Post on 24-Dec-2015
description
2
Apakah Interpolasi ??
Masih ingat dengan metode pengurung untuk mencari akar??
False Position/Regula Falsi (hal 123) Interpolasi Linier
3
Yang kita pelajari sekarang:
1. Interpolasi Linier (orde 1)2. Interpolasi Kuadratik (Orde 2)3. Interpolasi Kubik (Orde 3) hingga
Interpolasi Orde ke-n (Interpolasi Newton)
4. Interpolasi Lagrange
Interpolasi PolinomialInterpolasi Polinomial
nn xaxaxaaxf 2
210
4
Jadi, jika ada n titik data (x1, y1), (x2, y2), … (xn, yn)
Jumlah titik data = n+1,
Dengan n=orde polinom
Dua titik data : Garis (Pol. Orde-1)
Tiga titik data : Kuadratik (Pol. Orde-2)
Empat titik data : Kubik (Polinomial orde-3)
n+1 titik data : Polinomial orde-n
bagaimana mencari solusi persamaan tersebut, sangat tergantung pada berapa nilai n (berapa jumlah titik data = n+1 yang diketahui)
Interpolasi LinearInterpolasi Linear
001
0101 xx
xx
xfxfxfxf
5
Diketahui: Dua titik(x1, y1), (x2, y2)
Ditanya :Garis yang melewati 2 titik tersebut
Contoh: 12.1: Taksirlah berapa Ln 2 dengan interpolasi linier pada rentang ln 1=0 dan ln 6=1,7917595
f(x) = ln x
x0 = 1 dan x1 = 6: f1(2) = 0.3583519
Ulangi lagi untuk rentang ln 1=0 dan ln 4= 1.3862944
x0 = 1 dan x1 = 4 f1(2) = 0.4620981
ln 2 = 0.6931472
Kesimpulan :Semakin kecil intervalnya semakin baik hasil interpolasi!
Diturunkan dari pendekatan segi tiga sebangun (hal. 323)
IInterpolasinterpolasi Kuadratis Kuadratis
02
01
01
12
12
201
01100 xx
xx
xfxf
xx
xfxf
bxx
xfxfbxfb
1020102 xxxxbxxbbxf
6
Diketahui: Tiga titik(x1, y1), (x2, y2), (x3,y3)
Ditanya: kuadratis f2(x) = a0 + a1x + a2x2 yang melewati ke-3 titik diatas
Contoh 12.2 : , Taksirlah nilai Ln 2 pada 3 titik data: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759)
b0 = 0
b1 = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4620981
b2 = [(1.791759 – 1.386294)/(6-4) – 0.4620981]/(6-1)
= -0.0518731
f2(2) = 0.5658444
ln 2 = 0.6931472
IInterpolasi Polynomialnterpolasi Polynomial Newton Newton
011
011
00
xxxxfb
xxfb
xfb
nnn ,,,
,
110102010 nnn xxxxxxbxxxxbxxbbxf ...
ji
jiji xx
xfxfxxf
,
ki
kjjikji xx
xxfxxfxxxf
,,
,,
7
Diketahui: n titik (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) (yi = f(xi), i=1,2,…,n)
Ditanya: fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn yang melewati n titik tersebut.
dengan
0
02111011
,...,,,...,,,,...,,
xx
xxxfxxxfxxxxf
n
nnnnnn
Rekursif!
Contoh Contoh IInterpolasi Polynomial Newtonnterpolasi Polynomial Newton
2103102102010 xxxxxxbxxxxbxxxxbxxbbxf n
182.065
791759.1609438.1,203.0
46
386294.1791759.1,462.0
14
0386294.1, 231201
xxfxxfxxf
020045
203018200520
16
46202030123012 .
..,,.
..,,
xxxfxxxf
8
Diketahui: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759), (5, 1.609438) (dari fungsi ln x)
Ditanya: Perkirakan ln 2 dengan interpolasi Newton orde ke-3
f3(2) = 0.629
008015
)0520(02000123 .
..,,,
xxxxf
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
Contoh Contoh IInterpolasi Polynomial Newtonnterpolasi Polynomial Newton
9
x0x1
x3
x2
Perkiraan Error Perkiraan Error Polynomial Newton Polynomial Newton
1
1
1
1
n
ii
n
n xxn
fR
!
n
n
n xxxxxxxxn
fR
210
1
1 !
nnnnn xxxxxxxxxxxxfR 210011 ,,,,
10
110102010 nnn xxxxxxbxxxxbxxbbxf ...
Jika f(x) dinyatakan oleh deret Taylor , error setelah terms ke-n adalah:
Untuk suatui polinomial Newton orde ke-n, Hubungan untuk error scr analogi:
Tapi kita tidak tahu apakah itu f(x)! Sebagai suatu perkiraan untuk error, bisa kita gunakan
(Ingat: fn+1(x) = fn(x) + Rn)
Perkiraan Perkiraan Error, Orde, dan Titik data Error, Orde, dan Titik data
11
x f(x) = ln x1 04 1.3866 1.7927 1.6098 1.0991.5 0.4052.5 0.9163.5 1.253
Perkiraan Error polynomial Newton fk(x) pada ln 2: k = 1,2,…,7
x f(x) = ln x3.5 1.2532.5 0.9161.5 0.4053 1.0995 1.6096 1.7924 1.3861 0
PolinomialPolinomial IInterpolasinterpolasi Lagrange Lagrange
n
ij
j ji
ii xx
xxxL
0
101
00
10
11:linear xf
xx
xxxf
xx
xxxf
2
1202
101
2101
200
010
212 2
:order-2nd xfxxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxxf
12
dengan
i
n
iin xfxLxf
0
Contoh:
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
Interpretasi Grafis Interpretasi Grafis Polynomials Lagrange Polynomials Lagrange
13
2211002 xfLxfLxfLxf
L0f(x0)
L1f(x1)
L2f(x2)
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
IInterpolasi Inversenterpolasi Inverse
14
x
x
y
Interpolated point of (xc, f(xc))
Interpolated curve
true curve
fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn interpolasi yc = fn(xc)
Bagimana inverse-nya:
fn(y) = a0 + a1y + a2y2 + … + anyn interpolasi xc = fn(yc)
Keduanya tidak ekuivalen dalam hal keakuratan interpolasi!
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
ExtrapolaExtrapolasisi
15
Hasil interpolasi yang paling akurat bisanya diperoleh ketika yang tidak diketahui berada dekat di tengah-tengah titik basis!
Untuk ekstrapolasi, yang tidak diketahui berada di luar jangkauan titik basis; jadi perlu perhatian lebih!
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
Masalah-2 dalam Interpolasi PolinomialMasalah-2 dalam Interpolasi Polinomial
16
• Derajat interpolasi polinomial sama dengan jumlah-n titik data. Jadi jikan=1000
titik data, maka kita akan mempunyai polinomial orde-1000
• Polinomial berorde tinggi (saat n > 5) dapat menampakkan ciri erratik dan sangat rentan dengan instabilitas numerik.
• Polinomial berorde tinggi seringkali menginterpolasi titik diluar jangkauan titik data yang tepat karena adanya overshoot.
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
IInterpolasi Splinenterpolasi Spline
17
Ide: Gunakan polinomial orde rendah (k ≤ 3) untuk menginterpolasi sekumpulan data titik dan hubungkan polinomial interolsai ini dengan halus
Papan Drafting: menggunakan tali yang tipis dan fleksibel (disebut spline)untuk menggambarkan kurva yang halus melalui sekumpulan titik.Tiap bagian interpolasi akhir melengkung antar 2 titik yang berdekatan Titik data adalah polinomial derajat 3 Contoh
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
IInterpolasi Spline nterpolasi Spline KuadratisKuadratis
18
Diketahui: n+1 Titik data (xi, yi) untuk i=0,1,…,n
Ditanya: polynomials derajat-2 n fi(x) = aix2 + bix + ci sedemikian sehingga
1. fi(x) menginterpolasi dua titik (xi-1, yi-1) dan (xi, yi), dan
2. fi(x) dan fi-1(x) punya turunan yang sama pada xi-1.
Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
TurunanTurunan Quadratic Spline Quadratic Spline
19
1. fi-1(xi-1) = ai-1xi-12 + bi-1xi-1 + ci-1 = yi-1
fi(xi-1) = aixi-12 + bixi-1 + ci = yi-1
2n – 2 persamaan
2. f1(x0) = a1x02 + b1x0 + c1 = y0
fn(xn) = anxn2 + bnxn + cn = yn
2 persamaan
3. (the 1st derivative at the interior knots must be equal)
fi-1’(xi-1) = 2ai-1xi-1 + bi-1 = 2aixi-1 + bi = fi’(xi-1)n– 1 persamaan