Bahan Ajar Kalkulus Diferensial -...

Bahan Ajar

Kalkulus DiferensialYosep Dwi Kristanto https://orcid.org/0000-0003-1446-0422

Ciptaan disebarluaskan di bawah Lisensi Creative Commons Atribusi 4.0

Internasional.

Model-Model Matematis:Daftar Fungsi-Fungsi Esensial

Proses Pemodelan

Permasalahan kehidupan nyata

Model matematis

Kesimpulan matematis

Prediksi kehidupan nyata

Model Linear

Fungsi linear adalah fungsi yang dapat dinyatakan ke dalam bentuk𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑐𝑐

Grafik fungsi tersebut berupa garis dengan gradien 𝑚𝑚 dan memotong sumbu-y di 𝑐𝑐.

Latihan Soal

a. Ketika udara kering naik, udara tersebut akan mengembang dan menjadi dingin. Jika suhu di permukaan tanah adalah 20℃ dan suhu pada ketinggian 1 km adalah 10℃, nyatakan suhu 𝑇𝑇 (dalam ℃) sebagai fungsi terhadap ketinggian (dalam km), dengan mengasumsikan bahwa model linear berlaku untuk masalah ini.

b. Gambarlah grafik fungsi pada bagian a. Apa yang direpresentasikan gradiennya?

c. Berapakah suhu pada ketinggian 2,5 km?

Latihan Soal

Tabel berikut mendaftar tingkat karbondioksida dalam atmosfer, yang diukur dalam ppm dari 1980 sampai 2012. Gunakan data dalam tabel tersebut untuk menentukan model tingkat karbondioksida.Tahun 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996Tingkat CO2

338,7 341,2 344,4 347,2 351,5 354,2 356,3 358,6 362,4

Tahun 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012Tingkat CO2

366,5 369,4 373,2 377,5 381,9 385,6 389,9 393,8

Polinomial

Fungsi 𝑃𝑃 disebut polinomial jika𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑛𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑎2𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0

dimana 𝑛𝑛 adalah bilangan bulat tidak negatif dan 𝑎𝑎0, 𝑎𝑎1, 𝑎𝑎2, …, 𝑎𝑎𝑛𝑛adalah bilangan-bilangan real. Bilangan-bilangan 𝑎𝑎1, 𝑎𝑎2, …, 𝑎𝑎𝑛𝑛 yang disebut koefisien dan 𝑎𝑎0 disebut konstanta.

Latihan Soal

Sebuah bola dijatuhkan dari gedung dengan ketinggian 450 m, dan tingginya dicatat setiap 1 detik dalam tabel di bawah. Temukan model yang cocok untuk data tersebut untuk memprediksi kapan bola tersebut sampai di permukaan tanah.

Waktu (detik) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Tinggi (meter) 450 445 431 408 375 332 279 216 143 61

Fungsi Pangkat

Fungsi yang memiliki bentuk 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑎𝑎, dimana 𝑎𝑎 konstanta disebut sebagai fungsi pangkat.Beberapa kasus fungsi ini adalah sebagai berikut.1. 𝑎𝑎 = 𝑛𝑛 dimana 𝑛𝑛 bilangan bulat positif.2. 𝑎𝑎 = ⁄1 𝑛𝑛 dimana 𝑛𝑛 bilangan bulat positif.3. 𝑎𝑎 = −1.

Fungsi Rasional

Fungsi rasional 𝑓𝑓 merupakan rasio dari dua polinomial:

𝑓𝑓 𝑥𝑥 =𝑃𝑃 𝑥𝑥𝑄𝑄 𝑥𝑥

dimana 𝑃𝑃 dan 𝑄𝑄 adalah polinomial.Domain fungsi ini memuat semua nilai 𝑥𝑥 sedemikian sehingga 𝑄𝑄 𝑥𝑥 ≠ 0.

Fungsi Aljabar

Suatu fungsi 𝑓𝑓 disebut sebagai fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibentuk dengan operasi-operasi aljabar yang dimulai dari polinomial.Contoh:

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 − 1

𝑔𝑔 𝑥𝑥 =𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 𝑥𝑥

+ 𝑥𝑥 − 1 3 𝑥𝑥 + 1

Fungsi Trigonometri

Fungsi-fungsi sinus dan cosinus memiliki domain −∞,∞ dan range selang tutup −1, 1 .

−1 ≤ sin 𝑥𝑥 ≤ 1 −1 ≤ cos 𝑥𝑥 ≤ 1Fungsi-fungsi sinus dan cosinus merupakan fungsi-fungsi periodik dengan periode 2𝜋𝜋.

sin 𝑥𝑥 + 2𝜋𝜋 = sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 + 2𝜋𝜋 = cos 𝑥𝑥

Latihan Soal

Tentukan domain fungsi berikut.

𝑓𝑓 𝑥𝑥 =1

1− 2 cos 𝑥𝑥

Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial adalah fungsi yang memiliki bentuk 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏𝑥𝑥 , dimana basis 𝑏𝑏 merupakan konstanta positif.

Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = log𝑏𝑏 𝑥𝑥, dimana basis 𝑏𝑏 merupakan konstanta positif, adalah fungsi invers dari fungsi eksponensial.

Latihan Soal

Klasifikasikan fungsi-fungsi berikut sesuai dengan jenis-jenis fungsi yang telah dibahas sebelumnya.(a) 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 10𝑥𝑥

(b) 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥10

(c) ℎ 𝑥𝑥 = 1+𝑥𝑥1+ 𝑥𝑥

(c) 𝑢𝑢 𝑡𝑡 = 5𝑡𝑡4 − 3𝑡𝑡2 + 9

Latihan Soal (Lagi)Biaya berkendara sebuah mobil setiap bulannya bergantung pada jarak tempuh. Pada bulan Mei, Maria mengeluarkan biaya Rp380.000,00 untuk berkendara sejauh 480 km dan pada bulan Juni dia mengeluarkan biaya Rp 460.000,00 untuk berkendara sejauh 800 km.a. Nyatakan biaya berkendara bulanan 𝐵𝐵 sebagai fungsi terhadap jarak 𝑠𝑠,

dengan asumsi bahwa relasinya linear.b. Gunakan bagian a untuk memprediksi biaya berkendara sejauh 1.500 km

per bulan.c. Gambarlah grafik fungsi linear tersebut. Apa yang direpresentasikan

gradiennya?d. Apa yang direpresentasikan perpotongan grafik terhadap sumbu vertikal?e. Mengapa fungsi linear cocok sebagai model pada permasalahan ini?

Fungsi Baru dari Fungsi Lama

Transformasi Fungsi

Pergeseran vertikal dan horizontal Misalkan 𝑐𝑐 > 0. Untuk memperoleh grafik

𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐, geser grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 sejauh 𝑐𝑐 satuan ke atas𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐, geser grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 sejauh 𝑐𝑐 satuan ke bawah𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 , geser grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 sejauh 𝑐𝑐 satuan ke kanan𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 , geser grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 sejauh 𝑐𝑐 satuan ke kiri

Pergeseran

𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥

𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐

𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐

𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐

𝑐𝑐 𝑐𝑐

𝑐𝑐

𝑐𝑐 Pergeseran grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥

Transformasi FungsiDilatasi dan pencerminan vertikal dan horizontal Misalkan 𝑐𝑐 > 1. Untuk mendapat grafik

𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑓𝑓 𝑥𝑥 , rentangkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 secara vertikal dengan faktor 𝑐𝑐.𝑦𝑦 = ⁄1 𝑐𝑐 𝑓𝑓 𝑥𝑥 , susutkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 secara vertikal dengan faktor 𝑐𝑐.𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑐𝑐𝑥𝑥 , susutkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 secara horizontal dengan faktor 𝑐𝑐.𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 ⁄𝑥𝑥 𝑐𝑐 , rentangkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 secara horizontal dengan faktor 𝑐𝑐.𝑦𝑦 = −𝑓𝑓 𝑥𝑥 , cerminkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 terhadap sumbu-x.𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 −𝑥𝑥 , cerminkan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 terhadap sumbu-y.

Dilatasi dan Pencerminan

𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑐𝑐 > 1

𝑦𝑦 =1𝑐𝑐 𝑓𝑓 𝑥𝑥

𝑦𝑦 = −𝑓𝑓 𝑥𝑥

𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 −𝑥𝑥

Dilatasi dan pencerminan grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥

Latihan Soal

Diberikan grafik fungsi 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥di samping. Gunakan transformasi untuk menggambar grafik 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 2, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 2, 𝑦𝑦 = − 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 2 𝑥𝑥dan 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥. 1

y𝑦𝑦 = 𝑥𝑥

Latihan Soal

Skestasalah grafik fungsi-fungsi berikut.a. 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥 + 13.b. 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = sin 2𝑥𝑥c. ℎ 𝑥𝑥 = 1− sin 𝑥𝑥

Kombinasi Fungsi-Fungsi

Dua fungsi 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔 dapat dikombinasikan untuk membentuk fungsi baru 𝑓𝑓 + 𝑔𝑔, 𝑓𝑓 − 𝑔𝑔, 𝑓𝑓𝑔𝑔, dan ⁄𝑓𝑓 𝑔𝑔 dengan cara yang serupa ketika menjumlahkan, mengurangi, mengalikan, dan membagi bilangan-bilangan real.

𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥 Domain: 𝐷𝐷𝑓𝑓 ∩ 𝐷𝐷𝑔𝑔𝑓𝑓 − 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑔𝑔 𝑥𝑥 Domain: 𝐷𝐷𝑓𝑓 ∩ 𝐷𝐷𝑔𝑔𝑓𝑓𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 Domain: 𝐷𝐷𝑓𝑓 ∩ 𝐷𝐷𝑔𝑔⁄𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥

𝑔𝑔 𝑥𝑥Domain: 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷𝑓𝑓 ∩ 𝐷𝐷𝑔𝑔 | 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ≠ 0

Komposisi Fungsi

Definisi Diberikan dua fungsi 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔, fungsi komposit 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 (juga disebut dengan komposisi 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔) didefinisikan sebagai berikut.

𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥

Latihan Soal

Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 dan 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 2− 𝑥𝑥, tentukan masing-masing fungsi berikut beserta domainnya.a. 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔b. 𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓c. 𝑓𝑓 ∘ 𝑓𝑓d. 𝑔𝑔 ∘ 𝑔𝑔

Latihan Soal

Diberikan 𝐹𝐹 𝑥𝑥 = sin2 𝑥𝑥 − 4 , tentukan fungsi 𝑓𝑓, 𝑔𝑔, dan ℎsedemikian sehingga 𝐹𝐹 = 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 ∘ ℎ.

Permasalahan Garis Singgung dan Kecepatan

Permasalahan Garis Singgung

Apa yang dimaksud garis singgung?

Garis Singgung?

(a) (b)

𝑡𝑡𝐶𝐶

𝑡𝑡

𝑠𝑠

Contoh 1

Tentukan persamaan garis singgung parabola 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 pada titik 𝑃𝑃 1, 1 .

𝑃𝑃 1, 1

𝑄𝑄 𝑥𝑥, 𝑥𝑥2

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2

𝑥𝑥

𝑦𝑦

Garis Potong

Gradien garis potong 𝑃𝑃𝑄𝑄adalah

𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 =𝑥𝑥2 − 1𝑥𝑥 − 1

Misalkan, untuk 𝑥𝑥 = 1,5:

𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃 =1,5 2 − 11,5− 1

𝑃𝑃 1, 1

𝑄𝑄 𝑥𝑥, 𝑥𝑥2

𝑥𝑥

𝑦𝑦

𝑅𝑅

𝑡𝑡

Pendekatan Gradien

𝒙𝒙 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷

2 31,5 2,51,1 2,11,01 2,011,001 2,001

𝒙𝒙 𝒎𝒎𝑷𝑷𝑷𝑷

0 10,5 1,50,9 1,90,99 1,990,999 1,999

Berdasarkan tabel di samping, maka gradien garis singgung parabola adalah

𝑚𝑚 = lim𝑃𝑃→𝑃𝑃

𝑚𝑚𝑃𝑃𝑃𝑃

𝑚𝑚 = lim𝑥𝑥→1

𝑥𝑥2 − 1𝑥𝑥 − 1

Persamaan Garis Singgung

Berdasarkan investigasi sebelumnya diperoleh gradien garis singgung 𝑚𝑚 = 2 dan melalui titik 𝑃𝑃 1, 1 . Maka, persamaan garis singgung tersebut adalah𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1𝑦𝑦 − 1= 2 𝑥𝑥 − 1𝑦𝑦 − 1= 2𝑥𝑥 − 2

𝑦𝑦= 2𝑥𝑥 − 1

𝑃𝑃 1, 1

𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 1

𝑥𝑥

𝑦𝑦

1−1−1

Ilustrasi Proses Limit

Permasalahan Kecepatan

Bagaimana mendefinisikan kecepatan sesaat?

Contoh 2

Misalkan sebuah bola dijatuhkan dari puncak Gama Tower di Jakarta, 290 meter di atas permukaan tanah. Tentukan kecepatan bola tepat setelah 5 detik dijatuhkan.

Kecepatan

Jarak 𝑠𝑠 yang telah ditempuh bola setelah jatuh 𝑡𝑡 detik dapat dirumuskan

𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 4,9𝑡𝑡2

Rumus kecepatan rata-rata adalah

kecepatan rata−rata =perubahan posisi

waktuBerapakah kecepatan bola tepat ketika 𝑡𝑡 = 5 detik?

Pendekatan Kecepatan Sesaat

Kecepatan rata-rata ketika 𝑡𝑡 = 5 detik sampai 𝑡𝑡 = 5,1:

kecepatan rata-rata = perubahan posisiwaktu

=𝑠𝑠 5,1 − 𝑠𝑠 55,1− 5

=4,9 5,1 2 − 4,9 5 2

5,1− 5= 49,49m/s

Kecepatan rata-rata pada selang 5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,1 adalah 49,49 m/s.

Kecepatan Sesaat

Berdasarkan tabel di samping kecepatan rata-ratanya akan mendekati —? —.Kecepatan sesaat ketika 𝑡𝑡 = 5didefinisikan sebagai nilai limit kecepatan rata-rata tersebut selama periode waktu yang terus menerus semakin singkat, yang dimulai dari 𝑡𝑡 = 5.

Selang Waktu Kecepatan rata-rata (m/s)

5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,1 49,495 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,055 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,015 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,0055 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5,001

Hubungan Garis Singgung & Kecepatan Sesaat

0 𝑡𝑡

𝑠𝑠

𝑃𝑃

𝑄𝑄

𝑎𝑎 𝑎𝑎 + ℎ

𝑠𝑠 = 4,9𝑡𝑡2

Gradien garis potong = kecepatan rata-rata

0 𝑡𝑡

𝑠𝑠

𝑃𝑃

𝑠𝑠 = 4,9𝑡𝑡2

Gradien garis singgung = kecepatan sesaat

Latihan SoalTitik 𝑃𝑃 3,−1 terletak pada kurva 𝑦𝑦 = ⁄1 2− 𝑥𝑥 .(a) Jika 𝑄𝑄 adalah titik 𝑥𝑥, ⁄1 2− 𝑥𝑥 , gunakan kalkulator untuk

menentukan gradien garis potong 𝑃𝑃𝑄𝑄 (sampai 6 angka di belakang koma) untuk nilai-nilai 𝑥𝑥 berikut:(i) 2,5 (ii) 2,9 (iii) 2,99 (iv) 2,999(v) 3,5 (vi) 3,1 (vii) 3,01 (viii) 3,001

(b) Dengan menggunakan hasil di bagian (a), perkirakan gradien garis singgung kurva pada titik 𝑃𝑃 3,−1 .

(c) Dengan menggunakan gradien di bagian (b), tentukan persamaan garis singgung pada titik 𝑃𝑃 3,−1 .

Limit Suatu Fungsi

Pertanyaan Awal

Bagaimana perilaku fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 3 untuk

nilai-nilai 𝑥𝑥 yang dekat dengan 3?

Tabel Nilai Fungsi

𝒙𝒙 𝒇𝒇 𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝒇𝒇 𝒙𝒙2 3 4 112,5 4,25 3,5 8,252,8 5,24 3,2 6,842,9 5,61 3,1 6,412,95 5,8025 3,05 6,20252,99 5,9601 3,01 6,04012,995 5,98003 3,005 6,020032,999 5,996 3,001 6,004

Grafik Fungsi

Tampak bahwa kita dapat membuat nilai f(x) mendekati 6 dengan memilih nilai x yang dekat dengan 3.

lim𝑥𝑥→3

𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 3 = 6

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 3

𝑥𝑥

𝑦𝑦

f(x) mendekati

x mendekati 3.

Definisi Intuitif Limit

Misalkan f(x) terdefinisi ketika x dekat dengan a. Maka kita menuliskan

lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿

dan mengatakan “limit f(x), untuk x mendekati a, sama dengan L”jika kita dapat membuat nilai f(x) dekat ke L (sedekat yang kita suka) dengan memilih nilai x yang dekat ke a (pada kedua sisinya) tetapi tidak sama dengan a.

Ilustrasi Limit Fungsi

… tetapi 𝑥𝑥 ≠ 𝑎𝑎

Contoh 1

Tebaklah nilai limit

lim𝑥𝑥→2

𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥2 − 4

Pembahasan Tabel di samping memberikan nilai-nilai 𝑓𝑓 𝑥𝑥untuk 𝑥𝑥 mendekati 2 (tetapi tidak sama dengan 2).

𝒙𝒙 < 𝟐𝟐 𝒇𝒇 𝒙𝒙1,5 0,2857141,9 0,256411,99 0,2506721,999 0,2500631,9999 0,250006

𝒙𝒙 > 𝟐𝟐 𝒇𝒇 𝒙𝒙2,5 0,2222222,1 0,2439022,01 0,2493772,001 0,2499382,0001 0,249994

Contoh 1

Berdasarkan tabel sebelumnya dan grafik di samping diperoleh

lim𝑥𝑥→2

𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥2 − 4

= 0,25

𝑦𝑦 =𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥2 − 4

Masalah…

Bagaimana jika,

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = �𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥2 − 4

, 𝑥𝑥 ≠ 2

1, 𝑥𝑥 = 2Berapakah nilai

lim𝑥𝑥→2

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = —?—

Latihan Soal

Perkirakan nilai limit berikut.

lim𝑡𝑡→0

𝑡𝑡2 + 25− 5𝑡𝑡2

Kesalahan Kalkulator

Pada latihan soal sebelumnya bagaimana jika kita memilih nilai-nilai x yang sangat dekat dengan 0?

𝒕𝒕 𝒕𝒕𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝒕𝒕𝟐𝟐

±0,000001 0.099476±0,0000001 0.0888178±0,00000001 0,0000000

−5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 5

−10−6 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 10−6

Latihan Soal

Selidikilah nilai limit berikut.

lim𝑥𝑥→0

sin𝜋𝜋2𝑥𝑥

Nilai Limit Tidak Ada

2–2 x

𝑦𝑦 = sin𝜋𝜋2𝑥𝑥

Terlalu banyak fluktuasi

Nilai Limit Tidak Ada

–1–2–3 1 2 3 x

yf(x) = 1

f(x) = –1

𝑓𝑓 𝑥𝑥 =− 𝑥𝑥𝑥𝑥

Perilaku kanan & kiri tidak sama

Limit Sepihak

DEFINISI LIMIT KIRI Kita menulislim𝑥𝑥→𝑎𝑎−

dan mengatakan limit kiri f(x) untuk x mendekati a [atau limit f(x) untuk x mendekati a dari kiri] sama dengan L jika kita dapat membuat nilai f(x) dekat ke L (sedekat yang kita suka) dengan memilih x yang dekat ke a dengan x kurang dari a.

Limit Sepihak

DEFINISI LIMIT KANAN Kita menulislim𝑥𝑥→𝑎𝑎+

dan mengatakan limit kanan f(x) untuk x mendekati a [atau limit f(x) untuk x mendekati a dari kanan] sama dengan L jika kita dapat membuat nilai f(x) dekat ke L (sedekat yang kita suka) dengan memilih x yang dekat ke a dengan x lebih dari a.

Ilustrasi Limit Sepihak

f(x) L

lim𝑥𝑥→𝑎𝑎−

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 lim𝑥𝑥→𝑎𝑎+

Limit dan Limit Sepihak

jika dan hanya jikalim𝑥𝑥→𝑎𝑎−

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 dan lim𝑥𝑥→𝑎𝑎+

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿.

Latihan Soal

Gunakan grafik di samping untuk menentukan nilai-nilai limit (jika ada) berikut.(a) lim

𝑥𝑥→2−𝑔𝑔 𝑥𝑥 (b) lim

𝑥𝑥→2+𝑔𝑔 𝑥𝑥

(c) lim𝑥𝑥→5−

𝑔𝑔 𝑥𝑥 (d) lim𝑥𝑥→5+

𝑔𝑔 𝑥𝑥

(e) lim𝑥𝑥→2

𝑔𝑔 𝑥𝑥 (f) lim𝑥𝑥→5

𝑔𝑔 𝑥𝑥

1 2 3 4 5

y = g(x)

Definisi Formal (ε-δ) Limit

Permasalahan Awal

Gunakan grafik 12𝑥𝑥2 untuk menentukan

seberapa dekat 𝑥𝑥 ke 2 untuk menjamin bahwa 𝑓𝑓 𝑥𝑥 berjarak kurang dari 0,5 dari 2. Mengapa?

1 2 3 x

𝑦𝑦 =12𝑥𝑥2

Pembahasan

1 2 3 x

21,5 2,5

2 2,52 1,5

Pembahasan

Nilai 𝑓𝑓 𝑥𝑥 akan berjarak kurang dari 0,5 dari 2, atau dapat dituliskan𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 2 < 0,5

Jika nilai-nilai 𝑥𝑥 berada di antara 2 1,5 ≈ 1,732 dan 2 2,5 ≈2,236, yaitu 1,732 < 𝑥𝑥 < 2,236. Dari dua ujung interval tersebut, 2,336 lebih dekat ke 2, yaitu 2 – 2,236 = 0,236.Jadi kita dapat menyimpulkan bahwa:

Jika 1,764 < 𝑥𝑥 < 2,236 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 2 < 0,5

Definisi Formal Limit

Misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi pada beberapa selang buka yang memuat bilangan a, kecuali mungkin di a itu sendiri. Maka kita mengatakan limit f(x) untuk x mendekati a adalah L, dan dituliskan

Jika untuk setiap bilangan ε > 0 ada bilangan δ > 0 sedemikian sehingga

jika 0 < 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 < 𝛿𝛿 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀(Definisi ini sering disebut dengan definisi ε-δ limit.)

Cerita Nanang & Christin

Nanang memiliki dugaan bahwa:lim𝑥𝑥→1

2𝑥𝑥 + 3 = 5

Bagaimana Nanang membuktikan kepada Christin bahwa dugaannya benar?

Contoh Soal

Dengan menggunakan definisi ε-δ limit, buktikan bahwa limit (4x –5) untuk x mendekati 2 sama dengan 3, yaitu

lim𝑥𝑥→2

4𝑥𝑥 − 5 = 3

PembahasanAnalisis Pendahuluan Misalkan diberikan bilangan positif ε. Kita ingin mencari bilangan positif δ sedemikian sehingga

jika 0 < 𝑥𝑥 − 2 < 𝛿𝛿 maka 4𝑥𝑥 − 5 − 3 < 𝜀𝜀.Padahal, dengan menggunakan aljabar kita peroleh

4𝑥𝑥 − 5 − 3 < 𝜀𝜀⇔ 4𝑥𝑥 − 8 < 𝜀𝜀⇔ 4 𝑥𝑥 − 2 < 𝜀𝜀⇔ 4 𝑥𝑥 − 2 < 𝜀𝜀⇔ 𝑥𝑥 − 2 < 𝜀𝜀

Sehingga kita pilih 𝛿𝛿 = ⁄𝜀𝜀 4.

Sifat Nilai Mutlak: 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 𝑎𝑎

Pembahasan

Bukti Formal Diberikan ε > 0 pilih δ = ε/4. Jika 0 < |x – 2| < δ, maka4𝑥𝑥 − 5 − 3 = 4𝑥𝑥 − 8

= 4 𝑥𝑥 − 2= 4 𝑥𝑥 − 2< 4 � 𝜀𝜀

4= 𝜀𝜀

Dengan menggunakan sifat transitif = dan <, diperoleh4𝑥𝑥 − 5 − 3 < 𝜀𝜀

Tugas Kelompok

Definisi Limit SepihakDefinisi Limit Kiri

lim𝑥𝑥→𝑎𝑎−

Jika untuk setiap bilangan 𝜀𝜀 > 0 ada bilangan 𝛿𝛿 > 0 sedemikian sehinggajika 0 < 𝑎𝑎 − 𝑥𝑥 < 𝛿𝛿 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀.

Definisi Limit Kananlim𝑥𝑥→𝑎𝑎+

Jika untuk setiap bilangan 𝜀𝜀 > 0 ada bilangan 𝛿𝛿 > 0 sedemikian sehinggajika 0 < 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 < 𝛿𝛿 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀.

Contoh

Gunakan definisi limit sepihak untuk membuktikan bahwalim𝑥𝑥→0+

𝑥𝑥 = 0

PEMBAHASANAnalisis Pendahuluan Misalkan ε adalah bilangan positif yang diberikan. Kita akan mencari bilangan positif δ sedemikian sehingga

jika 0 < 𝑥𝑥 − 0 < 𝛿𝛿 maka 𝑥𝑥 − 0 < 𝜀𝜀yaitu, jika 0 < 𝑥𝑥 < 𝛿𝛿 maka 𝑥𝑥 < 𝜀𝜀

PembahasanPerhatikan bahwa,

𝑥𝑥 < 𝜀𝜀𝑥𝑥 < 𝜀𝜀2

Sehingga, kita pilih 𝛿𝛿 = 𝜀𝜀2.Bukti formal Diberikan 𝜀𝜀 > 0 ada 𝛿𝛿 = 𝜀𝜀2, sedemikian sehingga jika 0 <𝑥𝑥 − 0 < 𝛿𝛿, maka

𝑥𝑥 − 0 = 𝑥𝑥 < 𝛿𝛿 = 𝜀𝜀2 = 𝜀𝜀Berdasarkan definisi limit sepihak, terbukti bahwa lim

𝑥𝑥→0+𝑥𝑥 = 0.

Teorema-Teorema Limit

Beberapa Limit Dasar

Teorema A Misalkan 𝑛𝑛 bilangan bulat positif, 𝑘𝑘 adalah konstanta. Maka1. lim

𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑘𝑘 = 𝑘𝑘; 2. lim

𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑥𝑥 = 𝑎𝑎; 3. lim

𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛.

Teorema Limit Utama

Teorema B Misalkan 𝑛𝑛 bilangan bulat positif, 𝑘𝑘 adalah konstanta, dan 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔 adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di 𝑎𝑎. Maka1. lim

𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑘𝑘𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 lim

𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑓𝑓 𝑥𝑥 ;

2. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 + lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑔𝑔 𝑥𝑥 ;

𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 − lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑔𝑔 𝑥𝑥 ;

𝑓𝑓 𝑥𝑥 � 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 � lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑔𝑔 𝑥𝑥 ;

𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑔𝑔 𝑥𝑥

=lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥

𝑔𝑔 𝑥𝑥jika lim

𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑥𝑥 ≠ 0;

𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑛𝑛;

𝑛𝑛 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑛𝑛 lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 , asalkan

𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≥ 0 jika 𝑛𝑛 genap.

Contoh 1Tentukan limit berikut dan berikan alasan pada setiap langkahnya.

lim𝑥𝑥→1

3𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 5

PEMBAHASAN Kita gunakan teorema-teorema limit sebelumnya.lim𝑥𝑥→1

3𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 5 = lim𝑥𝑥→1

3𝑥𝑥2 − lim𝑥𝑥→1

2𝑥𝑥 + lim𝑥𝑥→1

= 3 lim𝑥𝑥→1

𝑥𝑥2 − 2 lim𝑥𝑥→1

𝑥𝑥 + lim𝑥𝑥→1

= 3 12 − 2 1 + 5= 6

Teorema B2 dan B3

Teorema B1

Teorema A3, A2, dan A1

Latihan 1

Tentukan limit berikut dan berikan alasan setiap langkahnya.

lim𝑥𝑥→2

3𝑥𝑥5 − 7𝑥𝑥4 + 5𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 + 1

Teorema Substitusi

Teorema C Jika 𝑓𝑓 adalah fungsi polinomial atau fungsi rasional dan 𝑎𝑎 berada di domain 𝑓𝑓, maka

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎

Latihan 2

Tentukan limit berikut.

lim𝑥𝑥→5

𝑥𝑥2 − 25𝑥𝑥 + 5

Fungsi yang Berbeda di Satu Titik

Teorema D Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ketika 𝑥𝑥 ≠ 𝑎𝑎, maka lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 =lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑔𝑔 𝑥𝑥 dengan syarat limit-limitnya ada.

Contoh 2

Tentukan lim𝑥𝑥→5

𝑔𝑔 𝑥𝑥 dimana

𝑔𝑔 𝑥𝑥 = �𝑥𝑥 + 5 jika 𝑥𝑥 ≠ 5𝜋𝜋 jika 𝑥𝑥 = 5

PEMBAHASAN Di sini fungsi 𝑔𝑔 terdefinisi di 𝑥𝑥 = 5 dan 𝑔𝑔 5 = 𝜋𝜋. Tetapi nilai limit 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ketika 𝑥𝑥 mendekati 5 tidak tergantung pada nilai fungsi di 5. Karena 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 5 untuk 𝑥𝑥 ≠ 5, maka

lim𝑥𝑥→5

𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→5

𝑥𝑥 + 5 = 5 + 5 = 10

Pembahasan

0 2 4 6 8

𝑥𝑥

𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥

0 2 4 6 8

𝑥𝑥

𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔 𝑥𝑥

Grafik fungsi f (Latihan 2) dan fungsi g (Contoh 2)

Latihan 3

Tentukan nilai limit-limit berikut.

(a) limℎ→0

2+ℎ 2−4ℎ

(b) lim𝑡𝑡→0

𝑡𝑡2+9−3𝑡𝑡

Teorema Apit

Teorema E Misalkan 𝑓𝑓, 𝑔𝑔, dan ℎadalah fungsi-fungsi yang memenuhi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≤ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ≤ ℎ 𝑥𝑥untuk semua 𝑥𝑥 yang dekat dengan 𝑎𝑎, kecuali mungkin di 𝑎𝑎 dan

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

ℎ 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿

maka lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿a

Latihan 4

Tunjukkan bahwa

lim𝑥𝑥→0

𝑥𝑥2 sin1𝑥𝑥

Ilustrasi

Limit-Limit Trigonometri

Limit Fungsi-Fungsi Trigonometri

Teorema A Untuk setiap bilangan real a dalam domain fungsi,1. lim

𝑥𝑥→𝑎𝑎sin 𝑥𝑥 = sin𝑎𝑎 2. lim

𝑥𝑥→𝑎𝑎cos 𝑥𝑥 = cos𝑎𝑎

tan 𝑥𝑥 = tan 𝑎𝑎 4. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

cot 𝑥𝑥 = cot 𝑎𝑎

sec 𝑥𝑥 = sec 𝑎𝑎 6. lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

csc 𝑥𝑥 = csc 𝑎𝑎

Pembuktian Teorema A

Bukti Teorema A1 Pertama kita akan buktikan untuk x = 0. Misalkan x > 0 dan misalkan titik-titik A, B, dan P didefinisikan seperti pada gambar di samping. Maka,

0 < 𝐵𝐵𝐵𝐵 < 𝐴𝐴𝐵𝐵 < �𝐴𝐴𝐵𝐵Karena 𝐵𝐵𝐵𝐵 = sin 𝑥𝑥 dan �𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝑥𝑥, maka

0 < sin 𝑥𝑥 < 𝑥𝑥Jika 𝑥𝑥 < 0 maka 𝑥𝑥 < sin 𝑥𝑥 < 0. Dengan menggunakan Teorema Apit, kita peroleh lim𝑥𝑥→0

sin 𝑥𝑥 = 0.

𝑂𝑂 𝐵𝐵 𝐴𝐴 1, 0

𝐵𝐵 cos𝑥𝑥 , sin 𝑥𝑥

𝑥𝑥

Untuk melengkapi bukti, kita perlu membuktikan lim𝑥𝑥→0

cos 𝑥𝑥 = 1. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan identitas trigonometri dan limit akar.

lim𝑥𝑥→0

cos 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→0

1− sin2 𝑥𝑥 = 1− lim𝑥𝑥→0

sin 𝑥𝑥2= 1− 02 = 1

Sekarang, untuk menunjukkan bahwa lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

sin 𝑥𝑥 = sin𝑎𝑎, pertama kita misalkan ℎ = 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 sehingga ℎ → 0 jika 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎. Maka,

sin 𝑥𝑥 = limℎ→0

sin 𝑎𝑎 + ℎ

= limℎ→0

sin𝑎𝑎 cos ℎ + cos𝑎𝑎 sinℎ

= sin𝑎𝑎 limℎ→0

cos ℎ + cos𝑎𝑎 limℎ→0

sin ℎ

= sin𝑎𝑎 1 + cos𝑎𝑎 0= sin𝑎𝑎

Contoh 1

𝑥𝑥2−1 sin 𝑥𝑥𝑥𝑥+1

PEMBAHASAN Pertama kita gunakan teorema limit perkalian,kemudian kita gunakan Teorema A1.

lim𝑥𝑥→0

𝑥𝑥2−1 sin 𝑥𝑥𝑥𝑥+1

= lim𝑥𝑥→0

𝑥𝑥2−1𝑥𝑥+1

lim𝑥𝑥→0

sin 𝑥𝑥

= −1 0 = 0.

Limit perkalian

Substitusi dan A1

Latihan 1

Tentukan nilai limit berikut.

lim𝑡𝑡→0

cos2 𝑡𝑡1 + sin 𝑡𝑡

Limit-Limit Trigonometri Khusus

Teorema B1. lim

𝑥𝑥→0sin 𝑥𝑥𝑥𝑥

= 1 2. lim𝑥𝑥→0

1−cos 𝑥𝑥𝑥𝑥

Pembuktian Teorema B

Bukti Teorema B1 Pada pembuktian sebelumnya, kita telah menunjukkan

lim𝑥𝑥→0

cos 𝑥𝑥 = 1 dan lim𝑥𝑥→0

sin 𝑥𝑥 = 0

Untuk − ⁄𝜋𝜋 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ ⁄𝜋𝜋 2, 𝑥𝑥 ≠ 0, kita gambar ruas garis vertikal BP dan busur BC, seperti pada gambar di samping.Dari gambar kita dapat melihat bahwa

𝐿𝐿juring 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 ≤ 𝐿𝐿∆𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 ≤ 𝐿𝐿juring 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂

𝑥𝑥𝐶𝐶

Luas segitiga adalah setengah alas dikali tinggi, sedangkan luas juring dengan sudut pusat x dan berjari-jari r adalah 1

2𝑟𝑟2 𝑥𝑥 .

Sehingga,12cos 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 ≤ 1

2cos 𝑥𝑥 sin 𝑡𝑡 ≤ 1

212 𝑥𝑥

Dengan mengalikan semua ruas dengan ⁄2 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 , kita peroleh

cos 𝑥𝑥 ≤ sin 𝑥𝑥𝑥𝑥

≤ 1cos 𝑥𝑥

Karena bentuk ⁄sin 𝑥𝑥 𝑥𝑥 positif untuk − ⁄𝜋𝜋 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ ⁄𝜋𝜋 2, 𝑥𝑥 ≠ 0, maka ⁄sin 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = ⁄sin 𝑥𝑥 𝑥𝑥. Sehingga,

cos 𝑥𝑥 ≤sin 𝑥𝑥𝑥𝑥

cos 𝑥𝑥Karena limit fungsi-fungsi “terluar” di atas untuk x mendekati 0 sama dengan 1, maka dengan menggunakan Teorema Apit, kita peroleh

lim𝑥𝑥→0

sin 𝑥𝑥𝑥𝑥

Contoh 2

sin 5𝑥𝑥𝑥𝑥

PEMBAHASAN Dengan menggunakan teorema-teorema limit, kitaperoleh

lim𝑥𝑥→0

sin 5𝑥𝑥𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→0

5 � sin 5𝑥𝑥5𝑥𝑥

= 5 lim𝑥𝑥→0

sin 5𝑥𝑥5𝑥𝑥

= 5 lim𝑦𝑦→0

sin 𝑦𝑦𝑦𝑦

= 5 1 = 5

Kalikan dengan 5/5

Limit perkalian konstanta

Misal 𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥

Latihan 2

Tentukan nilai limit-limit trigonometri berikut.

(a) lim𝑥𝑥→0

sin 2𝑥𝑥3𝑥𝑥

(b) lim𝑡𝑡→0

1−cos 𝑡𝑡sin 𝑡𝑡

(c) lim𝑥𝑥→0

tan 3𝑥𝑥sin 𝑥𝑥

Pada gambar di samping, misalkan D adalah luas segitiga ABP dan E adalah luas daerah yang diarsir.

(a) Tebaklah lim𝑥𝑥→0+

𝐷𝐷𝐸𝐸

dengan melihat gambar di samping.

(b) Temukan rumus D/E dalam x.(c) Gunakan kalkulator untuk mendapat

perkiraan yang lebih akurat dari nilai lim𝑥𝑥→0+

𝐷𝐷𝐸𝐸.

𝑥𝑥

Limit di Tak Hingga;Limit Tak Hingga

Limit di Tak Hingga

Apa yang terjadi pada g(x) ketika nilai x semakin besar terus menerus?

5–5 0

–0,5

y𝑔𝑔 𝑥𝑥 =

𝑥𝑥𝑥𝑥2 + 1

Tabel Nilai-Nilai Fungsi

Dari tabel dapat dilihat bahwa g(x) semakin kecil ketika x semakin besar.

lim𝑥𝑥→∞

Dengan cara yang serupa dapat ditunjukkan bahwa

lim𝑥𝑥→−∞

𝑥𝑥𝑥𝑥2

𝑥𝑥2 + 110 0,0990100 0,01001.000 0,001010.000 0,0001

↓ ↓∞ ?

Definisi Formal Limit Ketika 𝑥𝑥 → ±∞

Limit Ketika 𝑥𝑥 → ∞ Misalkan f terdefinisi pada [a, ∞) untuk beberapa bilangan a. Kita mengatakan lim

𝑥𝑥→∞𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 jika untuk

setiap ε > 0 ada bilangan M sedemikian sehinggajika 𝑥𝑥 > 𝑀𝑀 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀

Limit Ketika 𝑥𝑥 → −∞ Misalkan f terdefinisi pada (–∞, a] untuk beberapa bilangan a. Kita mengatakan lim

𝑥𝑥→−∞𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 jika untuk

setiap ε > 0 ada bilangan M sedemikian sehinggajika 𝑥𝑥 < 𝑀𝑀 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀

Contoh 1

Tunjukkan bahwa jika k adalah bilangan bulat positif, maka

lim𝑥𝑥→∞

1𝑥𝑥𝑘𝑘

Analisis Pendahuluan Diberikan ε > 0. Kita akan menemukan bilangan M sedemikian sehingga

jika 𝑥𝑥 > 𝑀𝑀 maka 1𝑥𝑥𝑘𝑘− 0 < 𝜀𝜀

Pembahasan

Perhatikan bahwa1𝑥𝑥𝑘𝑘− 0 < 𝜀𝜀

1𝑥𝑥𝑘𝑘

< 𝜀𝜀

Misalkan kita pilih M > 0. Akibatnya x > 0. Sehingga

1𝑥𝑥𝑘𝑘< 𝜀𝜀

𝑥𝑥𝑘𝑘 > 1𝜀𝜀

𝑥𝑥 > 𝑘𝑘 ⁄1 𝜀𝜀Sehingga, kita akan memilih

𝑀𝑀 = 𝑘𝑘 ⁄1 𝜀𝜀

Pembahasan

Bukti Formal Misalkan diberikan 𝜀𝜀 > 0. Pilih 𝑀𝑀 = 𝑘𝑘 ⁄1 𝜀𝜀, sedemikian sehingga jika 𝑥𝑥 > 𝑀𝑀, maka

1𝑥𝑥𝑘𝑘− 0 = 1

𝑥𝑥𝑘𝑘< 1

𝑀𝑀𝑘𝑘 = 𝜀𝜀

Latihan 1

Buktikan bahwa

lim𝑥𝑥→−∞

1𝑥𝑥𝑘𝑘

Contoh 2

Buktikan bahwa

lim𝑥𝑥→∞

PEMBAHASAN Kita bagi pembilang dan penyebut dengan 𝑥𝑥berpangkat tertinggi yang muncul di penyebut, yaitu 𝑥𝑥2.

lim𝑥𝑥→∞

= lim𝑥𝑥→∞

1𝑥𝑥

1 + 1𝑥𝑥2

=lim𝑥𝑥→∞

1𝑥𝑥

lim𝑥𝑥→∞

1 + lim𝑥𝑥→∞

1𝑥𝑥2

1 + 0= 0

Latihan 2

Tentukan lim𝑥𝑥→−∞

3𝑥𝑥3

1−𝑥𝑥3.

Definisi

Limit Suatu Barisan Misalkan sn terdefinisi untuk semua bilangan asli lebih dari atau sama dengan beberapa bilangan a. Kita mengatakan bahwa lim

𝑛𝑛→∞𝑠𝑠𝑛𝑛 = 𝐿𝐿 jika untuk setiap ε > 0 ada bilangan

asli M sedemikian sehinggajika 𝑛𝑛 > 𝑀𝑀 maka 𝑠𝑠𝑛𝑛 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀

Latihan 3

Tentukan limit barisan berikut.

lim𝑛𝑛→∞

2𝑛𝑛 + 1𝑛𝑛 − 2

Limit Tak Hingga

Definisi Kita mengatakan bahwa lim𝑥𝑥→𝑎𝑎+

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ∞ jika untuk setiap bilangan positif M, ada δ > 0 sedemikian sehingga

jika 0 < 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 < 𝛿𝛿 maka 𝑓𝑓 𝑥𝑥 > 𝑀𝑀

Contoh 3

Tentukan lim𝑥𝑥→3+

1𝑥𝑥−3 2 dan lim

𝑥𝑥→3−1

𝑥𝑥−3 2.

PEMBAHASAN Ketika 𝑥𝑥 → 3+ penyebutnya tetap positif tetapi mendekati 0, sedangkan pembilanganya tetap 1. Sehingga ⁄1 𝑥𝑥 − 3 2

dapat dibuat besar dengan membatasi x untuk dekat, tetapi di kanan 3. Sehingga,

lim𝑥𝑥→3+

1𝑥𝑥−3 2 = ∞

Dengan alasan yang serupa

lim𝑥𝑥→3−

1𝑥𝑥−3 2 = ∞

0 2 4 6

y𝑦𝑦 =

1𝑥𝑥 − 3 2

Limit Tak Hingga & Asimtot

Garis 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 merupakan asimtot vertikal grafik 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 jika sembarang dari empat pernyataan berikut benar.1. lim

𝑥𝑥→𝑐𝑐+𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ∞ 2. lim

𝑥𝑥→𝑐𝑐+𝑓𝑓 𝑥𝑥 = −∞

3. lim𝑥𝑥→𝑐𝑐−

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ∞ 4. lim𝑥𝑥→𝑐𝑐−

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = −∞

Kekontinuan Fungsi

Kekontinuan di Suatu Titik

Definisi 1 Misalkan f terdefinisi pada selang buka yang memuat a. Fungsi fkontinu di a jika

Perhatikan bahwa definisi ini secara implisit memerlukan tiga hal untuk dipenuhi agar f kontinu di a:1. f(a) terdefinisi (yaitu, a berada di domain f)2. lim

𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑓𝑓 𝑥𝑥 ada

Contoh 1

Gambar di samping menunjukkan grafik fungsi f. Di mana sajakah f tidak kontinu? Mengapa?PEMBAHASAN Fungsi f tidak kontinu di 1 karena tidak terdefinisi di x = 1. Fungsi f tidak kontinu di 3 karena limitnya tidak ada. Fungsi f juga tidak kontinu di 5 karena

lim𝑥𝑥→5

𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≠ 𝑓𝑓 51 2 3 4 5 x

Latihan 1

Misalkan 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2−9𝑥𝑥−3

, 𝑥𝑥 ≠ 3. Bagaimana f didefinisikan di x = 3 agar f kontinu di 3?

Kontinu dari Kiri dan dari Kanan

Definisi 2 Suatu fungsi f kontinu dari kanan di a jikalim𝑥𝑥→𝑎𝑎+

Dan f kontinu dari kiri di a jikalim𝑥𝑥→𝑎𝑎−

Contoh 2

Untuk setiap bilangan bulat 𝑛𝑛, fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 (lihat gambar di samping) kontinu dari kanan tetapi tidak kontinu dari kiri karena

lim𝑥𝑥→𝑛𝑛+

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑛𝑛+

𝑥𝑥 = 𝑛𝑛 = 𝑓𝑓 𝑛𝑛 1 2 3 x–1

Kekontinuan pada Interval

Definisi 3 Suatu fungsi kontinu pada interval jika fungsi tersebut kontinu di setiap bilangan dalam interval tersebut. (Jika f terdefinisi hanya pada satu sisi titik ujung, maka yang dimaksud kontinu pada titik ujung tersebut berarti bahwa kontinu dari kiri atau kontinu dari kanan.)

Contoh 3

Tunjukkan bahwa fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 1 − 𝑥𝑥2 kontinu pada selang [–1, 1].PEMBAHASAN Jika –1 < a < 1, maka dengan menggunakan teorema-teorema limit

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

1 − 𝑥𝑥2

= lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

1− 𝑥𝑥2

= 1− 𝑎𝑎2

= 𝑓𝑓 𝑎𝑎Sehingga, berdasarkan definisi, f kontinu di a jika –1 < a < 1.

Pembahasan

Dengan menggunakan perhitungan yang serupa, diperoleh

lim𝑥𝑥→−1+

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 −1 , dan

lim𝑥𝑥→1−

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 1

sehingga f kontinu dari kanan di –1 dan kontinu dari kiri di 1. Akibatnya, berdasarkan Definisi 3, f kontinu pada [–1, 1].

–1 1

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 1− 𝑥𝑥2

Operasi-Operasi Fungsi

Teorema 4 Jika f dan g kontinu di a dan jika c adalah konstanta, maka fungsi-fungsi berikut juga kontinu di a.1. f + g 2. f – g 3. cf4. fg 5. f/g, jika g(a) ≠ 0

Pembuktian

Bukti Kelima bagian dari Teorema 4 dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema-teorema limit. Misalkan di sini kita akan membuktikan bagian pertama. Karena f dan g kontinu di a, maka

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎 , dan

𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑔𝑔 𝑎𝑎 .

Sehingga,lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥

𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑥𝑥

𝑓𝑓 𝑥𝑥 + lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑔𝑔 𝑥𝑥

= 𝑓𝑓 𝑎𝑎 + 𝑔𝑔 𝑎𝑎Hal ini menunjukkan bahwa f + gkontinu di a.

Fungsi-Fungsi Kontinu

Teorema 5 Jenis-jenis fungsi berikut kontinu di setiap bilangan dalam domainnya.• Fungsi polinomial• Fungsi rasional• Fungsi akar• Fungsi trigonometri

Latihan 2

Di interval-interval mana saja fungsi berikut kontinu?

𝑓𝑓 𝑥𝑥 =𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥2 − 4

Teorema Limit Fungsi Komposit

Teorema 6 Jika f kontinu di b dan lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏, maka lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑏𝑏 . Dengan kata lain

𝑓𝑓 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑔𝑔 𝑥𝑥

Secara khusus, jika g kontinu di a dan f kontinu di g(a), maka fungsi komposit 𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 kontinu di a.

Latihan 3

Dimanakah fungsi berikut kontinu?

𝐹𝐹 𝑥𝑥 =1

𝑥𝑥2 + 7− 4

Teorema Nilai Tengah

Teorema 7 Misalkan f kontinu pada selang tutup [a, b] dan misalkan N sembarang bilangan di antara f(a) dan f(b), dimana f(a) ≠ f(b). Maka ada bilangan c di dalam (a, b) sedemikian sehingga f(c) = N.

a bc1 c2 c3

Latihan 4

Tunjukkan bahwa ada akar persamaan x4 + x – 3 = 0 di antara 1 dan 2.

Turunan

Permasalahan Garis Singgung

0 a x x

P(a, f(a))

Q(x, f(x))

x – a

fx) – f(a)

y = f(x)

Garis Singgung

DEFINISI Garis singgung kurva y = f(x) pada titik P(a, f(a)) adalah garis yang melalui P dan bergradien

𝑚𝑚 = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎

𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑓𝑓 𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑎𝑎

Latihan

Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 2/x di titik (2, 1).x0

(2, 1)

y = 2/x

Permasalahan Kecepatan

Posisi ketika t = a

Posisi ketika t = a + h

f(a + h)

f(a + h) – f(a) sKecepatan rata-rata

𝑓𝑓 𝑎𝑎 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑎𝑎ℎ

Kecepatan Sesaat

Kecepatan sesaat adalah nilai limit dari kecepatan rata-rata:

𝑣𝑣 𝑎𝑎 = limℎ→0

Latihan

Sebuah mobil mula-mula bergerak dengan kecepatan 60 km/jam dan kemudian direm, sehingga posisinya dari awal pengereman dapat dimodelkan dengan

𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 60𝑡𝑡 − 5𝑡𝑡2

Tentukan kecepatan sesaat mobil tersebut 5 detik setelah pengereman.

Dua Bentuk Satu Makna

𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝑓𝑓 𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑎𝑎

limℎ→0

Turunan

DEFINISI Turunan suatu fungsi f pada bilangan a, dinotasikan dengan f’(a), adalah

𝑓𝑓′ 𝑎𝑎 = limℎ→0

Latihan

Tentukan turunan fungsi 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 + 3 di 𝑥𝑥 = 4.

Latihan

Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut di bilangan a.(a) 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 3− 5𝑥𝑥(b) 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 1(c) ℎ 𝑡𝑡 = 𝑥𝑥3 + 3𝑥𝑥(d) 𝐹𝐹 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥, 𝑥𝑥 > 0

Latihan

Masing-masing bentuk berikut ini merupakan turunan, tetapi turunan dari fungsi apa dan di bilangan mana?

(a) limℎ→0

4+ℎ 2−16ℎ

(b) lim𝑥𝑥→3

5𝑥𝑥−

𝑥𝑥−3

Jari-jari balon udara yang berbentuk bola bertambah dengan kecepatan 0,5 cm per detik. Jika jari-jarinya adalah 0 cm ketika t = 0, tentukan kecepatan perubahan volume balon udara tersebut pada saat t = 3.

Turunan Sebagai Suatu Fungsi

DEFINISI Turunan f didefinisikan sebagai berikut.

𝑓𝑓𝑓 𝑥𝑥 = limℎ→0

𝑓𝑓 𝑥𝑥 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑥𝑥ℎ

untuk sembarang nilai x yang membuat nilai limit tersebut ada.Catatan: Nilai f’ di x, yaitu f’(x), dapat diinterpretasikan secara geometris sebagai gradien garis singgung grafik f di titik (x, f(x)).

Contoh 1

Grafik fungsi f ditunjukkan pada gambar di samping. Gunakan gambar tersebut untuk mensketsa grafik f’.

y = f(x)

Pembahasan

Kita dapat memperkirakan nilai turunan pada sembarang x dengan menggambar garis singgung di titik (x, f(x)) kemudian memperkirakan gradiennya. Dengan memperkirakan turunan f di beberapa titik kemudian menghubungkannya dengan kurva harus, diperoleh grafik f’ seperti gambar di samping.

1 2 3 x

m = 0m = 1

y = f’(x)

Soal 1

(a) Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥, tentukan rumus untuk f’(x).(b) Ilustrasikan rumus ini untuk membandingkan grafik f dan f’.

Soal 2

Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥, carilah turunan f. Nyatakan domain f’.

Soal 3

Tentukan f’ jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 2−𝑥𝑥1+𝑥𝑥

Notasi-Notasi Lainnya

Jika kita gunakan notasi y = f(x) untuk menunjukkan bahwa xsebagai varibel bebas dan y sebagai variabel terikat, maka beberapa notasi alternatif turunan adalah sebagai berikut.

𝑓𝑓′ 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦′ =𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

=𝑑𝑑𝑓𝑓𝑑𝑑𝑥𝑥

=𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐷𝐷𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐷𝐷𝑥𝑥𝑓𝑓 𝑥𝑥

Jika kita ingin menunjukkan nilai turunan dalam notasi dy/dx (notasi Leibniz) pada bilangan tertentu a, maka kita tuliskan

�𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥=𝑎𝑎

atau �𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥=𝑎𝑎

Fungsi Terdiferensialkan

DEFINISI Fungsi f terdiferensialkan di a jika f’(a) ada. Fungsi tersebut terdiferensialkan di selang buka (a, b) [atau (a, ∞) atau (–∞, a) atau (–∞, ∞)] jika fungsi tersebut terdiferensialkan di semua titik dalam selang tersebut.

Soal 4

Dimanakah fungsi f(x) = |x| terdiferensialkan?

Terdiferensialkan Mengakibatkan Kekontinuan

TEOREMA Jika f terdiferensialkan di a, maka f kontinu di a.

Bagaimana Bisa Fungsi Tidak Terdiferensialkan

(a) Pojok (b) Tidak kontinu (c) Garis singgung vertikal

Turunan yang Lebih Tinggi

Jika f adalah fungsi yang terdiferensialkan, maka turunannya f’ juga merupakan suatu fungsi, sehingga f’ memiliki turunan sendiri, dan dinotasikan dengan (f’)’ = f”. Fungsi baru ini disebut dengan turunan kedua dari f. Dengan menggunakan notasi Leibniz, turunan kedua dari y = f(x) dapat dituliskan menjadi

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

=𝑑𝑑2𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥2

Soal 5

Jika 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥, cari dan interpretasikan f”(x).

EksplorasiDiberikan 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 dan 𝑥𝑥0 = 1.

(a) Gambarlah grafik y = f(x).(b) Tentukan bentuk

𝑓𝑓 𝑥𝑥 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑥𝑥ℎ

(c) Tentukan limit bentuk (b) ketika h mendekati 0.(d) Substitusi nilai 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 dan gambarlah grafik fungsi y = f(x) bersama dengan garis

singgungnya di titik tersebut.(e) Substitusikan beberapa nilai x yang lebih dari atau kurang dari x0 ke dalam rumus (c).

Apakah hasilnya masuk akal dengan grafiknya?(f) Gambarlah grafik yang diperoleh pada bagian (c). Apa artinya ketika nilainya negatif? Nol?

Positif? Apakah masuk akal dengan grafik pada bagian (a)? Berikan alasan.

Aturan-Aturan Turunan

Apa yang Telah Kalian Pelajari?

• Menentukan gradien garis singgung suatu kurva pada titik tertentu.

• Menentukan kecepatan sesaat suatu objek pada waktu tertentu.• Menggunakan definisi limit untuk menentukan turunan suatu

fungsi pada titik tertentu.• Menyatakan turunan sebagai suatu fungsi dengan menggunakan

definisi limit.• Memahami hubungan antara kekontinuan dan keterdiferensialan.

Apa yang Akan Kalian Pelajari?

• Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Fungsi Konstan.

• Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Pangkat.• Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Perkalian

Konstanta.• Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Fungsi

Konstan.• Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan

Penjumlahan dan Pengurangan.• Menentukan turunan suatu fungsi dengan menggunakan Aturan Hasil Kali

dan Hasil Bagi.

Fungsi Konstan

gradien = 0

Gambar di samping adalah grafik fungsi

konstan. Apakah turunan dari fungsi konstan?

Turunan Fungsi Konstan

TEOREMA 1 Turunan dari fungsi konstan adalah 0. Yaitu, jika cadalah bilangan real, maka

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑐𝑐 = 0

BUKTI Kita terapkan definisi turunan kepada f(x) = c, fungsi yang outputnya selalu konstanta c. Untuk setiap nilai x, diperoleh

𝑓𝑓′ 𝑑𝑑 = limℎ→0

𝑓𝑓 𝑑𝑑 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑑𝑑ℎ

= limℎ→0

𝑐𝑐 − 𝑐𝑐ℎ

= limℎ→0

Turunan Pangkat Bilangan Bulat Positif

TEOREMA 2 Jika n adalah bilangan bulat positif, maka𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛−1

Ekspansi Binomial

Sebelum membuktikan turunan bilangan bulat positif, kita akan cari pola dalam ekspansi binomial:

𝑑𝑑 + ℎ 2 = 𝑑𝑑2 + 2𝑑𝑑ℎ + ℎ2

𝑑𝑑 + ℎ 3 = 𝑑𝑑3 + 3𝑑𝑑2ℎ + 3𝑑𝑑ℎ2 + ℎ3

𝑑𝑑 + ℎ 4 = 𝑑𝑑4 + 4𝑑𝑑3ℎ + 6𝑑𝑑2ℎ2 + 4𝑑𝑑ℎ3 + ℎ4

𝑑𝑑 + ℎ 5 = 𝑑𝑑5 + 5𝑑𝑑4ℎ + 10𝑑𝑑3ℎ2 + 10𝑑𝑑2ℎ3 + 5𝑑𝑑ℎ4 + ℎ5

Secara umum, ekspansi binomial untuk suatu bilangan bulat positif n adalah

𝑑𝑑 + ℎ 𝑛𝑛 = 𝑑𝑑𝑛𝑛 + 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛−1ℎ + 𝑛𝑛 𝑛𝑛−1 𝑥𝑥𝑛𝑛−2

2ℎ2 +⋯+ ℎ𝑛𝑛.

Faktor persekutuan suku-suku ini adalah h2

Turunan Pangkat Bilangan Bulat Positif

BUKTI Jika n adalah bilangan bulat positif lebih dari 1, maka dengan menggunakan ekspansi binomial kita peroleh

𝑑𝑑𝑛𝑛 = limℎ→0

𝑥𝑥+ℎ 𝑛𝑛−𝑥𝑥𝑛𝑛

= limℎ→0

𝑥𝑥𝑛𝑛+𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛−1ℎ+𝑛𝑛 𝑛𝑛−1 𝑥𝑥𝑛𝑛−2

2 ℎ2+⋯+ℎ𝑛𝑛−𝑥𝑥𝑛𝑛

= limℎ→0

𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛−1 + 𝑛𝑛 𝑛𝑛−1 𝑥𝑥𝑛𝑛−2

2ℎ +⋯+ ℎ𝑛𝑛−1

= 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛−1 + 0 +⋯+ 0= 𝑛𝑛𝑑𝑑𝑛𝑛−1

Untuk kasus n = 1, pembuktian diserahkan kepada pembaca.

Aturan Pangkat

TEOREMA 3 Jika n adalah sembarang bilangan real, maka𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

untuk semua x dimana xn dan xn – 1 terdefinisi.

CONTOH 1

(a) Jika 𝑓𝑓 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑8, maka 𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑 = 8𝑑𝑑7.(b) Jika 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑100, maka 𝑦𝑦𝑓 = 100𝑑𝑑99.

(c) Jika 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡5, maka 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑= 5𝑡𝑡4

(d) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑟𝑟3 = 3𝑟𝑟2

Sekarang coba Uji Pemahaman 7

Aturan Perkalian Konstanta

TEOREMA 4 Jika c adalah suatu konstanta dan f adalah fungsi yang terdiferensialkan, maka

𝑐𝑐𝑓𝑓 𝑑𝑑 = 𝑐𝑐𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑓𝑓 𝑑𝑑

Aturan Perkalian Konstanta

BUKTI Misalkan g(x) = cf(x). Maka,

𝑔𝑔𝑓 𝑑𝑑 = limℎ→0

𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥ℎ

= limℎ→0

𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥ℎ

= limℎ→0

𝑐𝑐 𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐 𝑥𝑥ℎ

= 𝑐𝑐 limℎ→0

𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐 𝑥𝑥ℎ

= 𝑐𝑐𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑

Contoh 2Turunan berikut

𝟑𝟑𝑑𝑑2 = 𝟑𝟑 � 2𝑑𝑑 = 6𝑑𝑑

menyatakan bahwa jika kita mengalikan masing-masing koordinat-y dengan 3, maka kita juga mengalikan gradien garis singgung pada masing-masing titik dengan 3. 1 2–2 –1 0

3(1, 3)

(1, 1)

gradien = 2

gradien = 6

y = 3x2

y = x2

Aturan Penjumlahan dan Pengurangan

TEOREMA 5 Jumlah (atau selisih) dua fungsi-fungsi yang terdiferensialkan menghasilkan fungsi yang terdiferensialkan. Selain itu, turunan dari f + g (atau f – g) merupakan jumlah (atau pengurangan) dari turunan f dan g.

𝑓𝑓 𝑑𝑑 + 𝑔𝑔 𝑑𝑑 =𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑓𝑓 𝑑𝑑 +𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑔𝑔 𝑑𝑑

𝑓𝑓 𝑑𝑑 − 𝑔𝑔 𝑑𝑑 =𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑓𝑓 𝑑𝑑 −𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑔𝑔 𝑑𝑑

Aturan Penjumlahan

Aturan Pengurangan

Aturan Penjumlahan dan PenguranganBUKTI Misalkan F(x) = f(x) + g(x). Maka,

𝐹𝐹𝑓 𝑑𝑑 = limℎ→0

𝐹𝐹 𝑥𝑥+ℎ −𝐹𝐹 𝑥𝑥ℎ

= limℎ→0

𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ +𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ − 𝑐𝑐 𝑥𝑥 +𝑔𝑔 𝑥𝑥ℎ

= limℎ→0

+ 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥ℎ

= limℎ→0

+ limℎ→0

= 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑓𝑓 𝑑𝑑 + 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥𝑔𝑔 𝑑𝑑

Aturan Pengurangan dapat dibuktikan dengan cara yang serupa.

Contoh 3

Apakah kurva y = x4 – 2x2 + 2 memiliki garis singgung horizontal? Jika iya, dimana?PEMBAHASAN Garis singgung horizontal, jika ada, terjadi jika gradiennya nol. Padahal

𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑

= 4𝑑𝑑3 − 4𝑑𝑑

PembahasanSelanjutnya kita selesaikan persamaan dy/dx = 0:

4𝑑𝑑3 − 4𝑑𝑑 = 04𝑑𝑑 𝑑𝑑 + 1 𝑑𝑑 − 1 = 0

𝑑𝑑 = 0, −1, 1Jadi, kurva tersebut memiliki garis singgung horizontal di x = 0, –1, dan 1. Perhatikan gambar di samping.

(0, 2)

(1, 1)(–1, 1)

yy = x4 – 2x2 + 2

Sekarang coba Uji Pemahaman 12–14

Aturan Hasil Kali

TEOREMA 6 Jika f dan g keduanya terdiferensialkan, maka𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑓𝑓 𝑑𝑑 𝑔𝑔 𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑔𝑔 𝑑𝑑 + 𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑓𝑓 𝑑𝑑

Catatan: Aturan Hasil Kali tersebut juga sering dinyatakan dalam𝑢𝑢𝑢𝑢 ′ = 𝑢𝑢𝑢𝑢′ + 𝑢𝑢′𝑢𝑢

Aturan Hasil Kali

BUKTI Misalkan F(x) = f(x)g(x). Maka

= limℎ→0

𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥ℎ

Untuk menentukan nilai limit ini, kita akan memisahkan fungsi-fungsi f dan g seperti pada pembuktian di Aturan Penjumlahan.

Aturan Hasil Kali

Untuk memisahkan f dan g, kita jumlahkan dan kurangkan sukuf(x + h)g(x) pada pembilang.

𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 +𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 −𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥ℎ

= limℎ→0

𝑓𝑓 𝑑𝑑 + ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥ℎ

+ 𝑔𝑔 𝑑𝑑 𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ −𝑐𝑐 𝑥𝑥ℎ

= limℎ→0

𝑓𝑓 𝑑𝑑 + ℎ � limℎ→0

+ limℎ→0

𝑔𝑔 𝑑𝑑 � limℎ→0

= 𝑓𝑓 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑔𝑔 𝑑𝑑 + 𝑔𝑔 𝑑𝑑 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥𝑓𝑓 𝑑𝑑

Contoh 4Tentukan turunan dari F(x) = (x2 – 3)(x3 + 1).PEMBAHASAN(a) Dari Aturan Hasil Kali, kita peroleh

𝐹𝐹𝑓 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑2 − 3 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑑𝑑3 + 1 + 𝑑𝑑3 + 1 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑑𝑑2 − 3

= 𝑑𝑑2 − 3 3𝑑𝑑2 + 𝑑𝑑3 + 1 2𝑑𝑑= 3𝑑𝑑4 − 9𝑑𝑑2 + 2𝑑𝑑4 + 2𝑑𝑑 = 5𝑑𝑑4 − 9𝑑𝑑2 + 2𝑑𝑑

(b) Turunan F juga bisa ditentukan dengan mengalikan faktor-faktornya terlebih dahulu: F(x) = (x2 – 3)(x3 + 1) = x5 – 3x3 + x2 – 3. Sehingga

𝐹𝐹𝑓 𝑑𝑑 = 5𝑑𝑑4 − 9𝑑𝑑2 + 2𝑑𝑑 Sekarang coba Uji Pemahaman 11

Gambaran Aturan Hasil KaliMisalkan f(x) dan g(x) positif dan nilainya naik ketika x naik, dan h > 0. Maka, perubahan fg merupakan selisih luas “persegi” yang lebih besar dengan yang lebih kecil, yang sama dengan jumlah dari luas persegi panjang merah bagian atas dan kanan.

∆𝑓𝑓𝑔𝑔 = 𝑓𝑓 𝑑𝑑 + ℎ 𝑔𝑔 𝑑𝑑 + ℎ − 𝑓𝑓 𝑑𝑑 𝑔𝑔 𝑑𝑑

= 𝑓𝑓 𝑑𝑑 + ℎ ∆𝑔𝑔 + 𝑔𝑔 𝑑𝑑 ∆𝑓𝑓

Dengan membagi bentuk tersebut dengan h, diperoleh∆𝑐𝑐𝑔𝑔ℎ

= 𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ ∆𝑔𝑔+𝑔𝑔 𝑥𝑥 ∆𝑐𝑐ℎ

Limit bentuk tersebut untuk ℎ → 0+ akan menghasilkan Aturan Hasil Kali.

f(x) f(x + h)

g(x + h)Δg

f(x)g(x)

f(x + h)Δg

g(x)Δf

Aturan Hasil Bagi

TEOREMA 7 Jika f dan g terdiferensialkan, maka

𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑔𝑔 𝑑𝑑

=𝑔𝑔 𝑑𝑑 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓 𝑑𝑑 − 𝑓𝑓 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑔𝑔 𝑑𝑑

𝑔𝑔 𝑑𝑑 2

Catatan: Aturan Hasil Kali tersebut juga sering dinyatakan dalam𝑢𝑢𝑢𝑢

′=𝑢𝑢𝑓𝑢𝑢 − 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑓

𝑢𝑢2

Aturan Hasil Bagi

BUKTI Misalkan F(x) = f(x)/g(x). Maka

= limℎ→0

𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −

= limℎ→0

𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 −𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎℎ𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥

Selanjutnya kita akan memisahkan f dan g.

Aturan Hasil Bagi

Pemisahan f dan g dapat dilakukan dengan menjumlahkan dan mengurangkan bentuk f(x)g(x) pada pembilang.

𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 −𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎℎ𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥

= limℎ→0

𝑐𝑐 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 −𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 +𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 −𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎℎ𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥

= limℎ→0

𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ −𝑓𝑓 𝑥𝑥ℎ −𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥

ℎ𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ 𝑔𝑔 𝑥𝑥

=limℎ→0

𝑔𝑔 𝑥𝑥 �limℎ→0

𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ −𝑓𝑓 𝑥𝑥ℎ −lim

ℎ→0𝑐𝑐 𝑥𝑥 �lim

ℎ→0𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ −𝑔𝑔 𝑥𝑥

ℎlimℎ→0

𝑔𝑔 𝑥𝑥+ℎ �limℎ→0

𝑔𝑔 𝑥𝑥=

𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥𝑐𝑐 𝑥𝑥 −𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥𝑔𝑔 𝑥𝑥

𝑔𝑔 𝑥𝑥 2

Contoh 5

Misalkan 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2−𝑥𝑥−6𝑥𝑥3+5

, maka

𝑦𝑦𝑓 =𝑥𝑥3+5 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥2−𝑥𝑥−6 − 𝑥𝑥2−𝑥𝑥−6 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥3+5

𝑥𝑥3+5 2

= 𝑥𝑥3+5 2𝑥𝑥−1 − 𝑥𝑥2−𝑥𝑥−6 3𝑥𝑥2

𝑥𝑥3+5 2

= 2𝑥𝑥4−𝑥𝑥3+10𝑥𝑥−5 − 3𝑥𝑥4−3𝑥𝑥3−18𝑥𝑥2

𝑥𝑥3+5 2

= −𝑥𝑥4+2𝑥𝑥3+18𝑥𝑥2+10𝑥𝑥−5𝑥𝑥3+5 2

Pembahasan

Kita dapat menggunakan kalkulator grafik untuk memeriksa jawaban Contoh 8 masuk akal. Gambar di samping menunjukkan grafik fungsi pada Contoh 5 dan turunannya. Perhatikan bahwa ketika y naik dengan cepat (di dekat –2), y’bernilai besar. Dan ketika y naik secara perlahan, y’ dekat dengan 0.

Rangkuman

𝑐𝑐 = 0 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑐𝑐𝑓𝑓 ′ = 𝑐𝑐𝑓𝑓𝑓 𝑓𝑓 + 𝑔𝑔 ′ = 𝑓𝑓′ + 𝑔𝑔𝑓 𝑓𝑓 − 𝑔𝑔 ′ = 𝑓𝑓′ − 𝑔𝑔𝑓

𝑓𝑓𝑔𝑔 ′ = 𝑓𝑓𝑔𝑔′ + 𝑔𝑔𝑓𝑓𝑓 𝑐𝑐𝑔𝑔

′= 𝑔𝑔𝑐𝑐′+𝑐𝑐𝑔𝑔′

𝑔𝑔2

Turunan Fungsi-Fungsi Trigonometri

Fungsi Sinus

π/2 π 2π0

y = f(x) = sin x

y = f’(x)

Apakah turunan fungsi sinus?

Menemukan Turunan Fungsi SinusMisalkan f(x) = sin x. Maka

𝑓𝑓𝑓 𝑥𝑥 = limℎ→0

𝑓𝑓 𝑥𝑥+ℎ −𝑓𝑓 𝑥𝑥ℎ

= limℎ→0

sin 𝑥𝑥+ℎ −sin 𝑥𝑥ℎ

= limℎ→0

sin 𝑥𝑥 cos ℎ+cos 𝑥𝑥 sin ℎ−sin 𝑥𝑥ℎ

= limℎ→0

sin 𝑥𝑥 cos ℎ−sin 𝑥𝑥ℎ

+ cos 𝑥𝑥 sin ℎℎ

= limℎ→0

sin 𝑥𝑥 cos ℎ−1ℎ

+ cos 𝑥𝑥 sin ℎℎ

= limℎ→0

sin 𝑥𝑥 � limℎ→0

cos ℎ−1ℎ

+ limℎ→0

cos 𝑥𝑥 � limℎ→0

sin ℎℎ

= sin 𝑥𝑥 0 + cos 𝑥𝑥 1 = cos 𝑥𝑥

Definisi turunan

Substitusi f(x) = sin x

Identitas penjumlahan sudut

Pisahkan

Faktorkan

Limit Perkalian

Sederhanakan

Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus

TEOREMA 1 Fungsi-fungsi f(x) = sin x dan g(x) = cos x keduanya terdiferensialkan, dan

sin 𝑥𝑥 = cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

cos 𝑥𝑥 = − sin 𝑥𝑥

Latihan 1

Tentukan turunan dari 𝑦𝑦 = 5 sin 𝑥𝑥 − 7 cos 𝑥𝑥.

Menemukan Turunan Fungsi Tangen

Dengan menggunakan Aturan Hasil Bagi, kita bisa mendapatkan𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

tan 𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

sin 𝑥𝑥cos 𝑥𝑥

=cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑 sin 𝑥𝑥−sin 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 cos 𝑥𝑥

cos2 𝑥𝑥

= cos 𝑥𝑥�cos 𝑥𝑥−sin 𝑥𝑥 − sin 𝑥𝑥cos2 𝑥𝑥

= cos2 𝑥𝑥+sin2 𝑥𝑥cos2 𝑥𝑥

= 1cos2 𝑥𝑥

= sec2 𝑥𝑥

Identitas trigonometri

Aturan Hasil Bagi

Turunkan

Sederhanakan

Identitas trigonometri

Turunan Fungsi Trigonometri Lainnya

Teorema 2 Untuk semua x dalam domain fungsi,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

tan 𝑥𝑥 = sec2 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

cot 𝑥𝑥 = − csc2 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

sec 𝑥𝑥 = sec 𝑥𝑥 tan 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

csc 𝑥𝑥 = − csc 𝑥𝑥 cot 𝑥𝑥

Latihan 2

Tentukan turunan 𝑓𝑓 𝑥𝑥 =sec 𝑥𝑥

1+tan 𝑥𝑥. Tentukan semua nilai x

yang membuat grafik f memiliki garis singgung horizontal.

–π π x

y = f(x)

Latihan 3

Suatu objek di ujung sebuah pegas ditarik sejauh 4 cm dari posisi istirahatnya dan dilepaskan pada waktu t = 0. (perhatikan gambar di samping.) Posisi objek tersebut pada waktu t adalah

𝑠𝑠 = 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = 4 cos 𝑡𝑡Tentukan kecepatan dan percepatan pada saat t dan gunakan hasilnya untuk menganalisis gerak objek tersebut.

Latihan 4

Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat fungsi yang tidak diketahui dan turunan-turunannya. Perhatikan persamaan diferensial berikut.

𝑦𝑦𝑦 𝑡𝑡 + 𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 0(a) Tunjukkan bahwa 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴 sin 𝑡𝑡 memenuhi persamaan tersebut untuk

sembarang konstanta A.(b) Tunjukkan bahwa 𝑦𝑦 = 𝐵𝐵 cos 𝑡𝑡 memenuhi persamaan tersebut untuk

sembarang konstanta B.(c) Tunjukkan bahwa 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴 sin 𝑡𝑡 + 𝐵𝐵 cos 𝑡𝑡 memenuhi persamaan tersebut

untuk sembarang konstanta A dan B.

Latihan 5

Turunan sinn x Tentukan turunan-turunan berikut dengan menggunakan Aturan Hasil Kali.

(a) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

sin2 𝑥𝑥 (b) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

sin3 𝑥𝑥 (c) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

sin4 𝑥𝑥

(d) Berdasarkan jawaban pada bagian (a) – (c), buatlah dugaan mengenai 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑥𝑥sin𝑛𝑛 𝑥𝑥 .

Aturan Rantai

Turunan Fungsi Komposit

Fungsi 𝑦𝑦 = 23𝑥𝑥 = 1

32𝑥𝑥 merupakan komposisi dari fungsi 𝑦𝑦 = 1

3𝑢𝑢

dan 𝑢𝑢 = 2𝑥𝑥. Padahal,𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑= 2

3, 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑= 1

3, dan 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑= 2.

Karena 23= 1

3� 2, kita dapat melihat dalam kasus ini bahwa

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑= 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

B: u putaran

C: y putaranA: x putaran

CONTOH 1

Fungsi y = (2x2 – 1)2 merupakan komposisi dari fungsi y = f(u) = u2

dan u = g(x) = 2x2 – 1. Kita tentukan turunan fungsi komposit tersebut, dan diperoleh

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑= 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

= 2𝑢𝑢 � 4𝑥𝑥= 2 2𝑥𝑥2 − 1 � 4𝑥𝑥= 16𝑥𝑥3 − 8𝑥𝑥

Turunan y = (2x2 – 1)2 juga dapat ditentukan dengan mengekspansi (2x2 – 1)2 = 4x4 – 4x2 + 1. Sehingga kita peroleh

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑= 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑑𝑑4𝑥𝑥4 − 4𝑥𝑥2 + 1

= 16𝑥𝑥3 − 8𝑥𝑥

Aturan Rantai

Aturan Rantai Jika f(u) terdiferensialkan di titik u = g(x) dan g(x) terdiferensialkan di x, maka fungsi komposit (f ∘ g)(x) = f(g(x)) terdiferensialkan di x, dan

𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔 ′ 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓′ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ⋅ 𝑔𝑔′ 𝑥𝑥Dalam notasi Leibniz, jika y = f(u) dan u = g(x), maka

𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥

=𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑢𝑢

⋅𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑𝑥𝑥

dimana dy/du ditentukan di u = g(x).

Latihan 1

Jika 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 , dimana grafik f ditunjukkan pada gambar di samping, tentukan g’(4) dan g’(–2).

y = f(x)

Latihan 2

Sebuah objek bergerak di sepanjang sumbu-x sedemikian sehingga posisinya pada sembarang waktu t ≥ 0 diberikan oleh persamaan

𝑥𝑥 𝑡𝑡 = sin 𝑡𝑡2 + 1Tentukan kecepatan objek tersebut sebagai fungsi terhadap t.

Contoh 2

Aturan Luar-Dalam Tentukan turunan sin(x2 + x) terhadap x.PEMBAHASAN Kita langsung gunakan Aturan Rantai untuk memperoleh

sin 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 = cos 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 ⋅ 2𝑥𝑥 + 1

Fungsi dalam

Fungsi dalam tetap

Turunan fungsi dalam

Latihan 3

Penggunaan Berulang Aturan Rantai Tentukan turunan fungsi berikut.

𝑓𝑓 𝑡𝑡 = tan 3 + cos 5𝑡𝑡

Aturan Rantai untuk Fungsi Pangkat

Aturan Pangkat dan Aturan Rantai Jika n adalah sembarang bilangan real dan u = g(x) terdiferensialkan, maka

𝑢𝑢𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑢𝑢𝑛𝑛−1𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑𝑥𝑥

Atau dapat dituliskan menjadi𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 ⋅ 𝑔𝑔′ 𝑥𝑥

Latihan 3

Tentukan turunan dari fungsi berikut.

𝑔𝑔 𝑡𝑡 =1− 3𝑡𝑡3 + 𝑡𝑡

Bagaimana Pembuktian Aturan Rantai?

Analisis Pendahuluan Misalkan y = f(x) dan x berubah dari a ke a + Δx, kita definisikan perubahan y sebagai

Δ𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎 + Δ𝑥𝑥 − 𝑓𝑓 𝑎𝑎Berdasarkan definisi turunan,

limΔ𝑑𝑑→0

∆𝑑𝑑∆𝑑𝑑= 𝑓𝑓′ 𝑎𝑎

Sehingga jika kita notasikan selisih Δy/Δx dan f’(a) sebagai ε, kita peroleh

limΔ𝑑𝑑→0

𝜀𝜀 = limΔ𝑑𝑑→0

∆𝑑𝑑∆𝑑𝑑− 𝑓𝑓′ 𝑎𝑎

= 𝑓𝑓′ 𝑎𝑎 − 𝑓𝑓′ 𝑎𝑎 = 0

Tetapi

𝜀𝜀 =∆𝑦𝑦∆𝑥𝑥 − 𝑓𝑓′ 𝑎𝑎 ⇒ ∆𝑦𝑦 = 𝑓𝑓′ 𝑎𝑎 ∆𝑥𝑥 + 𝜀𝜀∆𝑥𝑥

Jika kita definisikan ε sama dengan nol ketika Δx = 0, maka ε menjadi fungsi yang kontinu terhadap Δx. Sehingga untuk fungsi f yang terdiferensialkan, kita dapat menulis

∆𝑦𝑦 = 𝑓𝑓′ 𝑎𝑎 ∆𝑥𝑥 + 𝜀𝜀∆𝑥𝑥 Persamaan 1

dimana 𝜀𝜀 → 0 ketika ∆𝑥𝑥 → 0 dan εmerupakan fungsi kontinu terhadap Δx.

Pembuktian Aturan Rantai Misalkan u = g(x) terdiferensialkan di adan y = f(u) terdiferensialkan di b = g(a). Jika Δx adalah perubahan di x dan Δu dan Δy merupakan perubahan di u dan y yang bersesuaian, maka kita dapat menuliskan

∆𝑢𝑢 = 𝑔𝑔′ 𝑎𝑎 ∆𝑥𝑥 + 𝜀𝜀1∆𝑥𝑥 = 𝑔𝑔′ 𝑎𝑎 + 𝜀𝜀1 ∆𝑥𝑥 Persamaan 2

dimana 𝜀𝜀1 → 0 ketika ∆𝑥𝑥 → 0. Dengan cara yang serupa,∆𝑦𝑦 = 𝑓𝑓′ 𝑏𝑏 ∆𝑢𝑢 + 𝜀𝜀2∆𝑢𝑢 = 𝑓𝑓′ 𝑏𝑏 + 𝜀𝜀2 ∆𝑢𝑢 Persamaan 3

dimana 𝜀𝜀2 → 0 ketika ∆𝑥𝑥 → 0.

Jika kita substitusi bentuk Δu dari persamaan 2 ke persamaan 3, kita peroleh∆𝑦𝑦 = 𝑓𝑓′ 𝑏𝑏 + 𝜀𝜀2 𝑔𝑔′ 𝑎𝑎 + 𝜀𝜀1 ∆𝑥𝑥

Sehingga∆𝑑𝑑∆𝑑𝑑= 𝑓𝑓′ 𝑏𝑏 + 𝜀𝜀2 𝑔𝑔′ 𝑎𝑎 + 𝜀𝜀1

Ketika ∆𝑥𝑥 → 0 persamaan 2 menunjukkan bahwa ∆𝑢𝑢 → 0 juga. Sehingga 𝜀𝜀1 →0 dan 𝜀𝜀2 → 0 ketika ∆𝑥𝑥 → 0. Oleh karena itu

𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

= lim∆𝑑𝑑→0

∆𝑑𝑑∆𝑑𝑑= lim

∆𝑑𝑑→0𝑓𝑓′ 𝑏𝑏 + 𝜀𝜀2 𝑔𝑔′ 𝑎𝑎 + 𝜀𝜀1

= 𝑓𝑓′ 𝑏𝑏 𝑔𝑔′ 𝑎𝑎 = 𝑓𝑓′ 𝑔𝑔 𝑎𝑎 ′𝑔𝑔 𝑎𝑎Kita telah membuktikan Aturan Rantai.

Pemecahan Masalah

Piston Roda Perhatikan piston roda pada gambar di samping. Roda tersebut memiliki jari-jari 10 cm dan berputar berlawanan arah jarum jam pada kecepatan 2 radian per detik. Batang besi yang menghubungkan roda dan kepala piston tersebut panjangnya 50 cm. Pada waktu t = 0, titik Pberkoordinat di (10, 0).(a) Tentukan koordinat P pada waktu t.(b) Tentukan koordinat-y titik Q pada waktu t (koordinat-x

titik Q selalu nol).(c) Tentukan kecepatan Q pada waktu t. (Gunakan fakta

bahwa 𝐷𝐷𝑑𝑑 𝑢𝑢 = 12 𝑑𝑑

(10, 0)x

Turunan Implisit

Fungsi Terdefinisi Implisit

Beberapa fungsi didefinisikan secara implisit sebagai suatu relasi antara x dan y:

𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 25, 𝑦𝑦2 − 𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥3 + 𝑦𝑦3 = 9𝑥𝑥𝑦𝑦

Grafik Fungsi Implisit

4–4 0

𝑦𝑦1 = 𝑓𝑓1 𝑥𝑥

𝑦𝑦1 = 25− 𝑥𝑥2

𝑦𝑦1 = − 25 − 𝑥𝑥2

–5 50 x

𝑦𝑦1 = 𝑥𝑥

𝑦𝑦1 = − 𝑥𝑥

Contoh 1

Tentukan ⁄𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 dari 𝑦𝑦2 − 𝑥𝑥 = 0.PEMBAHASAN Persamaan 𝑦𝑦2 − 𝑥𝑥 = 0 mendefinisikan dua fungsi yang terdiferensialkan terhadap x, yaitu 𝑦𝑦1 = 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦2 = − 𝑥𝑥. Sehingga turunan kedua fungsi ini adalah

𝑑𝑑𝑦𝑦1𝑑𝑑𝑑𝑑

= 12 𝑑𝑑

dan 𝑑𝑑𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑑𝑑

= − 12 𝑑𝑑

Pembahasan

Turunan y terhadap x juga dapat ditentukan tanpa kita harus mengetahui persamaan fungsinya. Dengan menurunkan kedua ruas kita peroleh

𝑦𝑦2 − 𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

0𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑦𝑦2 − 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑥𝑥 = 0

2𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑− 1 = 0𝑑𝑑𝑦𝑦𝑑𝑑𝑑𝑑= 1

2𝑦𝑦

Latihan 1

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 25 di titik (3, –4).

Turunan Implisit

PROSEDUR Langkah-langkah berikut digunakan untuk menentukan turunan implisit.(1) Turunkan kedua ruas terhadap x, anggap y sebagai fungsi

terdiferensialkan terhadap x.(2) Asingkan suku-suku dy/dx pada satu ruas persamaan,

kemudian selesaikan dy/dx.

Latihan 2

Tentukan dy/dx jika𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥2 + sin 𝑥𝑥𝑦𝑦

𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥2 + sin 𝑥𝑥𝑦𝑦

Latihan 3

Tentukan ⁄𝑑𝑑2𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥2 jika 2𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥2 = 8.

Apakah ada yang spesial dari garis singgung kurva 𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥3 dan 2𝑥𝑥2 +3𝑥𝑥2 = 5 di titik 1,±1 ? Berikan alasan.

𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥3

2𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥2 = 5

(1, –1)

(1, 1)

Nilai Maksimum dan Minimum

Pertanyaan Awal

Apa yang dapat kalian amati pada grafik f ketika x = 1 dan 5?

y = f(x)

Maksimum dan Minimum Absolut

DEFINISI Misalkan c adalah bilangan dalam doman D fungsi f. Maka f(c) merupakan• Nilai maksimum absolut dari f di D jika f(c) ≥ f(x)

untuk semua x di D.• Nilai minimum absolut dari f di D jika f(c) ≤ f(x)

untuk semua x di D.

Nilai maksimum dan minimum disebut sebagai nilai ekstrem.

Contoh 1

2–2 0

y = x2 pada (–∞, ∞)Hanya min absolut

y = x2 pada [0, 2]Maks dan min absolut

y = x2 pada (0, 2]Hanya maks absolut

y = x2 pada (0, 2)Tidak ada maks/min

absolut

Teorema Nilai Ekstrem

TEOREMA 1 Jika f kontinu pada selang tutup [a, b], maka f memiliki nilai maksimum absolut f(c) dan nilai minimum absolut f(d) untuk beberapa bilangan c dan d di [a, b].

Latihan 1

Tentukan nilai ekstrem absolut fungsi f dan g di samping. Apakah kedua fungsi tersebut memenuhi Teorema Nilai Ekstrem?

–1 10

y = f(x)

–1 10

y = g(x)

Maksimum dan Minimum Lokal

DEFINISI Misalkan c adalah bilangan dalam domain D fungsi f. Maka f(c) merupakan• Nilai maksimum lokal dari f jika f(c) ≥

f(x) untuk semua x dalam beberapa selang buka yang memuat c.

• Nilai minimum lokal dari f jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x dalam beberapa selang buka yang memuat c.

c2c1 c3 x

yMaks lokal

Min lokal Min

Teorema Turunan Pertama untuk Nilai-Nilai Ekstrim Lokal

TEOREMA 2 Jika f memiliki nilai maksimum atau minimum lokal di cdan f’(c) ada, maka f’(c) = 0.

Calon Titik Ekstrim Lokal

a bc d e

f’(d) = 0

f’(e) tidak ada

f’(c) tidak ada

Titik Kritis

DEFINISI Titik kritis suatu fungsi f adalah c dalam domain fsedemikian sehingga f’(c) = 0 atau f’(c) tidak ada.

Latihan 2

Tentukan titik-titik kritis fungsi fberikut pada [–3, 3].

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 𝑥𝑥 + 3–4 4

Menentukan Maksimum dan Minimum Absolut

METODE SELANG TUTUP Penentuan nilai maksimum dan minimum absolut fungsi kontinu pada selang tutup [a, b] dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut.1. Tentukan nilai f di titik-titik kritis pada (a, b).2. Tentukan nilai f di titik-titik ujung selang [a, b].3. Nilai terbesar dari nilai-nilai pada Langkah 1 dan 2 merupakan

nilai maksimum absolut; nilai terkecil dari nilai-nilai tersebut merupakan nilai minimum absolut.

Latihan 3

Tentukan nilai maksimum dan minimum absolut fungsi f pada Latihan 2.

Setiap Detik Berharga Anda harus pergi dari titik P untuk menolong seseorang yang akan tenggelam dalam danau, yang posisinya 50 m dari titik Q di pantai dan titik tersebut terletak 50 m dari posisi Anda, perhatikan gambar di samping. Jika Anda dapat berlari dengan kecepatan 4 m/s dan berenang dengan kecepatan 2 m/s, di titik manakah seharusnya Anda mulai berenang?

50 mx50 – x

Turunan dan Grafik Fungsi

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

DEFINISI Suatu fungsi f dikatakan naik pada selang I jika

𝑓𝑓 𝑥𝑥1 < 𝑓𝑓 𝑥𝑥2 ketika 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 dalam ISuatu fungsi f dikatakan turun pada selang I jika

𝑓𝑓 𝑥𝑥1 > 𝑓𝑓 𝑥𝑥2 ketika 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 dalam I

f turun: f(x1) > f(x2) ketika x1 < x2

x1 x20 x

yy = f(x)

x1 x20 x

yy = f(x)

f naik: f(x1) < f(x2) ketika x1 < x2

Apa yang Ditunjukkan f’ Tentang f?

Uji Naik/Turun

Teorema 1(a) Jika f’(x) > 0 pada suatu selang, maka f naik pada selang

tersebut.(b) Jika f’(x) < 0 pada suatu selang, maka f turun pada selang

tersebut.

Uji Naik/Turun

Bukti(a) Misalkan x1 dan x2 sembarang dua

bilangan dalam suatu selang dengan x1 < x2. Berdasarkan definisi fungsi naik, kita akan tunjukkan bahwa f(x1) < f(x2).Karena f’(x) > 0, maka fterdiferensialkan dalam [x1, x2]. Sehingga berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, ada bilangan c di antara x1 dan x2 sedemikian

sehinggaf(x2) – f(x1) = f’(c)(x2 – x1)

Karena f’(c) > 0 dan (x2 – x1) > 0, maka ruas kanan persamaan sebelumnya positif.

f(x2) – f(x1) > 0 atauf(x2) > f(x1)

Sehingga f fungsi naik.(b) Bagian (b) dapat dibuktikan

dengan cara serupa.

Latihan 1

Tentukan di mana fungsi f(x) = x4 – 2x2 + 3 naik dan di mana fungsi tersebut turun.

Nilai-Nilai Ekstrem Lokal

Teorema 2 Uji Turunan PertamaMisalkan c adalah titik kritis fungsi kontinu f.(a) Jika f’ berubah dari positif ke negatif di c, maka f memiliki

maksimum lokal di c.(b) Jika f’ berubah dari negatif ke positif di c, maka f memiliki

minimum lokal di c.(c) Jika f’ positif di kiri dan kanan c, atau negatif di kiri dan kanan c,

maka f tidak memiliki lokal maksimum atau minimum di c.

Ilustrasi Uji Turunan Pertama

(a) Maksimum lokal (b) Minimum lokal (c) Tidak ada maks atau min

(d) Tidak ada maks atau min

f’(x) > 0f’(x) > 0

f’(x) > 0

f’(x) < 0f’(x) < 0

f’(x) < 0 f’(x) < 0

f’(x) > 0

Latihan 2

Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal fungsi f pada Latihan 1.

Kecekungan

DEFINISI Grafik fungsi terdiferensialkan y = f(x)(a) terbuka ke atas pada selang I

jika f’ naik pada I;(b) terbuka ke bawah pada selang I

jika f’ turun pada I.0 x

y = x3

f’ turun

f’ naik

Uji Kecekungan

Teorema 3(a) Jika f”(x) > 0 untuk semua x

dalam I, maka grafik f terbuka ke atas pada I.

(b) Jika f”(x) < 0 untuk semua xdalam I, maka grafik f terbuka ke bawah pada I.

y = x2

y” > 0 y” > 0

Titik Belok

DEFINISI Titik P pada kurva y = f(x) disebut titik belok jika f kontinu di titik tersebut, dan kecekungan kurvanya berubah (dari terbuka ke atas menjadi terbuka ke bawah, atau sebaliknya).

Latihan 3

Sketsalah grafik fungsi f yang memenuhi kondisi-kondisi berikut.(a) f(0) = 0, f(2) = 3, f(4) = 6, f’(0) = f’(4) = 0.(b) f”(x) > 0 untuk x < 1 dan f”(x) < 0 untuk x > 1.

Uji Turunan Kedua

Teorema 4 Misalkan f” kontinu di dekat c.(a) Jika f’(c) = 0 dan f”(c) > 0, maka f memiliki minimum lokal di c.(b) Jika f’(c) = 0 dan f”(c) < 0, maka f memiliki maksimum lokal di c.

Latihan 4Sketsa grafik fungsi

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥4 − 4𝑥𝑥3 + 10dengan langkah-langkah berikut.(a) Tentukan dimana ekstrim f terjadi.(b) Tentukan selang ketika f naik dan selang ketika f turun.(c) Tentukan dimana grafik f terbuka ke atas dan di mana f terbuka ke

bawah.(d) Sketsa bentuk umum grafik f.(e) Plot beberapa titik, misalkan titik-titik maksimum dan minimum lokal, titik-

titik belok, dan titik-titik potong sumbu-x dan sumbu-y.

Rangkuman Sketsa Grafik

Panduan Sketsa Grafik y = f(x)

1. Domain. Tentukan domain Ddari f, yaitu himpunan nilai-nilai x dimana f didefinisikan.

2. Simetri. Gunakan kesimetrian fungsi. Apakah ffungsi genap? Fungsi ganjil?

3. Turunan pertama dan kedua. Informasi ini berguna untuk menentukan nilai

ekstrem, kecekungan, titik belok, dan selang naik/turun.

4. Titik kritis dan titik belok.Tentukan titik-titik dimana f’(x) = 0 atau f’(x) tidak terdefinisi. Tentukan titik-titik dimana f”(x) = 0 atau f”(x) tidak terdefinisi.

5. Selang naik/turun dan terbuka ke atas/bawah.Turunan pertama digunakan untuk menentukan selang naik/turun. Turunan kedua digunakan untuk menentukan selang terbuka ke atas/bawah.

6. Nilai ekstrem dan titik belok.

Gunakan turunan pertama atau kedua untuk mengklasifikasi titik-titik kritis.

7. Asimtot dan perilaku ujung.Asimtot vertikal sering muncul ketika penyebutnya nol. Tentukan limit x → ±∞ untuk menentukan asimtot horizontal.

8. Titik potong. Tentukan titik potong grafik dengan sumbu-y dengan mensub-stitusi x = 0. Titik potong sumbu-x dapat dicari dengan menyelesaikan f(x) = 0.

9. Sketsa grafik. Dengan menggunakan semua informasi 1–8, sketsalah grafik fungsi yang diberikan.

Contoh 1

Pemanasan Berikut ini merupakan informasi mengenai turunan pertama dan kedua fungsi f yang kontinu pada (−∞, ∞). Rangkumlah informasi tersebut dengan garis bilangan, dan sketsalah kemungkinan grafik fungsi f.

f’ < 0, f” > 0 pada (−∞, 0) f’ > 0, f” > 0 pada (0, 1)f’ > 0, f” < 0 pada (1, 2) f’ < 0, f” < 0 pada (2, 3)f’ < 0, f” > 0 pada (3, 4) f’ > 0, f” > 0 pada (4, ∞)

Garis Bilanganf’ < 0, f” > 0

TurunTer. ke atas

f’ > 0, f” > 0Naik

Ter. ke atas

f’ > 0, f” < 0Naik

Ter. ke bawah

f’ < 0, f” < 0Turun

Ter. ke bawah

f’ < 0, f” > 0Turun

Ter. ke atas

f’ > 0, f” > 0Naik

Ter. ke atas

0 1 2 3 4

Minimum lokal

Maksimum lokal

Minimum lokal

Titik belok Titik belok

Sketsa Grafik y = f(x)

0 1 2 3 4 x

y = f(x)

Latihan 1

Fungsi Polinomial Gunakan panduan mensketsa grafik sebelumnya untuk menggambar grafik fungsi f berikut pada domainnya.

𝑓𝑓 𝑥𝑥 =𝑥𝑥3

3− 400𝑥𝑥

Latihan 2

Fungsi Rasional Sketsalah grafik fungsi g berikut pada domainnya.

𝑔𝑔 𝑥𝑥 =10𝑥𝑥3

𝑥𝑥2 − 1

Sketsa f dari Grafik f’ dan f”Gambar di samping menunjukkan grafik turunan pertama dan turunan kedua fungsi y = f(x). Jika grafik f melalui titik P, sketsalah grafik f tersebut. x

y = f’(x)y = f”(x)

Optimasi Terapan & Aturan L’Hôpital

Optimasi Terapan

Menyelesaikan Masalah Optimasi Terapan1. Baca masalahnya. Apa yang

diberikan? Kuantitas apa yang akan dioptimasi?

2. Buat gambar. Gambarlah informasi penting dalam soal.

3. Identifikasi variabel. Daftarlah semua relasi dalam gambar dan soal sebagai suatu persamaan atau bentuk aljabar, dan identifikasi variabel yang tidak

diketahui.4. Tulis persamaan untuk kuantitas

yang tidak diketahui. Jika bisa, nyatakan kuantitas yang tidak diketahui sebagai sebuah fungsi.

5. Ujilah titik-titik kritis dan titik-titik ujung dalam domain kuantitas yang tidak diketahui.

Latihan 1

BIAYA MINIMUM Kaleng aluminium yang berbentung tabung akan dibuat untuk menampung air 1 L. Tentukan ukuran kaleng tersebut agar biaya untuk membeli aluminium seminimum mungkin.

Latihan 2

PENDAPATAN MAKSIMUM Sebuah toko telah menjual 200 TV layar datar dalam seminggu dengan harga satuan 3,5 juta rupiah. Suatu survei pasar menunjukkan bahwa setiap potongan harga sebesar Rp100.000,00 yang diberikan kepada pembeli, maka banyaknya TV yang terjual akan naik sebanyak 20 dalam seminggu. Tentukan fungsi harga (fungsi permintaan) dan fungsi pendapatannya. Seberapa besar potongan harga yang harus ditawarkan agar toko tersebut mendapatkan pendapatakan maksimum?

Latihan 3

MELIPAT KERTAS Bagian pojok kanan atas kertas berukuran 21 cm × 29,7 cm dilipat sampai menyentuk sisi bawahnya (perhatikan gambar). Bagaimana Anda melipatnya agar menghasilkan panjang lipatan terpendek? Dengan kata lain, bagaimana Anda memilih x untuk meminimumkan y?

𝑦𝑦

29,7 cm

𝑥𝑥

Aturan L’Hôpital

Misalkan f dan g terdiferensialkan pada selang buka I yang memuat a dengan g’(x) ≠ 0 pada I ketika x ≠ a. Jika lim

𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim

𝑥𝑥→𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 0

𝑓𝑓′ 𝑥𝑥𝑔𝑔′ 𝑥𝑥

dengan syarat limit bentuk yang di ruas kanan ada.

Latihan 3

Menggunakan Aturan L’Hôpital Tentukan limit-limit berikut ini.

(a) lim𝑥𝑥→1

𝑥𝑥3+𝑥𝑥2−2𝑥𝑥𝑥𝑥−1

(b) lim𝑥𝑥→0

9−3𝑥𝑥−3𝑥𝑥

ReferensiBoelkins, M. R., Austin, D., & Schlicker, S.

(2016). Active calculus, 2016 edition. Allendale: Orthogonal Publishing L3C.

Briggs, W. L., Cochran, L., Gillett, B., & Schulz, E. P. (2013). Calculus for scientists and engineers early transcendentals. Boston, MA: Pearson Education.

Briggs, W. L., Cochran, L., Gillett, B., & Schulz, E. P. (2015). Calculus: Early transcendentals. Boston: Pearson.

Goldstein, L. J. (2014). Calculus & its applications. Boston: Pearson Education.

Hass, J., Weir, M. D., & Thomas, G. B. (2016). University calculus: Early transcendentals. Boston: Pearson.

Kristanto, Y. D., & Putra, D. W. (2018). Students' Mathematical Reasoning in Exploring Functions and Its Derivative. In B. Utomo, J. Donovan, H. Avci, & F. Lin (Eds.), Proceedings of International Conference on Research in Education (pp. 383-392). Yogyakarta: Sanata Dharma University Press.

Kristanto, Y. D., Melissa, M. M., & Panuluh, A. H. (2019). Discovering the formal definition of limit through exploration in dynamic geometry environments. Journal of Physics: Conference Series, 1180, 012004. doi:10.1088/1742-6596/1180/1/012004

Larson, R., & Edwards, B. H. (2014). Calculus. Boston, MA: Brooks/Cole.

Stewart, J. (2016). Calculus. Boston, MA: Cengage Learning.

Thomas, G. B., Weir, M. D., & Hass, J. (2016). Thomas calculus. Upper Saddle River: Pearson.

Varberg, D., Purcell, E., & Rigdon, S. (2006). Calculus. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall.

Bahan Ajar Kalkulus Diferensial -...

Documents

Transcript of Bahan Ajar Kalkulus Diferensial -...

Kalkulus 2

PERANGKAT PEMBELAJARAN DAN BAHAN AJAR KALKULUSrepository.unp.ac.id/16148/1/bahan ajar kalkulus.pdf · khususnya yang berkaitan dengan kalkulus. 3. Mampu menyajikan beberapa alternatif

terjadinya kalkulus

KALKULUS Perkenalan Apa Itu Kalkulus

Bahan Ajar Kalkulus Integral.docx

Materi kalkulus

NASKAH AKADEMIK HASIL PENELITIAN PENGEMBANGAN …repository.syekhnurjati.ac.id/3114/1/Laporan Penelitian Toheri_dkk.pdf · Judul Penelitian : Pengembangan Bahan Ajar Fungsi dan Kalkulus

BUKU AJAR KALKULUS I

72879039 Buku Ajar Kalkulus II

Kalkulus ppt

KALKULUS I

kalkulus bab3

Bahan Ajar : KALKULUS 2

Kalkulus - wgmworldgenerationofmath.weebly.comwgmworldgenerationofmath.weebly.com/uploads/1/0/5/3/10537527/... · Kalkulus 1 Kalkulus Topik dalam kalkulus Teorema dasar Limit fungsi

kalkulus 3

Kalkulus 1

BAHAN AJAR PERKULIAHAN KALKULUS PROGRAM …file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA... · bahan ajar perkuliahan kalkulus program kompetensi ganda depag s1 kedua program

buku ajar kalkulus 2

Buku Ajar Kalkulus II

Kalkulus II