Post on 16-Apr-2017
SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA
VARIABEL
Perhatikan bentuk-bentuk persamaan berikut :
934 x
2076 p
932 r
Persamaan linear satu variabel dengan variabel x
Persamaan linear satu variabel dengan variabel p
Persamaan linear satu variabel dengan variabel r
Persamaan linear satu variabel (PLSV) adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan hanya memiliki satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah
Persamaan linear dua variabel (PLDV) adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan memiliki dua variabel dengan masing-masing berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah
ax + b = c, dengan a, b, c R dan a 0
ax + by = c, dengan a, b, c R dan a 0, b 0
Perhatikan contoh berikut ini :
427 nm
664 yx
Persamaan linear dua variabel dengan variabel x dan y
Persamaan linear dua variabel dengan variabel m dan n
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Apabila terdapat dua persamaan linear dua variabel yang berbentuk:Maka, dua persamaan tersebut membentuk sistem persamaan linear dua variabel. Penyelesaian SPLDV tersebut adalah pasangan bilangan (π₯,π¦) yang memenuhi kedua persamaan tersebut.
Metode Penyelesaian SPLDV
Metode Grafik Metode Substitusi Metode Eliminasi Metode Gabungan (Eliminasi-Substitusi) Metode Determinan
Metode Grafik
metode penyelesaian SPLDV yang dilakukan dengan cara menggambar grafik dari kedua persamaan tersebut yang kemudian menentukan titik potongnya.
Metode Grafik
Perhatikan dua sistem persamaan dua variabelSolusi dari sistem ini adalah himpunan pasangan terurut yang merupakan solusi dari kedua persamaan.Grafik garis menunjukkan himpunan penyelesaian dari masing-masing persamaan dalam sistem. Oleh karena itu, perpotongan kedua garis adalah gambar dari penyelesaian sistem.
Metode Grafik
Grafik mungkin sejajar atau mungkin berimpit.
Hubungan yang mungkin diantara sebuah sistem, kemiringan dari masing masing grafik, dan penyelesaian persamaan ditunjukkan pada tabel berikut.
Sistem Kemiringan Grafik PenyelesaianKonsisten dan bebas Berbeda Garis berpotongan di satu titik
SatuInkonsistent dan bebas atau berlawanan
Sama Garis sejajar Tidak adaKonsisten dan bergantungan Sama Garis berimpit Tak terhingga
{π π+ππ=πππ+π π=π
Metode Substitusi
metode penyelesaian SPLDV dengan cara menggantikan satu variabel dengan variabel dari persamaan yang lainLangkah-langkah :1. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana kemudian nyatakan π₯ sebagai fungsi π¦ atau π¦ sebai fungsi π₯2. Substitusikan π₯ atau π¦ pada langkah 1 ke persamaan yang lainnya
Metode Substitusi
Contoh Tentukan penyelesaian dari sistem persamaanJawab
Jadi, penyelesaiannya adalah
Metode Eliminasi
metode penyelesaian SPLDV dengan cara menghilangkan salah satu variabel Langkah-langkah :1. Perhatikan koefisien π₯ (atau π¦)a. Jika koefisiennya sama lakukan operasi pengurangan/penjumlahanb. Jika koefisiennya berbeda, samakan koefisiennya dengan cara mengalikan persaman-persamaannya dengan konstanta yang sesuai, lalu lakukan seperti langkah a.2. Lakukan kembali langkah 1 untuk mengeliminasi variabel lainnya
Metode EliminasiContoh Tentukan penyelesaian dari sistem persamaanJawab Mengeliminasi variabel π¦ Mengeliminasi variabel π₯ Jadi, penyelesaiannya adalah
Metode Eliminasi-Substitusi
metode penyelesaian SPLDV dengan cara menggabungkan metode eliminasi dan metode substitusi .Metode eliminasi digunakan untuk mendapatkan variabel pertama, dan hasilnya disubstitusikan ke persamaan untuk mendapatkan variabel kedua
Metode Eliminasi-SubstitusiContoh Tentukan penyelesaian dari sistem persamaanJawab Mengeliminasi variabel π¦ substitusi π₯ = 3 ke persamaan (1)
Jadi, penyelesaiannya adalah
Metode Determinan
Determinan adalah bilangan real yang direpresentasikan oleh susunan bilangan yang berbentuk persegi.Nilai dari determinan orde dua
|π ππ π|=ππβππ
Metode Determinan
Aturan CramerUntuk semua bilangan real π, π, π, π, π dan π penyelesaian dari sistem
adalah dengan Jika , sistem tidak memiliki penyelesaian atau mempunyai penyelesaian banyak tak terhingga
Metode Determinan (Aturan Cramer)Contoh Tentukan penyelesaian dari sistem persamaanJawab
Jadi, penyelesaiannya adalah
Persamaan linear tiga variabel (PLTV) adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan memiliki tiga variabel dengan masing-masing berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear tiga variabel adalahax + by + cz = d, dengan a, b, c R dan a 0
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Apabila terdapat tiga persamaan linear tiga variabel yang berbentuk:Maka, tiga persamaan tersebut membentuk sistem persamaan linear tiga variabel. Penyelesaian SPLTV tersebut adalah pasangan bilangan (π₯,π¦, π§) yang memenuhi ketiga persamaan tersebut.
Metode Penyelesaian SPLYV
Metode Substitusi Metode Eliminasi Metode Determinan
Metode Substitusi
Langkah-langkah :1. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana kemudian nyatakan π₯ sebagai fungsi π¦ dan π§ atau π¦ sebagai fungsi π₯ dan π§, atau π§ sebagai fungsi π₯ dan π¦2. Substitusikan π₯ atau π¦ atau π§ yang diperoleh pada langkah 1 ke dua persamaan lainnya sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua variabel.3. Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel yang diperoleh pada langkah 2.4. Substitusikan dua nilai variabel yang diperoleh pada langkah 3 ini ke salah satu persamaan semula untuk memperoleh nilai variabel yang ketiga.
Metode SubstitusiContoh Tentukan penyelesaian dari sistem persamaanJawab
... (4)Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (1)
... (5)Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (2)
... (6)
Persamaan (5) dan persamaan (6) merupakan sistem persamaan linear dua variabel.Sistem persamaan linear dua variabel tersebut akan diselesaikan dengan metode substitusi. ... (7)Substitusikan persamaan (7) ke persamaan (6)
Substitusikan ke persamaan (7)Substitusikan dan ke persamaan (4)
Jadi, penyelesaiannya adalah
Metode Eliminasi
Langkah-langkah :1. Eliminasi salah satu variabel, π₯ atau π¦ atau π§ sehingga diperoleh sistem persamaan dua variabel.2. Selesaikan sistem persamaan dua variabel pada langkah 1 sehingga diperoleh nilai 2 variabel, π₯ dan π¦ atau π₯ dan π§ atau π¦ dan π§.3. Substitusikan nilai-nilai variabel yang diperoleh pada langkah 2 ini ke salah satu persamaan semula untuk memperoleh nilai variabel yang ketiga.
Metode Eliminasi
Contoh Tentukan penyelesaian dari sistem persamaanJawab Eliminasi π¦ dari persamaan (1) dan (2) kemudian persamaan (2) dan (3)
Persamaan (4) dan (5) merupakan sistem persamaan linear dua variabel. Eliminasi π₯ dari persamaan (4) dan (5) Eliminasi π§ dari persamaan (4) dan (5)
Substitusi dan ke persamaan (2)
Jadi, penyelesaiannya adalah
Metode Determinan
Nilai dari determinan orde tiga|π π ππ π ππ h π|π π
π ππ h
ΒΏπππ+πππ+ hππ β ( hππ +πππ+πππ )
Metode Determinan
Aturan CramerUntuk semua bilangan real π, π, π, π, π, π, π, , π, π, π dan π penyelesaian dari sistem
adalah dengan
Metode Determinan
Contoh Tentukan penyelesaian dari sistem persamaanJawab
Metode Determinan
Jadi, penyelesaiannya adalah
LATIHANSelesaikan setiap persamaan linear berikut :