72879039 Buku Ajar Kalkulus II

of 62/62
BAB I INTEGRAL TAK TENTU Kompetensi Umum: Mahasiswa terampil menentukan integral tak tentu dari suatu fungsi tertentu dengan menggunakan rumus-rumus yang telah dipelajari serta dapat menggunakan konsep integral tak tentu untuk menyelesaikan suatu masalah sederhana. Kompetensi Khusus: Mahasiswa dapat: a)menentukan anti turunan suatu fungsi tertentu. b)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna- kan aturan pangkat. c)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna- kan rumus pokok integral fungsi trigonometri d)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna-kan aturan pangkat yang diperumum e)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna-kan teknik subsitusi dengan variabel baru f)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna-kan teknik subsitusi tanpa variabel baru g)menggunakan konsep integral tak tentu untuk menyelesaikan suatu masalah sederhana
  • date post

    22-Dec-2015
  • Category

    Documents

  • view

    147
  • download

    26

Embed Size (px)

description

Buku Ajar Kalkulus

Transcript of 72879039 Buku Ajar Kalkulus II

  • BAB I

    INTEGRAL TAK TENTU

    Kompetensi Umum:

    Mahasiswa terampil menentukan integral tak tentu dari suatu fungsi tertentu dengan menggunakan rumus-rumus yang telah dipelajari serta dapat menggunakan konsep integral tak tentu untuk menyelesaikan suatu masalah sederhana.

    Kompetensi Khusus:

    Mahasiswa dapat: a)menentukan anti turunan suatu fungsi tertentu.b)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna- kan

    aturan pangkat.c)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna- kan

    rumus pokok integral fungsi trigonometrid)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna-kan

    aturan pangkat yang diperumume)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna-kan

    teknik subsitusi dengan variabel baruf)menentukan integral tak tentu dari fungsi tertentu dengan mengguna-kan

    teknik subsitusi tanpa variabel barug)menggunakan konsep integral tak tentu untuk menyelesaikan suatu masalah

    sederhana

  • Pendahuluan

    Konsep integral tak tentu diperkenalkan sebagai invers pendiferensialan, sehingga

    integral tak tentu didefinisikan sebagai anti diferensial. Anti diferensial adalah

    bentuk paling umum dari anti turunan.

    1.1 Anti Turunan

    Andaikan dari bentuk F(x)=f(x) atau dF(x)= f(x) dx akan ditentukan fungsi

    F. Fungsi F yang demikian kita namakan anti turunan atau fungsi primitif dari f .

    Definisi 1.1: (Anti Turunan)

    Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I. Fungsi F dinama-

    kan anti turunan atau fungsi primitif dari f pada I , jika dipenuhi

    F(x) = f(x) pada I.

    Contoh

    Andaikan F (x) = x2 maka F(x) = 2x di R

    Sehingga anti turunan dari f(x) = 2x adalah F(x) = x2 .

    Anti turunan dari suatu fungsi tidak tunggal, perhatikan bahwa fungsi G dan H

    berikut juga anti turunan dari f.

    G(x) = x2 + 3 juga anti turunan dari f(x) = 2x sebab G(x) = 2x = f(x)

    H(x) = x2 5 juga anti turunan dari f(x) = 2x sebab H(x) = 2x = f(x)

    Jadi fungsi f(x) = 2x mempunyai banyak anti turunan atau fungsi primitif.

    Perbedaan anti turunan yang satu dengan yang lain terletak pada konstanta nya

    saja. Kenyataan ini berlaku untuk semua fungsi, hal ini dijamin oleh teorema

    Jika F(x) = G(x) untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C

    sedemikian hingga F (x) = G(x) + C

  • Teorema tersebut sudah anda pelajari di Kalkulus I (Kalkulus Diferensial).

    Adanya perbedaan anti turunan yang satu dengan yang lain hanya pada

    konstantanya maka terdapat bentuk anti turunan yang paling umum (merupakan

    keluarga fungsi) yang dinamakan anti diferensial.

    Definisi 1.2: (Anti Diferensial)

    Anti diferensial adalah bentuk paling umum dari anti turunan. Jika F

    (x) = f(x) pada selang terbuka I, maka anti diferensial dari f(x) pada I

    adalah y = F(x) + C dengan C konstanta sembarang.

    Contoh

    1. Untuk F (x) = x3 1 diperoleh F(x) = 3x2 = f(x) di R maka anti diferensial

    dari f(x) = 3x2 di R adalah y = x3 1 + C atau y = x3 + C

    2. Untuk F (x) = sin x diperoleh F(x) = cos x = f(x) di R maka anti

    diferensial dari f(x) = cos x di R adalah y = sin x + C

    1.2 Intergal Tak Tentu

    Proses menentukan anti diferensial adalah kebalikan dari proses menentukan

    diferensial, yaitu dari F(x) = f(x) diperoleh dF(x) = f(x) dx dengan f

    diketahui. dan F akan ditentukan. Proses ini disebut integral tak tentu, istilah tak

    tentu berarti memuat konstanta riil sembarang. Leibniz memperkenalkan cara

    penulisan simbol operasi anti diferensial dengan dx ... .

  • Definisi 1.3: (Integral Tak Tentu)

    Andaikan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I dan fungsi F adalah

    suatu anti turunan dari fungsi f pada I. Proses menentukan anti

    diferensial dari fungsi f dinamakan integral tak tentu dari f pada I,

    disajikan dengan lambang

    += cxFdxxf )()( dengan C konsanta sebarangdan dibaca integral tak tentu dari f dengan peubah x atau integral tak

    tentu dari f terhadap peubah x secara singkat integral f terhadap x.

    Catatan

    1lambang adalah lambang integral2lambang dx ... adalah operator integral3f(x) adalah fungsi yang diintegralkan dinamakan integran4istilah tak tentu berarti mengandung konstanta sembarang5pekerjaan menghitung integral adalah mengintegralkan

    Perhatikan!

    i. Hubungan turunan, diferensial, dan integral tak tentu.

    )()( xfxF =

    +==== CxFdxxfxdFxfxdFxfdxxdF )()()()()()()(

    turunan diferensial anti diferensial (integral tak tentu)

    ii. Turunan dari suatu integral tak tentu adalah integran,

    [ ] [ ] )()()()( xfxFCxFdxddxxf

    dxd

    ==+=

  • Contoh

    1. Cxdxxxddxxxdxdx

    xd+ ==+=+=+ 3 23)13( 23)13( 23)1

    3(

    2. [ ] xxdx

    dxd coscos =

    1.3 Rumus-rumus Integral Tak Tentu

    Teorema 1.1: (Aturan Pangkat)

    Jika n adalah bilangan rasional sembarang kecuali 1, maka

    Cnnxdxnx ++

    += 1

    1

    Bukti:

    Karena [ ] [ ] )()(')()( xfxFCxFdx

    ddxxfdxd

    ==+= , maka bukti teorema

    tersebut sebagai berikut

    nxnnxnCn

    nxdxd

    =++

    +=+

    +

    +

    01

    )1(11

    Contoh

    Cx C

    x dxx dx dx +=++

    +== 10

    100 1

    Cx C x dxx +=+

    +

    += 991 18

    188

    Ct

    C tdtt dt

    t +=+

    +

    +=

    = 1 12122

    21

    Dapat kita pahami bahwa x adalah variabel boneka artinya bahwa jika untuk setiap

    kemunculan x diganti dengan variabel lain misalnya t, u, v dsb, nilai integral tak

    tentu tersebut tidak berubah.

  • dsb... .)()()()( === dvvfduufdttfdxxfContoh

    ( ) ( ) ( ) dsb... .333 222 == duudttdxx

    Teorema 1.2: (Integral Fungsi Trigonometri)

    +=+=

    +=+=

    +=+=

    C x x dx x vi. C x x dx

    C x x dx x C x x dx

    C x x dx C x x dx i

    csccsccot tan2sec . iii

    secsectan v. sincos ii.

    cot2csc iv. cossin ..

    Bukti teorema i, bukti teorema lainnya diserahkan kepada pembaca.

    Bukti:

    Cxdx xxx

    dxCxd

    +===+ cos sin maka sin)sin()cos( Karena

    Teorema 1.3: (Kelinieran ...dx )Andaikan fungsi f dan g mempunyai integral tak tentu dan andaikan k

    suatu konstanta, maka

    [ ][ ]

    =

    +=+

    =

    )( )( )()( .

    )( )( )()( .

    )()( .

    dxxg dxxfdxx g xfiii

    dx xg dxxf dxx g xfii

    dxxf k dx xk fi

    ii dan iii dapat diperluas untuk sejumlah berhingga fungsi

    Bukti teorema i, bukti teorema lainnya diserahkan kepada pembaca.

    Bukti:

  • [ ] [ ] === dxxfkdxxkfxkfdxxfdxdkdxxfkdxd )( )( maka )()()( Karena

    Contoh

    ( )( )

    cos221

    21cos2

    21

    2cos12

    21

    sin )sin ( .

    Cxx

    CCxx

    Cx Cx

    dxxdxx dxxx

    +=

    ++=

    ++

    +=

    +=+ 1

    ( )( )Cxxx

    CCCxxx

    CxCxCx

    dxdxxdxx dxxx

    ++=

    ++++=

    ++

    +

    +=

    +=+

    6225 4

    41

    3625162

    25 4

    41

    3622

    2151

    441

    6 53

    )653( .2

    Teorema 1. 4: (Aturan Rantai untuk Anti Pendiferensialan)

    Andaikan g adalah fungsi yang dapat didiferensialkan dengan daerah

    nilainya adalah selang I, dan andaikan f adalah fungsi yang

    didefinisikan pada selang I serta F adalah anti turunan dari f pada I,

    maka

    Cxg F dx xg xg f += ))(()())((

    Bukti:

    Menurut aturan rantai turunan suatu fungsi diperoleh

    [ ] )(' )).(()(' )).(('))(( xgxgfxgxgFCxgFdxd

    ==+

  • Oleh karenanya, berdasar definisi integral tak tentu berlaku

    Cxg F dx xg xg f += ))(()())((Contoh

    ( ) ( )

    )(sin)( )(

    )1cos( 2 ).1sin( ).1sin(2 .

    )(cos)()()(

    2sin 2 .2cos

    222

    .

    tt f g'(x) xg

    Ctdtttdttt

    tt fx g'xg

    C x dx x

    =

    ++=+=+

    =

    +=

    2

    1

    Teorema berikut merupakan keadaan khusus dari teorema 1.4.

    Teorema 1. 5: (Aturan Pangkat yang Diperumum)

    Andaikan g adalah fungsi yang dapat didiferensialkan dan n

    bilangan rasional yang bukan 1, maka

    [ ] [ ] C

    n

    nxgdxxgnxg ++

    += 1

    1)( )()(

    Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

    Contoh

    ( )

    1

    73221)32)(732( .

    5

    612

    61 )2(

    51

    2

    2

    =

    + +=+

    =

    + =

    ng'(x)g(x)

    Cxxdxxxx

    ng'(x)g(x)

    Cxdxxx

    2

    1.

  • Teknik Subsitusi Dengan Variabel Baru

    Jika pada teorema 1.4 dan 1.5 di atas,

    dimisalkan g(x) = u maka d[g(x)] = du sehingga g(x) dx = du

    Dari teorema 1.4 diperoleh

    CxgFCu F du uf dx xg xg f +=+== ))(()()()())(( Dari teorema 1.5 diperoleh

    [ ] [ ] Cn

    nxgCn

    nu du nu dx xg nxg ++

    =++

    == 1)( 1)()( Prosedur ini selanjutnya disebut teknik subsitusi dengan variabel baru

    Contoh

    ( )

    ( ) cos

    .in 3 .3sin Jadi

    3 )3(

    3 misalanPenyelesai

    3 .3sin Hitung .

    Cu

    duusdxx

    dudxduxdu x

    dxx

    +=

    =

    =

    =

    =

    : 1

  • ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) CxCu

    duuu

    dxxxdxxx

    dudxduxdu x

    dxxx

    dxxx

    +=

    +=

    =

    =

    =

    =

    =

    2sec sec

    . sec tan

    2 .2sec 2tan 2sec 2tan2 Jadi

    2 )2(

    2 misal

    2 .2sec 2tan sebagai PandanganPenyelesai

    2sec 2tan2 Hitung .

    :

    2

    ( )

    ( )Cx

    Cu

    duu dxxx

    duxdxduxd

    u x

    dxx x

    + =+=

    =

    =

    =

    =

    612

    61

    661

    5 )2(5

    12

    Jadi

    2 )12(

    12 isalm

    anPenyelesai

    )2.(5

    12

    Hitung

    :3.

  • Cxx

    Cu

    duu

    dxxxx dxxxx

    du dxx

    duxx d

    u x x

    dxxxx

    dxxxx

    + +=+=

    =

    +=+

    =

    =+

    =+

    +

    +

    4732

    41

    441

    3

    )32(3)732(3)732)(32(Jadi

    )32(

    )732(

    732misal

    )32(3)732(sebagai Pandang :anPenyelesai

    3)732)(32(Hitung .4

    Teknik Subsitusi Tanpa Variabel Baru

    Karena g(x) dx = d[g(x)] maka dari teorema 1. 4 dapat diperoleh

    Cxg F xg dxg f dx xg xg f +== ))(())(( ))(()())(( dan dari teorema 1.5 diperoleh

    [ ] [ ] [ ] Cn

    nxg xg dnxg dx xgn xg ++

    == 1)())(( )()()( sama

  • Pada ruas kanan kita pikirkan g(x) sebagai u

    Prosedur ini selanjutnya disebut teknik subsitusi variabel baru

    Contoh

    ( )

    ( ) ( ) ( ) Cxxdxdxx xddx

    dxx

    +==

    =

    3tan )3( .3sec 3 .3sec maka

    )3( 3 Karena

    3 .3sec Hitung .

    22

    2

    :anPenyelesai

    1

    ( ) ( ) ( )C

    n

    nudun

    uCx

    x dxdxxdxdxxx

    ++

    +=+ =

    ==

    1

    1 karena

    612

    61

    )12(2 karena 12 5

    12

    )2(5

    12 .2

    ( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( ) CxCx

    xddxx dx dxx

    ++=

    ++=

    +=++=+

    573151

    57351.

    31

    1331 karena 73

    473

    31

    473 3.

    Latihan 1.1

    Hitunglah dengan berbagai cara yang telah anda pelajari di atas

  • ( )

    ( )

    ( )

    ( ) ( )( )

    ( ) t dt t . dxxxdxx dxx

    dxxxxdxxxx

    dxxx. dxxx

    dx x . dx x .

    dx x . dxx

    dxxx . dx x x.

    dxxdxx

    dxx xdx xx

    dxxxxdx

    x

    x

    dxxx

    xdxxx

    dxxdxx

    3cos32sin24 sin cos.cos 23.

    45sin 22. 2cos .21

    53221 20.

    39212 19.

    13281 3

    12 .71

    2)48(16 7315

    7)52(41 212 13.

    )6(9)231(12 )2(5)12(11

    32 .10 21) ( 9.

    ) cos 2 (3sin 8. )sin (3 7.

    6 42

    6. 2

    823x 5.

    )212 (3 4 )432 5( .3

    211 2. 45 .1

    +

    + +++ +

    +

    +

    +

    +

    ++

    ++

    +

    30 cos1

    sin29

    41sin

    41cos

    21

    82 sin27

    3 422

    362 3112

    125

    3 dxxx. dx

    xx.

    dxx

    x . dt

    tt .

    dyy

    y. dx xx

    .

    +

    +

    1.4 Penggunaan Integral Tak Tentu

    Dalam bahasan ini, kita akan menggunakan integral tak tentu untuk

    menyelesaikan suatu persamaan diferensial dan masalah yang melibatkan

  • persamaan diferensial. Tetapi di sini kita akan membatasi perhatian kita pada

    persamaan diferensial sederhana yaitu persamaan diferensial yang hanya

    mengandung turunan tunggal dari fungsi yang tidak diketahui dengan peubah-

    peubah yang dapat dipisahkan.

    Kita ingat kembali hubungan turunan, diferensial, dan integral tak tentu.

    Andaikan fungsi y= F(x) dengan )()(' xfxF

    dxdy

    ==

    maka kita peroleh hubungan

    +===== Cx F dx xfdy ydx x f dy x fdxdy )()()()(

    \

    Jika pada bentuk dxxfdyxf

    dxdy )(atau )( ==

    , f(x) diketahui dan y akan dicari maka

    bentuk tersebut dinamakan persamaan diferensial disingkat PD.

    Persamaan diferensial (PD) adalah sembarang persamaan dengan hal yang

    tidak diketahui berupa fungsi dan yang melibatkan turunan atau diferensial fungsi

    yang tidak diketahui tersebut. Misal,

    ( ) dsb 0 2 . 0 1 . 2

    2

    2

    23

    =+=++= xydxdy

    dxydy

    dxydx

    dxdy

    Menyelesaikan PD adalah mencari fungsi yang tidak diketahui tersebut.

    Prosedur yang kita gunakan untuk mencari penyelesaian PD sederhana sebagai

    berikut

    Pertama, ubah PD menjadi dxxfdyyf )()( = dengan memisahkan variabel x dan y.

    Kedua, integralkan kedua ruas dan sederhanakan sehingga diperoleh fungsi

    CxFy += )( . Fungsi ini merupakan jawab (pemecahan) umum PD.

    Ketiga, untuk menentukan jawab khusus PD.carilah nilai C berdasarkan syarat PD

    selanjutnya subsitusikan nilai C ke jawab umum PD.

  • Contoh

    umum) jawab(disebut 331 adalah tersebut PD jawab Jadi

    331

    12

    12 125

    125 Selesaikan .

    Cxxy

    Cxxy

    dxxdy

    dxxdyxdxdy

    xdxdy

    ++=

    ++=

    += +=+=

    +=

    :anPenyelesai

    1

    7221 2adalah tersebutPD khusus jawab Jadi

    7221 2 diperoleh PD umum jawab dalam 7 an Subsitusik

    7 22.2123

    diperoleh PD umum jawab dalam 2 di 3syarat an subsitusik aSelanjutny

    PD umum jawab 221 2

    241 C2

    21

    21

    21

    2

    2 di 3untuk 2

    Selesaikan .

    21

    +=

    +==

    =+=

    ==

    +=

    +=+

    =

    ==

    ===

    xy

    xyC

    CC

    xy

    Cxy

    Cxy

    xdxdyy

    dxxdyyy

    xdxdy

    xyy

    xdxdy

    :anPenyelesai

    2

  • 22

    2

    2

    2

    9,4 sehinga 0 diperoleh 0)0(an Subsitusik

    9,4 ,89 8,9 8,9 Dari

    8,9 sehinga 0 diperoleh 0)0(an Subsitusik

    8,9 ,89 8,9 diperoleh 8,9 Dari

    0)0(dan 0)0( awalsyarat dengan 8,9

    adalahrsebut masalah te dari matematika model Sehingga

    dan

    maka percepatan dan laju, menyatakan ditempuh, yangjarak menyatakan Bila

    .m/detik 9,8itu ditempat grafitasi percepatan bilaitu saat pada lajunya

    andan tentuk tanah mencapaiitu boladetik berapaSetelah m. 169 tingginyayang gedung suatu daridatar dianggap yangtanah permukaan ke lurus tegak dijatuhkan bolaSebuah .

    22atau

    22adalah ditanyakan yang kurvapersamaan Jadi

    1 diperoleh (*) dalam 1untuk 2an Subsitusik

    .......(*).................... 2

    2adalah PD umum Jawab

    21 1

    21

    2

    21

    2 2

    21 tersebut,PD Selesaikan

    1untuk 2syarat dengan 221

    adalahitu masalah untuk sesuai yang matematika Model

    .ordinatnyakuadrat setengah titik sembarang pada

    singgung garisarah koefisien dan (1,2) titik melalui yang kurvapersamaan Tentukan .

    tsCs

    Ctsdttdsdttdstvdtds

    tvCv

    Ctvdtdvdtdvdtdv

    svadtdv

    dtsd

    dtdva

    dtdsv

    avs

    xy

    xy

    CxyCx

    y

    Cxy

    dxy

    dy

    dxy

    dyydxdy

    xyydxdy

    ===

    +=====

    ===

    +====

    ====

    ===

    =

    =

    ===

    +=

    +=

    =

    ==

    ===

    :anPenyelesai

    :anPenyelesai

    4

    3

  • Latihan 1.2

    Untuk nomor 1 s.d 10 carilah fungsi yang memenuhi

    ( )

    (1,1)dan titik asal titik melalui fungsirafik ; 23212

    2 .21

    3. dan (4,4) titik melalui fungsirafik ; 83

    2

    2 .11

    82

    2dan ,0 , 0 di 5 ; 0

    3

    3 10.

    3 dan , 0 di 1 ; 622

    2 ..9

    2 di 1 ; 023 .8 0 di 3 ; 021 .7

    1 di 1 ; 12

    1 .6 1 di 1 ; 2

    12 .5

    23 4. .3

    4)52( 2. 37 .1

    gxxdx

    yd

    dxdygx

    dx

    yd

    dx

    yddxdyxy

    dx

    yd

    dxdyxyx

    dx

    yd

    xyyxdxdyxyxx

    dxdy

    xyyxdx

    dyxyx

    xdxdy

    xydxdyyx

    dxdy

    xxdxdyx

    dxdy

    +=

    ==

    =====

    ====

    ======+

    ==

    +===

    +=

    ==

    ==

    13. Jika y = 3 untuk x = 3 dan 2

    2yx

    dxdy

    =

    carilah nilai y untuk x = 1

    14. Tentukan persamaan fungsi implisit F(x,y) = 0 yang melalui titik (2,-1) dan

    koefisien arah garis singgung grafik fungsi disembarang titik ditentukan

  • dengan persamaan 0 ,

    4' = y

    yxy

    15. Jika grafik fungsi )(xfy = melalui titik (9,4) dan koefisien arah grafik fungsi tersebut di sembarang titik adalah xy 3'= . Tentukan persamaan fungsi tersebut!

    16. Di suatu titik (x,y) pada grafik fungsi f diketahui f (x) = 2. Jika pada

    daerah definisinya grafik fungsi f hanya mempunyai tepat satu titik belok di

    (1,3) dan garis singgung di titik beloknya sejajar dengan garis y = 2x maka

    tentukan persamaan fungsi f.

    17. Kira-kira dengan kecepatan berapa seorang penyelam memasuki air setelah

    melompat dari tebing sungai setinggi 30 meter. (Gunakan percepatan grafitasi

    ditempat itu 9,8 m/det2)

    18. Percepatan yang disebabkan oleh grafitasi suatu tempat adalah 9,8 m/det2.

    Sebuah peluru ditembakkan lurus ke atas dari permukaan tanah tempat itu

    yang dianggap datar dengan kecepatan 50 m/det. Setelah berapa detik peluru

    mencapai titik tertinggi dan berapa jarak titik tertinggi tersebut dari tanah?

    19. Suatu titik meteri bergerak dari keadaan diam dengan percepatan pada setiap

    t ditentukan dengan persamaan a(t) = t(4 t) m/det2 . Tentukan kecepatan titik

    materi itu sebagai fungsi dari t. Setelah berapa detik titik materi itu berhenti

    dan bergerak lagi. Tentukan persamaan gerak titik materi itu.

    20. Seorang kolektor benda-benda seni membeli sebuah lukisan dari seorang

    seniman seharga $1000, yang nilainya sekarang bertambah sejalan dengan

    berjalannya waktu sesuai dengan rumus 50105 ++= ttt

    dtdv

    dengan v adalah

  • nilai dolar yang diharapkan dari lukisan sesudah t tahun pembelian. Jika

    rumus ini berlaku untuk 6 tahun kemudian, berapa nilai harapan dari lukisan

    itu empat tahun dari waktu pembelian?

    1.5 Penggunaan Integral Tentu

    Integral tentu khususnya integral tunggal dapat digunakan dalam meng-hitung luas

    daerah bidang rata, volume benda putar, panjang kurva, luas permukaan benda

    putar, usaha yang dilakukan oleh gaya tertentu, gaya pada cairan, momen dan pusat

    massa.

    A. Luas Daerah Bidang Rata Untuk menghitung luas daerah bidang rata menggunakan integral diperlukan

    prosedur sbb:

    Gambar daerah bersangkutan

    Potong menjadi jalur-jalur

    Hampiri luas suatu jalur dengan luas persegi panjang

    Jumlahkan luas hampiran tersebut

    Ambilah limit dari jumlah itu dan nyatakan dalam integral

    Hitung Integralnya = luas daerah.

    y=f(x)

    y y=f(x) y y D y=g(x)

  • D

    a b a b x x a b x D

    Gambar 1. Gambar 2. Gambar 3.

    1. Daerah di atas sumbu-x

    Perhatikan gambar 1 daerah datar D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dengan f(x) 0 pada [a,b], garis x = a, garis x = b, dan sumbu-x. Luas daerah D yang demikian dapat dinyatakan sebagai

    =b

    adxxfDL )()(

    2. Daerah di bawah sumbu-x.

    Perhatikan gambar 2 daerah datar D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y= f(x) dengan f(x) 0 pada [a,b], garis x = a, garis x = b, dan sumbu-x. Luas daerah D yang demikian dapat dinyatakan sebagai

    =b

    adxxfDL )()(

    3. Daerah antara dua kurva

    Perhatikan gambar 3. Daerah datar D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y= f(x), kurva y = g(x) dengan f(x) g(x) pada [a,b], garis x = a, garis x = b, dan sumbu-x. Luas daerah D yang demikian dapat dinyatakan sebagai

    [ ] = ba

    dxxgxfDL )()( )(

    Bahan diskusi1. Bagaimana bentuk integral yang menyatakan luas suatu daerah yang terletak di kanan sumbu-

    y, di kiri sumbu-y, dan antara dua kurva, jika kurva pembatasannya dinyatakan sebagai x =

  • f(y) dan garis-garis pembatasnya y = c, y = d, dan sb y.

    2. Tunjukan luas daerah: persegi panjang, segitiga, trapesium, lingkaran dengan

    menggunakan integral tunggal.

    3. Hitung luas daerah yang dibatasi kurva-kurva dan garis-garis sebagai berikut:

    xxy, x yxxx xy

    x, x x, x y

    xy,xyyx, xx xy

    -sumbudan ,6 f. -sumbudan 623 c.

    0x,2y6y xe. -sumbudan ,sin b.

    2 2 d. -sbdan -sb ,2322 a.

    +===

    =====

    +====

    B. Volume Benda Putar

    Benda putar adalah benda pejal yang didapat dari hasil pemutaran daerah datar terhadap suatu garis tertentu (sumbu putar). Dasar perhitungan menggunakan rumus volume tabung

    1. Metode Cakram

    Jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x), garis x = a, x = b, dan sb-x dibawah, diputar mengelilingi sumbu x , akan didapat suatu benda putar. Apabila benda putar ini dipotong-potong tegak lurus sb-x akan diperoleh lempengan berupa cakram. Andaikan lempengan yang ke-i memiliki tebal xi dan volume Vi .

    xi

    y=f(x) f(xi)

    a xi b sb x

    h

    Rumus dasar: hrV 2 pi= dengan )( ixfr = dan i

    xh =

    Volume lempengan ke-i [ ] ixixfiV = 2 )( piJika dijumlahkan dan diambil limitnya diperoleh

  • V =

    dxb

    a xf 2)]([

    sumbu

    putar sumbu x

    2. Metode Cincin

    Jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dan y = g(x) di bawah diputar mengelilingi sumbu x , akan didapat suatu benda putar. Apabila benda putar ini dipotong-potong tegak lurus sumbu-x akan diperoleh lempengan berupa cincin. Andaikan lempengan yang ke-i memiliki tebal xi dan volume Vi .

    xi y=f(x) r1 y=g(x) r2 sbx a b

    h

    Rumus dasar ( ) hrrhrhrV 22 21 22 21 == pipipi Volume lempengan ke-i [ ] ixixgixfiV = 2)(2)( piJika dijumlahkan dan diambil limitnya diperoleh

    V =

    [ ] ba

    dxxgxf 2)(2)( pi

    , sumbu putar sb x

    3. Metode Kulit Tabung

  • Dalam berbagai persoalan metode ini lebih mudah digunakan.

    r1 r2

    h h K=2 r r = r1 r2

    Rumus dasar

    ( )( )( )

    ( ) ( ) x tebal x tinggijari-jari rerata x 2

    2 1 2

    2 1 2

    2 12 1

    22 2

    1 22

    21

    pi

    pi

    pi

    pipipi

    =

    +=

    +=

    ==

    rrhrr

    hrrrr

    hrrhrhrV

    [ ] [ ] xxfxVixixfixiV )( 2 sehingga )( 2 pipi

    y y y=f(x) xi

    f(xi)

    a b a b xi

    Sehingga volume benda putar

    [ ] dxba

    xfx= )( 2pi, sumbu putar sb y

    Bahan diskusi

  • I. Tuliskan integral yang menyatakan volume benda putar yang terjadi kemudian hitunglah, jika daerah D dibatasi kurva-kurva dan atau garis-garis yang persama-annya diberikan dan diputar mengelilingi sumbu putar yang diketahui di bawah ini. 1. y = 2x , x = 3 , sumbu x 4. y = x2 + 1, x = 2, sumbu y

    2. y = 2x , x = 3 , sumbu y 5. y = x + 1 , x = 2 , x = 5 , sumbu y

    3. y = x2 + 1, x = 2, sumbu x 6. y = 2x2r , y = 0, x = 0, sumbu x

    II. Apakah vormula yang kita bahas di atas mampu untuk menjawab persoalan berikut? Tentukan volume benda yang alasnya adalah suatu daerah rata pada kuadran yang dibatasi

    oleh 41

    2xy = , sumbu x dan sumbu y dan andaikan penampang-penampang yang tegak

    lurus sumbu x berbentuk persegi. Jika tidak, bagaimana kita menghitungnya?

    Latihan:

    Soal-soal 6.2 dan 6.3. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

    C. Panjang Kurva pada Bidang (Kurva Rata)

    Definisi: Sebuah kurva rata disebut mulus apabila kurva tersebut ditentukan oleh persamaan-persamaan btatgytfx , )( ),( == , dengan ketentuan bahwa turunan-turunan f dan g kontinu pada [a,b] sedangkan f(t) dan g(t) tidak bersama-sama nol pada (a,b)

    Andaikan terhadap sebuah kurva mulus dengan persamaan parameter btatgytfx , )( ),( ==

    kita buat partisi pada selang [a,b] menjadi n selang bagian dengan titik-titik a=t0

  • y Qi Qi Qn Si Q i-1 wi yi

    Q i-1 xi

    x

    Kemudian kita aproksimasi kurva itu dengan segi banyak, kita hitung panjangnya dan ditarik limitnya dengan norma partisi mendekati nol.

    Khususnya kita aproksimasi Si dengan wi jadi Si wi

    ( ) ( )[ ] [ ] 2)1()(2)1()(

    22

    +

    =

    +=

    itgitgitfitf

    iyixiw

    Menggunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan,

    yakni adanya [ ]iii ttt , 1 sehingga

    =

    =

    )(')1()(

    )(')1()( ititgitgitgititfitfitf

    dengan 1

    = ititit

    Dengan demikian

    [ ] [ ] [ ] [ ] ititgitfititgititfiw +=+= 2)('2)('2)('2)(' [ ] [ ] ititgitfni iw = += =

    n

    1i

    2)('

    2)('

    1

  • Jadi, jika kurvanya btatgytfx , )( ),( == maka panjang kurva adalah

    [ ] [ ]

    +=

    +=

    ba

    dtdt

    dy

    dt

    dx

    b

    adttgtfL

    22

    2

    )('2

    )('

    Jika kurvanya bxaxfy ),( = maka panjang kurva adalah

    +=

    b

    adx

    dx

    dyL

    2

    1

    Jika kurvanya dycyfx ),( = maka panjang kurva adalah

    +=

    b

    ady

    dy

    dxL

    2

    1

    Latihan:Soal-soal 6.4. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

    Diferensial Panjang Busur

    Andaikan f sebuah fungsi yang dapat didiferensialkan pada [a,b], kita defiisikan

    s(x) melalui du

    x

    aufxs += 2)]('[1)(

    maka s(x) adalah panjang busur y = f(u) antara titik (a,f(a)) dan (x,f(x)).

  • . (x,f(x) . (a,f(a)) ds dy

    a x b sb-x dx

    Dari

    dux

    aufxs += 2)]('[1)(

    diperoleh

    2

    12)]('[1

    +=+=

    dx

    dyxf

    dx

    ds

    atau dx

    dx

    dyds

    2

    1

    +=

    Sehingga kita dapatkan rumus ds berikut (tergantung persamaan kurvanya):

    )(),( kurvauntuk

    22

    )( kurvauntuk

    2

    1

    )( kurvauntuk

    2

    1

    tgytfxdtdt

    dy

    dt

    dxds

    yfxdydy

    dxds

    xfydxdx

    dyds

    ==+=

    =+=

    =+=

    Latihan:Soal-soal 6.4. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

    D. Luas Permukaan Benda Putar

  • Apabila suatu kurva yang terletak pada suatu bidang diputar mengelilingi

    suatu garis pada bidang tersebut maka akan diperoleh suatu permukaan benda putar.

    Rumus dasar l

    rumus luas kerucut terpancung r1 r2

    lrr

    A 2

    212

    += pi

    1. Pemutaran mengelilingi sumbu x

    Andaikan pada sebuah kurva mulus di kuadran I atau ke II dengan persamaan parameter btatgytfx , )( ),( == Kita buat partisi [a,b] dengan titik-titik a=t0

  • Apabila kurva tersebut diputar mengelilingi sumbu x, maka bagian ini akan

    membentuk kerucut terpancung yang luasnya iisy 2pi

    Sehingga luas permukaan hasil pemutaran kurva tersebut adalah

    ==

    =

    dsysyA in

    iiP

    2 2lim10

    pipi

    Kita dapatkan rumus luas permukaan benda putar (seirama dengan rumus ds yang tergantung pada persamaan kurvanya)

    ( ) ( )

    ( ) ( ) 22 )(2 )(2

    , )(),( kurvaUntuk

    2

    1 2 )(2

    ),( kurvaUntuk

    +==

    ==

    +==

    =

    b

    adt

    dtdy

    dtdxtgds

    b

    atgA

    btatgytfx

    b

    adx

    dxdyxfds

    b

    axfA

    bxaxfy

    pipi

    pipi

    b. Pemutaran mengelilingi sumbu y

    Analog dengan pemutaran mengelilingi sumbu x, diperoleh:

    ==

    = dsxisn

    iixP

    A 21

    20

    lim pipi

    Kita dapatkan rumus luas permukaan benda putar (seirama dengan rumus ds yang tergantung persamaan kurvanya) berikut:

    ( ) ( )

    2

    1 2 )(2

    ),( kurvaUntuk

    +==

    =

    d

    cdy

    dydxyfds

    d

    cyfA

    dycyfx

    pipi

  • ( ) ( ) 22 )(2 )(2

    , )(),( kurvaUntuk

    +==

    ==

    b

    adt

    dtdy

    dtdxtfds

    b

    atfA

    btatgytfx

    pipi

    Latihan:Soal-soal 6.5. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

    E. Usaha/Kerja

    Dalam Fisika, apabila suatu benda bergerak sejauh d sepanjang suatu garis dan ada gaya F yang konstan yang menggerakkan benda itu dengan arah searah gerak benda, maka Usaha/kerja W yang dilakukan oleh gaya tersebut adalah W= F . d

    Andaikan benda bergerak sepanjang sb x dari x=a sampai x=b dan ada gaya yang menggerakan benda itu F(x) dengan metode: patisikan [a,b], aproksimasi, dan integralkan di peroleh

    =b

    adxxFWxxFW )( )(

    Contoh:1. Apabila panjang pegas alami 10 inci dan diperlukan gaya 3 pon untuk

    menarik dan menahannya sejauh 2 inci, tentukan usaha yang diperlukan untuk menarik pegas itu sejauh 15 inci dari keadaan alami?Jawab:Dasarnya Hukum Hoke: gaya F(x) yang diperlukan untuk menarik pegas sejauh x adalah F(x) = kx, dengan k konstanta pegas.

    Karena diketahui diperlukan gaya 3 pon untuk menarik dan menahannya sejauh 2 inci, maka 3 = k.2 k= 3/2, sehinga F(x) = 3/2 xJika pegas dalam keadaan alami 10 inci identik dengan x=0 maka panjang pegas 15 inci identik dengan x=5.

    Jadi usaha yang dilakukan pon -inci 75,18

    235

    0

    == dxxW

    2. Tentukan besarnya usaha yang diperlukan untuk memompa air sampai

  • mencapai tepi tangki, tangki ini panjangnya 50 kaki dan ujung-ujungnya berbentuk setengah lingkaran dengan jari-jari 10 kaki; tinggi air dalam tangki 7 kaki.

    Pada lempengan besarnya y Gaya = beratnya = kepadatan air x volume = x ylr . .2

    -y r r x = yx . 05 .2 .

    -10 y = ( ) yy . 05 .102 . 22

    Lempengan ini harus diangkat sejauh ( y), sehingga

    ( )( ) 62,4dengan ; 1050.2 310

    22==

    dyyyW pon tiap kaki kubik

    Latihan:Soal-soal 6.6. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

    F. Gaya Cairan

    Dasar hukum Blaise Pascal: tekanan (=gaya pada tiap satuan luas) dari cairan sama besar dari arah manapun. Jadi tekanan pada semua titik sebuah permukaan sama besarnya, tidak peduli apakah permukaan datar, tegak atau miring.

    Jika sebuah tangki dengan alas berbentuk persegi panjang dengan luas A berisi cairan (fluida) dengan kepadatan setinggi h, maka gaya yang bekerja pada dasar tangki adalah AhF =

    Contoh: Andaikan tangki yang penampangnya seperti pada gambar, diisi dengan air ( =62,4 pon tiap kaki kubik) dengan kedalaman 5 kaki. Hitunglah gaya total yang bekeja pada tepi tersebut!

    Gaya yang bekerja pada kedalaman 5-y yxyAhF = )5( Dengan x diperoleh dari persamaan y = 3x 24

  • 10 kaki letakan pada system y=3x-24 6

    6 kaki Cairan 5 kaki 5-y y

    8 kaki 0 8 x 10

    Jadi ( ) +=

    5

    0 3245 dyyyF

    Latihan:Soal-soal 6.7. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

    G. Momen dan Pusat Massa

    Hasil kali massa dan jarak berarah dari suatu titik tertentu dinamakan momen partikel (benda) terhadap titik tersebut. Momen ini mengukur kecenderungan massa yang menghasilkan putaran pada titik tersebut. Syarat agar massa pada suatu garis berimbang pada suatu titik di garis itu adalah jumlah momen-momen terhadap titik itu sama dengan nol. m Jumlah momen M (terhadap titik asal) suatu x sistem yang terdiri atas n massa: m1, m2, ,mn yang berjarak masing-masing di x1, x2, ,xn M= x.m pada sumbu x adalah

    M = x1 m1 + x2 m2 + x3 m3 ++ xn mn=n iimx

    1

    Ilustrasi m1 m2 m3 m4 mi mn x1 x2 0 x3 x4 xi xn

    dimanakah koordinat titik seimbang?Misal koordinat titik seimbangnya adalah x , karena syarat seimbangan momen

  • system terhadap titik x adalah nol maka (x1 x )m1 + (x2 x )m2 + +(xi x )mn ++ (xn x )mn = 0 x1 m1 + x2 m2 + +xi mn ++ xn mn= x m1 + x m2 + + x mn ++ x mn

    Sehingga =

    =

    == n

    i im

    n

    i imix

    mMx

    1

    1

    1. Distribusi Massa Yang Kontinu Pada Suatu Garis

    Misal sepotong kawat dengan kepadatan yang berlainan (massa tiap satuan panjang). Kita akan mengetahui kedudukan titik beratnya. Kita letakkan kawat itu pada system koordinat, andaikan kepadatan di x adalah )(x menggunakan metode potong, aproksimasi, dan integralkan diperoleh

    =

    ==

    b

    adxx

    b

    adxxx

    x

    b

    adxxxM

    b

    adxxm

    xxxMxxm

    )(

    )(

    sehingga

    )( dan )(

    )(dan )(

    2. Distribusi Massa Pada Bidang

    Andaikan n massa titik m1, m2, ,mi, , mn yang terletak pada titik (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), ,(xi,yi),., (xn,yn) pada bidang xoy.Maka

  • =

    =

    ==

    =

    =

    ==

    =

    ==

    =

    n

    i im

    n

    i imiy

    mxM

    n

    i im

    n

    i imix

    myMx

    yx

    n

    i imiyxM

    n

    i imixyM

    xy

    y

    1

    1

    1

    1

    dengan ),(adalah sistemberat titik Koordinat

    1

    1

    sumbu adapmomen terhJumlah sumbu adapmomen terhJumlah

    Andaikan sepotong lamina homogen yang dibatasi oleh x=a, x=b, y=f(x) dan y=g(x), dengan f(x) g(x) pada [a,b]

    y y=f(x)

    . y=g(x)

    2)()( xgxf +

    a 0 x b sb x

    Dengan metode potong, aproksimasi, dan integralkan diperoleh

    [ ] [ ]

    [ ] [ ]

    [ ] [ ]

    =

    =

    =

    b

    adxxgxfyxMxxgxfyxM

    b

    adxxgxfxyMxxgxfxyM

    b

    adxxgxfmxxgxfm

    )()( )()(

    )()( )()(

    )()( )()(

  • ( )[ ]

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    [ ]

    =

    ==

    =

    ==

    b

    adxxgxf

    b

    adxxgxfy

    b

    adxxgxf

    b

    adxxgxfy

    mxM

    b

    adxxgxf

    b

    adxxgxfx

    b

    adxxgxf

    b

    adxxgxfx

    myMx

    yx

    y

    )()(

    )()(

    )()(

    )()(

    )()(

    )()(

    )()(

    )()(

    dengan , beratnyatitik koordinat Jadi

    Latihan:Soal-soal 6.8. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

    FUNGSI TRANSENDEN

    1. Fungsi Logaritma Natural (Asli)

    Sepengatuhan anda saat belajar kalkulus diferensial dalam mata kuliah

    Kalkulus I, apakah anda menemukan fungsi yang memiliki turunan x1

    ?

  • [ ][ ]

    3 221

    2 1

    1 ..?..

    0

    1 22

    2 33

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    xxdxd

    xxdxd

    xdxd

    xxdxd

    xxdxd

    xxdxd

    Situasi di atas memicu munculnya fungsi baru yang memenuhi

    [ ] 1 ..?.. = xdxd

    .

    Definisi

    Fungsi logaritma natural, ditulis sebagai ln, didefinisikan dengan

    0 , 1

    1 ln >= xdtx tx

    Perhatikan!

    Daerah definisi dan nilai fungsi ini adalah ( ) RRD ff == dan ,0

    Untuk 10

  • Untuk 1=x , 0

    11 1ln

    1== dtt

    Untuk 1>x , 0

    11 ln >= dtx tx

    Turunan Fungsi Logaritma Asli

    [ ]dxdu

    uu

    dxdxfu

    x xdx

    dyxy

    .1ln maka ,0)( Jika 2.

    0,1 maka ln Jika 1.

    :Teorema

    =>=

    >==

    Bukti: 1. [ ] 0 , 1

    1 1 ln >=

    == xx

    xdt

    tdxdx

    dxd

    dxdy

    Gunakan aturan rantau untuk membuktikan yang ke 2.

    Contoh:

    ( ) ( ) ),2()3,(02306 pada yaitu ini fungsi definisidaerah padaberlaku ini

    612)12.(

    61)( :Jawab

    )6ln()( dari pertamaurunan Tentukan t 1.

    2

    22

    2

    >+>+

    +

    +=+

    +=

    +=

    xxxx

    xxxx

    xxdxxdf

    xxxf

  • 0 , 1 0, 1

    0,1)1.(1)( maka

    0 , ln 0 ),ln(

    ln)( :Jawab

    ln)( dari pertamaurunan Tentukan t .2

    =

    >

  • Sifat Logaritma Asli

    Teorema

    Jika a dan b bilangan-bilangan positif dan r bilangan rasional, maka

    araiv

    babaiii

    baabiii

    r lnln .

    lnlnln .

    lnlnln . 01ln .

    =

    =

    +=

    =

    Bukti:

    T.i. 011ln diperoleh definisi Dari

    1

    1== dtt

    T. ii. Karena untuk x > 0 berlaku

    [ ] [ ]x

    xdxd

    xa

    axax

    dxd 1lndan 1.1ln ===

    maka Cxax += lnln

    untuk x = 1 diperoleh C = ln a sehingga axax lnlnln +=

    dan jika kita subsitusikan x = b kita peroleh baab lnlnln +=

    T. iii. Jika pada T.ii kita subsitusikan 01lnlnperoleh kita 1 === ab

    ba

    bab

    ab

    aba

    bb

    bb

    bb

    lnln1lnln1.lnln sehingga

    ln1ln maka ln1ln.1ln padahal

    =+==

    =+=

  • T. iv. Karena untuk x > 0 berlaku

    [ ] [ ]xrxr

    dxd

    xrrx

    xx

    dxd r

    rr

    === lndan .1ln 1

    maka Cxrxr += lnln

    untuk x = 1 diperoleh C = ln 1= 0 sehingga xrxr lnln =

    Contoh 1:

    [ ]( )

    ( ) [ ]( )

    8ln21

    324ln

    213ln24ln

    21

    1ln 211

    11

    21

    1 atau

    8ln21

    324ln

    213ln24ln

    21

    ln 21 1

    21

    1 Sehingga

    245 32

    21

    1

    Misal :Jawab

    1

    Tentukan

    5

    2 22

    5

    22

    5

    22

    24 3

    24

    3

    5

    22

    2

    5

    22

    ===

    =

    =

    ===

    ==

    ==

    ==

    =

    =

    xxdx

    dxx

    x

    uduu

    dxx

    x

    uxux

    duxdxux

    dxx

    x

    Contoh 2:

    Tentukan turunan dari 3

    235ln

    xxy +=

  • Jawab: Karena

    [ ]xxx

    xy ln23ln)5ln(31

    35ln 3 2 +=

    +=

    Maka )5(31020

    51

    31

    +

    +=

    +=

    xxx

    xxdxdy

    Grafik Fungsi Logaritma Natural

    Perhatikan fungsi y = ln x dengan ( ) RRD ff == dan ,0 , grafik fungsi ini melalui titik (1,0). Turunan pertama dan keduanya adalah

    01dan 0 1 22

    2=

    xdxyd

    xdxdy

    Sehingga grafik fungsi naik dan cekung kebawah pada daerah definisinya.

    Kemudian ==

    +xx

    xxlnlimitdan lnlimit

    0

    jadi sumbu y merupakan asymtot tegak. Y

    0 1 X

    Latihan:Soal-soal 7.1. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

  • 2. Fungsi Invers

    Kita akan mengulas secara umum pembalikan atau penginversan suatu fungsi.

    Kita ingat bahwa ciri suatu fungsi mempunyai balikan atau invers, apabila

    fungsi itu merupakan fungsi satu-kesatu, yaitu

    ( ) ( )2121 xfxfxx

    Sifat yang mudah adalah

    Teorema

    Apabila f monoton murni pada daerah definisinya, maka f mempunyai invers.

    Selanjutnya apabila 1f adalah invers dari fungsi f , maka sebaliknya f juga

    merupakan infers dari fungsi 1f .Jadi antara f dan

    1f saling menginvers dan

    berlaku (1f o f )(x)=

    1f (f(x)) = x dan f(1f (y)) = y

    Jadi untuk membuktikan bahwa suatu fungsi mempunyai invers, tunjukkan

    bahwa fungsi tersebut monoton murni atau berlaku

    (1f o f )(x)=

    1f (f(x)) = x dan f(1f (y)) = y

    Cara untuk menentukan invers fungsi y = f(x) sebagai berikut:

    Langkah 1. Nyatakan x dalam y dari persamaan y = f(x)

    Langkah 2. Nyatakan bentuk dalam y sebagai x =1f (y)

    Langkah 3. Gantikan y dengan x dan x dengan y dari bentuk x =1f (y)

    Perhatikan bahwa dengan menentukan x =1f (y) dari y = f(x) berarti

  • menentukan pasangan titik (x,y) yang sama atau identik, hanya menukar

    variabel x dengan variabel y sebagai varibel bebas. Penukaran ini

    mengakibatkan pencerminan grafik fungsi pada garis y = x. Jadi grafik fungsi

    invers dan grafik fungsi asalnya simetris terhadap garis y = x.

    Contoh: Jika fungsi f didefinisikan sebagai 1)(

    +=

    xxxf

    . Tentukan rumus

    fungsi invers, garfik fungsi dan grafik fungsi inversnya.

    Turunan Fungsi Invers

    Teorema. (Turunan Fungsi Invers)

    Apabila f mempunyai turunan dan monoton murni pada selang I. Jika 0)( xf pada suatu Ix , maka

    1f mempunyai turunan di titik )(xfy = pada daerah hasil f dan berlaku

    ( )

    )(1)(1

    xfyf

    =

    atau dxdydy

    dx 1=

    Contoh: Tentukan turunan dari ( ) )7(1 f dari 1)( 3 == xxfyLatihan:Soal-soal 7.2. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

  • 3. Fungsi Eksponen Asli

    Dari sifat kekontinuan fungsi logaritma natural kita dapat definisikan bilangan

    e (bilangan ini pertama kali digunakan oleh Leonhard Euler) sebagai berikut:

    Definisi

    1. Bilangan e adalah bilangan real positif yang merupakan jawab

    tunggal dari persamaan ln x = 1 (atau memenuhi ln e = 1). Nilai

    hampirannya ialah 2,718281828459...

    2.xe adalah bilangan real yang memenuhi xex =ln

    3. Fungsi eksponen asli adalah suatu fungsi yang didefinsikan Rxexfy x == , )(

    Dari definisi di atas dapat dibuktikan bahwa fungsi eksponen asli adalah invers

    dari fungsi logaritma asli.

    Teorema

    Fungsi Rxeyx = , adalah invers dari fungsi 0 , ln >= xxy

    Akibatnya: 0 , ln , >== yyxRxeyx

    Grafik Fungsi Eksponen Asli y=ex y=x

    Y

    y= ln x

    1

    0 1 X

  • Bentuk Limit Dari Bilangan e

    Teorema

    ( )n

    n

    n

    n

    n

    nh

    h

    neiv

    neii

    neiiihei

    =

    +=

    +=+=

    +

    +

    11limit . 11limit .

    11limit . 1limit .1

    0

    Bukti:

    i. Misal xxf ln)( = maka 1

    11)1(dan 1)( === f

    xxf

    sehingga

    ( ) ( )( )

    ( ) hh

    hh

    hhhh

    he

    xxf

    he

    hh

    hh

    fhffe

    1

    0

    1

    0

    1

    000

    1limit

    maka kesatu,-satu fungsimerupakan ln)( fungsi Karena

    .1limitlnln peroleh kita

    1lnlimit1lnlimit)1()1(limit)1(1ln

    +=

    =

    +=+=

    +=

    +===

    Selanjutnya silahkan anda buktikan ii, iii, dan iv dengan menggantikan n

    h=

    1

    dari bentuk i.

  • Sifat-sifat Eksponen AsliTeorema

    Andaikan a dan b bilangan rasional, maka

    ( ) abbababababa eeiiieeeiieeei === + . . . .

    Bukti i:

    baebeaee

    beaeeee ba +=

    +

    ==

    lnln.ln.

    . Selanjutnya untuk ii dan iii silahkan anda buktikan sendiri.

    Turunan Fungsi Eksponen Asli

    Teorema

    dxdue

    dxdyxfuey

    edxdyey

    uu

    xx

    . maka )(dengan , Jika 2.

    maka Jika 1.

    ===

    ==

    Bukti: Karena 0 , ln , >== yyxRxeyx

    maka

    xeydxdy

    ydydx

    ===1

    Dengan aturan rantai, buktikan yang ke 2.

    Contoh:

  • 322322

    232

    32

    42)(dan 2)( :Jawab

    )( dari keduadan pertamaurunan Tentukan t

    +++

    +

    +==

    =

    xxx

    x

    exedx

    xfdxedx

    xdf

    exf

    Integral Fungsi Eksponen Asli

    Dari sifat turunan fungsi eksponen kita peroleh

    Cedx e xx += dan Cedu e uu +=

    Contoh:

    ( )eeedeedxeedxe

    Cexdedxxe

    dxxe

    exexxexxexxe

    xxx

    x

    =

    ===

    +==

    +

    22

    0

    2

    0

    2

    0

    2

    0

    )(

    5225252

    52

    . Hitung .2

    215

    21 :Jawab

    Tentukan .1

    Latihan:Soal-soal 7.3. Buku Kalkulus dan Geometri Analitis. Purcell. jilid 1. Edisi 5

    4. Fungsi Eksponen Umum dan Logaritma Umum

    Fungsi eksponen umum ialah fungsi eksponen dengan bilangan dasar a >

    0. Dari relasi Rbeaaabb =>= , 0 , ln

    kita peroleh 0 , ln >= aea a sehingga ( ) 0 , lnln >== aeea axxax

  • Definisi

    Fungsi eksponen dengan bilangan dasar a > 0 dan peubah bebas x

    didefinisikan sebagai axx eaxf ln)( ==

    Daerah definisinya adalah RD f = dan daerah nilainya ( )+= ,0fRSifat-sifat Eksponen UmumTeorema

    Andaikan a > 0 , b > 0 , x dan y bilangan real, maka ( )

    ( ) xyyxx

    xxyx

    y

    x

    xxxyxyx

    aaiii

    ba

    bava

    aaii

    baabivaaai

    =

    =

    =

    ==

    +

    .

    . . .

    Akan dibuktikan untuk iii dan v, yang lain buktikan sendiri.

    Bukti: ( ) ( ) xyxyaayxyaxyx aeeeaiii ==== lnlnln .

    ( )y

    x

    bx

    axbaxb

    axx

    ba

    eeee

    bav ====

    ln

    lnlnln

    ln .

    Diferensial dan Integral Fungsi Eksponen umum

    Teorema

  • 1 ,ln

    atau 1 , ln

    .

    .ln.)(, .

    ln .

    +=+=

    ===

    ==

    aCaaduaaC

    aadxaiii

    dxduaa

    dxdyxfuayii

    aadxdyayi

    uu

    xx

    uu

    xx

    Bukti:

    1 ,

    ln

    1 ,)(ln1

    1 , )(ln1ln)( .

    ln)(

    ln)(.)(

    1

    lnln)(ln)( .

    +=

    =

    ==

    =

    =

    ===

    aCa

    adxa

    axdfa

    dxa

    adxaxdfa

    aadx

    xdfiii

    aadx

    xdf

    adx

    xdfxf

    axaxfaxfi

    xx

    x

    xx

    x

    xx

    Contoh:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxx

    xxdx

    xdfxf

    dxdyy

    sinsinsin 2cos2lncos2ln 2)( 2)( .2

    3ln3 3 .1

    ===

    ==

    Grafik Fungsi 0,)( >= aaxfx

  • 0 < a < 1 Y a > 1

    1

    X

    Fungsi Logaritma Umum ialah fungsi logaritma dengan bilangan pokok (bilangan dasar) a > 0 dan a 1.

    Definisi

    Jika 0>a dan 1a , maka fungsi logaritma dengan bilangan pokok a,

    ditulis xxfa log )( = didefinisikan sebagai invers fungsi

    0, >= aay x .

    Akibatnya: 1 , 0 , log >== aaaxxyya

    Perhatikan hubungan berikut,

    axx

    axyayxax ay

    lnlnlogatau

    lnlnlnln ====

    Jika kita ganti a dengan e kita peroleh x

    exxe ln

    lnlnlog ==

    Teorema

  • i. axdxdyxy a

    ln1 maka log Jika ==

    ii. dxdu

    audxdyxfuuy a .

    ln1 maka )( ,log Jika ===

    Bukti i: axdxdy

    axxy a

    ln1

    lnlnlog ===

    Selanjutnya silahkan anda buktikan teorema ii.

    Grafik Fungsi xxfa log )( =

    Y 0 < a < 1 a > 1

    1 X

    5. Penggunaan Fungsi Logaritma dan Eksponen

    a. Pendiferensialan Logaritma

    Dalam kasus tertentu metode ini sangat efektif.

    Contoh 1: Tentukan turunan dari 3 12)4(

    7+

    +=

    xxxy

  • Jawab: Karena

    ( ) ( ) ( )12ln

    314ln7ln

    21

    12)4(7lnln 3 ++=+

    += xxx

    xxxy

    Maka

    ( )( )

    ( )

    ( )

    +

    ++

    +=

    +

    +=

    +

    +==

    )12(32

    41

    721

    12)4(7

    )12(32

    41

    721

    )12(32

    41

    7211ln

    3 xxxxxx

    dxdy

    xxxy

    dxdy

    xxxdxdy

    ydxyd

    Latihan: Gunakan pendiferensialan logaritma untuk

    1. Menentukan turunan dari )(dan ),(),(dengan , xhwxgvxfuuvwy ====

    Gunakan rumus yang anda peroleh untuk menentukan turunan pertama

    dari ( ) ( ) 1251 2232 ++= xxxy2. Carilah rumus turunan pertama dari [ ] { }0)(,)( )( >= xgxxxfy xg

    Gunakan rumus yang anda peroleh untuk menentukan turunan pertama

    dari ( ) sin ). , ). , ). cossin xxx xycxybxya ===

    b. Limit Fungsi Bentuk Tak Tentu

    1dan , ,0 00

    Untuk menghitung limit bentuk ini, tulislah limitnya sebagai L kemudian

    ambilah logaritma natural dari kedua ruasnya, gunakan sifat kekontinuan

    fungsi logaritma dan selesaikan limitnya dengan teorema Lhospital.

    Bentuk 00

  • Bentuk ini muncul dari [ ] 0)(limit)(limitdengan )( limit )( ==

    xgxfxf

    axaxxg

    ax

    + xxax atau atau sepihak limit digantidapat

    Contoh: Hitunglah limit

    0

    x

    xx

    +

    Jawab: Andaikan limit

    0

    x

    xxL

    +

    =

    maka

    0)(limit11 limit1

    ln limit

    ln limit limitlnln

    02

    00

    00

    ==

    ==

    ==

    +++

    ++

    xxx

    x

    x

    xxL

    xxx

    x

    x

    x

    x

    Jadi L = 10 =e atau 1 limit

    0=

    +

    x

    xx

    Bentuk 0

    Bentuk ini muncul dari

    [ ] 0)(limitdan )(limitdengan )( limit )( = =

    xgxfxfaxax

    xgax

    + xxax atau atau sepihak limit digantidapat

    Contoh: Hitunglah ( ) 1 limit ln1 x

    xx+

    +

    Jawab: Andaikan ( ) 1 limit ln1 x

    xxL +=

    + maka

  • ( ) ( )( ) 1

    11limit

    1limit

    ln1lnlimit

    1lnlimit 1 limitlnln ln1ln1

    ==

    +=

    +=

    +=+=

    +++

    ++

    xxx

    xx

    xx

    xx

    xx

    xxL

    Jadi L = ee =1 atau ( ) 1 limit ln1 ex x

    x=+

    +

    Bentuk 1

    Bentuk ini muncul dari

    [ ] +==

    )(limitdan 1)(limitdengan )( limit )( xgxfxfaxax

    xgax

    + xxax atau atau sepihak limit digantidapat

    Contoh: Hitunglah ( ) 1 limit csc

    0

    x

    xx

    +

    Jawab: Andaikan ( ) 1 limit csc

    0

    x

    xxL =

    + maka

    ( ) ( )( ) ( ) 1

    11

    cos11 limit

    sin1ln limit

    1ln limit 1 limitlnln

    00

    csc

    0

    csc

    0

    ==

    =

    =

    ==

    ++

    ++

    xx

    xx

    xxL

    xx

    x

    x

    x

    x

    Jadi ( ) 1csc

    0 1 limit

    +

    = ex xx

  • 5. Fungsi Invers Trigonometri

    Karena fungsi trigonometri pada daerah definisinya (himpunan bilangan real)

    bukan merupakan fungsi satu-kesatu maka fungsi trigonometri tersebut tidak

    mempunyai invers, tetapi dengan membatasi daerah definisi fungsi

    trigonometri kita dapat mendefinisikan fungsi invers untuk semua fungsi

    trigonometri.

    Definisi

    0,22

    dengan csc 1csc .

    2,0dengan sec 1sec .

    0dengan cot 1cot .

    22dengan tan 1tan .

    0dengan cos 1cos .

    22dengan sin 1sin .

  • 1 , 1

    1 maka csc Jika .

    1 , 1

    1 maka sec Jika .

    11 maka cot Jika .

    1

    1 maka tan Jika .

    11 , 1

    1 maka cos Jika .

    11 , 1

    1 maka sin Jika .

    21

    21

    21

    21

    21

    21

    >

    ==

    >

    ==

    +

    ==

    +==

  • 2122

    2

    1

    11

    )(tansec1

    sec1

    sec

    tan tan .

    - xxydxdy

    ydydx

    yxxyii

    +===

    =

    ==

    Contoh:

    Integral Fungsi Invers Trigonometri

    Dari rumus turunan fungsi invers trigonometri kita peroleh rumus integral berikut. Silahkan Anda buktikan!

    Teorema

  • 0 , sec1 1 .

    0 , tan1 1 .

    0, sin 1 .

    csc atau sec 1

    1 .

    cot atau tan 1

    1 .

    cosatau sin 1

    1 .

    122

    122

    122

    112

    112

    112

    >+=

    +=+

    >+=

    +=+=

    +=+=+

    +=+=

    aCax

    adx

    axxvi

    aCax

    adx

    xav

    aCax dx

    xaiv

    CxCxdxxx

    iii

    CxCxdxx

    ii

    CxCx dxx

    i

    Perhatikan!

    0 , tan1

    1

    1 1 1 1222 +=

    +

    =

    +

    aCax

    aaxd

    axa

    dxxa

    Contoh:

    Cx

    dxxx

    Cxdxx

    +=

    +=

    4sec

    41

    16

    1 .2

    3sin

    9

    1 .1

    12

    12

    6. Fungsi Hiperbolik dan Inversnya

    Bentuk parameter hiperbol satuan 122

    = yx dapat ditampilkan sebagai fungsi sinus dan cosinus hiperbolik. Fungsi hiperbolik didefinisikan sebagai

    kombinasi dari fungsi xey = dan

    xey =

  • Definisi

    ( ) ( )

    xxxx

    xx

    xx

    xx

    xx

    xxxx

    eexxfiv

    eexxfv

    eeeexxfiv

    eeeexxfiii

    eexxfiieexxfi

    ===

    +===

    +===

    +

    ===

    +====

    2sinh

    1csch )(. 2cosh

    1sech )( .

    sinhcoshcoth)(.

    coshsinhtanh)( .

    21cosh)( .

    21sinh)( .

    Untuk sinh, cosh, tanh, dan coth terdefinisi pada R, sedangkan untuk sech dan

    csch terdefinisi pada { }0R .

    Keterkaitan Fungsi hiperbolik dengan hiperbol 122

    = yx

    Y Y 1 sinh t (x,y) sin t (x,y)

    t t -1 cos t 1 X -1 1 cosh t X

    parameter ;

    sincos

    122

    ttytx

    yx

    =

    =

    =+

    parameter ;

    sinhcosh

    122

    ttytx

    yx

    =

    =

    =

    Sifat-sifat Fungsi HiperbolikSifat fungsi hiperbolik mirip dengan fungsi trigonometri. Teorema ini

    dibuktikan dengan menggunakan definisi dan sifat eksponen, silahkan Anda

  • buktikan!

    Teorema

    2csch12coth 12. csch )csch( .6

    2sech 2tanh1 11. sech )sech( .5

    12sinh 2cosh 10. coth)coth( .4

    sinhcosh 9. tanh)tanh( .3

    sinhcosh 8. cosh )cosh( .2

    coth 1 tanh 7. sinh)sinh( .1

    xxxx

    xxxx

    xxxx

    xexxxx

    xexxxx

    xxxx

    ==

    ==

    ==

    ==

    =+=

    ==

    xxx

    xxxxxxxx

    yxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyx

    2tanh1tanh 22 tanh.19

    2sinh112cosh22sinh2cosh 2cosh .18coshsinh2 2sinh 17.

    sinh sinh cosh cosh )cosh( 16.sinh sinh cosh cosh )cosh( 15.sinh cosh cosh sinh )sinh( .14

    sinh cosh cosh sinh )sinh( .13

    +=

    +==+=

    =

    =

    +=+=

    +=+

    Turunan Fungsi Hiperbolik

    Dengan menggunakan turunan fungsi eksponen dan sifat fungsi hiperbolik, kita

    peroleh rumus turunan berikut. Silahkan anda buktikan!

  • Teorema

    [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] cothcsch csch .6 2sechtanh .3

    tanhsech sech .5 sinh cosh .2

    2cschcoth .4 cosh sinh .1

    xxxdxd xx

    dxd

    xxxdxdxx

    dxd

    xxdxd xx

    dxd

    ==

    ==

    ==

    Grafik fungsi hiperbolik

    y = cosh x Y y = sinh x

    y = tanh x X

    Integral Fungsi Hiperbolik

    Berdasarkan turunan fungsi hiperbolik, kita peroleh rumus integralnya.

    Teorema

    csch cothcsch .6 tanh 2sech .3

    sech tanhsech .5 cosh sinh .2coth 2csch .4 sinh cosh .1

    Cxdxxx Cxdxx

    CxdxxxCxdxxCxdxx Cxdxx

    +=+=+=+=

    +=+=

    TEKNIK INTEGRASI

    1. PENGINTEGRALAN DENGAN SUBSITUSI2. INTEGRAL TRIGONOMETRI3. SUBSITUSI YANG MERASIONALKAN

  • 4. PENGINTEGRALAN PARSIAL5. PENGINTEGRALAN FUNGSI RASIONAL

    6. TEKNIK SUBSITUSI x

    21tan