Post on 31-Jan-2023
0201 108
http://khemmanantmathematics.wkifoundry.com 2015 Khemmanant. K
I
สารบญ ค าน า บทท 1 ล าดบและอนกรม
1.1 ล าดบ 1.2 อนกรม
1 20
บทท 2 การทดสอบการลเขาของอนกรม 2.1 การทดสอบการลออก 2.2 สมบตเชงพชคณตของอนกรมอนนต 2.3 การทดสอบการลเขา 2.4 การทดสอบดวยอนทกรล 2.5 อนกรมพ 2.6 การทดสอบดวยการเปรยบเทยบ 2.7 การทดสอบดวยการเปรยบเทยบโดยลมต 2.8 การทดสอบดวยอตราสวน 2.9 การทดสอบโดยราก 2.10 อนกรมสลบ 2.11 การลเขาสมบรณ และการลเขามเงอนไข 2.12 อนกรมก าลงและฟงกชน 2.13 อนกรมเทยเลอรและอนกรมแมคลรน 2.14 การหาอนพนธและการอนทเกรตของอนกรมก าลง
บทท 3 แคลคลสเชงเวกเตอร 3.1 ฟงกชนคาเวกเตอรของตวแปรเดยว 3.2 ลมตและความตอเนอง 3.3 อนพนธของฟงกชนคาเวกเตอร 3.4 เวกเตอรสมผสหนงหนวย เวกเตอรปกตหนงหนวยและความโคง 3.5 เวกเตอรความเรวและเวกเตอรความเรง
บทท 4 อนทกรลตามเสน
4.1 อนทกรลตามเสนของฟงกชนคาจรง 4.2 อนทกรลตามเสนของฟงกชนคาเวกเตอร 4.3 อนทกรลตามเสนซงเปนอสระจากวถ 4.4 ทฤษฎบทของกรน
26 27 29 30 33 33 35 37 39 40 41 47 52 62
68 69 71 75 82
87 97 103 117
0201 108
http://khemmanantmathematics.wkifoundry.com 2015 Khemmanant. K
II
บทท 5 อนทกรลตามผว 5.1 สมการเวกเตอรของพนผว 5.2 การหาพนทของพนผว 5.3 อนทกรลตามพนผวของฟงกชนคาจรง 5.4 อนทกรลตามพนผวของฟงกชนคาเวกเตอร 5.5 อนทกรลตามพนผวในรป 1 2 3
S
f dydz f dzdx f dxdy
5.6 ไดเวอรเจนตและเครล 5.7 ทฤษฏบทของสโตกส
125 128 139 143 149
155 157
บรรณานกรม
0201 108 Sequences and series 1
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
บทท 1 ลาดบและอนกรม (Sequences and series)
1.1 ลาดบ (Sequences) บทนยาม 1.1 ลาดบของจานวนจรง คอฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจานวนนบ และมคาเปนจานวนจรง
จากบทนยาม 1.1 ถากาหนดให f เปนฟงกชนซงมคา
( ) ,1
nf n n Nn
= ∈+
จะไดวา f เปนลาดบของจานวนจรงลาดบหนง
ในกรณของฟงกชน f ใด ๆ ทเปนลาดบ นยมเขยนบอกคา ( )f n ดวยสญลกษณ na ดงนน f ใด ๆ คอ เซตของคอนดบ
1 2 3{(1, ), (2, ), (3, ),...}a a a
เนองจาก na ตองคกบ n ในคอนดบ ( , )nn a ดงนนจะเขยนบอกถงลาดบ f นดวยสญลกษณ 1 2 3{ , , , ..., , ... }na a a a หรอ 1 2 3, , , ..., , ...na a a a หรอ 1{ }n na ∞
= หรอ { }na กได เชน
เขยน ( 1)2 1
n nn
⎧ ⎫−⎨ ⎬+⎩ ⎭ หมายถงลาดบ 1 2 31 , , 2 , , 3 , , ...
3 5 7⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
เขยน na n= หมายถงลาดบ { }(1,1), (2, 2), (3,3), (4, 4),…
เขยน 1
12n−
⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
หมายถงลาดบ 1 1 1 1(1, 1), 2, , 3, , 4, , 5, ,...2 4 8 16
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭
สาหรบลาดบ { }na ใด ๆ จะเรยกคา na วาพจนท n ของลาดบ ขอสงเกต ถา f เปนฟงกนทมโดเมนเปนเซตของจานวนนบจากด จะรยก f วาเปนลาดบจากด
และถา f เปนฟงกนทมโดเมนเปนเซตของจานวนนบไมจากด จะเรยก f วาเปนลาดบอนนต
หมายเหต 1 1n na a+ ≠ +
0201 108 Sequences and series 2
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
ตวอยาง 1.1 จงหา 5 พจนแรกของลาดบตอไปน
(ก) 5na = สาหรบทก 1n ≥ (ข) na n= สาหรบทก 1n ≥
(ค) 1na
n= สาหรบทก 4n ≥ (จ)
2710n
nan
+=
−
(ฉ) 21
1
n
nn
∞
=
+⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
(ช) 1
1
( 1)2
n
nn
∞+
=
⎧ ⎫−⎨ ⎬⎩ ⎭
วธทา หา 5 พจนแรกของลาดบในแตละขอจะพจารณาไดดงน
ลาดบ 5 พจนแรกของลาดบ 5na = สาหรบทก 1n ≥ 1 2 3 4 55, 5, 5, 5, 5a a a a a= = = = =
na n= สาหรบทก 1n ≥ 1 2 3 4 51, 2, 3, 4, 5a a a a a= = = = = 1
nan
= สาหรบทก 4n ≥ 4 5 6 7 81 1 1 1 1, , , ,4 5 6 7 8
a a a a a= = = = = 27
10nnan
+=
− 1 2 3 4 5
8 11 16 23 32, , , ,9 8 7 6 5
a a a a a= = = = =
21
1
n
nn
∞
=
+⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
1 2 3 4 53 4 5 62, , , ,4 9 16 25
a a a a a= = = = =
1
1
( 1)2
n
nn
∞+
=
⎧ ⎫−⎨ ⎬⎩ ⎭
1 2 3 4 51 1 1 11, , , ,2 4 8 16
a a a a a= − = = − = = −
นอกจากน ยงมลาดบของจานวนทมชอเสยงจานวนมาก ยกตวอยางเชน จานวนเฉพาะ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,… จานวนฟโบนกช 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … จานวนคาทาแลน 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, …
บทนยาม 1.2 ลาดบอนนต คอฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก และมคาเปนจานวนจรง เขยนแทนดวยสญลกษณ 1{ }n na ∞
= หรอ ( ), 1, 2, 3,na f n n= = … ตวอยาง 1.2 จงหาพจนท n ของลาดบในแตละขอตอไปน
(ก) 1 2 3 4, , , , ... ,2 3 4 5
(ข) 1 1 1 1, , , , ...2 4 8 16
(ค) 1 2 3 4, , , , ...2 3 4 5
− − (ง) 1, 3, 5, 7, ...
0201 108 Sequences and series 3
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
วธทา (ก) พจารณาหาพจนท n ของลาดบดงตารางตอไปน
ดงนน 1 2 3 4, , , , ... , , ...2 3 4 5 1
nn +
(ข) พจารณาหาพจนท n ของลาดบดงตารางตอไปน
ดงนน 1 1 1 1 1, , , , ... , , ...2 4 8 16 2n
(ค) พจารณาหาพจนท n ของลาดบดงตารางตอไปน
ดงนน 11 2 3 4, , , , ... , ( 1) , ...2 3 4 5 1
n nn
+− − −+
(ง) พจารณาหาพจนท n ของลาดบดงตารางตอไปน
ดงนน 1, 3, 5, 7 , ... , 2 1, ...n − ♦
จานวน 1 2 3 4 … n … พจน 1
2 2
3 3
4 4
5 …
1n
n+ …
จานวน 1 2 3 4 … n … พจน 1
2
2
12
3
12
4
12
… 12n
…
จานวน 1 2 3 4 … n … พจน 1
2 2
3− 3
4 4
5− … 1( 1)
1n n
n+−
+ …
จานวน 1 2 3 4 … n … พจน 1 3 5 7 … 2 1n − …
0201 108 Sequences and series 4
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
จากตวอยาง 1.2 ลาดบทง 4 ลาดบจะสามารถเขยนไดในรป 1{ }n na ∞= ไดดงน
ลาดบ 1{ }n na ∞
= 1 2 3 4, , , , ... , , ...2 3 4 5 1
nn +
11 n
nn
∞
=
⎧ ⎫⎨ ⎬+⎩ ⎭
1 1 1 1 1, , , , ... , , ...2 4 8 16 2n
1
12n
n
∞
=
⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
11 2 3 4, , , , ... , ( 1) , ...2 3 4 5 1
n nn
+− − −+
1
1
( 1)1
n
n
nn
∞+
=
⎧ ⎫−⎨ ⎬+⎩ ⎭
1, 3, 5, 7 , ... , 2 1, ...n − 1{2 1}nn ∞=−
หมายเหต ตวอกษร n ในลาดบ 1 2 3, , , ..., , ...na a a a จะเรยกวา ดรรชนของลาดบ ซงไมจาเปน
ตองใช n เปนดรรชนของลาดบกได ยงกวานน ดรรชนของลาดบไมจาเปนตองเรมตนดวยดรรชนเทากบ 1 ในบางครงเพอความสะดวก อาจจะมดรรชนเรมตนท 0 (หรอ เรมตนดวยจานวนเตมอน ๆ) แตถาดรรชนของลาดบไมระบเงอนไขเรมตนให เปนทเขาใจกนอย แลววา ดรรชนของลาดบจะเรมตนท 1
เชน 5na n= + สาหรบทก 2n ≥ − หมายถงลาดบ
1.1.1 ลมตของลาดบ (limit of a sequence)
ในเรองของลาดบนปญหาทนาสนใจ กคอปญหาทวา เมอ n มคามาก ๆ นน พจนท n ของลาดบจะมคาเขาใกลคาใดคาหนงหรอไม ถามจะเรยกคานนวา ลมตของลาดบ พจารณากราฟของลาดบ { }na เหนไดวา กราฟของลาดบจะเขยนเฉพาะจด ( , )nn a สาหรบจานวนเตม n ทเปนไปไดบนกราฟ
เชน พจารณากราฟของลาดบ 21
1
n
nn
∞
=
+⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
จะพบวา จด 4 - 5 จดแรกของลาดบบนกราฟ คอ
3 4 5 6(1, 2), 2, , 3, , 4, , 5, , ...4 9 16 25
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ดงนน ลาดบ 30 พจนแรกจะสามารถเขยนไดดงกราฟตอไปน
2 1 0 1 23, 4, 5, 6, 7,a a a a a− −= = = = = …
0201
http:/
บทน
บทน
บทน
หมา
108
//khemmanantm
กคอ na จ
ซงสญลก
นยาม 1.3 ลถ
ก
นยาม 1.4 ลถ
ก
นยาม 1.5 ลถ
ก
ยเหต ใ(จ
mathematics.wi
กราฟของลาดจะเขาใกล 0
ษณนเหมอนก
ลาดบ { }na เถา L เปนมจ
กลาวไดวา {a
ลาดบ { }na เถาสาหรบทก
กลาวไดวา {a
ลาดบ { }na เถาสาหรบทก
กลาวไดวา {a
ในกรณท { na
(convergentจะกลาวไดวา
kifoundry.com
ดบ { }na น ส0 จะกลาววา
lim nna
→∞=
กบ สญลกษณ
เปนลาดบของจานวนจรงซง
}na ม L เป
เปนลาดบของ ๆ จานวน M
a
}na ม ∞ เป
เปนลาดบของ ๆ จานวน M
a
}na ม −∞ เ
} มจานวนจรt) และลเขาห { }na เปนลา
สงเกตเหนไดว 0 เปนลมต
2
1limn
nn→∞
+= =
ณของลมตของ
งจานวนจรง งสาหรบจานวน
na L− < ε นลมตและเขย lim nn
a L→∞
=
งจานวนจรง M มจานวน N
na M> สาหปนลมตและเขย lim nn
a→∞
= ∞
งจานวนจรง M มจานวน N
na M< สาหเปนลมตและเ lim nn
a→∞
= −∞
รง L เปนลมหา L ในกรณาดบลออก (di
วา เมอ n ม (หรอ คาลมต
0
งฟงกชน
น 0ε > ใด ๆ
ทก ๆ n N>
ยนแทนดวยส
N ททาให หรบทกคาขอยนแทนดวยส
N ททาให หรบทกคาขอขยนแทนดวย∞
มต จะกลาวไณท { }na ไมมvergent)
Se
มคามาก ๆ พต) ของลาดบ แ
ๆ จานวน NN ยลกษณ
ง n N> ยลกษณ
ง n N> ยสยลกษณ
ไดวา { }na เปม หรอ มลมตเ
equences and
2015 Khemma
พจนท n ของ และเขยนแทน
N ททาให
ปนลาดบลเขา เปน ∞ หรอ
series 5
anant. K
งลาดบนดวย
−∞
0201 108 Sequences and series 6
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
ขอสงเกต พจารณาเงอนไขในบทนยามทงสามนเหมอนกบเงอนไขในบทนยามของ lim ( ) , lim ( ) , lim ( )x x x
f x L f x f x→∞ →∞ →∞
= = ∞ = −∞
ดงนน ในกรณใด ๆ ทสามารถขยายโดเมนของลาดบ a ใหเปนเซตในรป [1, )∞ และสามารถหา lim ( )
xa x
→∞ ได กจะไดวา คาลมตนกคอ ลมตของลาดบ a ดวยเชนกน
ในการพจารณาหาลมตของลาดบตาง ๆ นน นอกจากจะทาไดโดยอาศยขอสงเกตขางตน แลวยง
มทฤษฎบทตอไปนไวอางอง ให { }kn เปนลาดบใด ๆ ของจานวนนบซง 1 2 3n n n< < <… สาหรบลาดบ { }na ใด ๆ ถากาหนดให
kk nb a= จะได { }kb เปนลาดบทมพจนท k เปนพจนท kn ของลาดบ { }na จะรยกลาดบ { }kb ทไดมาเชนนวา ลาดบยอย ของ { }na
ตวอยาง 1.3 กาหนดให { }na เปนลาดบซง 1na
n= และ ถา 2kn k=
จงหาลาดบยอยของลาดบ { }na วธทา จาก 2kn k= จะไดวา 1 2 3 42, 4, 6, 8,n n n n= = = = … เพราะวา { } {2, 4, 6, 8, }kn = … เปนลาดบเพม และ
1 2 3{ } { , , , }
kn n n na a a a= … 2 4 6{ , , , }a a a= … ………… (1)
จาก 1na
n= จะไดวา 1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 11, , , , , ,2 3 4 5 6
a a a a a a= = = = = =
แทน na ลงในสมการ (1)
ดงนน 1 1 1{ } , , ,2 4 6kna ⎧ ⎫= ⎨ ⎬
⎩ ⎭ เปนลาดบยอยของลาดบ { }na ♦
ตวอยาง 1.4 กาหนดให { }na เปนลาดบซง ( 1)n
na = − และ ถา 2kn k= จงหาลาดบยอยของลาดบ { }na
วธทา จาก 2kn k= จะไดวา 1 2 3 42, 4, 6, 8,n n n n= = = = … เพราะวา { } {2, 4, 6, 8, }kn = … เปนลาดบเพม และ
1 2 3{ } { , , , }
kn n n na a a a= … 2 4 6{ , , , }a a a= … ………… (1) จาก ( 1)n
na = − จะได 2 4 62 4 6( 1) 1, ( 1) 1, ( 1) 1,a a a= − = = − = = − =
แทน na ลงในสมการ (1) ดงนน { }{ } 1, 1, 1,
kna = เปนลาดบยอยของลาดบ { }na ♦
0201
http:/
ทฤษ
ทฤษ ทฤษ
ตวอ
วธทา
ทฤษ
108
//khemmanantm
ษฎบท 1.1 ถ
ษฎบท 1.2 ถ เ
ษฎบท 1.3 ส แ
ยาง 1.5 จ
า
ด
ษฎบท 1.4 (
ถ
แ
mathematics.wi
ถา (na f n=
ถา { }na มลมเปน L ดวย
สมมตวา { }na
แลว (ก)
(ข)
(ค)
(ง)
(จ)
(ฉ)
จงหาลมตของ
2
1lim2n
nn n→∞
++
ดงนน ลมต
(The Squee
ถา na ≤
แลว limn
c→∞
kifoundry.com
)n สาหรบท
มตเปนจานวน
} และ { }nb
limn
c c→∞
=
lim nnca
→∞=
lim( nna
→∞±
lim( n nna b
→∞
lim nn
n
ab→∞
⎛ ⎞⎜⎝ ⎠
lim pnn
a→∞
=
งลาดบ na =
2lim
3 n
n
n→∞
=+
lim1
n→∞=
+
ตของ { }na
eze Theore
n nc b≤ ≤ สา
nc L=
ก n และ limx→
นจรง L แลวท
ลเขาหา 1L แ
c
lim nnc a
→∞= =
) limn nb a
→∞± =
) lim ln nn na
→∞= ⋅
lim
limnn
nn
a
b→∞
→∞
⎞= =⎟
⎠
limp
nna
→∞⎡ ⎤= =⎣ ⎦
2
12 3
nn n
++ +
22
22
1 1
2 31
nn n
n n
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ + +⎜⎝
2
2
1 1
02 3n n
n n
+=
+ +
คอ 0
em for Sequ
หรบทก ๆ n
m ( )f x L→∞
=
ทก ๆ ลาดบย
และ 2L ตาม
1cL
limn nnb
→∞± =
1lim nnb L L
→∞=
12
2
, 0L LL
= ≠
[ ]1 ,pL p= >
⎞⎟⎠⎞⎟⎠
0
uences)
n N> และ
Se
แลว limn
a→∞
อยของ { }na
มลาดบ และ
1 2L L±
2L
0
0> และ 1L
lim limnn na
→∞ →∞=
equences and
2015 Khemma
na L=
ยอมมลมต
c เปนคาคงต
0>
♦
m nb L∞
=
series 7
anant. K
ตว
♦
0201 108 Sequences and series 8
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
ตวอยาง 1.6 จงหาลมตของ 1
!n
n
nn
∞
=
⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
วธทา พจารณา !n n
nan
= จะไดวา
1 2 31 2 1 2 31, , , ,2 2 3 3 3
a a a⋅ ⋅ ⋅= = =
⋅ ⋅ ⋅
1 2 3 1 2 3n
n nan n n n n n n n⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠
ดงนน
10 nan
≤ ≤
พจารณา 1lim 0n n→∞
=
จะได 0 lim 0nna
→∞≤ ≤
นนคอ lim 0nna
→∞=
ดงนน !lim 0nn
nn→∞
= ♦
ตวอยาง 1.7 จงหาลมตของลาดบ 1sinna nn
=
วธทา 1sin1lim sin lim 1n n
nnn
n→∞ →∞
=0
sinlim 1t
tt+→
= =
ดงนน ลมตของ { }na คอ 1 ♦ ตวอยาง 1.8 จงหาลมตของลาดบ n
na n= วธทา เนองจาก lim lim n
nn na n
→∞ →∞= อยในรปแบบกาหนดชนด 0∞
ให 1/( ) xf x x= โดยกฎของโลปตาล จะได
1/lim lim xn
n xn x
→∞ →∞=
1 lnlim
xx
xe
→∞=
1lim lnx
xxe →∞=
lnlimx
xxe →∞=
1lim 0 1x xe e→∞= = =
ดงนน ลมตของ { }na คอ 1 ♦
1 1.0000000000 2 0.5000000000 3 0.2222222222 4 0.0937500000 5 0.0384000000 6 0.0154320988 7 0.0061198990 8 0.0024032593 9 0.0009366567 10 0.0003628800 11 0.0001399059 12 0.0000537232
0201 108 Sequences and series 9
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
ทฤษฎบท 1.5 ถา lim 0nna
→∞= แลว lim 0nn
a→∞
=
ขอสงเกต 1. สงเกตวา ถา lim nn
a L→∞
= และ 0L ≠ แลว
lim nna
→∞ ไมจาเปนตองเทากบ L
เชน ถา ( 1)nna = − แลว lim lim ( 1) lim1 1n
nn n na
→∞ →∞ →∞= − = =
แต lim nna
→∞ หาคาไมได เพราะวา ( 1) 1,n− = n เปนจานวนคบวก
และ ( 1) 1,n− = − n เปนจานวนคบวก
2. บทกลบของ ทฤษฎบท 1.5 เปนจรงดวย นนคอ ถา lim 0nn
a→∞
= แลว lim 0nna
→∞=
เชน ให ( 1)n
nan−
= แลว lim 0nna
→∞=
เนองจาก ( 1) 1lim lim lim 0n
nn n na
n n→∞ →∞ →∞
−= = =
ทฤษฎบท 1.6 ถา lim nn
a→∞
หาคาได แลวคาลมตจะมเพยงคาเดยว
จากทฤษฎบท 1.6 อาจกลาวไดอกนยหนงวา ถาลาดบใด ๆ ทลเขา แลวจะลเขาสเพยงจดเดยวเทานน แตถาลาดบใดกตามทลเขามากกวาหนงจด ลาดบนนกเปนลาดบลออก ตวอยาง 1.9 จงตรวจสอบวาลาดบตอไปนลเขา หรอ ลออก ถาลาดบลเขา ใหหาลมตของลาดบดวย
(ก) 3
3 2
2 51n
n nan n
− +=
+ − (ข) 3 n
na n e−=
(ค) 1 sin(2 )1n
nan
+=
+ (ง) 1 ( 1)n
nan
+ −=
วธทา (ก)
33 2 3
3 23
3
1 522 5lim lim
1 11 1n n
nn n n n
n n nn n
→∞ →∞
⎛ ⎞− +⎜ ⎟− + ⎝ ⎠=+ − ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 3
3
1 52 2 0 0lim 21 1 1 0 01n
n n
n n→∞
− + − += = =
+ −+ −
ดงนน 3
3 2
2 51
n nn n
⎧ ⎫− +⎨ ⎬+ −⎩ ⎭
เปนลาดบลเขา และลเขาหา 2 ♦
0201 108 Sequences and series 10
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
(ข) จะแสดงวา 3lim n
nn e−
→∞ มคา หรอ ไมมคา
จะเหนไดวา 3
3lim limnnn n
nn ee
−
→∞ →∞= อยในรปแแบบไมกาหนดชนด ∞
∞
ให 3
( ) xxf xe
=
โดยกฎของโลปตาล จะไดวา
3 3 2( ) 3lim ( ) lim lim lim( )x x xx x x x
x x xf xe e e→∞ →∞ →∞ →∞
′= = =
′
2(3 ) 6lim lim
( )x xx x
x xe e→∞ →∞
′= =
′
(6 ) 6lim lim 0( )x xx x
xe e→∞ →∞
′= = =
′
นนคอ 3lim 0n
nn e−
→∞=
ดงนน 3{ }nn e− เปนลาดบลเขา และลเขาหา 0 ♦
(ค) เนองจาก 1 sin(2 ) 1n− ≤ ≤ 0 1 sin(2 ) 2n≤ + ≤
นา 1 0n+ > สาหรบทก ๆ 0n > มาหารตลอดอสมการ
จะไดวา 1 sin(2 ) 201 1
nn n
+≤ ≤
+ +
1 sin(2 ) 2lim 0 lim lim1 1n n n
nn n→∞ →∞ →∞
+≤ ≤
+ +
เนองจาก 2lim 01n n→∞
=+
โดย Squeeze Theorem สาหรบลาดบ จะไดวา
1 sin(2 )lim 01n
nn→∞
+=
+
ดงนน 1 sin(2 )1
nn
+⎧ ⎫⎨ ⎬
+⎩ ⎭ เปนลาดบลเขา และลเขาหา 0 ♦
0201 108 Sequences and series 11
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
(ง) เนองจาก 1 ( 1) 20n
n n+ −
≤ ≤
พจารณา
1 ( 1) 2lim 0 lim limn
n n nn n→∞ →∞ →∞
+ −≤ ≤
เนองจาก 2lim 0n n→∞
=
โดย Squeeze Theorem สาหรบลาดบ จะไดวา
1 ( 1)lim 0n
n n→∞
+ −=
ดงนน 1 ( 1)n
n⎧ ⎫+ −⎨ ⎬⎩ ⎭
เปนลาดบลเขา และลเขาหา 0 ♦
ตวอยาง 1.10 จงตรวจสอบวาลาดบตอไปนลเขา หรอ ลออก ถาลาดบลเขา ใหหาลมตของลาดบดวย
(ก) 1 n
nna
n+⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠ (ข) 11
2
n
nan
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
(ค) 11n
nan
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
(ง) 12
n
nnan+⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
วธทา (ก) เนองจาก 1 1lim lim 1n n
n n
n en n→∞ →∞
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ดงนน 1 nnn
⎧ ⎫+⎪ ⎪⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
เปนลาดบลเขา และลเขาหา e ♦
(ข) เนองจาก 221 1lim 1 lim 1
2 2
nn
n nn n→∞ →∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
2 1221lim 1
2
n
ne
n→∞
⎡ ⎤⎛ ⎞= + =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
ดงนน 112
n
n⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞+⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
เปนลาดบลเขา และลเขาหา e ♦
0201 108 Sequences and series 12
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
(ค) เนองจาก ( 1)1 1lim 1 lim 1
n n
n nn n
− −
→∞ →∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
11lim 1n
ne
n
−−−
→∞
⎡ ⎤⎛ ⎞= + =⎢ ⎥⎜ ⎟−⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
ดงนน 11n
n⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞−⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
เปนลาดบลเขา และลเขาหา 1e
♦
(ง) เนองจาก 1 2 1lim lim2 2
n n
n n
n nn n→∞ →∞
+ + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1lim 12
n
n n→∞
⎛ ⎞= −⎜ ⎟+⎝ ⎠
( 2)
21lim 12
nnn
n n
− −− −
→∞
⎛ ⎞= +⎜ ⎟− −⎝ ⎠
( 2) 21lim 1
2
nn n
n n
− − − −
→∞
⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
lim 12 2lim n
n nn n
ne e e→∞ −− − − −
→∞= = =
ดงนน 12
nnn
⎧ ⎫+⎪ ⎪⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟+⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
เปนลาดบลเขา และลเขาหา 1e
♦
ขอสงเกต พจารณา 13 2
n
nnan+⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
ลาดบลเขา และลเขาหา 0
ให 1( )3 2xf xx+
=+
สาหรบ 1x ≥
โดยใชกฎของโลปตาล จะไดวา
1 ( 1) 1 1lim lim lim3 2 (3 2) 3 3n x x
n xn x→∞ →∞ →∞
′+ += = =
′+ +
ดงนน 1lim 03 2
n
n
nn→∞
+⎛ ⎞ =⎜ ⎟+⎝ ⎠
0201 108 Sequences and series 13
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
ตวอยาง 1.11 จงพจาณาวาลาดบ 2 2ln(5 1) ln(3 2)na n n= + − + เปนลาดบลเขา หรอ ลออก ถาลาดบลเขา ใหหาลมตของลาดบดวย
วธทา 2
2 22
5 1lim ln(5 1) ln(3 2) lim ln3 2n n
nn nn→∞ →∞
⎛ ⎞+⎡ ⎤+ − + = ⎜ ⎟⎣ ⎦ +⎝ ⎠
2
2
5 1ln lim3 2n
nn→∞
⎛ ⎞+= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
2
2
2 1
2 2
(5 )ln lim
(3 )n
nn
nn→∞
⎛ ⎞+= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
2
2
1
2
5ln lim
3n
nn
→∞
⎛ ⎞+= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
5 0ln3 0+⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
5ln3
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ดงนน { }na เปนลาดบลเขา และลเขาหา 5ln3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
♦
ทฤษฎบท 1.7 ให 0{ }nnr ∞= เปนลาดบ และ ,0 1 1lim
,1 1n
n
rrr→∞
⎧ − < <= ⎨⎩ =
แลว
0{ }nnr ∞= เปนลาดบลเขา สาหรบ 1 1r− < ≤ และ
0{ }nnr ∞= เปนลาดบลออก สาหรบทกคา r อน ๆ
1.1.2 ลาดบทางเดยว (Monotone Sequences) บทนยาม 1.5 { }na จะเรยกวา ลาดบเพมโดยแท (Strictly increasing sequence)
ถา 1n na a +< สาหรบ n N∈ นนคอ 1 2 3a a a< < <…
{ }na จะเรยกวา ลาดบเพม (increasing sequence) ถา 1n na a +≤ สาหรบ n N∈ นนคอ 1 2 3a a a≤ ≤ ≤…
{ }na จะเรยกวา ลาดบลดโดยแท (Strictly decreasing sequence) ถา 1n na a +> สาหรบ n N∈ นนคอ 1 2 3a a a> > >…
{ }na จะเรยกวา ลาดบลด (decreasing sequence) ถา 1n na a +≥ สาหรบ n N∈ นนคอ 1 2 3a a a≥ ≥ ≥…
จากบทนยาม 1.5 ถา { }na เปนลาดบเพมโดยแท หรอ ลาดบลดโดยแทอยางใดอยางหนง
จะเรยกวา ลาดบทางเดยวโดยแท (Strictly Monotone Sequences) และถา { }na เปนลาดบเพม หรอ ลาดบลดอยางใดอยางหนง จะเรยกวา ลาดบทางเดยว (Monotone Sequences)
0201 108 Sequences and series 14
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
ตวอยาง 1.12 พจารณาลาดบตอไปน ลาดบ คาจากดความ 1 2 3, , , , ,2 3 4 1
nn +
… … ลาดบเพมโดยแท 1 1 11 , , , , ,2 3 n
… … ลาดบลดโดยแท
1 , 1 , 2 , 3 ,3 ,… ลาดบเพม; ลาดบไมเพมโดยแท 1 1 1 11 , 1 , , , , ,2 2 3 3
… ลาดบลด; ลาดบไมลดโดยแท
11 1 1 11 , , , , ( 1) ,2 3 4
n
n+− − −… … ไมเปนทงลาดบเพมและลาดบลด
ลาดบท 1 และลาดบท 2 เปนลาดบทางเดยวโดยแท ลาดบท 3 และลาดบท 4 เปนลาดบทางเดยว แตไมเปนลาดบทางเดยวโดยแท ลาดบท 5 ไมเปนลาดบทางเดยว ♦
วธการตรวจสอบลาดบทางเดยว
ให { }na เปนลาดบใด ๆ แลว { }na เปนลาดบทางเดยวหรอไม จะมวธการตรวจสอบ 3 วธไดแก วธหาผลตาง วธหาอตราสวน และวธหาอนพนธ
1. วธหาผลตาง
ผลตางระหวางพจนทอยตดกน ประเภทของลาดบ
1 0n na a+ − > หรอ 1n na a+ > ลาดบเพมโดยแท
1 0n na a+ − < หรอ 1n na a+ < ลาดบลดโดบแท
1 0n na a+ − ≥ หรอ 1n na a+ ≥ ลาดบเพม
1 0n na a+ − ≤ หรอ 1n na a+ ≤ ลาดบลด
ตวอยาง 1.13 จงแสดงวา 22 1
4nnan
+=
+ เปนลาดบเพมโดยแท
วธทา ตองแสดงวา 1n na a +< นนคอ
2 22 1 2( 1) 1
4 5n nn n
+ + +<
+ +
พจารณา
0201 108 Sequences and series 15
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
2 2
2 22 1 2( 1) 1 (2 1)( 5) (2( 1) 1)( 4)4 5
n n n n n nn n
+ + +< ⇔ + + < + + +
+ +
3 2 3 22 10 5 2 12 19 12n n n n n n⇔ + + + < + + +
20 2 18 7n n⇔ < + + สาหรบ 1n ≥ ดงนน 1n na a +< สาหรบทก 1n ≥ จะไดวา { }na เปนลาดบเพมโดยแท ♦
2. วธหาอตราสวน
อตราสวนของพจนทอยตดกน ประเภทของลาดบ 1 1n
n
aa+ > หรอ 1n na a+ > ลาดบเพมโดยแท
1 1n
n
aa+ < หรอ 1n na a+ < ลาดบลดโดบแท
1 1n
n
aa+ ≥ หรอ 1n na a+ ≥ ลาดบเพม
1 1n
n
aa+ ≤ หรอ 1n na a+ ≤ ลาดบลด
ตวอยาง 1.14 จงแสดงวา 2 1n
nan
=+
เปนลาดบเพมโดยแท
วธทา ตองแสดงวา 1 1n
n
aa+ >
เนองจาก 2 1n
nan
=+
และ 11
2 3nnan+
+=
+
พจารณา 1 1 2 12 3
n
n
a n na n n+ + += ×
+
2
2
2 3 12 3n n
n n+ +
=+ 2
112 3n n
= ++
ดงนน 2
2
2 3 1 12 3n n
n n+ +
>+
สาหรบทก 1n ≥
เนองจาก 2 22 3 1 2 3n n n n+ + > + สาหรบทก 1n ≥ หรอ (2 3) ( 1)(2 1)n n n n+ < + +
จะได 12 1 2 3
n nn n
+<
+ +
ดงนน 1n na a +< สาหรบทก 1n ≥ จะไดวา { }na เปนลาดบเพมโดยแท ♦
0201 108 Sequences and series 16
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
3. วธหาอนพนธ
โดยทวไป ถา ( ) nf n a= เปนพจนท n ของ { }na และ ถา f ′ มคา สาหรบ 1x ≥ อนพนธของ f สาหรบ 1x ≥ ประเภทของลาดบ
( ) 0f x′ > ลาดบเพมโดยแท ( ) 0f x′ < ลาดบลดโดบแท ( ) 0f x′ ≥ ลาดบเพม ( ) 0f x′ ≤ ลาดบลด
ตวอยาง 1.15 จงพจารณาวา ลาดบตอไปน เปนลาดบทางเดยว หรอไม
(ก) 1n
⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭
(ข) 1( 1)n
n
+⎧ ⎫−⎨ ⎬⎩ ⎭
วธทา (ก) เนองจาก 1na
n= และ 1
11na
n+ =+
พจารณา 11 1 ( 1) 1 0
1 ( 1) ( 1)n nn na a
n n n n n n+
− + −− = − = = <
+ + +
จะไดวา 1n na a+ < สาหรบทก 1n ≥ ดงนน { }na เปนลาดบเพมโดยแท และเปนลาดบทางเดยวโดยแท ♦
(ข) พจารณา 1 2
1( 1) ( 1),
1
n n
n na an n
+ +
+
− −= =
+ และ
3
2( 1)
2
n
nan
+
+
−=
+
ถา n เปนจานวนค จะได 1n na a +> และ 1 2n na a+ +< นนคอ ถา 1n = แลวจะได 1 2a a> และ 2 3a a<
ถา n เปนจานวนค จะได 1n na a +< และ 1 2n na a+ +> นนคอ ถา 2n = แลวจะได 2 3a a< และ 3 4a a> ดงนน { }na ไมเปนลาดบทางเดยว ♦
บทนยาม 1.6 ให { }na เปนลาดบ จะกลาวไดวา
ลาดบมขอบเขตบน กตอเมอ มจานวนจรง U ซง na U≤ สาหรบทก 1n ≥ ลาดบมขอบเขตลาง กตอเมอ มจานวนจรง L ซง nL a≤ สาหรบทก 1n ≥ ลาดบมขอบเขต กตอเมอ มจานวนจรงบวก M ซง na M≤ สาหรบทก n
ขอสงเกต ลาดบมขอบเขต กตอเมอ ลาดบมทงขอบเขตบน และขอบเขตลาง
0201 108 Sequences and series 17
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
ตวอยาง 1.16 จงพจารณาวา {[1 ( 1) ] }n n+ − เปนลาดบทมขอบเขตหรอไม วธทา พจารณา [1 ( 1) ]n
na n= + − จะพบวา 1 2 3 40 , 4 , 0 , 8 ,a a a a= = = = … และ 0na ≥ สาหรบทก 1n ≥
ดงนน 0 เปนขอบเขตลางของ { }na แตไมมขอบเขตบน ดงนน ลาดบ { }na ไมมลาดบทมขอบเขต ♦ ตวอยาง 1.17 จงหาขอบเขตบน และขอบเขตลางของลาดบตอไปน (ถาม)
(ก) { }n− (ข) 2{1 }n−
(ค) 1 3nn
⎧ ⎫−⎨ ⎬⎩ ⎭
(ง) sin2
nπ⎧ ⎫⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟
⎝ ⎠⎩ ⎭
(จ) 3( 1)1
n nn
⎧ ⎫−⎨ ⎬+⎩ ⎭
วธทา (ก) พจารณา { } { 1, 2, 3, , }n n− = − − − − …
ดงนน ลาดบไมมขอบเขตลาง แตมขอบเขตบนเทากบ 1−
(ข) พจารณา 2 2{1 } {0, 3, 8, ,1 , }n n− = − − −… … ดงนน ลาดบไมมขอบเขตลาง แตมขอบเขตบนเทากบ 0
(ง) พจารณา 1 1 1 13 { 2, 6, 9, , 3 , }2 3
n nn n
⎧ ⎫− = − − − −⎨ ⎬⎩ ⎭
… …
ดงนน ลาดบไมมขอบเขตลาง แตมขอบเขตบนเทากบ 2−
(ง) เนองจาก 1 sin 12
nπ⎛ ⎞− ≤ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠
จะไดวา ลาดบมขอบเขตบน คอ 1 และลาดบมขอบเขตลาง คอ 1− ดงนน ลาดบมขอบเขต
0201 108 Sequences and series 18
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
(จ) พจารณาลมตของลาดบ 3( 1)1
n nn
⎧ ⎫−⎨ ⎬+⎩ ⎭
3 ,3lim lim ( 1)3 ,1
nnn n
n oddnan evenn→∞ →∞
− =⎧= − = ⎨ =+ ⎩
จะไดวา 3 3na− ≤ ≤ ทกคา n ทาใหไดวา ลาดบนเปนลาดบลดและเพมสลบกนไป เพราะวา
ถา n เปนจานวนค ลาดบ 3( 1)1
n nn
⎧ ⎫−⎨ ⎬+⎩ ⎭ จะมคาเปนลบ
ถา n เปนจานวนค ลาดบ 3( 1)1
n nn
⎧ ⎫−⎨ ⎬+⎩ ⎭ จะมคาเปนบวก
ดงนน { }na มขอบเขตบน คอ 3 และมขอบเขตลาง คอ 3− ♦ ทฤษฎบท 1.8 ทกลาดบลเขา แลวลาดบ มขอบเขต ขอสงเกต ถาลาดบมขอบเขต แลวลาดบอาจจะลเขา หรอ ลออกกได ตวอยาง 1.18 ลาดบ {( 1) }n− เปนลาดบลเขา หรอ ลออก วธทา เพราะวา ( 1)n
na = − จะได ( 1) 1n
na = − =
ถาให 2M = แลว 2na < สาหรบทก 1n ≥ ดงนน { }na เปนลาดบมขอบเขต
แตเนองจาก 1 ,
( 1)1 ,
n n evenn odd=⎧
− = ⎨− =⎩
จะไดวา lim nna
→∞ ไมมคา
ดงนน {( 1) }n− เปนลาดบลออก ♦ ทฤษฎบท 1.9 ถา { }na เปนลาดบทางเดยว และมขอบเขต แลว { }na เปนลาดบลเขา
0201 108 Sequences and series 19
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
ตวอยาง 1.19 ให { }na เปนลาดบซงพจนท n คอ 1 3 5 (2 1)2 4 6 2n
nan
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
จงแสดงวา ลาดบทางเดยว และมขอบเขต แลว ลาดบจะเปนลาดบลเขา วธทา (ก) จะตองแสดงวาลาดบเปนลาดบทางเดยว พจารณา
112
a =
2 11 3 32 4 4
a a⋅= =
⋅ หรอ 1 2
43
a a= หรอ 1 2a a>
3 21 3 5 52 4 6 6
a a⋅ ⋅= =
⋅ ⋅ หรอ 2 3
65
a a= หรอ 2 3a a>
4 31 3 5 7 72 4 6 8 8
a a⋅ ⋅ ⋅= =
⋅ ⋅ ⋅ หรอ 3 4
87
a a= หรอ 3 4a a>
12 1
2n nna a
n −
−= หรอ 1
22 1n n
na an− =−
หรอ 1n na a− >
ดงนน { }na เปนลาดบลด สาหรบทก 1n ≥
(ข) จะตองแสดงวา ลาดบมขอบเขต เนองจากแตละพจนของ na เปนบวก ดงนน 0 na<
และจากการพจารณาแตละพจนพบวา 12na ≤
จาก 0na > จะไดวา 1 3 5 (2 1) 02 4 6 2
nn
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −>
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1 3 5 (2 1) 0n⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − > สาหรบทก 1n ≥ แสดงวา 0na > สาหรบทก 1n ≥ ดงนน 0 เปนขอบเขตลางของลาดบ
และถา 12na ≤ จะไดวา
1 3 5 (2 1) 12 4 6 2 2
nn
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −≤
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1 2 3 5 (2 1) 2 4 6 2n n⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 5 7 (2 1) 4 6 2n n⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ≤ ⋅ ⋅ ⋅ สาหรบทกคา n
แสดงวา 12na ≤ สาหรบ 1n ≥ ดงนน 1
2 เปนขอบเขตบนของลาดบ
นนคอ { }na มขอบเขต จากขอ (ก) และ (ข) สรปไดวา ลาดบ { }na ปนลาดบลเขา ♦
0201 108 Sequences and series 20
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
1.2 อนกรม (series)
ในหวขอน จะศกษาดวา ถาเอาพจนตาง ๆ ของลาดบตงแตพจนท 1 และพจนตอ ๆ ไปทงหมดมาบวกกน คาทไดจะมคาหรอไม บทนยาม 1.7 อนกรมอนนต คอ ผลบวกทกพจนทเขยนอยในรป
1 2 31
k kk
a a a a a∞
=
= + + + + +∑
จานวน 1 2 3, , , , ka a a a… เรยกวาพจนของอนกรม หมายเหต อนกรมทมพจนจานวนจากด เรยกวา อนกรมจากด (Finite series) และอนกรมทม จานวนพจนไมจากด เรยกวา อนกรมอนนต (Infinite series)
พจารณา 1 1s a= ,
2 1 2s a a= + , 3 1 2 3s a a a= + + ,
1 2 31
n
n n kk
s a a a a a=
= + + + + =∑
เรยก ns วา ผลบวกยอย (Partial sums) n พจนแรกของ { }na ซง
1 1lim lim
n
n k kn n k ks a a
∞
→∞ →∞= =
= =∑ ∑
บทนยาม 1.8 ให { }ns เปนลาดบของผลบวกยอยของอนกรม
1 2 3 ka a a a+ + + + +
ถา { }ns ลเขาหา S แลวจะเรยกอนกรมวา อนกรมลเขาหา S และ จะเรยก S วาผลบวกของอนกรม เขยนแทนดวยสญลกษณ
1k
kS a
∞
=
=∑
0201 108 Sequences and series 21
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
ตวอยาง 1.20 จงพจารณาวาอนกรม
1 1 1 1 1 1− + − + − +
ลเขา หรอ ลออก ถาอนกรมลเขา ใหหาผลบวกของอนกรม วธทา อนกรม 1 1 1 1 1 1− + − + − +
พจารณา 1 1s = , 2 1 1 0s = − = ,
3 1 1 1 1s = − + = , 4 1 1 1 1 0,s = − + − =
นนคอ ลาดบของผลบวกยอย คอ 1, 0, 1, 0, 1, 0,… และเนองจาก ลาดบ 1, 0, 1, 0, 1, 0,… เปนลาดบลออก
ดงนน อนกรมนลออก ♦ ตวอยาง 1.21 จงพจารณาวา
1
1lnn
nn
∞
=
+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
เปนอนกรมลเขา หรอ ลออก ถาอนกรมลเขา ใหหาผลบวกของอนกรม
วธทา ให ns เปนผลบวกยอย n พจนแรกของอนกรม 1
1lnn
nn
∞
=
+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
จะไดวา 1 ln 2,s =
32 2ln 2 ln( ) ln 3s = + =
3 33 2 4ln 2 ln( ) ln( ) ln 4,s = + + =
ln( 1)ns n= +
พจารณา lim lim ln( 1)nn n
s n→∞ →∞
= +
( )ln lim( 1) ln( )n
n→∞
= + = ∞ = ∞
ดงนน อนกรมนลออก ♦
0201 108 Sequences and series 22
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
บทนยาม 1.9 อนกรมเรขาคณต (Geometric series)
เรยกอนกรม 2 3 1 1
1, 0n n
nar ar ar ar ar a
∞− −
=
+ + + + + = ≠∑ วา
อนกรมเรขาคณต เรยก r วา อตราสวนรวม (Common ratio) ของอนกรม ซง 32
1 2 1
n
n
a aara a a −
= = = =
เชน 1 2 4 8 2k+ + + + + + 1, 2a r= =
2 3
3 3 3 310 10 10 10k+ + + + + 1 1,
10 10a r= =
1 1 1 1 1( 1)2 4 8 16 2
kk− + − + + − + 1 1,
2 2a r= = −
1 1 1 1+ + + + + 1, 1a r= = 1 1 1 1 ( 1)k− + − + + − + 1, 1a r= = −
2 31 kx x x x+ + + + + + 1,a r x= =
ทฤษฎบท 1.10 อนกรมเรขาคณต
1 2 3 1
1( 0)k k
kar ar ar ar ar a
∞− −
=
= + + + + + ≠∑
ถา 1r < แลวจะเปนอนกรมลเขาและมผลบวกเปน 1
ar−
ถา 1r ≥ แลวจะเปนอนกรมลออก พสจน แบงการพจาณาออกเปน 2 กรณ
กรณ 1 ถา 1r = จะได
2 1nns a ar ar ar −= + + + + +
n times
a a a a na= + + + + =
ดงนน lim limnn ns na
→∞ →∞= = ∞ (ไมมคา)
0201 108 Sequences and series 23
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
กรณ 2 ถา 1r ≠ จะได 2 1n
ns a ar ar ar −= + + + + และ 2 3 n
nrs ar ar ar ar= + + + +
พจารณา nn ns rs a ar− = −
(1 ) (1 )nns r a r− = −
(1 )1
n
na rs
r−
=−
สงเกตไดวา ถา 1 1r− < < จะไดวา lim 0n
nr
→∞=
ดงนน (1 ) (1 0)lim lim1 1 1
n
nn n
a r a asr r r→∞ →∞
− −= = =
− − −
นนคอเมอ 1r < อนกรมเรขาคณตลเขา และมผลบวกเปน 1
ar−
ถา 1r ≤ − หรอ 1r > จะไดวา { }nr ลออก และ lim n
nr
→∞ ไมมคา
ดงนน อนกรมเรขาคณตลออก ♦
ตวอยาง 1.22 จงหาผลบวกของอนกรมเรขาคณต 1
12n
n
∞
=∑
วธทา พจารณา 2 3 4
1 1 1 12 2 2 2+ + + +
จะไดวา 1 1,2 2
a r= =
1
12n
n
∞
=∑
12 111
2
= =−
ดงนน ผลบวกของอนกรมเรขาคณตเทากบ 1 ♦ บทนยาม 1.10 อนกรมทแตละพจน สามารถแยกเปนผลตางของจานวนจรง 2 จานวนได
เรยกวา อนกรมเทเลสโคปก (Telescoping series)
0201 108 Sequences and series 24
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
ตวอยาง 1.23 จงหาคา 1 1 11 2 2 3 3 4
+ ++ + +
วธทา พจารณา
1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 2 1 3 2 4 3
+ + = + ++ + + + + +
2 1 3 2 4 3( 2 1)( 2 1) ( 3 2)( 3 2) ( 4 3)( 4 3)
− − −= + +
+ − + − + −
2 2 2 2 2 2
2 1 3 2 4 3( 2) 1 ) ( 3) ( 2) ( 4) ( 3)
− − −= + +
− − −
2 1 3 2 4 32 1 3 2 4 3− − −
= + +− − −
2 1 3 2 4 3 1= − + − + − = ♦ ตวอยาง 1.24 จงพจารณาวา
1
1( 1)n n n
∞
= +∑
เปนอนกรมลเขา หรอ ลออก ถาอนกรมลเขา ใหหาผลบวกของอนกรม
วธทา เนองจาก 1 1 1( 1) 1n n n n
= −+ +
พจารณา
1
1 11
n
nk
sk k=
⎛ ⎞= −⎜ ⎟+⎝ ⎠∑
1 1 1 1 1 1 1 1 112 2 3 3 4 1 1n n n n
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − + + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1 1 1 1 1 1 1 112 2 3 3 4 1 1n n n n
= − + − + − + + − − + −− +
111n
= −+
ดงนน 1lim 1 11n n→∞
⎛ ⎞− =⎜ ⎟+⎝ ⎠
นนคอ อนกรมนลเขา และผลบวกของอนกรมเทากบ 1 ♦
0201 108 Sequences and series 25
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
ตวอยาง 1.25 จงพจารณาวา
21
13 2n n n
∞
= + +∑
ลเขาหรอลออก ถาอนกรมลเขา ใหหาผลบวกของอนกรมดวย
วธทา พจารณา 2
1 1 13 2 1 2n n n n
= −+ + + +
จะไดวา
ns = 21 1
1 1 13 2 1 2
n n
k kk k k k= =
⎛ ⎞= −⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠∑ ∑
1 1 1 1 1 1 1 12 3 3 4 4 5 1 2n n
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 12 2n
= −+
ดงนน 1 1 1lim lim2 2 2nn n
sn→∞ →∞
⎛ ⎞= − =⎜ ⎟+⎝ ⎠
นนคอ 21
13 2n n n
∞
= + +∑ ลเขา และมผลบวกของอนกรมเทากบ 12
♦
ตวอยาง 1.26 จงพจารณาวา 21
14 3n n n
∞
= + +∑ ลเขาหรอลออก ถาลเขาใหหาผลบวกของอนกรมดวย
วธทา พจารณา 1 12 2
2
14 3 1 3n n n n
= −+ + + +
จะไดวา
ผลบวกยอย nS = 21 1
1 1 1 14 3 2 1 3
n n
k kk k k k= =
⎛ ⎞= −⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠∑ ∑
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 4 3 5 4 6 2 1 3n n n n⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − + + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
1 1 1 1 12 2 3 2 3n n⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
ดงนน 1 1 1 1 1 5lim lim2 2 3 2 3 12nn n
Sn n→∞ →∞
⎡ ⎤= + − − =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
นนคอ 21
14 3n n n
∞
= + +∑ และมผลบวกของอนกรมเทากบ 512
♦
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 26
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
บทท 2 การทดสอบการลเขาของอนกรม (Convergence tests for series)
จากการทไดหาผลบวกของอนกรมและตรวจสอบการลเขาโดยการเขยนผลบวก nS ในรปแบบทไมมการขยายพจนกอน แลวจงหาลมตของผลบวกน lim nn
S S
ซงการทาเชนนจะทาไดสาหรบ
อนกรมบางชนดเทานน เนองจากในการหา nS จากอนกรมทกาหนดนนคอนขางจะยงยาก ซงมบางอนกรมทลเขา แตหาผลบวกไมได ดงนนสาหรบอนกรมสวนใหญจะตรวจสอบการลเขาหรอลออกไดโดยใชวธการทดสอบการลเขาซงมหลายวธ โดยจะกลาวถงวธทสาคญและใชไดบอยครงกบอนกรมทจะพบเหนโดยทวไป และหลงจากทราบวาอนกรมลเขาแลว กจะสามารถทจะประมาณคาผลบวกของ อนกรมจากผลบวกยอยทมจานวนพจนมากพอได
2.1 การทดสอบการลออก (The Divergence Test)
ทฤษฎบท 1 ถา na เปนอนกรมลเขา แลว lim 0nna
ทฤษฎบท 2 ถา lim 0nna
แลวอนกรม na เปนอนกรมลออก
ตวอยาง 1 อนกรม 1
1 2 3
1 2 3 4 1n
n n
n n
เปนอนกรมลออก
เพราะวา 1lim lim 1 0
11 1k k
n
nn
ขอควรระวง บทกลบของทฤษฎบท 1 ไมจรง การทจะพสจนวา อนกรมลเขา จะแสดงเพยงแควา lim 0nn
a
ไมได เนองจากสมบตขอนอาจจะเปนจรงสาหรบอนกรมลออกเชนเดยวกน
กบอนกรมลเขากได
เชน อนกรมฮารมอนก 1
1 1 1 11
2 3n n n
เปนอนกรมลออก
เนองจากม 1lim lim 0nn n
an
อนกรมเรขาคณต 2 3
1
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2n nn
เปนอนกรมลเขา
โดยท 1
2r ซง 1r หรอม 1
lim lim 02n nn n
a
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 27
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
ตวอยาง 2 จงพจารณาวาอนกรมตอไปนลเขาหรอไม
(ก) 2
1n
n
(ข)
1
2 1
n
n
n
(ค) 1
1
( 1)n
n
(ง) 1 3 1n
n
n
วธทา (ก) เนองจาก 2lim lim 0nn na n
ดงนน 2
1n
n
เปนอนกรมลออก
(ข) เนองจาก 2 1 1lim lim lim 2 2 0nn n n
na
n n
ดงนน 1
2 1
n
n
n
เปนอนกรมลออก
(ค) เนองจาก 1lim lim ( 1)nnn n
a
หาคาไมได
ดงนน 1
1
( 1)n
n
เปนอนกรมลออก
(ง) เนองจาก 1 1lim lim lim 0
13 1 33nn n n
na
nn
ดงนน 1 3 1n
n
n
เปนอนกรมลออก
2.2 สมบตเชงพชคณตของอนกรมอนนต (Algebraic properties of infinite series)
ทฤษฏบท 3 (1) ถา na และ nb เปนอนกรมลเขาแลว ( )n na b เปนอนกรมลเขาดวย
และ ผลบวกของอนกรมจะอยในรป ( )n n n na b a b (2) ถา c เปนคาคงตวทไมเทากบ 0 แลวอนกรม na และ nca จะเปน
อนกรมลเขาเหมอนกน หรอ ลออกเหมอนกน ในกรณทลเขา จะมผลบวกเปน
1 1n n
n n
ca c a
(3) การลเขาหรอลออกจะยงคงเดม ถามการตดพจน n พจนแรกของอนกรมออกเปนจานวนจากด นนคอ สาหรบจานวนเตมบวก n อนกรม
1 2 31
nn
a a a a
และ 1 2n k k kn k
a a a a
จะลเขาเหมอนกน หรอ ลออกเหมอนกน
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 28
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
ขอสงเกต ในขอ (3) ของทฤษฎบท 3 แมวาการตดพจนแรก ๆ ออกของอนกรมลเขาจะไม กระทบผลของการลเขา แตผลบวกจะมคาเปลยนไป
ตวอยาง 3 จงหาผลบวกของอนกรม 1
1
3 2
4 5n nn
วธทา 1 1
1 1 1
3 2 3 2
4 5 4 5n n n nn n n
พจารณา 2 3
1
3 3 3 3
4 4 4 4nn
โดยม 3
4a และ 1
4r
ดงนน เปนอนกรมเรขาคณตลเขา
และพจารณา 1 2 3
1
2 2 2 22
5 5 5 5nn
โดยม 2a และ 1
5r
ดงนน เปนอนกรมเรขาคณตลเขาเชนกน จากทฤษฏบท 3 ขอ (1) อนกรมทกาหนดใหลเขาและมผลบวกอนกรม
1 1
1 1 1
3 2 3 2
4 5 4 5n n n nn n n
34
1 14 5
2 5 31
1 1 2 2
ตวอยาง 4 จงหาผลบวกของอนกรม 1
2 3
3 ( 1)( 2)nn n n
วธทา 1 1 1
2 3 2 3
3 ( 1)( 2) 3 ( 1)( 2)n nk n nn n n n
พจารณา 2 3
1
2 2 2 3
3 3 3 3nn
โดยม 2
3a และ 1
3r
ดงนน เปนอนกรมเรขาคณตลเขา จะได 23
11 3
21
3 1nn
และพจารณา 1
3
( 1)( 2)n n n
ให 1
3
( 1)( 2)
n
nk
Sk k
3 3 3 3
2 3 3 4 4 5 ( 1)( 2)n n
1 1 1 13
2 3 3 4 4 5 ( 1)( 2)n n
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 29
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
จาก 1 1 1
( 1)( 2) 1 2n n n n
จะได
1 1 1 1 1 1 1 13
2 3 3 4 4 5 1 2nSn n
1 1 1 1 1 1 1 13
2 3 3 4 4 1 1 2n n n
1 13
2 2n
และ 1 1 3lim lim3
2 2 2nn nS
n
จะได
1
3 3
( 1)( 2) 2n n n
นนคอ 1
2 3 3 11
3 ( 1)( 2) 2 2nn n n
ตวอยาง 5 อนกรม 1
5 5 5 55
2 3n n n
เปนอนกรมลออก
โดยทฤษฏบท 3 ขอ (2) เพราะวา 1 1
5 15
n nn n
เนองจาก 1
1
n n
เปนอนกรมฮารมอนก
ดงนน 1
5
n n
จงเปนอนกรมลออกดวย
ตวอยาง 6 อนกรม 10
1 1 1 1
10 11 12n n
เปนอนกรมลออก
โดยทฤษฏบท 3 ขอ (3) อนกรมนไดจากการตด 9 พจนแรกออกจากอนกรมฮารมอนก
ทลออก ดงนน 10
1
n n
จงเปนอนกรมลออกดวย
2.3 การทดสอบการลเขา (Convergence Test)
ถาอนกรม 1 2 na a a มพจนทไมเปนคาลบ แลวผลบวกยอย
1 1 ,S a
2 1 2 ,S a a
3 1 2 3 ,S a a a จะสรางลาดบคาไมลด กลาวคอ
1 2 3 nS S S S
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 30
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
ถามคาคงตวจากด M โดยท nS M สาหรบทก n แลว โดยทฤษฏบท ลาดบของผลบวกยอยนจะลเขาสลมต S โดยท S M ถาไมมคาคงตวจากด M ดงกลาวแลว lim nn
S
ดงจะกลาวตามทฤษฏบทตอไปน
ทฤษฏบท 4 ถา na เปนอนกรมทมพจนทไมเปนคาลบ และถามคาคงตว M 1 2n nS a a a M สาหรบทก n ถาอนกรมนจะลเขา และผลบวกยอยสอดคลอง S M
ถาไมม M ดงกลาว แลว อนกรมจะลออก 2.4 การทดสอบดวยอนทกรล (The Integral Test)
ถามอนกรมทแตละพจนเปนคาบวก เชน 2
1
1
n n
และถาสรางอนทกรลไมตรงแบบ
(Improper Integral) 2
1
1dx
x
ซงเปนตวทถกอนทกรลไดมาจากการแทน n ดวย x ในผลบวก
แลวจะมความสมพนธระหวางการลเขาของอนกรม และการลเขาของอนทกรลไมตรงแบบ ดงทฤษฏบทตอไปน ทฤษฏบท 5 การทดสอบดวยอนทกรล
ให na เปนอนกรมทมแตละพจนมคาเปนบวก และให ( )f x เปนฟงกชนทเกดจากการแทน n ดวย x ใน na ถา f มคาลดลงและมความตอเนองสาหรบ 1x
แลว 1
nn
a
และ
1
( )f x dx
จะลเขาทงค หรอ ลออกทงค
ขอสงเกต ถาดชนผลรวม (Summation Index) ในอนกรม na ไมไดเรมตนท 1n
การทดสอบดวยอนทกรลยงคงใชได เพยงแตเปลยนลมตลางในอนทกรลเทานน ซงสามารถแสดงใหเหนวา
nn K
a
และ ( )
K
f x dx
ลเขาเหมอนกน หรอ ลออกเหมอนกน
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 31
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
ตวอยาง 7 จงพจารณาวาอนกรม 2
1
1
n n
ลเขา หรอ ลออก
วธทา จาก 2
1na
n กาหนดให
2
1( ) nf n a
n
ดงนน 2
1( )f x
x โดย f มคาลดลงและมความตอเนองสาหรบ 1x ซง
สอดคลองกบขอสมมตในการทดสอบดวยอนทกรล
เนองจาก 2 2
1 1
1 1lim
m
mdx dx
x x
1
1 1lim lim 1 1
m
m mx m
ดงนน 2
1
1dx
x
ลเขา จะไดวา 2
1
1
n n
ลเขาดวย
ขอสงเกต จากตวอยาง 7 จะอาศยผลจาก 2
1
11dx
x
แลวสรปวา 2
1
11
n n
นนไมได
ในขนสงจะพสจนไดวา ผลบวกของอนกรม 2
21
11.644934 2
6n n
ตวอยาง 8 จงพจารณาวาอนกรม 1
1
n n
ลเขา หรอ ลออก (โดยการทดสอบดวยอนทกรล)
วธทา จาก 1na
n กาหนดให 1
( ) nf n an
ดงนน 1( )f x
x โดย f มคาลดลงและมความตอเนองสาหรบ 1x ซงสอดคลอง
กบขอสมมตในการทดสอบดวยอนทกรล
เนองจาก 1 1
1 1lim
m
mdx dx
x x
1lim ln lim ln ln1
m
m mx m
ดงนน 1
1dx
x
ลออก จะไดวา 1
1
n n
ลออกดวย
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 32
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
ตวอยาง 9 จงพจารณาวาอนกรม 2
1 1n
n
n
ลเขา หรอ ลออก
วธทา จาก 2 1n
na
n
กาหนดให
2( )
1n
nf n a
n
ดงนน 2
( )1
xf x
x
โดย f มคาลดลงและมความตอเนองสาหรบ 1x ซง
สอดคลองกบขอสมมตในการทดสอบดวยอนทกรล
เนองจาก 2
2 2 21 1 1
1 ( 1)lim lim
1 1 1 2
m m
m m
x x d xdx dx
x x x
2 2
1
1 1lim ln( 1) lim ln( 1) ln 2
2 2
m
m mx m
ดงนน 2
1 1
xdx
x
ลออก จะไดวา 2
1 1n
n
n
ลออกดวย
ตวอยาง 10 จงพจารณาวาอนกรม 24 9
1 2 3n
n
e e e e ลเขา หรอ ลออก
วธทา จาก 2n n
na
e กาหนดให 2( ) n n
nf n a
e
ดงนน 2
2( ) x
x
xf x xe
e สาหรบ 1x ฟงกชนนมคาบวกและมความตอเนอง
ทดสอบ f มคาลดลง โดยการใชอนพนธไดดงน
2 2
( ) ( 2 )x xf x x xe e 2 2
2x xe xe 2
(1 2 ) 0xe x สาหรบ 1x ดงนน f มคาลดลง สาหรบ 1x ซงสอดคลองกบขอสมมตในการทดสอบดวย อนทกรล
เนองจาก 2
2 2 2
1 1 1
( )lim lim
2
m m xx x x
m m
d exe dx xe dx e
2 2 1
1
1 1lim lim( )
2 2
mx m
m me e e
2
1 1 1 1 1 1lim 0
2 2 2mm e e ee
ดงนน 2
1
xxe dx
ลเขา จะไดวา 2
1n
n
n
e
ลเขาดวย
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 33
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
2.5 อนกรมพ (P-series)
บทนยาม 1 อนกรมพ หรอ อนกรมไฮเพอรฮารมอนก (Hyper-harmonic series) คอ อนกรมท สามารถเขยนอยในรปดงน
1
1 1 1 11
2 3p p p pn n n
โดยท 0p
ตวอยาง 11 อนกรมพ
1
1 1 1 11
2 3n n n
โดยท 1p
2 2 2 21
1 1 1 11
2 3n n n
โดยท 2p
1
1 1 1 11
2 3n n n
โดยท 1
2p
การลเขาของอนกรมพ กลาวไวในทฤษฎบทตอไปน
ทฤษฏบท 6 การทดสอบดวยอนกรมพ
1
1 1 1 11
2 3p p p pn n n
โดยท 0p
เปนอนกรมลเขา ถา 1p และ เปนอนกรมลออก ถา 0 1p
ขอสงเกต จากทฤษฏบท 6 ถา 0p จะได 1
1p
n n
ลเขา ถา 1p และลออก ถา 1p
ตวอยาง 12 อนกรม 3 3 3
1 1 11
2 3 n
เปนอนกรมลออก เนองจากเปนอนกรม -พ ทม 11
3p
2.6 การทดสอบดวยการเปรยบเทยบ (Comparison Test)
ทฤษฏบท 7 การทดสอบดวยการเปรยบเทยบ สมมตให na และ nb เปนอนกรมทมแตละพจนไมเปนลบ (Non - negative) และมจานวนเตมบวก N ซง n na b ถา n N แลว 1) ถา nb ลเขา แลว na จะลเขาดวย 2) ถา na ลออก แลว nb จะลออกดวย
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 34
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
ตวอยาง 13 จงพจารณาวาอนกรม 2
1
( 1)n n n
ลเขา หรอ ลออก
วธทา พจารณาพจนท n
เนองจาก 2
1 1 1
( 1)n n n n n
ดงนน 2
1 1
( 1)n n n
1 1
( 1) nn n
แตเนองจาก 1
1
n n
ลออก เพราะวาเปนอนกรมฮารมอนก
จากการทดสอบดวยการเปรยบเทยบ จะไดวา 2
1
( 1)n n n
ลออก
ตวอยาง 14 จงพจารณาวาอนกรม 3
1
ln
2 1n
n
n
ลเขา หรอ ลออก
วธทา เนองจาก ln n n และ 3 3
1 1
2 1n n
ดงนน 3 3 2
ln 1
2 1
n n
n n n
แตเนองจาก 2
1
1
n n
ลเขา เพราะวาเปนอนกรมพ 2 1p
จากการทดสอบดวยการเปรยบเทยบ จะไดวา 3
1
ln
2 1n
n
n
ลเขา
ตวอยาง 15 จงพจารณาวาอนกรม 2 2
1 cos ( )n
n
n n
ลเขา หรอ ลออก
วธทา เนองจาก 2
1n
n n
ดงนน 2 2 2
1
cos ( )
n n
n n n n
แตเนองจาก 1
1
n n
ลออก เพราะวาเปนอนกรมฮารมอนก
จากการทดสอบดวยการเปรยบเทยบ จะไดวา 2 2
1 cos ( )n
n
n n
ลออก
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 35
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
ตวอยาง 16 จงพจารณาวาอนกรม 1
1
2 3nn
ลเขา หรอ ลออก
วธทา เนองจาก 1 1
2 3 2n n
แตเนองจาก 1
1
2nn
ลเขา เพราะวาเปนอนกรมเรขาคณต เมอ 1
2r และ 1r
จากการทดสอบดวยการเปรยบเทยบ จะไดวา 1
1
2 3nn
ลขา
ตวอยาง 17 จงพจารณาวาอนกรม 2
41
2
5n
n
n
ลเขา หรอ ลออก
วธทา เนองจาก 2 2
4 4
2 2
5
n n
n n
พจารณา 2 2
4 4 41 1 1
2 2
n n n
n n
n n n
2 4
1 1
1 2
n nn n
แตเนองจาก 2
1
1
n n
ลเขา เพราะวาเปนอนกรมพ ทม 2p และ
4
1
2
n n
ลเขา เพราะวาเปนอนกรมพ ทม 4p
ดงนน 2
41
2
n
n
n
ลเขาดวย
จากการทดสอบดวยการเปรยบเทยบ จะไดวา 2
41
2
5n
n
n
ลเขา
2.7 การทดสอบดวยการเปรยบเทยบลมต (Limit Comparison Test)
ทฤษฏบท 8 การทดสอบดวยการเปรยบเทยบลมต สมมตให na และ nb โดยท , 0n na b สาหรบทก n
และนยาม lim n
nn
aL
b ถา 0L และ L เปนจานวนจากด ( L )
แลว na และ nb ลเขาเหมอนกน หรอ ลออกเหมอนกน
หมายเหต จากทฤษฏบท 8 ในกรณ lim 0n
nn
a
b จะสามารถสรปไดเพยงวา
ถา nb ลเขา แลว na ลเขา ถา nb ลออก แลว na ลออก
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 36
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
ตวอยาง 18 จงพจารณาวาอนกรมตอไปน ลเขา หรอ ลออก
(ก) 1
1
1n n
(ข)
21
1
2n n n
(ค) 3 2
7 31
3 2 4
2n
n n
n n
(ง)
1
1
(2 1)n n n
วธทา (ก) ให 1
1na
n
และ 1
nbn
เพราะวา lim lim1
n
n nn
a n
b n
1
lim lim 111 1
n n
n
nn
และ 1
1
n n
เปนอนกรมลออก เพราะวาเปนอนกรมพ ทม 1
12
p
โดยทฤษฏบท 8 จะได 1
1
1n n
ลออก
(ข) ให 2
1
2nan n
และ 2
1
2nbn
เพราะวา 2
2
2lim lim
2n
n nn
a n
b n n
2
lim 11
2n
n
และ 2
1
1
n n
เปนอนกรมลเขา เพราะวาเปนอนกรมพ ทม 2 1p
จงทาให 2
1
1
2n n
เปนอนกรมลเขาดวย ดงนน
21
1
2n n n
ลเขา
(ค) พจารณา 3
7 41 1
3 3
n n
n
n n
ให 3 2
7 3
3 2 4
2n
n na
n n
และ
3
7 4
3 3n
nb
n n
จะได
3 2
7 3
4
3 2 42lim lim
3n
n nn
n na n nb
n
7 6 4
7 3
3 2 4lim 1
3 3 6n
n n n
n n
แตเนองจาก 4
1
1
n n
เปนอนกรมลเขา เพราะวาเปนอนกรม - พ ทม 4 1p
ดงนน 4
1
3
n n
เปนอนกรมลเขาดวย โดยทฤษฏบท 8 จะได
3 2
7 31
3 2 4
2n
n n
n n
ลเขา
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 37
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
(ง) ให 1
(2 1)na
n n
และ 1
nbn
จะได 1 1lim lim lim
(2 1) 1 22
n
n n nn
a n
b n nn
และ 1
1
n n
เปนอนกรมลออก เพราะวาเปนอนกรมฮารมอนก
โดยทฤษฏบท 8 จะได 1
1
(2 1)n n n
ลออก
ตวอยาง 19 จงพจารณาวาอนกรม 3
1 2 1n
n n
n
ลเขา หรอ ลออก
วธทา ให 32 1n
n na
n
และ
3 2
1
2 2n
nb
n n
เพราะวา 3
3
( ) 2lim lim
2 1n
n nn
a n n n
b n
5
3 2
3
2 2lim 1
2 1n
n n
n
และ 2
1
1
2n n
เปนอนกรมลเขา เพราะวาเปนอนกรม -พ ทม 1p
ดงนน 3
1 2 1n
n n
n
ลเขา
2.8 การทดสอบดวยอตราสวน (The Ratio Test) ทฤษฏบท 9 การทดสอบดวยอตราสวน
ให na เปนอนกรมใด ๆ โดยท 0na สาหรบทกจานวนเตมบวก n และ 1lim n
nn
aL
a
เมอ L เปนจานวนจรง แลว
1) ถา 1L จะไดวา na ลเขา 2) ถา 1L หรอ L จะไดวา na ลออก 3) ถา 1L การทดสอบไมสามารถสรปผลได
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 38
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
ตวอยาง 20 จงพจารณาวาอนกรมตอไปน ลเขา หรอ ลออก (โดยการทดสอบดวยอตราสวน)
(ก) 1
( 1)
2
n
nn
n
(ข) 1
1
!n n
(ค) 1
!n
n
n
n
(ง)
1
(2 )!
4nn
n
(จ) 24
1
n
n
n e
วธทา (ก) พจารณา 1 1
( 1)
2 2
n
n nn n
n n
เพราะวา 11
1 2lim lim
2
nn
nn nn
a n
a n
1
( 1)2 1 1lim lim 1
2 2 2
n
nn n
n n
n n
ดงนน 1
( 1)
2
n
nn
n
ลเขา จะไดวา 1
( 1)
2
n
nn
n
ลเขา
(ข) เพราะวา 1 1/ ( 1)! ! 1lim lim lim lim 0 1
1/ ! ( 1)! 1n
n n n nn
a n n
a n n n
ดงนน 1
1
!n n
ลเขา
(ค) เพราะวา 1( 1)
( 1)! 1 1lim lim lim lim 1
( 1) ( 1)! ! ( 1) 11
n nn
nn nn n n nn
a n n n
a n n n n e
n
ดงนน 1
!n
n
n
n
ลเขา
(ง) เพราะวา
1( 1)
(2( 1))! 4 (2 2)! 1 1lim lim lim lim(2 2)(2 1)
4 (2 )! (2 )! 4 4
nn
nn n n nn
a n nn n
a n n
ดงนน 1
(2 )!
4nn
n
ลออก
(จ) เพราะวา 2 2
2 2
4 41
4 4( 1) ( 1)
( 1) ( 1)lim lim lim
n nn
n nn n nn
a n e n e
a n ne e
2
2
4
2 1
1lim
n
n nn
n e
n e
4
2 1
1 1lim
nn
n
n e
42 11
lim lim( ) 1 0 0 1n
n n
ne
n
ดงนน 24
1
n
n
n e
ลเขา
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 39
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
2.9 การทดสอบโดยราก (The Root Test)
ทฤษฏบท 10 การทดสอบโดยราก ให na เปนอนกรมใด ๆ โดยท 0na สาหรบทกจานวนเตมบวก n และ
lim nnn
a L
เมอ L เปนจานวนจรง แลว
1) ถา 1L จะไดวา na ลเขา 2) ถา 1L หรอ L จะไดวา na ลออก 3) ถา 1L การทดสอบไมสามารถสรปผลได ตวอยาง 21 จงพจารณาวาอนกรมตอไปน ลเขา หรอ ลออก
(ก) 2
1 1
n
n
n
n
(ข) 1
4 5
2 1
n
n
n
n
(ค) 1
1
(ln( 1))nn n
วธทา (ก) เพราะวา
2
1
1 1 1lim lim lim lim lim 1
1 1 11
nn n
n nn nnn n n n n
n
n na
n n e
n
เพราะวา 1lim 1 2.718282818
n
ne
n
ดงนน 2
1 1
n
n
n
n
ลเขา
(ข) เพราะวา 4 5lim lim
2 1
n
n nnn n
na
n
4 5
lim 2 12 1n
n
n
ดงนน 1
4 5
2 1
n
n
n
n
ลออก
(ค) เพราะวา 1lim lim
(ln( 1))n nn nn n
an
1lim 0 1
ln( 1)n n
ดงนน 1
1
(ln( 1))nn n
ลเขา
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 40
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
2.10 อนกรมสลบ (Alternative series)
บทนยาม 2 อนกรมสลบ คอ อนกรมซงมพจนตาง ๆ เปนบวก (Positive) และลบ (negative) สลบกน สามารถเขยนอยในรปดงน
1
( 1)nn
n
a
หรอ 1
1
( 1)nn
n
a
โดยท 0na สาหรบทกจานวนเตมบวก n
เชน 1
1 2 3 4 5( 1)
1 2 3 4 5 6n
n
n
n
ซง
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5, , , , , , ( 1)
2 3 4 5 6 1n
n
na a a a a a
n
พบวา พจนตาง ๆ ของ na นเปนบวกและลบสลบกน เพราะฉะนน 1
( 1)1
n
n
n
n
เปน
อนกรมสลบ และอนกรมสลบนบางอนกรมลเขา บางอนกรมลออก แตอนกรมสลบทลเขาจะตองมสมบตตามทฤษฎบทตอไปน ซงเรยกวา “การทดสอบอนกรมสลบ” ทฤษฏบท 11 การทดสอบอนกรมสลบ
ให { }na เปนลาดบทมพจนตาง ๆ เปนบวก ซงมสมบต 1) 1n na a สาหรบทกจานวนเตมบวก n และ 2) lim 0nn
a
แลว ( 1)nna ลเขา และ 1n nS S a
เมอ S เปนผลบวกของอนกรม และ nS เปนผลบวกยอยพจนท n ตวอยาง 22 จงพจารณาวาอนกรมตอไปน ลเขา หรอ ลออก
(ก) 1
1
( 1)n
n n
(ข) 1
( 1)n
n n n
(ค) 1
cos( )
n
n
n
วธทา (ก) ให 1na
n และ 1
1
1nan
เนองจาก 1
1 1
1n na an n
สาหรบทก 1n และ 1
lim 0n n
จากการทดสอบอนกรมสลบ จะได 1
1
( 1)n
n n
ลเขา
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 41
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
(ข) ให 1na
n n และ 1
1
( 1) 1na
n n
เนองจาก 1
1( 1) 1 1n
n
an n
a n n
เพราะวา 1n n และ 1n n นนคอ 1n na a สาหรบทก 1n
แสดงวา { }na เปนลาดบลด และ 1lim 0n n n
จากการทดสอบอนกรมสลบ จะได 1
( 1)n
n n n
ลเขา
(ค) เพราะวา cos( ) ( 1)nn
ดงนน 1 1
cos( ) ( 1)n
n n
n
n n
ให 1na
n และ 1
1
1na
n
เนองจาก 1
1 1
1n na a
n n
สาหรบทก 1n และ 1
lim 0n n
จากการทดสอบอนกรมสลบ จะได 1
cos( )
n
n
n
ลเขา
2.11 การลเขาสมบรณ และการลเขามเงอนไข (Absolute Convergence and Condition Convergence)
บทนยาม 3 อนกรม na เรยกวา ลเขาอยางสมบรณ (Absolutely Convergent) ถา na ลเขา และ อนกรม na เรยกวา ลเขาอยางมเงอนไข (Conditionally Convergent) ถา na ลเขา แต na ลออก
ทฤษฏบท 12 ถาอนกรม na ลเขา แลวอนกรม na ลเขา
ตวอยาง 23 จงพจารณาวาอนกรม 1
sink
n
n
n
ลเขาอยางสมบรณ หรอไม เมอ 1k
วธทา พจารณา 1 1
sinsink k
n n
nn
n n
เนองจาก 1 sin 1n จะได sin 1n
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 42
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
จะไดวา sin 1k k
n
n n
แต 1
1k
n n
ลเขา เพราะวาเปนอนกรม 1k
โดยการทดสอยดวยการเปรยบเทยบ จะไดวา 1
sink
n
n
n
ลเขาดวย
ดงนน อนกรม 1
sink
n
n
n
ลเขาอยางสมบรณ
ตวอยาง 24 จงพจารณาวาอนกรมตอไปนลเขาอยางสมบรณ หรอไม
(ก) 1
( 1)n
kn n
เมอ 0 1k
(ข) 1
( 1) !n
nn
n
n
วธทา (ก) พจารณา 1 1
( 1) 1n
k kn nn n
ซง
1
1k
n n
เปนอนกรมลออก
เพราะวาเปนอนกรม k เมอ 1k
ดงนน 1
( 1)n
kn n
ไมลเขาอยางสมบรณ
(ข) พจารณา 1 1
( 1) ! !n
n nn n
n n
n n
โดยการทดสอบดวยอตราสวน ให !n n
na
n และ 1 ( 1)
( 1)!
( 1)n n
na
n
พจารณา 11
( 1)!lim lim
( 1) !
nn
nn nn
a n n
a n n
lim lim( 1) 1
nn
nn n
n n
n n
1
1 1lim 1
1
n
nn e
เพราะวา 1lim 1
n
ne
n
ดงนน 1 1
( 1) ! !n
n nn n
n n
n n
ลเขา
จะไดวา 1
( 1) !n
nn
n
n
ลเขาอยางสมบรณ
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 43
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
ตวอยาง 25 จงพจารณาวาอนกรมตอไปนลเขาอยางมเงอนไข หรอไม
(ก) 1
( 1)n
n n
(ข) 2
( 1)
ln
n
n n n
วธทา (ก) พจารณา 1
( 1)n
n n
ให 1na
n และ 1
1
1nan
เนองจาก 1 1
1n
n
an
a n
1
1
n
n
เพราะวา 1n n
เพราะฉะนน { }na เปนลาดบลด สาหรบทก 1n และ 1lim lim 0nn n
an
โดยการทดสอบอนกรมสลบ จะไดวา 1
( 1)n
n n
ลเขา ……….. (1)
ตอไปพจารณา 1 1
( 1) 1n
n nn n
เพราะวา 1
1
n n
ลออก เนองจากเปนอนกรมฮารมอนก
ดงนน 1
( 1)n
n n
ลออก ……….. (2)
จากสมการ (1) และ (2) จะได
1
( 1)n
n n
เปนอนกรมลเขาอยางมเงอนไข
(ข) พจารณา 2
( 1)
ln
n
n n n
ให 1
lnnan n
และ 1
1
( 1) ln( 1)nan n
เพราะวา 1 ln
( 1) ln 1n
n
a n n
a n n
ln
11 ln( 1)
n n
n n
เนองจาก 1n n และ ln( 1) lnn n
ดงนน { }na เปนลาดบลด และ 1lim lim 0
lnnn na
n n
โดยการทดสอบอนกรมสลบ จะไดวา
2
( 1)
ln
n
n n n
ลเขา ……….. (3)
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 44
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
ตอไปพจารณา 2 2
( 1) 1
ln ln
n
n nn n n n
โดยการทดสอบดวยอนทกรล
ให 1( )
lnf x
x x
พจารณา 2 2
1( ) lim
ln
l
lf x dx dx
x x
2
1lim (ln )
ln
l
ld x
x
2lim ln(ln )l
lx
lim ln(ln ) ln(ln 2)l
l
ln(ln 2)
เพราะฉะนน 2
1
lndx
x x
ลออก แลวทาให
2 2
( 1) 1
ln ln
n
n nn n n n
ลออกดวย ……….. (4)
จากสมการ (3) และ (4) จะได
อนกรม 2
( 1)
ln
n
n n n
ลเขาอยางมเงอนไข
การทดสอบโดยอตราสวนสาหรบการลเขาอยางสมบรณ (The Ratio test for Absolute Convergence) ทฤษฏบท 13 ให na เปนอนกรมทมแตละพจนไมเปนศนย สาหรบทกจานวนเตมบวก n และ
1lim n
nn
aL
a
เมอ L เปนจานวนจรง แลว
1) ถา 1L จะไดวา na ลเขาอยางสมบรณ (และดงนน na ลเขา) 2) ถา 1L จะไดวา na ลออก 3) ถา 1L การทดสอบไมสามารถสรปผลได
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 45
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
ตวอยาง 26 จงพจารณาวาอนกรมตอไปน ลเขา หรอ ลออก
(ก) 2 1
1
( 10)
4 ( 1)
n
nn n
(ข)
2
1 (2 1)!n
n
n
(ค) 1
1
9
( 2)
n
nn n
(ง)
21
( 1)
1
n
n n
วธทา (ก) ให 2 1
( 10)
4 ( 1)
n
n na
n
และ
1 1
1 2( 1) 1 2 3
( 10) ( 10)
4 [( 1) 1] 4 ( 2)
n n
n n na
n n
เพราะวา 1 2 1
1 2 3
1 ( 10) 4 ( 1)lim lim
4 ( 2) ( 10)
n n
n n nn nn
na
a n
1
2 2
110( 1) 5 1 5lim lim lim
4 ( 2) 8 2 8 1n
n n nn
n n
n n
51
8
โดยการทดสอบดวยอตราสวน จะไดวา
2 11
( 10)
4 ( 1)
n
nn n
ลเขาอยางสมบรณ
ดงนน 2 1
1
( 10)
4 ( 1)
n
nn n
ลเขาดวย
(ข) ให 2
(2 1)!n
na
n
และ
2
1
( 1)
(2( 1) 1)!n
na
n
เพราะวา 2 2
1 2
1 ( 1) (2 1)!lim lim
(2( 1) 1)!nn nn
n n na
a n n
2
2
( 1) (2 1)!lim
(2 1)!n
n n
n n
2
2
( 1) (2 1)!lim
(2 1)(2 )(2 1)!n
n n
n n n n
2
2
( 1)lim 0 1
(2 1)(2 )( )n
n
n n n
โดยการทดสอบดวยอตราสวน จะไดวา 2
1 (2 1)!n
n
n
ลเขาอยางสมบรณ ดงนน 2
1 (2 1)!n
n
n
ลเขาดวย
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 46
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
(ค) ให 1
9
( 2)
n
n na
n
และ ( 1)
1 ( 1) 1
9
( 2) ( 1)
n
n na
n
เพราะวา ( 1) 1
1 ( 1) 1
1 9 ( 2)lim lim
( 2) ( 1) 9
n n
n n nn nn
na
a n
9lim
( 2)( 1)n
n
n
9 9lim 1
2 1 2n
n
n
โดยการทดสอบดวยอตราสวน จะไดวา 1
1
9
( 2)
n
nn n
ลออก
(ง) ให 2
1
1nan
และ 1 2
1
( 1) 1nan
เพราะวา 12 2
1 1
1 ( 1) 1n na an n
เนองจาก 2 2( 1) 1 1n n
เพราะฉะนน { }na เปนลาดบลด และ 2
1lim lim 0
1nn na
n
โดยการทดสอบอนกรมสลบ จะได 2
1
( 1)
1
n
n n
ลเขา
ทฤษฏบท 14 การทดสอบโดยรากสาหรบการลเขาอยางสมบรณ
ให na เปนอนกรม และนยาม
1
lim limn nn n
n nL a a
เมอ L เปนจานวนจรง แลว
1) ถา 1L จะไดวา na ลเขาอยางสมบรณ (และดงนน na ลเขา) 2) ถา 1L จะไดวา na ลออก 3) ถา 1L การทดสอบไมสามารถสรปผลได ตวอยาง 27 จงพจารณาวาอนกรมตอไปน ลเขา หรอ ลออก
(ก) 1 2
1 3
n
nn
n
(ข)
3
31
5 3
7 2
n
n
n n
n
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 47
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
วธทา (ก) เพราะวา 1
1
1 2 22lim lim 1
3 33n
n n
nn n
n n
จากการทดสอบโดยราก จะไดวา 1 2
1 3
n
nn
n
ลออก
(ข) เพราะวา 2
3
1
53 3
3 3 2
35 3 5 3lim lim lim
7 2 7 2 7
n nn
n n nn
n n n n
n n
3 31
7 7
จากการทดสอบโดยราก จะไดวา 3
31
5 3
7 2
n
n
n n
n
ลเขา
2.12 อนกรมกาลงและฟงกชน (Power series and functions) บทนยาม 4 อนกรมกาลง (power series) คอ อนกรมอนนตทอยในรป
20 0 1 0 2 0
0
( ) ( ) ( )nn
n
a x x a a x x a x x
……….. (5)
เมอ 0 1 2, , ,a a a เปนคาคงตว เรยกวาสมประสทธของอนกรมกาลง คาคงตว 0x
เรยกวา จดศนยกลางของอนกรม (Center of the series) และ x เปนตวแปรอสระ
ในกรณท 0 0x จะเรยกอนกรม (5) วา อนกรมกาลงใน x เชน 0 0
, !!
nn
n n
xn x
n
และ
2 1
0
( 1)(2 1)!
nn
n
x
n
เปนตน แตถา 0 0x จะเรยก (5) วา อนกรมกาลงใน 0x x เชน
0
( 1)
1
n
n
x
n
และ 0
( 3)( 1)
!
nn
n
x
n
เปนตน เนองจาก x มคาตาง ๆ กน เมอแทนลงในอนกรมกาลง (5) จะได
อนกรมทลเขา หรอ ลออกกได เชน พจารณาอนกรมกาลง 2
1
( 5)n
n
x
n
ถา 6x จะได
อนกรม 2
1
1
n n
ซงเปนอนกรมพ 2p ลเขา ถา 3x จะได อนกรม
2 21 1
( 2) ( 1) 2n n n
n nn n
ซงเปนอนกรมสลบทลออก ดงนน อนกรมกาลง จงมจดบางจด หรอ ชวงบางชวงททาใหอนกรมลเขา
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 48
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
หมายเหต
1. อนกรม (5) ลเขาบนชวง 0 0( , )x R x R ถา 00
lim ( )n
kk
nk
a x x
หาคาได
สาหรบทก 0 0( , )x x R x R และจะเขยน 00
( ) ( )nn
n
f x a x x
2. เรยกชวง 0 0( , )x R x R วาชวงของการลเขา และเรยก R วา รศมของการลเขา (ถา 0R อนกรมลเขาทจด 0x เพยงจดเดยว และถา R อนกรมลเขาทกคาของ x )
ขนตอนการทดสอบการลเขาของอนกรมกาลง
ขน 1 ใชการทดสอบดวยอตราสวน หรอ การทดสอบโดยรากท n จะทราบวาอนกรมกาลงลเขา ในชวงใด ซงจะไดรปชวงเปด 0x x R หรอ 0 0x R x x R
ขน 2 จะทาการทดสอบปลายชวง โดยนาจดปลายไปแทนในอนกรมกาลง จะไดอนกรมคาคงตว ซง จะตองใชวธการอน ๆ ในการทดสอบ เชน การทดสอบดวยการเปรยบเทยบ การทดสอบดวยอนทกรล หรอ การทดสอบอนกรมสลบ เปนตน
จะกลาววา อนกรม 00
( )nn
n
a x x
ลเขาสมบรณท x ถา 0 00 0
( ) ( )n nn n
a x x a x x
ซงสามารถแสดงไดวา ถาอนกรมใดลเขาอยางสมบรณ แลวอนกรมนนจะลเขา อยางไรกตาม อนกรมไมจาเปนตองลเขาเสมอไป
การทดสอบการลเขาอยางสมบรณของอนกรมกาลง มกใชการทดสอบดวยอตราสวน ซง กลาวไววา ถา 0na และสาหรบคาของ x ทกาหนดให โดยม
11 0 1
0 00
( )lim lim
( )
nn n
nn nn n
a x x ax x L x x
a x x a
แลวอนกรมกาลงลเขาสมบรณท x ถา 0
1x x
L และเปนอนกรมลออก ถา 0
1x x
L
ตวอยาง 28 สาหรบคา x ในอนกรมกาลง 1
0
( 1) ( 3)n n
n
n x
จงพจารณาการลเขาอนกรมน
วธทา เพราะวา 2 1
1
( 1) ( 1)( 3) 1lim 3 lim 3 (1) 3
( 1) ( 3)
n n
n nn n
n x nx x x
n x n
จะเหนวาการลเขาของอนกรม เปนดงน
อนกรมนลเขาสมบรณ เมอ 3 1x หรอ 2 4x
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 49
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
อนกรมนลออก เมอ 3 1x หรอ เมอคาของ 2x หรอ 4x
สรปไมไดวาอนกรม เมอ 3 1x หรอเมอคาของ 2x หรอ 4x
ตวอยาง 29 จงพจารณารศมของการลเขาของอนกรมกาลง 1
( 2)
3
n
nn
x
n
วธทา เพราะวา 1
1
2 2( 2) 3 1lim lim 1
( 1)3 ( 2) 3 3
n n
n nn n
x xx n n
n x n
ดงนน อนกรมนลเขาอยางสมบรณ เมอ 2 3x หรอ 5 1x และลออก เมอ 2 3x
นนคอ รศมของการลเขาของอนกรมกาลงนคอ 3R เมอตรวจสอบจดปลายของชวงของการลเขา จะพบวา เมอ 1x ซงทาให
อนกรมกลายเปนอนกรมฮารมอนก 1
1
n n
เปนอนกรมลออก เมอ 5x
พบวา 1 1
( 5 2) ( 1)
3
n n
nn nn n
เปนอนกรมลเขามเงอนไขท 5x
ตวอยาง 30 จงหารศมของการลเขาและชวงของการลเขาของอนกรมกาลงตอไปน
(ก) 1
( 6)n
nn
x
n
(ข) 1
2(4 8)
nn
n
xn
วธทา (ก) โดยการทดสอบดวยราก
เพราะวา 1
( 6) 6 1lim lim 6 lim 0 1
n n
nn n n
x xL x
n n n
สาหรบทกคา x
จะไดวา อนกรมนลเขาอยางสมบรณ สาหรบทกคา x ดงนน รศมของการลเขา คอ R และชวงของการลเขา คอ ( , )
(ข) โดยการทดสอบดวยอตราสวน
เพราะวา 1
12 2 (4 8)lim (4 8) lim
1 2 (4 8) 1
nn
n nn n
n n xL x
n x n
24 8 lim 2 4 8
1n
nx x
n
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 50
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
จะไดวา อนกรมนลเขาสมบรณ เมอ 12 4 8 1 2
8x x
อนกรมนลออก เมอ 12 4 8 1 2
8x x
ดงนน รศมของการลเขาของอนกรมน คอ 1
8R
ตอไปจะหาชวงของการลเขาของอนกรมน
จาก 12
8x จะได 1 1 15 17
28 8 8 8
x x
ตอไปตรวจสอบจดปลายของชวงของการลเขา
เมอ 15
8x จะทาให
1 1 1
2 15 2 1 ( 1)8
2 2
n nn n n
n n nn n n
เปนอนกรมสลบ ซงลเขา
เมอ 17
8x จะทาให
1 1 1
2 17 2 1 18
2 2
n nn n
n n nn n n
เปนอนกรมฮารมอนก ซงลออก
จะไดวา อนกรมกาลงลเขาท 15
8x และลออกท 17
8x
ดงนน ชวงของการลเขาของอนกรม คอ 15 17
8 8x
สมบตเชงพชคณตของอนกรมกาลง
ถา 00
( )nn
n
a x x
และ 00
( )nn
n
b x x
ลเขาส ( )f x และ ( )g x ตามลาดบ เมอ
0 , 0x x R R สาหรบ 0x x R หรอ 0 0( , )x x R x R แลวขอความตอไปนเปนจรง
1) 00
( ) ( ) ( )( )nn n
n
f x g x a b x x
2) 0 0 00 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nn n n
n n n
f x g x a x x b x x c x x
เมอ 0 1 1 2 2 0n n n n nc a b a b a b a b
และ 00
( )( )
( )n
nn
f xd x x
g x
ถา ( ) 0g x
เพราะวา ถา 00
( )( )
( )n
nn
f xd x x
g x
เมอ 0 0( , )x x R x R
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 51
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
ดงนนจะได 00
( ) ( ) ( )nn
n
f x g x d x x
0 0 00 0 0
( ) ( ) ( )n n nn n n
n n n
a x x d x x b x x
0
0 0
( )n
kk n k
n k
d b x x
ซงจะเหนวาในกรณทอนกรมกาลงทเกดจากการหารของอนกรมลเขาอาจมรศมแหงการลเขานอยกวา R ได
การเขยนฟงกชนในรปของอนกรมกาลง
จากอนกรมเรขาคณตลเขา 0 1
n
n
aar
r
เมอ 1r
ถาให 1a และ r x จะไดวา 0
1
1n
n
xx
เมอ 1x
ถาให 1( )
1f x
x
แลวฟงกชนนจะสามารถเขยนอยในรปอนกรมกาลง
2
0
1( ) 1
1n
n
f x x x xx
เมอ 1x
จะสงเกตไดวา ถา 1x แลวเอกลกษณดงกลาวจะไมเปนจรง เชน ถา 2x จะได (2) 1f
แต 0
2n
n
ดงนน การทจะเขยนฟงกชนใหอยในรปของอนกรมกาลงจะตองพจารณาถงเงอนไขของ
การลเขาของอนกรมดวย ตวอยาง 31 จงเขยนฟงกชนทกาหนดใหตอไปนในรปของอนกรมกาลง
(ก) ( )5
xf x
x
(ข)
3
1( )
1f x
x
วธทา (ก) พจารณา 1( )
5f x x
x
ให 1
( )5
g xx
จะไดวา 5 5
1 1 1( )
5(1 ) 5 1x xg x
0
1
5 5
n
n
x
0
1
5 5
n
nn
x
เมอ 15
x
1
0 5
n
nn
x
ชวงของการลเขาของอนกรม คอ 15
x จะได 1
1 55
x x
ดงนน อนกรมกาลงของฟงกชน ( )g x คณดวย x จะได
1
1 10 0
1( )
5 5 5
n n
n nn n
x xf x x x
x
เมอ 5x
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 52
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
(ข) พจารณา 3
1( )
1 ( )f x
x
จะไดวา 3
0
( ) ( )n
n
f x x
เมอ 3 1x
3
0
( 1)n n
n
x
เมอ 31 1x x
ดงนน อนกรมกาลงของฟงกชน 3
0
( ) ( 1)n n
n
f x x
เมอ 1x
2.13 อนกรมเทยเลอรและอนกรมแมคลอรน (Taylor and Maclaurin series)
สาหรบชวงของการลเขา 0 0( , )x R x R และ 00
( ) ( )nn
n
f x a x x
เปนฟงกชน
ตอเนองและมอนพนธของทกอนดบ ซงหา , ,f f ไดโดยอาศยการหาอนพนธอนกรมทละพจน นนคอ
20 0 1 0 2 0
0
( ) ( ) ( ) ( )nn
n
f x a x x a a x x a x x
10 1 2 0 0
0
( ) ( ) 2 ( ) ( )n nn n
n
df x a x x a a x x na x x
dx
10
1
( )nn
n
na x x
22 3 0 0( ) 2 6 ( ) ( 1) ( )n
nf x a a x x n n a x x
20
2
( 1) ( )nn
n
n n a x x
(3) 33 4 0 0 0
0
( ) 6 24 ( ) ( 1)( 2) ( ) ( )n nn n
n
f x a a x x n n n a x x a x x
30
3
( 1)( 2) ( )nn
n
n n n a x x
( )
1 0 00
( ) ( 1)( 2) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( )k n k nk k n
n
f x n n n n k a n n n k a x x a x x
0( 1)( 2) ( 1) ( )n kn
n k
n n n n k a x x
ซงแตละอนกรมลเขาอยางสมบรณสาหรบชวงของการลเขา 0 0( , )x R x R เมอแทน 0x x จะได
(3) ( )0 0 0 1 0 2 0 3 0( ) , ( ) , ( ) 2! , ( ) 3! , , ( ) !n
nf x a f x a f x a f x a f x n a
ดงนน ( )
0( )
!
n
n
f xa
n และเขยนอนกรมกาลงอยในรป
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 53
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
2 ( )0 0 0 0
0 0 0
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
2! !
n nf x x x f x x xf x f x f x x x
n
( )
0 0
0
( )( )
!
n n
n
f x x x
n
บทนยาม 5 ถา f เปนฟงกชนทสามารถหาอนพนธไดทกอนดบ n ท 0x แลว จะเรยกอนกรม
( ) 2
0 0 0 00 0 0
0
( )( ) ( )( )( ) ( )( )
! 2!
n n
n
f x x x f x x xf x f x x x
n
( )
0 0( )( )
!
n nf x x x
n
……….. (7)
วา อนกรมเทยเลอร (Taylor Series) สาหรบ f รอบจด 0x x ถา 0 0x จะได ( ) 2 ( )
0
(0) (0) (0)(0) (0)
! 2! !
n n n n
n
f x f x f xf f x
n n
……….. (8)
เรยกอนกรม (8) วา อนกรมแมคลอรน (Maclaurin series) สาหรบ f หมายเหต เมอให (0) ( ) ( )f x f x จะเขยนอนกรมเทยเลอรสน ๆ ไดเปน
( )0 0
0
( )( )
!
n n
n
f x x x
n
และจะเรยก ( )
0 0
0
( )( )
!
k kn
k
f x x x
k
เมอ ( )0( ) 0nf x
วา พหนามเทยเลอรระดบขน (Degree) n ของฟงกชน f รอบจด 0x และเขยนแทนดวยสญลกษณ ( )nT x นนคอ
( )0 0
0
( )( )( )
!
k kn
nk
f x x xT x
k
……….. (9)
จากสมการ (6) และ (9) จะสามารถเขยนผลตางระหวาง ( )f x และ พหนามเทยเลอรระดบขน n ของฟงกชน f รอบจด 0x ไดในรป
( )
0 0
0
( )( )( ) ( )
!
k kn
nk
f x x xR x f x
k
( ) ( )nf x T x ……….. (10) เรยกสมการ (10) วา เศษเหลอ (Remainder) ซงกคอคาคลาดเคลอนระหวางฟงกชน ( )f x และ พหนามเทยเลอรระดบขน n จากสมการ (10) สามารถเขยนฟงกชน ( )f x ในรป ( ) ( ) ( )n nf x T x R x ……….. (11)
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 54
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
ทฤษฏบท 15 สมมตวา ( ) ( ) ( )n nf x T x R x ถา lim ( ) 0nnR x
สาหรบ 0x x R
แลวจะได ( )
0 0
0
( )( )( )
!
n n
n
f x x xf x
n
ตวอยาง 32 จงหาอนกรมเทยเลอรของฟงกชน ( ) xf x e รอบจด 0x วธทา จาก ( ) xf x e จะได ( ) ( ) , 0 ,1, 2,n xf x e n
ดงนน ( ) 0(0) 1 , 0,1, 2,nf e n
เพราะฉะนน อนกรมเทยเลอรของ ( ) xf x e รอบจด 0x คอ
2 3
0
1! 2! 3!
nx
n
x x xe x
n
ตวอยาง 33 จงหาอนกรมเทยเลอรของฟงกชน ( ) xf x e รอบจด 0x วธทา หาาอนพนธอนดบ n ของ ( ) xf x e ท 0x จะได (0) ( ) xf x e จะได (0) 0 0(0) 1f e e (1) ( ) xf x e จะได (1) 0 0(0) 1f e e (2) ( ) xf x e จะได (2) 0 0(0) 1f e e (3) ( ) xf x e จะได (3) 0 0(0) 1f e e
( ) ( ) ( 1)n n xf x e จะได ( ) (0) ( 1) , 0,1, 2,n nf n ดงนน อนกรมเทยเลอรของ xe รอบจด 0x คอ
2 3
0 0
( ) ( 1)1
! ! 2! 3!
n n nx
n n
x x x xe x
n n
ตวอยาง 34 จงหาอนกรมเทยเลอรของฟงกชน 24 3( ) xf x x e รอบจด 0x วธทา โดยการประยกตใชอนกรมเทยเลอรของ xe รอบจด 0x จะไดวา
อนกรมเทยเลอรของ 24 3xx e รอบจด 0x คอ
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 55
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
22
4 3 4
0
( 3 )
!
nx
n
xx e x
n
24
0
( 3) ( )
!
n n
n
xx
n
2 4
0
( 3)
!
n n
n
x
n
ตวอยาง 35 จงหาอนกรมเทยเลอรของฟงกชน ( ) xf x e รอบจด 4x วธทา พจารณาอนพนธอนดบ n ของ ( ) xf x e ท 4x จะได (0) ( ) xf x e จะได (0) ( 4) 4( 4)f e e (1) ( ) xf x e จะได (1) ( 4) 4( 4)f e e (2) ( ) xf x e จะได (2) ( 4) 4( 4)f e e (3) ( ) xf x e จะได (3) ( 4) 4( 4)f e e
( ) ( ) ( 1)n n xf x e จะได ( ) 4( 4) ( 1) , 0,1, 2,n nf e n
ดงนน อนกรมเทยเลอรของ xe รอบจด 4x คอ
4 4
0 0
( ) ( 1)( ( 4)) ( 4)
! !
n nx n n
n n
x e ee x x
n n
ตวอยาง 36 จงหาอนกรมเทยเลอรของฟงกชน ( ) cos( )f x x รอบจด 0x วธทา หาอนพนธอนดบ n ของ ( ) cos( )f x x ท 0x จะได
(0) ( ) cos( )f x x จะได (0) (0) 1f (1) ( ) sin( )f x x จะได (1) (0) 0f (2) ( ) cos( )f x x จะได (2) (0) 1f (3) ( ) sin( )f x x จะได (3) (0) 0f (4) ( ) cos( )f x x จะได (4) (0) 1f (5) ( ) sin( )f x x จะได (5) (0) 0f
ดงนน อนกรมเทยเลอรของ cos( )x รอบจด 0x คอ
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 56
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
( )
0
(0)cos( )
!
nn
n
fx x
n
(4) (5)2 3 4 5(0) (0) (0) (0)
(0) (0)2! 3! 4! 5!
f f f ff f x x x x x
2 4 61 1 11 0 0 0
2! 4! 6!x x x
22 4 6
0
1 1 1 ( 1)1
2! 4! 6! (2 )!
n n
n
xx x x
n
ตวอยาง 37 จงหาอนกรมเทยเลอรของฟงกชน ( ) sin( )f x x รอบจด 0x วธทา หาอนพนธอนดบ n ของ ( ) sin( )f x x ท 0x จะได
(0) ( ) sin( )f x x จะได (0) (0) 0f (1) ( ) cos( )f x x จะได (1) (0) 1f (2) ( ) sin( )f x x จะได (2) (0) 0f (3) ( ) cos( )f x x จะได (3) (0) 1f
ดงนน อนกรมเทยเลอรของ sin( )x รอบจด 0x คอ
( )
0
(0)sin( )
!
nn
n
fx x
n
(4) (5)2 3 4 5(0) (0) (0) (0)
(0) (0)2! 3! 4! 5!
f f f ff f x x x x x
3 5 71 1 1 10 0 0 0
1! 3! 5! 7!x x x x
3 5 71 1 1 1
1! 3! 5! 7!x x x x
2 1
0
( 1)
(2 1)!
n n
n
x
n
ตวอยาง 38 จงหาอนกรมเทยเลอรของฟงกชน ( ) ln( )f x x รอบจด 2x วธทา หาอนพนธอนดบ n ของ ( ) ln( )f x x ท 2x จะได
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 57
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
(0) ( ) ln( )f x x จะได (0) (2) ln 2f
(1) 1( )f x
x จะได (1) 1
(2)2
f
(2)2
1( )f x
x จะได (2)
2
1(2)
2f
(3)3
1( )f x
x จะได (3)
3
2(2)
2f
(4)3
3( )f x
x จะได (4)
4
2(3)(2)
2f
(5)5
2(3)(4)( )f x
x จะได (5)
5
2(3)(4)(2)
2f
1
( ) ( 1) ( 1)!( )
nn
n
nf x
x
จะได
1( ) ( 1) ( 1)!
(2) , 1, 2,3,2
nn
n
nf n
ดงนน อนกรมเทยเลอรของ ln( )x รอบจด 2x คอ
( )
0
(2)ln( ) ( 2)
!
nn
n
fx x
n
( )
1
(2)(2) ( 2)
!
nn
n
ff x
n
1
1
( 1) ( 1)!ln(2) ( 2)
!2
nn
nn
nx
n
1
1
( 1)ln(2) ( 2)
2
nn
nn
xn
ตวอยาง 39 จงหาอนกรมเทยเลอรของฟงกชน 2
1( )f x
x รอบจด 1x
วธทา หาอนพนธอนดบ n ของ 2
1( )f x
x ท 1x จะได
(0)2
1( )f x
x จะได (0)
2
1( 1) 1
( 1)f
(1)3
2( )f x
x จะได (1)
3
2( 1) 2
( 1)f
(2)4
2(3)( )f x
x จะได (2)
4
2(3)( 1) 2(3)
( 1)f
(3)5
2(3)(4)( )f x
x จะได (3)
5
2(3)(4)( 1) 2(3)(4)
( 1)f
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 58
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
( )2
( 1) ( 1)!( )
nn
n
nf x
x
จะได ( )
2
( 1) ( 1)!( 1) ( 1)! , 0,1, 2,
( 1)
nn
n
nf n n
ดงนน อนกรมเทยเลอรของ 2
1
x รอบจด 1x คอ
( )
20
1 ( 1)( 1)
!
nn
n
fx
x n
0
( 1)!( 1)
!n
n
nx
n
0
( 1)( 1)n
n
n x
ตวอยาง 40 จงหาอนกรมเทยเลอรของฟงกชน 3 2( ) 10 6f x x x รอบจด 3x วธทา หาอนพนธอนดบ n ของ 3 2( ) 10 6f x x x ท 3x จะได
(0) 3 2( ) 10 6f x x x จะได (0) (3) 57f (1) 2( ) 3 20f x x x จะได (1) (3) 33f (2) ( ) 6 20f x x จะได (2) (3) 2f (3) ( ) 6f x จะได (3) (3) 6f ( ) ( ) 0nf x จะได ( ) (3) 0 , 4nf n
ดงนน อนกรมเทยเลอรของ 3 210 6x x รอบจด 3x คอ
( )
3 2
0
(3)10 6 ( 3)
!
nn
n
fx x x
n
2 3(3) (3)(3) (3)( 3) ( 3) ( 3) 0
2! 3!
f ff f x x x
2 357 33( 3) ( 3) ( 3)x x x
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 59
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
อนกรมแมคลอรน 2
0
11
1n n
n
x x x xx
; 1 1x
2
0
11 ( ) ( 1)
1n n n
n
x x x xx
; 1 1x
2
0
12! ! !
n nx
n
x x xe x
n n
; ( , )
3 5 2 1 2 1
0
sin( ) ( 1) ( 1)3! 5! (2 1)! (2 1)!
n nn n
n
x x x xx x
n n
; ( , )
2 4 2 2
0
cos( ) 1 ( 1) ( 1)2! 4! (2 )! (2 )!
n nn n
n
x x x xx
n n
; ( , )
2 31 1
1
ln(1 ) ( 1) ( 1)2 3
n nn n
n
x x x xx x
n n
; 1 1x
3 5 2 1 2 1
0
arctan( ) ( 1) ( 1)3 5 2 1 2 1
n nn n
n
x x x xx x
n n
; 1 1x
การประมาณคาเศษเหลอพจนท n
ทฤษฏบท 16 การประมาณคาเศษเหลอ สมมตวาฟงกชน f สามารถหาอนพนธอนดบ 1n ได บนชวง I ซง 0x I และ ถา ( 1) ( )nf x M สาหรบทก x I แลวจะไดวา
1
0( )( 1)!
n
n
MR x x x
n
สาหรบทก x I
ตวอยาง 41 จงประมาณคาของ sin 3 โดยใชอนกรมแมคลอรนของ sin( )x ทมทศนยมความ
ถกตอง 5 ตาแหนง ( 55 0.5 10D ) วธทา พจารณาอนกรมแมคลอรน
2 1 3 5 7
0
( 1)sin( )
(2 1)! 3! 5! 7!
n n
n
x x x xx x
n
เนองจาก 3 5 7( / 60) ( / 60) ( / 60)
sin 3 sin60 60 3! 5! 7!
เนองจาก คาตอบทตองการมทศนยมถกตอง 5 ตาแหนง จะไดวา
50.5 1060nR
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 60
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
ให ( ) sin( )f x x จะได ( 1) ( ) cos( )nf x x หรอ ( 1) ( ) sin( )nf x x ทาใหไดวา ( 1) ( ) 1nf x สาหรบทก x
โดยทฤษฏบท 16 การประมาณคาเศษเหลอ จะม 01 , 0M x และ 60
x
จะได 1
600
60 ( 1)!
n
nRn
ดงนน คาตอบทตองการมทศนยมความถกตอง 5 ตาแหนง โดยการเลอก n ซง
1
5600.5 10
( 1)!
n
n
ถาเลอก 3n (โดยการเลอก n ทมคานอย ๆ) จะไดวา 3( / 60)
sin 3 0.0523460 3!
โดยใชเครองคานวนคาของ sin 3 จะได sin3 0.05233595624 ซงมคาทศนยม ความถกตองเทากบ 5D คอ 0.05234 เชนเดยวกน เมอปดเศษ
คาคลาดเคลอนการปดเศษ และคาคลาดเคลอนการตดปลาย
บทนยาม 6 คาคลาดเคลอนการตดปลาย คอ คาคลาดเคลอนของผลลพธ เมออนกรมประมาณคา ดวยผลบวกยอย คาคลาดเคลอนการปดเศษ คอ คาคลาดเคลอนทเกดจากการ ประมาณคาในการคานวนคาเชงตวเลข
ตวอยาง 42 จงประมาณคาของ e โดยใชอนกรมแมคลอรนของ xe ทมทศนยมความถกตอง 5
ตาแหนง ( 55 0.5 10D )
วธทา พจารณาอนกรมแมคลอรนของ xe ; 2 3
12! 3! !
nx x x x
e xn
เมอแทน 1x จะได 1 1 11 1
2! 3! !n
ดงนน ประมาณคา e โดยใชผลบวกยอย จะได 1 1 11 1
2! 3! !e
k
เนองจาก คาตอบทตองการมทศนยมถกตอง 5 ตาแหนง จะไดวา
5(1) 0.5 10nR
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 61
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
หา n โดยการประยกตทฤษฏบท 17 การประมาณคาเศษเหลอ ให 0( ) , 1, 0xf x e x x และ ชวง [0,1]I
จะได (1)( 1)!n
MR
n
โดยท M เปนขอบเขตบนบนคาของ ( 1) ( )n xf x e สาหรบ [0,1]x แต xe เปนฟงกชนเพม ดงนน คาสงสดของ xe บนชวง [0,1] คอ 1x นนคอ xe e บนชวง [0,1] ดงนน ให M e จะได
(1)( 1)!n
eR
n
เนองจาก 3e ทาใหได 3(1)
( 1)!nRn
ดงนน คาตอบทตองการมทศนยมความถกตอง 5 ตาแหนง
โดยการเลอก n ซง 530.5 10
( 1)!n
ถาเลอก 9n จะไดวา 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2.718282! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9!
e
โดยใชเครองคานวนคาของ e จะได 2.71828182846e ซงมคาทศนยมความถกตองเทากบ 5D คอ 2.71828 เชนเดยวกน เมอปดเศษ
การประมาณคาฟงกชนลอการทม พจารณาอนกรมแมคลอรน
2 3 4
ln(1 )2 3 4
x x xx x ; 1 1x ……….. (12)
สมการ (12) เปนจดเรมตนสาหรบการประมาณคาของฟงกชนลอการทมฐานธรรมชาต แตอนกรมน จะไมคอยสะดวกในการประมาณคา เพราะวาการลเขาของอนกรมนชาบนชวง 1 1x อยางไรกตาม ถาแทน x x ในสมการ (12) จะได
2 3 4
ln(1 )2 3 4
x x xx x ; 1 1x ……….. (13)
นาสมการ (12) – (13) จะได 3 5 71
ln 21 3 5 7
x x x xx
x
; 1 1x ……….. (14)
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 62
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
จากสมการ (14) ไดคนพบครงแรกโดย Gregory ในป ค.ศ. 1668 ซงไดใชในการคานวณคาของฟงกชนลอการทมธรรมชาตของจานวนบวก y ใด ๆ โดยให
1
1
xy
x
หรอ 1
1
yx
y
; 1 1x ……….. (15)
เชน คานวนคา ln 2 จากสมการ (15) ให 2y จะได 1
3x
แทนคา 1
3x ในสมการ (14) จะได
3 5 71 1 1
3 3 3( ) ( ) ( )1ln 2 2
3 3 5 7
……….. (16)
ดงนน ถาคาตอบทตองการมทศนยมความถกตอง 5 ตาแหนง โดยการใชผลบวกยอยพจนท 13n จะได
3 5 7 131 1 1 13 3 3 3( ) ( ) ( ) ( )1
ln 2 2 0.693153 3 5 7 13
โดยใชเครองคานวนคาของ ln 2 จะได ln 2 0.69314718056 ซงมคาทศนยมความถกตองเทากบ 5D คอ 0.69315 เชนเดยวกน เมอปดเศษ
2.14 การหาอนพนธ และการอนทเกรตอนกรมกาลง (Differentiating and integrating power series)
พจารณาอนพนธของอนกรมแมคลอรนของ sin( )x ดงตอไปน
เพราะวา 3 5 7
sin( )3! 5! 7!
x x xx x
จะไดวา 3 5 7 2 4 6
1 3 5 73! 5! 7! 3! 5! 7!
d x x x x x xx
dx
2 4 6
1 cos( )2! 4! 6!
x x xx
สงเกตไดวา อนพนธของอนกรมแมคลอรนของ sin( )x กคอ อนกรมแมคลอรนของ cos( )x นนเอง ดงนน อนพนธของอนกรมกาลงใน 0x x ของฟงกชน f ใด ๆ สามารถกลาวไดดงทฤษฎบทตอไปน
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 63
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
ทฤษฏบท 17 การหาอนพนธของอนกรมกาลง สมมตวาฟงกชน f เขยนแทนดวยอนกรมกาลงใน 0x x ซงมรศมของการลเขา
0R นนคอ 00
( ) ( )nn
n
f x a x x
0 0; x R x x R แลวจะได
(ก) ฟงกชน f หาอนพนธไดบนชวง 0 0( , )x R x R (ข) ถาอนกรมกาลงของ f หาอนพนธไดทละพจน แลว
00
( ) ( )nn
n
df x a x x
dx
0 0; x R x x R
ทฤษฏบท 18 ถาฟงกชน f สามารถเขยนแทนดวยอนกรมกาลงใน 0x x ซงมรศมของการลเขา
0R แลว f จะมอนพนธของทกอนดบบนชวง 0 0( , )x R x R การอนทเกรตอนกรมกาลง
พจารณาผลลพธของการหาอนทเกรตของอนกรมแมคลอรนของ cos( )x จะไดวา
2 4 6
cos 12! 4! 6!
x x xx dx dx
3 5 7
3(2!) 5(4!) 7(6!)
x x xx C
3 5 7
sin( )3! 5! 7!
x x xx C x C
ซงสาหรบการอนทกรลจากดเขต กสามารถหาคาไดโดยใชแนวความคดเดยวกน ดงน
พจารณา 1
1
2 00
arctan arctan(1) arctan(0) 01 4 4
dxx
x
เพราะวา อนกรมแมคลอรนของ 2 4 62
11
1x x x
x
จะไดวา 1 1
2 4 62
0 0
1[1 ]
1dx x x x dx
x
13 5 7
0
1 1 11
3 5 7 3 5 7
x x xx
นนคอ 1 1 11
4 3 5 7
ซงขนตอนการคานวณ แสดงไดดงทฤษฎบทตอไปน
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 64
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
ทฤษฏบท 19 การอนทเกรตอนกรมกาลง สมมตวาฟงกชน f เขยนแทนดวยอนกรมกาลงใน 0x x ซงมรศมของการลเขา
0R นนคอ 00
( ) ( )nn
n
f x a x x
0 0; x R x x R แลวจะได
(ก) ถาอนกรมกาลงของฟงกชน f หาอนทเกรตทละพจน แลว
00
( ) ( )nn
n
f x dx a x x dx C
0 0; x R x x R
(ข) ถา 0 0, ( , )x R x R และถาอนกรมกาลงของฟงกชน f หาอนทเกรตทละพจนไดจาก ถง แลว
00
( ) ( )nn
n
f x dx a x x dx
ทฤษฏบท 20 ถาฟงกชน f เขยนแทนดวยอนกรมกาลงใน 0x x บนบางชวงเปด I ซง 0x I
แลวจะไดอนกรมกาลง คอ อนกรมเทยเลอรของ f รอบจด 0x x
ขอสงเกต ถา 00
( ) ( )nn
n
f x a x x
มรศมของการลเขา 0R จะไดวา
10
0
( ) ( )nn
n
f x na x x
และ 1
0
0
( )( )
1
n
nn
x xf x dx C a
n
จะมรศมของการลเขา R ดวย
ตวอยาง 43 จงหาอนพนธของอนกรมกาลงของฟงกชน 2
1( )
(1 )f x
x
วธทา เพราะวา 2
1 1
(1 ) 1
d
x dx x
และอนกรมกาลงของ 1
1 x คอ
0
n
n
x
เมอ 1x
ดงนน 2
1 1
1 1
d
x dx x 0
n
n
dx
dx
1
0
n
n
n x
นนคอ อนพนธของอนกรมกาลงของ 2
1
1 x คอ 1
0
n
n
n x
เมอ 1x
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 65
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
ตวอยาง 44 จงหาอนทเกรตของอนกรมกาลงของฟงกชน ( ) ln(5 )f x x
วธทา เพราะวา 1ln(5 )
5dx x C
x
และอนกรมกาลงของ 1
5 x คอ
10 5
n
nn
x
เมอ 5x
ดงนน 1ln(5 )
5x dx C
x
1
0 5
n
nn
xdx C
1
10 ( 1)5
n
nn
xC
n
หาคา C โดยการแทนคา x
ถาเลอกแทนคา 0x (เนองจากทาใหอนกรมหาคาไดงาย) จะได
1
0
0ln(5 0) ln(5)
( 1)5
n
nn
C Cn
ดงนน อนทเกรตของอนกรมกาลงของ ln(5 )x คอ 1
10
ln(5)( 1)5
n
nn
x
n
เมอ 5x
ตวอยาง 45 จงหาอนกรมเทยเลอรรอบจด 0x ของ sin xdx
x
วธทา พจารณาอนกรมเทยเลอรรอบจด 0x ของ sin x
x
จะไดวา 2 1
0
sin 1 ( 1)
(2 1)!
n n
n
x x
x x n
2
0
( 1)
(2 1)!
n n
n
x
n
ดงนน 2
0
sin ( 1)
(2 1)!
n n
n
x xdx dx
x n
2
0
( 1)
(2 1)!
n n
n
xdx
n
2 1
0
( 1)
(2 1)(2 1)!
n n
n
xC
n n
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 66
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
ตวอยาง 46 จงหาสามพจนแรกทไมเปนศนยในอนกรมแมคลอรนของ ( ) cosxf x e x
วธทา พจารณาอนกรมแมคลอรนทละฟงกชน จะได
2
0 0
( 1)cos
! (2 )!
n n nx
n n
x xe x
n n
2 3 4 2 4
1 12 6 24 2 24
x x x x xx
2 4 3 5 2 4 6
12 24 2 24 2 24 48
x x x x x x xx
3 5 7 4 6 8
6 12 144 24 48 576
x x x x x x
2 3 41 1 1 1 1 1 11
2 2 2 6 24 4 24x x x x
3 4
13 6
x xx
อนกรมทวนาม (Binomial Series)
ทฤษฏบท 21 ทฤษฏบททวนาม สาหรบจานวนเตมบวก n ใด ๆ จะไดวา
0
( )n
n n k k
k
na b a b
k
1 2 2 1( 1)
2!n n n n nn n
a na b a b nab b
โดยท ( 1)( 2) ( 1); 1, 2,3,
!
n n n n n kk
k k
และ 10
n
ตวอยาง 47 จงกระจาย 4(2 3)x โดยใชทฤษฏบททวนาม วธทา โดยใชทฤษฏบททวนาม จะไดวา
4
4 4
0
4(2 3) (2 ) ( 3)k k
k
x xk
4 3 1 2 2 1 3 44 4 4 4 4(2 ) (2 ) ( 3) (2 ) ( 3) (2 ) ( 3) ( 3)
0 1 2 3 4x x x x
4 3 2 2 3 44(3)(2 ) 4(2 ) ( 3) (2 ) ( 3) 4(2 )( 3) ( 3)
2x x x x
4 3 216 96 216 216 81x x x x
0201 108
2015 Khemmanant. K
Convergence tests 67
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com
อนกรมทวนาม สาหรบจานวน n ใด ๆ และ 1x แลวจะไดวา
0
(1 )n k
k
nx x
k
2 3( 1) ( 1)( 2)1
2! 3!
n n n n nn x x x
โดยท ( 1)( 2) ( 1); 1, 2,3,
!
n n n n n kk
k k
และ 10
n
ตวอยาง 48 จงเขยนสพจนแรกของอนกรมทวนามของ 9 x โดยใชทฤษฏบททวนาม
วธทา พจารณา 1
2
9 9 ( ) 9 1 3 19 9
x xx x
โดยใชทฤษฏบททวนาม จะไดวา
1
122
0
3 1 39 9
n
k
x x
k
2 331 1 1 1
2 2 2 2 2( ) ( )( )13 1
2 9 2 9 6 9
x x x
2 3
36 216 3888
x x x
0201 108
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
Vector Calculus 68
บทท 3 แคลคลสเชงเวกเตอร (Vector Calculus)
3.1 ฟงกชนคาเวกเตอรของตวแปรเดยว (Vector Fuctions of singular variable)
บทนยาม 3.1 กาหนดให ( ), ( ), ( )x x t y y t z z t สาหรบจานวนจรง t I เปนชวง I ใด ๆ จะเรยกเซตของจด ( ( ), ( ), ( ))x t y t z t วา เสนโคงในปรภม 3 มต (space curve) และกาหนด ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ), ( )r t x t i y t j z t k x t y t z t
สาหรบ t I จะเรยก ( )r t
วา ฟงกชนคาเวกเตอร (Vector function) และเรยก ( ), ( ), ( )x t y t z t วา สวนประกอบ (Component) ของ ( )r t
บทนยาม 3.2 โดเมน D ของ ( )r t คอ เซตของจานวนจรงทอยใน I เขยนแทนดวย ( ( ))D r t
นนคอ ( ( )) ( ) ( ) , ( ) , ( )D r t t r t x t y t z t R
( ) , ( ) , ( )t x t R y t R z t R ( ) ( ) ( )t x t R t y t R t z t R
สวนเรนจ R คอเซตของเวกเตอรทสมนยกนกบคา t
บทนยาม 3.3 กาหนด 0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ), ( )r t x t i y t j z t k x t y t z t สาหรบ 0t I
และเรยก 0( )r t วาเวกเตอรตาแหนง (Position vector)
ตวอยาง 3.1 กาหนดสมการองตวแปรเสรม 2 , 1x t y t และ 2z t สาหรบ t R ดงนน 2( ) ( 1) 2r t t i t j t k
สาหรบ t R ถา 1t จะได (1) 2r i k
ตวอยาง 3.2 จงหาโดเมนของ 1( ) , ln( ), 2
1r t t t
t
วธทา เพราะวา 1{ 1} ( ,1) (1, )
1D t
t
(ln( )) { 0} (0, )D t t ( 2 ) { 2} ( , 2]D t t ดงนน ( ( )) (( ,1) (1, )) (0, ) ( , 2]D r t
(( ,1) (1, )) (0,2] (0,1) (1,2]
0201 108
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
Vector Calculus 69
บทนยาม 3.4 กาหนดให 1 2( ), ( )r t r t เปนฟงกชนคาเวกเตอรจากชวง I ไปยง 3R
h เปนฟงกชนคาจรงซงมโดเมนเปน I กตอเมอ คาของฟงกชน
1 2 1 1 2( ) ( ), ( ), ( ) ( )r t r t hr t r t r t และ 1 2( ) ( )r t r t ทจด t ใด ๆ กาหนดไดดงน 1) 1 2 1 2( )( ) ( ) ( )r r t r t r t
2) 1 1( ) ( ) ( )hr t h t r t ( )( ) [ ( )]hA t h t A
เมอ A
เปนเวกเตอรคงตวใน 3R
3) 1 2 1 2( )( ) ( ) ( )r r t r t r t 4) 1 2 1 2( )( ) ( ) ( )r r t r t r t
ตวอยาง 3.3 ให 21( ) 2tr t e i t j t k
และ 22 ( ) 2 ( 1)r t i t j t k
จงหาคา 1 2( ) ( )r t r t
วธทา 2 21 2( ) ( ) ( 2 ) (2 ( 1) )tr t r t e i t j t k i t j t k
2 2( )(2) (2 )( ) ( )( 1)te t t t t
3 3 22 2 ( )te t t t
3 22 te t t
ตวอยาง 3.4 ให ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k โดยท 2( ) 2 , ( )x t t y t t และ 0z
จงหาคา ( )r t และ ( )r t
เมอ 1t
วธทา จากโจทย 2( ) 2 , ( )x t t y t t และ 0z จะได
2( ) 2r t t i t j
2 2 2( ) (2 ) ( )r t t t 2 44t t
ถา 1t จะไดวา (1) 5r
3.2 ลมตและความตอเนอง (Limit and continuity)
บทนยาม 3.5 กาหนดให ( ) ( ) , ( ) , ( )r t x t y t z t เปนฟงกชนคาเวกเตอรบนชวง I ลมตของ ( )r t
เมอ t เขาใกล 0t เขยนแทนดวย 0
lim ( )t t
r t r
จะมคากตอเมอ 0 0 0
lim ( ), lim ( ), lim ( )t t t t t t
x t y t z t
มคา และจะไดวา
0 0 0 0
lim ( ) lim ( ), lim ( ), lim ( )t t t t t t t t
r t x t y t z t
0201 108
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
Vector Calculus 70
ตวอยาง 3.5 จงหาคา 1
lim ( )t
r t
เมอ 3 2sin(3 3)( )
1tt
r t t i j e kt
วธทา 3 2
1 1 11
sin(3 3)lim ( ) lim , lim , lim
1t
t t tt
tr t t e
t
3 2
1 11
3cos(3 3)lim , lim , lim
1t
t tt
tt e
21 , 3 , e
ตวอยาง 3.6 จงหาคา 0
lim ( )t
r t
เมอ sin( )( ) cos( )t t
r t e i t j kt
วธทา 0 0 0 0
sin( )lim ( ) lim , lim cos( ) , limt
t t t t
tr t e t
t
1 , 1 , 1
ทฤษฎบท 3.1 ถา
0 0
lim ( ) , lim ( )t t t t
r t r s t s
และ 0
lim ( )t t
f t L
แลวจะไดวา
1) 0
lim ( ) ( )t t
f t r t Lr
2) 0
lim ( ) ( )t t
r t s t r s
3) 0
lim ( ) ( )t t
r t s t r s
4) 0
lim ( ) ( )t t
r t s t r s
บทนยาม 3.6 ฟงกชนคาเวกเตอร ( )r t ตอเนองท 0t t กตอเมอ
1) 0( )r t หาคาได
2) 0
lim ( )t t
r t
หาคาได
3) 0
0lim ( ) ( )t t
r t r t
ทฤษฎบท 3.2 ฟงกชนคาเวกเตอร ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k ตอเนองท 0t t กตอเมอ
( ) , ( )x t y t และ ( )z t ตอเนองท 0t t ตวอยาง 3.7 จงพจารณาวา ( ) ( )r t a i b ct j
มความตอเนองท 0t หรอไม วธทา
0 0 0lim ( ) lim lim( )t t t
r t a i b ct j
0 0lim lim( )t t
i a j b ct
a i b j
(0)r a i b j
เพราะฉะนน 0
lim ( ) (0)t
r t r
0201 108
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
Vector Calculus 71
ตวอยาง 3.8 จงพจารณาวา 5( ) ln( 1) cos( )tr t e i t j t k มความตอเนองทใดบาง
วธทา จากทฤษฎบท 3.2 ( )r t
จะเปนฟงกชนตอเนอง ทกคา t กตอเมอ ฟงกชนสวนประกอบ ( ) , ( )x t y t และ ( )z t ตอเนองทกคา t
จาก 5( ) ln( 1) cos( )tr t e i t j t k จะไดวา 5te ตอเนอง ทกคา t ,
ln( 1)t ตอเนองสาหรบ 1t และ cos( )t ตอเนองทกคา t ดงนน ( )r t
ตอเนองสาหรบ 1t 3.3 อนพนธของฟงกชนคาเวกเตอร
บทนยาม 3.7 กาหนดให ( )r t เปนฟงกชนคาเวกเตอรซงมความตอเนองบนชวง I และ 0t I
จะเรยก 0
0 0( ) ( )limt t
r t t r t
t
เมอลมตมคาวา อนพนธของ r
ท 0t เขยน
แทนดวยสญลกษณ 0
( )t t
dr t
dt
หรอ 0( )r t
นนคอ 0 00
0
( ) ( )( ) lim
t
r t t r tr t
t
เมอลมตมคา
และจะกลาววา ( )r t เปนฟงกชนซงมอนพนธท 0t
ถากาหนด 0 1t t t เมอ 1 0t t
ดงนนจะได 1 0
1 00
1 0
( ) ( )( ) lim
t t
r t r tr t
t t
เมอลมตมคา
จากบทนยาม 3.7 สามารถเขยนอนพนธของ r
ท 0t ดงรป 3.1
รป 3.1
0 0( ) ( )r t t r t
0( )r t t
0( )r t
0P P
0201 108
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
Vector Calculus 72
0 00 0 0
( ) ( )( )( ) lim lim
t t
r t t r tr tr t
t t
พจารณาอตราสวน 0 0( ) ( )r t t r t
t
จะเหนวา คอ ผลคณเชงสเกลารของ 1
t กบ
เวกเตอร 0 0( ) ( ) ( )r t t r t r t ซงเปนเวกเตอรซงอยในทศทางเดยวกบ 0P P
จากรป 3.1 จะเหนวา 0( )r t เปนเวกเตอรทสมผสกบเสนโคงทจด 0P ถา ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k
โดยท ( ) , ( )x x t y y t และ ( )z z t แลว
0
( ) ( )( ) lim
t
r t t r tr t
t
0
( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))limt
x t t x t i y t t y t j z t t z t k
t t t
dx dy dzi j k
dt dt dt
นนคอ ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )r t x t y t z t x t i y t j z t k
เมอสวนประกอบของ r มอนพนธอนดบ 1 โดยตอเนอง และ ( ) 0r t
สาหรบทกคา ( , )t a b จะเรยกวา ( )r t
เปนฟงกชนเรยบ และเสนโคง C ทเกดจากฟงกชน ( )r t เรยกวา เสนโคง
เรยบ (smooth curve) ความหมายของ ( )r t ในเชงเรขาคณต คอ ถา ( ) 0r t
ทจด P แสดงวา สามารถหา เสนสมผสเสนโคงทจด P ได ทฤษฎบท 3.3 กาหนดให ( ) ( ) , ( ) , ( ) ,r t x t y t z t t I เปนฟงกชนคาเวกเตอร
โดยท ( ) , ( ) , ( )x t y t z t เปนฟงกชนคาจรงทมอนพนธท t จะไดวา r มอนพนธท t และ ( ) ( ) , ( ) , ( )r t x t y t z t
บทนยาม 3.8 กาหนดให ( )r t เปนฟงกชนคาเวกเตอร จะกลาววา ( )r t
เปนเสนโคงเรยบ (Smooth curve) กตอเมอ ( ) 0r t
มความตอเนอง ตวอยาง 3.9 จงหา ( )r t เมอ 6( ) sin(2 ) ln( 1)r t t i t j t k
วธทา จาก 6( ) sin(2 ) ln( 1)r t t i t j t k จะได
5 1( ) 6 2cos(2 )
1r t t i t j k
t
0201 108
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
Vector Calculus 73
ตวอยาง 3.10 กาหนดให 2 , tx t y e และ sinz t จงหาฟงกชนคาเวกเตอรและอนพนธท 0t
วธทา ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k
2 sin( )tt i e j t k
( ) 2 cos( )tr t t i e j t k
(0)r j k
หมายเหต เวกเตอร j k
ในตวอยาง 3.10 ขนานกบเสนสมผสเสนโคงท 0t
บทนยาม 3.9 อนพนธอนดบ n เมอ n เปนจานวนเตมบวกของฟงกชนคาเวกเตอร r
เขยนแทนดวย ( ) ( )nr t กาหนดโดย
( ) ( 1)( ) ( )n ndr t r t
dt
และ ( ) ( ) , ( ) , ( ) ,r t x t y t z t t I จะได ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , ( ) , ( ) ,n n n nr t x t y t z t t I
ตวอยาง 3.11 ถา 3 2 2( ) ( 3 ) 5 tr t t t i t j e k
แลว 2 2( ) (3 6 ) 5 2 tr t t t i j e k
และ 2( ) (6 6) 4 tr t t i e k
ทฤษฎบท 3.4 ให 1,r r
และ 2r เปนฟงกชนคาเวกเตอรซงมอนพนธทจด t ใด ๆ
h เปนฟงกชนคาจรงทมอนพนธทจด t จะได
1) 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )r r t r t r t
2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )hr t h t r t h t r t ( ) ( ) ( )hA t h t A
เมอ A
เปนเวกเตอรคงตว
3) 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r t r t r t r t r t
4) 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r t r t r t r t r t
ขอสงเกต สาหรบทฤษฎบท 3.4 การหาอนพนธของผลคณภายนอกตองระวงเรองอนดบ เพราะวา ถาเกดกรณสลบขนมาคาทไดจะไมถกตอง แตสาหรบการคณภายในไมจาเปน เพราะวาผลคณภายในมสมบตสลบท แตผลคณภายนอกไมม
0201 108
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
Vector Calculus 74
ตวอยาง 3.12 ให 21( ) 2r t t i t j
และ 22 ( )r t t i j t k
จงหาคาของ 1 2( ) ( )r r t
วธทา 2 31 2( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) (2 2 ) ( )r r t t i t j j t k t i j t i j t k
2 36 4 2t i t t k
โดยใชวธหา 1 2r r กอน แลวจงหาอนพนธของสวนประกอบ
2 3 4 21 2
2
2 0 2
1
i j k
r r t t t i t j t k
t t
เพราะฉะนน 2 31 2( ) ( ) 6 4 2r r t t i t t k
ทฤษฎบท 3.5 ให ( )r t เปนฟงกชนคาเวกเตอรซงมอนพนธทจด t ใด ๆ และ
s เปนฟงกชนคาจรงซงมอนพนธทจด t จะไดวา อนพนธของ ( )r s เทยบกบ t
นยามโดย ( ( )) ( ) ( )dr s t dr t ds t
dt ds dt
ตวอยาง 3.13 ถา 2( ) cos(2 ) sin(2 ) sr t s i s j e k โดยท 3s t
แลว 2 2( )[ 2sin(2 ) 2cos(2 ) 2 ][3 ]sdr t
s i s j e k tdt
32 3 2 3 2 26 sin(2 ) 6 cos(2 ) 6 tt t i t t j t e k
บทนยาม 3.10 อนทกรลไมจากดเขต (Indefinite Integral) ของ ( )r t คอ เซตของทกปฎยานพนธ
(Antiderivative) ของ ( )r t เขยนแทนดวย ( )r t dt
และ ให ( )R t
เปนปฎยานพนธของ ( )r t
จะไดวา ( ) ( )r t dt R t C
โดยท 1 2 3C c i c j c k
เปนเวกเตอรคงท
บทนยาม 3.11 กาหนดให ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k เปนฟงกชนคาเวกเตอรบนชวง [ , ]a b
จะกลาววา r อนทเกรตได กตอเมอ สวนประกอบ ( ) , ( ) , ( )x t y t z t ของ r
เปน ฟงกชนทอนทเกรตได (Integable) บนชวง [ , ]a b และอนทกรลจากดเขต (Definite Integral) ของ r
จาก t a ถง t b กาหนดโดย
( ) ( ) ( ) ( )b b b b
a a a a
r t dt x t dt i y t dt j z t dt k
( ) , ( ) , ( )b b b
a a a
x t dt y t dt z t dt
( ) , ( ) , ( )t b
t ax t dt y t dt z t dt
0201 108
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
Vector Calculus 75
ตวอยาง 3.14 กาหนดให ( ) sin( ) 6 4r t t i j t k จงหา ( )r t dt
และ 1
0
( )r t dt
วธทา ( ) sin( ) 6 4r t dt t dt i dt j t dt k 2cos 6 2t i t j t k C
1 1
2
00
( ) cos , 6 , 2r t dt t t t
cos(1) , 6 , 2 1 , 0 , 0
1 cos(1) , 6 , 2 3.4 เวกเตอรสมผสหนงหนวย เวกเตอรปกตหนงหนวย และความโคง
(Unit tangent vector, unit normal vector and curvature) ถา ( )r t
เปนเสนโคงซงม t เปนตวแปรเสรม (Parameter) และให 0P เปนจดบน r ทจด 0t
จะไดวา 0 00
0
( ) ( )( ) lim
t
r t t r tr t
t
เปนเวกเตอรสมผส (Tangent vector) ของเสนโคง r
และเรยก ( )( )
( )
r tT t
r t
2 2 2
( ) ( ) ( )
[ ( )] [ ( )] [ ( )]
x t i y t j z t k
x t y t z t
โดยท ( ) 0r t
วา เวกเตอรสมผสหนงหนวย (Unit tangent vector)
เพราะวา ( )r t เปนเสนโคงเรยบในชวง I ดงนน ( )r t ตอเนองในชวง I และ ( )r t ตอเนองในชวง
I ดวย ดงนน ( )I
r t dt มคา ซง
2 2 2( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )]I I
r t dt x t y t z t dt
แตอนทกรลทางขวามอ คอ คาความยาวสวนโคง เมอสมการเสนโคงอยในรปตวแปรเสรม t
ดงนน 2 2 2[ ( )] [ ( )] [ ( )]ds
x t y t z tdt
( )r t
เพราะฉะนน จงสามารถเขยน T
อยในรปอนพนธของ ( )r t เทยบกบความยาวของเสนโคง s
นนคอ ( )( )
( )( )
dr tr t dtT tdsr tdt
( )
dr t
ds
ถาเปลยนตวแปร ( )r t ใหอยในรปของ ( )r s
โดยใชความสมพนธระหวาง t กบ s แลว
( )T r s
( )d
r tds
ทฤษฎบท 3.5 ถา ( )r t
เปนฟงกชนคาเวกเตอรซงมอนพนธ และมความยาวคงท ทก ๆ คา t
แลว ( )( ) 0
dr tr t
dt
0201 108
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
Vector Calculus 76
ตวอยาง 3.15 จงหาเวกเตอรสมผสหนงหนวยของเสนโคง 2 1, 4 3x t y t และ 22 6z t t ท 2t
วธทา 2 2( ) ( 1) (4 3) (2 6 )r t t i t j t t k จะได
( ) 2 4 (4 6)r t t i j t k เมอ 2t จะไดวา (2) 4 4 2r i j k
ดงนน 2 2 2
4 4 2(2)
4 4 2
i j kT
2 2 1
3 3 3i j k
ตวอยาง 3.16 จงหาความยาวสวนโคง ( ) cos( ) sin( )t tr t e t i e t j
โดยท 0 2t
วธทา เพราะวา ( )ds
r tdt
( sin( ) cos( )) ( cos( ) sin( ))t t t te t e t i e t e t j
2 2( sin( ) cos( )) ( cos( ) sin( ))t t t te t e t e t e t 2 te 2 tds e dt
2
0
2 ts e dt
2
0
2 te dt
22( 1)e
ตวอยาง 3.17 กาหนดให ( ) cos( ) sin( )t t tr t e t i e t j e k
จงหาเวกเตอร ( )T t
วธ 1 โดยใชสตร ( )
( )
r tT
r t
( sin( ) cos( )) ( cos( ) sin( ))
( sin( ) cos( )) ( cos( ) sin( ))
t t t t t
t t t t t
e t e t i e t e t j e kT
e t e t i e t e t j e k
( sin( ) cos( )) (cos( ) sin( ))
3
t t i t t j k
วธ 2 โดยการเปลยน ( )r t ในรปของฟงกชนของความยาวสวนโคง s
( )ds
r tdt
3 te
ดงนน 3 t
I
s e dt 3 te จะได ln3
st
แทนคา ln3
st จะได
( ) cos(ln ) sin(ln )3 3 3 3 3
s s s s sr s i j k
0201 108
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
Vector Calculus 77
เพราะวา ( )d
T r tds
1 1 1( sin(ln ) cos(ln )) (cos(ln ) sin(ln ))
3 3 3 3 3 3 3
s s s si j k
ถาแทนคา ln3
st จะได
( sin( ) cos( )) (cos( ) sin( ))( )
3
t t i t t j kT t
จากหวขอ 3.3 ไดกลาวถงนยามอนพนธของฟงกชนคาเวกเตอร ( )R t
ในทานองเดยวกน
กสามารถกลาวถงอนพนธของฟงกชนคาเวกเตอรอนดบสง ๆ ขนไปโดยใชสญลกษณ (2) (3) ( )( ) , ( ) , , ( )nr t r t r t แทน อนพนธอนดบ 2,3, ,n ตามลาดบ ให ( )r t
มอนพนธอนดบ 2 ในชวง I ให T
เปนเวกเตอรสมผสหนงหนวย
เพราะวา 1T T
พจารณาอนพนธของ T T
เทยบกบ s จะไดวา
[ ] (1)d d
T Tds ds
0d d
T T T Tds ds
2 0d
T Tds
0d
T Tds
จะไดวา T
และ dT
ds
เปนเวกเตอรซงตงไดฉากซงกนและกน
ให N
เปนเวกเตอรหนงหนวยซงขนานกบเวกเตอร dT
ds
แลวจะเรยก N
วาเปนเวกเตอร
ตงฉากหลกหนงหนวย หรอ เวกเตอรปกตหนงหนวย (Principle Unit Normal)
ดงนน d
TdsNd
Tds
หรอ d dT T N
ds ds
รป 3.2
0
X
Y
( )r t
Z
T
N
0201 108
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
Vector Calculus 78
พจารณารป 3.2 แสดงภาพของเวกเตอร T
และเวกเตอร Nโดยท N
คอ เวกเตอรซงทามม 90
องศาในทศทางทวนเขมนาฬกากบเวกเตอร T
ตวอยาง 3.18 จงหาเวกเตอรปกตหนงหนวย ( )N t
เมอกาหนดสวนโคง ( ) cos( ) sin( )r t t i t j
วธทา หา T
ในพจนของความยาวเสนโคง s
เพราะวา ( )ds
r tdt
sin( ) cos( )t i t j
1
I
s dt t
ให s t แทนใน ( )r t จะได
( ) cos( ) sin( )r s s i s j
( ) sin( ) cos( )T r s s i s j
( )
( )
dT t
dsNd
T tds
cos( ) sin( )s i s j
และเพราะวา s t จะได ( ) cos( ) sin( )N t t i t j
ซงทศทางของ N
จะทามม 90 องศาในทศทางทวนเขมนาฬกากบเวกเตอรสมผส T
พจารณารป 3.3
รป 3.3
ถา 0t แลว T j
และ N i
ถา 2
t
แลว T i
และ N j
0 X
Y
TT
N
N
0201 108
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
Vector Calculus 79
ตวอยาง 3.19 กาหนดให ( ) 3cos( ) 3sin( ) 4r t t i t j t k
จงหา T
และ N
ท 0 ,2
t t
วธทา ( ) 3sin( ) 3cos( ) 4r t t i t j k
( ) 3sin( ) 3cos( ) 4 5r t t i t j k
ดงนน 5ds
dt
5s dt ได 5s t ดงนนจะไดวา
5 5
4( ) 3cos( ) 3sin( )
5s s s
r s i j k
( )T r s
5 5
3 3 4sin( ) cos( )
5 5 5s si j k
และ 5 5
3 3sin( ) cos( )
25 25325
s sdT i j
dsNd
Tds
5 5cos( ) sin( )s si j
หรอ cos( ) sin( )N t i t j
ถา 0t แลวจะไดวา
3 4
5 5T j k
และ N i
ถา 2
t
แลวจะไดวา
3 4
5 5T i k
และ N j
จากทกลาวมาแลวพบวา T
หาไดจาก ( )r t
หรอ ( )r s กไดเชนเดยวกนกบ N
พจารณา d
TdsNd
Tds
โดยใชกฏลกโซ จะได
dT dsds dtNdT dsds dt
( )
( )
T t
T t
ซงอยในรปฟงกชนของ t
0201 108
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
Vector Calculus 80
จากตวอยาง 3.19 ( ) 3cos( ) 3sin( ) 4r t t i t j t k จะได
( ) 3sin( ) 3cos( ) 4r t t i t j k
( ) 3sin( ) 3cos( ) 4
( ) 5
r t t i t j kT
r t
3 3 4sin( ) cos( )
5 5 5t i t j k
3 3cos( ) sin( )( ) 5 5
3( )5
t i t jT tN
T t
cos sint i t j
ความโคง (Curvature) จากททราบแลววา ถาฟงกชนคาเวกเตอร ( )r t
มอนพนธอนดบ 2 ใน I แลวจะมเวกเตอรสมผสหนงหนวย T
และเวกเตอรปกตหนงหนวย N
สาหรบสวนโคงซงอธบายไดดวย ( )r t
ในสวนนจะกลาวถงวธวดความเรวในการเปลยนของเสนโคงซงไดจากการพจารณาอตราซงเสนสมผสเปลยนไปเมอจดสมผสเคลอนทไปบนเสนโคง C ดงรป 3.4
รป 3.4 บทนยาม 3.12 ให T
และ T T
เปนเวกเตอรสมผสหนงหนวยทจด P และ Q ของเสนโคง C
ให เปนมมระหวาง T
และ T T
ให s เปนความยาวของเสนโคง C จากจด P ถง Q ดงนนคาความโคงของ C ทจด P แทนดวย (Kappa) คอ
0
lims s
แตการหาคาความโคงโดยนยามมปญหายงยาก ดงนนทฤษฎบทตอไปนจะชวยในการหาคาความ
โคงของ C
0
X
Y
( )C R t
Z
T
T T
0201 108
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
Vector Calculus 81
ทฤษฎบท 3.7 คาความโคง dT
ds
จากทฤษฎบท 3.7 ถาสรางความสมพนธระหวาง T
และ N
จะไดวา dTN
ds
ทฤษฎบท 3.8 คาความโคง ( )
( )
T t
r t
โดยท ( ) 0r t
ตวอยาง 3.20 กาหนดให ( ) cos( ) sin( )r t a t i a t j bt k จงหาคาความโคง
วธทา จากคาความโคง ( )
( )
T t
r t
หา 2 2
( ) sin( ) cos( )( )
( )
r t a t i a t j b kT t
r t a b
2 2
cos( ) sin( )( )
a t i a t jT t
a b
2 2
( )a
T ta b
และ 2 2( )r t a b
ดงนน 2 2
a
a b
ทฤษฎบท 3.9 คาความโคง 3
( ) ( )
( )
r t r t
r t
โดยท ( ) 0r t
ตวอยาง 3.21 กาหนดให ( ) cos( ) sin( )r t a t i a t j bt k
จงหาคาความโคง
วธทา ( ) sin( ) cos( )r t a t i a t j b k
( ) cos( ) sin( )r t a t i a t j
( ) ( ) sin( ) cos( )
cos( ) sin( ) 0
i j k
r t r t a t a t b
a t a t
2sin( ) cos( )ab t i ab t j a k
2 2( ) ( )r t r t a a b และ 2 2( )r t a b
ดงนนจาก 3
( ) ( )
( )
r t r t
r t
2 2
a
a b
0201 108
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
Vector Calculus 82
บทนยาม 3.13 รศมความโคง (Radius of curvature) ทจดใด ๆ บนเสนโคง คอ 1
เมอ 0
นนคอ 1
บทนยาม 3.14 เวกเตอร B T N
เรยกวา เวกเตอรไบนอรมลหนงหนวย (Unit binormal vector)
ขอสงเกต (1) ,B T
และ N
ตงไดฉากซงกนและกน (2) พจารณาอนพนธของ B
เทยบกบความยาวสวนโคง s
( )dB d
T Nds ds
dT dNN T
ds ds
dNN N T
ds
dNT
ds
ดงนน dB
ds
ตงไดฉากกบ T
และเพราะวา B
เปนเวกเตอรหนงหนวย
dB
ds
ไมใชเวกเตอรศนย แลวจะไดวา dB
ds
ตงไดฉากกบ B
ดงนน dB
ds
ขนานกบ N
เขยน dB
ds
เปนรปผลคณเชงสเกลารของ N
คอ dB
Nds
เมอ 0 และเรยก
วา ความบด (Torsion) ของเสนโคงทจดกาหนดให
3.5 เวกเตอรความเรว และเวกเตอรความเรง (Velocity vector and acceleration vector) ในการศกษาการเคลอนทของวตถแทนสมการเคลอนทดวย ( )r r t โดยท t เปนตวแปรเสรม
ถา ( )v t เปนเวกเตอรความเรวเมอเวลา t ใด ๆ จะไดวา
( )dr
v tdt
dr ds
ds dt
dr dr
ds dt
drT
dt
( )T v t
จะเหนวา ( )v t ขนานกบเวกเตอร T
และหา T
ไดจากการตงหาร v
ดวยขนาดของ v
ซงจะนยามความเรงดวยอนพนธอนดบ 2 ของ ( )r t ดงนน ถาให ( )a t
แทนความเรง จะไดวา
2
2( )
d ra t
dt
dv
dt
ถาเวกเตอรตาแหนง คอ ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k จะไดวา
( ) ( ) ( ) ( )v t x t i y t j z t k
( ) ( ) ( ) ( )a t x t i y t j z t k
0201 108
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
Vector Calculus 83
ตวอยาง 3.22 จงหาเวกเตอรความเรว เวกเตอรความเรง เมอกาหนดสมการการเคลอนท คอ 2,x t y t และ 3z t ท 1t
วธทา 2 3( )r t t i t j t k
( ) ( )v t r t 22 3i tj t k
( ) ( )a t r t 2 6j tk
ท 1t จะไดวา (1) 2 3v i j k
(1) 2 6a j k
พจารณารป 3.6 ซงเปนรปของตวอยาง 3.22 จะไดเวกเตอร ( ) , ( )a t T t
และ ( )N t
อยในระนาบเดยวในกรณทว ๆ ไปกเปนจรงดวย ดงนนแสดงวา ( )a t
สามารถเขยนไดในรปผลบวกเชงเสนของ T
และ N
ให ( ) T Na t a T a N
เรยก ,T Na a วาสวนประกอบสมผส (Tangential component) และสวนประกอบปกต (normal component) ของ ( )a t
ตามลาดบ ซงมวธการหาสวนประกอบทงสอง ดงน จาก ( ) T Na t a T a N
( ) T Na t v a T v a N v
2( ) ( ) cos(0) ( ) ( ) cosT Na T t v t a N t v t ( ) 0Ta v t
( ) ( )
( )T
a t v ta
v t
0
X
Y
C Zv
N
T
1,1,1
รป 3.6
0201 108
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
Vector Calculus 84
ในทานองเดยวกน พจารณา ( ) ( )a t v t จะไดวา
( ) ( )
( )N
a t v ta
v t
ตวอยาง 3.23 จงหาคาของเวกเตอรความเรว เวกเตอรความเรงท 1t และหาคา ,T Na a
เมอ 2 2( ) 3 3 3r t t i t j t k
วธทา 2 2( ) 3 3 3r t t i t j t k
( ) ( )v t r t 6 6 3t i t j k
( ) ( )a t r t 6 6i j
(1) 6 6 3v i j k
(1) 6 6a i j
(1) 9 , (1) 6 2v a
ดงนนจะไดวา
(1) (1)
(1)T
a va
v
(6 6 ) (6 6 3 )
9
i j i j k
1(6)(6) (6)(6) (0)(3)
9
136(2) 8
9
(1) (1)
(1)N
a va
v
16 6 0
96 6 3
i j k
118 18 2 2
9i j
ดงนน ( ) 8 2 2a t T N
0201 108
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
Vector Calculus 85
บทสรป
1. กาหนดให ฟงกชนของควแปร t ( ) , ( )x x t y y t และ ( )z z t แลว ฟงกชนคาเวกเตอร ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k
2. กาหนดให 1 2( ) , ( )r t r t
เปนฟงกชนคาเวกเตอรจากชวง I ไปยง 3R h เปนฟงกชนคาจรงซงมโดเมนเปน I กตอเมอ คาของฟงกชน
1 2 1 1 2( ) ( ) , ( ) , ( ) ( )r t r t hr t r t r t และ 1 2( ) ( )r t r t ทจด t ใด ๆ กาหนดไดดงน 1) 1 2 1 2( )( ) ( ) ( )r r t r t r t
2) 1 1( ) ( ) ( )hr t h t r t ( )( ) [ ( )]hA t h t A
เมอ A
เปนเวกเตอรคงทใน 3R
3) 1 2 1 2( )( ) ( ) ( )r r t r t r t 4) 1 2 1 2( )( ) ( ) ( )r r t r t r t
3. กาหนด ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k แลว
0 0 0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )t t t t t t t t
r t x t i y t j z t k
และ ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k
4. ( )r t คอ เวกเตอรซงสมผสกบเสนโคง ( )r t ทจด t ใด ๆ
5. ให 1,r r และ 2r
เปนฟงกชนคาเวกเตอรซงมอนพนธทจด t ใด ๆ h เปนฟงกชนคาจรงทมอนพนธทจด t จะได
1) 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )r r t r t r t
2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )hr t h t r t h t r t ( ) ( ) ( )hA t h t A
เมอ A
เปนเวกเตอรคงตว
3) 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r t r t r t r t r t
4) 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r t r t r t r t r t 6. การหาคา 1 2( ) ( )r r t และ 1 2( ) ( )r r t หาได 2 วธ คอ
- หา 1 2 1 2( ) ( ) , ( ) ( )r t r t r t r t กอน แลวจงหาอนพนธภายหลง - หาโดยใชสตรในขอ 6
7. กาหนดเวกเตอร ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k จะไดวา
1) เวกเตอรสมผสหนงหนวย ( )
( )
r tT
r t
หรอ ( )dr t
Tds
2) ความยาวสวนโคง ( )I
s r t dt
0201 108
http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K
Vector Calculus 86
3) เวกเตอรปกตหนงหนวย ( )
dT
dsN td
Tds
( )
( )
T t
T t
4) ความโคง ( )d
T tds
( )
( )
T t
r t
3
( ) ( )
( )
r t r t
r t
5) รศมความโคง 1
6) เวกเตอรไบนอรมลหนงหนวย B T N
7) เวกเตอร ,B T
และ N
ตงไดฉากกน
8) dB dNT
ds ds
9) เวกเตอรความเรว ( ) ( )v t r t เวกเตอรความเรง ( ) ( )a t r t
10) สวนประกอบสมผส ( ) ( )
( )T
a t v ta
v t
( ) ( )
( )
r t r t
r t
สวนประกอบปกต ( ) ( )
( )N
a t v ta
v t
( ) ( )
( )
r t r t
r t