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MONOGRAFÍA DE BACHILLERATO INTERNACIONAL

Nº del Candidato: 049471–0009

Tema de Investigación: Análisis y modelamiento geométrico de

un sistema unívoco de coordenadas

reales para un vector unitario en cuatro

dimensiones, empleando un tetraedro

regular.

Materia del IB: Matemáticas Análisis y Enfoques NM

Pregunta de Investigación: ¿En qué medida es factible el uso de un

tetraedro regular para representar

unívocamente un vector unitario de una

dimensión más alta, o sea,

tetra–dimensional?

Cantidad de Palabras: 3313

EL PRESENTE TRABAJO DE INVESTIGACIÓN SE DA EN

CUMPLIMIENTO DEL REQUISITO DEL PROGRAMA DEL DIPLOMA

DE LA ORGANIZACIÓN DEL BACHILLERATO INTERNACIONAL

CONVOCATORIA:

MAYO 2021

1

ANÁLISIS Y MODELAMIENTO GEOMÉTRICO DE UN SISTEMA UNÍVOCO DE

COORDENADAS REALES PARA UN VECTOR UNITARIO EN CUATRO DIMENSIONES,

EMPLEANDO UN TETRAEDRO REGULAR.

ÍNDICE GENERAL

1.

INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………………

………………….…

2. MARCO TEÓRICO

…………………………………………………………………………………………….…

2.1. COSENOS DIRECTORES DE UN VEC

………………………………………………………

2.2. DIAGRAMA TRIANGULAR DE TRES FA

……………………………………………………

2.3. PROCESO DEMOSTRATIVO INDUCTIVO

………………………………………………………

3. DESARROLLO

…………………………………………………………………..…………………………

……

3.1. ESTRATEGIA DE RESOLUC

…………………………………………………………………

3.2. DEMOSTRACIÓN BIDIMENSIONAL

……………………………………………………

4

5

5

6

7

7

7

9

11

15

16

23

23

23

24

2

3.3. DEMOSTRACIÓN TRIDIMENSIONAL

………………………………………………….

3.4. DEMOSTRACIÓN TETRADIMENSIONAL

…………………………………………….

3.5. ANÁLISIS DE UNA APLICACIÓN REAL

………………………………………………………..

4. CONCLUSIONES Y

RECOMENDACIÓN…………………………………………………………….…...…

4.1. CONCLUSIONES

………………………………………………………………………………………….

4.2. RECOMENDACIÓN

……………………………………………………………………………………

5.

BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………………

……………….…..

3

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. Diagrama triangular de tres fases

…………………………………………………… 4

Figura 2. Dirección de un vector 3D

……………………………………………………………… 6

Figura 3. Triángulo equilátero

……………………………………………………………………… 6

Figura 4. Representación de objetos matemáticos de 1D, 2D, 3D y 4D………………

8

Figura 5. Proceso Inductivo Matemático

………………………………………………………… 8

Figura 6. Utilizando la unidad de longitud 1

…………………………………………………… 9

Figura 7. El punto B parte del eje a y el punto A tiende de A en llegar al eje b… 10

Figura 8. Plano cartesiano de 2D

…………………………………………………………………… 10

Figura 9. Los vértices opuestos se alínean

……………………………………………………… 11

Figura 10. Teorema de Viviani con la altura de referencia 1 ó 100% …………………

12

Figura 11a. Vector unitario 3D representado en una figura de 2D………………………

12

Figura 11b. Código en GeoGebra de la Figura 11a

……………………………………………… 13

Figura 12. Vector unitario 3D representado en el triángulo equilátero de 2D…… 14

4

Figura 13. Teorema de Viviani extendido a 3D en un tetraedro…………………………

15

Figura 14. Proceso demostrativo de 2D

…………………………………………………………… 18


…………………………………………………………… 20


…………………………………………………………… 22

5

1. INTRODUCCIÓN

La inducción matemática demuestra que podemos subir tan alto como queramos

en una escalera, si demostramos que podemos subir el primer peldaño el "caso base", y

que desde cada peldaño podemos subir al siguiente el "paso" inductivo (Concrete

Mathematics).

En ciencias como la química, la geología y termodinámica, existe un diagrama

triangular ternario, que se emplea frecuentemente para representar tres informaciones

simultáneas dentro de un triángulo equilátero, de tal forma, que a cada uno de sus

puntos internos le correspondan tres números únicos (Figura 1). La función de las líneas

paralelas, que se miden usando los vértices representan los compuestos puros.

Utilizando la composición se mide usando líneas paralelas al lado opuesto al vértice que

representa el compuesto puro. Todo punto sobre un lado de triángulo es un sistema

binario. Todo punto en el interior del triángulo es un sistema ternario.

Figura 1. Diagrama triangular de tres fases (Calderon.S,2010).

Las matemáticas no solo consisten en la deducción formal, sino que es una ciencia

donde también se tiene procesos creativos en el descubrimiento o redescubrimiento de

conjeturas (Blandón, 2008). Es importante destacar que, en este diagrama ternario se

está representando un punto de tres coordenadas diferentes, en tan solo dos

6

dimensiones, ya que, un triángulo equilátero sigue siendo una figura plana

bidimensional. ¿Cómo es posible esto? ¿Acaso existe alguna explicación para ahorrar una

dimensión en la representación de un punto tridimensional dentro de una figura plana

bidimensional?

Sabiendo que este diagrama ternario es muy usado en dichas ciencias, por su

fiabilidad y sencillez de manejo; surge entonces, la expectativa de descubrir si es posible

una expansión en una dimensión más alta de este diagrama, para poder representar un

punto de cuatro dimensiones dentro de un sólido tridimensional. Este último,

correspondería a la figura de un tetraedro (Ver Figura 13), debido a que es uno de los

cinco sólidos regulares platónicos, que gozan de propiedades geométricas especiales.

Por lo tanto, se plantea la siguiente pregunta de investigación:

¿En qué medida es factible el uso de un tetraedro regular para

representar unívocamente un vector unitario de una dimensión más alta,

o sea, tetra–dimensional?

2. MARCO TEÓRICO

2.1. COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR

Se producen al variar las coordenadas de los vectores, al favorecer la visualización

espacial de los cosenos directores de un vector situado en cualquier octante y favorecer

la visualización espacial de las coordenadas inicial y final de un vector para determinar

su valor unitario y su módulo, a partir de la formación pertinente (Vergara et al., 2018).

Viéndose que en estas dos figuras no varía ni la posición del punto final ni el valor

de los cosenos directores del vector, es decir, el único cambio existente entre ambas

7

figuras es la visualización del objeto desde diferentes puntos de vista. Tomado de

Vergara et al. (2018).

Figura 2. Dirección de un vector 3D (Wissen, 2018).

2.2. DIAGRAMA TRIANGULAR DE TRES FASES

Un diagrama ternario es la representación gráfica del comportamiento de una

propiedad característica con relación a la composición de un sistema de tres o multé

componentes. Cualquier línea paralela hacia cualesquiera de los lados del diagrama

ternario indica una proporción constante del componente opuesto a la base (Novelo et

al., 2010).

Figura 3. Triángulo equilátero (Novelo, 2010).

8

2.3. PROCESO DEMOSTRATIVO INDUCTIVO

En un teorema, existe un conjunto único de coordenadas para cada punto en el

interior del triángulo equilátero. Mediante el proceso de demostración en las

coordenadas, se proporcionan verdaderos axiomas que son verdades matemáticas

demostrables, al considerar la 2D, estando en un punto medio, me daría la posibilidad de

tener una relación de unicidad ya que, al tener un triángulo en la 2D, cada punto siendo

solo de 1 punto del vector, transformándolo en una a 3D con el tetraedro,

inmediatamente los puntos tendrán una correspondencia de coordenadas, siendo mi

verdad del teorema o el axioma.

Por su parte Pólya (1945) argumenta que el razonamiento inductivo es el

razonamiento natural que da lugar al conocimiento científico mediante el

descubrimiento de leyes generales a partir de la observación de casos particulares

(Castro, 2010).

3. DESARROLLO

3.1. ESTRATEGIA DE RESOLUCIÓN

Analizando un modelamiento geométrico sistemas unívocos de coordenadas reales

en cuatro coordenadas, se parte desde los conceptos más básicos a los más elementales.

Empleado objetos matemáticos desde, como una recta lineal de 1D representa 2D, o en

un triángulo equilátero de 2D representan 3D, y de igual forma en el caso de un

tetraedro regular de 3D lo que nos lleva a representar como una aplicación práctica para

cumplir con la propuesta que, en su interior se representa un vector, un punto de hasta

4D siendo una inducción matemática.

9

Figura 4. Representación de objetos matemáticos de 1D, 2D, 3D y 4D (Por la estudiante, 2021).

El propósito principal de este proceso es el adquirir pequeños fragmentos y

estructuras básica, que heredan, desde la 1D que nos brinda la recta con sus puntos y

coordenadas de tramo A y B, en medida que se va agregando una dimensión a cada uno

de las dimisiones hasta llegar al 4D. La realidad de los objetos matemáticos desde 1D a

las 3D siendo objetos de la realidad, siendo la realidad lo que contiene mayor

información que el mismo objeto demostrando desde la 2D a la 4D siendo una

representación del objeto. Mediante los componentes a, b, c, y d representan a un vector

unitario no representan ningún modulo, siendo característico en el diagrama triangular

que se emplea como por ejemplo en: geología o ingeniería química.

Figura 5. Proceso Inductivo Matemático (Por la estudiante).

10

Como parte de la estrategia de resolución, aplicando un proceso inductivo

matemático, mediante las menciones del objeto que estamos represento, las

dimensiones del objeto físico que existen y las dimensiones de un punto representativo

de la realidad conteniendo mayor información en 2D, 3D y 4D en el mismo objeto 1D, 2D

y 3D.

Demostrando que los componentes a, b, c y d representan a un vector unitario, no

representan un módulo, representando sus proporciones, siempre dándonos el 100%

representando 1 siendo idéntico al concepto que en geometría se emplea, el vector

unitario, el que aporta con la dirección del vector principal.

3.2. DEMOSTRACIÓN BIDIMENSIONAL (2D)

En el caso de 1D el único objeto matemático existente es la recta lineal, en el cual se

bautizan sus dos puntos: Punto origen y punto final. Al ser una dimensión se tiene

infinitos puntos entre el extremo A y B, obteniendo un cierto valor de distancia de A al

otro extremo y viceversa con la distancia B para llegar al punto original. Surgiendo como

pregunta ¿cómo establecemos los puntos A y B o viceversa, a minúsculas en a y b?

Figura 6. Utilizando la unidad de longitud 1 (Por la estudiante, 2021).

Sabiendo que a + b = 1 lo cual es la unidad de longitud y al tener un vi componente

al ser 100% de A y 0% de B, viceversa en 100% de B y 0% de A. Las posiciones de las

letras minúsculas nacen desde su punto opuesto enteramente, ya que parte desde donde

11

no hay en un 0% y tiende a subir a la cumbre en un 100%. Siendo la respuesta que el

punto A pertenece al eje b y el punto B pertenece al eje a.

Figura 7. El punto B parte del eje a y el punto A tiende de A en llegar al eje b (Por la estudiante,

2021).

En un objeto de 2D, se proyecta un primer cuadrante en un plano cartesiano, donde

los puntos del eje son x, el eje y, además del punto origen 0. El punto A esta en las

coordenadas (1;0), el punto B esta en las coordenadas (0;1) y la línea universal del

vector en el punto P con coordenadas de (x; y).

Figura 8. Plano cartesiano de 2D (Por la estudiante).

Trazando la line de A hasta B con una altura de 1 en ambos lados, formando un

triángulo rectángulo y con una hipotenusa de y formando un ángulo (α) y (β),2

resultando el punto P en un punto de corte con la recta AB. El vector de P con

12

componentes de (x; y) en columna, además de una circunferencia de radio notable en la

cual dentro de la circunferencia se encuentran todos los vectores unitarios.

3.3. DEMOSTRACIÓN TRIDIMENSIONAL (3D)

Todo partió de un triángulo equilátero siendo un polígono regular, existe el

diagrama de 3 fases, siendo posible que en una figura plana de 2D entre 3D siendo

variables. Existe el teorema, en donde si tomo un punto en el interior del triángulo,

trazando sus alturas, bautizando a sus alturas en cada punta con: A, B y C. Sabiendo que

en las perpendiculares estando en ángulo recto, se bautiza con la letra minúscula con: a,

b y c del vértice opuesto al estar en alineaciones directas.

Figura 9. Los vértices opuestos se alinean (Por la estudiante, 2021).

El eje en dirección A se convierte en eje a, el eje en dirección B se convierte en eje b,

y el eje en dirección C se convierte en eje c. Dando como resultado la propiedad: a + b + c

= 1 (siendo en porcentaje igual a 100%). Estas tres variables, son 3D que están en 1

figura plana de 2D, dando como resultado la capacidad de poder proyectar una

dimensión más, mediante el teorema de Viviani en un triángulo equilátero que dice: la

suma de las tres alturas (h) en el triángulo es igual a las alturas total del triángulo. Las

13

medidas del triángulo equilátero siempre, tienen que ser desde el lado de la ausencia

siendo el 0% y la abundancia siendo el 100%.

Figura 10. Teorema de Viviani con la altura de referencia 1 ó 100% (Por la estudiante, 2021).

Es un diagrama que representa las proporciones, teniendo un porcentaje de a, un

porcentaje de b, y un porcentaje de c, sin importar la cantidad o proporción siempre va a

dar el 100% que es el total siendo homologo e incluso idéntico al concepto en geometría

conocido como vector unitario, que aporta con la magnitud, dirección y sentido del

vector principal.

14

Figura 11 (a). Vector unitario 3D representado en una figura de 2D (Por la estudiante, 2021).

15

Figura 11 (b). Códigos en GeoGebra de la figura (a) (Por la estudiante, 2021).

En un objeto de 3D, se encuentra realmente el triángulo equilátero. Como objetivo

de llegar con la unidad siendo 1, con los puntos A, B y C equivale a la distancia del punto

C a la recta AB, del punto A con una perpendicular de BC, y de igual forma del punto B al

punto AC. En esta demostración asociamos la primera letra de este sistema siendo A con

la primera letra de representación de los planos cartesianos, en este caso, la x; la

segunda letra del sistema B con la segunda letra tradicional, que es la y; y por último la

tercera letra del sistema C con la z. El vector origen, en algún momento corta en un punto

del plano por lo que se forman ciertos valores de los lados A, B y C causando los ejes a, b

y c que representan las coordenadas de abscisa, ordenada y cota del vector unitario. Él

punto P representa a un punto del espacio con coordenadas de (x; y; z), existe el y el𝑃→

µ𝑃

^

es el valor del vector unitario con un módulo igual 1.

16

Figura 12. Vector unitario 3D representado en el triángulo equilátero de 2D (Por la estudiante).

En el objeto matemático de 3D con un triángulo equilátero, el teorema de los

cosenos directores dice que:

α( ) + β( ) + γ( ) = 1

Por lo tanto, en el diagrama, el coseno de ( ) seria representado como el Eje A ó xα

al P, el coseno de ( ) sería representado como el Eje B ó y, al igual que el coseno ( )β γ

siendo representado con el Eje C ó z. Concluyendo que el término a de esta fórmula

corresponde al primer término de la formula , el término b de esta fórmulaα( )

corresponde al segundo término de , y el término c de esta fórmula corresponde alβ( )

tercer término de . Siendo esta la relación que demuestra, que, nuestra hipótesis esγ( )

correcta y es posible representar 3D en un objeto de 2D, pero vale aclarar que esas 3D

son solo su vector unitario, no es todo el vector porque, falta encontrar el módulo siendo

un factor multiplicativo.

3.4. DEMOSTRACIÓN TETRADIMENSIONAL (4D)

La figura de 3D equivalente, en un tetraedro regular al bautizar cada uno de los

puntos de proyección con: A, B, C y D. Las alturas desde el punto interior del volumen,

proyectan sus alturas a cada una de las caras del tetraedro, lo que nos lleva alinear los

17

vectores opuestos de cada eje, con dirección a cada uno de sus puntos no determinantes

y variantes, a ejes en musculas: a, b, c y d.

De igual forma que el teorema de Pitágoras, permite calcularla la distancia entre

dos puntos del plano, esa exención se hace para la distancia entre los puntos del espacio

siendo un teorema amplificado, siendo el Teorema de Viviani de igual forma siendo una

dimensión más, representado en un tetraedro. Dando como resultado una ecuación de: a

+ b + c + d = 1, dando como resultado 4 variantes, permitiéndonos representar una

información de 4D en un cuerpo de 3D, siendo una dimensión más, utilizando el teorema

geométrico de Pitágoras que demuestra: La altura total de un tetraedro equivale a la

suma de las cuatro alturas proyectadas.

Figura 13. Teorema de Viviani extendido a 3D en un tetraedro (Por la estudiante, 2021).

En el tetraedro, su altura es: ℎ = 63 ∙𝐿

3.5. ANÁLISIS DE UNA APLICACIÓN REAL

En un inicio la aplicación en objetos de 2D, 3D y 4D se aplicarán al definir cada uno

de sus vectores de ejemplo: que han sido escogidos aleatoriamente para, calcular sus𝑃→

18

vectores unitarios y de igual forma sus ángulos directores, empleando el alfabetoµ𝑃

^

griego con: .α β γ δ { }

Mediante la comprobación de la fórmula de los cosenos directores, se procederá la

asignación de los componentes del vector unitario y se representará la𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑{ }

gráfica de cada uno de los objetos desde su recta lineal, a un triángulo regular y un tetra

dimensional, en una escala del vector unitario en un proceso demostrativo de 2D, 3D y

4D.

EJEMPLO DEMOSTRATIVO PARA 2D

𝑃→

= 10 20 ( )

∴ 𝑃| | = 10( )2 + 20( )2

19

𝑃| | = 22, 3606

∴µ𝑃

^= 1

22,3606( ) • 10 20 ( )

µ𝑃

^= 0, 0447( ) • 10 20 ( )

µ𝑃

^= 0, 0447 ∙10 0, 0447∙20 ( )

µ𝑃

^= 0, 4470 0, 8940 ( )

Cálculo del primer ángulo director :α( )

cos 𝑐𝑜𝑠 α( ) = 0, 4470

α = arccos 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 0, 4470( )

α = 63, 4486°

Cálculo del segundo ángulo director :β( )

cos 𝑐𝑜𝑠 β( ) = 0, 8940

β = arccos 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 0, 8940( )

β = 26, 6197°

Comprobación de la fórmula de los cosenos directores:

α( ) + β( ) = 1

63, 4486( ) + 26, 6197( ) = 1

0, 1998 + 0, 7992 = 1

0, 9990 = 1

Asignando los términos de las componentes del vector unitario :µ𝑃

^

𝑎 = 0, 1998 = 19, 98%· 100, 00 𝑚𝑚( ) = 19, 98 𝑚𝑚

𝑏 = 0, 7992 = 79, 92%· 100, 00 𝑚𝑚( ) = 79, 92 𝑚𝑚

ℎ = 100% ℎ = 100, 00 𝑚𝑚

20

Figura 14. Proceso demostrativo de 2D (Por la estudiante, 2021).

● Nota: El ejemplo demostrativo de 2D se aplica en una recta lineal mediante los

cálculos de los ángulos directores de .α( )𝑦 (β)


𝑃→

= 10 20 30 ( )

∴ 𝑃| | = 10( )2 + 20( )2 + 30( )2

𝑃| | = 37, 4165

µ𝑃

^= 1

37,4165( ) • 10 20 30 ( )

µ𝑃

^= 0, 0267( ) • 10 20 30 ( )

µ𝑃

^= 0, 2670 0, 5340 0, 8010 ( )

21


cos 𝑐𝑜𝑠 α( ) = 0, 2670

α = 0, 2670( )

α = 74, 5141


cos 𝑐𝑜𝑠 β( ) = 0, 5340

β = 0, 5340( )

β = 57, 7238

Cálculo del tercer ángulo director :γ( )

cos 𝑐𝑜𝑠 γ( ) = 0, 8010

δ = 0, 8010( )

δ = 36, 7742


α( ) + β( ) + γ( ) = 1

74, 5141( ) + 57, 7238( ) + 36, 7742( ) = 1

0, 0712 + 0, 2851 + 0, 6416 = 1

0, 9979 = 1


^

ℎ = 32 𝐿 = 3

2 100, 00 𝑚𝑚( ) = 86, 60 𝑚𝑚

ℎ = 86, 60 𝑚𝑚

𝑎 = 0, 0712 = 7, 12%· 86, 60( ) = 6, 16 𝑚𝑚

𝑏 = 0, 2851 = 28, 51%· 86, 60( ) = 24, 68 𝑚𝑚

𝑐 = 0, 6416 = 64, 16%· 86, 60( ) = 55, 56 𝑚𝑚

ℎ = 86, 40 𝑚𝑚

22



𝑃→

= 10 20 30 40 ( )

∴ 𝑃| | = 10( )2 + 20( )2 + 30( )2 + 40( )2

𝑃| | = 54, 7722

µ𝑃

^: = 1

54,7722( ) • 10 20 30 40 ( )

µ𝑃

^: = 0, 0182( )∙ 10 20 30 40 ( )

µ𝑃

^: = 0, 1820 0, 3640 0, 5460 0, 7280 ( )

23


cos 𝑐𝑜𝑠 α( ) = 0, 1820

α = 0, 1820( )

α = 79, 5137


cos 𝑐𝑜𝑠 β( ) = 0, 3640

β = 0, 3640( )

β = 68, 6539

Cálculo del tercer ángulo director :γ( )

cos 𝑐𝑜𝑠 γ( ) = 0, 5460

γ = 0, 5460( )

γ = 56, 9069

Cálculo del cuarto ángulo director :δ( )

cos 𝑐𝑜𝑠 δ( ) = 0, 7280

δ = 0, 7280( )

δ = 43, 2810


α( ) + β( ) + γ( ) + δ( ) = 1

79, 5137( ) + 68, 6539( ) + 56, 9069( ) + 43, 2810( ) = 1

0, 0331 + 0, 1324 + 0, 2981 + 0, 5299 = 1

0, 9935 = 1


^

𝑎 = 0, 0331 = 3, 31%· 2, 86( ) = 6, 16 𝑚𝑚

𝑏 = 0, 1324 = 13, 24%· 86, 60( ) = 11, 46 𝑚𝑚

𝑐 = 0, 2981 = 29, 81%· 86, 60( ) = 25, 81 𝑚𝑚

24

𝑑 = 0, 5299 = 52, 99%· 86, 60( ) = 45, 88 𝑚𝑚

ℎ = 89, 31 𝑚𝑚

ℎ = 63 ∙𝐿 = 6

3 • 100, 00𝑚𝑚( ) = 81, 65 𝑚𝑚

ℎ = 81, 65 𝑚𝑚


25

4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIÓN

4.1. CONCLUSIONES

● No se puede representar un vector en 4D en forma típica, lo único que, si podemos

representar, eso sí, su vector unitario.

● Si se puede representar un vector de 4D en 3D, pero solo su vector unitario no es

posible su módulo, porque faltarían informaciones adicionales.

● Con ayuda del objeto matemático de 1 dimensión en la recta lineal se logró

determinar que la medida en las rectas lineales se logra determinar, que, la medida

siempre tiene que ser desde el lado de la ausencia que es 0% a la abundancia el

cual es 100%. Lo que nos permite representar la magnitud y apuntar directamente

al punto que medimos.

● Al emplear todos los objetos de 2D, 3D y 4D, fue posible plantearnos mediante los

cosenos directores, para ‘’n’’ con un teorema que ha surgido de todo este proceso

con el objetico de una plantear que: siendo una posible𝑖=1

𝑛

∑ cos 𝑐𝑜𝑠 (θ𝑖) = 1

formula que nos dará la posibilidad de sobre salir de los procesos dimensionales,

de forma en que se podrá emplear en más de 5D en adelante.

4.2. RECOMENDACIÓN

Se puede hacer una simulación de software, que invente una escala de colores como el

arcoíris, que vaya del 0 a 10 y que represente una forma básica, pero efectiva, de indicar

la magnitud del vector final pintando con colores a los puntos dentro del tetraedro. Sin

embargo, por su excesiva programación se escapa del alcance de esta monografía y

26

quedará para quien la quiera continuar que acepte el reto de utilizar colores con el

objetivo de representar esta magnitud dentro de un tetraedro regular.

5. BIBLIOGRAFÍA

● Vergara, D., Rubio, M., Lorenzo, M. & Rodriguez, R. (2018). Comprension especial de

vectors mediante recursos digitales interactivos Spatial comprehension of vectors by

means of interactive digital resources. Teaching and Learning Innovation Journal, 2,

1-6.

● Torres, A. & Fadrique, J. (2010). Trayectorias en diagramas ternarios. Profesores al

día, 21(4), 300-305

● Tetraedro Regular: Definición, Altura, Área, Volumen y Ejercicios. Ciencia Matemática.

(2020, December 20).

● Santy, Leon, G., Alfaro, Lozano, S. A. F., Ana, Mayte, … Ocas, C. Tetraedro regular.

Superprof.

● Portesi, M. & Schuverdt, M. Calculo en 2 y 3 variables.Enfoque teorico-practico para

CiBEx. U niversidad nacional de la plata.

● Vista 3D. Vista 3D - GeoGebra Manual. https://wiki.geogebra.org/es/Vista_3D.

● Definición de vectores. Definición de vectores - FisicaPractica.Com.

https://www.fisicapractica.com

27

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