สารบัญ คานา บทที่1 ล าดับและอนุกรม 1.1...

0201 108

http://khemmanantmathematics.wkifoundry.com 2015 Khemmanant. K

I

สารบญ ค าน า บทท 1 ล าดบและอนกรม

1.1 ล าดบ 1.2 อนกรม

1 20

บทท 2 การทดสอบการลเขาของอนกรม 2.1 การทดสอบการลออก 2.2 สมบตเชงพชคณตของอนกรมอนนต 2.3 การทดสอบการลเขา 2.4 การทดสอบดวยอนทกรล 2.5 อนกรมพ 2.6 การทดสอบดวยการเปรยบเทยบ 2.7 การทดสอบดวยการเปรยบเทยบโดยลมต 2.8 การทดสอบดวยอตราสวน 2.9 การทดสอบโดยราก 2.10 อนกรมสลบ 2.11 การลเขาสมบรณ และการลเขามเงอนไข 2.12 อนกรมก าลงและฟงกชน 2.13 อนกรมเทยเลอรและอนกรมแมคลรน 2.14 การหาอนพนธและการอนทเกรตของอนกรมก าลง

บทท 3 แคลคลสเชงเวกเตอร 3.1 ฟงกชนคาเวกเตอรของตวแปรเดยว 3.2 ลมตและความตอเนอง 3.3 อนพนธของฟงกชนคาเวกเตอร 3.4 เวกเตอรสมผสหนงหนวย เวกเตอรปกตหนงหนวยและความโคง 3.5 เวกเตอรความเรวและเวกเตอรความเรง

บทท 4 อนทกรลตามเสน

4.1 อนทกรลตามเสนของฟงกชนคาจรง 4.2 อนทกรลตามเสนของฟงกชนคาเวกเตอร 4.3 อนทกรลตามเสนซงเปนอสระจากวถ 4.4 ทฤษฎบทของกรน

26 27 29 30 33 33 35 37 39 40 41 47 52 62

68 69 71 75 82

87 97 103 117

0201 108

http://khemmanantmathematics.wkifoundry.com 2015 Khemmanant. K

II

บทท 5 อนทกรลตามผว 5.1 สมการเวกเตอรของพนผว 5.2 การหาพนทของพนผว 5.3 อนทกรลตามพนผวของฟงกชนคาจรง 5.4 อนทกรลตามพนผวของฟงกชนคาเวกเตอร 5.5 อนทกรลตามพนผวในรป 1 2 3

S

f dydz f dzdx f dxdy

5.6 ไดเวอรเจนตและเครล 5.7 ทฤษฏบทของสโตกส

125 128 139 143 149

155 157

บรรณานกรม

0201 108 Sequences and series 1

http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2015 Khemmanant. K

บทท 1 ลาดบและอนกรม (Sequences and series)

1.1 ลาดบ (Sequences) บทนยาม 1.1 ลาดบของจานวนจรง คอฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจานวนนบ และมคาเปนจานวนจรง

จากบทนยาม 1.1 ถากาหนดให f เปนฟงกชนซงมคา

( ) ,1

nf n n Nn

= ∈+

จะไดวา f เปนลาดบของจานวนจรงลาดบหนง

ในกรณของฟงกชน f ใด ๆ ทเปนลาดบ นยมเขยนบอกคา ( )f n ดวยสญลกษณ na ดงนน f ใด ๆ คอ เซตของคอนดบ

1 2 3{(1, ), (2, ), (3, ),...}a a a

เนองจาก na ตองคกบ n ในคอนดบ ( , )nn a ดงนนจะเขยนบอกถงลาดบ f นดวยสญลกษณ 1 2 3{ , , , ..., , ... }na a a a หรอ 1 2 3, , , ..., , ...na a a a หรอ 1{ }n na ∞

= หรอ { }na กได เชน

เขยน ( 1)2 1

n nn

⎧ ⎫−⎨ ⎬+⎩ ⎭ หมายถงลาดบ 1 2 31 , , 2 , , 3 , , ...

3 5 7⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

เขยน na n= หมายถงลาดบ { }(1,1), (2, 2), (3,3), (4, 4),…

เขยน 1

12n−

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

หมายถงลาดบ 1 1 1 1(1, 1), 2, , 3, , 4, , 5, ,...2 4 8 16

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

สาหรบลาดบ { }na ใด ๆ จะเรยกคา na วาพจนท n ของลาดบ ขอสงเกต ถา f เปนฟงกนทมโดเมนเปนเซตของจานวนนบจากด จะรยก f วาเปนลาดบจากด

และถา f เปนฟงกนทมโดเมนเปนเซตของจานวนนบไมจากด จะเรยก f วาเปนลาดบอนนต

หมายเหต 1 1n na a+ ≠ +



ตวอยาง 1.1 จงหา 5 พจนแรกของลาดบตอไปน

(ก) 5na = สาหรบทก 1n ≥ (ข) na n= สาหรบทก 1n ≥

(ค) 1na

n= สาหรบทก 4n ≥ (จ)

2710n

nan

+=

−

(ฉ) 21

1

n

nn

∞

=

+⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

(ช) 1

1

( 1)2

n

nn

∞+

=

⎧ ⎫−⎨ ⎬⎩ ⎭

วธทา หา 5 พจนแรกของลาดบในแตละขอจะพจารณาไดดงน

ลาดบ 5 พจนแรกของลาดบ 5na = สาหรบทก 1n ≥ 1 2 3 4 55, 5, 5, 5, 5a a a a a= = = = =

na n= สาหรบทก 1n ≥ 1 2 3 4 51, 2, 3, 4, 5a a a a a= = = = = 1

nan

= สาหรบทก 4n ≥ 4 5 6 7 81 1 1 1 1, , , ,4 5 6 7 8

a a a a a= = = = = 27

10nnan

+=

− 1 2 3 4 5

8 11 16 23 32, , , ,9 8 7 6 5

a a a a a= = = = =

21

1

n

nn

∞

=

+⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

1 2 3 4 53 4 5 62, , , ,4 9 16 25

a a a a a= = = = =

1

1

( 1)2

n

nn

∞+

=

⎧ ⎫−⎨ ⎬⎩ ⎭

1 2 3 4 51 1 1 11, , , ,2 4 8 16

a a a a a= − = = − = = −

นอกจากน ยงมลาดบของจานวนทมชอเสยงจานวนมาก ยกตวอยางเชน จานวนเฉพาะ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,… จานวนฟโบนกช 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … จานวนคาทาแลน 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, …

บทนยาม 1.2 ลาดบอนนต คอฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก และมคาเปนจานวนจรง เขยนแทนดวยสญลกษณ 1{ }n na ∞

= หรอ ( ), 1, 2, 3,na f n n= = … ตวอยาง 1.2 จงหาพจนท n ของลาดบในแตละขอตอไปน

(ก) 1 2 3 4, , , , ... ,2 3 4 5

(ข) 1 1 1 1, , , , ...2 4 8 16

(ค) 1 2 3 4, , , , ...2 3 4 5

− − (ง) 1, 3, 5, 7, ...



วธทา (ก) พจารณาหาพจนท n ของลาดบดงตารางตอไปน

ดงนน 1 2 3 4, , , , ... , , ...2 3 4 5 1

nn +

(ข) พจารณาหาพจนท n ของลาดบดงตารางตอไปน

ดงนน 1 1 1 1 1, , , , ... , , ...2 4 8 16 2n

(ค) พจารณาหาพจนท n ของลาดบดงตารางตอไปน

ดงนน 11 2 3 4, , , , ... , ( 1) , ...2 3 4 5 1

n nn

+− − −+

(ง) พจารณาหาพจนท n ของลาดบดงตารางตอไปน

ดงนน 1, 3, 5, 7 , ... , 2 1, ...n − ♦

จานวน 1 2 3 4 … n … พจน 1

2 2

3 3

4 4

5 …

1n

n+ …

จานวน 1 2 3 4 … n … พจน 1

2

2

12

3

12

4

12

… 12n

…

จานวน 1 2 3 4 … n … พจน 1

2 2

3− 3

4 4

5− … 1( 1)

1n n

n+−

+ …

จานวน 1 2 3 4 … n … พจน 1 3 5 7 … 2 1n − …



จากตวอยาง 1.2 ลาดบทง 4 ลาดบจะสามารถเขยนไดในรป 1{ }n na ∞= ไดดงน

ลาดบ 1{ }n na ∞

= 1 2 3 4, , , , ... , , ...2 3 4 5 1

nn +

11 n

nn

∞

=

⎧ ⎫⎨ ⎬+⎩ ⎭

1 1 1 1 1, , , , ... , , ...2 4 8 16 2n

1

12n

n

∞

=

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

11 2 3 4, , , , ... , ( 1) , ...2 3 4 5 1

n nn

+− − −+

1

1

( 1)1

n

n

nn

∞+

=

⎧ ⎫−⎨ ⎬+⎩ ⎭

1, 3, 5, 7 , ... , 2 1, ...n − 1{2 1}nn ∞=−

หมายเหต ตวอกษร n ในลาดบ 1 2 3, , , ..., , ...na a a a จะเรยกวา ดรรชนของลาดบ ซงไมจาเปน

ตองใช n เปนดรรชนของลาดบกได ยงกวานน ดรรชนของลาดบไมจาเปนตองเรมตนดวยดรรชนเทากบ 1 ในบางครงเพอความสะดวก อาจจะมดรรชนเรมตนท 0 (หรอ เรมตนดวยจานวนเตมอน ๆ) แตถาดรรชนของลาดบไมระบเงอนไขเรมตนให เปนทเขาใจกนอย แลววา ดรรชนของลาดบจะเรมตนท 1

เชน 5na n= + สาหรบทก 2n ≥ − หมายถงลาดบ

1.1.1 ลมตของลาดบ (limit of a sequence)

ในเรองของลาดบนปญหาทนาสนใจ กคอปญหาทวา เมอ n มคามาก ๆ นน พจนท n ของลาดบจะมคาเขาใกลคาใดคาหนงหรอไม ถามจะเรยกคานนวา ลมตของลาดบ พจารณากราฟของลาดบ { }na เหนไดวา กราฟของลาดบจะเขยนเฉพาะจด ( , )nn a สาหรบจานวนเตม n ทเปนไปไดบนกราฟ

เชน พจารณากราฟของลาดบ 21

1

n

nn

∞

=

+⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

จะพบวา จด 4 - 5 จดแรกของลาดบบนกราฟ คอ

3 4 5 6(1, 2), 2, , 3, , 4, , 5, , ...4 9 16 25

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ดงนน ลาดบ 30 พจนแรกจะสามารถเขยนไดดงกราฟตอไปน

2 1 0 1 23, 4, 5, 6, 7,a a a a a− −= = = = = …

0201

http:/

บทน

บทน

บทน

หมา

108

//khemmanantm

กคอ na จ

ซงสญลก

นยาม 1.3 ลถ

ก


ก


ก

ยเหต ใ(จ

mathematics.wi

กราฟของลาดจะเขาใกล 0

ษณนเหมอนก

ลาดบ { }na เถา L เปนมจ

กลาวไดวา {a

ลาดบ { }na เถาสาหรบทก


ลาดบ { }na เถาสาหรบทก


ในกรณท { na

(convergentจะกลาวไดวา

kifoundry.com

ดบ { }na น ส0 จะกลาววา

lim nna

→∞=

กบ สญลกษณ

เปนลาดบของจานวนจรงซง

}na ม L เป

เปนลาดบของ ๆ จานวน M

a

}na ม ∞ เป

เปนลาดบของ ๆ จานวน M

a

}na ม −∞ เ

} มจานวนจรt) และลเขาห { }na เปนลา

สงเกตเหนไดว 0 เปนลมต

2

1limn

nn→∞

+= =

ณของลมตของ

งจานวนจรง งสาหรบจานวน

na L− < ε นลมตและเขย lim nn

a L→∞

=

งจานวนจรง M มจานวน N

na M> สาหปนลมตและเขย lim nn

a→∞

= ∞

งจานวนจรง M มจานวน N

na M< สาหเปนลมตและเ lim nn

a→∞

= −∞

รง L เปนลมหา L ในกรณาดบลออก (di

วา เมอ n ม (หรอ คาลมต

0

งฟงกชน

น 0ε > ใด ๆ

ทก ๆ n N>

ยนแทนดวยส

N ททาให หรบทกคาขอยนแทนดวยส

N ททาให หรบทกคาขอขยนแทนดวย∞

มต จะกลาวไณท { }na ไมมvergent)

Se

มคามาก ๆ พต) ของลาดบ แ

ๆ จานวน NN ยลกษณ

ง n N> ยลกษณ

ง n N> ยสยลกษณ

ไดวา { }na เปม หรอ มลมตเ

equences and

2015 Khemma

พจนท n ของ และเขยนแทน

N ททาให

ปนลาดบลเขา เปน ∞ หรอ

series 5

anant. K

งลาดบนดวย

−∞



ขอสงเกต พจารณาเงอนไขในบทนยามทงสามนเหมอนกบเงอนไขในบทนยามของ lim ( ) , lim ( ) , lim ( )x x x

f x L f x f x→∞ →∞ →∞

= = ∞ = −∞

ดงนน ในกรณใด ๆ ทสามารถขยายโดเมนของลาดบ a ใหเปนเซตในรป [1, )∞ และสามารถหา lim ( )

xa x

→∞ ได กจะไดวา คาลมตนกคอ ลมตของลาดบ a ดวยเชนกน

ในการพจารณาหาลมตของลาดบตาง ๆ นน นอกจากจะทาไดโดยอาศยขอสงเกตขางตน แลวยง

มทฤษฎบทตอไปนไวอางอง ให { }kn เปนลาดบใด ๆ ของจานวนนบซง 1 2 3n n n< < <… สาหรบลาดบ { }na ใด ๆ ถากาหนดให

kk nb a= จะได { }kb เปนลาดบทมพจนท k เปนพจนท kn ของลาดบ { }na จะรยกลาดบ { }kb ทไดมาเชนนวา ลาดบยอย ของ { }na

ตวอยาง 1.3 กาหนดให { }na เปนลาดบซง 1na

n= และ ถา 2kn k=

จงหาลาดบยอยของลาดบ { }na วธทา จาก 2kn k= จะไดวา 1 2 3 42, 4, 6, 8,n n n n= = = = … เพราะวา { } {2, 4, 6, 8, }kn = … เปนลาดบเพม และ

1 2 3{ } { , , , }

kn n n na a a a= … 2 4 6{ , , , }a a a= … ………… (1)

จาก 1na

n= จะไดวา 1 2 3 4 5 6

1 1 1 1 11, , , , , ,2 3 4 5 6

a a a a a a= = = = = =

แทน na ลงในสมการ (1)

ดงนน 1 1 1{ } , , ,2 4 6kna ⎧ ⎫= ⎨ ⎬

⎩ ⎭ เปนลาดบยอยของลาดบ { }na ♦

ตวอยาง 1.4 กาหนดให { }na เปนลาดบซง ( 1)n

na = − และ ถา 2kn k= จงหาลาดบยอยของลาดบ { }na

วธทา จาก 2kn k= จะไดวา 1 2 3 42, 4, 6, 8,n n n n= = = = … เพราะวา { } {2, 4, 6, 8, }kn = … เปนลาดบเพม และ

1 2 3{ } { , , , }

kn n n na a a a= … 2 4 6{ , , , }a a a= … ………… (1) จาก ( 1)n

na = − จะได 2 4 62 4 6( 1) 1, ( 1) 1, ( 1) 1,a a a= − = = − = = − =

แทน na ลงในสมการ (1) ดงนน { }{ } 1, 1, 1,

kna = เปนลาดบยอยของลาดบ { }na ♦

0201

http:/

ทฤษ

ทฤษ ทฤษ

ตวอ

วธทา

ทฤษ

108

//khemmanantm

ษฎบท 1.1 ถ

ษฎบท 1.2 ถ เ

ษฎบท 1.3 ส แ

ยาง 1.5 จ

า

ด

ษฎบท 1.4 (

ถ

แ

mathematics.wi

ถา (na f n=

ถา { }na มลมเปน L ดวย

สมมตวา { }na

แลว (ก)

(ข)

(ค)

(ง)

(จ)

(ฉ)

จงหาลมตของ

2

1lim2n

nn n→∞

++

ดงนน ลมต

(The Squee

ถา na ≤

แลว limn

c→∞

kifoundry.com

)n สาหรบท

มตเปนจานวน

} และ { }nb

limn

c c→∞

=

lim nnca

→∞=

lim( nna

→∞±

lim( n nna b

→∞

lim nn

n

ab→∞

⎛ ⎞⎜⎝ ⎠

lim pnn

a→∞

=

งลาดบ na =

2lim

3 n

n

n→∞

=+

lim1

n→∞=

+

ตของ { }na

eze Theore

n nc b≤ ≤ สา

nc L=

ก n และ limx→

นจรง L แลวท

ลเขาหา 1L แ

c

lim nnc a

→∞= =

) limn nb a

→∞± =

) lim ln nn na

→∞= ⋅

lim

limnn

nn

a

b→∞

→∞

⎞= =⎟

⎠

limp

nna

→∞⎡ ⎤= =⎣ ⎦

2

12 3

nn n

++ +

22

22

1 1

2 31

nn n

n n

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ + +⎜⎝

2

2

1 1

02 3n n

n n

+=

+ +

คอ 0

em for Sequ

หรบทก ๆ n

m ( )f x L→∞

=

ทก ๆ ลาดบย

และ 2L ตาม

1cL

limn nnb

→∞± =

1lim nnb L L

→∞=

12

2

, 0L LL

= ≠

[ ]1 ,pL p= >

⎞⎟⎠⎞⎟⎠

0

uences)

n N> และ

Se

แลว limn

a→∞

อยของ { }na

มลาดบ และ

1 2L L±

2L

0

0> และ 1L

lim limnn na

→∞ →∞=

equences and

2015 Khemma

na L=

ยอมมลมต

c เปนคาคงต

0>

♦

m nb L∞

=

series 7

anant. K

ตว

♦



ตวอยาง 1.6 จงหาลมตของ 1

!n

n

nn

∞

=

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

วธทา พจารณา !n n

nan

= จะไดวา

1 2 31 2 1 2 31, , , ,2 2 3 3 3

a a a⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ ⋅

1 2 3 1 2 3n

n nan n n n n n n n⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠

ดงนน

10 nan

≤ ≤

พจารณา 1lim 0n n→∞

=

จะได 0 lim 0nna

→∞≤ ≤

นนคอ lim 0nna

→∞=

ดงนน !lim 0nn

nn→∞

= ♦

ตวอยาง 1.7 จงหาลมตของลาดบ 1sinna nn

=

วธทา 1sin1lim sin lim 1n n

nnn

n→∞ →∞

=0

sinlim 1t

tt+→

= =

ดงนน ลมตของ { }na คอ 1 ♦ ตวอยาง 1.8 จงหาลมตของลาดบ n

na n= วธทา เนองจาก lim lim n

nn na n

→∞ →∞= อยในรปแบบกาหนดชนด 0∞

ให 1/( ) xf x x= โดยกฎของโลปตาล จะได

1/lim lim xn

n xn x

→∞ →∞=

1 lnlim

xx

xe

→∞=

1lim lnx

xxe →∞=

lnlimx

xxe →∞=

1lim 0 1x xe e→∞= = =

ดงนน ลมตของ { }na คอ 1 ♦

1 1.0000000000 2 0.5000000000 3 0.2222222222 4 0.0937500000 5 0.0384000000 6 0.0154320988 7 0.0061198990 8 0.0024032593 9 0.0009366567 10 0.0003628800 11 0.0001399059 12 0.0000537232



ทฤษฎบท 1.5 ถา lim 0nna

→∞= แลว lim 0nn

a→∞

=

ขอสงเกต 1. สงเกตวา ถา lim nn

a L→∞

= และ 0L ≠ แลว

lim nna

→∞ ไมจาเปนตองเทากบ L

เชน ถา ( 1)nna = − แลว lim lim ( 1) lim1 1n

nn n na

→∞ →∞ →∞= − = =

แต lim nna

→∞ หาคาไมได เพราะวา ( 1) 1,n− = n เปนจานวนคบวก

และ ( 1) 1,n− = − n เปนจานวนคบวก

2. บทกลบของ ทฤษฎบท 1.5 เปนจรงดวย นนคอ ถา lim 0nn

a→∞

= แลว lim 0nna

→∞=

เชน ให ( 1)n

nan−

= แลว lim 0nna

→∞=

เนองจาก ( 1) 1lim lim lim 0n

nn n na

n n→∞ →∞ →∞

−= = =

ทฤษฎบท 1.6 ถา lim nn

a→∞

หาคาได แลวคาลมตจะมเพยงคาเดยว

จากทฤษฎบท 1.6 อาจกลาวไดอกนยหนงวา ถาลาดบใด ๆ ทลเขา แลวจะลเขาสเพยงจดเดยวเทานน แตถาลาดบใดกตามทลเขามากกวาหนงจด ลาดบนนกเปนลาดบลออก ตวอยาง 1.9 จงตรวจสอบวาลาดบตอไปนลเขา หรอ ลออก ถาลาดบลเขา ใหหาลมตของลาดบดวย

(ก) 3

3 2

2 51n

n nan n

− +=

+ − (ข) 3 n

na n e−=

(ค) 1 sin(2 )1n

nan

+=

+ (ง) 1 ( 1)n

nan

+ −=

วธทา (ก)

33 2 3

3 23

3

1 522 5lim lim

1 11 1n n

nn n n n

n n nn n

→∞ →∞

⎛ ⎞− +⎜ ⎟− + ⎝ ⎠=+ − ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 3

3

1 52 2 0 0lim 21 1 1 0 01n

n n

n n→∞

− + − += = =

+ −+ −

ดงนน 3

3 2

2 51

n nn n

⎧ ⎫− +⎨ ⎬+ −⎩ ⎭

เปนลาดบลเขา และลเขาหา 2 ♦



(ข) จะแสดงวา 3lim n

nn e−

→∞ มคา หรอ ไมมคา

จะเหนไดวา 3

3lim limnnn n

nn ee

−

→∞ →∞= อยในรปแแบบไมกาหนดชนด ∞

∞

ให 3

( ) xxf xe

=

โดยกฎของโลปตาล จะไดวา

3 3 2( ) 3lim ( ) lim lim lim( )x x xx x x x

x x xf xe e e→∞ →∞ →∞ →∞

′= = =

′

2(3 ) 6lim lim

( )x xx x

x xe e→∞ →∞

′= =

′

(6 ) 6lim lim 0( )x xx x

xe e→∞ →∞

′= = =

′

นนคอ 3lim 0n

nn e−

→∞=

ดงนน 3{ }nn e− เปนลาดบลเขา และลเขาหา 0 ♦

(ค) เนองจาก 1 sin(2 ) 1n− ≤ ≤ 0 1 sin(2 ) 2n≤ + ≤

นา 1 0n+ > สาหรบทก ๆ 0n > มาหารตลอดอสมการ

จะไดวา 1 sin(2 ) 201 1

nn n

+≤ ≤

+ +

1 sin(2 ) 2lim 0 lim lim1 1n n n

nn n→∞ →∞ →∞

+≤ ≤

+ +

เนองจาก 2lim 01n n→∞

=+

โดย Squeeze Theorem สาหรบลาดบ จะไดวา

1 sin(2 )lim 01n

nn→∞

+=

+

ดงนน 1 sin(2 )1

nn

+⎧ ⎫⎨ ⎬

+⎩ ⎭ เปนลาดบลเขา และลเขาหา 0 ♦



(ง) เนองจาก 1 ( 1) 20n

n n+ −

≤ ≤

พจารณา

1 ( 1) 2lim 0 lim limn

n n nn n→∞ →∞ →∞

+ −≤ ≤

เนองจาก 2lim 0n n→∞

=

โดย Squeeze Theorem สาหรบลาดบ จะไดวา

1 ( 1)lim 0n

n n→∞

+ −=

ดงนน 1 ( 1)n

n⎧ ⎫+ −⎨ ⎬⎩ ⎭

เปนลาดบลเขา และลเขาหา 0 ♦

ตวอยาง 1.10 จงตรวจสอบวาลาดบตอไปนลเขา หรอ ลออก ถาลาดบลเขา ใหหาลมตของลาดบดวย

(ก) 1 n

nna

n+⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (ข) 11

2

n

nan

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

(ค) 11n

nan

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(ง) 12

n

nnan+⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

วธทา (ก) เนองจาก 1 1lim lim 1n n

n n

n en n→∞ →∞

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ดงนน 1 nnn

⎧ ⎫+⎪ ⎪⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

เปนลาดบลเขา และลเขาหา e ♦

(ข) เนองจาก 221 1lim 1 lim 1

2 2

nn

n nn n→∞ →∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

2 1221lim 1

2

n

ne

n→∞

⎡ ⎤⎛ ⎞= + =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

ดงนน 112

n

n⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞+⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

เปนลาดบลเขา และลเขาหา e ♦



(ค) เนองจาก ( 1)1 1lim 1 lim 1

n n

n nn n

− −

→∞ →∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

11lim 1n

ne

n

−−−

→∞

⎡ ⎤⎛ ⎞= + =⎢ ⎥⎜ ⎟−⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

ดงนน 11n

n⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞−⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

เปนลาดบลเขา และลเขาหา 1e

♦

(ง) เนองจาก 1 2 1lim lim2 2

n n

n n

n nn n→∞ →∞

+ + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1lim 12

n

n n→∞

⎛ ⎞= −⎜ ⎟+⎝ ⎠

( 2)

21lim 12

nnn

n n

− −− −

→∞

⎛ ⎞= +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

( 2) 21lim 1

2

nn n

n n

− − − −

→∞

⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

lim 12 2lim n

n nn n

ne e e→∞ −− − − −

→∞= = =

ดงนน 12

nnn

⎧ ⎫+⎪ ⎪⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟+⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

เปนลาดบลเขา และลเขาหา 1e

♦

ขอสงเกต พจารณา 13 2

n

nnan+⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

ลาดบลเขา และลเขาหา 0

ให 1( )3 2xf xx+

=+

สาหรบ 1x ≥

โดยใชกฎของโลปตาล จะไดวา

1 ( 1) 1 1lim lim lim3 2 (3 2) 3 3n x x

n xn x→∞ →∞ →∞

′+ += = =

′+ +

ดงนน 1lim 03 2

n

n

nn→∞

+⎛ ⎞ =⎜ ⎟+⎝ ⎠



ตวอยาง 1.11 จงพจาณาวาลาดบ 2 2ln(5 1) ln(3 2)na n n= + − + เปนลาดบลเขา หรอ ลออก ถาลาดบลเขา ใหหาลมตของลาดบดวย

วธทา 2

2 22

5 1lim ln(5 1) ln(3 2) lim ln3 2n n

nn nn→∞ →∞

⎛ ⎞+⎡ ⎤+ − + = ⎜ ⎟⎣ ⎦ +⎝ ⎠

2

2

5 1ln lim3 2n

nn→∞

⎛ ⎞+= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

2

2

2 1

2 2

(5 )ln lim

(3 )n

nn

nn→∞

⎛ ⎞+= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

2

2

1

2

5ln lim

3n

nn

→∞

⎛ ⎞+= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

5 0ln3 0+⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

5ln3

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

ดงนน { }na เปนลาดบลเขา และลเขาหา 5ln3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

♦

ทฤษฎบท 1.7 ให 0{ }nnr ∞= เปนลาดบ และ ,0 1 1lim

,1 1n

n

rrr→∞

⎧ − < <= ⎨⎩ =

แลว

0{ }nnr ∞= เปนลาดบลเขา สาหรบ 1 1r− < ≤ และ

0{ }nnr ∞= เปนลาดบลออก สาหรบทกคา r อน ๆ

1.1.2 ลาดบทางเดยว (Monotone Sequences) บทนยาม 1.5 { }na จะเรยกวา ลาดบเพมโดยแท (Strictly increasing sequence)

ถา 1n na a +< สาหรบ n N∈ นนคอ 1 2 3a a a< < <…

{ }na จะเรยกวา ลาดบเพม (increasing sequence) ถา 1n na a +≤ สาหรบ n N∈ นนคอ 1 2 3a a a≤ ≤ ≤…

{ }na จะเรยกวา ลาดบลดโดยแท (Strictly decreasing sequence) ถา 1n na a +> สาหรบ n N∈ นนคอ 1 2 3a a a> > >…

{ }na จะเรยกวา ลาดบลด (decreasing sequence) ถา 1n na a +≥ สาหรบ n N∈ นนคอ 1 2 3a a a≥ ≥ ≥…

จากบทนยาม 1.5 ถา { }na เปนลาดบเพมโดยแท หรอ ลาดบลดโดยแทอยางใดอยางหนง

จะเรยกวา ลาดบทางเดยวโดยแท (Strictly Monotone Sequences) และถา { }na เปนลาดบเพม หรอ ลาดบลดอยางใดอยางหนง จะเรยกวา ลาดบทางเดยว (Monotone Sequences)



ตวอยาง 1.12 พจารณาลาดบตอไปน ลาดบ คาจากดความ 1 2 3, , , , ,2 3 4 1

nn +

… … ลาดบเพมโดยแท 1 1 11 , , , , ,2 3 n

… … ลาดบลดโดยแท

1 , 1 , 2 , 3 ,3 ,… ลาดบเพม; ลาดบไมเพมโดยแท 1 1 1 11 , 1 , , , , ,2 2 3 3

… ลาดบลด; ลาดบไมลดโดยแท

11 1 1 11 , , , , ( 1) ,2 3 4

n

n+− − −… … ไมเปนทงลาดบเพมและลาดบลด

ลาดบท 1 และลาดบท 2 เปนลาดบทางเดยวโดยแท ลาดบท 3 และลาดบท 4 เปนลาดบทางเดยว แตไมเปนลาดบทางเดยวโดยแท ลาดบท 5 ไมเปนลาดบทางเดยว ♦

วธการตรวจสอบลาดบทางเดยว

ให { }na เปนลาดบใด ๆ แลว { }na เปนลาดบทางเดยวหรอไม จะมวธการตรวจสอบ 3 วธไดแก วธหาผลตาง วธหาอตราสวน และวธหาอนพนธ

1. วธหาผลตาง

ผลตางระหวางพจนทอยตดกน ประเภทของลาดบ

1 0n na a+ − > หรอ 1n na a+ > ลาดบเพมโดยแท

1 0n na a+ − < หรอ 1n na a+ < ลาดบลดโดบแท

1 0n na a+ − ≥ หรอ 1n na a+ ≥ ลาดบเพม

1 0n na a+ − ≤ หรอ 1n na a+ ≤ ลาดบลด

ตวอยาง 1.13 จงแสดงวา 22 1

4nnan

+=

+ เปนลาดบเพมโดยแท

วธทา ตองแสดงวา 1n na a +< นนคอ

2 22 1 2( 1) 1

4 5n nn n

+ + +<

+ +

พจารณา



2 2

2 22 1 2( 1) 1 (2 1)( 5) (2( 1) 1)( 4)4 5

n n n n n nn n

+ + +< ⇔ + + < + + +

+ +

3 2 3 22 10 5 2 12 19 12n n n n n n⇔ + + + < + + +

20 2 18 7n n⇔ < + + สาหรบ 1n ≥ ดงนน 1n na a +< สาหรบทก 1n ≥ จะไดวา { }na เปนลาดบเพมโดยแท ♦

2. วธหาอตราสวน

อตราสวนของพจนทอยตดกน ประเภทของลาดบ 1 1n

n

aa+ > หรอ 1n na a+ > ลาดบเพมโดยแท

1 1n

n

aa+ < หรอ 1n na a+ < ลาดบลดโดบแท

1 1n

n

aa+ ≥ หรอ 1n na a+ ≥ ลาดบเพม

1 1n

n

aa+ ≤ หรอ 1n na a+ ≤ ลาดบลด

ตวอยาง 1.14 จงแสดงวา 2 1n

nan

=+

เปนลาดบเพมโดยแท

วธทา ตองแสดงวา 1 1n

n

aa+ >

เนองจาก 2 1n

nan

=+

และ 11

2 3nnan+

+=

+

พจารณา 1 1 2 12 3

n

n

a n na n n+ + += ×

+

2

2

2 3 12 3n n

n n+ +

=+ 2

112 3n n

= ++

ดงนน 2

2

2 3 1 12 3n n

n n+ +

>+

สาหรบทก 1n ≥

เนองจาก 2 22 3 1 2 3n n n n+ + > + สาหรบทก 1n ≥ หรอ (2 3) ( 1)(2 1)n n n n+ < + +

จะได 12 1 2 3

n nn n

+<

+ +

ดงนน 1n na a +< สาหรบทก 1n ≥ จะไดวา { }na เปนลาดบเพมโดยแท ♦



3. วธหาอนพนธ

โดยทวไป ถา ( ) nf n a= เปนพจนท n ของ { }na และ ถา f ′ มคา สาหรบ 1x ≥ อนพนธของ f สาหรบ 1x ≥ ประเภทของลาดบ

( ) 0f x′ > ลาดบเพมโดยแท ( ) 0f x′ < ลาดบลดโดบแท ( ) 0f x′ ≥ ลาดบเพม ( ) 0f x′ ≤ ลาดบลด

ตวอยาง 1.15 จงพจารณาวา ลาดบตอไปน เปนลาดบทางเดยว หรอไม

(ก) 1n

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

(ข) 1( 1)n

n

+⎧ ⎫−⎨ ⎬⎩ ⎭

วธทา (ก) เนองจาก 1na

n= และ 1

11na

n+ =+

พจารณา 11 1 ( 1) 1 0

1 ( 1) ( 1)n nn na a

n n n n n n+

− + −− = − = = <

+ + +

จะไดวา 1n na a+ < สาหรบทก 1n ≥ ดงนน { }na เปนลาดบเพมโดยแท และเปนลาดบทางเดยวโดยแท ♦

(ข) พจารณา 1 2

1( 1) ( 1),

1

n n

n na an n

+ +

+

− −= =

+ และ

3

2( 1)

2

n

nan

+

+

−=

+

ถา n เปนจานวนค จะได 1n na a +> และ 1 2n na a+ +< นนคอ ถา 1n = แลวจะได 1 2a a> และ 2 3a a<

ถา n เปนจานวนค จะได 1n na a +< และ 1 2n na a+ +> นนคอ ถา 2n = แลวจะได 2 3a a< และ 3 4a a> ดงนน { }na ไมเปนลาดบทางเดยว ♦

บทนยาม 1.6 ให { }na เปนลาดบ จะกลาวไดวา

ลาดบมขอบเขตบน กตอเมอ มจานวนจรง U ซง na U≤ สาหรบทก 1n ≥ ลาดบมขอบเขตลาง กตอเมอ มจานวนจรง L ซง nL a≤ สาหรบทก 1n ≥ ลาดบมขอบเขต กตอเมอ มจานวนจรงบวก M ซง na M≤ สาหรบทก n

ขอสงเกต ลาดบมขอบเขต กตอเมอ ลาดบมทงขอบเขตบน และขอบเขตลาง



ตวอยาง 1.16 จงพจารณาวา {[1 ( 1) ] }n n+ − เปนลาดบทมขอบเขตหรอไม วธทา พจารณา [1 ( 1) ]n

na n= + − จะพบวา 1 2 3 40 , 4 , 0 , 8 ,a a a a= = = = … และ 0na ≥ สาหรบทก 1n ≥

ดงนน 0 เปนขอบเขตลางของ { }na แตไมมขอบเขตบน ดงนน ลาดบ { }na ไมมลาดบทมขอบเขต ♦ ตวอยาง 1.17 จงหาขอบเขตบน และขอบเขตลางของลาดบตอไปน (ถาม)

(ก) { }n− (ข) 2{1 }n−

(ค) 1 3nn

⎧ ⎫−⎨ ⎬⎩ ⎭

(ง) sin2

nπ⎧ ⎫⎛ ⎞⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩ ⎭

(จ) 3( 1)1

n nn

⎧ ⎫−⎨ ⎬+⎩ ⎭

วธทา (ก) พจารณา { } { 1, 2, 3, , }n n− = − − − − …

ดงนน ลาดบไมมขอบเขตลาง แตมขอบเขตบนเทากบ 1−

(ข) พจารณา 2 2{1 } {0, 3, 8, ,1 , }n n− = − − −… … ดงนน ลาดบไมมขอบเขตลาง แตมขอบเขตบนเทากบ 0

(ง) พจารณา 1 1 1 13 { 2, 6, 9, , 3 , }2 3

n nn n

⎧ ⎫− = − − − −⎨ ⎬⎩ ⎭

… …

ดงนน ลาดบไมมขอบเขตลาง แตมขอบเขตบนเทากบ 2−

(ง) เนองจาก 1 sin 12

nπ⎛ ⎞− ≤ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

จะไดวา ลาดบมขอบเขตบน คอ 1 และลาดบมขอบเขตลาง คอ 1− ดงนน ลาดบมขอบเขต



(จ) พจารณาลมตของลาดบ 3( 1)1

n nn

⎧ ⎫−⎨ ⎬+⎩ ⎭

3 ,3lim lim ( 1)3 ,1

nnn n

n oddnan evenn→∞ →∞

− =⎧= − = ⎨ =+ ⎩

จะไดวา 3 3na− ≤ ≤ ทกคา n ทาใหไดวา ลาดบนเปนลาดบลดและเพมสลบกนไป เพราะวา

ถา n เปนจานวนค ลาดบ 3( 1)1

n nn

⎧ ⎫−⎨ ⎬+⎩ ⎭ จะมคาเปนลบ

ถา n เปนจานวนค ลาดบ 3( 1)1

n nn

⎧ ⎫−⎨ ⎬+⎩ ⎭ จะมคาเปนบวก

ดงนน { }na มขอบเขตบน คอ 3 และมขอบเขตลาง คอ 3− ♦ ทฤษฎบท 1.8 ทกลาดบลเขา แลวลาดบ มขอบเขต ขอสงเกต ถาลาดบมขอบเขต แลวลาดบอาจจะลเขา หรอ ลออกกได ตวอยาง 1.18 ลาดบ {( 1) }n− เปนลาดบลเขา หรอ ลออก วธทา เพราะวา ( 1)n

na = − จะได ( 1) 1n

na = − =

ถาให 2M = แลว 2na < สาหรบทก 1n ≥ ดงนน { }na เปนลาดบมขอบเขต

แตเนองจาก 1 ,

( 1)1 ,

n n evenn odd=⎧

− = ⎨− =⎩

จะไดวา lim nna

→∞ ไมมคา

ดงนน {( 1) }n− เปนลาดบลออก ♦ ทฤษฎบท 1.9 ถา { }na เปนลาดบทางเดยว และมขอบเขต แลว { }na เปนลาดบลเขา



ตวอยาง 1.19 ให { }na เปนลาดบซงพจนท n คอ 1 3 5 (2 1)2 4 6 2n

nan

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

จงแสดงวา ลาดบทางเดยว และมขอบเขต แลว ลาดบจะเปนลาดบลเขา วธทา (ก) จะตองแสดงวาลาดบเปนลาดบทางเดยว พจารณา

112

a =

2 11 3 32 4 4

a a⋅= =

⋅ หรอ 1 2

43

a a= หรอ 1 2a a>

3 21 3 5 52 4 6 6

a a⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ หรอ 2 3

65


4 31 3 5 7 72 4 6 8 8

a a⋅ ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ ⋅ หรอ 3 4

87


12 1

2n nna a

n −

−= หรอ 1

22 1n n

na an− =−

หรอ 1n na a− >

ดงนน { }na เปนลาดบลด สาหรบทก 1n ≥

(ข) จะตองแสดงวา ลาดบมขอบเขต เนองจากแตละพจนของ na เปนบวก ดงนน 0 na<

และจากการพจารณาแตละพจนพบวา 12na ≤

จาก 0na > จะไดวา 1 3 5 (2 1) 02 4 6 2

nn

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −>

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 3 5 (2 1) 0n⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − > สาหรบทก 1n ≥ แสดงวา 0na > สาหรบทก 1n ≥ ดงนน 0 เปนขอบเขตลางของลาดบ

และถา 12na ≤ จะไดวา

1 3 5 (2 1) 12 4 6 2 2

nn

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −≤

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 2 3 5 (2 1) 2 4 6 2n n⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 5 7 (2 1) 4 6 2n n⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ≤ ⋅ ⋅ ⋅ สาหรบทกคา n

แสดงวา 12na ≤ สาหรบ 1n ≥ ดงนน 1

2 เปนขอบเขตบนของลาดบ

นนคอ { }na มขอบเขต จากขอ (ก) และ (ข) สรปไดวา ลาดบ { }na ปนลาดบลเขา ♦



1.2 อนกรม (series)

ในหวขอน จะศกษาดวา ถาเอาพจนตาง ๆ ของลาดบตงแตพจนท 1 และพจนตอ ๆ ไปทงหมดมาบวกกน คาทไดจะมคาหรอไม บทนยาม 1.7 อนกรมอนนต คอ ผลบวกทกพจนทเขยนอยในรป

1 2 31

k kk

a a a a a∞

=

= + + + + +∑

จานวน 1 2 3, , , , ka a a a… เรยกวาพจนของอนกรม หมายเหต อนกรมทมพจนจานวนจากด เรยกวา อนกรมจากด (Finite series) และอนกรมทม จานวนพจนไมจากด เรยกวา อนกรมอนนต (Infinite series)

พจารณา 1 1s a= ,

2 1 2s a a= + , 3 1 2 3s a a a= + + ,

1 2 31

n

n n kk

s a a a a a=

= + + + + =∑

เรยก ns วา ผลบวกยอย (Partial sums) n พจนแรกของ { }na ซง

1 1lim lim

n

n k kn n k ks a a

∞

→∞ →∞= =

= =∑ ∑

บทนยาม 1.8 ให { }ns เปนลาดบของผลบวกยอยของอนกรม

1 2 3 ka a a a+ + + + +

ถา { }ns ลเขาหา S แลวจะเรยกอนกรมวา อนกรมลเขาหา S และ จะเรยก S วาผลบวกของอนกรม เขยนแทนดวยสญลกษณ

1k

kS a

∞

=

=∑



ตวอยาง 1.20 จงพจารณาวาอนกรม

1 1 1 1 1 1− + − + − +

ลเขา หรอ ลออก ถาอนกรมลเขา ใหหาผลบวกของอนกรม วธทา อนกรม 1 1 1 1 1 1− + − + − +

พจารณา 1 1s = , 2 1 1 0s = − = ,

3 1 1 1 1s = − + = , 4 1 1 1 1 0,s = − + − =

นนคอ ลาดบของผลบวกยอย คอ 1, 0, 1, 0, 1, 0,… และเนองจาก ลาดบ 1, 0, 1, 0, 1, 0,… เปนลาดบลออก

ดงนน อนกรมนลออก ♦ ตวอยาง 1.21 จงพจารณาวา

1

1lnn

nn

∞

=

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

เปนอนกรมลเขา หรอ ลออก ถาอนกรมลเขา ใหหาผลบวกของอนกรม

วธทา ให ns เปนผลบวกยอย n พจนแรกของอนกรม 1

1lnn

nn

∞

=

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

จะไดวา 1 ln 2,s =

32 2ln 2 ln( ) ln 3s = + =

3 33 2 4ln 2 ln( ) ln( ) ln 4,s = + + =

ln( 1)ns n= +

พจารณา lim lim ln( 1)nn n

s n→∞ →∞

= +

( )ln lim( 1) ln( )n

n→∞

= + = ∞ = ∞

ดงนน อนกรมนลออก ♦



บทนยาม 1.9 อนกรมเรขาคณต (Geometric series)

เรยกอนกรม 2 3 1 1

1, 0n n

nar ar ar ar ar a

∞− −

=

+ + + + + = ≠∑ วา

อนกรมเรขาคณต เรยก r วา อตราสวนรวม (Common ratio) ของอนกรม ซง 32

1 2 1

n

n

a aara a a −

= = = =

เชน 1 2 4 8 2k+ + + + + + 1, 2a r= =

2 3

3 3 3 310 10 10 10k+ + + + + 1 1,

10 10a r= =

1 1 1 1 1( 1)2 4 8 16 2

kk− + − + + − + 1 1,

2 2a r= = −

1 1 1 1+ + + + + 1, 1a r= = 1 1 1 1 ( 1)k− + − + + − + 1, 1a r= = −

2 31 kx x x x+ + + + + + 1,a r x= =

ทฤษฎบท 1.10 อนกรมเรขาคณต

1 2 3 1

1( 0)k k

kar ar ar ar ar a

∞− −

=

= + + + + + ≠∑

ถา 1r < แลวจะเปนอนกรมลเขาและมผลบวกเปน 1

ar−

ถา 1r ≥ แลวจะเปนอนกรมลออก พสจน แบงการพจาณาออกเปน 2 กรณ

กรณ 1 ถา 1r = จะได

2 1nns a ar ar ar −= + + + + +

n times

a a a a na= + + + + =

ดงนน lim limnn ns na

→∞ →∞= = ∞ (ไมมคา)



กรณ 2 ถา 1r ≠ จะได 2 1n

ns a ar ar ar −= + + + + และ 2 3 n

nrs ar ar ar ar= + + + +

พจารณา nn ns rs a ar− = −

(1 ) (1 )nns r a r− = −

(1 )1

n

na rs

r−

=−

สงเกตไดวา ถา 1 1r− < < จะไดวา lim 0n

nr

→∞=

ดงนน (1 ) (1 0)lim lim1 1 1

n

nn n

a r a asr r r→∞ →∞

− −= = =

− − −

นนคอเมอ 1r < อนกรมเรขาคณตลเขา และมผลบวกเปน 1

ar−

ถา 1r ≤ − หรอ 1r > จะไดวา { }nr ลออก และ lim n

nr

→∞ ไมมคา

ดงนน อนกรมเรขาคณตลออก ♦

ตวอยาง 1.22 จงหาผลบวกของอนกรมเรขาคณต 1

12n

n

∞

=∑

วธทา พจารณา 2 3 4

1 1 1 12 2 2 2+ + + +

จะไดวา 1 1,2 2

a r= =

1

12n

n

∞

=∑

12 111

2

= =−

ดงนน ผลบวกของอนกรมเรขาคณตเทากบ 1 ♦ บทนยาม 1.10 อนกรมทแตละพจน สามารถแยกเปนผลตางของจานวนจรง 2 จานวนได

เรยกวา อนกรมเทเลสโคปก (Telescoping series)



ตวอยาง 1.23 จงหาคา 1 1 11 2 2 3 3 4

+ ++ + +

วธทา พจารณา

1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 2 1 3 2 4 3

+ + = + ++ + + + + +

2 1 3 2 4 3( 2 1)( 2 1) ( 3 2)( 3 2) ( 4 3)( 4 3)

− − −= + +

+ − + − + −

2 2 2 2 2 2

2 1 3 2 4 3( 2) 1 ) ( 3) ( 2) ( 4) ( 3)

− − −= + +

− − −

2 1 3 2 4 32 1 3 2 4 3− − −

= + +− − −

2 1 3 2 4 3 1= − + − + − = ♦ ตวอยาง 1.24 จงพจารณาวา

1

1( 1)n n n

∞

= +∑

เปนอนกรมลเขา หรอ ลออก ถาอนกรมลเขา ใหหาผลบวกของอนกรม

วธทา เนองจาก 1 1 1( 1) 1n n n n

= −+ +

พจารณา

1

1 11

n

nk

sk k=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟+⎝ ⎠∑

1 1 1 1 1 1 1 1 112 2 3 3 4 1 1n n n n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − + + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 1 1 1 1 1 1 112 2 3 3 4 1 1n n n n

= − + − + − + + − − + −− +

111n

= −+

ดงนน 1lim 1 11n n→∞

⎛ ⎞− =⎜ ⎟+⎝ ⎠

นนคอ อนกรมนลเขา และผลบวกของอนกรมเทากบ 1 ♦



ตวอยาง 1.25 จงพจารณาวา

21

13 2n n n

∞

= + +∑

ลเขาหรอลออก ถาอนกรมลเขา ใหหาผลบวกของอนกรมดวย

วธทา พจารณา 2

1 1 13 2 1 2n n n n

= −+ + + +

จะไดวา

ns = 21 1

1 1 13 2 1 2

n n

k kk k k k= =

⎛ ⎞= −⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠∑ ∑

1 1 1 1 1 1 1 12 3 3 4 4 5 1 2n n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 12 2n

= −+

ดงนน 1 1 1lim lim2 2 2nn n

sn→∞ →∞

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟+⎝ ⎠

นนคอ 21

13 2n n n

∞

= + +∑ ลเขา และมผลบวกของอนกรมเทากบ 12

♦

ตวอยาง 1.26 จงพจารณาวา 21

14 3n n n

∞

= + +∑ ลเขาหรอลออก ถาลเขาใหหาผลบวกของอนกรมดวย

วธทา พจารณา 1 12 2

2

14 3 1 3n n n n

= −+ + + +

จะไดวา

ผลบวกยอย nS = 21 1

1 1 1 14 3 2 1 3

n n

k kk k k k= =

⎛ ⎞= −⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠∑ ∑

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 4 3 5 4 6 2 1 3n n n n⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − + + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

1 1 1 1 12 2 3 2 3n n⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

ดงนน 1 1 1 1 1 5lim lim2 2 3 2 3 12nn n

Sn n→∞ →∞

⎡ ⎤= + − − =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

นนคอ 21

14 3n n n

∞

= + +∑ และมผลบวกของอนกรมเทากบ 512

♦

0201 108

2015 Khemmanant. K

Convergence tests 26

http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com

บทท 2 การทดสอบการลเขาของอนกรม (Convergence tests for series)

จากการทไดหาผลบวกของอนกรมและตรวจสอบการลเขาโดยการเขยนผลบวก nS ในรปแบบทไมมการขยายพจนกอน แลวจงหาลมตของผลบวกน lim nn

S S

ซงการทาเชนนจะทาไดสาหรบ

อนกรมบางชนดเทานน เนองจากในการหา nS จากอนกรมทกาหนดนนคอนขางจะยงยาก ซงมบางอนกรมทลเขา แตหาผลบวกไมได ดงนนสาหรบอนกรมสวนใหญจะตรวจสอบการลเขาหรอลออกไดโดยใชวธการทดสอบการลเขาซงมหลายวธ โดยจะกลาวถงวธทสาคญและใชไดบอยครงกบอนกรมทจะพบเหนโดยทวไป และหลงจากทราบวาอนกรมลเขาแลว กจะสามารถทจะประมาณคาผลบวกของ อนกรมจากผลบวกยอยทมจานวนพจนมากพอได

2.1 การทดสอบการลออก (The Divergence Test)

ทฤษฎบท 1 ถา na เปนอนกรมลเขา แลว lim 0nna

ทฤษฎบท 2 ถา lim 0nna

แลวอนกรม na เปนอนกรมลออก

ตวอยาง 1 อนกรม 1

1 2 3

1 2 3 4 1n

n n

n n

เปนอนกรมลออก

เพราะวา 1lim lim 1 0

11 1k k

n

nn

ขอควรระวง บทกลบของทฤษฎบท 1 ไมจรง การทจะพสจนวา อนกรมลเขา จะแสดงเพยงแควา lim 0nn

a

ไมได เนองจากสมบตขอนอาจจะเปนจรงสาหรบอนกรมลออกเชนเดยวกน

กบอนกรมลเขากได

เชน อนกรมฮารมอนก 1

1 1 1 11

2 3n n n


เนองจากม 1lim lim 0nn n

an

อนกรมเรขาคณต 2 3

1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2n nn

เปนอนกรมลเขา

โดยท 1

2r ซง 1r หรอม 1

lim lim 02n nn n

a

0201 108

2015 Khemmanant. K



ตวอยาง 2 จงพจารณาวาอนกรมตอไปนลเขาหรอไม

(ก) 2

1n

n

(ข)

1

2 1

n

n

n

(ค) 1

1

( 1)n

n

(ง) 1 3 1n

n

n

วธทา (ก) เนองจาก 2lim lim 0nn na n

ดงนน 2

1n

n


(ข) เนองจาก 2 1 1lim lim lim 2 2 0nn n n

na

n n

ดงนน 1

2 1

n

n

n


(ค) เนองจาก 1lim lim ( 1)nnn n

a

หาคาไมได

ดงนน 1

1

( 1)n

n


(ง) เนองจาก 1 1lim lim lim 0

13 1 33nn n n

na

nn

ดงนน 1 3 1n

n

n


2.2 สมบตเชงพชคณตของอนกรมอนนต (Algebraic properties of infinite series)

ทฤษฏบท 3 (1) ถา na และ nb เปนอนกรมลเขาแลว ( )n na b เปนอนกรมลเขาดวย

และ ผลบวกของอนกรมจะอยในรป ( )n n n na b a b (2) ถา c เปนคาคงตวทไมเทากบ 0 แลวอนกรม na และ nca จะเปน

อนกรมลเขาเหมอนกน หรอ ลออกเหมอนกน ในกรณทลเขา จะมผลบวกเปน

1 1n n

n n

ca c a

(3) การลเขาหรอลออกจะยงคงเดม ถามการตดพจน n พจนแรกของอนกรมออกเปนจานวนจากด นนคอ สาหรบจานวนเตมบวก n อนกรม

1 2 31

nn

a a a a

และ 1 2n k k kn k

a a a a

จะลเขาเหมอนกน หรอ ลออกเหมอนกน

0201 108

2015 Khemmanant. K



ขอสงเกต ในขอ (3) ของทฤษฎบท 3 แมวาการตดพจนแรก ๆ ออกของอนกรมลเขาจะไม กระทบผลของการลเขา แตผลบวกจะมคาเปลยนไป

ตวอยาง 3 จงหาผลบวกของอนกรม 1

1

3 2

4 5n nn

วธทา 1 1

1 1 1

3 2 3 2

4 5 4 5n n n nn n n

พจารณา 2 3

1

3 3 3 3

4 4 4 4nn

โดยม 3

4a และ 1

4r

ดงนน เปนอนกรมเรขาคณตลเขา

และพจารณา 1 2 3

1

2 2 2 22

5 5 5 5nn

โดยม 2a และ 1

5r

ดงนน เปนอนกรมเรขาคณตลเขาเชนกน จากทฤษฏบท 3 ขอ (1) อนกรมทกาหนดใหลเขาและมผลบวกอนกรม

1 1

1 1 1

3 2 3 2

4 5 4 5n n n nn n n

34

1 14 5

2 5 31

1 1 2 2

ตวอยาง 4 จงหาผลบวกของอนกรม 1

2 3

3 ( 1)( 2)nn n n

วธทา 1 1 1

2 3 2 3

3 ( 1)( 2) 3 ( 1)( 2)n nk n nn n n n


1

2 2 2 3

3 3 3 3nn

โดยม 2

3a และ 1

3r

ดงนน เปนอนกรมเรขาคณตลเขา จะได 23

11 3

21

3 1nn

และพจารณา 1

3

( 1)( 2)n n n

ให 1

3

( 1)( 2)

n

nk

Sk k

3 3 3 3

2 3 3 4 4 5 ( 1)( 2)n n

1 1 1 13

2 3 3 4 4 5 ( 1)( 2)n n

0201 108

2015 Khemmanant. K



จาก 1 1 1

( 1)( 2) 1 2n n n n

จะได

1 1 1 1 1 1 1 13

2 3 3 4 4 5 1 2nSn n

1 1 1 1 1 1 1 13

2 3 3 4 4 1 1 2n n n

1 13

2 2n

และ 1 1 3lim lim3

2 2 2nn nS

n

จะได

1

3 3

( 1)( 2) 2n n n

นนคอ 1

2 3 3 11

3 ( 1)( 2) 2 2nn n n


5 5 5 55

2 3n n n


โดยทฤษฏบท 3 ขอ (2) เพราะวา 1 1

5 15

n nn n

เนองจาก 1

1

n n

เปนอนกรมฮารมอนก

ดงนน 1

5

n n

จงเปนอนกรมลออกดวย


1 1 1 1

10 11 12n n


โดยทฤษฏบท 3 ขอ (3) อนกรมนไดจากการตด 9 พจนแรกออกจากอนกรมฮารมอนก

ทลออก ดงนน 10

1

n n

จงเปนอนกรมลออกดวย

2.3 การทดสอบการลเขา (Convergence Test)

ถาอนกรม 1 2 na a a มพจนทไมเปนคาลบ แลวผลบวกยอย

1 1 ,S a

2 1 2 ,S a a

3 1 2 3 ,S a a a จะสรางลาดบคาไมลด กลาวคอ

1 2 3 nS S S S

0201 108

2015 Khemmanant. K



ถามคาคงตวจากด M โดยท nS M สาหรบทก n แลว โดยทฤษฏบท ลาดบของผลบวกยอยนจะลเขาสลมต S โดยท S M ถาไมมคาคงตวจากด M ดงกลาวแลว lim nn

S

ดงจะกลาวตามทฤษฏบทตอไปน

ทฤษฏบท 4 ถา na เปนอนกรมทมพจนทไมเปนคาลบ และถามคาคงตว M 1 2n nS a a a M สาหรบทก n ถาอนกรมนจะลเขา และผลบวกยอยสอดคลอง S M

ถาไมม M ดงกลาว แลว อนกรมจะลออก 2.4 การทดสอบดวยอนทกรล (The Integral Test)

ถามอนกรมทแตละพจนเปนคาบวก เชน 2

1

1

n n

และถาสรางอนทกรลไมตรงแบบ

(Improper Integral) 2

1

1dx

x

ซงเปนตวทถกอนทกรลไดมาจากการแทน n ดวย x ในผลบวก

แลวจะมความสมพนธระหวางการลเขาของอนกรม และการลเขาของอนทกรลไมตรงแบบ ดงทฤษฏบทตอไปน ทฤษฏบท 5 การทดสอบดวยอนทกรล

ให na เปนอนกรมทมแตละพจนมคาเปนบวก และให ( )f x เปนฟงกชนทเกดจากการแทน n ดวย x ใน na ถา f มคาลดลงและมความตอเนองสาหรบ 1x

แลว 1

nn

a

และ

1

( )f x dx

จะลเขาทงค หรอ ลออกทงค

ขอสงเกต ถาดชนผลรวม (Summation Index) ในอนกรม na ไมไดเรมตนท 1n

การทดสอบดวยอนทกรลยงคงใชได เพยงแตเปลยนลมตลางในอนทกรลเทานน ซงสามารถแสดงใหเหนวา

nn K

a

และ ( )

K

f x dx

ลเขาเหมอนกน หรอ ลออกเหมอนกน

0201 108

2015 Khemmanant. K



ตวอยาง 7 จงพจารณาวาอนกรม 2

1

1

n n

ลเขา หรอ ลออก

วธทา จาก 2

1na

n กาหนดให

2

1( ) nf n a

n

ดงนน 2

1( )f x

x โดย f มคาลดลงและมความตอเนองสาหรบ 1x ซง

สอดคลองกบขอสมมตในการทดสอบดวยอนทกรล

เนองจาก 2 2

1 1

1 1lim

m

mdx dx

x x

1

1 1lim lim 1 1

m

m mx m

ดงนน 2

1

1dx

x

ลเขา จะไดวา 2

1

1

n n

ลเขาดวย

ขอสงเกต จากตวอยาง 7 จะอาศยผลจาก 2

1

11dx

x

แลวสรปวา 2

1

11

n n

นนไมได

ในขนสงจะพสจนไดวา ผลบวกของอนกรม 2

21

11.644934 2

6n n


1

n n

ลเขา หรอ ลออก (โดยการทดสอบดวยอนทกรล)

วธทา จาก 1na

n กาหนดให 1

( ) nf n an

ดงนน 1( )f x

x โดย f มคาลดลงและมความตอเนองสาหรบ 1x ซงสอดคลอง

กบขอสมมตในการทดสอบดวยอนทกรล


1 1lim

m

mdx dx

x x

1lim ln lim ln ln1

m

m mx m

ดงนน 1

1dx

x

ลออก จะไดวา 1

1

n n

ลออกดวย

0201 108

2015 Khemmanant. K




1 1n

n

n


วธทา จาก 2 1n

na

n

กาหนดให

2( )

1n

nf n a

n

ดงนน 2

( )1

xf x

x

โดย f มคาลดลงและมความตอเนองสาหรบ 1x ซง

สอดคลองกบขอสมมตในการทดสอบดวยอนทกรล


2 2 21 1 1

1 ( 1)lim lim

1 1 1 2

m m

m m

x x d xdx dx

x x x

2 2

1

1 1lim ln( 1) lim ln( 1) ln 2

2 2

m

m mx m

ดงนน 2

1 1

xdx

x

ลออก จะไดวา 2

1 1n

n

n

ลออกดวย

ตวอยาง 10 จงพจารณาวาอนกรม 24 9

1 2 3n

n

e e e e ลเขา หรอ ลออก

วธทา จาก 2n n

na

e กาหนดให 2( ) n n

nf n a

e

ดงนน 2

2( ) x

x

xf x xe

e สาหรบ 1x ฟงกชนนมคาบวกและมความตอเนอง

ทดสอบ f มคาลดลง โดยการใชอนพนธไดดงน

2 2

( ) ( 2 )x xf x x xe e 2 2

2x xe xe 2

(1 2 ) 0xe x สาหรบ 1x ดงนน f มคาลดลง สาหรบ 1x ซงสอดคลองกบขอสมมตในการทดสอบดวย อนทกรล


2 2 2

1 1 1

( )lim lim

2

m m xx x x

m m

d exe dx xe dx e

2 2 1

1

1 1lim lim( )

2 2

mx m

m me e e

2

1 1 1 1 1 1lim 0

2 2 2mm e e ee

ดงนน 2

1

xxe dx


1n

n

n

e


0201 108

2015 Khemmanant. K



2.5 อนกรมพ (P-series)

บทนยาม 1 อนกรมพ หรอ อนกรมไฮเพอรฮารมอนก (Hyper-harmonic series) คอ อนกรมท สามารถเขยนอยในรปดงน

1

1 1 1 11

2 3p p p pn n n

โดยท 0p

ตวอยาง 11 อนกรมพ

1

1 1 1 11

2 3n n n

โดยท 1p

2 2 2 21

1 1 1 11

2 3n n n

โดยท 2p

1

1 1 1 11

2 3n n n

โดยท 1

2p

การลเขาของอนกรมพ กลาวไวในทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฏบท 6 การทดสอบดวยอนกรมพ

1

1 1 1 11

2 3p p p pn n n

โดยท 0p

เปนอนกรมลเขา ถา 1p และ เปนอนกรมลออก ถา 0 1p

ขอสงเกต จากทฤษฏบท 6 ถา 0p จะได 1

1p

n n

ลเขา ถา 1p และลออก ถา 1p

ตวอยาง 12 อนกรม 3 3 3

1 1 11

2 3 n

เปนอนกรมลออก เนองจากเปนอนกรม -พ ทม 11

3p

2.6 การทดสอบดวยการเปรยบเทยบ (Comparison Test)

ทฤษฏบท 7 การทดสอบดวยการเปรยบเทยบ สมมตให na และ nb เปนอนกรมทมแตละพจนไมเปนลบ (Non - negative) และมจานวนเตมบวก N ซง n na b ถา n N แลว 1) ถา nb ลเขา แลว na จะลเขาดวย 2) ถา na ลออก แลว nb จะลออกดวย

0201 108

2015 Khemmanant. K




1

( 1)n n n


วธทา พจารณาพจนท n


1 1 1

( 1)n n n n n

ดงนน 2

1 1

( 1)n n n

1 1

( 1) nn n

แตเนองจาก 1

1

n n

ลออก เพราะวาเปนอนกรมฮารมอนก

จากการทดสอบดวยการเปรยบเทยบ จะไดวา 2

1

( 1)n n n

ลออก


1

ln

2 1n

n

n


วธทา เนองจาก ln n n และ 3 3

1 1

2 1n n

ดงนน 3 3 2

ln 1

2 1

n n

n n n


1

1

n n

ลเขา เพราะวาเปนอนกรมพ 2 1p


1

ln

2 1n

n

n

ลเขา

ตวอยาง 15 จงพจารณาวาอนกรม 2 2

1 cos ( )n

n

n n


วธทา เนองจาก 2

1n

n n

ดงนน 2 2 2

1

cos ( )

n n

n n n n


1

n n

ลออก เพราะวาเปนอนกรมฮารมอนก

จากการทดสอบดวยการเปรยบเทยบ จะไดวา 2 2

1 cos ( )n

n

n n

ลออก

0201 108

2015 Khemmanant. K




1

2 3nn


วธทา เนองจาก 1 1

2 3 2n n


1

2nn

ลเขา เพราะวาเปนอนกรมเรขาคณต เมอ 1

2r และ 1r


1

2 3nn

ลขา


41

2

5n

n

n


วธทา เนองจาก 2 2

4 4

2 2

5

n n

n n


4 4 41 1 1

2 2

n n n

n n

n n n

2 4

1 1

1 2

n nn n


1

1

n n

ลเขา เพราะวาเปนอนกรมพ ทม 2p และ

4

1

2

n n

ลเขา เพราะวาเปนอนกรมพ ทม 4p

ดงนน 2

41

2

n

n

n



41

2

5n

n

n

ลเขา

2.7 การทดสอบดวยการเปรยบเทยบลมต (Limit Comparison Test)

ทฤษฏบท 8 การทดสอบดวยการเปรยบเทยบลมต สมมตให na และ nb โดยท , 0n na b สาหรบทก n

และนยาม lim n

nn

aL

b ถา 0L และ L เปนจานวนจากด ( L )

แลว na และ nb ลเขาเหมอนกน หรอ ลออกเหมอนกน

หมายเหต จากทฤษฏบท 8 ในกรณ lim 0n

nn

a

b จะสามารถสรปไดเพยงวา

ถา nb ลเขา แลว na ลเขา ถา nb ลออก แลว na ลออก

0201 108

2015 Khemmanant. K



ตวอยาง 18 จงพจารณาวาอนกรมตอไปน ลเขา หรอ ลออก

(ก) 1

1

1n n

(ข)

21

1

2n n n

(ค) 3 2

7 31

3 2 4

2n

n n

n n

(ง)

1

1

(2 1)n n n

วธทา (ก) ให 1

1na

n

และ 1

nbn

เพราะวา lim lim1

n

n nn

a n

b n

1

lim lim 111 1

n n

n

nn

และ 1

1

n n

เปนอนกรมลออก เพราะวาเปนอนกรมพ ทม 1

12

p

โดยทฤษฏบท 8 จะได 1

1

1n n

ลออก

(ข) ให 2

1

2nan n

และ 2

1

2nbn

เพราะวา 2

2

2lim lim

2n

n nn

a n

b n n

2

lim 11

2n

n

และ 2

1

1

n n

เปนอนกรมลเขา เพราะวาเปนอนกรมพ ทม 2 1p

จงทาให 2

1

1

2n n

เปนอนกรมลเขาดวย ดงนน

21

1

2n n n

ลเขา

(ค) พจารณา 3

7 41 1

3 3

n n

n

n n

ให 3 2

7 3

3 2 4

2n

n na

n n

และ

3

7 4

3 3n

nb

n n

จะได

3 2

7 3

4

3 2 42lim lim

3n

n nn

n na n nb

n

7 6 4

7 3

3 2 4lim 1

3 3 6n

n n n

n n


1

1

n n

เปนอนกรมลเขา เพราะวาเปนอนกรม - พ ทม 4 1p

ดงนน 4

1

3

n n

เปนอนกรมลเขาดวย โดยทฤษฏบท 8 จะได

3 2

7 31

3 2 4

2n

n n

n n

ลเขา

0201 108

2015 Khemmanant. K



(ง) ให 1

(2 1)na

n n

และ 1

nbn

จะได 1 1lim lim lim

(2 1) 1 22

n

n n nn

a n

b n nn

และ 1

1

n n

เปนอนกรมลออก เพราะวาเปนอนกรมฮารมอนก

โดยทฤษฏบท 8 จะได 1

1

(2 1)n n n

ลออก


1 2 1n

n n

n


วธทา ให 32 1n

n na

n

และ

3 2

1

2 2n

nb

n n


3

( ) 2lim lim

2 1n

n nn

a n n n

b n

5

3 2

3

2 2lim 1

2 1n

n n

n

และ 2

1

1

2n n

เปนอนกรมลเขา เพราะวาเปนอนกรม -พ ทม 1p

ดงนน 3

1 2 1n

n n

n

ลเขา

2.8 การทดสอบดวยอตราสวน (The Ratio Test) ทฤษฏบท 9 การทดสอบดวยอตราสวน

ให na เปนอนกรมใด ๆ โดยท 0na สาหรบทกจานวนเตมบวก n และ 1lim n

nn

aL

a

เมอ L เปนจานวนจรง แลว

1) ถา 1L จะไดวา na ลเขา 2) ถา 1L หรอ L จะไดวา na ลออก 3) ถา 1L การทดสอบไมสามารถสรปผลได

0201 108

2015 Khemmanant. K



ตวอยาง 20 จงพจารณาวาอนกรมตอไปน ลเขา หรอ ลออก (โดยการทดสอบดวยอตราสวน)

(ก) 1

( 1)

2

n

nn

n

(ข) 1

1

!n n

(ค) 1

!n

n

n

n

(ง)

1

(2 )!

4nn

n

(จ) 24

1

n

n

n e

วธทา (ก) พจารณา 1 1

( 1)

2 2

n

n nn n

n n


1 2lim lim

2

nn

nn nn

a n

a n

1

( 1)2 1 1lim lim 1

2 2 2

n

nn n

n n

n n

ดงนน 1

( 1)

2

n

nn

n


( 1)

2

n

nn

n

ลเขา

(ข) เพราะวา 1 1/ ( 1)! ! 1lim lim lim lim 0 1

1/ ! ( 1)! 1n

n n n nn

a n n

a n n n

ดงนน 1

1

!n n

ลเขา

(ค) เพราะวา 1( 1)

( 1)! 1 1lim lim lim lim 1

( 1) ( 1)! ! ( 1) 11

n nn

nn nn n n nn

a n n n

a n n n n e

n

ดงนน 1

!n

n

n

n

ลเขา

(ง) เพราะวา

1( 1)

(2( 1))! 4 (2 2)! 1 1lim lim lim lim(2 2)(2 1)

4 (2 )! (2 )! 4 4

nn

nn n n nn

a n nn n

a n n

ดงนน 1

(2 )!

4nn

n

ลออก

(จ) เพราะวา 2 2

2 2

4 41

4 4( 1) ( 1)

( 1) ( 1)lim lim lim

n nn

n nn n nn

a n e n e

a n ne e

2

2

4

2 1

1lim

n

n nn

n e

n e

4

2 1

1 1lim

nn

n

n e

42 11

lim lim( ) 1 0 0 1n

n n

ne

n

ดงนน 24

1

n

n

n e

ลเขา

0201 108

2015 Khemmanant. K



2.9 การทดสอบโดยราก (The Root Test)

ทฤษฏบท 10 การทดสอบโดยราก ให na เปนอนกรมใด ๆ โดยท 0na สาหรบทกจานวนเตมบวก n และ

lim nnn

a L


1) ถา 1L จะไดวา na ลเขา 2) ถา 1L หรอ L จะไดวา na ลออก 3) ถา 1L การทดสอบไมสามารถสรปผลได ตวอยาง 21 จงพจารณาวาอนกรมตอไปน ลเขา หรอ ลออก

(ก) 2

1 1

n

n

n

n

(ข) 1

4 5

2 1

n

n

n

n

(ค) 1

1

(ln( 1))nn n

วธทา (ก) เพราะวา

2

1

1 1 1lim lim lim lim lim 1

1 1 11

nn n

n nn nnn n n n n

n

n na

n n e

n

เพราะวา 1lim 1 2.718282818

n

ne

n

ดงนน 2

1 1

n

n

n

n

ลเขา

(ข) เพราะวา 4 5lim lim

2 1

n

n nnn n

na

n

4 5

lim 2 12 1n

n

n

ดงนน 1

4 5

2 1

n

n

n

n

ลออก

(ค) เพราะวา 1lim lim

(ln( 1))n nn nn n

an

1lim 0 1

ln( 1)n n

ดงนน 1

1

(ln( 1))nn n

ลเขา

0201 108

2015 Khemmanant. K



2.10 อนกรมสลบ (Alternative series)

บทนยาม 2 อนกรมสลบ คอ อนกรมซงมพจนตาง ๆ เปนบวก (Positive) และลบ (negative) สลบกน สามารถเขยนอยในรปดงน

1

( 1)nn

n

a

หรอ 1

1

( 1)nn

n

a

โดยท 0na สาหรบทกจานวนเตมบวก n

เชน 1

1 2 3 4 5( 1)

1 2 3 4 5 6n

n

n

n

ซง

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5, , , , , , ( 1)

2 3 4 5 6 1n

n

na a a a a a

n

พบวา พจนตาง ๆ ของ na นเปนบวกและลบสลบกน เพราะฉะนน 1

( 1)1

n

n

n

n

เปน

อนกรมสลบ และอนกรมสลบนบางอนกรมลเขา บางอนกรมลออก แตอนกรมสลบทลเขาจะตองมสมบตตามทฤษฎบทตอไปน ซงเรยกวา “การทดสอบอนกรมสลบ” ทฤษฏบท 11 การทดสอบอนกรมสลบ

ให { }na เปนลาดบทมพจนตาง ๆ เปนบวก ซงมสมบต 1) 1n na a สาหรบทกจานวนเตมบวก n และ 2) lim 0nn

a

แลว ( 1)nna ลเขา และ 1n nS S a

เมอ S เปนผลบวกของอนกรม และ nS เปนผลบวกยอยพจนท n ตวอยาง 22 จงพจารณาวาอนกรมตอไปน ลเขา หรอ ลออก

(ก) 1

1

( 1)n

n n

(ข) 1

( 1)n

n n n

(ค) 1

cos( )

n

n

n

วธทา (ก) ให 1na

n และ 1

1

1nan


1 1

1n na an n

สาหรบทก 1n และ 1

lim 0n n

จากการทดสอบอนกรมสลบ จะได 1

1

( 1)n

n n

ลเขา

0201 108

2015 Khemmanant. K



(ข) ให 1na

n n และ 1

1

( 1) 1na

n n


1( 1) 1 1n

n

an n

a n n

เพราะวา 1n n และ 1n n นนคอ 1n na a สาหรบทก 1n

แสดงวา { }na เปนลาดบลด และ 1lim 0n n n


( 1)n

n n n

ลเขา

(ค) เพราะวา cos( ) ( 1)nn

ดงนน 1 1

cos( ) ( 1)n

n n

n

n n

ให 1na

n และ 1

1

1na

n


1 1

1n na a

n n

สาหรบทก 1n และ 1

lim 0n n


cos( )

n

n

n

ลเขา

2.11 การลเขาสมบรณ และการลเขามเงอนไข (Absolute Convergence and Condition Convergence)

บทนยาม 3 อนกรม na เรยกวา ลเขาอยางสมบรณ (Absolutely Convergent) ถา na ลเขา และ อนกรม na เรยกวา ลเขาอยางมเงอนไข (Conditionally Convergent) ถา na ลเขา แต na ลออก

ทฤษฏบท 12 ถาอนกรม na ลเขา แลวอนกรม na ลเขา


sink

n

n

n

ลเขาอยางสมบรณ หรอไม เมอ 1k

วธทา พจารณา 1 1

sinsink k

n n

nn

n n

เนองจาก 1 sin 1n จะได sin 1n

0201 108

2015 Khemmanant. K



จะไดวา sin 1k k

n

n n

แต 1

1k

n n

ลเขา เพราะวาเปนอนกรม 1k

โดยการทดสอยดวยการเปรยบเทยบ จะไดวา 1

sink

n

n

n


ดงนน อนกรม 1

sink

n

n

n

ลเขาอยางสมบรณ

ตวอยาง 24 จงพจารณาวาอนกรมตอไปนลเขาอยางสมบรณ หรอไม

(ก) 1

( 1)n

kn n

เมอ 0 1k

(ข) 1

( 1) !n

nn

n

n

วธทา (ก) พจารณา 1 1

( 1) 1n

k kn nn n

ซง

1

1k

n n


เพราะวาเปนอนกรม k เมอ 1k

ดงนน 1

( 1)n

kn n

ไมลเขาอยางสมบรณ

(ข) พจารณา 1 1

( 1) ! !n

n nn n

n n

n n

โดยการทดสอบดวยอตราสวน ให !n n

na

n และ 1 ( 1)

( 1)!

( 1)n n

na

n

พจารณา 11

( 1)!lim lim

( 1) !

nn

nn nn

a n n

a n n

lim lim( 1) 1

nn

nn n

n n

n n

1

1 1lim 1

1

n

nn e

เพราะวา 1lim 1

n

ne

n

ดงนน 1 1

( 1) ! !n

n nn n

n n

n n

ลเขา

จะไดวา 1

( 1) !n

nn

n

n


0201 108

2015 Khemmanant. K



ตวอยาง 25 จงพจารณาวาอนกรมตอไปนลเขาอยางมเงอนไข หรอไม

(ก) 1

( 1)n

n n

(ข) 2

( 1)

ln

n

n n n

วธทา (ก) พจารณา 1

( 1)n

n n

ให 1na

n และ 1

1

1nan


1n

n

an

a n

1

1

n

n

เพราะวา 1n n

เพราะฉะนน { }na เปนลาดบลด สาหรบทก 1n และ 1lim lim 0nn n

an

โดยการทดสอบอนกรมสลบ จะไดวา 1

( 1)n

n n

ลเขา ……….. (1)

ตอไปพจารณา 1 1

( 1) 1n

n nn n


1

n n

ลออก เนองจากเปนอนกรมฮารมอนก

ดงนน 1

( 1)n

n n

ลออก ……….. (2)

จากสมการ (1) และ (2) จะได

1

( 1)n

n n

เปนอนกรมลเขาอยางมเงอนไข

(ข) พจารณา 2

( 1)

ln

n

n n n

ให 1

lnnan n

และ 1

1

( 1) ln( 1)nan n

เพราะวา 1 ln

( 1) ln 1n

n

a n n

a n n

ln

11 ln( 1)

n n

n n

เนองจาก 1n n และ ln( 1) lnn n

ดงนน { }na เปนลาดบลด และ 1lim lim 0

lnnn na

n n

โดยการทดสอบอนกรมสลบ จะไดวา

2

( 1)

ln

n

n n n

ลเขา ……….. (3)

0201 108

2015 Khemmanant. K



ตอไปพจารณา 2 2

( 1) 1

ln ln

n

n nn n n n

โดยการทดสอบดวยอนทกรล

ให 1( )

lnf x

x x


1( ) lim

ln

l

lf x dx dx

x x

2

1lim (ln )

ln

l

ld x

x

2lim ln(ln )l

lx

lim ln(ln ) ln(ln 2)l

l

ln(ln 2)

เพราะฉะนน 2

1

lndx

x x

ลออก แลวทาให

2 2

( 1) 1

ln ln

n

n nn n n n

ลออกดวย ……….. (4)

จากสมการ (3) และ (4) จะได

อนกรม 2

( 1)

ln

n

n n n

ลเขาอยางมเงอนไข

การทดสอบโดยอตราสวนสาหรบการลเขาอยางสมบรณ (The Ratio test for Absolute Convergence) ทฤษฏบท 13 ให na เปนอนกรมทมแตละพจนไมเปนศนย สาหรบทกจานวนเตมบวก n และ

1lim n

nn

aL

a


1) ถา 1L จะไดวา na ลเขาอยางสมบรณ (และดงนน na ลเขา) 2) ถา 1L จะไดวา na ลออก 3) ถา 1L การทดสอบไมสามารถสรปผลได

0201 108

2015 Khemmanant. K



ตวอยาง 26 จงพจารณาวาอนกรมตอไปน ลเขา หรอ ลออก

(ก) 2 1

1

( 10)

4 ( 1)

n

nn n

(ข)

2

1 (2 1)!n

n

n

(ค) 1

1

9

( 2)

n

nn n

(ง)

21

( 1)

1

n

n n

วธทา (ก) ให 2 1

( 10)

4 ( 1)

n

n na

n

และ

1 1

1 2( 1) 1 2 3

( 10) ( 10)

4 [( 1) 1] 4 ( 2)

n n

n n na

n n

เพราะวา 1 2 1

1 2 3

1 ( 10) 4 ( 1)lim lim

4 ( 2) ( 10)

n n

n n nn nn

na

a n

1

2 2

110( 1) 5 1 5lim lim lim

4 ( 2) 8 2 8 1n

n n nn

n n

n n

51

8

โดยการทดสอบดวยอตราสวน จะไดวา

2 11

( 10)

4 ( 1)

n

nn n


ดงนน 2 1

1

( 10)

4 ( 1)

n

nn n


(ข) ให 2

(2 1)!n

na

n

และ

2

1

( 1)

(2( 1) 1)!n

na

n

เพราะวา 2 2

1 2

1 ( 1) (2 1)!lim lim

(2( 1) 1)!nn nn

n n na

a n n

2

2

( 1) (2 1)!lim

(2 1)!n

n n

n n

2

2

( 1) (2 1)!lim

(2 1)(2 )(2 1)!n

n n

n n n n

2

2

( 1)lim 0 1

(2 1)(2 )( )n

n

n n n

โดยการทดสอบดวยอตราสวน จะไดวา 2

1 (2 1)!n

n

n

ลเขาอยางสมบรณ ดงนน 2

1 (2 1)!n

n

n


0201 108

2015 Khemmanant. K



(ค) ให 1

9

( 2)

n

n na

n

และ ( 1)

1 ( 1) 1

9

( 2) ( 1)

n

n na

n

เพราะวา ( 1) 1

1 ( 1) 1

1 9 ( 2)lim lim

( 2) ( 1) 9

n n

n n nn nn

na

a n

9lim

( 2)( 1)n

n

n

9 9lim 1

2 1 2n

n

n

โดยการทดสอบดวยอตราสวน จะไดวา 1

1

9

( 2)

n

nn n

ลออก

(ง) ให 2

1

1nan

และ 1 2

1

( 1) 1nan

เพราะวา 12 2

1 1

1 ( 1) 1n na an n

เนองจาก 2 2( 1) 1 1n n

เพราะฉะนน { }na เปนลาดบลด และ 2

1lim lim 0

1nn na

n

โดยการทดสอบอนกรมสลบ จะได 2

1

( 1)

1

n

n n

ลเขา

ทฤษฏบท 14 การทดสอบโดยรากสาหรบการลเขาอยางสมบรณ

ให na เปนอนกรม และนยาม

1

lim limn nn n

n nL a a


1) ถา 1L จะไดวา na ลเขาอยางสมบรณ (และดงนน na ลเขา) 2) ถา 1L จะไดวา na ลออก 3) ถา 1L การทดสอบไมสามารถสรปผลได ตวอยาง 27 จงพจารณาวาอนกรมตอไปน ลเขา หรอ ลออก

(ก) 1 2

1 3

n

nn

n

(ข)

3

31

5 3

7 2

n

n

n n

n

0201 108

2015 Khemmanant. K



วธทา (ก) เพราะวา 1

1

1 2 22lim lim 1

3 33n

n n

nn n

n n

จากการทดสอบโดยราก จะไดวา 1 2

1 3

n

nn

n

ลออก

(ข) เพราะวา 2

3

1

53 3

3 3 2

35 3 5 3lim lim lim

7 2 7 2 7

n nn

n n nn

n n n n

n n

3 31

7 7

จากการทดสอบโดยราก จะไดวา 3

31

5 3

7 2

n

n

n n

n

ลเขา

2.12 อนกรมกาลงและฟงกชน (Power series and functions) บทนยาม 4 อนกรมกาลง (power series) คอ อนกรมอนนตทอยในรป

20 0 1 0 2 0

0

( ) ( ) ( )nn

n

a x x a a x x a x x

……….. (5)

เมอ 0 1 2, , ,a a a เปนคาคงตว เรยกวาสมประสทธของอนกรมกาลง คาคงตว 0x

เรยกวา จดศนยกลางของอนกรม (Center of the series) และ x เปนตวแปรอสระ

ในกรณท 0 0x จะเรยกอนกรม (5) วา อนกรมกาลงใน x เชน 0 0

, !!

nn

n n

xn x

n

และ

2 1

0

( 1)(2 1)!

nn

n

x

n

เปนตน แตถา 0 0x จะเรยก (5) วา อนกรมกาลงใน 0x x เชน

0

( 1)

1

n

n

x

n

และ 0

( 3)( 1)

!

nn

n

x

n

เปนตน เนองจาก x มคาตาง ๆ กน เมอแทนลงในอนกรมกาลง (5) จะได

อนกรมทลเขา หรอ ลออกกได เชน พจารณาอนกรมกาลง 2

1

( 5)n

n

x

n

ถา 6x จะได

อนกรม 2

1

1

n n

ซงเปนอนกรมพ 2p ลเขา ถา 3x จะได อนกรม

2 21 1

( 2) ( 1) 2n n n

n nn n

ซงเปนอนกรมสลบทลออก ดงนน อนกรมกาลง จงมจดบางจด หรอ ชวงบางชวงททาใหอนกรมลเขา

0201 108

2015 Khemmanant. K



หมายเหต

1. อนกรม (5) ลเขาบนชวง 0 0( , )x R x R ถา 00

lim ( )n

kk

nk

a x x

หาคาได

สาหรบทก 0 0( , )x x R x R และจะเขยน 00

( ) ( )nn

n

f x a x x

2. เรยกชวง 0 0( , )x R x R วาชวงของการลเขา และเรยก R วา รศมของการลเขา (ถา 0R อนกรมลเขาทจด 0x เพยงจดเดยว และถา R อนกรมลเขาทกคาของ x )

ขนตอนการทดสอบการลเขาของอนกรมกาลง

ขน 1 ใชการทดสอบดวยอตราสวน หรอ การทดสอบโดยรากท n จะทราบวาอนกรมกาลงลเขา ในชวงใด ซงจะไดรปชวงเปด 0x x R หรอ 0 0x R x x R

ขน 2 จะทาการทดสอบปลายชวง โดยนาจดปลายไปแทนในอนกรมกาลง จะไดอนกรมคาคงตว ซง จะตองใชวธการอน ๆ ในการทดสอบ เชน การทดสอบดวยการเปรยบเทยบ การทดสอบดวยอนทกรล หรอ การทดสอบอนกรมสลบ เปนตน

จะกลาววา อนกรม 00

( )nn

n

a x x

ลเขาสมบรณท x ถา 0 00 0

( ) ( )n nn n

a x x a x x

ซงสามารถแสดงไดวา ถาอนกรมใดลเขาอยางสมบรณ แลวอนกรมนนจะลเขา อยางไรกตาม อนกรมไมจาเปนตองลเขาเสมอไป

การทดสอบการลเขาอยางสมบรณของอนกรมกาลง มกใชการทดสอบดวยอตราสวน ซง กลาวไววา ถา 0na และสาหรบคาของ x ทกาหนดให โดยม

11 0 1

0 00

( )lim lim

( )

nn n

nn nn n

a x x ax x L x x

a x x a

แลวอนกรมกาลงลเขาสมบรณท x ถา 0

1x x

L และเปนอนกรมลออก ถา 0

1x x

L

ตวอยาง 28 สาหรบคา x ในอนกรมกาลง 1

0

( 1) ( 3)n n

n

n x

จงพจารณาการลเขาอนกรมน

วธทา เพราะวา 2 1

1

( 1) ( 1)( 3) 1lim 3 lim 3 (1) 3

( 1) ( 3)

n n

n nn n

n x nx x x

n x n

จะเหนวาการลเขาของอนกรม เปนดงน

อนกรมนลเขาสมบรณ เมอ 3 1x หรอ 2 4x

0201 108

2015 Khemmanant. K



อนกรมนลออก เมอ 3 1x หรอ เมอคาของ 2x หรอ 4x

สรปไมไดวาอนกรม เมอ 3 1x หรอเมอคาของ 2x หรอ 4x

ตวอยาง 29 จงพจารณารศมของการลเขาของอนกรมกาลง 1

( 2)

3

n

nn

x

n

วธทา เพราะวา 1

1

2 2( 2) 3 1lim lim 1

( 1)3 ( 2) 3 3

n n

n nn n

x xx n n

n x n

ดงนน อนกรมนลเขาอยางสมบรณ เมอ 2 3x หรอ 5 1x และลออก เมอ 2 3x

นนคอ รศมของการลเขาของอนกรมกาลงนคอ 3R เมอตรวจสอบจดปลายของชวงของการลเขา จะพบวา เมอ 1x ซงทาให

อนกรมกลายเปนอนกรมฮารมอนก 1

1

n n

เปนอนกรมลออก เมอ 5x

พบวา 1 1

( 5 2) ( 1)

3

n n

nn nn n

เปนอนกรมลเขามเงอนไขท 5x

ตวอยาง 30 จงหารศมของการลเขาและชวงของการลเขาของอนกรมกาลงตอไปน

(ก) 1

( 6)n

nn

x

n

(ข) 1

2(4 8)

nn

n

xn

วธทา (ก) โดยการทดสอบดวยราก


( 6) 6 1lim lim 6 lim 0 1

n n

nn n n

x xL x

n n n

สาหรบทกคา x

จะไดวา อนกรมนลเขาอยางสมบรณ สาหรบทกคา x ดงนน รศมของการลเขา คอ R และชวงของการลเขา คอ ( , )

(ข) โดยการทดสอบดวยอตราสวน


12 2 (4 8)lim (4 8) lim

1 2 (4 8) 1

nn

n nn n

n n xL x

n x n

24 8 lim 2 4 8

1n

nx x

n

0201 108

2015 Khemmanant. K



จะไดวา อนกรมนลเขาสมบรณ เมอ 12 4 8 1 2

8x x

อนกรมนลออก เมอ 12 4 8 1 2

8x x

ดงนน รศมของการลเขาของอนกรมน คอ 1

8R

ตอไปจะหาชวงของการลเขาของอนกรมน

จาก 12

8x จะได 1 1 15 17

28 8 8 8

x x

ตอไปตรวจสอบจดปลายของชวงของการลเขา

เมอ 15

8x จะทาให

1 1 1

2 15 2 1 ( 1)8

2 2

n nn n n

n n nn n n

เปนอนกรมสลบ ซงลเขา

เมอ 17

8x จะทาให

1 1 1

2 17 2 1 18

2 2

n nn n

n n nn n n

เปนอนกรมฮารมอนก ซงลออก

จะไดวา อนกรมกาลงลเขาท 15

8x และลออกท 17

8x

ดงนน ชวงของการลเขาของอนกรม คอ 15 17

8 8x

สมบตเชงพชคณตของอนกรมกาลง

ถา 00

( )nn

n

a x x

และ 00

( )nn

n

b x x

ลเขาส ( )f x และ ( )g x ตามลาดบ เมอ

0 , 0x x R R สาหรบ 0x x R หรอ 0 0( , )x x R x R แลวขอความตอไปนเปนจรง

1) 00

( ) ( ) ( )( )nn n

n

f x g x a b x x

2) 0 0 00 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nn n n

n n n

f x g x a x x b x x c x x

เมอ 0 1 1 2 2 0n n n n nc a b a b a b a b

และ 00

( )( )

( )n

nn

f xd x x

g x

ถา ( ) 0g x

เพราะวา ถา 00

( )( )

( )n

nn

f xd x x

g x

เมอ 0 0( , )x x R x R

0201 108

2015 Khemmanant. K



ดงนนจะได 00

( ) ( ) ( )nn

n

f x g x d x x

0 0 00 0 0

( ) ( ) ( )n n nn n n

n n n

a x x d x x b x x

0

0 0

( )n

kk n k

n k

d b x x

ซงจะเหนวาในกรณทอนกรมกาลงทเกดจากการหารของอนกรมลเขาอาจมรศมแหงการลเขานอยกวา R ได

การเขยนฟงกชนในรปของอนกรมกาลง

จากอนกรมเรขาคณตลเขา 0 1

n

n

aar

r

เมอ 1r

ถาให 1a และ r x จะไดวา 0

1

1n

n

xx

เมอ 1x

ถาให 1( )

1f x

x

แลวฟงกชนนจะสามารถเขยนอยในรปอนกรมกาลง

2

0

1( ) 1

1n

n

f x x x xx

เมอ 1x

จะสงเกตไดวา ถา 1x แลวเอกลกษณดงกลาวจะไมเปนจรง เชน ถา 2x จะได (2) 1f

แต 0

2n

n

ดงนน การทจะเขยนฟงกชนใหอยในรปของอนกรมกาลงจะตองพจารณาถงเงอนไขของ

การลเขาของอนกรมดวย ตวอยาง 31 จงเขยนฟงกชนทกาหนดใหตอไปนในรปของอนกรมกาลง

(ก) ( )5

xf x

x

(ข)

3

1( )

1f x

x

วธทา (ก) พจารณา 1( )

5f x x

x

ให 1

( )5

g xx

จะไดวา 5 5

1 1 1( )

5(1 ) 5 1x xg x

0

1

5 5

n

n

x

0

1

5 5

n

nn

x

เมอ 15

x

1

0 5

n

nn

x

ชวงของการลเขาของอนกรม คอ 15

x จะได 1

1 55

x x

ดงนน อนกรมกาลงของฟงกชน ( )g x คณดวย x จะได

1

1 10 0

1( )

5 5 5

n n

n nn n

x xf x x x

x

เมอ 5x

0201 108

2015 Khemmanant. K



(ข) พจารณา 3

1( )

1 ( )f x

x

จะไดวา 3

0

( ) ( )n

n

f x x

เมอ 3 1x

3

0

( 1)n n

n

x

เมอ 31 1x x

ดงนน อนกรมกาลงของฟงกชน 3

0

( ) ( 1)n n

n

f x x

เมอ 1x

2.13 อนกรมเทยเลอรและอนกรมแมคลอรน (Taylor and Maclaurin series)

สาหรบชวงของการลเขา 0 0( , )x R x R และ 00

( ) ( )nn

n

f x a x x

เปนฟงกชน

ตอเนองและมอนพนธของทกอนดบ ซงหา , ,f f ไดโดยอาศยการหาอนพนธอนกรมทละพจน นนคอ

20 0 1 0 2 0

0

( ) ( ) ( ) ( )nn

n

f x a x x a a x x a x x

10 1 2 0 0

0

( ) ( ) 2 ( ) ( )n nn n

n

df x a x x a a x x na x x

dx

10

1

( )nn

n

na x x

22 3 0 0( ) 2 6 ( ) ( 1) ( )n

nf x a a x x n n a x x

20

2

( 1) ( )nn

n

n n a x x

(3) 33 4 0 0 0

0

( ) 6 24 ( ) ( 1)( 2) ( ) ( )n nn n

n

f x a a x x n n n a x x a x x

30

3

( 1)( 2) ( )nn

n

n n n a x x

( )

1 0 00

( ) ( 1)( 2) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( )k n k nk k n

n

f x n n n n k a n n n k a x x a x x

0( 1)( 2) ( 1) ( )n kn

n k

n n n n k a x x

ซงแตละอนกรมลเขาอยางสมบรณสาหรบชวงของการลเขา 0 0( , )x R x R เมอแทน 0x x จะได

(3) ( )0 0 0 1 0 2 0 3 0( ) , ( ) , ( ) 2! , ( ) 3! , , ( ) !n

nf x a f x a f x a f x a f x n a

ดงนน ( )

0( )

!

n

n

f xa

n และเขยนอนกรมกาลงอยในรป

0201 108

2015 Khemmanant. K



2 ( )0 0 0 0

0 0 0

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

2! !

n nf x x x f x x xf x f x f x x x

n

( )

0 0

0

( )( )

!

n n

n

f x x x

n

บทนยาม 5 ถา f เปนฟงกชนทสามารถหาอนพนธไดทกอนดบ n ท 0x แลว จะเรยกอนกรม

( ) 2

0 0 0 00 0 0

0

( )( ) ( )( )( ) ( )( )

! 2!

n n

n

f x x x f x x xf x f x x x

n

( )

0 0( )( )

!

n nf x x x

n

……….. (7)

วา อนกรมเทยเลอร (Taylor Series) สาหรบ f รอบจด 0x x ถา 0 0x จะได ( ) 2 ( )

0

(0) (0) (0)(0) (0)

! 2! !

n n n n

n

f x f x f xf f x

n n

……….. (8)

เรยกอนกรม (8) วา อนกรมแมคลอรน (Maclaurin series) สาหรบ f หมายเหต เมอให (0) ( ) ( )f x f x จะเขยนอนกรมเทยเลอรสน ๆ ไดเปน

( )0 0

0

( )( )

!

n n

n

f x x x

n

และจะเรยก ( )

0 0

0

( )( )

!

k kn

k

f x x x

k

เมอ ( )0( ) 0nf x

วา พหนามเทยเลอรระดบขน (Degree) n ของฟงกชน f รอบจด 0x และเขยนแทนดวยสญลกษณ ( )nT x นนคอ

( )0 0

0

( )( )( )

!

k kn

nk

f x x xT x

k

……….. (9)

จากสมการ (6) และ (9) จะสามารถเขยนผลตางระหวาง ( )f x และ พหนามเทยเลอรระดบขน n ของฟงกชน f รอบจด 0x ไดในรป

( )

0 0

0

( )( )( ) ( )

!

k kn

nk

f x x xR x f x

k

( ) ( )nf x T x ……….. (10) เรยกสมการ (10) วา เศษเหลอ (Remainder) ซงกคอคาคลาดเคลอนระหวางฟงกชน ( )f x และ พหนามเทยเลอรระดบขน n จากสมการ (10) สามารถเขยนฟงกชน ( )f x ในรป ( ) ( ) ( )n nf x T x R x ……….. (11)

0201 108

2015 Khemmanant. K



ทฤษฏบท 15 สมมตวา ( ) ( ) ( )n nf x T x R x ถา lim ( ) 0nnR x

สาหรบ 0x x R

แลวจะได ( )

0 0

0

( )( )( )

!

n n

n

f x x xf x

n

ตวอยาง 32 จงหาอนกรมเทยเลอรของฟงกชน ( ) xf x e รอบจด 0x วธทา จาก ( ) xf x e จะได ( ) ( ) , 0 ,1, 2,n xf x e n

ดงนน ( ) 0(0) 1 , 0,1, 2,nf e n

เพราะฉะนน อนกรมเทยเลอรของ ( ) xf x e รอบจด 0x คอ

2 3

0

1! 2! 3!

nx

n

x x xe x

n

ตวอยาง 33 จงหาอนกรมเทยเลอรของฟงกชน ( ) xf x e รอบจด 0x วธทา หาาอนพนธอนดบ n ของ ( ) xf x e ท 0x จะได (0) ( ) xf x e จะได (0) 0 0(0) 1f e e (1) ( ) xf x e จะได (1) 0 0(0) 1f e e (2) ( ) xf x e จะได (2) 0 0(0) 1f e e (3) ( ) xf x e จะได (3) 0 0(0) 1f e e

( ) ( ) ( 1)n n xf x e จะได ( ) (0) ( 1) , 0,1, 2,n nf n ดงนน อนกรมเทยเลอรของ xe รอบจด 0x คอ

2 3

0 0

( ) ( 1)1

! ! 2! 3!

n n nx

n n

x x x xe x

n n

ตวอยาง 34 จงหาอนกรมเทยเลอรของฟงกชน 24 3( ) xf x x e รอบจด 0x วธทา โดยการประยกตใชอนกรมเทยเลอรของ xe รอบจด 0x จะไดวา

อนกรมเทยเลอรของ 24 3xx e รอบจด 0x คอ

0201 108

2015 Khemmanant. K



22

4 3 4

0

( 3 )

!

nx

n

xx e x

n

24

0

( 3) ( )

!

n n

n

xx

n

2 4

0

( 3)

!

n n

n

x

n

ตวอยาง 35 จงหาอนกรมเทยเลอรของฟงกชน ( ) xf x e รอบจด 4x วธทา พจารณาอนพนธอนดบ n ของ ( ) xf x e ท 4x จะได (0) ( ) xf x e จะได (0) ( 4) 4( 4)f e e (1) ( ) xf x e จะได (1) ( 4) 4( 4)f e e (2) ( ) xf x e จะได (2) ( 4) 4( 4)f e e (3) ( ) xf x e จะได (3) ( 4) 4( 4)f e e

( ) ( ) ( 1)n n xf x e จะได ( ) 4( 4) ( 1) , 0,1, 2,n nf e n

ดงนน อนกรมเทยเลอรของ xe รอบจด 4x คอ

4 4

0 0

( ) ( 1)( ( 4)) ( 4)

! !

n nx n n

n n

x e ee x x

n n

ตวอยาง 36 จงหาอนกรมเทยเลอรของฟงกชน ( ) cos( )f x x รอบจด 0x วธทา หาอนพนธอนดบ n ของ ( ) cos( )f x x ท 0x จะได

(0) ( ) cos( )f x x จะได (0) (0) 1f (1) ( ) sin( )f x x จะได (1) (0) 0f (2) ( ) cos( )f x x จะได (2) (0) 1f (3) ( ) sin( )f x x จะได (3) (0) 0f (4) ( ) cos( )f x x จะได (4) (0) 1f (5) ( ) sin( )f x x จะได (5) (0) 0f

ดงนน อนกรมเทยเลอรของ cos( )x รอบจด 0x คอ

0201 108

2015 Khemmanant. K



( )

0

(0)cos( )

!

nn

n

fx x

n

(4) (5)2 3 4 5(0) (0) (0) (0)

(0) (0)2! 3! 4! 5!

f f f ff f x x x x x

2 4 61 1 11 0 0 0

2! 4! 6!x x x

22 4 6

0

1 1 1 ( 1)1

2! 4! 6! (2 )!

n n

n

xx x x

n

ตวอยาง 37 จงหาอนกรมเทยเลอรของฟงกชน ( ) sin( )f x x รอบจด 0x วธทา หาอนพนธอนดบ n ของ ( ) sin( )f x x ท 0x จะได

(0) ( ) sin( )f x x จะได (0) (0) 0f (1) ( ) cos( )f x x จะได (1) (0) 1f (2) ( ) sin( )f x x จะได (2) (0) 0f (3) ( ) cos( )f x x จะได (3) (0) 1f

ดงนน อนกรมเทยเลอรของ sin( )x รอบจด 0x คอ

( )

0

(0)sin( )

!

nn

n

fx x

n

(4) (5)2 3 4 5(0) (0) (0) (0)

(0) (0)2! 3! 4! 5!

f f f ff f x x x x x

3 5 71 1 1 10 0 0 0

1! 3! 5! 7!x x x x

3 5 71 1 1 1

1! 3! 5! 7!x x x x

2 1

0

( 1)

(2 1)!

n n

n

x

n

ตวอยาง 38 จงหาอนกรมเทยเลอรของฟงกชน ( ) ln( )f x x รอบจด 2x วธทา หาอนพนธอนดบ n ของ ( ) ln( )f x x ท 2x จะได

0201 108

2015 Khemmanant. K



(0) ( ) ln( )f x x จะได (0) (2) ln 2f

(1) 1( )f x

x จะได (1) 1

(2)2

f

(2)2

1( )f x

x จะได (2)

2

1(2)

2f

(3)3

1( )f x

x จะได (3)

3

2(2)

2f

(4)3

3( )f x

x จะได (4)

4

2(3)(2)

2f

(5)5

2(3)(4)( )f x

x จะได (5)

5

2(3)(4)(2)

2f

1

( ) ( 1) ( 1)!( )

nn

n

nf x

x

จะได

1( ) ( 1) ( 1)!

(2) , 1, 2,3,2

nn

n

nf n

ดงนน อนกรมเทยเลอรของ ln( )x รอบจด 2x คอ

( )

0

(2)ln( ) ( 2)

!

nn

n

fx x

n

( )

1

(2)(2) ( 2)

!

nn

n

ff x

n

1

1

( 1) ( 1)!ln(2) ( 2)

!2

nn

nn

nx

n

1

1

( 1)ln(2) ( 2)

2

nn

nn

xn

ตวอยาง 39 จงหาอนกรมเทยเลอรของฟงกชน 2

1( )f x

x รอบจด 1x

วธทา หาอนพนธอนดบ n ของ 2

1( )f x

x ท 1x จะได

(0)2

1( )f x

x จะได (0)

2

1( 1) 1

( 1)f

(1)3

2( )f x

x จะได (1)

3

2( 1) 2

( 1)f

(2)4

2(3)( )f x

x จะได (2)

4

2(3)( 1) 2(3)

( 1)f

(3)5

2(3)(4)( )f x

x จะได (3)

5

2(3)(4)( 1) 2(3)(4)

( 1)f

0201 108

2015 Khemmanant. K



( )2

( 1) ( 1)!( )

nn

n

nf x

x

จะได ( )

2

( 1) ( 1)!( 1) ( 1)! , 0,1, 2,

( 1)

nn

n

nf n n

ดงนน อนกรมเทยเลอรของ 2

1

x รอบจด 1x คอ

( )

20

1 ( 1)( 1)

!

nn

n

fx

x n

0

( 1)!( 1)

!n

n

nx

n

0

( 1)( 1)n

n

n x

ตวอยาง 40 จงหาอนกรมเทยเลอรของฟงกชน 3 2( ) 10 6f x x x รอบจด 3x วธทา หาอนพนธอนดบ n ของ 3 2( ) 10 6f x x x ท 3x จะได

(0) 3 2( ) 10 6f x x x จะได (0) (3) 57f (1) 2( ) 3 20f x x x จะได (1) (3) 33f (2) ( ) 6 20f x x จะได (2) (3) 2f (3) ( ) 6f x จะได (3) (3) 6f ( ) ( ) 0nf x จะได ( ) (3) 0 , 4nf n

ดงนน อนกรมเทยเลอรของ 3 210 6x x รอบจด 3x คอ

( )

3 2

0

(3)10 6 ( 3)

!

nn

n

fx x x

n

2 3(3) (3)(3) (3)( 3) ( 3) ( 3) 0

2! 3!

f ff f x x x

2 357 33( 3) ( 3) ( 3)x x x

0201 108

2015 Khemmanant. K



อนกรมแมคลอรน 2

0

11

1n n

n

x x x xx

; 1 1x

2

0

11 ( ) ( 1)

1n n n

n

x x x xx

; 1 1x

2

0

12! ! !

n nx

n

x x xe x

n n

; ( , )

3 5 2 1 2 1

0

sin( ) ( 1) ( 1)3! 5! (2 1)! (2 1)!

n nn n

n

x x x xx x

n n

; ( , )

2 4 2 2

0

cos( ) 1 ( 1) ( 1)2! 4! (2 )! (2 )!

n nn n

n

x x x xx

n n

; ( , )

2 31 1

1

ln(1 ) ( 1) ( 1)2 3

n nn n

n

x x x xx x

n n

; 1 1x

3 5 2 1 2 1

0

arctan( ) ( 1) ( 1)3 5 2 1 2 1

n nn n

n

x x x xx x

n n

; 1 1x

การประมาณคาเศษเหลอพจนท n

ทฤษฏบท 16 การประมาณคาเศษเหลอ สมมตวาฟงกชน f สามารถหาอนพนธอนดบ 1n ได บนชวง I ซง 0x I และ ถา ( 1) ( )nf x M สาหรบทก x I แลวจะไดวา

1

0( )( 1)!

n

n

MR x x x

n

สาหรบทก x I

ตวอยาง 41 จงประมาณคาของ sin 3 โดยใชอนกรมแมคลอรนของ sin( )x ทมทศนยมความ

ถกตอง 5 ตาแหนง ( 55 0.5 10D ) วธทา พจารณาอนกรมแมคลอรน

2 1 3 5 7

0

( 1)sin( )

(2 1)! 3! 5! 7!

n n

n

x x x xx x

n

เนองจาก 3 5 7( / 60) ( / 60) ( / 60)

sin 3 sin60 60 3! 5! 7!

เนองจาก คาตอบทตองการมทศนยมถกตอง 5 ตาแหนง จะไดวา

50.5 1060nR

0201 108

2015 Khemmanant. K



ให ( ) sin( )f x x จะได ( 1) ( ) cos( )nf x x หรอ ( 1) ( ) sin( )nf x x ทาใหไดวา ( 1) ( ) 1nf x สาหรบทก x

โดยทฤษฏบท 16 การประมาณคาเศษเหลอ จะม 01 , 0M x และ 60

x

จะได 1

600

60 ( 1)!

n

nRn

ดงนน คาตอบทตองการมทศนยมความถกตอง 5 ตาแหนง โดยการเลอก n ซง

1

5600.5 10

( 1)!

n

n

ถาเลอก 3n (โดยการเลอก n ทมคานอย ๆ) จะไดวา 3( / 60)

sin 3 0.0523460 3!

โดยใชเครองคานวนคาของ sin 3 จะได sin3 0.05233595624 ซงมคาทศนยม ความถกตองเทากบ 5D คอ 0.05234 เชนเดยวกน เมอปดเศษ

คาคลาดเคลอนการปดเศษ และคาคลาดเคลอนการตดปลาย

บทนยาม 6 คาคลาดเคลอนการตดปลาย คอ คาคลาดเคลอนของผลลพธ เมออนกรมประมาณคา ดวยผลบวกยอย คาคลาดเคลอนการปดเศษ คอ คาคลาดเคลอนทเกดจากการ ประมาณคาในการคานวนคาเชงตวเลข

ตวอยาง 42 จงประมาณคาของ e โดยใชอนกรมแมคลอรนของ xe ทมทศนยมความถกตอง 5

ตาแหนง ( 55 0.5 10D )

วธทา พจารณาอนกรมแมคลอรนของ xe ; 2 3

12! 3! !

nx x x x

e xn

เมอแทน 1x จะได 1 1 11 1

2! 3! !n

ดงนน ประมาณคา e โดยใชผลบวกยอย จะได 1 1 11 1

2! 3! !e

k

เนองจาก คาตอบทตองการมทศนยมถกตอง 5 ตาแหนง จะไดวา

5(1) 0.5 10nR

0201 108

2015 Khemmanant. K



หา n โดยการประยกตทฤษฏบท 17 การประมาณคาเศษเหลอ ให 0( ) , 1, 0xf x e x x และ ชวง [0,1]I

จะได (1)( 1)!n

MR

n

โดยท M เปนขอบเขตบนบนคาของ ( 1) ( )n xf x e สาหรบ [0,1]x แต xe เปนฟงกชนเพม ดงนน คาสงสดของ xe บนชวง [0,1] คอ 1x นนคอ xe e บนชวง [0,1] ดงนน ให M e จะได

(1)( 1)!n

eR

n

เนองจาก 3e ทาใหได 3(1)

( 1)!nRn

ดงนน คาตอบทตองการมทศนยมความถกตอง 5 ตาแหนง

โดยการเลอก n ซง 530.5 10

( 1)!n

ถาเลอก 9n จะไดวา 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 2.718282! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9!

e

โดยใชเครองคานวนคาของ e จะได 2.71828182846e ซงมคาทศนยมความถกตองเทากบ 5D คอ 2.71828 เชนเดยวกน เมอปดเศษ

การประมาณคาฟงกชนลอการทม พจารณาอนกรมแมคลอรน

2 3 4

ln(1 )2 3 4

x x xx x ; 1 1x ……….. (12)

สมการ (12) เปนจดเรมตนสาหรบการประมาณคาของฟงกชนลอการทมฐานธรรมชาต แตอนกรมน จะไมคอยสะดวกในการประมาณคา เพราะวาการลเขาของอนกรมนชาบนชวง 1 1x อยางไรกตาม ถาแทน x x ในสมการ (12) จะได

2 3 4

ln(1 )2 3 4

x x xx x ; 1 1x ……….. (13)

นาสมการ (12) – (13) จะได 3 5 71

ln 21 3 5 7

x x x xx

x

; 1 1x ……….. (14)

0201 108

2015 Khemmanant. K



จากสมการ (14) ไดคนพบครงแรกโดย Gregory ในป ค.ศ. 1668 ซงไดใชในการคานวณคาของฟงกชนลอการทมธรรมชาตของจานวนบวก y ใด ๆ โดยให

1

1

xy

x

หรอ 1

1

yx

y

; 1 1x ……….. (15)

เชน คานวนคา ln 2 จากสมการ (15) ให 2y จะได 1

3x

แทนคา 1

3x ในสมการ (14) จะได

3 5 71 1 1

3 3 3( ) ( ) ( )1ln 2 2

3 3 5 7

……….. (16)

ดงนน ถาคาตอบทตองการมทศนยมความถกตอง 5 ตาแหนง โดยการใชผลบวกยอยพจนท 13n จะได

3 5 7 131 1 1 13 3 3 3( ) ( ) ( ) ( )1

ln 2 2 0.693153 3 5 7 13

โดยใชเครองคานวนคาของ ln 2 จะได ln 2 0.69314718056 ซงมคาทศนยมความถกตองเทากบ 5D คอ 0.69315 เชนเดยวกน เมอปดเศษ

2.14 การหาอนพนธ และการอนทเกรตอนกรมกาลง (Differentiating and integrating power series)

พจารณาอนพนธของอนกรมแมคลอรนของ sin( )x ดงตอไปน

เพราะวา 3 5 7

sin( )3! 5! 7!

x x xx x

จะไดวา 3 5 7 2 4 6

1 3 5 73! 5! 7! 3! 5! 7!

d x x x x x xx

dx

2 4 6

1 cos( )2! 4! 6!

x x xx

สงเกตไดวา อนพนธของอนกรมแมคลอรนของ sin( )x กคอ อนกรมแมคลอรนของ cos( )x นนเอง ดงนน อนพนธของอนกรมกาลงใน 0x x ของฟงกชน f ใด ๆ สามารถกลาวไดดงทฤษฎบทตอไปน

0201 108

2015 Khemmanant. K



ทฤษฏบท 17 การหาอนพนธของอนกรมกาลง สมมตวาฟงกชน f เขยนแทนดวยอนกรมกาลงใน 0x x ซงมรศมของการลเขา

0R นนคอ 00

( ) ( )nn

n

f x a x x

0 0; x R x x R แลวจะได

(ก) ฟงกชน f หาอนพนธไดบนชวง 0 0( , )x R x R (ข) ถาอนกรมกาลงของ f หาอนพนธไดทละพจน แลว

00

( ) ( )nn

n

df x a x x

dx

0 0; x R x x R

ทฤษฏบท 18 ถาฟงกชน f สามารถเขยนแทนดวยอนกรมกาลงใน 0x x ซงมรศมของการลเขา

0R แลว f จะมอนพนธของทกอนดบบนชวง 0 0( , )x R x R การอนทเกรตอนกรมกาลง

พจารณาผลลพธของการหาอนทเกรตของอนกรมแมคลอรนของ cos( )x จะไดวา

2 4 6

cos 12! 4! 6!

x x xx dx dx

3 5 7

3(2!) 5(4!) 7(6!)

x x xx C

3 5 7

sin( )3! 5! 7!

x x xx C x C

ซงสาหรบการอนทกรลจากดเขต กสามารถหาคาไดโดยใชแนวความคดเดยวกน ดงน

พจารณา 1

1

2 00

arctan arctan(1) arctan(0) 01 4 4

dxx

x

เพราะวา อนกรมแมคลอรนของ 2 4 62

11

1x x x

x


2 4 62

0 0

1[1 ]

1dx x x x dx

x

13 5 7

0

1 1 11

3 5 7 3 5 7

x x xx

นนคอ 1 1 11

4 3 5 7

ซงขนตอนการคานวณ แสดงไดดงทฤษฎบทตอไปน

0201 108

2015 Khemmanant. K



ทฤษฏบท 19 การอนทเกรตอนกรมกาลง สมมตวาฟงกชน f เขยนแทนดวยอนกรมกาลงใน 0x x ซงมรศมของการลเขา

0R นนคอ 00

( ) ( )nn

n

f x a x x

0 0; x R x x R แลวจะได

(ก) ถาอนกรมกาลงของฟงกชน f หาอนทเกรตทละพจน แลว

00

( ) ( )nn

n

f x dx a x x dx C

0 0; x R x x R

(ข) ถา 0 0, ( , )x R x R และถาอนกรมกาลงของฟงกชน f หาอนทเกรตทละพจนไดจาก ถง แลว

00

( ) ( )nn

n

f x dx a x x dx

ทฤษฏบท 20 ถาฟงกชน f เขยนแทนดวยอนกรมกาลงใน 0x x บนบางชวงเปด I ซง 0x I

แลวจะไดอนกรมกาลง คอ อนกรมเทยเลอรของ f รอบจด 0x x

ขอสงเกต ถา 00

( ) ( )nn

n

f x a x x

มรศมของการลเขา 0R จะไดวา

10

0

( ) ( )nn

n

f x na x x

และ 1

0

0

( )( )

1

n

nn

x xf x dx C a

n

จะมรศมของการลเขา R ดวย

ตวอยาง 43 จงหาอนพนธของอนกรมกาลงของฟงกชน 2

1( )

(1 )f x

x

วธทา เพราะวา 2

1 1

(1 ) 1

d

x dx x

และอนกรมกาลงของ 1

1 x คอ

0

n

n

x

เมอ 1x

ดงนน 2

1 1

1 1

d

x dx x 0

n

n

dx

dx

1

0

n

n

n x

นนคอ อนพนธของอนกรมกาลงของ 2

1

1 x คอ 1

0

n

n

n x

เมอ 1x

0201 108

2015 Khemmanant. K



ตวอยาง 44 จงหาอนทเกรตของอนกรมกาลงของฟงกชน ( ) ln(5 )f x x

วธทา เพราะวา 1ln(5 )

5dx x C

x

และอนกรมกาลงของ 1

5 x คอ

10 5

n

nn

x

เมอ 5x

ดงนน 1ln(5 )

5x dx C

x

1

0 5

n

nn

xdx C

1

10 ( 1)5

n

nn

xC

n

หาคา C โดยการแทนคา x

ถาเลอกแทนคา 0x (เนองจากทาใหอนกรมหาคาไดงาย) จะได

1

0

0ln(5 0) ln(5)

( 1)5

n

nn

C Cn

ดงนน อนทเกรตของอนกรมกาลงของ ln(5 )x คอ 1

10

ln(5)( 1)5

n

nn

x

n

เมอ 5x

ตวอยาง 45 จงหาอนกรมเทยเลอรรอบจด 0x ของ sin xdx

x

วธทา พจารณาอนกรมเทยเลอรรอบจด 0x ของ sin x

x


0

sin 1 ( 1)

(2 1)!

n n

n

x x

x x n

2

0

( 1)

(2 1)!

n n

n

x

n

ดงนน 2

0

sin ( 1)

(2 1)!

n n

n

x xdx dx

x n

2

0

( 1)

(2 1)!

n n

n

xdx

n

2 1

0

( 1)

(2 1)(2 1)!

n n

n

xC

n n

0201 108

2015 Khemmanant. K



ตวอยาง 46 จงหาสามพจนแรกทไมเปนศนยในอนกรมแมคลอรนของ ( ) cosxf x e x

วธทา พจารณาอนกรมแมคลอรนทละฟงกชน จะได

2

0 0

( 1)cos

! (2 )!

n n nx

n n

x xe x

n n

2 3 4 2 4

1 12 6 24 2 24

x x x x xx

2 4 3 5 2 4 6

12 24 2 24 2 24 48

x x x x x x xx

3 5 7 4 6 8

6 12 144 24 48 576

x x x x x x

2 3 41 1 1 1 1 1 11

2 2 2 6 24 4 24x x x x

3 4

13 6

x xx

อนกรมทวนาม (Binomial Series)

ทฤษฏบท 21 ทฤษฏบททวนาม สาหรบจานวนเตมบวก n ใด ๆ จะไดวา

0

( )n

n n k k

k

na b a b

k

1 2 2 1( 1)

2!n n n n nn n

a na b a b nab b

โดยท ( 1)( 2) ( 1); 1, 2,3,

!

n n n n n kk

k k

และ 10

n

ตวอยาง 47 จงกระจาย 4(2 3)x โดยใชทฤษฏบททวนาม วธทา โดยใชทฤษฏบททวนาม จะไดวา

4

4 4

0

4(2 3) (2 ) ( 3)k k

k

x xk

4 3 1 2 2 1 3 44 4 4 4 4(2 ) (2 ) ( 3) (2 ) ( 3) (2 ) ( 3) ( 3)

0 1 2 3 4x x x x

4 3 2 2 3 44(3)(2 ) 4(2 ) ( 3) (2 ) ( 3) 4(2 )( 3) ( 3)

2x x x x

4 3 216 96 216 216 81x x x x

0201 108

2015 Khemmanant. K



อนกรมทวนาม สาหรบจานวน n ใด ๆ และ 1x แลวจะไดวา

0

(1 )n k

k

nx x

k

2 3( 1) ( 1)( 2)1

2! 3!

n n n n nn x x x

โดยท ( 1)( 2) ( 1); 1, 2,3,

!

n n n n n kk

k k

และ 10

n

ตวอยาง 48 จงเขยนสพจนแรกของอนกรมทวนามของ 9 x โดยใชทฤษฏบททวนาม

วธทา พจารณา 1

2

9 9 ( ) 9 1 3 19 9

x xx x

โดยใชทฤษฏบททวนาม จะไดวา

1

122

0

3 1 39 9

n

k

x x

k

2 331 1 1 1

2 2 2 2 2( ) ( )( )13 1

2 9 2 9 6 9

x x x

2 3

36 216 3888

x x x

0201 108


Vector Calculus 68

บทท 3 แคลคลสเชงเวกเตอร (Vector Calculus)

3.1 ฟงกชนคาเวกเตอรของตวแปรเดยว (Vector Fuctions of singular variable)

บทนยาม 3.1 กาหนดให ( ), ( ), ( )x x t y y t z z t สาหรบจานวนจรง t I เปนชวง I ใด ๆ จะเรยกเซตของจด ( ( ), ( ), ( ))x t y t z t วา เสนโคงในปรภม 3 มต (space curve) และกาหนด ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ), ( )r t x t i y t j z t k x t y t z t

สาหรบ t I จะเรยก ( )r t

วา ฟงกชนคาเวกเตอร (Vector function) และเรยก ( ), ( ), ( )x t y t z t วา สวนประกอบ (Component) ของ ( )r t

บทนยาม 3.2 โดเมน D ของ ( )r t คอ เซตของจานวนจรงทอยใน I เขยนแทนดวย ( ( ))D r t

นนคอ ( ( )) ( ) ( ) , ( ) , ( )D r t t r t x t y t z t R

( ) , ( ) , ( )t x t R y t R z t R ( ) ( ) ( )t x t R t y t R t z t R

สวนเรนจ R คอเซตของเวกเตอรทสมนยกนกบคา t

บทนยาม 3.3 กาหนด 0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ), ( )r t x t i y t j z t k x t y t z t สาหรบ 0t I

และเรยก 0( )r t วาเวกเตอรตาแหนง (Position vector)

ตวอยาง 3.1 กาหนดสมการองตวแปรเสรม 2 , 1x t y t และ 2z t สาหรบ t R ดงนน 2( ) ( 1) 2r t t i t j t k

สาหรบ t R ถา 1t จะได (1) 2r i k

ตวอยาง 3.2 จงหาโดเมนของ 1( ) , ln( ), 2

1r t t t

t

วธทา เพราะวา 1{ 1} ( ,1) (1, )

1D t

t

(ln( )) { 0} (0, )D t t ( 2 ) { 2} ( , 2]D t t ดงนน ( ( )) (( ,1) (1, )) (0, ) ( , 2]D r t

(( ,1) (1, )) (0,2] (0,1) (1,2]

0201 108


Vector Calculus 69

บทนยาม 3.4 กาหนดให 1 2( ), ( )r t r t เปนฟงกชนคาเวกเตอรจากชวง I ไปยง 3R

h เปนฟงกชนคาจรงซงมโดเมนเปน I กตอเมอ คาของฟงกชน

1 2 1 1 2( ) ( ), ( ), ( ) ( )r t r t hr t r t r t และ 1 2( ) ( )r t r t ทจด t ใด ๆ กาหนดไดดงน 1) 1 2 1 2( )( ) ( ) ( )r r t r t r t

2) 1 1( ) ( ) ( )hr t h t r t ( )( ) [ ( )]hA t h t A

เมอ A

เปนเวกเตอรคงตวใน 3R

3) 1 2 1 2( )( ) ( ) ( )r r t r t r t 4) 1 2 1 2( )( ) ( ) ( )r r t r t r t

ตวอยาง 3.3 ให 21( ) 2tr t e i t j t k

และ 22 ( ) 2 ( 1)r t i t j t k

จงหาคา 1 2( ) ( )r t r t

วธทา 2 21 2( ) ( ) ( 2 ) (2 ( 1) )tr t r t e i t j t k i t j t k

2 2( )(2) (2 )( ) ( )( 1)te t t t t

3 3 22 2 ( )te t t t

3 22 te t t

ตวอยาง 3.4 ให ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k โดยท 2( ) 2 , ( )x t t y t t และ 0z

จงหาคา ( )r t และ ( )r t

เมอ 1t

วธทา จากโจทย 2( ) 2 , ( )x t t y t t และ 0z จะได

2( ) 2r t t i t j

2 2 2( ) (2 ) ( )r t t t 2 44t t

ถา 1t จะไดวา (1) 5r

3.2 ลมตและความตอเนอง (Limit and continuity)

บทนยาม 3.5 กาหนดให ( ) ( ) , ( ) , ( )r t x t y t z t เปนฟงกชนคาเวกเตอรบนชวง I ลมตของ ( )r t

เมอ t เขาใกล 0t เขยนแทนดวย 0

lim ( )t t

r t r

จะมคากตอเมอ 0 0 0

lim ( ), lim ( ), lim ( )t t t t t t

x t y t z t

มคา และจะไดวา

0 0 0 0

lim ( ) lim ( ), lim ( ), lim ( )t t t t t t t t

r t x t y t z t

0201 108


Vector Calculus 70

ตวอยาง 3.5 จงหาคา 1

lim ( )t

r t

เมอ 3 2sin(3 3)( )

1tt

r t t i j e kt

วธทา 3 2

1 1 11

sin(3 3)lim ( ) lim , lim , lim

1t

t t tt

tr t t e

t

3 2

1 11

3cos(3 3)lim , lim , lim

1t

t tt

tt e

21 , 3 , e

ตวอยาง 3.6 จงหาคา 0

lim ( )t

r t

เมอ sin( )( ) cos( )t t

r t e i t j kt

วธทา 0 0 0 0

sin( )lim ( ) lim , lim cos( ) , limt

t t t t

tr t e t

t

1 , 1 , 1

ทฤษฎบท 3.1 ถา

0 0

lim ( ) , lim ( )t t t t

r t r s t s

และ 0

lim ( )t t

f t L

แลวจะไดวา

1) 0

lim ( ) ( )t t

f t r t Lr

2) 0

lim ( ) ( )t t

r t s t r s

3) 0

lim ( ) ( )t t

r t s t r s

4) 0

lim ( ) ( )t t

r t s t r s

บทนยาม 3.6 ฟงกชนคาเวกเตอร ( )r t ตอเนองท 0t t กตอเมอ

1) 0( )r t หาคาได

2) 0

lim ( )t t

r t

หาคาได

3) 0

0lim ( ) ( )t t

r t r t

ทฤษฎบท 3.2 ฟงกชนคาเวกเตอร ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k ตอเนองท 0t t กตอเมอ

( ) , ( )x t y t และ ( )z t ตอเนองท 0t t ตวอยาง 3.7 จงพจารณาวา ( ) ( )r t a i b ct j

มความตอเนองท 0t หรอไม วธทา

0 0 0lim ( ) lim lim( )t t t

r t a i b ct j

0 0lim lim( )t t

i a j b ct

a i b j

(0)r a i b j

เพราะฉะนน 0

lim ( ) (0)t

r t r

0201 108


Vector Calculus 71

ตวอยาง 3.8 จงพจารณาวา 5( ) ln( 1) cos( )tr t e i t j t k มความตอเนองทใดบาง

วธทา จากทฤษฎบท 3.2 ( )r t

จะเปนฟงกชนตอเนอง ทกคา t กตอเมอ ฟงกชนสวนประกอบ ( ) , ( )x t y t และ ( )z t ตอเนองทกคา t

จาก 5( ) ln( 1) cos( )tr t e i t j t k จะไดวา 5te ตอเนอง ทกคา t ,

ln( 1)t ตอเนองสาหรบ 1t และ cos( )t ตอเนองทกคา t ดงนน ( )r t

ตอเนองสาหรบ 1t 3.3 อนพนธของฟงกชนคาเวกเตอร

บทนยาม 3.7 กาหนดให ( )r t เปนฟงกชนคาเวกเตอรซงมความตอเนองบนชวง I และ 0t I

จะเรยก 0

0 0( ) ( )limt t

r t t r t

t

เมอลมตมคาวา อนพนธของ r

ท 0t เขยน

แทนดวยสญลกษณ 0

( )t t

dr t

dt

หรอ 0( )r t

นนคอ 0 00

0

( ) ( )( ) lim

t

r t t r tr t

t

เมอลมตมคา

และจะกลาววา ( )r t เปนฟงกชนซงมอนพนธท 0t

ถากาหนด 0 1t t t เมอ 1 0t t

ดงนนจะได 1 0

1 00

1 0

( ) ( )( ) lim

t t

r t r tr t

t t

เมอลมตมคา

จากบทนยาม 3.7 สามารถเขยนอนพนธของ r

ท 0t ดงรป 3.1

รป 3.1

0 0( ) ( )r t t r t

0( )r t t

0( )r t

0P P

0201 108


Vector Calculus 72

0 00 0 0

( ) ( )( )( ) lim lim

t t

r t t r tr tr t

t t

พจารณาอตราสวน 0 0( ) ( )r t t r t

t

จะเหนวา คอ ผลคณเชงสเกลารของ 1

t กบ

เวกเตอร 0 0( ) ( ) ( )r t t r t r t ซงเปนเวกเตอรซงอยในทศทางเดยวกบ 0P P

จากรป 3.1 จะเหนวา 0( )r t เปนเวกเตอรทสมผสกบเสนโคงทจด 0P ถา ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k

โดยท ( ) , ( )x x t y y t และ ( )z z t แลว

0

( ) ( )( ) lim

t

r t t r tr t

t

0

( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))limt

x t t x t i y t t y t j z t t z t k

t t t

dx dy dzi j k

dt dt dt

นนคอ ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )r t x t y t z t x t i y t j z t k

เมอสวนประกอบของ r มอนพนธอนดบ 1 โดยตอเนอง และ ( ) 0r t

สาหรบทกคา ( , )t a b จะเรยกวา ( )r t

เปนฟงกชนเรยบ และเสนโคง C ทเกดจากฟงกชน ( )r t เรยกวา เสนโคง

เรยบ (smooth curve) ความหมายของ ( )r t ในเชงเรขาคณต คอ ถา ( ) 0r t

ทจด P แสดงวา สามารถหา เสนสมผสเสนโคงทจด P ได ทฤษฎบท 3.3 กาหนดให ( ) ( ) , ( ) , ( ) ,r t x t y t z t t I เปนฟงกชนคาเวกเตอร

โดยท ( ) , ( ) , ( )x t y t z t เปนฟงกชนคาจรงทมอนพนธท t จะไดวา r มอนพนธท t และ ( ) ( ) , ( ) , ( )r t x t y t z t

บทนยาม 3.8 กาหนดให ( )r t เปนฟงกชนคาเวกเตอร จะกลาววา ( )r t

เปนเสนโคงเรยบ (Smooth curve) กตอเมอ ( ) 0r t

มความตอเนอง ตวอยาง 3.9 จงหา ( )r t เมอ 6( ) sin(2 ) ln( 1)r t t i t j t k

วธทา จาก 6( ) sin(2 ) ln( 1)r t t i t j t k จะได

5 1( ) 6 2cos(2 )

1r t t i t j k

t

0201 108


Vector Calculus 73

ตวอยาง 3.10 กาหนดให 2 , tx t y e และ sinz t จงหาฟงกชนคาเวกเตอรและอนพนธท 0t

วธทา ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k

2 sin( )tt i e j t k

( ) 2 cos( )tr t t i e j t k

(0)r j k

หมายเหต เวกเตอร j k

ในตวอยาง 3.10 ขนานกบเสนสมผสเสนโคงท 0t

บทนยาม 3.9 อนพนธอนดบ n เมอ n เปนจานวนเตมบวกของฟงกชนคาเวกเตอร r

เขยนแทนดวย ( ) ( )nr t กาหนดโดย

( ) ( 1)( ) ( )n ndr t r t

dt

และ ( ) ( ) , ( ) , ( ) ,r t x t y t z t t I จะได ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , ( ) , ( ) ,n n n nr t x t y t z t t I

ตวอยาง 3.11 ถา 3 2 2( ) ( 3 ) 5 tr t t t i t j e k

แลว 2 2( ) (3 6 ) 5 2 tr t t t i j e k

และ 2( ) (6 6) 4 tr t t i e k

ทฤษฎบท 3.4 ให 1,r r

และ 2r เปนฟงกชนคาเวกเตอรซงมอนพนธทจด t ใด ๆ

h เปนฟงกชนคาจรงทมอนพนธทจด t จะได

1) 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )r r t r t r t

2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )hr t h t r t h t r t ( ) ( ) ( )hA t h t A

เมอ A

เปนเวกเตอรคงตว

3) 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r t r t r t r t r t

4) 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r t r t r t r t r t

ขอสงเกต สาหรบทฤษฎบท 3.4 การหาอนพนธของผลคณภายนอกตองระวงเรองอนดบ เพราะวา ถาเกดกรณสลบขนมาคาทไดจะไมถกตอง แตสาหรบการคณภายในไมจาเปน เพราะวาผลคณภายในมสมบตสลบท แตผลคณภายนอกไมม

0201 108


Vector Calculus 74

ตวอยาง 3.12 ให 21( ) 2r t t i t j

และ 22 ( )r t t i j t k

จงหาคาของ 1 2( ) ( )r r t

วธทา 2 31 2( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) (2 2 ) ( )r r t t i t j j t k t i j t i j t k

2 36 4 2t i t t k

โดยใชวธหา 1 2r r กอน แลวจงหาอนพนธของสวนประกอบ

2 3 4 21 2

2

2 0 2

1

i j k

r r t t t i t j t k

t t

เพราะฉะนน 2 31 2( ) ( ) 6 4 2r r t t i t t k

ทฤษฎบท 3.5 ให ( )r t เปนฟงกชนคาเวกเตอรซงมอนพนธทจด t ใด ๆ และ

s เปนฟงกชนคาจรงซงมอนพนธทจด t จะไดวา อนพนธของ ( )r s เทยบกบ t

นยามโดย ( ( )) ( ) ( )dr s t dr t ds t

dt ds dt

ตวอยาง 3.13 ถา 2( ) cos(2 ) sin(2 ) sr t s i s j e k โดยท 3s t

แลว 2 2( )[ 2sin(2 ) 2cos(2 ) 2 ][3 ]sdr t

s i s j e k tdt

32 3 2 3 2 26 sin(2 ) 6 cos(2 ) 6 tt t i t t j t e k

บทนยาม 3.10 อนทกรลไมจากดเขต (Indefinite Integral) ของ ( )r t คอ เซตของทกปฎยานพนธ

(Antiderivative) ของ ( )r t เขยนแทนดวย ( )r t dt

และ ให ( )R t

เปนปฎยานพนธของ ( )r t

จะไดวา ( ) ( )r t dt R t C

โดยท 1 2 3C c i c j c k

เปนเวกเตอรคงท

บทนยาม 3.11 กาหนดให ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k เปนฟงกชนคาเวกเตอรบนชวง [ , ]a b

จะกลาววา r อนทเกรตได กตอเมอ สวนประกอบ ( ) , ( ) , ( )x t y t z t ของ r

เปน ฟงกชนทอนทเกรตได (Integable) บนชวง [ , ]a b และอนทกรลจากดเขต (Definite Integral) ของ r

จาก t a ถง t b กาหนดโดย

( ) ( ) ( ) ( )b b b b

a a a a

r t dt x t dt i y t dt j z t dt k

( ) , ( ) , ( )b b b

a a a

x t dt y t dt z t dt

( ) , ( ) , ( )t b

t ax t dt y t dt z t dt

0201 108


Vector Calculus 75

ตวอยาง 3.14 กาหนดให ( ) sin( ) 6 4r t t i j t k จงหา ( )r t dt

และ 1

0

( )r t dt

วธทา ( ) sin( ) 6 4r t dt t dt i dt j t dt k 2cos 6 2t i t j t k C

1 1

2

00

( ) cos , 6 , 2r t dt t t t

cos(1) , 6 , 2 1 , 0 , 0

1 cos(1) , 6 , 2 3.4 เวกเตอรสมผสหนงหนวย เวกเตอรปกตหนงหนวย และความโคง

(Unit tangent vector, unit normal vector and curvature) ถา ( )r t

เปนเสนโคงซงม t เปนตวแปรเสรม (Parameter) และให 0P เปนจดบน r ทจด 0t


0

( ) ( )( ) lim

t

r t t r tr t

t

เปนเวกเตอรสมผส (Tangent vector) ของเสนโคง r

และเรยก ( )( )

( )

r tT t

r t

2 2 2

( ) ( ) ( )

[ ( )] [ ( )] [ ( )]

x t i y t j z t k

x t y t z t

โดยท ( ) 0r t

วา เวกเตอรสมผสหนงหนวย (Unit tangent vector)

เพราะวา ( )r t เปนเสนโคงเรยบในชวง I ดงนน ( )r t ตอเนองในชวง I และ ( )r t ตอเนองในชวง

I ดวย ดงนน ( )I

r t dt มคา ซง

2 2 2( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )]I I

r t dt x t y t z t dt

แตอนทกรลทางขวามอ คอ คาความยาวสวนโคง เมอสมการเสนโคงอยในรปตวแปรเสรม t

ดงนน 2 2 2[ ( )] [ ( )] [ ( )]ds

x t y t z tdt

( )r t

เพราะฉะนน จงสามารถเขยน T

อยในรปอนพนธของ ( )r t เทยบกบความยาวของเสนโคง s

นนคอ ( )( )

( )( )

dr tr t dtT tdsr tdt

( )

dr t

ds

ถาเปลยนตวแปร ( )r t ใหอยในรปของ ( )r s

โดยใชความสมพนธระหวาง t กบ s แลว

( )T r s

( )d

r tds

ทฤษฎบท 3.5 ถา ( )r t

เปนฟงกชนคาเวกเตอรซงมอนพนธ และมความยาวคงท ทก ๆ คา t

แลว ( )( ) 0

dr tr t

dt

0201 108


Vector Calculus 76

ตวอยาง 3.15 จงหาเวกเตอรสมผสหนงหนวยของเสนโคง 2 1, 4 3x t y t และ 22 6z t t ท 2t

วธทา 2 2( ) ( 1) (4 3) (2 6 )r t t i t j t t k จะได

( ) 2 4 (4 6)r t t i j t k เมอ 2t จะไดวา (2) 4 4 2r i j k

ดงนน 2 2 2

4 4 2(2)

4 4 2

i j kT

2 2 1

3 3 3i j k

ตวอยาง 3.16 จงหาความยาวสวนโคง ( ) cos( ) sin( )t tr t e t i e t j

โดยท 0 2t

วธทา เพราะวา ( )ds

r tdt

( sin( ) cos( )) ( cos( ) sin( ))t t t te t e t i e t e t j

2 2( sin( ) cos( )) ( cos( ) sin( ))t t t te t e t e t e t 2 te 2 tds e dt

2

0

2 ts e dt

2

0

2 te dt

22( 1)e

ตวอยาง 3.17 กาหนดให ( ) cos( ) sin( )t t tr t e t i e t j e k

จงหาเวกเตอร ( )T t

วธ 1 โดยใชสตร ( )

( )

r tT

r t

( sin( ) cos( )) ( cos( ) sin( ))

( sin( ) cos( )) ( cos( ) sin( ))

t t t t t

t t t t t

e t e t i e t e t j e kT

e t e t i e t e t j e k

( sin( ) cos( )) (cos( ) sin( ))

3

t t i t t j k

วธ 2 โดยการเปลยน ( )r t ในรปของฟงกชนของความยาวสวนโคง s

( )ds

r tdt

3 te

ดงนน 3 t

I

s e dt 3 te จะได ln3

st

แทนคา ln3

st จะได

( ) cos(ln ) sin(ln )3 3 3 3 3

s s s s sr s i j k

0201 108


Vector Calculus 77

เพราะวา ( )d

T r tds

1 1 1( sin(ln ) cos(ln )) (cos(ln ) sin(ln ))

3 3 3 3 3 3 3

s s s si j k

ถาแทนคา ln3

st จะได

( sin( ) cos( )) (cos( ) sin( ))( )

3

t t i t t j kT t

จากหวขอ 3.3 ไดกลาวถงนยามอนพนธของฟงกชนคาเวกเตอร ( )R t

ในทานองเดยวกน

กสามารถกลาวถงอนพนธของฟงกชนคาเวกเตอรอนดบสง ๆ ขนไปโดยใชสญลกษณ (2) (3) ( )( ) , ( ) , , ( )nr t r t r t แทน อนพนธอนดบ 2,3, ,n ตามลาดบ ให ( )r t

มอนพนธอนดบ 2 ในชวง I ให T

เปนเวกเตอรสมผสหนงหนวย

เพราะวา 1T T

พจารณาอนพนธของ T T

เทยบกบ s จะไดวา

[ ] (1)d d

T Tds ds

0d d

T T T Tds ds

2 0d

T Tds

0d

T Tds

จะไดวา T

และ dT

ds

เปนเวกเตอรซงตงไดฉากซงกนและกน

ให N

เปนเวกเตอรหนงหนวยซงขนานกบเวกเตอร dT

ds

แลวจะเรยก N

วาเปนเวกเตอร

ตงฉากหลกหนงหนวย หรอ เวกเตอรปกตหนงหนวย (Principle Unit Normal)

ดงนน d

TdsNd

Tds

หรอ d dT T N

ds ds

รป 3.2

0

X

Y

( )r t

Z

T

N

0201 108


Vector Calculus 78

พจารณารป 3.2 แสดงภาพของเวกเตอร T

และเวกเตอร Nโดยท N

คอ เวกเตอรซงทามม 90

องศาในทศทางทวนเขมนาฬกากบเวกเตอร T

ตวอยาง 3.18 จงหาเวกเตอรปกตหนงหนวย ( )N t

เมอกาหนดสวนโคง ( ) cos( ) sin( )r t t i t j

วธทา หา T

ในพจนของความยาวเสนโคง s

เพราะวา ( )ds

r tdt

sin( ) cos( )t i t j

1

I

s dt t

ให s t แทนใน ( )r t จะได

( ) cos( ) sin( )r s s i s j

( ) sin( ) cos( )T r s s i s j

( )

( )

dT t

dsNd

T tds

cos( ) sin( )s i s j

และเพราะวา s t จะได ( ) cos( ) sin( )N t t i t j

ซงทศทางของ N

จะทามม 90 องศาในทศทางทวนเขมนาฬกากบเวกเตอรสมผส T

พจารณารป 3.3

รป 3.3

ถา 0t แลว T j

และ N i

ถา 2

t

แลว T i

และ N j

0 X

Y

TT

N

N

0201 108


Vector Calculus 79

ตวอยาง 3.19 กาหนดให ( ) 3cos( ) 3sin( ) 4r t t i t j t k

จงหา T

และ N

ท 0 ,2

t t

วธทา ( ) 3sin( ) 3cos( ) 4r t t i t j k

( ) 3sin( ) 3cos( ) 4 5r t t i t j k

ดงนน 5ds

dt

5s dt ได 5s t ดงนนจะไดวา

5 5

4( ) 3cos( ) 3sin( )

5s s s

r s i j k

( )T r s

5 5

3 3 4sin( ) cos( )

5 5 5s si j k

และ 5 5

3 3sin( ) cos( )

25 25325

s sdT i j

dsNd

Tds

5 5cos( ) sin( )s si j

หรอ cos( ) sin( )N t i t j

ถา 0t แลวจะไดวา

3 4

5 5T j k

และ N i

ถา 2

t

แลวจะไดวา

3 4

5 5T i k

และ N j

จากทกลาวมาแลวพบวา T

หาไดจาก ( )r t

หรอ ( )r s กไดเชนเดยวกนกบ N

พจารณา d

TdsNd

Tds

โดยใชกฏลกโซ จะได

dT dsds dtNdT dsds dt

( )

( )

T t

T t

ซงอยในรปฟงกชนของ t

0201 108


Vector Calculus 80

จากตวอยาง 3.19 ( ) 3cos( ) 3sin( ) 4r t t i t j t k จะได

( ) 3sin( ) 3cos( ) 4r t t i t j k

( ) 3sin( ) 3cos( ) 4

( ) 5

r t t i t j kT

r t

3 3 4sin( ) cos( )

5 5 5t i t j k

3 3cos( ) sin( )( ) 5 5

3( )5

t i t jT tN

T t

cos sint i t j

ความโคง (Curvature) จากททราบแลววา ถาฟงกชนคาเวกเตอร ( )r t

มอนพนธอนดบ 2 ใน I แลวจะมเวกเตอรสมผสหนงหนวย T

และเวกเตอรปกตหนงหนวย N

สาหรบสวนโคงซงอธบายไดดวย ( )r t

ในสวนนจะกลาวถงวธวดความเรวในการเปลยนของเสนโคงซงไดจากการพจารณาอตราซงเสนสมผสเปลยนไปเมอจดสมผสเคลอนทไปบนเสนโคง C ดงรป 3.4

รป 3.4 บทนยาม 3.12 ให T

และ T T

เปนเวกเตอรสมผสหนงหนวยทจด P และ Q ของเสนโคง C

ให เปนมมระหวาง T

และ T T

ให s เปนความยาวของเสนโคง C จากจด P ถง Q ดงนนคาความโคงของ C ทจด P แทนดวย (Kappa) คอ

0

lims s

แตการหาคาความโคงโดยนยามมปญหายงยาก ดงนนทฤษฎบทตอไปนจะชวยในการหาคาความ

โคงของ C

0

X

Y

( )C R t

Z

T

T T

0201 108


Vector Calculus 81

ทฤษฎบท 3.7 คาความโคง dT

ds

จากทฤษฎบท 3.7 ถาสรางความสมพนธระหวาง T

และ N

จะไดวา dTN

ds

ทฤษฎบท 3.8 คาความโคง ( )

( )

T t

r t


ตวอยาง 3.20 กาหนดให ( ) cos( ) sin( )r t a t i a t j bt k จงหาคาความโคง

วธทา จากคาความโคง ( )

( )

T t

r t

หา 2 2

( ) sin( ) cos( )( )

( )

r t a t i a t j b kT t

r t a b

2 2

cos( ) sin( )( )

a t i a t jT t

a b

2 2

( )a

T ta b

และ 2 2( )r t a b

ดงนน 2 2

a

a b

ทฤษฎบท 3.9 คาความโคง 3

( ) ( )

( )

r t r t

r t


ตวอยาง 3.21 กาหนดให ( ) cos( ) sin( )r t a t i a t j bt k

จงหาคาความโคง

วธทา ( ) sin( ) cos( )r t a t i a t j b k

( ) cos( ) sin( )r t a t i a t j

( ) ( ) sin( ) cos( )

cos( ) sin( ) 0

i j k

r t r t a t a t b

a t a t

2sin( ) cos( )ab t i ab t j a k

2 2( ) ( )r t r t a a b และ 2 2( )r t a b

ดงนนจาก 3

( ) ( )

( )

r t r t

r t

2 2

a

a b

0201 108


Vector Calculus 82

บทนยาม 3.13 รศมความโคง (Radius of curvature) ทจดใด ๆ บนเสนโคง คอ 1

เมอ 0

นนคอ 1

บทนยาม 3.14 เวกเตอร B T N

เรยกวา เวกเตอรไบนอรมลหนงหนวย (Unit binormal vector)

ขอสงเกต (1) ,B T

และ N

ตงไดฉากซงกนและกน (2) พจารณาอนพนธของ B

เทยบกบความยาวสวนโคง s

( )dB d

T Nds ds

dT dNN T

ds ds

dNN N T

ds

dNT

ds

ดงนน dB

ds

ตงไดฉากกบ T

และเพราะวา B

เปนเวกเตอรหนงหนวย

dB

ds

ไมใชเวกเตอรศนย แลวจะไดวา dB

ds

ตงไดฉากกบ B

ดงนน dB

ds

ขนานกบ N

เขยน dB

ds

เปนรปผลคณเชงสเกลารของ N

คอ dB

Nds

เมอ 0 และเรยก

วา ความบด (Torsion) ของเสนโคงทจดกาหนดให

3.5 เวกเตอรความเรว และเวกเตอรความเรง (Velocity vector and acceleration vector) ในการศกษาการเคลอนทของวตถแทนสมการเคลอนทดวย ( )r r t โดยท t เปนตวแปรเสรม

ถา ( )v t เปนเวกเตอรความเรวเมอเวลา t ใด ๆ จะไดวา

( )dr

v tdt

dr ds

ds dt

dr dr

ds dt

drT

dt

( )T v t

จะเหนวา ( )v t ขนานกบเวกเตอร T

และหา T

ไดจากการตงหาร v

ดวยขนาดของ v

ซงจะนยามความเรงดวยอนพนธอนดบ 2 ของ ( )r t ดงนน ถาให ( )a t

แทนความเรง จะไดวา

2

2( )

d ra t

dt

dv

dt

ถาเวกเตอรตาแหนง คอ ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k จะไดวา

( ) ( ) ( ) ( )v t x t i y t j z t k

( ) ( ) ( ) ( )a t x t i y t j z t k

0201 108


Vector Calculus 83

ตวอยาง 3.22 จงหาเวกเตอรความเรว เวกเตอรความเรง เมอกาหนดสมการการเคลอนท คอ 2,x t y t และ 3z t ท 1t

วธทา 2 3( )r t t i t j t k

( ) ( )v t r t 22 3i tj t k

( ) ( )a t r t 2 6j tk

ท 1t จะไดวา (1) 2 3v i j k

(1) 2 6a j k

พจารณารป 3.6 ซงเปนรปของตวอยาง 3.22 จะไดเวกเตอร ( ) , ( )a t T t

และ ( )N t

อยในระนาบเดยวในกรณทว ๆ ไปกเปนจรงดวย ดงนนแสดงวา ( )a t

สามารถเขยนไดในรปผลบวกเชงเสนของ T

และ N

ให ( ) T Na t a T a N

เรยก ,T Na a วาสวนประกอบสมผส (Tangential component) และสวนประกอบปกต (normal component) ของ ( )a t

ตามลาดบ ซงมวธการหาสวนประกอบทงสอง ดงน จาก ( ) T Na t a T a N

( ) T Na t v a T v a N v

2( ) ( ) cos(0) ( ) ( ) cosT Na T t v t a N t v t ( ) 0Ta v t

( ) ( )

( )T

a t v ta

v t

0

X

Y

C Zv

N

T

1,1,1

รป 3.6

0201 108


Vector Calculus 84

ในทานองเดยวกน พจารณา ( ) ( )a t v t จะไดวา

( ) ( )

( )N

a t v ta

v t

ตวอยาง 3.23 จงหาคาของเวกเตอรความเรว เวกเตอรความเรงท 1t และหาคา ,T Na a

เมอ 2 2( ) 3 3 3r t t i t j t k

วธทา 2 2( ) 3 3 3r t t i t j t k

( ) ( )v t r t 6 6 3t i t j k

( ) ( )a t r t 6 6i j

(1) 6 6 3v i j k

(1) 6 6a i j

(1) 9 , (1) 6 2v a

ดงนนจะไดวา

(1) (1)

(1)T

a va

v

(6 6 ) (6 6 3 )

9

i j i j k

1(6)(6) (6)(6) (0)(3)

9

136(2) 8

9

(1) (1)

(1)N

a va

v

16 6 0

96 6 3

i j k

118 18 2 2

9i j

ดงนน ( ) 8 2 2a t T N

0201 108


Vector Calculus 85

บทสรป

1. กาหนดให ฟงกชนของควแปร t ( ) , ( )x x t y y t และ ( )z z t แลว ฟงกชนคาเวกเตอร ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k

2. กาหนดให 1 2( ) , ( )r t r t

เปนฟงกชนคาเวกเตอรจากชวง I ไปยง 3R h เปนฟงกชนคาจรงซงมโดเมนเปน I กตอเมอ คาของฟงกชน

1 2 1 1 2( ) ( ) , ( ) , ( ) ( )r t r t hr t r t r t และ 1 2( ) ( )r t r t ทจด t ใด ๆ กาหนดไดดงน 1) 1 2 1 2( )( ) ( ) ( )r r t r t r t

2) 1 1( ) ( ) ( )hr t h t r t ( )( ) [ ( )]hA t h t A

เมอ A

เปนเวกเตอรคงทใน 3R

3) 1 2 1 2( )( ) ( ) ( )r r t r t r t 4) 1 2 1 2( )( ) ( ) ( )r r t r t r t

3. กาหนด ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k แลว

0 0 0 0

lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( )t t t t t t t t

r t x t i y t j z t k

และ ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k

4. ( )r t คอ เวกเตอรซงสมผสกบเสนโคง ( )r t ทจด t ใด ๆ

5. ให 1,r r และ 2r

เปนฟงกชนคาเวกเตอรซงมอนพนธทจด t ใด ๆ h เปนฟงกชนคาจรงทมอนพนธทจด t จะได

1) 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )r r t r t r t

2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )hr t h t r t h t r t ( ) ( ) ( )hA t h t A

เมอ A

เปนเวกเตอรคงตว

3) 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r t r t r t r t r t

4) 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r t r t r t r t r t 6. การหาคา 1 2( ) ( )r r t และ 1 2( ) ( )r r t หาได 2 วธ คอ

- หา 1 2 1 2( ) ( ) , ( ) ( )r t r t r t r t กอน แลวจงหาอนพนธภายหลง - หาโดยใชสตรในขอ 6

7. กาหนดเวกเตอร ( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k จะไดวา

1) เวกเตอรสมผสหนงหนวย ( )

( )

r tT

r t

หรอ ( )dr t

Tds

2) ความยาวสวนโคง ( )I

s r t dt

0201 108


Vector Calculus 86

3) เวกเตอรปกตหนงหนวย ( )

dT

dsN td

Tds

( )

( )

T t

T t

4) ความโคง ( )d

T tds

( )

( )

T t

r t

3

( ) ( )

( )

r t r t

r t

5) รศมความโคง 1

6) เวกเตอรไบนอรมลหนงหนวย B T N

7) เวกเตอร ,B T

และ N

ตงไดฉากกน

8) dB dNT

ds ds

9) เวกเตอรความเรว ( ) ( )v t r t เวกเตอรความเรง ( ) ( )a t r t

10) สวนประกอบสมผส ( ) ( )

( )T

a t v ta

v t

( ) ( )

( )

r t r t

r t

สวนประกอบปกต ( ) ( )

( )N

a t v ta

v t

( ) ( )

( )

r t r t

r t

สารบัญ คานา บทที่1 ล าดับและอนุกรม 1.1...

Documents

Transcript of สารบัญ คานา บทที่1 ล าดับและอนุกรม 1.1...