regular, existe el
diagrama de 3 fases, siendo posible que en una figura plana de 2D entre 3D siendo
variables. Existe el teorema, en donde si tomo un punto en el interior del triángulo,
trazando sus alturas, bautizando a sus alturas en cada punta con: A, B y C. Sabiendo que
en las perpendiculares estando en ángulo recto, se bautiza con la letra minúscula con: a,
b y c del vértice opuesto al estar en alineaciones directas.
Figura 9. Los vértices opuestos se alinean (Por la estudiante, 2021).
El eje en dirección A se convierte en eje a, el eje en dirección B se convierte en eje b,
y el eje en dirección C se convierte en eje c. Dando como resultado la propiedad: a + b + c
= 1 (siendo en porcentaje igual a 100%). Estas tres variables, son 3D que están en 1
figura plana de 2D, dando como resultado la capacidad de poder proyectar una
dimensión más, mediante el teorema de Viviani en un triángulo equilátero que dice: la
suma de las tres alturas (h) en el triángulo es igual a las alturas total del triángulo. Las
13
medidas del triángulo equilátero siempre, tienen que ser desde el lado de la ausencia
siendo el 0% y la abundancia siendo el 100%.
Figura 10. Teorema de Viviani con la altura de referencia 1 ó 100% (Por la estudiante, 2021).
Es un diagrama que representa las proporciones, teniendo un porcentaje de a, un
porcentaje de b, y un porcentaje de c, sin importar la cantidad o proporción siempre va a
dar el 100% que es el total siendo homologo e incluso idéntico al concepto en geometría
conocido como vector unitario, que aporta con la magnitud, dirección y sentido del
vector principal.
14
Figura 11 (b). Códigos en GeoGebra de la figura (a) (Por la estudiante, 2021).
En un objeto de 3D, se encuentra realmente el triángulo equilátero. Como objetivo
de llegar con la unidad siendo 1, con los puntos A, B y C equivale a la distancia del punto
C a la recta AB, del punto A con una perpendicular de BC, y de igual forma del punto B al
punto AC. En esta demostración asociamos la primera letra de este sistema siendo A con
la primera letra de representación de los planos cartesianos, en este caso, la x; la
segunda letra del sistema B con la segunda letra tradicional, que es la y; y por último la
tercera letra del sistema C con la z. El vector origen, en algún momento corta en un punto
del plano por lo que se forman ciertos valores de los lados A, B y C causando los ejes a, b
y c que representan las coordenadas de abscisa, ordenada y cota del vector unitario. Él
punto P representa a un punto del espacio con coordenadas de (x; y; z), existe el y el𝑃→
µ𝑃
^
es el valor del vector unitario con un módulo igual 1.
16
Figura 12. Vector unitario 3D representado en el triángulo equilátero de 2D (Por la estudiante).
En el objeto matemático de 3D con un triángulo equilátero, el teorema de los
cosenos directores dice que:
α( ) + β( ) + γ( ) = 1
Por lo tanto, en el diagrama, el coseno de ( ) seria representado como el Eje A ó xα
al P, el coseno de ( ) sería representado como el Eje B ó y, al igual que el coseno ( )β γ
siendo representado con el Eje C ó z. Concluyendo que el término a de esta fórmula
corresponde al primer término de la formula , el término b de esta fórmulaα( )
corresponde al segundo término de , y el término c de esta fórmula corresponde alβ( )
tercer término de . Siendo esta la relación que demuestra, que, nuestra hipótesis esγ( )
correcta y es posible representar 3D en un objeto de 2D, pero vale aclarar que esas 3D
son solo su vector unitario, no es todo el vector porque, falta encontrar el módulo siendo
un factor multiplicativo.
3.4. DEMOSTRACIÓN TETRADIMENSIONAL (4D)
La figura de 3D equivalente, en un tetraedro regular al bautizar cada uno de los
puntos de proyección con: A, B, C y D. Las alturas desde el punto interior del volumen,
proyectan sus alturas a cada una de las caras del tetraedro, lo que nos lleva alinear los
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vectores opuestos de cada eje, con dirección a cada uno de sus puntos no determinantes
y variantes, a ejes en musculas: a, b, c y d.
De igual forma que el teorema de Pitágoras, permite calcularla la distancia entre
dos puntos del plano, esa exención se hace para la distancia entre los puntos del espacio
siendo un teorema amplificado, siendo el Teorema de Viviani de igual forma siendo una
dimensión más, representado en un tetraedro. Dando como resultado una ecuación de: a
+ b + c + d = 1, dando como resultado 4 variantes, permitiéndonos representar una
información de 4D en un cuerpo de 3D, siendo una dimensión más, utilizando el teorema
geométrico de Pitágoras que demuestra: La altura total de un tetraedro equivale a la
suma de las cuatro alturas proyectadas.
Figura 13. Teorema de Viviani extendido a 3D en un tetraedro (Por la estudiante, 2021).
En el tetraedro, su altura es: ℎ = 63 ∙𝐿
3.5. ANÁLISIS DE UNA APLICACIÓN REAL
En un inicio la aplicación en objetos de 2D, 3D y 4D se aplicarán al definir cada uno
de sus vectores de ejemplo: que han sido escogidos aleatoriamente para, calcular sus𝑃→
18
vectores unitarios y de igual forma sus ángulos directores, empleando el alfabetoµ𝑃
^
griego con: .α β γ δ { }
Mediante la comprobación de la fórmula de los cosenos directores, se procederá la
asignación de los componentes del vector unitario y se representará la𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑{ }
gráfica de cada uno de los objetos desde su recta lineal, a un triángulo regular y un tetra
dimensional, en una escala del vector unitario en un proceso demostrativo de 2D, 3D y
4D.
EJEMPLO DEMOSTRATIVO PARA 2D
𝑃→
= 10 20 ( )
∴ 𝑃| | = 10( )2 + 20( )2
19
𝑃| | = 22, 3606
∴µ𝑃
^= 1
22,3606( ) • 10 20 ( )
µ𝑃
^= 0, 0447( ) • 10 20 ( )
µ𝑃
^= 0, 0447 ∙10 0, 0447∙20 ( )
µ𝑃
^= 0, 4470 0, 8940 ( )
Cálculo del primer ángulo director :α( )
cos 𝑐𝑜𝑠 α( ) = 0, 4470
α = arccos 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 0, 4470( )
α = 63, 4486°
Cálculo del segundo ángulo director :β( )
cos 𝑐𝑜𝑠 β( ) = 0, 8940
β = arccos 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 0, 8940( )
β = 26, 6197°
Comprobación de la fórmula de los cosenos directores:
α( ) + β( ) = 1
63, 4486( ) + 26, 6197( ) = 1
0, 1998 + 0, 7992 = 1
0, 9990 = 1
Asignando los términos de las componentes del vector unitario :µ𝑃
^
𝑎 = 0, 1998 = 19, 98%· 100, 00 𝑚𝑚( ) = 19, 98 𝑚𝑚
𝑏 = 0, 7992 = 79, 92%· 100, 00 𝑚𝑚( ) = 79, 92 𝑚𝑚
ℎ = 100% ℎ = 100, 00 𝑚𝑚
20
Figura 14. Proceso demostrativo de 2D (Por la estudiante, 2021).
● Nota: El ejemplo demostrativo de 2D se aplica en una recta lineal mediante los
cálculos de los ángulos directores de .α( )𝑦 (β)
EJEMPLO DEMOSTRATIVO PARA 3D
𝑃→
= 10 20 30 ( )
∴ 𝑃| | = 10( )2 + 20( )2 + 30( )2
𝑃| | = 37, 4165
µ𝑃
^= 1
37,4165( ) • 10 20 30 ( )
µ𝑃
^= 0, 0267( ) • 10 20 30 ( )
µ𝑃
^= 0, 2670 0, 5340 0, 8010 ( )
21
Cálculo del primer ángulo director :α( )
cos 𝑐𝑜𝑠 α( ) = 0, 2670
α = 0, 2670( )
α = 74, 5141
Cálculo del segundo ángulo director :β( )
cos 𝑐𝑜𝑠 β( ) = 0, 5340
β = 0, 5340( )
β = 57, 7238
Cálculo del tercer ángulo director :γ( )
cos 𝑐𝑜𝑠 γ( ) = 0, 8010
δ = 0, 8010( )
δ = 36, 7742
Comprobación de la fórmula de los cosenos directores:
α( ) + β( ) + γ( ) = 1
74, 5141( ) + 57, 7238( ) + 36, 7742( ) = 1
0, 0712 + 0, 2851 + 0, 6416 = 1
0, 9979 = 1
Asignando los términos de las componentes del vector unitario :µ𝑃
^
ℎ = 32 𝐿 = 3
2 100, 00 𝑚𝑚( ) = 86, 60 𝑚𝑚
ℎ = 86, 60 𝑚𝑚
𝑎 = 0, 0712 = 7, 12%· 86, 60( ) = 6, 16 𝑚𝑚
𝑏 = 0, 2851 = 28, 51%· 86, 60( ) = 24, 68 𝑚𝑚
𝑐 = 0, 6416 = 64, 16%· 86, 60( ) = 55, 56 𝑚𝑚
ℎ = 86, 40 𝑚𝑚
22
Figura 15. Proceso demostrativo de 3D (Por la estudiante, 2021).
EJEMPLO DEMOSTRATIVO PARA 4D
𝑃→
= 10 20 30 40 ( )
∴ 𝑃| | = 10( )2 + 20( )2 + 30( )2 + 40( )2
𝑃| | = 54, 7722
µ𝑃
^: = 1
54,7722( ) • 10 20 30 40 ( )
µ𝑃
^: = 0, 0182( )∙ 10 20 30 40 ( )
µ𝑃
^: = 0, 1820 0, 3640 0, 5460 0, 7280 ( )
23
Cálculo del primer ángulo director :α( )
cos 𝑐𝑜𝑠 α( ) = 0, 1820
α = 0, 1820( )
α = 79, 5137
Cálculo del segundo ángulo director :β( )
cos 𝑐𝑜𝑠 β( ) = 0, 3640
β = 0, 3640( )
β = 68, 6539
Cálculo del tercer ángulo director :γ( )
cos 𝑐𝑜𝑠 γ( ) = 0, 5460
γ = 0, 5460( )
γ = 56, 9069
Cálculo del cuarto ángulo director :δ( )
cos 𝑐𝑜𝑠 δ( ) = 0, 7280
δ = 0, 7280( )
δ = 43, 2810
Comprobación de la fórmula de los cosenos directores:
α( ) + β( ) + γ( ) + δ( ) = 1
79, 5137( ) + 68, 6539( ) + 56, 9069( ) + 43, 2810( ) = 1
0, 0331 + 0, 1324 + 0, 2981 + 0, 5299 = 1
0, 9935 = 1
Asignando los términos de las componentes del vector unitario :µ𝑃
^
𝑎 = 0, 0331 = 3, 31%· 2, 86( ) = 6, 16 𝑚𝑚
𝑏 = 0, 1324 = 13, 24%· 86, 60( ) = 11, 46 𝑚𝑚
𝑐 = 0, 2981 = 29, 81%· 86, 60( ) = 25, 81 𝑚𝑚
24
𝑑 = 0, 5299 = 52, 99%· 86, 60( ) = 45, 88 𝑚𝑚
ℎ = 89, 31 𝑚𝑚
ℎ = 63 ∙𝐿 = 6
3 • 100, 00𝑚𝑚( ) = 81, 65 𝑚𝑚
ℎ = 81, 65 𝑚𝑚
Figura 16. Proceso demostrativo de 4D (Por la estudiante, 2021).
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4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIÓN
4.1. CONCLUSIONES
● No se puede representar un vector en 4D en forma típica, lo único que, si podemos
representar, eso sí, su vector unitario.
● Si se puede representar un vector de 4D en 3D, pero solo su vector unitario no es
posible su módulo, porque faltarían informaciones adicionales.
● Con ayuda del objeto matemático de 1 dimensión en la recta lineal se logró
determinar que la medida en las rectas lineales se logra determinar, que, la medida
siempre tiene que ser desde el lado de la ausencia que es 0% a la abundancia el
cual es 100%. Lo que nos permite representar la magnitud y apuntar directamente
al punto que medimos.
● Al emplear todos los objetos de 2D, 3D y 4D, fue posible plantearnos mediante los
cosenos directores, para ‘’n’’ con un teorema que ha surgido de todo este proceso
con el objetico de una plantear que: siendo una posible𝑖=1
𝑛
∑ cos 𝑐𝑜𝑠 (θ𝑖) = 1
formula que nos dará la posibilidad de sobre salir de los procesos dimensionales,
de forma en que se podrá emplear en más de 5D en adelante.
4.2. RECOMENDACIÓN
Se puede hacer una simulación de software, que invente una escala de colores como el
arcoíris, que vaya del 0 a 10 y que represente una forma básica, pero efectiva, de indicar
la magnitud del vector final pintando con colores a los puntos dentro del tetraedro. Sin
embargo, por su excesiva programación se escapa del alcance de esta monografía y
26
quedará para quien la quiera continuar que acepte el reto de utilizar colores con el
objetivo de representar esta magnitud dentro de un tetraedro regular.
5. BIBLIOGRAFÍA
● Vergara, D., Rubio, M., Lorenzo, M. & Rodriguez, R. (2018). Comprension especial de
vectors mediante recursos digitales interactivos Spatial comprehension of vectors by
means of interactive digital resources. Teaching and Learning Innovation Journal, 2,
1-6.
● Torres, A. & Fadrique, J. (2010). Trayectorias en diagramas ternarios. Profesores al
día, 21(4), 300-305
● Tetraedro Regular: Definición, Altura, Área, Volumen y Ejercicios. Ciencia Matemática.
(2020, December 20).
● Santy, Leon, G., Alfaro, Lozano, S. A. F., Ana, Mayte, … Ocas, C. Tetraedro regular.
Superprof.
● Portesi, M. & Schuverdt, M. Calculo en 2 y 3 variables.Enfoque teorico-practico para
CiBEx. U niversidad nacional de la plata.
● Vista 3D. Vista 3D - GeoGebra Manual. https://wiki.geogebra.org/es/Vista_3D.
● Definición de vectores. Definición de vectores - FisicaPractica.Com.
https://www.fisicapractica.com
27