Bahan Ajar :

KALKULUS 2

Disusun Oleh:

Fitria Rachmawati, S.Si, M.kom

UNIVERSITAS IBN KHALDUN

JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA

BOGOR

2021

2

Kata Pengantar

Segala Puji dan Syukur kami panjatkan kepada Tuhan yang Maha Esa atas

Rahmat, taufik dan Hidayah yang diberikan kepada kami sehingga kami bisa

menyelesaikan buku ajar untuk materi Kalkulus 2. Tujuan dari penulisan buku ini tidak

lain adalah untuk membantu para mahasiswa di dalam memahami apa saja materi yang

harus mereka pelajari dan pahami selama proses belajar berlangsung.

Buku ini juga akan memberikan informasi secara lengkap mengenai materi apa

saja yang akan mereka pelajari yang berasal dari berbagai sumber terpercaya yang

berguna sebagai tambahan wawasan mengenai bab-bab yang dipelajari tersebut.

Kami sadar bahwa penulisan buku ini bukan merupakan buah dari hasil kerja

kami sendiri. Ada banyak pihak yang sudah berjasa dalam membantu kami dalam

penyelesaian buku ini. Maka dari itu kami mengucapkan banyak terimakasih kepada

semua pihak yang telah membantu memberikan wawasan dan bimbingan kepada kami

sebelum maupun ketika menulis buku panduan ini.

Kami juga sadar bahwa buku yang kami tulis belum sepenuhnya sempurna. Maka

dari itu kami meminta dukungan dan masukan dari pembaca agar kedepannya kami bisa

lebih baik lagi dalam menulis sebuah buku.

Bogor, April 2021

Tim Penulis

3

DAFTAR ISI

Program 1: Deret, Bagian 1 …………………………………………………………4

Barisan dan Deret

Rata-rata Aritmetik dan Rata-rata geometric

Deret Pangkat Bilangan Asli

Deret tak Terhingga; Harga Limit

Program 2: Deret, Bagian 2 …………………………………………………………15

Deret Konvergen dan Divergen

Kaidah Uji kekonvergenan; Kekonvergenan Mutlak

Latihan Ujian XIII

Soal-soal XIII

4

DERET

BARISAN

Barisan adalah himpunan besaran u1, u2, u3,……… yang disusun dalam urutan tertentu

Dan masing-masing sukunya dibentuk menurut suatu pola yang tertentu pula,

Yaitu ur = f(r).

Contoh : I , 3 , 5, 7, ….. adalah barisan (suku berikutnya haruslah 9)

2, 6, 18, 54, . ….. adalah barisan (suku berikutnya haruslah 162 ),

12 ,-2

2, 3

2,- 4

2,…… adalah barisan (suku berikutnya haruslah 5

2)

Demikian juga, 1, - 5, 37, 6 ,...adalah barisan, tetapi polanya tidak begitu jelas dan suku

berikutnya tidak dapat diketahui langsung.

Barisan berhingga adalah barisan yang banyak sukunya berhingga.

Barisan tak berhingga adalah barisan yang tak ada akhirnya.

Di antara barisan berikut, manakah yang merupakan barisan terhingga

(i) Semua bilangan asli (natural number), yaitu 1,2,3, . . . dst.

(ii) Nomor halaman sebuah buku.

(iii) Nomor telepon di dalam buku telepon.

Jelas, nomor halaman buku memiliki urutan yang tetap dan berakhir padi halaman yang

terakhir, Nomor telepon membentuk barisan yang sedikit agak rumit, disusun menurut

abjad nama pelanggan. Bilangan asli merupakan barisan tak berhingga, karena tidak ada

akhirnya.

Deret Deret dibentuk oleh jumlah suku-suku barisan.

Sebagai contoh: l,-3, 5, 7,....................- adalah barisan,

tetapi .1+3 + 5 +.7 + …………….adalah•deret.

Suku-suku deret ákan kita nyatakan sebagai berikut:.

u1 menyatakan suku pertama, u2 suku kedua, u3 suku ketiga,. demikian

seterusnya. Jadi ur menyatakan suku ke-r dan ur+1 Jumlah 5 suku yang pertama kita

nyatakan dengan S5. Jadi jumlah n suku yang pertama kita nyatakan dengan………….

Barang kali anda sudah mengenal dengan baik dua jenis deret khusus yang sering

digunakan, yaitu (1) deret hitung (arithmetic series) dan (ii) deret ukur (geometric series).

Sebagai penyegaran, akan kita ulangi kembali beberapa hasil penting yang berkaitan

dengan kedua deret ini

5

1 Deret hitung (atau deret aritmetik); dinyatakan dengan DH.

Salah satu contoh., DH adalah deret

2+5+8+11+14+…….....

Perhatikan bahwa masing-masing suku dapat diperoleh dan suku sebelumnya dengan

menambahkan harga konstan 3. Pertambahan yang teratur ini disebut beda (common

difference) dan dicari dengan memilih sembarang suku dan kemudian menguranginya

dengan suku sebelumnya. Sebagai contoh,

11-8=3; 5-2=3; dst

deret hitung umum dapat dituliskan sebagai

a+(a+d)+(a2d)+(a+3d)+………………………….(i)

dengan a = suku pertama dan d =beda.

Anda ingat bahwa:

(i) suku ke-n =a +(n - 1)d………………………………………………. (ii)

(ii) jumlah n buah suku yang pertama diberikan oleh

salinlah ketiga hal pokôk ini ke dalam buku catatan anda.

Sekedar pemanasan, cobalah cari jumlah 20 suku. yang pertama. Dari deret:

10+6+2-2-6 .;……….dst

Karena untuk deret 10+6+2-2-6………..dst

A=10 dan d=2 -6= -4

Contoh lain:

Jika suku ke-7 suatu DH adalah 22 dan suku ke12-nya adalah 37, tentukanlah deret

tersebut.

Diketahui suku ke-7= 22 a + 6d= 22

Dan suku ke.12=37 :a + lld=37

Jadi deretnya adalah 4 + 7 +10 + 13 + 16+...dst.

Yang berikut ini untuk anda:

Suku ke-6 suatu DH adalah - 5 dan suku ke-10-nya adalah -21.

Tentukanlah jumlah 30 suku yang pertama

6

Mean aritmetik Kadang.kadang kita harus mencari mean (rata-rata) aritmetic dua buah bilangan, P dan Q.

ini, berarti bahwa kita harus menyisipkan sebuah bilangan A di antara P‟ dan Q

sedemikian rupa sehingga P + A + Q membentuk sebuah DH .

A-P=d dan Q-A=d

A-P=Q--A 2A=P+Q ..• A=

Ternyata mean aritmetik dua bilangan tidak lain daripada nilai tengahnya. Jadi mean

aritmetik dari 23 dan 58 adalah…………..

Mean aritmetik dari 23 dan 58 adalah

Jika kita diminta untuk menyisipkan 3 buah mean aritmetik diantara dua bilangan

yang diketahui, P dan Q, berarti kita harus menyisipkan tiga buah bilangan A, B, C di

antara P dan Q sedemikian rupa sehingga P +A+B + C + Q membentuk sebuah DH.

Contoh. Sisipkanlah .3 buah mean aritmetik di antara 8 dan 18.

Misalkan mean ini kita nyatakan dengan A, B, C.

Maka 8 + A + B -F C + 18 membentuk suatu DH.

Suku pertama, a =8; suku kelima = a + 4d= 18.

Sekarang, cobalah anda cari S buah mean anitmetik di antara 12 dan 21,6.

Mean aritmetik yang dicari

inilah jalannya:

Misalkan kelima mean aritmetik itu kita nyatakan dengan A, B, C, D,E.

Maka 12 + A ÷ B ÷ C + D + E + 21.6 membentuk suatu DH.

Jadi

Memang demikian! Sekali anda pernah mencobanya, yang lain akan sama saja

7

2. Deret Ukur (atau deret geometrik); dinyatakan dengan DU. Salah satu contoh untuk

DU adalah:

1 + 3 + 9 + 27 + 81 + …………….dst

Di sini kita lihat bahwa suku-sukunya diperoleh dan suku sebelumnya dengan

mengalikannya dengan sebuah faktor konstan 3. Faktor konstan ini disebut pengali atau

rasio (common ratio); besarnya dapat diperoleh dengan memilih sembarang suku dan

kemudian membaginya dengan suku sebelumnya.

Sebagai contoh, . S8

yaitu 27.+9=3; 9+3= 3; dst.

Deret ukur memiliki bentuk:

a + ar ÷ ar2 + ar

3 +. …….. dst

dengan a suku pertama, r = rasio. -

Jadi deret ukur 5 -10 + 20 - 40 +. . .dst. memiliki rasio r=………………………,

Secara umum bentuk deret ukur adalah:

a + ar ÷ ar2 + ar

3 +. …….. dst………………….(iv)

dan anda ingat kembali bahwa

(i) suku ke-n = arn-1

(ii) jumlah n buah suku yang pertama diberikan oleh

……………….....(vi)

Sekarang tentu anda dapat menyelesaikan soal berikut:

Untuk deret 8 + 4 + 2 + 1 +1/2 +... , dst., tentukan jumlah 8 suku yang pertama.

Karena untuk deret 8+4+2+1+………….dst

Contoh lain:

Jika suku ke-5 suatu DU adalah 162 dan suku ke-8.nya adalah 4374,

tentukanlah deret tersebut.

Kita dapatkan suku ke-5 = 162 .. a.r =162

Suku ke-8 = 4374 ..a.r=4374

8

Deretnya adalah: 2 + 6 + 18 + 54 +.. .. dst.

Tentu saja setelah kita ketahui harga a dan r kita dapat menghitung harga suku

yang mana saja ataupun jumlah berapa suku saja yang dikehendaki

Misalnya untuk deret di atas tadi, tentukanlah yang pertama. Kemudian lanjutkanlah ke

Bingkai I.

(i) Suku ke-10

(ii)jumlah 10 suku yang pertama

Mean geometrik

mean geometrik dan dua buah bilangan P dan Q adalah sebuah bilangan A sedemikian

rupa sehingga P + A + Q membentuk suatu DU.

Jadi mean geometrik dua buah bilangan adalah akar dan hasil-kalinya.

Dengan demikian mean geometrik dan 4 dan 25 adalah …………..

Untuk menyisipkan 3 mean geometrik di antara dua bilangan yang diketahui, P dan Q,

kita harus mencari 3 bilangan A, B, C sedemikian rupa sehingga P + A + B + C + Q

membentuk suatu DU.

Contoh. Sisipkanlah 4 buah mean geometrik di antara 5 dan 1215. Misalkan keempat

mean tersebut adalah A, B, C, D. Maka 5+A+B+C+D+ 1215 membentuk suatu DU.

Sekarang, cobalah soa1 berikut oleh anda sendiri: Sisipkanlah dua mean geometrik di

antara 5 dan 8,64.

karena:Misalkan mean tersebut adalah A dan B

Maka 5 + A + B + 8,64 memberikan suatu DU.

9

Deret hitung dan deret ukur hanyalah salah satu jenis deret khusus saja. Masih ada

deret khusus lain yang perlu kita ketahui yaitu deret yang memuat pangkat-pangkat

bilangan asli. Marilah kita melihatnya dalam hingkai benikut.

Deret pangkat bilangan asli.

I. Deret l + 2 + 3 + 4 + 5 +......+ n dst =

Seperti anda lihat, deret ini termasuk salah satu.contoh DU dengan a = 1 dan d =1.

Jumlah n buah sukunya yang pertama diberikan oleh:

Jadi jumIah 100 buah bilangan asli yang pertama adalah………….

karena

2. Yang itu masih cukup mudah. Sekarang cobalah kita lihat yang berikut ini,. Untuk

menentukan hasil jumlah n suku deret 12 + 2

2 + 3

2 + 4

2 + 5

2 + n

2 kita gunakan identitas

Kita tuliskan ini sebagai

Bila n kita gantikan dengan n — 1, kita dapatkan

Sekali lagi

dan

Bila hal ini kita lakukan terus, akhirnya kita sampai kepada

Jika semua hasil di atas kita jumlahkan, kita lihat bahwa semua suku

dalam ruas kiri saling menghilangkan, kecuali suku pertama dan suku terakhir

10

Jadi jumlah l2 suku pertama deret 12 + 22 + 32 + adalah……………………….

Jumlah bilangan asli berpangkat tiga dapat dicari dengan jalan yang sama, hanya kali ini

kita gunakan identitas.

Seperti sebelumnya, kita tuliskan bentuk ini sebagai

Jika kita lakukan cara yang sama, dengan menggantikan n dengan (n -1) berulang-ulang

dan akhirnya kita jumlahkan semua hasilnya, maka kita peroleh

Sambil lalu tampak bahwa

Bila kita kumpulkan kembali ketiga hasil tadi, kita dapatkan:

Hasil ini sangat berguna, karena itu salinlah semua dalam buku catatan anda.

11

Contoh tentukanlah jumlah deret

ini hanya sekedar soal menggunakan hasil-hasil yang telah diperoleh. Sekarang cobalah

anda kerjakan yang satu ini dengan cara yang sama.

Tentukanlah jumlah deret

Ingatlah

Jumlah n suku pertama bilangan asli

Jumlah n suku pertama kuadrat bilangan asli

Jumlah n suku pertama bilangan asli berpangkat tiga

deret tak berhingga

Sampai saat ini kita baru meninjau deret yang banyak sukunya berhingga Untuk

menangani jumlah deret yang banyak sukunya tak berhingga, kita harus berhati-hati

dengan langkah yang kita ambil

Contoh: Tinjaulah deret tak berhingga

Deret ini kita kenal sebagai deret ukur dengan a = 1 dan r = 1/2 Jumlah n buah sukunya

yang pertama diberikan oleh

Jika n sangat besar, 2 akan sangat besar pula dan karena itu akan sangat kecil

12

Sesungguhnya, jika jumlah semua suku dalam deret tak berhingga ini diberikan oleh S‟‟

= harga limit(batas) Sn

Jika n -->00

Hasil ini mengatakan bahwa kita dapat membuat jumlah deret ini sedekat mungkin

dengan 2 dengan mengambil banyaknya suku yang cukup banyak.

Untuk deret tak berhingga, hal ini tidak selalu mungkin. Untuk deret hitung, misalnya,

persoalannya akan sangat lain.

Tinjaulah deret tak berhingga 1 + 3 + 5 + 7 +....

Ini adalah deret hitung dengan a=1 dan d = 2.

jadi

Tentu saja, dalam hal ini jika n besar, maka Sn akan besar pula. Sesungguhnyajika n -°°,

maka Sn, -°°, ini bukan suatu harga numerik yang tertentu dan gunanya pun tidak banyak

bagi kita.

Hal semacam ini selalu terjadi pada deret hitung:Jika kita, mencoba mencari

“jumlah tak berhingga”-nya, kita akan memperoleh harga +00

atau -00

bergantung kepada

deret yang sesungguhnya.

Dalam dua bingkai sebelum ini, kita mendapatkan dua hal penting.

(i) Kita tidak dapat menghitung „jumlah tak berhingga suku‟ deret hitung karena hasilnya

selalu tak berhingga.

(ii) Ada kalanya kita dapat menghitung „jumlah tak berhingga suku‟ deret ukur.Untuk

deret ini dan jika |r| < 1, maka rn 0 untuk n -°°, sehingga dalam

hal ini

Sekarang cobalah cari jumlah tak berhingga deret‟

20+4+0,8 +0,16 +0,032 + …………….

I

Harga limit

Dalam program ini telah kita lihat bahwa kadang-kadang kita perlu menentukan harga

limit S, bila n--÷ oo. Sebelum kita tinggalkan topik ini, marilah kita lihat sedikit lebih

13

jauh proses penentuan harga limit ini. Barangkali dengan satu atau dua contoh saja sudah

cukup.

Contoh 1. Tentukanlah harga limit

Kita tidak dapat menyelesaikannya dengan memasukkan n =°°, dan kemudian

menyederhanakannya, karena 00

bukanlah bilangan biasa dan tidak memenuhi aturan-

aturan yang biasa kita gunakan. Karena itu untuk memecahkannya kita gunakan cara

berikut:

(atas dan bawah dibagi dengan n)

Kita selalu dapat menangani pecahan dalam bentuk dan seterusnya, karena

jika n =°°, masing-masing akan menuju nol, yaitu suatu harga yang pasti.

Sekarang manilah kita lihat contoh lain.

Contoh 2.- Tentukanlah harga limit

Pertama-tama, kita bagi dahulu penyebut dan pembilangnya dengan n berpangkat

tertinggi yang ada dalam hal ini n2

Contoh 3. Tentukanlah

Dalam hal ini yang pertama-tama harus kita lakukan adalah…………..

14

15

DERET, Bagian 2

Deret konvergen dan divergen Deret yang jumlah n sukunya (Sn) menuju ke sebuah harga tertentu jika n — °° disebut

deret konvergen (mengumpul). Jika Sn tidak menuju ke Sebuah harga tertentu ketika n —

°°, deret tersebut disebut deret divergen.

Contoh: Tinjaulah DU

Untuk DU kita ketahui bahwa Dalam hal ini a = 1 dan , sehingga

kita dapatkan:

Jiká n --oo, jumlah n suku deret mi menuju ke sebuah harga tertentu, yaitu Jadi

deret ini adalah deret (konvergen/divergen)

Jika Sn menuju ke sebuah harga tertentu ketika n --oo maka deret konvergen. Jika Sn,

tidak menuju ke sebuah harga tertentu ketika n --oo rnaka deretnya divergen.

Marilah kita lihat sebuah deret lain,

I + 3 + 9 + 27 + 81 +...

ini pun merupakan deret ukur dengan a = 1 dan r = 3.

Tentu saja untuk n --°o, 3

n --

c0juga.

(yang bukan merupakan harga numerik tertentu)

Jadi dalam hal ini deretnya……………….

Kita dapat memanfaatkan suatu deret tak berhingga hanya jika deret tersebut

konvergen; karena itu kita memerlukan cara untuk menguji apakah suatu deret konvergen

atau tidak.

16

Tentu saja kita dapat menentukannya dengan menghitung harga limit Sn untuk n -00

seperti yang kita lakukan dalam contoh.contoh yang lain. Cara ini langsung

memberitahukan apakah deret yang bersangkutan menuju ke sebuah.harga tertentu

(artinya, konvergen) atau tidak.

Cara itu adalah cara yang sangat mendasar, tetapi sayang, rumus untuk Sn, tidak

selalu dapat dicari dengan mudah, karena itu kita perlu mencari cara menguji

kekonvergenan. deret dengan hanya menggunakan suku-sukunya saja.

Ingatlah kembali penulisan deret secara urnum. Suku-sukunya akan kita nyatakañ

dengan u1 + u2 + u.3 + u4 .

Kaidah Uji Kekonvergenan

Kaidah 1. Suatu deret tidak mungkin konvergen kecuali bila suku-sukunya akhirnya

menuju nol, yaitu kecuali jika

Jika , deretnya divergen

Hal ini cukup masuk akal, karena supaya jumlahnya menuju ke sebuah harga

tertentu bila n bertambah, maka haruslah harga numerik suku-sukunya berkurang terus

menuju nol. Sebagai contoh, telah kita lihat bahwa

sementara (i) deret . konvergen,

sementara (ii) deret 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + . .. . divergen

Sekarang bagaimana halnya dengan deret

Dengan hanya melihat saja, menurut anda apakah deret tersebut konvergen atau

divergen?

Barangkali anda akan menduga deret tersebut konvergen, karena tampak jelas bahwa

dengan bertambahnya n harga numeriksuku-sukunya herkurang terus menuju nol, Sayang

dugaan anda ini meleset, karena, seperti

akan kita tunjukkan nanti, ternyata deret divergen.

Masalah ini sedikit pelik, tetapi kaidahnya sudah mengatakan dengan jelas bahwa:

Suatu deret tidak mungkin konvergen kecuali bila suku-sukunya akhirnya menuju

nol, . Kaidh mi tidak mengatakan bahwa jika

suku-sukunya nol maka deretnya pasti konvergen. Mungkin saja suku-sukunya menuju

nol tetapi deretnya tidak konvergen — seperti ditunjukkan oleh contoh di atas.

Dalam prakteknya, kaidah tersebut kita gunakan dalarn bentuk sebagai berikut:

Jika , maka deretnya mungkin konvergen atau divergen dan kita

Harusr mengujinya lebih lanjut.

17

Jila , maka deretnya pastilah divergen.

Sebelum kita tinggalkan deret

ini, marilah kita lihat bukti bahwa walaupun , ternyata deret tersebut divergen.

Kita boleh saja mengelompokan suku-sukunya sebagai berikut:

Sekarang

Dan

sehingga

ini bukanlah sebuah harga numerik tertentu,jadi deretnya…………..

yang dapat kita peroleh melalui Kaidah 1, hanyalah bahwa deret tersebut mungkin

konvergen. Untuk kepastiannya kita harus mengujinya lebih lajut.

kaudah 2. Uji perbandingan (the comparison test)

suatu deret dengan suku-suku positif akan konvergen jika suku-sukunya lebih

kecil daripada suku-suku seletak deret positif lain.

Serupa dengan itu, deret tersebüt akan divergen jika suku-sukunya lebih besar

daripada suku-suku seletak deret lain yang telah diketahui divergen.

Satu atau dua contoh berikut akan memperlihatkan bagaimana penggunaan

kaidah uji khusus ini

Contoh. Untuk menguji kekonvergenan deret

kita dapat membandingkannya dengan deret

yang telah diketahui konvergen.

Jika mulai suku ketiga kita bandingkan suku-suku seletaknya, kita

lihat bahwa ; demikian terus untuk semua suku selanjutnya, sehingga

setelah lewat dua suku pertama, suku-suku deret pertania selalu lebih kecil daripada

suku-suku seletak deret lain yang konvergen.

Dengan demikian deret pertama juga………………….

18

Kesulitan penggunaan kaidah uji perbandingan ini adalah bagaimana memilih deret

konvergen yang akan digunakan sebagai pembanding. Salah satu. deret yang berguna

untuk maksud ini adalah deret:

Dapat ditunjukkan bahwa

(i) jika p> 1, maka deretnya konvergen

(ii) jika p>= 1, maka deretnya divergen

Jadi bagaiman dengan deret

Konvergen atau divergen?

karena deret adalah deret dengan p >1

Sekarang marilah kita lihat contoh lain.

Menguji kekonvergenan deret

Sebagai pembanding kita gunakan deret

Untuk p = 2, kita perolèh deret

yang kita ketahui konvergen

tetapi

Masing-masing suku deret yang diuji lebih kecil daripada suku seletak deret lain

yang diketahui konvergen.

Jadi……………………….

Tidak selamanya mudah mencari deret pembanding yang sesuai, karena itu kita

can kaidah uji lain yang dapat digunakan, yaitu:

Kaidah 3. Uji pembagian D ‘Alembert untuk deret bersuku positif

Misalkan u1 + u2 + u3 + u4 +… . + u, +… . adalah deret dengan suku-suku positif.

Carilah pernyataan untuk un, dan un+1, yakni suku ke-n

And suku ke-.(n + 1), dan kemudian bentuklah pembagian Tentukanlah harga

limit pembagian ini bila n -°°.

19

Kita tuliskan sekali lagi:

Kaidah uji pembagian D ‘Alembert untuk deret bersuku positif

Contoh untuk uji deret

Pertama-tama kita harus menentukan dahulu pola umum suku-sukunya, dan dan sini kita

tuliskan suku ke-n-nya, daiam hal ini un. Suku ke-(n + 1) mempunyai bentuk

yang sama, dengan n digantikan oleh (n + I)

Sekarang kita harus menentukan harga limitnya bila n -- 00

Dari pembahasan kita yang

lalu mengenai penghitungan limit, kita ketahui bahwa langkah selanjutnya adalah

membagi atas dan bawah dengan………………….

Karena dalam hal ini maka deret di atas tentulah konvergen.

Marilah kita kerjakan contoh lain dengan cara yang sama

Contoh: Gunakanlah kaidah uji pembagian D‟Alembert untuk menguji deret

Terlebih dahulu kita harus mencari pernyataan untuk un,

Dalam deret ini un=……………………

Pernyataan untuk un dapat diperoleh dengan sekedar menggentikan n dengan( n + 1)

20

sehingga

sekarang kita harus mencari bentuk ini kita harus membagi atas dan bawah

dengan…………………

dan tidak memberi kesimpulan apa-apa, deret masih

mungkin konvergen atau divergen. Apa yang harus kita lakukan dari sini?

Kita melupakan sesuatu, yaitu Kaidah 1 yang mengatakan bahwa

Dalam contoh kita di atas,

Limitnya tidak nol, karena itu pastilah deretnya divergen.

Sekarang cobalah anda kerjakan sendiri yang berikut ini:

Ujialah deret

Inilah penyelesaiannya secara terperinci: periksalah apakah pekerjaan anda sesuai dengan

ini.

Faktor 2n dapat dicoret dengan factor 2

n sehingga masih tinggal faktor 2

Karena harga limit ini > 1 , maka deretnya………………….

21

Deret secara umum. Kekonvergenan mutlak

Sampai sekarang kita baru meninjau deret-deret yang semua sukunya positif. Marilah ada

deret lain yang tanda sukunya bergantian positif dan negatif.

Contoh: Deret temyata konvergen,

Sementara deret divergen.

Jika un menyatakan suku ke-n pada umumnya, ia mungkin positif mungkin pula negatif

Tetapi |un| I, atau „mod‟un‟ menyatakan harga numerik dan un sehingga jika u1 +u2 + u3 +

u4 + . . . adalah deret dengan suku-suku tercampur- — maksudnya sebagian sukunya

positif, sebagian lagi negative, maka deret | u1| + | u2 | + | u3 | + | u4 |+………..adalah

deret dengan suku-suku positif.

Perhatikan: Jika deret konvergen, maka deret mungkin tidak konvergen, seperti

diperlihatkan oleh contoh dalam bingkai sebelum ini. Tetapi jika diketahui

konvergen,

Jika konvergen, maka deret , maka dikatakan konvergen mutlak

(absolutly convergent).

Jika divergen tetapi konvergen maka dikatakan konvergen bersyarat

(conditionally convergent).

Maka adalah deret yang konvergen………………… (mutlak/bersyarat)

Contoh: Tentukanlah daerah harga x di mana deret berikut konvergen mutlak.

22

Supaya konvergen mutlak, maka :. Deret tersehut konvergen mutalak jika

Yaitu jika |x|<5

Sekarang anda telah sampai kepada akhir program mi, kecuali bagian latihan Ujian yang

akan diberikan dalam Bingkai 49 nanti. Sebelum anda mengerjakan ujian tersebut

.baiklah kita lihat lebih dahulu rangkuman yang telah kita bahas dalam program ini.

Bacalah dengan seksama: hal ini akan menyegarkan kembali ingatan anda akan apa yang

telah dikerjakan selama ini

Rangkuman .

Jika memberikan sebuah harga tertentu, maka deretnya konvergen

Jika , tidak membenikan sebuah harga tertentu, maka deretnya divergen

Soal-soal Lanjutan—XIII

Jawablah semua soal berikut, ambilah waktu secukupnya dan kerjakanlah dengan teliti

23

1. suku ketiga sebuah deret hitung adalah 34 dan suku ke- 17 nya -8

Tentukan jumlah 20 suku yang pertama?

2. Tentukanlah jumlah ke- 6 dan jumlah 10 suku yang pertama dan deret 1+ 1.2+ 1.44+..

3. hitunglah

4. periksalah apakah deret-deret berikut konvergen

5. Tentukanlah daerah harga x di mana deret-deret berikut konvergen. Dan dimana

mereka divergen

Soal-soal Lanjutan—XIII

1. tentukanlah jumlah n suku untuk deret

2. tentukanlah jumlah n suku dari

3. jumlah deret berikut sampai n suku

1.3.5+2.4.6

4. hitunglah deret berikut

5. Tentukanlah jumlah tak berhingga dari deret

6. Untuk deret

24

Tetukanah pernyataan untuk Sn jumlah n suku yang pertama. Juga, jika deretnya

konvergen, tentukanlah jumlah tak berhingganya.

7. Tentukanlah harga limit dari

8. Tentukanlah apakah dret-deret berikut konvergen atau devergen

9. Tentukanlah daerah harga x agar deret

konvergen mutlak

10. Tunjukanlah bahwa deret

konvergen mutlak dalam daerah

11. Tentukanlah daerah harga x agar deret berikut konvergen

12. Tentukan daerah harga x agar deret benikut konvengen

13. Selidikilah kekonvergenan deret

14. Tunjukkanlah bahwa deret benikut konvergen.

15. Buktikanlah bahwa deret

Dan deret

16. Tentukanlah apakah deret-deret berikut konvergen atau divergen.

25

17. Tentukanlah bahwa deret

18. Selidikilah kekonvergenan deret

19. Tentukanlah daerah harga x dimana daerah berikut konvergen

20. Jika ur (2r+ 1) +2r+l

,tentukanlah harga

-