INTERPOLASI -...

37
Para rekayasawan dan ahli ilmu alam sering bekerja dengan sejumlah data diskrit (yang umumnya disajikan dalam bentuk tabel). Data didalam tabel mungkin diperoleh dari hasil pengamatan dilapangan, hasil pengukuran dilaboratorium, atau tabel yang diambil dari buku-buku acuan. INTERPOLASI

Transcript of INTERPOLASI -...

Page 1: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

Para rekayasawan dan ahli ilmu alam sering bekerja dengan sejumlah data diskrit (yang umumnya disajikan dalam bentuk tabel). Data didalam tabel mungkin diperoleh dari hasil pengamatan dilapangan, hasil pengukuran dilaboratorium, atau tabel yang diambil dari buku-buku acuan.

INTERPOLASI

Page 2: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

Contoh :

Sebuah pengukuran fisika untuk menentukan hubungan antara tegangan yang diberikan kepada baja tahan karat dan waktu yang diperlukan hingga baja tsb patah.

x = Tegangan yang diterapkan, kg/mm2

y = waktu patah , jam

x 5 10 15 20 25 30 35

y 40 30 25 40 18 20 22

Page 3: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

3

Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada ke-2 titik tersebut sudah diketahui

dpl. : cara menentukan harga fungsi f dititik x* ε [x0,xn] dengan menggunakan informasi dari seluruh atau sebagian titik-titik yang diketahui ( x0, x1, …., xn)

x x0 x1

x2 ……. xn

f(x) f(x0)

f(x1)

f(x2) ……. f(xn)

Page 4: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

Perbedaan Interpolasi dan Ekstrapolasi

Page 5: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

5

Teknik Umum yang digunakan :

(i) Membentuk polinomial berderajat ≤ n yg mempunyai harga fungsi di titik-

titik yang diketahui Polinomial

Interpolasi

(ii) Masukkan titik yang ingin dicari harga fungsinya ke dalam polinomial interpolasi

Page 6: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

6

Interpolasi Linier

Interpolasi Kuadrat

Interpolasi Lagrange

Interpolasi Newton

Jenis Interpolasi

Page 7: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

x0 x1 x

f(x)

L(x)

Interpolasi Linier

Page 8: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

Interpolasi Kudrat

x0 x1 x

f(x)

x2 h h

L(x)

Page 9: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

Interpolasi Qubic

x0 x1 x

f(x)

x2 h h

L(x)

x3 h

Page 10: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

10

INTERPOLASI LINIER (1)

Misalkan ada m bilangan : x1, x2, …., xm dan bilangan lain yang berkaitan : y1, y2 , …., ym

maka masalahnya : berapa harga y* pada

x* ε [xk,xk+1] ?

y

x

yk+1

xk+1

yk

xk

y*

x*

?

Page 11: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

11

Ambil ruas garis yang menghubungkan titik (xk,yk) dan (xk+1,yk+1)

Diperoleh persamaan garisnya :

)(*

* 1

1

kk

kk

k

k yyxx

xxyy

)(*

* 1

1

kk

kk

k

k yyxx

xxyy

kk

kk

k

k

xx

yy

xx

yy

1

1

*

*

INTERPOLASI LINIER (2)

Page 12: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

12

Jadi persamaan garisnya adalah :

)(*

* 1

1

kk

kk

k

k yyxx

xxyy

y

x

yk+1

xk+1

yk

xk

y*

x*

?

INTERPOLASI LINIER (3)

Page 13: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

13

Diketahui data sebagai berikut :

Tentukan harga y pada x = 6,5 !

Jawab : x = 6,5 terletak antara x=6 & x=7

)( 1

1

kk

kk

k

k yyxx

xxyy

5,42)3649()67(

)65,6(36

y

Contoh – 1 : (1)

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

y 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49

Hasilnya

Page 14: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

14

Alternatif 2 :

x = 6,5 terletak antara x=1 & x=7

)( 1

1

kk

kk

k

k yyxx

xxyy

45)48()6(

)5,5(1)149(

)17(

)15,6(1

y

Hasilnya

Contoh – 1 : (2)

Page 15: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

15

Bandingkan hasil kedua jawaban tersebut !!

Mana yang mendekati jawaban yang

sesungguhnya ..??

Karena hub. x & y adalah y = x2 maka untuk harga x = 6,5 didapat y = (6,5)2 = 42,25

=> Kesalahan mutlak (E) : |42,5 – 42,25| = 0,25

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

y 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49

Contoh – 1 : (3)

Page 16: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

16

Kesalahan mutlak (E), untuk :

y = 42,5 |42,5 – 42,25| = 0,25 = 25 %

Sedangkan untuk

y = 45 |45 – 42,25| = 3,25 = 325 %

Contoh – 1 : (4)

Page 17: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

17

Contoh-2 : Diketahui tabel akar bilangan sbb :

Tentukan akar dari 2,155

(2,155)1/2 = 1,46629 + (0,005/0,010) (1,46969 – 1,46629)

= 1,46629 + 0,00170

(2,155)1/2 = 1,46799

Kesalahan mutlaknya |1,4679918 -1,46799| = 0,0000018

Tentukan akar dari 2,153 dan Kesalahan mutlaknya !

N …. 2,14 2,15 2,16 ….

N1/2 …. 1,46287 1,46629 1,46969 ….

Page 18: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

Contoh 3:

Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan. Data percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang dibutuhkan untuk menghentikan kendaraan.

Perkirakan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kenderaan yang melaju dengan kecepatan 45 mil/jam.

Page 19: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

Contoh 3:

maka untuk mencari nilai x=45 maka,

Page 20: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

20

INTERPOLASI KUADRAT

Banyak kasus, penggunaan interpolasi linier tidak memuaskan karena fungsi yang diinterpolasi berbeda cukup besar dari fungsi linier

Untuk itu digunakan polinomial lain yg berderajat dua (interpolasi kuadrat) atau lebih mendekati fungsinya

Caranya : - Pilih 3 titik & buat polinomial berderajat dua melalui

ke - 3 titik tsb., shg dpt dicari harga fgs. pada x = x* - Pemilihan ke-3 ttk tsb., dapat : - xk-1 < xk < xk+1 atau - xk-1 < x* < xk < xk+1

Page 21: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

21

Persamaan umum Polinomial kuadrat :

P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 …..(*)

3 titik (xk-1,yk-1), (xk,yk) & (xk+1,yk+1) dilalui fgs. P(x) berarti:

yk-1 = a0 + a1 xk-1 + a2 xk-12

yk = a0 + a1 xk + a2 xk2 …………………………. (**)

yk+1 = a0 + a1 xk+1+ a2 xk+12

=> Akan diperoleh dari 3 pers. yaitu a0, a1 dan a2 kemudian subst. ke (*) & diperoleh pers. kuadrat, shg dapat dicari nilai fgs. untuk x = x* yaitu P(x*) = a0 + a1 x* + a2 x*2

=> Sistim pers. non homogen (**) memp. solusi dan solusinya unik (tunggal)

Page 22: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

Contoh :

Diberikan titik ln(8) = 2.0794, ln(9) = 2.1972, ln(9.5) = 2.2513. Tentukan nilai ln(9.2) dengan interpolasi kuadrat

Sistem Pers Linier yang terbentuk. 64 a + 8 b + c = 2.0794

81 a + 9 b + c = 2.1972

90.25 a + 9.5 b + c = 2.2513

Penyelesaian a= -0.0064 b = 0.2266

c = 0.6762

Sehingga p2(9.2) = 2.2192

Page 23: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

23

INTERPOLASI LAGRANGE

Interpolasi Lagrange adalah salah satu formula untuk interpolasi berselang tidak sama selain formula interpolasi Newton umum & metoda Aitken. Walaupun demikian

dapat digunakan pula untuk interpolasi berselang sama. Misalkan fgs. y(x) kontinu & diferensiabel sampai turunan

(n+1) dalam interval buka (a,b). Diberikan (n+1) titik (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) dengan nilai x tidak perlu berjarak sama dengan yang lainnya, dan akan dicari suatu polinom berderajat n. Untuk pemakaian praktis, formula interpolasi Lagrange dapat dinyatakan sbb. :

Page 24: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

24

Formula Interpolasi Lagrange

Jika y(x) : nilai yang diinterpolasi; x : nilai yg berkorespondensi dg y(x)

x0, x1, …., xn : nilai x dan y0, y1, …., yn : nilai y

0

02010

21

))...()((

))...()(()( y

xxxxxx

xxxxxxxy

n

n

1

12101

20

))...()((

))...()((y

xxxxxx

xxxxxx

n

n

n

nnnn

n

yxxxxxx

xxxxxx

))...()((

))...()((

.

.

110

110

Page 25: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

25

Contoh 1:

Nilai yg. berkorespondensi dengan y = 10log x adalah :

Carilah 10log 301 ?

Untuk menghitung y(x) = 10log 301 dimana x = 301, maka nilai diatas menjadi

X 300 304 305 307

10log x 2,4771 2,4829 2,4843 2,4871

x0 = 300 x1 = 304 x2 = 305 x3 = 307

y0 = 2,4771 y1 = 2,4829 y2 = 2,4843 y3 = 2,4871

Page 26: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

26

Dengan menggunakan interpolasi lagrange

4771,2

)307300)(305300)(304300(

)307301)(305301)(304301()(xy

4829,2

)307304)(305304)(300304(

)307301)(305301)(300301(

4843,2

)307305)(304305)(300305(

)307301)(304301)(300301(

4871,2)305307)(304307)(301307(

)305301)(304301)(300301(

7106,04717,49658,42739,1

4786,2)( xy

Page 27: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

Polinom Newton

Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek karena : Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali

interpolasi adalah besar. Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi yang sama karena tidak ada bagian komputasi sebelumnya yang dapat digunakan.

Bila jumlah titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya tidak dapat digunakan. Karena tidak ada hubungannya antara pn-1(x) dan pn(x) pada polinom Lagrange

Polinom yang dibentuk sebelumnya dapat digunakan untuk membentuk polinom derajat yang lebih tinggi.

Page 28: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

Polinom Newton

Persamaan Polinom Linier

Bentuk pers ini dapat ditulis :

Yang dalam hal ini (1)

Dan (2)

Pers ini mrpk bentuk selish terbagi (divided-difference)

)()(

)()( 0

01

01

01 xxxx

yyyxp

)()( 0101 xxaaxp )( 000 xfya

)(

)()(

)(

)(

01

01

01

01

1xx

xfxf

xx

yya

],[ 011 xxfa

Page 29: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

Polinom Newton

Polinom kuadratik

Atau

Dari pers ini menunjukkan bahwa p2(x) dapat dibentuk dari pers sebelumnya p1(x). Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2 untuk mendapatkan (3)

Nilai a0 dan a1 pada pers 1 dan 2 dimasukkan pada pers 3

))(()()( 1020102 xxxxaxxaaxp

))(()()( 10212 xxxxaxpxp

))((

)()(

1202

02102

2xxxx

xxaaxfa

12

01

01

02

02

2

)()()()(

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

a

Page 30: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

Polinom Newton

Dengan melakukan utak-atik aljabar, pers ini lebih disukai

02

0112

02

01

01

12

02

2

],[],[

)()()()(

xx

xxfxxf

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

a

Page 31: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

Polinom Newton

Jadi tahapan pembentukan polinom Newton :

)()()( 0101 xxaxpxp

)()( 0101 xxaaxp

))(()()( 1020102 xxxxaxxaaxp

))(()()( 10212 xxxxaxpxp

))()(()()( 210323 xxxxxxaxpxp

))()(())(()()( 21031020103 xxxxxxaxxxxaxxaaxp

Page 32: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

Polinom Newton

Nilai konstanta a0, a1, a2,…, an, merupakan nilai selisih terbagi , dg nilai

Yang dalam hal ini

],,...,,[

],,[

],[

)(

011

0122

011

00

xxxxfa

xxxfa

xxfa

xfa

nnn

0

012111

011

),,...,,[],...,,[],,...,,[

],[],[],,[

)()(],[

xx

xxxxfxxxfxxxxf

xx

xxfxxfxxxf

xx

xfxfxxf

n

nnnn

nn

ki

kjji

kji

ji

ji

ji

Page 33: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

33

Karena a0, a1,a2, …an, merupakan nilai selisih terbagi, maka polinom Newton dinamakan polinom interpolasi selisih terbagi Newton. Nilai selisih terbagi dapat dihitung dengan menggunakan tabel yng disebut tabel selisih terbagi.

Page 34: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

Polinom Newton

Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis dalam hub rekursif sebagai :

Rekurens

basis

Atau dalam bentuk polinom yang lengkap sbb :

],,...,,[))...()(()()( 0111101 xxxxfxxxxxxxpxp nnnnn

)()( 00 xfxp

],,...,,[))...()((

],,[))((],[)()()(

011110

012100100

xxxxfxxxxxx

xxxfxxxxxxfxxxfxp

nnn

n

Page 35: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

Contoh Soal :

Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga dan empat yang menghampiri f(x)=cos(x) dalam range[0.0, 4] dan jarak antar titik adalah 1.0. Lalu taksirlah f(x) dengan x=2.5 dengan Polinom Newton derajat 3.

xi yi ST-1 ST-2 ST-3 ST-4

0.0 1 -0.4597 -0.2484 0.1466 -0.0147

1.0 0.5403 -0.9564 0.1913 0.0880

2.0 -0.4161 -0.5739 0.4551

3.0 -0.99 0.3363

4.0 -0.6536

Page 36: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

Contoh Soal :

Contoh cara menghitung nilai selisih terbagi pada tabel :

2484.002

4597.09564.0

)(

],[],[],,[

9564.012

5403.04161.0

)(

)()(],[

4597.001

15403.0

)(

)()(],[

02

0112

012

12

1212

01

01

01

xx

xxfxxfxxxf

xx

xfxfxxf

xx

xfxfxxf

Page 37: INTERPOLASI - ismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.idismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/43907/Interpolasi.pdf3 Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada

Contoh Soal :

Maka polinom Newton derajat 1,2 dan 3 dengan x0 = 0 sebagai titik pertama :

Nilai sejati f(2.5) adalah F(2.5) = cos(2.5)=-0.8011

)0.3)(0.2)(0.1)(0.0(0147.0)0.2)(0.1)(0.0(1466.0

)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(

)0.2)(0.1)(0.0(1466.0

)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(

)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(

)0.0(4597.00.1)()cos(

4

3

2

1

xxxxxxx

xxxxpx

xxx

xxxxpx

xxxxpx

xxpx