blogardliyan.files.wordpress.com · 2018. 12. 6. · KATA PENGANTAR Buku ajar ini merupakan...

Tinjau Ulang PrakalkulusLimit, Kekontinuan

Turunan dan DiferensialLimit tak HinggaAplikasi Turunan

Terapan Konsep dan PrinsipMenggunakan Algoritma

Setiap Solusi MasalahDikemukakan Strateginya

Oleh

Moch Chotim

Nip. 130781008

Jurusan Matematika

FMIPA

Universitas Negeri Semarang

2008

KATA PENGANTAR

Buku ajar ini merupakan rancangan kegiatan belajar mengajar matakuliah Kalkulus 1.

Matakuliah ini diberikan pada semester 1 tahun pertama bersama program D3 dan S1 di Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dengan bobot 3 satuan kredit semester (3 SKS).

Tujuan kurikuler matakuliah Kalkulus 1 adalah: “Mahasiswa memahami konsep fungsi,

kekontinuan fungsi, limit fungsi, turunan fungsi, dan aplikasinya pada masalah-masalah yang

dihadapi di matematika dan kehidupan sehari-hari”.

Untuk dapat mengikuti matakuliah Kalkulus 1 mahasiswa harus sudah memahami

matematika sekolah, khususnya matematika di SMA.

Agar perkuliahan dapat berhasil secara optimal, perkuliahan dilaksanakan dalam 2 kali

pertemuan setiap minggu dengan masing-masing pertemuan 2 x 50 menit. Dengan cara ini

mahasiswa akan lebih sering belajar, latihan, dan berdiskusi dengan dosen dibandingkan dengan

jika perkuliahan diberikan 1 kali pertemuan (3 x 50 menit). Dengan cara ini diharapkan

mahasiswa mencapai hasil belajar yang lebih baik.

Permasalahan matematika pada umumnya dan kalkulus pada khususnya memerlukan

pendalaman teori, dan latihan soal yang banyak. Dengan demikian kegiatan belajar mahasiswa

tidak cukup dilayani di kelas, dengan demikian mahasiswa harus memperkaya pengetahuan

sendiri melalui tugas, baik yang ditetapkan dosen maupun yang dipilih mahasiswa sendiri.

Pendekatan yang dipilih adalah pendekatan berbasis strategi dan pelaporannya menggunakan

algoritma. Algoritma didefinisikan sebagai seperangkat langkah yang tersusun secara deduktif,

setiap langkah dibuka dengan suatu kata pembuka yang merupakan alur berpikir. Setiap

memecahkan masalah dilalui dengan suatu diskusi yang aktif dan efisien. Bahan bacaan wajib

minimum dan tugas di luar kelas untuk perkuliahan ini dapat dilihat pada daftar pustaka yang

dilampirkan.

Untuk memperoleh data kelulusan mahasiswa dilaksanakan 2 kali ujian, yaitu ujian

tengah semester (100 menit) dan ujian akhir semester (120 menit). Selain kedua ujian itu

direncanakan pula 2 kali ujian formatif masing-masing 50 menit sebelum dan sesudah ujian

tengah semester. Nilai akhir mahasiswa ditetapkan berdasarkan pembobotan ujian dan tugas lain

sesuai dengan peraturan yang berlaku di Universitas masing-masing.

Semarang, 18 April 2008

Penulis,

Drs. Moch Chotim, M.S.

NIP. 130781008

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .........................................................................................

SASARAN BELAJAR ........................................................................................

BAB 1: TI NJAU ULANG TENTANG KONSEP-KONSEP PRAKALKULUS

1.1 Sistem Bilangan …………………………………………………...

Garis bilangan …………………………………………………......

Operasi pada R ………………………………………………….....

Urutan pada R ...…………………………………………………...

Nilai mutlak .....................................................................................

1.2 Bidang koordinat, jarak, dan lingkaran ............................................

Bidang koordinat ..............................................................................

Jarak .................................................................................................

Lingkaran .........................................................................................

1.3 Persamaan linear ..............................................................................

Kemiringan garis ..............................................................................

Persamaan garis ……………………………………………………

Garis tegak dan garis datar ………………………………………...

1.4 Fungsi ……………………………………………………………...

Pengertian fungsi ..............................................................................

Operasi aljabar pada fungsi ..............................................................

Fungsi-fungsi komposisi ..................................................................

Fungsi invers ....................................................................................

Membuat grafik fungsi dengan metode geseran ..............................

Fungsi Periodik: Tinjau ulang tentang fungsi Trigonometri ...........

Fungsi sinus dan fungsi kosinus ..........................

Fungsi tigonometri lainnya ..................................

BAB 2: LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI ..............................................

2.1 Limit fungsi .......................................................................................

Konsep limit secara intuitif ..............................................................

Konsep limit secara formal ..............................................................

Teorema-teorema limit .....................................................................

Limit sepihak ....................................................................................

Limit fungsi trigonometri .................................................................

2.2 Kekontinuan fungsi ..........................................................................

Kekontinuan fungsi di satu titik .......................................................

Kekontinuan fungsi pada suatu selang .............................................

Kekontinuan sepihak ........................................................................

001

001

001

004

005

008

012

012

014

015

017

018

018

020

021

021

031

035

037

042

048

051

084

084

084

086

090

100

107

108

111

114

114

BAB 3: TURUNAN DAN DIFERENSIAL ..........................................

3.1 Turunan ............................................................................................

Kemiringan garis singgung .............................................................

Pengertian turunan ..........................................................................

Turunan fungsi pada suatu selang ...................................................

Turunan sepihak ..............................................................................

Hubungan antara adanya turunan suatu fungsi dan kekontinuan

fungsi di suatu titik ..........................................................................

Turunan fungsi trigonometri ...........................................................

Teorema-teorema menentukan turunan fungsi ................................

Turunan fungsi invers .....................................................................

Turunan fungsi invers fungsi trigonometri .....................................

Turunan fungsi implisit ...................................................................

3.2 Diferensial .......................................................................................

Pengertian diferensial ......................................................................

Hampiran nilai fungsi ......................................................................

BAB 4: LIMIT TAK HINGGA DAN LIMIT DI TAK HINGGA ........

4.1 Limit tak hingga ...............................................................................

Pengertian limit tak hingga ..............................................................

4.2 Limit di tak hinga .............................................................................

BAB 5: PENGGUNAAN TURUNAN ..................................................

5.1 Nilai minimum dan maksimum suatu fungsi ..................................

5.2 Teorema Rolle dan Teorema nilai rata-rata ....................................

5.3 Fungsi naik dan fungsi turun ...........................................................

5.4 Kecekungan grafik suatu fungsi ......................................................

5.5 Membuat sket grafik fungsi ............................................................

Asimptot grafik fungsi ....................................................................

Metode membuat sket grafik fungsi ................................................

5.6 Beberapa penggunan turunan ang lain ............................................

Masalah maksimum dan minimum .................................................

Masalah laju yang berkaitan ...........................................................

DAFTAR PUSTAKA

122

122

122

124

124

128

131

135

137

144

140

169

160

162

168

168

170

175

184

184

199

206

214

216

226

230

235

235

240

Konsep-konsep dan prinsip matematika yang telah diperoleh di sekolah

merupakan prasyarat untuk belajar kalkulus. Konsep dan prinsip ini perlu

diingatkan kembali sebagai penyegaran dan pendalaman.

1. Sistem Bilangan

Bilangan-bilangan real dapat di-

gambarkan oleh himpunan semua titik yang

terletak pada suatu garis. Pertama dipilih

sebuah titik O pada garis itu yang dipakai

sebagai titik pangkal. Selanjutnya dipilih

ukuran satuan dan tempatkan titik-titik

pada garis yang terletak satu satuan di

sebelah kanan O. Titik itu ditandai dengan

1 (satu). Cara ini digunakan untuk memberi

skala garis bilangan itu dan juga untuk

mempertimbangkan letak setiap bilangan

real. Sebagai contoh, setiap bilangan real

negatif – s terletak s satuan di kiri O.

Terdapat tiga tipe bilangan real yang

penting, yaitu bilangan-bilangan bulat, bi-

langan-bilangan rasional, dan bilangan-

bilangan tak rasional. Bilangan-bilangan

bulat adalah:

..., – 3, –2,–1, 0, 1, 2, 3, ... .

Bilangan-bilangan bulat dapat ditulis dalam

bentuk desimal dengan di kanan koma

desimal hanya terdiri nol, sebagai contoh:

2 = 2, 000... = 2, 0 ,

12 = 12,000... = 12, 0 , dan

–1 = –1,000... = –1, 0 .

dengan tanda ” ” dibaca ”bar” berarti

angka nol diulang tanpa akhir. Bilangan-

bilangan rasional adalah bilangan-bilangan

yang dapat dinyatakan sebagai:

b

a ,

a dan b bilangan-bilangan bulat, dan b 0.

j\“¤·“·†?P 001 j\“¤·“·†?P 002

05,02

1 ,Ini suatu kontradiksi.

Jadi 2 merupakan bilangan tak rasional.

0 1 2 3 4–1–2–3

–s r

s satuan

r satuan

Gambar 1: Garis

Bilangan

3,03

1 ,

__27,2

11

25 , dan

______538461538461,1

13

20 .

Contoh 1:

Tunjukkan bahwa__63,2 adalah bilangan ra-

sional.

Bukti:

Tulis__63,2 = x.

Jelas 100x =__63,263 .

Jadi 99x = 261

x =99

261 .

Ini menunjukkan x =__63,2 merupakan sua-

tu bilangan rasional.

Bilangan-bilangan real yang tak dapat

dinyatakan sebagaib

a , a dan b bilangan-

bilangan bulat, dan b 0 disebut bilangan-

bilangan tak rasional.

Contoh 2:

Tunjukkan bahwa 2 merupakan bilangan

tak rasional.

Bukti:

Andaikan 2 merupakan bilangan rasional.

Tulisb

a2 , a,b B, b 0, dan (a,b) = 1.

Jadi a2

= 2b2.

Jadi a2

merupakan kelipatan 2.

Jadi a merupakan kelipatan 2.

Tulis a = 2m untuk suatu m bilangan bulat.

Jadi 4m2

= 2b2

b2

= 2m2.

Jadi b2

merupakan kelipatan 2.

Jadi b kelipatan 2.

Jadi (a,b) > 1.

Bilangan = 3,14159 ... yang

merupakan perbandingan keliling dan

diameter suatu lingkaran juga termasuk

bilangan tak rasional.

Terdapat lambang-lambang baku untuk

mengenali himpunan-himpunan bilangan,

misalnya:

R = {x x bilangan real},

N = { x x bilangan asli},

Z = { x x bilangan bulat},

Q = { x x bilangan rasional},dan

Qc

= { x x bilangan tak rasional}.

Jelas N = {1, 2, 3, ...} dan

Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

2. Operasi Pada R

Operasi jumlah pada R merupakan fungsi

“+”: R x R R

(x,y) x + y

dan operasi kali pada R merupakan fungsi

“x”: R x R R

(x,y) x x y.

Operasi jumlah dan kali pada R memenuhi

sifat-sifat berikut.

Jika x, y, x R, berlaku:

(1) Sifat komutatif

x + y = y + x dan

x.y = y.x.

(2) Sifat asosiatif

x + y + z = x + (y + z) = (x + y) + z

x . y . z = x . (y . z) = (x . y) . z

(3) Sifat distributif

x . (y + z) = x . y + x . z

(x . y) . z = x . z + y . z

j\“¤·“·†?P 003 j\“¤·“·†?P 004

(4) Unsur identitas

Terdapat unsur-unsur 0 dan 1 yang

memenuhi

x + 0 = 0 + x x R dan

x . 1 = 1 . x x R.

(5) Unsur balikan

x R –x R x + (–x) = 0 dan

x R, x 0, x– 1

R x.x– 1

= 1.

Kelima sifat di atas dikenal dengan sifat

lapangan (field). Jadi R merupakan suatu

lapangan.

Operasi selisih pada R merupakan fungsi

“–“: R x R R

(x,y) x + (– y)

dan operasi kali pada R merupakan fungsi

“:” : R x R R

(x,y) x x y– 1

.

3. Urutan pada R

Terdapat urutan baku pada R. Jika

pada garis bilangan letak b terletak di

kanan a, dikatakan b lebih dari a dan ditulis

dengan

b > a.

Tentu saja sama artinya apabila dika-

takan a kurang dari b dan ditulis

a < b.

Definisi 1

Teorema 2

Contoh 3

Tentukan himpunan selesaian pertidaksa-

maan: (a) x + 2 < 5, x R dan

(b) 923 x , x R.

Penyelesaian:

(a) Jelas x + 2 < 5

x + 2 + (–2) < 5 +(–2)

x < 3.

Jadi HS = { x R x < 3}.

(b) Jelas 923 x

9.)..(32

23

32 x

6x .

Jadi HS = { x R 6x }.

Berikut ini disajikan beberapa kesepa-

katan untuk menyatakan selang-selang

pada R. Apabila a, b R, didefinisikan:

(1) (a,b) = { x R a < x < b},

(2) [a,b) = { x R a x < b},

(3) (a,b] = { x R a < x b},

(4) [a,b] = { x R a x b},

(5) [a,+ ) = { x R x a}, dan

(6) (– , a] = { x R x a}.

Contoh 4

Tentukan himpunan selesaian x2

– x –2 4.

Penyelesaian:

Jelas x2

– x – 2 4 x2

– x – 6 0

(x + 2)( x – 3) 0.

Titik-titik pembuat nol ruas kiri adalah –2

dan 3.

j\“¤·“·†?P 005 j\“¤·“·†?P 006

Dipunyai a, b R.

a < b b – a 0

dan

a < b, a = b atau a > b.

Jika x, y, z, c R

maka (i) x=y, x<y, atau x>y,

(ii) x<y dan y < z x < z,

(iii) x<y x + c < y + c,

(iv) x<y dan c > 0 x . c < y . c,

(v) x<y dan c < 0 x . c > y . c.

Nilai (x + 2), (x – 3), dan (x + 2)(x – 3) pa-

dan selang (– ,–2),( –2,3), dan (3, + ):

Jadi HS = (– ,–2] [3, + ).

Teorema 3

Bukti (a):

Dipunyai ba0 .

Jelas a > 0, b > 0, dan a b.

Jelas a + b > 0 dan a – b 0.

Jadi (a + b)(a – b) 0 a2

– b2

0

a2

b2.

Jadi 220 baba .

Bukti (b):

Dipunyai ba0 .

Jelas a > 0, b > 0, dan a b.

Jelas a.b > 0 dan a – b 0.

Jadi 0ab

ba

a

1

b

1

b

1

a

1.

Jadib

1

a

1ba0 .

Bukti lainnya diserahkan pembaca sebagai

latihan.

4. Norm Baku di R

Pada garis bilangan berikut ini jarak 2

ke 5 adalah 3, ditulis j(2,5) = 3. Demikian

pula jarak 5 ke 2 juga 3, ditulis j(5,2) = 3.

Sedangkan

2 – 5 = –3 < 0 dan 5 – 2 = 3.

Berdasarkan fakta ini perlu didefinisikan

konsep jarak dua titik di R sebagai berikut:

dipunyai a, b R, jarak a ke b didefini-

sikan sebagai

J(a,b) =0apabila

0apabila

baba

abab.

Dengan demikian jarak 0x ke 0 sama

dengan jarak 0 ke 0x , ditulis dengan

J(x,0) = j(0,x) =0apabila

0apabila

xx

xx.

Selanjutnya, jarak x ke x ditulis j(x,x) = 0.

sebagai contoh j(7,7) = 0 dan j(0,0) = 0.

Definisi 4

Contoh 5

Tentukan 2 ,23 , dan 1 .

Penyelesaian:

(a) Jelas 2 > 0.

Jadi 2 = 2.

(b) Jelas 023 .

j\“¤·“·†?P 007 j\“¤·“·†?P 008

– – – + + + + + +

– – – – – – + + +

– – –+ + + + + +

(x + 2)

(x – 3)

(x + 2)(x – 3)

Gambar 2: Daerah nilai (x + 2), (x – 3),

dan (x + 2)(x – 3).

–2

–2

–2

3

3

3

Jika x R, J(x,0) ditulis dengan x

yang dibaca “nilai mutlak x” didefini-

sikan sebagai:

x =0apabila

0apabila

xx

xx.

Dipunyai a, b R.

(a) 220 baba ,

(b)ba

ba11

0 ,

(c) 220 baba , dan

(d)ba

ba11

0 .

Jadi23 =

23)

23( .

(c) Dipunyai 14,3 .

Jadi 1 – 1 – 3,14 = – 2,14 < 0.

Jadi 1 = –(1 – ) = – 1.

Berikut ini disajikan beberapa teorema

yang penting tentang nilai mutlak.

Teorema 4

(1) aaa R.

(2) babaab ,. R.

(3) Jika c > 0 maka

ca – c a c.

(4) aaaa R.

(5) bababa , R.

Bukti (1):

Ambil sembarang a R.

Kasus a < 0:

Tulis a = –m untuk suatu m > 0.

Jelas mmma )( dan

mma .

Jadi aa .

Kasus a = 0:

Jelas – a = 0.

Jadi aa = 0.

Kasus a > 0:

Jelas – a < 0.

Jadi aa dan aaa )( .

Jadi aa .

Jadi aaa R.

Bukti (3):

Dipunyai c > 0.

( ) Ambil sembarang a R.

Dipunyai ca .

Kasus a < 0:

Jelas ca – a c a –c.

Jadi –c a c.

Kasus a > 0:

Jelas ca a c.

Jelas – a < 0.

Jadi – a < c a > –c.

Jadi –c a c.

Jadi ca –c a c.

( ) Dipunyai –c a c.

Ambil sembarang a R.

Kasus a < 0:

Jelas –c a c cac

cac .

Jadi ca .

Kasus a = 0:

Jelas 0 c ca .

Kasus a > 0:

Jelas –c a c cac .

Jadi ca .

Jadi –c a c ca .


latihan.

Teorema 5:

Bukti:

(a) Ambil sembarang a,b R.

Jelas a = bba )( bba dan

b = aab )( aab .

Jadi baba dan baba )( .

Jadi baba .

(b) Ambil sembarang a,b R.

Jelas ba = )( ba

ba

= ba .

Jadi bababa , R.

j\“¤·“·†?P 009 j\“¤·“·†?P 010

Untuk setiap a, b R berlaku:

(a) baba dan

(b) baba .

Contoh 5

Tentukan HS pertidaksamaan berikut ini:

(a) 45x (c) 03x

x

(b) 721 xx (d) 03x

x

Penyelesaian:

(a) Cara 1:

Ambil sembarang x R.

Kasus x – 5 < 0:

Jelas x < 5.

Jelas 45x –(x – 5) 4

–x + 5 4

x 1.

Jadi HS1 = [1, 5).

Kasus x – 5 0:

Jelas x 5.

Jelas 45x x – 5 4

x 9.

Jadi HS2 = [5, 9].

Jadi HS = [1, 5) [5, 9] = [1, 9].

Cara 2:


Jelas 45x – 4 x – 5 4

1 x 9.

Jadi HS = [1, 9].

(b) Ambil sembarang x R.

Kasus x < – 1:

Jelas 721 xx –(x + 1) >2x – 7

–x – 1 > 2x – 7

x < 2.

Jadi HS1 = (– ,–1).

Kasus x – 1:

Jelas 721 xx x + 1 > 2x – 7

–x > – 8

x < 8.

Jadi HS2 = [– 1, 8).

Jadi HS = (– ,–1) [– 1, 8) = (– ,8).

(c) Ambil sembarang x R – {3}.

Jelas x 3.

Jadi (x – 3)2

> 0.

Jadi 03x

xx(x – 3) 0.

Selanjutnya daerah nilai x, (x – 3), dan

x(x – 3) diperlihatkan pada gambar be-

rikut ini.

Jadi HS = [0, 3].

(d) Ambil sembarang x R – {3}.

Jelas x – 3 0.

Jadi 03x .

Jadi 03x

x x 3.

Jadi HP = (– , 0].

4. Bidang Koordinat

Untuk menganalisis hubungan antara

dua variabel, sebagai contoh:

(a) hubungan antara waktu dan jarak

yang ditempuh suatu partikel yang

bergerak sepanjang garis,

(b) hubungan antara tekanan dan tem-

peratur suatu gas ideal,

j\“¤·“·†?P 011 j\“¤·“·†?P 012

– – – + + + + + +

– – – – – – + + +

– – –+ + + + + +

x

x – 3

x(x – 3)

0

0

0

3

3

3

Gambar 3: Daerah nilai x, (x – 3),

dan x(x + 3).

diperlukan suatu sistem kordinat dalam dua

dimensi. Sistem koordinat ini dibangun

dengan cara sebagai berikut:

(a) pilih titik O sebagai titik pangkal,

(b) melalui titik O dibangun sumbu

datar dan sumbu tegak yang selan-

jutnya berturut-turut disebut dengan

sumbu X dan sumbu Y,

(c) bagian positif sumbu datar adalah

sumbu datar yang letaknya di kanan

titik pangkal O,

(d) bagian positif sumbu tegak adalah

sumbu tegak yang letaknya di atas

titik pangkal,

(e) bidang yang dibangun oleh sumbu

datar dan sumbu tegak disebut

bidang koordinat XOY,

(f) setiap titik pada bidang XY berpa-

danan dengan sepasang bilangan

real (xo, yo) yang disebut koordinat

titik tersebut.

Perhatikan titik P pada bidang koordinat

berikut ini.

Titik-titik Q dan R berturut-turut merupa-

kan projeksi titik P pada sumbu X dan

sumbu Y.

Tulis j(PQ) = oy dan j(PR) = ox .

Jelas oy = yo dan ox = xo.

Selanjutnya xo disebut koordinat x titik P,

yo disebut koordinat y titik P, dan (xo, yo)

disebut koordinat titik P.

Berikut ini disajikan gambar beberapa

titik di bidang koordinat.

Jarak titik-titik A, B, C, dan D ke sumbu X

berturut-turut adalah:

11 , 33 , 33 , dan 11 .

Sedangkan jarak titik-titik A, B, C, dan D

ke sumbu Y berturut-turut adalah:

44 , 11 , 44 , dan 22 .

Gambar berikut memperlihatkan dua

titik )1,1( yxP dan )2,2( yxQ .

Jarak titik P ke titik Q ditulis j(P, Q).

Jelas j(P, Q) = 212

212 yyxx

= 2)12(2)12( yyxx

Contoh 6

Tentukan jarak antara dua titik berikut:

(a) A(– 3, 1) dan B(1, – 2)

(b) P(1,1) dan Q(–1,–7)

j\“¤·“·†?P 013 j\“¤·“·†?P 014

P(xo,yo)

Q

R

X

Y

O

Gambar 4: Bidang koordinat

X

Y

A(4,1)

B(–1,3)

D(2,–1)

C(–4, –3)

Gambar 5: Posisi beberapa titik

pada bidang koordinat

)1,1( yxP

Gambar 6: Jarak titik P ke titik Q

Y

X

)2,2( yxQ

)1,2( yxR

Penyelesaian:

(a) Jelas j(A, B) = 2)12(2)31(

= 25 = 5.

(b) Jelas j(A, B) = 2)17(2)11(

= 68 = 172 .

Contoh 7

Tentukan persamaan lintasan titik-titik

yang berjarak sama dari titik A(4,3) dan

B(–5, –1).

Penyelesaian:

Ambil sembarang titik P(x,y) pada lintasan.

Jelas j(P, A) = j(P, B)

2)3(2)4( yx = 2)1(2)5( yx

8

1

4

9xy .

Ini menunjukkan bahwa lintasannya meru-

pakan suatu garis lurus.

5. Lingkaran

Lingkaran adalah lintasan titik-titik

yang berjarak sama ke suatu titik tertentu.

Selanjutnya, jarak yang tetap disebut jari-

jari lingkaran dan titik tertentu disebut titik

pusat lingkaran.

Sekarang akan dicari persamaan

lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan

ukuran jari-jarinya r.

Ambil sembarang titik P(x,y) pada lingkar-

an.

Jelas j(O,P) = r

ryx2)0(2)0(

ryx22(

222ryx .

Tampilan 222ryx merupakan persama-

an lingkaran berpusat di titik O(0,0) dan

berukuran jari-jari r.

Contoh 8

(a) Tentukan persamaan lingkaran ber-

jari-jari 4 dan berpusat di titik

A(2,3).

Jelaskan dan sket grafik yang persamaan-

nya x2

+ y2

+ 6x – 2y + 6 = 0.

Penyelesaian:

(a) Ambil sembarang titik P(x,y) pada

lingkaran.

Jelas j(P,A) = 4

j\“¤·“·†?P 015 j\“¤·“·†?P 016

42)3(2)2( yxhubungan dua peubah lebih rumit dari garis

lurus. Berdasarkan ini para ilmuwan selalu

A(4,3)

B(–5, –1)

P(x,y)

X

Y

Gambar 7: Lintasan titik-titik yang

berjarak sama dari titik

A ke B.

X

Y

P(x,y)

O

Gambar 8: Lingkaran berpusat di O(0,0)

dan berjari-jari r

162)3(2)2( yx

036422yxyx .

(b) Jelas x2

+ y2

+ 6x – 2y + 6 = 0

(x2+2.(3x).1+9)+( y

2– 2.y.1+1) = 4

(x + 3)2

+ (y – 1)2

= 22.

merupakan persamaan lingkaran berpu

sat di titik (– 3,1) dan berukuran jari-

jari 2.

Gambar lingkaran itu adalah sebagai

berikut:

6. Persamaan Linear

Persamaan yang grafiknya merupa-

kan garis lurus sangat penting di dalam

kalkulus. Masalah mendasar seluruh objek

adalah mencari persamaan garis singgung

suatu kurva di suatu titik yang diketahui.

Secara umum, garis merupakan gambar

hubungan antara dua variabel. Biasanya

melinearkan model-model yang diperoleh

dengan cara mencari suatu garis lurus yang

merupakan hmpiran terbaik sebagai hu-

bungan dua variabel itu yang masih dibe-

narkan.

Jika P(x1,y1) dan Q(x2,y2) merupakan

dua titik berbeda membangun suatu garis

(sebut dengan garis l). Kemiringan atau

gradien garis l diberi lambang lm didefin-

isikan sebagai perbandingan garis berarah

vertikal dan garis berarah horizontal dari P

ke Q atau dari Q ke P.

Berdasarkan definisi, dapat ditentukan:

12

12xx

yyPQmm

l

atau

21

21xx

yymm

QPl.

Contoh 9

Tentukan persamaan garis l yang mempu-

nyai gradien m dan melalui titik A(x1,y1)!

Penyelesaian:

Ambil sembarang titik P(x, y) pada garis l.

Jelas m =1

1xx

yy)1(1 xxmyy

y = mx + b, b = y1 – mx1.

j\“¤·“·†?P 017 j\“¤·“·†?P 018

X

Y

P(–3,1 )

Or

Gambar 9: Lingkaran berpusat di

P(–3, 1) dan berukur-

an jari-jari 2.

P(x1,y1)

Q(x2,y2)

X

Y

Gambar 10: Garis PQ melalui titik

P(x1, y1) dan Q(x2, y2)

Contoh 10

Tentukan persamaan garis lurus yang:

(a) melalui titik (3,6) dan mempunyai

kemiringan m = 3.

(b) Melalui titik-titik A(–2,3) dan

B(2,– 3).

Penyelesaian:

(a) Tulis f: garis yang diminta.

Ambil sembarang titik P(x,y) pada f.

Jelas m =3

6

x

y3 =

3

6

x

y

3x – 9 = y – 6

y = 3x – 3.

Jadi f: y = 3x – 3.

(b) Tulis g: daris yang diminta.

Jelas23

22

33gm .

Ambil sembarang titik P(x,y) pada g.

Jadi g:2

3

23

x

y33

23 yx

2

3xy .

Contoh 11

Tentukan kemiringan dan koordinat titik

potong garis g: 2x + 4y – 6 = 0.

Penyelesaian:

Jelas 2x + 4y – 6 = 023

21 xy .

Jadi21

gm .

Tulis23

21)( xxg .

Jelas23)0(g .

Jadi grafik g memotong sumbu Y di (0, )23 .

Garis vertikal mempunyi sifat bahwa

setiap titik ada garis ini mempunyai koor-

dinat x yang sama. Sedangkan garis hori-

zontal mempunyai sifat bahwa setiap titik

pada garis ini mempunyai koordinat y yang

sama. Perhatikan Gambar 12 berikut ini:

Teorema 6

Buktinya sederhana, diserahkan pembaca

sebagai latihan.

Contoh 12

Dipunyai garis f: y – 3x – 4 = 0. Tentukan:

(a) persamaan garis g yang sejajar

dengan garis g dan melalui titik

(3,0).

(b) Persamaan garis h yang tegak lurus

garis f dan melalui titik (–3, 2).

Penyelesaian:

(a) Jelas y – 3x – 4 = 0 y = 3x + 4.

Jadi mf = 3.

Dipunyai garis g // f.

Jadi mg = mf = 3.

j\“¤·“·†?P 019 j\“¤·“·†?P 020

X

Y

h: y = 1

v: x = 1

Gambar 12: Garis h horizontal dan

garis v vertical.

X

Y

)23,0(

(3,0)

g

Gambar 11: Grafik g: 2x + 4y – 6 = 0

Dipunyai dua garis berbeda yang

memiliki persamaan

f: y = m1x + b1 dan g: y = m2x + b2.

(a) f // g m1 = m2

(b) f g m1 . m2 = –1.

Dipunyai garis g melalui titik (3,0).

Jadi g: y – 0 = 3(x – 3) y = 3x – 9.

(b) Dipunyai h f.

Jadi mh . mf = –1

mh = –31 .

Dipunyai garis h melalui titik (–3, 2).

Jadi h: y – 2 = –31 (x + 3)

y = 13

x .

7. Fungsi

Pengertian fungsi merupakan suatu

hal yang mendasar dalam kalkulus. Berikut

ini disajikan definisi fungsi.

Definisi 7

Selanjutnya apabila (x,y) f, ditulis

y = f(x)

atau

f: x y

yang menyatakan y sebagai nilai f di x.

Suatu fungsi dari A ke B digambarkan

sebagai suatu grafik (Gambar 13), dan

sebagai suatu pemetaan (Gambar 14).

Himpunan A disebut daerah asal (domain)

fungsi f diberi lambang Df, dan

{y B (x,y) f}

disebut daerah hasil (range) fungsi f dan di-

beri lambing Rf.

Contoh 13

Periksa pengaitan-pengaitan berikut ini

merupakan fungsi atau bukan:

(a) f: R R , f(x) = x,

(b) g: R R, g(x) = x3, dan

(c) h: [–5,5] [–5,5], x2

+ y2

= 25.

Penyelesaian:

(a) Ambil sembarang x R.

Jelas x = f(x).

Pilih y = x.

Jelas y = f(x).

Jadi )(xfyRyRx .

Ambil sembarang a, b R, a = b.

Jelas f(a) = a = b = f(b).

Jadi ba, R, a = b, f(a) = f(b).

Jadi f suatu fungsi.

j\“¤·“·†?P 021 j\“¤·“·†?P 022

Dipunyai himpunan A dan B. Suatu

fungsi f dari himpunan A ke B merupa-

kan pasang terurut f A x B sehingga:

(1) fyxByAx ),( dan

(2) (x,y) f dan (x,z) f y = z.

AB

f

xf(x)

Gambar 14: Fungsi g: A B sebagai suatu

pemetaan.

X

Y

(x,y)

x

y

A

B

Gambar 13: Grafik fungsi f: A B.

f


Jelas x3

R.

Pilih y = x3.

Jelas y = f(x).

Jadi )(xfyRyRx .

Ambil sembarang a, b R, a = b.

Jelas f(a) = a3

= b3

= f(b).

Jadi ba, R, a = b, f(a) = f(b).

Jadi f suatu fungsi.

(c) Pilih x = 3 [–5,5].

Jelas 32

+y2

= 25 y2

= 16

y = –4 y = 4.

Ini berarti

a, b [–5,5], a = b, h(a) h(b).

Jadi h bukan suatu fungsi.

Gambar situasinya:

Contoh 14

Tentukan daerah asal, daerah hasil, dan

sket setiap grafik fungsi f berikut ini:

(a) f(x) = x2

(d) f(x) =1

12

x

x

(b) f(x) = x + 1 (e) f(x) = xx 22

(c) f(x) = x (f) f(x) = xx 22

Penyelesaian:

(a) Jelas Df = R dan Rf = [0,+ ).

Daftar nilai f:

x ... –2 –1 0 1 2 ...

x2

... 4 1 0 1 4 ...

Grafik f:

j\“¤·“·†?P 023 j\“¤·“·†?P 024

X

Yg

x

g(x)

Gambar 16: Grafik f(x) = x3

Gambar 15: Grafik f(x) = x

X

Y

f

x

f(x)

X

Y f

(0,0)

(1,1)

(2,4)

(-1,1)

(-2,4)


X

Y

3

Gambar 17: Grafik x2

+ y2

= 25

bukan merupakan fungsi

4

– 4

Y

(b) Dipunyai f(x) = x + 1.

Jelas Df = R dan Rf = R.

Daftar nilai f:

x ... –1 0 1 ...

x2

... 0 1 2 ...

Grafik f:

(c) Jelas Df = R dan Rf = [0,+ ).

Daftar nilai f:

x ... –2 –1 0 1 2 ...

x2

... 2 1 0 1 2 ...

Grafik f:

(d) Jelas f(x) =1

12

x

x = x + 1, x 1.

Jelas Df = R – {1} dan Rf = R – {2}.

Daftar nilai f:

x ... –2 –1 0 1 2 ...

x2

... –1 0 1 2 3 ...

Grafik f:

(e) Jelas x2

– 2x > 0 x(x – 2) > 0

x < 0 x > 2.

Jadi Df = (– ,0) (2,+ ) dan

Rf = (0,+ ).

Daftar nilai f:

x ... –3 –2 2 3 ...

x2

... 3 0 0 3 ...

Grafik f:

(f) Jelas f(x) = xx 22

= .)2,0(,22

),2[]0,(,22

xxx

xxx

Jelas Rf = R dan Df = [0,+ ).

j\“¤·“·†?P 025 j\“¤·“·†?P 026

Daftar nilai f: Grafik f:

X

Y

(-3,3)

(-2,2)

(-1,1)

(0,0)

(1,1)

(2,2)

(3,3)

f


X

Y

ff

(–2,0) (2,0)

Gambar 22: Gambar f(x) = xx 22

f

X

Y

(-1,0)

(0,1)

(1,2)

Gambar 19: Grafik f(x) = x + 1

X

Y

(-1,0)

(0,1)

(1,2)

Gambar 21: Grafik f(x) =1

12

x

x .

x ... –1 0 1 2 3 ...

x2

... 3 0 1 0 3 ...

Grafik f:

Contoh 15

Jika x R, x didefinisikan sebagai bi-

langan bulat terbesar yang kurang dari atau

sama dengan x.

Dipunyai f: R B, f(x) = x .

Periksa apakah f merupakan fungsi atau

bukan.

Penyelesaian:


Pilih y = maks {b B b x}.

Jelas y B dan y = f(x).

Jadi x R y B y = f(x).

Ambil sembarang x B.

Pilih y = x R.

Jelas f(y) = f(x) = x = x.

Jadi x B y R y = f(x).

Jadi f merupakan suatu fungsi.

Dengan mudah dapat dihitung bahwa:

f([–2, –1)) = –2,

f([–1, 0)) = –1,

f([0, 1)) = 0,

f([1, 2)) = 1,

f([n–1, n)) = n – 1.

Berikut ini disajikan beberapa sifat

fungsi.

Definisi 9

Contoh 16

Periksa fungsi-fungsi berikut merupakan

fungsi injektif atau bukan.

(a) f: R R, f(x) = x3

dan

(b) g: R R, g(x) = x2

– 1.

Penyelesaian:

(a) Ambil sembarang x1, x2 R, x1 x2.

Jelas

0)21( xx dan 0)212.1

21

( xxxx .

j\“¤·“·†?P 027 j\“¤·“·†?P 028

Jelas f(x1) – f(x2) (b) Ambil sembarang x [–1,+ ).

Dipunyai fungsi f: A B.

Fungsi f dikatakan satu-satu (injective)

jika untuk setiap dua unsur beda di A

mempunyai peta yang beda. Definisi

ini dapat disajikan secara formal seba-

gai berikut:

x1, x2 A, x1 x2, f(x1) f(x2).

X

Y

ff

(0,0) (2,0)

Gambar 23: Gambar f(x) = xx 22

(3,3)(-1,3)

X

Y

– 1

– 2

– 3

1`

2`

3`


= 32

31

xx

= )212.1

21

)(21( xxxxxx

0.

Jadi f(x1) – f(x2) 0.

Jadi x1, x2 R, x1 x2, f(x1) f(x2).

Jadi f suatu fungsi injektif.

(b) Pilih x1 = –1 dan x2 = 1.

Jelas g(x1) = g(–1) = 0 = g(1) = g(x2).

Jadi x1, x2 R, x1 x2, g(x1) = g(x2).

Jadi g bukan fungsi injektif.

Definisi 10

Contoh 17

Periksa fungsi-fungsi berikut merupakan

fungsi surjektif atau bukan.

(a) f: R R, f(x) = 2x – 1 dan

(b) g: R [–1,+ ), g(x) = x2

– 1.

Penyelesaian:


Jelas x = 12

12

x .

Pilih y =2

1x R.

Jelas f(y) = 12

12

x = x.

Jadi x R, y R f(y) = x.

Jadi f merupakan suatu fungsi surjek-

tif.

Pilih y g(y) = x.

Jelas g(y) = x y2

– 1 = x

y2

= x + 1

1xy 1xy

Jelas y R.

Jadi x [–1,+ ), y R, g(y) = x.

Jadi g merupakan suatu fungsi surjek-

tif.

Fungsi f: RI dikatakan bijektif

apabila fungsi f merupakan fungsi injektif

dan sekaligus surjektif.

8. Fungsi naik dan Fungsi Turun

Banyak model fenomena alam yang

mempunyai solusi sebagai suatu fungsi

yang naik atau turun. Sebagai contoh

model populasi suatu mahluk hidup, model

peluruhan radio aktif, dan sebagainya.

Definisi 11

Definisi 12

j\“¤·“·†?P 029 j\“¤·“·†?P 030

Dipunyai fungsi f: A B.

Fungsi f dikatakan pada (surjective)

jika Rf = B. Definisi ini dapat disaji-

kan secara formal sebagai berikut:

x B, y A f(y) = x.

Dipunyai fungnsi f: A B.

Grafik fungsi f dikatakan naik jika

fungsi f melestarikan urutan. Definisi

ini dapat disaji-kan secara formal

sebagai beri-kut:

)()(,,, bfafbaAba .

Dipunyai fungnsi f: A B. Grafik

fungsi f dikatakan turun jika fungsi f

tak melestarikan urutan. Definisi ini

dapat disaji-kan secara formal sebagai

beri-kut:

)()(,,, bfafbaAba .

Contoh 17

Periksa apakah grafik fungsi berikut naik

ataukah turun:

(a) f: R R, f(x) = 2x – 1,

(b) f: [0,+ ) R, f(x) = x2, dan

(c) f: R R, f(x) = x2.

Penyelesaian:

(a) Ambil sembarang x1, x2 R, x1 < x2.

Jelas x1 – x2 < 0.

Jelas f(x1) – f( x2) = 2x1 – 1 – 2x2 + 1

= 2(x1 – x2)

Jadi f(x1) < f( x2).

Jadi x1, x2 R, x1 < x2, f(x1) < f( x2).

Jadi grafik f naik.

(b) Ambil sembarang x1,x2 (– ,0],x1 x2.

Jelas x1 0, x2 0, dan x1 – x2 0.

Jadi x1 + x2 0, dan x1 – x2 0.

Jelas f(x1) – f( x2) = 22

21

xx

= (x1 + x2)( x1 – x2)

0.

Jadi x1,x2 (– ,0],x1 x2, f(x1) f(x2).

Jadi grafik f turun pada (– ,0].

(c) Pilih x1 = –2 dan x2 = 1.

Jelas x1, x2 R dan x1 < x2.

Jelas f (x1) = 4 > 1 = f (x1).

Jadi )()(,,, 212121 xfxfxxRxx .

Jadi grafik f tidak naik pada R.

9. Operasi Aljabar Fungsi

Suatu cara untuk membangun suatu

fungsi baru adalah dengan menjumlah,

mengurangi, mengalikan, atau membagi

fungsi-fungsi yang diketahui. Berikut ini

didefinisikan operasi pada fungsi:

Definisi 13

Contoh 18

Dipunyai fungsi f : RR , f (x) = x dan

g : [1,+ ) [0,+ ), g(x) = 1x .

(a) jika h1 = f + g, tentukan: rumus h1,

daerah asal, dan daerah hasil h1.

(b) jika h2 =g

f, tentukan: rumus h2, dae-

rah asal, dan daerah hasil h2.

Penyelesaian:

(a) Jelas h1(x) = f(x) + g(x)

= x + 1x .

Jelas ),0[1hD dan ),1[

1hR .

Grafik h1:

j\“¤·“·†?P 031 j\“¤·“·†?P 032

Contoh 18

Dipunyai f dan g adalah fungsi-fung-

si dan k suatu konstanta. Fungsi-

fungsi f + g, f – g, kg, f.g, dang

f

didefinisikan sebagai berikut:

(a) (f + g)(x) = f(x) + g(x)

(b) (f – g)(x) = f(x) – g(x)

(c) kg(x) = k . g(x)

(d) (f.g)(x) = f(x).g(x)

(e) 0)(,)(

)()( xg

xg

xfx

g

f

untuk semua x di daerah definisinya.

7

Y h1

(b) Jelas g(x) = 1x 0 x (1,+ ).

Jelas h2(x) = )(xg

f

=)(

)(

xg

xf

=1x

x .

Jadi ),1(2hD dan ,2[

2hR ).

Grafik :2h

Dipunyai f : R R, f (x) =0,1

0,

x

xxdan

g : R R, g (x) =1,21,

xx

xx.

Tentukan f + g, daerah asal, dan daerah

hasilnya.

Penyelesaian:

Tulis f(x) = 1

1,1

0,1

0,

x

x

xx

dan

g(x) =

1,

10,

0,

2xx

xx

xx

.

Jadi (f + g)(x) =

1,1

10,1

0,0

2xx

xx

x

.

Dari Gambar 27, dapat dilihat bahwa:

gfD R

dan

gfR = [0,+ ) (–2,–1).

Grafik f + g:

j\“¤·“·†?P 033 j\“¤·“·†?P 034

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

X

X

Y

g

f

(2,1)

(2,2)(1,1)

(1,0)

(5,2)

(5,5)

(5,25 )

Gambar 26: Grafik h2(x) =g

f(x)

Gambar 27:

Gambar ))(( xgf =

1,21

10,1

0,0

xx

xx

x

Y g

g

f

f

f + g

f + g

f + g

X

10. Komposisi Fungsi-Fungsi

Kadang-kadang dua fungsi diga-

bung tidak menggunakan operasi-operasi

aljabar yang telah dikenal, akan tetapi

dengan cara fungsi kedua didefinisikan

pada daerah hasil fungsi pertama. Fungsi

yang dihasilkan dengan cara ini dinama-

kan fungsi komposisi.

Sebagai contoh, fungsi h(x) = 1x

dapat dibangun melalui dua fungsi, yaitu:

fungsi nilai mutlak

g: R [0,+ ) dengan g(x) = x

dan fungsi linear

g: R R dengan f(x) = x – 1.

Untuk menghitung h(a), pertama dicari

a–1 dan kemudian dihitung nilai

mutlaknya, yaitu 1a .

Definisi 14

Pada Gambar 28 terlihat bahwa gfD ada-

lah prapeta fDgR oleh g ditulis dengan

)(1fDgRg

dan gfR adalah peta fDgR oleh f dan

ditulis dengan

)( fDgRf .

Gambar 28: Diagram

fungsi komposisi gf

Contoh 19

Dipunyai fungsi-fungsi f dan g yang disaji-

kan berturut-turut oleh

f(x) = x – 2 dan g(x) = x2

– 1.

Tentukan gf dan fg jika ada, selan-

jutnya tentukan daerah asal dan daerah

hasilnya.

Penyelesaian:

Jelas fD R, fR R, gD R, dan

),1[gR .

(a) Jelas ),1[fDgR R= ),1[ .

Jadi gf ada.

Jelas ))(( xgf = f[g(x)]

= f(x2

– 1) – 2

= x2

– 3.

Jelas gfD = g– 1

([–1,+ )) = R dan

gfR = f([–1,+ )) = [–3,+ ).

(b) Jelas gDRf = R R = R .

Jadi fg ada.

Jelas ))(( xfg = g[f(x)]

= g(x – 2)

= (x – 2)2

– 1.

j\“¤·“·†?P 035 j\“¤·“·†?P 036

Dipunyai fungsi-fungsi f dan g dengan

Rg Df . Fungsi komposisi f g

didefinisikan sebagai

(f g)(x) = f[g(x)] x Rg Df.

gf

f g

Df g Rf gRg Df

Df

Rg

Dg

Rf

Jelas fgD = f– 1

(R) = R dan

fgR = g(R) = R.

Berikut ini disajikan beberapa contoh

berbagai fungsi yang dapat dikembalikan

sebagi komposisi dua fungsi:

(a) Fungsi h(x) = 32

)72(x dibangun dari

32

)( xxf dan g(x) = x2

+ 7 dengan

rumus ( gf )(x).

(b) Fungsi h(x)= 224 x dibangun dari

xxf 4)( dan g(x) = 2 + x2

dengan

rumus ( gf )(x).

(c) Fungsi h(x) = 224 x dapat pula di-

bangun dari xxf 4)( dan g(x) = 2+x2

dengan rumus ( gf )(x).

(d) Fungsi h(x) =43

8

x

dibangun dari

fungsix

xf8

)( dan g(x) = 3 + x4

de-

ngan rumus ( gf )(x).

(e) Fungsi h(x) =43

8

x

dapat pula diba-

ngun dari fungsix

xf8

)( dan g(x) =

43 x dengan rumus ( gf )(x).

11. Balikan (Invers) Fungsi

Banyak fungsi yang sangat berman-

faat dibangun dengan menggunakan fung-

si yang telah dikenal. Dimulai dengan

fungsi yang memetakan titik ke dirinya

sendiri yang disebut dengan fungsi iden-

titas.

Definisi 15

Definisi 16

Gambar situasinya:

Perhatian 1: Tampilan f–1

merupakan in-

vers fungsi f dan f–1

f

1 .

Perhatian 2: jika g adalah invers f, maka

fRgD sebab g didefini-

sikan oleh:

g(y) = x y = f(x).

Contoh 20

(a) Dipunyai fungsi

f: R R , f(x) = 2x

dan

g: R R , g(x) =2

x .

j\“¤·“·†?P 037 j\“¤·“·†?P 038

f

f–1

AB

Rf

Gambar 29: Diagram fungsi f dan f–1

Fungsi i: A B dengan A B disebut

fungsi identitas apabila

i(x) = x untuk setiap x A.

Dipunyai fungsi f: A B. Jika terda-

pat fungsi g: Rf A sehingga

g[f(x)] = x x A

maka fungsi g disebut invers f dan

dituliskan dengan

g = f–1

.


Jelas g[f(x)] = g(2x) =2

2x = x.

Jadi g = f–1

.

(b) Dipunyai fungsi f: R R , f(x) = 2x – 1.

Jelas f fungsi bijektif.

Jadi f–1

ada.


Jelas x = 12

122

x = )2

12( xf .

Jadi f–1

(x) = f–1

[f(2

12x )]

= ( )2

12)(1( xff

= )2

12( xi

=2

12x .

(c) Fungsi f : R R yang disajikan oleh

f(x) = x2

tidak mempunyai invers. Hal

ini disebabkan untuk setiap bilangan

positif x berkorespondensi dengan 2

bilangan berbeda di Df = R. Sebagai

contoh, untuk x = 4 diperoleh f(–2) = 4

dan f(2) = 4. Ini berarti tak mungkin

mendefinisikan g(4) = 2 dan g(4) = –2.

Jadi tidak ada fungsi g yang memenuhi

g[f(x)] = x untuk setiap x R.

Teorema 17

Bukti:

Bangun pengaitan g: Rf Df sehingga

g(x) = y x Rf dan x = f(y).

Ambil sembarang a,b Rf, a = b.

Tulis a = f(x1) dan b = f(x2).

Dipunyai f fungsi injektif.

Jadi x1 = x2.

Jadi a,b Rf, a = b, g(a) = g(b).

Jadi g suatu fungsi.

Ambil sembarang x Df.

Jelas g[f(x)] = g(y) untuk suatu y Rf

= x.

Jadi x Df , g[f(x)] = x.

Jadi g = f–1

.

Jelas fRgDf

D 1 .

Contoh 21

Dipunyai f: R R , f(x) = 2x – 4.

Jelas f fungsi injektif.

Jadi f–1

ada.


Tulis 2x – 4 = y x = 22

y.

Jadi f–1

(x) = 22x .

Jelas fRf

D 1 = R.

Gambar situasinya:

Hubungan grafik fungsi f dan

inversnya f–1

dapat ditentukan dengan cara

j\“¤·“·†?P 039 j\“¤·“·†?P 040

Jika f: A B merupakan fungsi

injektif, maka

(a) fungsi f–1

ada, dan

(b) fRf

D 1 .

X

Y

(4,4)

–4 2

–4

2

fg

Gambar 30: Grafik f dan g = f–1

.

sebagai berikut:

apabila (a,b) f maka (b,a) f–1

. Ini

berarti bahwa setiap titik di f–1

diperoleh

dari titik di f dengan pencerminan terhadap

garis y = x. Ini berarti juga bahwa grafik f

dan f–1

simetri terhadap garis y = x.

Contoh 22

Dipunyai f: R–{–21 } R – {

23 }, dengan

12

23)(

x

xxf .

Tentukan f–1

(x) apabila ada.

Penyelesaian:

Ambil sembarang a, b R– {–21 }, a b.

Jelas a – b 0, 2a + 1 0, dan 2b + 1 0.

Jelas f(a) – f(b) =12

23

12

23

b

b

a

a

=)12)(12( ba

ab

0.

Jadi a, b R– {–21 }, a b, f(a) f(b).

Jadi f fungsi injektif.

Jadi f–1

ada.

Pemeriksaan:


Jelas f(–x) = (–x)2

– 2 = x2

– 2 = f(x).

Jadi f(–x) = f(x) x R.

Jadi f merupakan fungsi genap.


Jelas g(–x) = –x = –g(x).

Jadi g(–x) = –g(x) x R.

Jadi g merupakan fungsi ganjil.

(c) Ambil sembarang x R.

Jelas h(x) = 1x =1,1

1,1

xx

xx.

Jelas h(–x) =1,1

1,1

xx

xx.

Jelas h(–x) h(x) dan h(–x) –h(x)

Jadi h bukan fungsi genap dan h juga

bukan fungsi ganjil.

(d) Ambil sembarang x R.

Jelas l(–x) = (–x)3

+ x

= –(x3

–x) = –l(x).

Jadi l(–x) = –l(x) x R.

Jadi l merupakan fungsi ganjil.

Catatan:

12. Membuat Sket Grafik Fungsi

dengan Metode Geseran

Sebelum membahas konsep perge-

seran, perlu diperhatikan bagaimana meng

gambar grafik fungsi-fungsi sederhana.

Sebagai contoh diberikan fungsi-fungsi

kuadrat berikut ini:

(a) f: R R, f(x) = x2,

(b) g: R R, g(x) = (x – 1)2, dan

(c) h: R R, h(x) = (x – 1)2

– 2.

Penyelesaian:

(a) Daftar nilai fungsi f:

x ... –2 –1 0 1 2 ...

x2

... 4 1 0 1 4 ...

Grafik f:

j\“¤·“·†?P 041 j\“¤·“·†?P 042

X

Y f

(1,1)

(2,4)

(–1,1)

(–2,4)


(1) Grafik fungsi genap simetri

terhadap sumbu X.

(2) Grafik fungsi ganjil simetri

terhadap titik pangkal O.

(b) Daftar nilai fungsi g:

x ... –1 0 1 2 3 ...

x–1 ... –2 –1 0 1 2 ...

(x–1)2

... 4 1 0 1 4 ...

Grafik g:

(c) Daftar nilai fungsi h:x ... –1 0 1 2 3 ...

x–1 ... –2 –1 0 1 2 ...

(x–1)2– 2 ... 4 1 0 1 4 ...

Grafik h:

Pada Gambar 31, 32, dan 33

dapat dilihat bahwa grafik g diperoleh

dari grafik f dengan menggeser ke kanan

sejauh 1 satuan dan grafik h diperoleh

dengan menggeser grafik g ke bawah

sejauh 2 satuan.

Definisi 18

Contoh 23

Dipunyai grafik fungsi f. Buatlah sket

grafik

y = 21)1(xf .

Penyelesaian:

Tulis )1()(1 xfxf , 1)1()(2 xfxf ,

1)1()(3 xfxf , dan

21)1()(3 xfxf

Grafik f1 diperoleh dengan menggeser

grafik f ke kiri sejauh 1 satuan.

Grafik f2 diperoleh dengan menggeser

grafik f1 ke bawah sejauh 1 satuan.

Grafik 23 ff .

Sedangkan grafik f4 diperoleh dengan

menggeser grafik f3 ke atas sejauh 2

satuan.

Dengan demikian sket grafiknya

dapat dilihat pada gambar berikut ini.

j\“¤·“·†?P 043 j\“¤·“·†?P 044

X

Y

h

(2, –1)

(3,2)

(0, –1)

(–1,2)

Gambar 33: Grafik h(x) = (x – 1)2

– 2

(1,–2)

X

Y g

(2,1)

(3,4)

(0,1)

(–1,4)

Gambar 32: Grafik g(x) = (x – 1)2

(1,0)

Dipunyai f suatu fungsi dan k suatu

bilangan positif.

(a) Grafik fungsi y = f(x – k) diperoleh

dengan menggeser grafik f ke kanan

sejauh k satuan.

(b) Grafik y = f(x + k) diperoleh dengan

menggeser grafik f ke kiri sejauh k

satuan.

(c) Grafik y = f(x) + k diperoleh dengan

menggeser grafik f ke atas sejauh k

satuan.

(d) Grafik fungsi y = f(x) – k diperoleh

dengan menggeser grafik f ke ba-

wah sejauh k satuan.

13. Fungsi Berkala

Fungsi berkala (periodik) banyak

ditemukan dalam matematika terapan,

seperti: model matematika ayunan mate-

matika, pegas, aliran panas, dan lain

sebagainya.

Pembaca dianggap telah mengenal

satuan ukuran sudut dalam derajat dan telah

mengenal pula bahwa ukuran sudut suatu

lingkaran adalah 300o. Sistem derajat

kurang cocok untuk keperluan-keperluan

dalam kalkulus. Dengan demikian perlu

didefinisikan ukuran sudut yang lain, yaitu

ukuran sudut dalam radian.

Perhatikan suatulingkaran pada

bidang koordinat XY yang berpusat di titik

pangkal. Dibayangkan sebuah titik yang

bergerak sepanjang lingkaran itu yang

berlawanan arah dengan gerakan jarum jam

dimulai dari titik (1,0).

Ukuran radian untuk sudut sama

dengan ukuran panjang busur yang ditem-

puh titik sepanjang gerakannya. Jelas ukur-

an keliling lingkaran itu adalah 2 . Jadi 2

radian = 360o.

Contoh 24

(a) Jelas 1 radian =2

180o

57,296o

57o

17`45``.

(b) Jelas 1o

=180

= 0,017453

dengan 3,14159.

j\“¤·“·†?P 045 j\“¤·“·†?P 046

X

X

X

X

X

Y

Y

Y

Y

Y

f4

f3

f2

f1

f

a

a

a

a

a

a–1

a–1

a–1

a–1

a–1

Gambar 34: Grafik f4 = 21)1(xf

X

Y

P

O (1,0)

Gambar 35: Lingkaran satuan

berpusat di (0,0)

(c) Berikut ini hubungan sudut-sudut d

(dalam derajat) dan r (dalam radian).

d

0o

30o

45o

60o

90o

120o

r

06 4 3 2 3

2

d

135o

180o

210o

270o

315o

r 43

67

23

47

Setiap bilangan real t berpadanan

dengan sebuah titik P pada lingkaran

satuan dengan ketentuan sebagai berikut:

(a) Jika t > 0, dipadankan dengan gerak

titik sejauh t berlawanan arah jarum

jam sepanjang lingkaran.

(b) Jika t < 0, dipadankan dengan gerak

titik sejauh t searah jarum jam

sepanjang lingkaran satuan.

14. Fungsi Trigonometri

Titik P(x,y) adalah suatu titik pada

lingkaran satuan yang berpadanan dengan

sudut . Berikut ini disajikan sinus dan

cosinus sudut .

Gambar situasinya adalah sebagai berikut:

Definisi 19

Contoh 25

Tentukan nilai sin dan cos apabila:

=6

, =4

3 , =3

4 , dan =2

3 .

Penyelesaian:

(a) Perhatikan Gambar 36.

Jelas OP = 1, PQ =21 , dan OQ =

2

3 .

Jadi )2

1,

2

3(P .

Jadi sin6

=21 dan cos

6=

2

3 .

(b) Perhatikan Gambar 37:

Jelas OP = 1, PQ =2

2 , dan OQ =2

2 .

Jelas x = –2

2 dan y =2

2 .

Jadi )2

2,

2

2(P .

Jadi sin2

2

43 dan cos

2

2

43 .

(c) Perhatikan Gambar 37:

Jelas OP = 1, PQ =2

3 , dan OQ =21 .

Jelas x = –21 dan y = –

2

3 .

Jadi sin2

3

3

4 dan cos21

34 .

j\“¤·“·†?P 047 j\“¤·“·†?P 048

Gambar 36: Titik P berpadanan

Dengan sudut

P(x,y)

X

Y

(1,0)

(a) Sinus sudut , ditulis dengan sin

, dan

sin = y.

(b) Cosinus sudut , ditulis dengan

cos , dan

cos = x.

(c)

(d) Perhatikan Gambar 39.

Jelas P(0, –1).

Jadi sin 12

3 dan cos 02

3 .

Berikut ini disajikan fungsi-fungsi

trigonometri lainnya.

Definisi 19

Contoh 26

Buatlah sket grafik fungsi-fungsi berikut:

(a) f: [–2 ,2 ] R, f(x) = sin x,

(b) g: [–2 ,2 ] R, g(x) = cos x,

(c) h: [–2 ,2 ]–{2

3,2

,2

,2

3 } R,

h(x) = tan x,

(d) j: (–2 ,2 )–{– , } R,

j(x) = cot x,

(e) k: [–2 ,2 ]–{2

3,2

,2

,2

3 } R,

k(x) = sec x, dan

(f) j: (–2 ,2 )–{– , } R,

j(x) = csc x.

Penyelesaian:

(a) Grafik f:

Dapat dilihat bahwa:

Grafik f naik pada selang-selang:

[-2 ,-2

3 ], [2

,2

, dan [ 2,2

3 ].

Grafik f turun pada selang-selang:

j\“¤·“·†?P 049 j\“¤·“·†?P 050

Gambar 38: =6

)2

3,

2

1(P

X

Y

(0,–1)

O

Q

Gambar 39: =2

3

X

Y

P(0,–1)

O Gambar 40: Grafik f(x) = sin x

X

Y

1

–1

2

–2f

O

X

Y

(0,–1)

O

)2

1,

2

3(P

Q

Gambar 37: =6

(a) tan =cos

sin (c) sec =cos

1

(b) cot =sin

cos (d) csc =cos

1

[2

,2

3 ] dan [2

3,2

].

Nilai 1)2

()2

3( ff merupakan

nilai maksimum.

Nilai 1)2

3()2

( ff merupakan

nilai minimum.

(b) Grafik g:


Grafik g naik pada selang-selang:

[- ,0] dan [ ,2 ].

Grafik g turun pada selang-selang:

[-2 ,- ] dan [0, ].

Nilai 1)2()0()2( ggg

merupakan nilai maksimum.

Nilai 1)()( ff merupakan nilai

minimum.

(c) Grafik h:


Grafik h naik pada Dh.

Asimptot tegak:

23x ,

2x , x =

2, dan

23x .

Memotong sumbu X di:

(–2 ,0), ( ,0), (0,0), ( ,0), dan (2 ,0).

(d) Grafik j:


Grafik j turun pada Dj.

Asimptot tegak:

2x , x , x = , dan 2x .

Memotong sumbu X di:

)0,2

3( , )0,2

( , )0,2

( , dan )0,2

3( .

(f) Grafik k:

j\“¤·“·†?P 051 j\“¤·“·†?P 052

Dapat dilihat bahwa: Asimptot tegak:

Y

Gambar 41: Grafik f(x) = cos x

X

1

–1

2

–2

g

O

X

Y

1

–1

2

–2

h

Gambar 42: Grafik h(x) = tan x

O

Gambar 44: Grafik k(x) = sec x

X

Y

1

–1 2–2

k

O

Gambar 43: Grafik j(x) = cot x

2

2X

Y

Grafik k naik pada:

)2

3,2( , ),2

3( , , dan

),2

( .

Grafik k turun pada:

)2

,( , )0,2

( , )2

3,( , dan

)2,2

3( .

Asimptot tegak:

23x ,

2x , x =

2, dan

23x .

Grafik k tak memotong sumbu X.

Nilai k(-2 ) = k(0) = k(2 ) = 1

merupa-kan nilai minimum relatif.

Nilai k(- ) = k( ) = –1 merupakan

nilai maksimum relatif.

(f) Grafik l:

Dari Gambar 45 dapat dilihat

bahwa:

Grafik l naik pada:

),2

3( , ),(2

, ),2

( , dan

)2

3,( .

Grafik k turun pada:

)2

3,2( , )0,2

( , )2

,0( , dan

)2,2

3( .

2x , x , x= 0 , x , dan 2x .

Grafik l tak memotong sumbu X.

Nilai l(2

) = l(2

3 )= –1 merupakan nilai

maksimum relatif.

Nilai l(2

3 ) = l(2

) = 1 merupakan nilai

minimum relatif.

Contoh 27

Gambarlah grafik fungsi-fungsi berikut:

(a) f: [–2 ,2 ] R, f(x) = sin 2x,

(b) g: [–2 ,2 ] R, g(x) = 2sin x, dan

(c) h: [–2 ,2 ] R, h(x) = sin (x –6

).

Penmyelesaian:

(a) Daftar nilai fungsi f:

x 2x sin 2x

2 4 0

47

27 1

46

26 0

45

25 –1

2 0

– 43

23 1

20

4–

2–1

0 0 0

4 21

20

4

3

2

3 –1

2 0

Grafik f diperlihatkan pada Gambar 46.

j\“¤·“·†?P 053 j\“¤·“·†?P 054

)2

,0(

Gambar 45: Grafik l(x) = csc x

Y

X

1

–1 2–2

l

O

(b) Daftar nilai g:

x sin x 2 sin x

2 0 0

23 1 2

0 0

2

–1 –2

0 0 0

21 2

0 0

23 –1 –2

Grafik g diperlihatkan pada Gambar 47.

(c) Daftar nilai h:

x

6x

6sin x

613 –2 0

610

23 1

67 – 0

64

2

–1

60 0

62

21

65 0

68

23 –1

611 2 0

Grafik g diperlihatkan pada Gambar 48.

Berikut ini disajikan beberapa teore-

ma yang sering digunakan.

Teorema 20

Bukti (1), (2), dan (3):

Perhatikan Gambar 49:

(1) Ambil sembarang titik P(x,y) pada ling-

karan satuan.

Titik Q adalah projeksi P pada

sumbu X.

Jelas OQ = x = –x, PQ = y = –y, dan

OP = 1.

j\“¤·“·†?P 055 j\“¤·“·†?P 056

Grafik f:

(1) sin2

+ sin2

= 1.

(2) Jika cos 0, maka

1 + tan2

= sec2

.

(3) Jika sin 0, maka

1 + cot2

= csc2

.

(4) sin (– ) = –sin dan

cos (– ) = cos .

(5) sin (2

) = cos dan

cos (2

) = sin .

(6) sin (2

) = cos dan

cos (2

) = –sin .

(7) sin ( ) = sin dan

cos ( ) = –cos .

(8) sin ( ) = –sin dan

cos ( ) = –cos .

(9) sin (2

3 ) = –cos dan

cos (2

3 ) = –sin .

(10) sin (2

3 ) = –cos dan

cos (2

3 ) = sin .

(11) sin ( 2 ) = –sin dan

cos ( 2 ) = cos .

(12) sin ( 2 ) = sin dan

cos ( 2 ) = cos .

Grafik g:

Grafik h:

j\“¤·“·†?P 057

Gambar 47: Grafik g(x) = 2 sin x

Y

2

–2

2

–2g

OX

Gambar 48: Grafik h(x) = sin (x–6

)

Y

1

–1

2–2

h

OX

Gambar 46: Grafik f(x) = sin 2x

X

Y

O

1

–12–2

f

–

Jelas OQ2

+ PQ2

= OP2

x2

+ y2

= 1

cos2

+ sin2

= 1

sin2

+ cos2

= 1.

(2) Dipunyai sin 0.

Jelas sin2

+ cos2

= 1

2cos

11

2cos

2sin

2sec2tan1 .

(3) Dipunyai sin 0.

Jelas sin2

+ cos2

= 1

2sin

1

2sin

2cos1

2csc2cot1 .

Bukti (4):

Jelas sin (– ) = –y = sin – dan

cos (– ) = x = cos .

Bukti (5):

Jelas sin (2

) = x = cos dan

cos (2

) = y = sin .

Bukti (6) s.d. (12) diserahkan pembaca se-

bagai latihan.

Teorema 21

j\“¤·“·†?P 058 j\“¤·“·†?P 059

X

Y

P(x,y)

Q(x, –y)

Gambar 50: P(x,y) dan

Q(x, –y) –

O

(0,–1)

–

Gambar 49: P(x,y) sembarang

titik pada lingkaran

satuanGambar 51: P(x,y) dan

Q(y, x)2

(1) sin( + )

= sin .cos + cos .sin

(2) sin( – )

= sin .cos – cos .sin

(3) cos( + )

= cos .cos – sin .sin

(4) cos( – )

= cos .cos + sin .sin

(5) apabila 1 – tan . tan

tan ( + ) =tan.tan1

tantan.

(6) apabila 1 + tan . tan

tan ( – ) =tan.tan1

tantan.

X

Y

P(x,y)

Q(y, x)

O

(0,–1)

2-

Y

X

P(x,y)

Q(x,0)

O

(0,–1)

Bukti (1):

Jelas sin ( + )

=OQ

QS

=OQ

USQU

=OQ

US

OQ

QU

=OQ

OT

OT

TR

OQ

QT

QT

QU

= cos . sin + sin . cos .

Bukti (2):

Dipunyai sin ( + )

= sin .cos +cos .sin .

Tulis = – .

Jelas sin( + ) =sin . cos + cos . sin

sin ( – )

= sin . cos(– ) + cos . sin(– )

sin( – )

= sin . cos – cos . sin .

Bukti (3):

Jelas cos( + ) = sin [ )(2

]

= sin[ ))2

( ]

= sin (2

).cos – cos(2

).sin

= cos . cos – sin . sin .

Bukti (4):

Dipunyai cos( + )

=cos . cos – sin . sin

Tulis = – .

Jadi cos( + )

= cos . cos – sin . sin

cos( – )

= cos . cos(– ) – sin . sin(– )

cos( – )

= cos . cos + sin . sin .

Bukti (5) dan (6) sederhana, diserahkan

pembaca sebagai latihan.

Teorema 22

Bukti (1):

Jelas sin (2 )

= sin ( + )

= sin . cos + cos . sin

= 2 sin . cos .

Bukti (2):

Jelas cos (2 )

= cos ( + )

= cos . cos – sin . sin

= cos2

– sin2

,

cos2

– sin2

= (1 – sin2

) – sin2

= 1 – 2 sin2

, dan

cos2

– sin2

= cos2

– (1 – cos2

)

= 2 cos2

– 1.

Contoh 28

Jika6

x6

5 , tentukan sebaran sin x.

j\“¤·“·†?P 060 j\“¤·“·†?P 061

Penyelesaian: 15. Fungsi Periodik (periodic)

Gambar 52: Titik Q berpadanan dengan

sudut +

(1) Sin (2 ) = 2 sin . cos

(2) cos (2 ) = cos2

– sin2

= 1 – 2 sin2

= 2 cos2

– 1.

P(x,y)

X

Y

O

Q

RS

TU

Jelas nilai sin21

6= sin

65 .

Jika nilai x naik dari6

ke2

, nilai sin x juga

naik dari21 ke 1. Sedangkan jika nilai x na-

ik dari2

ke6

5 , nilai sin x turun dari 1 ke

21 . Ini menunjukkan bahwa sebaran sin x

berkisar dari21 ke 1. Jadi

.1sin21 x

Contoh 29

Tentukan nilai sin 9o.

Jelas sin 3x = sin (2x + x)

= –4 sin3x + 3.sin x.

Kasus x = 18o:

Jelas sin 3x = sin 54o= cos 36

o=cos 2x.

Jadi 4 sin3x – 2 sin

2x = 3sin x + 1 = 0

(sin x – 1)(4 sin2x + 2 sin x – 1) = 0

4

51sin x

4

51sin x

sin x = 1.

Jadi sin 18o

=4

15.

Jadi sin 9o

= 5210284

1.

Model matematika suatu fenomena

alam yang banyak yang mempunyai solusi

yang berkala atau periodik. Sebagai contoh

ayunan, pegas, gelombang, dan lain-lain.

Fungsi periodik didefinisikan

sebagai berikut:

Definisi 23

Contoh 30

Periksa apakah fungsi-fungsi berikut perio-

dik: (a) f: R R, f(x) = sin x,

(b) g: R – }2

{k

Bk

R, f(x) = tan x,

(c) h: R – }{kBk

R, h(x) = csc x.

Penyelesaian:


Jelas f (x + 2 ) = sin (x + 2 )

= sin x

= f (x).

Jadi f(x + 2 ) = f( x) x R.

Jadi f periodik dengan periode 2 .

(b) Ambil sembarang x R– }2

{k

Bk

.

Jelas g(x + ) = tan (x + )

= tan x

= g(x).

Jadi g(x + ) = g( x) x R.

Jadi g periodik dengan periode .

j\“¤·“·†?P 062 j\“¤·“·†?P 063

Gambar 53: Sebaran nilai sin x

Untuk6

x6

5

X

Y

o30

)21,

2

3(P

O

(0,–1)

)21,

2

3(Q

sin x

2

1

1

Dipunyai fungsi f: R R.

Jika terdapat bilangan positif T sehing-

ga f(x + T) = f(x) untuk setiap x R,

fungsi f dikatakan periodik. Selanjutnya

nilai T terkecil disebut periode f.

(c) Ambil sembarang x R– }{kBk

.

Jelas h(x + 2 ) = csc (x + 2 )

= csc x

= h(x).

Jadi h(x+2 ) = h(x) x R– }{kBk

.

Jadi h periodik dengan periode 2 .

Contoh 31

Periksa apakah fungsi-fungsi berikut perio-

dik:

(a) f: R R, f(x) = sin (3x) dan

(b) g: R R, g(x) = sin x + cos x.

Penyelesaian:


Jelas f (x) = sin 3x

= sin (3x + 2 )

= sin [3(x +3

2 )]

= f(x +3

2 ).

Jadi f periodik dengan periode3

2 .


Tulis sin x + cos x = K.cos(x– ), K>0.

Jelas K.cos(x – )

= K.cos x . cos + K.sin x . sin .

Jadi K.cos = 1 dan K.sin = 1

K2.cos

2= 1 dan K

2.cos

2= 1.

Jadi K2

= 2 K = – 2 K = 2 .

Jadi K = 2 .

Jadi2

2sin dan

2

2cos .

Jelas4

.

Jadi )4

(cos.2)( xxg .

Jelas g periodik dengan periode 2 .

16. Invers Fungsi Trigonometri

Perhatikan fungsi f:2

,2

[–1,1]

dengan f(x) = sin x pada gambar berikut ini.

Jelas f fungsi injektif.

Jadi f–1

ada.

Ambil sembarang x [–1,1].

Pilih y2

,2

sehingga f(y) = x.

Jelas f(y) = x sin y = x

y = sin–1

x.

Jadi f–1

(x) = f–1

[f(y)]

= (f–1

f)(y)

= i(y)

= y

= sin–1

x.

Daftar nilai f:x

2 3 4 6

0

Sin x –1

2

3

2

221 0

x

6 4 3 2

Sin x

21

2

2

2

3 1

j\“¤·“·†?P 064 j\“¤·“·†?P 065

X

: Grafik f

: Grafik f– 1

Gambar 54: grafik f(x) = sin x

dan f– 1

(x) = sin– 1

x

Y

f

y = x

f– 1

Daftar nilai f–1

:

x –1

2

3

2

221 0

sin–1

x

2 3 4 6

0

x

21

2

2

2

3 1

Sin–1

x

6 4 3 2

Contoh 32

Dipunyai f:2

,2

R, f(x) = tan x.

Jelas f injektif.

Jadi f–1

ada.

Jelas f–1

(x) = tan–1

(x).

Grafik f:

Jelas 1f

D R dan ]2

,2

[1f

R .

Invers fungsi-fungsi trigonometri lainnya:

(a) Dipunyai f: ]1,1[]2

,0[ , f(x) = cos x.

Invers fungsi f:

f–1

(x) = cos–1

x.

Jelas 1f

D [–1,1] dan ]2

,2

[1f

R .

Grafik f dan f–1

:

(b) Dipunyai f: ]2

,2

[ R, f(x) = cot x.

Invers fungsi f:

f–1

(x) = cot–1

x.

Jelas 1f

D [–1,1] dan ]2

,2

[1f

R .

Invers fungsi f:

f–1

(x) = cos–1

x.

Jelas 1f

D [–1,1] dan ]2

,2

[1f

R .

j\“¤·“·†?P 066 j\“¤·“·†?P 067

(c) Dipunyai f: ),1[]2

,0[ , f(x) = cos x. SOAL-SOAL LATIHAN BAB I

X

Y

22

f

f–1

Gambar 55: Grafik f(x) = sin x dan

f–1

(x) = sin–1

x

2

2

X

Y f

f–1

y = x

2

O

Gambar 57: Grafik f(x) = cot x dan

f–1

(x) = cot–1

x

Gambar 56: Grafik f(x) = cos x dan

f–1

(x) = cos–1

x

X

Y y = x

f

f–1

2

O

Invers fungsi f:

f–1

(x) = sec–1

x.

Jelas 1f

D [1,+ ) dan ]2

,0[1f

R .

Grafik f dan f–1

:

(d) Dipunyai f: ),1[]2

,0( , f(x) = csc x.

Invers fungsi f:

f–1

(x) = csc–1

x.

Jelas 1f

D [1,+ ) dan ]2

,0(1f

R .

Grafik f dan f–1

:

1. Periksa bilangan-bilangan berikut meru-

pakan bilangan rasional atau tak

rasional|.

(a) 5 (b) 5 (c) 0, 9

2. Selesaikan pertidaksamaan:

(a) 53x

(b) 2x

(c) 029 x


(a) 01

1

x

x ,

(b) 01

1

x

x , dan

(c) xxxx .


(a) cos x <2

3 , 20 x

(b)21sin x , 20 x

(c) cos 2x + sin x > 0, 20 x

5. Tentukan nilai x R sehingga

(a) 22 xx

(b) 22 xx

6. Tentukan pusat dan ukuran jari-jari ling-

karan:

(a) x2

+ y2

= 49

(b) x2

– 4x + y2

= 0

(c) x2

– 2x + y2

+ 6y = –9

(d) x2

– 2x + y2

+ 2y = 14

7. Tunjukkan bahwa fungsi f yang dibe-

rikan oleh xxxf2)( simetri terhadap

sumbu Y.

j\“¤·“·†?P 068 j\“¤·“·†?P 069

Gambar 58: Grafik f(x) = sec x dan

f–1

(x) = sec–1

x

Gambar 59: Grafik f(x) = csc x dan

f–1

(x) = csc–1

x

y = x

X

Y

f

f–1

2

O

2

11

X

Yy = x

f

f–1

2

O

2

11

8. Untuk setiap garis berikut, tentukan gra-

dien dan titik potongnya dengan sumbu

X dan sumbu Y:

(a) x + y = 1

(b) y = 4

(c) x – 3y + 4 = 0

(d) 7x – 7y + 21 = 0

(e) 3x = 6.

9. Tentukan persamaan garis yang melalui

titik (–2,1) dan (3,3).

10. Garis-garis y – ax = 1 dan 3y = 6x + 12

saling sejajar. Tentukan nilai a.

11. Tentukan persamaan garis yang tegak

lurus garis 3x – 6y = 8 dan melalui titik

pangkal.

12. Tentukan kondisi agar persamaan

ax + by + c = 0 memotong sumbu X.

13. Tentukan sebaran cos x apabila sebaran

nilai x adalah

120o

x 240o.

14. Tentukan sebaran fungsi

f(x) =x

2cos1

5

apabila 120o

x 240o.

15. Tunjukkan:

(a) pengaitan f: R R dengan

f(x) = x3

– x merupakan fungsi.

(b) pengaitan yang diberikan oleh

14

22 x

y bukan fungsi, dan

(c) pengaitan f: R R dengan f(x) = x

– 1 merupakan fungsi.

16. Tentukan daerah asal dan daerah hasil

fungsi f yang diberikan oleh

f(x) = 221 x .

17. Diketahui 21)( xxf , g(x) = 2x, h1 =

f + g, dang

fh2 .

Tentukan:

(a) h1(x) dan h2(x) dan

(b)2121

dan,,, hRhRhDhD .

18. Tunjukkan:

(a) Hasil kali dua fungsi ganjil me-

rupakan fungsi genap.

(b) Hasil kali dua fungsi genap adalah

genap.

19. Gambarlah grafik fungsi:

(a) y – 2x2

+ 2x –27 = 0

(b) y2

+ 2x – y + 043

(c) y – 025

6

2xx

20. Dipunyai f(x) = x dan g(x) = x1 .

Jika mungkin, tentukan ))(( xgf dan

))(( xfg . Selanjutnya tentukan gfD

dan fgD .

21. Dengan metode pergeseran sket grafik

fungsi f yang diberikan oleh

f(x) = 5(x + 3)2

– 4.

22. Fungsi f diberikan oleh

4,8

41,2

1,

)(

xx

xx

xx

xf .

(a) Periksa apakah f mempunyai in-

vers, jika ada tentukan f–1

.

(b) Sket grafik f dan f–1

pada satu bi-

dang koordinat.

(c) Periksa apakah

iffff11 .

j\“¤·“·†?P 070 j\“¤·“·†?P 071

23. Tentukan persamaan garis singgung pa- 29. Dipunyai f: Df Rf suatu fungsi dan

da lingkaran (x – 6)2

+ (y – 4)2

= 25 di

titik (3,8).

24. Tentukan nilai a, b, dan c sehingga

parabola y = ax2

+ bx + c memotong

sumbu X di titik (3,0), memotong

sumbu Y di titik (0,–6), dan yang

opuncaknya di titik yang koordinat-x

nya 2.

25. Jika x R, x dibaca ”norm x” dide-

finisikan sebagai bilangan bulat

terbesar yang kurang dari atau sama

dengan x.

Tentukan:

(a) 7 (d) 5,3

(b) 3,7 (e) 0

(c) 3 (f) 1

26. Gambarlah grafik fungsi

f: [-3,2] R, f(x) = x .

27. Tentukan nilai x yang memenuhi:

(a) xx

2

(b) xxx

32

28. Dipunyai f: Df Rf suatu fungsi dan

a Df.

(1) f(a) disebut minimum f jika dan

hanya jika f(a) f(x) untuk setiap

x Df.

(2) f(a) disebut maksimum f jika dan

hanya jika f(a) f(x) untuk setiap

x Df.

Tentukan nilai minimum atau

maksimum fungsi-fungsi berikut ini:

(a) f: R R, f(x) = x2.

(b) f: R R, f(x) = – (x + 3)2

+ 2.

a Df.

(1) f(a) disebut minimum relatif f jika

dan hanya jika terdapat bilangan

> 0 sehingga

f(a) f(x) x (a– ,a+ ).

(2) f(a) disebut maksimum relatif f jika

dan hanya jika terdapat bilangan

> 0 sehingga

f(a) f(x) x (a– ,a+ ).

Tunjukkan bahwa:

f(3) merupakan nilai minimum relatif

f: R R, f(x)=(x–3)2+ 2.

30. Dipunyai1,2

1,2

xx

xx . Buktikan bah-

wa:

f(0) merupakan minimum relatif dan

f(1) merupakan maksimum relatif

fungsi f.

31. (a) periksa apakah f(0) merupakan su-

atu maksimum atau minimum rela-

tif fungsi f: R R, f(x) = x3.

(b) Dipunyai f: Df Rf suatu fungsi.

Jika f(a) suatu maksimum f, apakah

f(a) juga merupakan maksimum

relatif f.

(c) Dipunyai f: Df Rf suatu fungsi.

Jika f(a) suatu minimum f, apakah

f(a) juga merupakan minimum

relatif f.

j\“¤·“·†?P 072 j\“¤·“·†?P 073

Pada BAB 2 ini mulai masuk pada materi kalkulus dengan

membicarakan konsep tentang limit fungsi. Limit fungsi merupakan suatu konsep

yang sangat mendasar dalam kalkulus. Konsep limit hampir selalu muncul pada

setiap bidang kalkulus. Masalah yang berkaitan dengan garis singgung pada suatu

kurva dan masalah luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva merupakan masalah

yang solusinya membutuhkan pengertian limit.

1. Barisan Bilangan

Sekarang akan dibangun pengertian

barisan bilangan dan limit barisan secara

singkat sebagai berikut.

Dipunyai fungsi u : N R. Jelas

Df ={1,2,3,...} dan Rf = {u(1),u(2),u(3), ...}.

Karena Ru suatu himpunan, urutan di Ru

tak diperhatikan. Selanjutnya perhatikan

tam-pilan . Pada tampilan

ini urutan diperhatikan, artinya

.

Tulis = .

Tampilan = disebut

barisan yang dibangun oleh fungsi f.

Contoh 33

(a) Barisan merupakan barisan

barisan bilangan yang dibangun oleh

fungsi u : N R dengan u(n) = n.

(b) Barisan yang dibangun oleh fungsi

u : N R dengan u(n) = adalah

.

(c) Barisan = .

Grafik suatu barisan bilangan sama

dengan grafik suatu fungsi. Sebagai contoh

barisan .

j\“¤·“·†?P 074 j\“¤·“·†?P 075

Grafik barisan :

),3(),2(),1( uuu

),3(),2(),1( uuu ),3(),1(),2( uuu

),3(),2(),1( uuu ,2,2,1 uuu

,2,2,1 uuuNnnu

,3,2,1

n1

,3

1,

2

1,1

Nn

n)1( ,4,3,2,1

Nnn

1

Nnn

1

R

R

3

Gambar 60: Grafik barisan .

Secara intuitif, barisan ini

mempunyai kecenderungan

menuju 0.

Barisan dikatakan

”mempunyai limit 0”

atau

”konvergen ke 0”.

dan ditulis dengan

atau .

Contoh 34

Grafik barisan dan ada-

lah sebagai berikut:

Grafik dan mempunyai

perbedaan yang cukup jelas seperti tampak

Gambar 61 dan Gambar 62. Grafik

seragam dan tak menghampiri bilangan

manapun. Ini menunjukkan bahwa

atau .

Sedangkan grafik

menghampiri suatu bilangan L = 2 apabila

n + . Jadi

atau .

Contoh 35

Tentukan .

Penyelesaian:

Kasus n genap:

Jelas =

=

= 1.

j\“¤·“·†?P 076 j\“¤·“·†?P 077

Nnn

1

Nnn

1

01

Nnn01lim

nn

12nn

n)1(2

12nn

n)1(2

12n

12n )12(lim nn

n

n)1(2

2)1(

2n

n)

)1(2(lim

n

n

n

n

nn

n

1.)1(lim

n

nn

n

1.)1(limn

n

n

1lim

)11(limnn

N

R

1 2 3 4 5 6 7 8 9O

3

5

7

9

11

Gambar 61: Grafik barisan 12n

Kasus n gasal:

Jelas =

=

= –1.

Grafik :

Dari Gambar 16 terlihat dengan jelas

bahwa menghampiri 1 dari atas dan

menghampiri –1 dari bawah. Dikatakan ba-

risan tidak mempunyi limit

atau tidak konvergen.

Berkut ini disajikan definisi limit

barisan secara formal sebagai berikut:

Definisi 24

Contoh 36

Buktikan .

Bukti:

Ambil sembarang > 0.

Pilih > .

Dipunyai n > .

Jelas .

Jadi = = < < .

Jadi .

Jadi .

Contoh 37

Buktikan .

Bukti:


Pilih > .

Dipunyai n > .

Jelas n + 2 > + 2.

Jadi .

Jelas =

=

=

<

<

= .

Jadi

Jadi .

j\“¤·“·†?P 078 j\“¤·“·†?P 079

2. Garis Singgung Suatu Kurva

n

nn

n

1.)1(limn

n

n

1lim

)11(limnn

n

nn

n

1.)1(lim

nu

n

nn 1)1(

01limnn

N 1

N

Nn

11

0nun1

n1

N

1

NnnuN apabilaε0N0

01limnn

2212lim

n

n

n

N 25

N

N

2N

1

2

1

n

Lnu 22

12

n

n

2

5

n

2

5

n

2N

5

225

5

NnnuN apabilaε2N0

2212lim

n

n

n

Gambar 63: Grafik barisann

nn 1)1(

N

R

1 2 3 4 5 6 7 8 9O

1

–1

–2

2

Dipunyai barisan . Barisan

dikatakan konvergen ke L, ditulis

>0 N

sehingga

apabila n > .

nu nu

Lnunlim N

Lnu

N

Gambar berikut memperlihatkan bagaimana suatu garis singgung dibangun pada

suatu kurva.

Gambar 64: Garis l1, l2, l3 bukan

garis garis singgung

pada kurva f, wa-

laupun hanya memo-

tong kurva f di satu

titik saja.

Gambar 65: Garis singgung t me-

rupakan hasil rotasi

talibusur PQ di ti-

tik P.

Gambar 66: Garis singgung t me-

rupakan limit posisi

talibusur PQ untuk

Q P.

3. Gradien garis singgungSuatu titik P(xo,yo) dan Q(xo+h,yo+h)

terletak pada kurva f.

Gambar 67: Gradien garis singgung t

merupakan limit gradien

taluibusur PQ untuk h 0.

Tulis mPQ: gradien garis PQ dan

mt: gradien garis singgung t.

Jelas .

Definisi 25

Contoh 38

Tnetukan gradiden garis singgung t pada

kurva-kurva berikut ini di titik S:

(a) f(x) = x2

dan P(–2,4),

(b) g(x) = x3

dan P(1,1), dan

(c) l(x) = dan P(–1,–1).

j\“¤·“·†?P 080 j\“¤·“·†?P 081

Penyelesaian:

(a) Grafik f: =

h

oxfhoxfPQm

)()(

x1

h

h

h

3)1(3)1(

0lim

f

X

Xl1

l2

l3

P

OX

X

P

O

Q Q

Q

Qt

X

X

P

O

Q

Q

Q

t

xo xo+ h

Q(xo+h, f (yo+h))

P(xo, f (yo))

X

Y

O

h

f(xo+h) – f(xo)

f

t

Jika

ada, gradient garis singgung t di-

definisikan sebagai

.

h

oxfhoxf

hPQm

h

)()(

0lim

0lim

h

oxfhoxf

htm

)()(

0lim

Y f

P(–2,4)

Gambar 68: Garis t menyinggung

kurva f di titik P(-2,4).

Jelas xo = –2.

Jadi mt =

=

=

=

= –4.

(b) Grafik g:


kurva g di titik P(1,1).

Jelas xo = 1.

Jadi mt =

=

=

= 3.

(c) Grafik l:


kurva l di titik P(–1,–1).

Jelas xo = –1.

Jadi mt =

=

=

= –1.

Contoh 39

Tentukan persamaan garis singgung pada

kurva f(x) = 2(x – 1)2

+ 3 di titik P(1,3).

Penyelesaian:

Jelas xo = 1.

Tulis t: garis singgung yang diminta.

Jelas mt =

=

j\“¤·“·†?P 082 j\“¤·“·†?P 083

h

fhf

h

)2()2(

0lim

h

h

h

2)2(2)2(

0lim

h

hh

h

)4.(

0lim

)4(0

lim hh

h

fhf

h

)1()1(

0lim

h

hhh

h

)332.(

0lim

))332(0

lim hhh

h

lhl

h

)1()1(

0lim

h

h

h

11

1

0lim

hh 1

1

0lim

h

fhf

h

)1()1(

0lim

h

h

h

32)11(232)11(2

0lim

X

Yl

O

t

(1,1)

Y

X

l

O

P(-1,-1)

lt

=

= 0.

Jadi t: y – 3 = mt(x – 1)

y = 3.

Grafik f:


kurva l di titik P(1,3).

3. Limit Fungsi Secara Intuitif

Konsep tentang gradien garis singgung

merupakan suatu kasus khusus dalam

konsep tentang limit fungsi. Secara umum,

limit fungsi ditulis dengan

L =

yang dibaca dengan “Limit fungsi f untuk x

mendekati a bernilai L”.

Secara intuitif, pengertian L =

berarti nilai f(x) dekat dengan L apabila

nilai x dekat dengan a.

Konsep ini dapat dijelaskan melalui gam-

bar berikut.

Gambar 72: Secara intuitif,

bermakna: nilai f(x) dekat

dengan L apabila x dekat a.

Perhatian 1:

(1) titik a tidak perlu berada di domain f,

(2) pada kasus a di domain f, nilai f(a) ti-

dak perlu ada.

Contoh 40

Fungsi f, g, h: R R diberikan oleh

f(x)= , g(x)= , dan

h(x)=

Grafik f:

Gambar 73: Secara intuitif, nilai f(0) = 0

dan nilai tidak ada.

j\“¤·“·†?P 084 j\“¤·“·†?P 085

hh

20

lim

)(lim xfax

)(lim xfax

)(lim xfax

0,1

0,

x

xx

1,

1,0

1,

2xx

x

xx

1,12)1(

1,

xx

xx

)(0

lim xfx

X

Yf

O

tP(1,3)

x

a X

L

Y

x

f(x)

f(x)

f

O

X

f

f

Y

O

–1

Grafik g:

Gambar 74: Secara intuitif:

nilai f(1) = 0 dan nilai

tidak ada.

Grafik h:

Gambar 75: Secara intuitif:

nilai f(1) tidak ada dan

nilai = 1.

4. Limit Fungsi Secara Formal

Berikut ini akan disajikan konsep limit

secara formal. Dimulai dengan pengertian

” ”.

Definisi 26

Contoh 41

Berilah contoh sebaran variabel x untuk

.

Penyelesaian:

Pilih suatu barisan yang konvergen ke 1,

sebagi contoh .

Daftar 1:

Sebaran variabel x

n x = 1+

1 – 0,1 0,9

3 – 0,001 0,999

5 – 0,00001 0,99999

7 – 0,0000001 0,9999999

8 0,00000001 1,00000001

6 0,000001 1,000001

4 0,0001 1,0001

2 0,01 1,01

Sebaran variabel x dapat dilihat pada

kolom ke-3: tampak bahwa variabel x

menghampiri 1 bergayut dari atas dan

bawah.

Perhatian 2:

(1) Terdapat tak hingga barisan bilang-

an yang konvergen ke 1.

(2) Dapat dipilih sembarang barisan

yang konvergen ke 1 yang dirasa

merupakan fasilitas yang paling

menguntungkan.

j\“¤·“·†?P 086 j\“¤·“·†?P 087

Contoh 42

)(1

lim xfx

)(1

lim xfx

ax

1x

Nn

n)(1101

n)(101 n)(

101

0 1

X

ff

Y

O

–1

X

ff

Y

O

1

1

Dipunyai x variabel di R dan a suatu

konstanta. Ungkapan mempu-

nyai arti bahwa sebaran variabel x pa-

da suatu barisan yang konvergen ke a.

ax

Dipunyai dengan f(x)=2x–1.

Tentukan .

Penyelesaian:

Pilih suatu barisan yang konvergen ke 1,

sebagi contoh .

Daftar 2:

Sebaran f (x) untuk

x 2x f (x) = 2x – 1

0,9 1,8 0,8

0,999 1,888 0,888

0,99999 1,88888 0,88888

0,9999999 1,8888888 0,8888888

1 2 1

1,00000001 2,000000002 1,000000002

1,0000001 2,0000002 1,0000002

1,0001 2,0002 1,0002

1,01 2,02 1,02

Sebaran nilai f(x) dapat dilihat pada

kolom ke-3: terlihat bahwa nilai f(x) meng-

hampiri 1 bergayut dari atas dan bawah.

Secara numerik dapat disimpulkan bahwa

= 1.

Sekarang akan didefinisikan konsep

limit fungsi secara formal. Di muka telah

dikenalkan bahwa

= L

diartikan bahwa dapat ditentukan nilai f(x)

dekat ke L dengan cara memilih x yang

cukup dekat dengan a.

Dalam rangka mendefinisikan limit

fungsi secara formal menggunakan bahasa

yang akurat perlu dipikirkan beberapa hal

sebagai berikut:

(1) pernyataan nilai f(x) dekat dengan nilai

L dapat dinyatakan dengan

,

(2) pernyataan variabel x dekat dengan

nilai a dapat dinyatakan dengan

,

(3) kedua butir (1) dan (2) dapat dirangkai

sebagai berikut:

untuk setiap bilangan positif kecil

dapat dipilih bilangan positif

sehingga apabila akan

berlaku .

Berdasarkan ketiga butir tersebut,

dapatlah didefinisikan pengertian limit

fungsi secara formal sebagai berikut:

Definisi 27

Pernyataan untuk setiap

terdapat bilang-an positif , sehingga

apabila

dapat disingkat dengan:

apabila

.

j\“¤·“·†?P 088 j\“¤·“·†?P 089

Rf ]4,1[:

)(1

lim xfx

Nn

n)(1101

ax

)(1

lim xfx

)(lim xfax

Lxf )(

ax0

ax0

Lxf )(

Lxf )( ax0

00 Lxf )(

ax0

Dipunyai fungsi , ,

dan . Limit fungsi f bernilai L

untuk ditulis

= L

jika dan hanya jika untuk setiap

terdapat bilangan positif , sehingga

apabila .

RIf : RI

Ia

ax

)(lim xfax

Lxf )( ax0

Berdasarkan strategi yang dikembangkan,

penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

Tulis x2– 2x + 6 = (x – 1)

2+ 5 = f(x).

Ambil sembarang .

Pilih .

Dipunyai .

Dicari batas pada selang :

Jelas 1 < x < 3

.

Jadi =

=

=

< 3

= .

Jadi apabila

.

Jadi = 6.

5. Sifat-Sifat Limit

Beberapa sifat limit fungsi disajikan

untuk menghitung nilai limit fungsi yang

rumit.

Teorema 28

Bukti:

(a) Tulis f(x) = c.


Pilih = .

Dipunya .

Jelas = =0< =

.

Jadi apabila

.

Jadi .

(b) Buktinya sederhana, diserahkan pem-

baca sebagai latihan.

Teorema 29

Bukti:

Ambil sembarang a,b R.

( ) Dipunyai untuk setiap .

Andaikan a b.

Jadi a – b 0.

Jadi .

Pilih o > 0 sehingga .

Jadi untuk suatu 1 = .

Ini suatu kontradiksi.

Jadi a = b.

Jadi untuk setiap

a=b.

( ) Dipunyai a = b.

Jelas a – b = 0.

Jadi untuk setiap .

Jadi a=b untuk setiap .

Jadi untuk setiap a = b.

j\“¤·“·†?P 090 j\“¤·“·†?P 091

0

}3

,1min{

20 x

x 120 x

120 x

31 x

6)(xf 1)1( 2x

)2(xx

x )2(x

6)(00 xf

20 x

]5)1[(lim 2

2x

x

ax0

cxf )( cc

cxf )(00

ax0

ccax

lim

ba 0

0ba

oba

1ba2o

ba 0

0ba 0

ba 0

ba 0

(a) Jika a dan c suatu konstanta real

maka .

(b) Jika x R

maka .

ccax

lim

axax

lim

Jika a,b R maka

untuk setiap a = b.ba 0

Teorema 30

Bukti:

Dipunyai Lxfax

)(lim dan Mxfax

)(lim .


Pilih 1 > 0 dan 2 > 0 sehingga

2)( Lxf apabila 10 ax

dan

3)( Mxf apabila 20 ax .

Pilih = min{ 1, 2}.

Jelas ML = ])([)]([ MxfxfL

MxfxfL )()(

<32

=6

5

< .

Jadi ML untuk setiap > 0.

Jadi L = M.

Teorema 31

Bukti (a):



5)( Lxf apabila 10 ax

dan

10)( Mxf apabila 20 ax .

Pilih = min{ 1, 2}.

Jelas ][)]()([ MLxgxf

= )]([])([ xgMLxf

)()( xgMLxf

= MxgLxf )()(

<105

=10

3

< .

Jadi )()]()([00 MLxgxf

apabila ax0 .

Jadi MLxgxfax

)]()([lim .

Bukti (b):


Pilih > 0 sehingga

KLxf )( apabila ax0 .

Jelas LKxfK .)(. = K . Lxf )(

< K .K

= .

Jadi LKxfK .)(.[00 apabila

ax0 .

Jadi LKxfKax

.)(.lim .

Bukti lainnya diserahkan pembaca

sebagai latihan.

j\“¤·“·†?P 092 j\“¤·“·†?P 093

Nilai limit suatu fungsi adalah tung-

gal, yaitu

jika Lxfax

)(lim dan Mxfax

)(lim

maka L = M.

Dipunyai Lxfax

)(lim , Mxgax

)(lim ,

dan K sembarang bilangan real.

(a) MLxgxfax

)]()([lim

(b) LKxfKax

.)(.lim

(c) MLxgxfax

.)().(lim

(d)M

L

xg

xf

ax )(

)(lim apabila M 0.

Teorema 32

Teorema 33

Teorema 34 (Prinsip apit)

Bukti:

Dipunyai f(x) g(x) h(x) x I dan)(lim)(lim xh

axLxf

ax


Pilih 1 > 0, 2 > 0, dan 3 > 0 sehingga

3)( Lxf apabila 10 ax ,

4)( Mxf apabila 20 ax ,

dan

f(x) g(x) h(x) apabila 30 ax .

Pilih = min{ 1, 2, 3}.

Ambil sembarang x di ax0 .

Jelas f(x) g(x) h(x)

f(x) – L g(x) – L h(x) ) – L.

Jadi })(,)({maks)( LxhLxfLxg

< maks { }4

,3

=4

< .

Jadi Lxg )(00 apabila

ax0 .

Jadi Lxgax

)(lim .

Prinsip apit dapat diilustrasikan dengan

gambar berikut ini.

Gambar 76: f(x) g(x) h(x) pada I dan

)(lim)(lim xhax

Lxfax

Contoh 43

Hitunglah: (a) )1223(3

lim xxx

(b) )21).(122(1

lim xxx

(c)12

52

2lim

xx

x

x

(d) 2 950

lim xx

j\“¤·“·†?P 094 j\“¤·“·†?P 095

(a) Jika Pn(x) suatu suku banyak dan

a R maka

)()(lim anPxnPax

.

(b) Jika)(

)()(

xmQ

xnPxf , Pn(x) dan Qm(x)

masing-masing merupakan suku ba-

nyak berderajat n dan m, a Df dan

Qm(x) 0 maka

.)(

)(

)(

)(lim

amQ

anP

xnQ

xnP

ax

Jika n bilangan bulat positif danLxf

ax)(lim

makan Ln xf

ax

n xfax

)(lim)(lim

Dipunyai fungsi-fungsi f, g, h:I R

terdefinisi pada selang buka I yang me-

muat a.

Jika f(x) g(x) h(x) x I dan)(lim)(lim xh

axLxf

ax

maka Lxgax

)(lim .

X

f

g

h

Y

O

T

a

L

Penyelesaian:

(a) Jelas )1223(3

lim xxx

= 13

lim23

lim)23(3

limx

xx

xx

= xx

xx 3

lim22

3lim31

= – 1 + 27 + 6

= 22.

(b) Jelas )21).(122(1

lim xxx

= )122(1

lim xx

. )21(1

lim xx

= 1 + 3

= 4.

(c) Jelas12

52

2lim

xx

x

x=

)12(2

lim

)52(2

lim

xxx

xx

=5

9 .

(d) Jelas 2 950

lim xx

= 2 )95(0

lim xx

= 2 9

= 3.

6. Limit Fungsi Trigonometri

Pada teorema berikut ukuran sudut

yang digunakan adalah radian.

Teorema 35

Bukti:

Gambar 77: Titik P pada lingkaran satuan,

sudut x cukup kecil, dan t ga-

ris singgung di titik R.

Untuk nilai x yang cukup kecil (dekat

dengan 0), nilai sin x dengan nilai x sendiri

yang ditulis dengan

sin x x.

Kasus 0 < x <2

:

Tulis A: ukuran luas OPR

B: ukuran luas sektor OPR

C: ukuran luas OSQ.

Jelas A < B < C

2

.2.22

. SRORORx

xPQOR

222

SRxPQ

2

tan

22

sin xxx

1sin

cosx

xx .

Jadi sin x < x.

Ganti x dengan2

x , jadi

22sin

xx

4

2

2

2sinxx

2

2

2

2sin2xx

2

2cos1

xx

j\“¤·“·†?P 096 j\“¤·“·†?P 097

2

21cos

xx .

Bukti (b):

1sin

0lim

x

x

x.

X

Y

P

Q RO

S

t

x

Jadi 1sin

cos2

21

x

xx

x .

Kasus 02

x :

Jelas 02

x 02

x .

Jadi 1)sin(

)cos(2

2)(1

x

xx

x

1sin

cos2

21

x

xx

x .

Jadi 1sin

cos2

21

x

xx

x untuk22

x .

Jelas 10

lim1)2

21(

0lim

x

x

x.

Jadi 1sin

0lim

x

x

x.

Dari proses pembuktian Teorema 11,

diperoleh simpulan:

Teorema Akibat 36

Teorema 37

Jelas xx

tan0

lim =x

x

x cos

sin

0lim

=x

x

xx

cos0

lim

sin0

lim

=1

0

= 1.

Bukti (c):

Jelasx

x

x

tan

0lim =

x

x

x

x

cos

sin

0lim

=x

x

x

x

x

cos0

lim

sin

0lim

=1

1

= 1.

Bukti lainnya sederhana, diserahkan pem-

baca sebagai latihan.

Contoh 44

(a) Tentukanx

x

x

2sin

0lim

(b) Tentukanxx

xx

x tan2

3sin

0lim

(c) Tentukanxx

x

x sin

cos1

0lim

Penyelesaian:

(a) Strategi:

(1) Ingat rumus 1sin

0lim

x

x

x

(2) Jika x diganti 2x, diperoleh

12

2sin

02lim

x

x

x.

Berdasarkan strategi yang dibangun,

penyelesaiannya adalah:

Jelasx

x

x

2sin

0lim =

x

x

x 2

2sin

02lim.2 = 2.

(b) Jelasxx

xx

x 5tan2

3sin

0lim

j\“¤·“·†?P 098 j\“¤·“·†?P 099

1cos0

lim xx

(a) 0sin0

lim xx

,

(b) 0tan0

lim xx

,

(c) 0tan

0lim

x

x

x,

(d) 0tan0

limx

x

x,

(e) axax

sinsinlim , dan

(f) axax

coscoslim .

=

x

x

x

x

x5

5tan.52

33sin.31

0lim

=

x

x

x

x

x

x

55tan

05lim.52

33sin

03lim.31

=52

31

=34 .

(c) Jelasxx

x

x sin

cos1

0lim

=xx

x

x sin

)2

2sin21(1

0lim

=x

x

xx

x

xx

x

x sin0lim.

2

2sin

0lim.

2

2sin

0lim.

2

1

=21 .1.1.1

=21 .

7. Limit sepihak

Perhatikan fungsi f: R–{0) R

yang didefinisikan sebagai

x

xxf )( .

Fungsi f dapat dinyatakan tanpa tanda nilai

mutlak, yaitu

f(x) =x

x=

0,1

0,1

x

x.

Grafik f:

Gambar 78: Grafikx

xxf )( .

Dapat dilihat bahwa nilai f(x) akan

mendekati 1 apabila x mendekati 0 dari se-

belah kanan. Dikatakan fungsi f mempu-

nyai limit kanan di 0 yang nilainya 1,

situasi ini ditulis

1)(

0

lim xf

x

.

Demikian pula nilai f(x) akan mendekati –1

apabila x mendekati nol dari sebelah kiri.

Dikatakan fungsi f mempunyai limit kiri di

0 yang nilainya –1, situasi ini ditulis

1)(

0

lim xf

x

.

Perhatian 1:

Dengan menggunakan definisi limit, dapat

ditunjukkan bahwax

x

x 0lim tidak ada.

Alasan lain yang menyatakan bahwa

x

x

x 0lim tidak ada adalah disebabkan

)(

0

lim xf

x

= 1 –1 = )(

0

lim xf

x

.

Limit kiri atau limit kanan di suatu

titik suatu fungsi dinamakan limit sepihak.

j\“¤·“·†?P 100 j\“¤·“·†?P 101

f

X

Y

1

–1

f

O

Definisi 38

Definisi 39

Contoh 45

Dipunyai f: [–1,3] R,0,20,1

)(xx

xxxf .

Grafik f:

Gambar 79: Grafik fungsi f pada [–1,3].

Secara intuitif, dapat dilihat bahwa:

(i) f(0) = 02

= 0,

(ii) 1)(

0

lim xf

x

, dan

(iii) 0)(

0

lim xf

x

.

Berdasarkan intuisi tersebut, disimpulkan

teorema berikut ini.

Jelas 1)(

0

lim xf

x

1)(

0

lim0 xf

x

.

Ke-nyataan ini memberikan petunnjuk

bahwa nilai )(0

lim xfx

tidak ada.

Teorema 40:

Buktinya fakultatif dan diserahkan


Contoh 46

Perhatikan fungsi f pada Contoh 7. Bukti-

kanlah:

(a) 1)(

0

lim xf

x

dan

(b) 0)(

0

lim xf

x

.

Bukti (a):

Strategi:

(1) Ambil sembarang > 0.

(2) Pilih > 0, sehingga 1)(xf

apabila – < x < 0:

Dipunyai – < x < 0.

Jelas 0 < –x < 0 < x < .

Jelas f(x) = x + 1.

Jadi 1)(xf = x < .

Dipilih = .

Berdasarkan strategi yang dikembang-

kan disusun bukti sebagai berikut:

j\“¤·“·†?P 102 j\“¤·“·†?P 103

X

Yf

–1 3

1

Dipunyai fungsi f: (a,b) R, dan c di

selang (a,b). Limit fungsi f untuk x

mendekati c dari kanan adalah L, ditulis

denganLxf

cx

)(lim

jika dan hanya jika untuk setiap > 0

terdapat > 0 sehingga Lxf )(

apabila c < x < c + .

Dipunyai fungsi f: (a,b) R, dan c di

selang (a,b). Limit fungsi f untuk x

mendekati c dari kiri adalah L, ditulis

denganLxf

cx

)(lim

jika dan hanya jika untuk setiap > 0

terdapat > 0 sehingga Lxf )(

apabila c – < x < c .

Dipunyai f: I R, I R, dan a I.

Nilai )(lim xfax

ada dan bernilai L jika

dan hanya jika

)(lim xf

ax

= L = )(lim xf

ax

.

Bukti (b):

Strategi:

(1) Ambil sembarang > 0.

(2) Pilih > 0, sehingga 0)(xf

apabila 0 < x < :

Dipunyai 0 < x < .

Jelas 0 < x < 0 < x < .

Jelas f(x) = x2.

Jadi 0)(xf = 2x = x

2<

2.

Dipilih2= .

Berdasarkan strategi yang dikembangkan

disusun bukti sebagai berikut:

Contoh 47

Dipunyai f: R]3,1[ dengan xxf )( .

Grafik f:

Gambar 80: Grafik fungsi xxf )(

pada [–1,3].

Jelas 1)(

1

lim xf

x

, 1)(lim

21

xfx

,

1)(

0

lim xf

x

, 0)(

0

lim xf

x

,

0)(

1

lim xf

x

, 1)(

1

lim xf

x

,

1)(

2

lim xf

x

, 2)(

2

lim xf

x

, dan

2)(

3

lim xf

x

.

Berdasarkan fakta ini, dapat disim-

pulkan:

(a) Dipunyai titik –1 merupakan titik ujung.

Dengan demikian

)(1

lim xfx

= )(

1

lim xf

x

= –1.

(b) Nilai 1)(lim

21

xfx

, dapat dicek bahwa

1)(

)(

lim

21

xf

x

= –1= 1)(

)(

lim

21

xf

x

.

(c) Jelas 1)(

0

lim xf

x

0)(

0

lim0 xf

x

.

Jadi 1)(0

lim xfx

tidak ada.

(d) Jelas )(

2

lim21)(

2

lim xf

x

xf

x

.

Jadi )(2

lim xfx

tidak ada.

j\“¤·“·†?P 104 j\“¤·“·†?P 105

(e) Dipunyai titik 3 merupakan titik ujung.

Dengan demikianKasus 44 x :


Pilih = .

Dipunyai 0 < x < .

Jelas 0 < x < 0 < x <

0 < x2

< .

Jelas 0)(xf = 2x

= x2

<2

= .

Jadi untuk setiap > 0 terdapat >

0 sehingga 0)(xf < apabila

– < x < 0.

Jadi 0)(

0

lim xf

x

.


Pilih = .

Dipunyai – < x < 0.

Jelas 0 < –x < 0 < x < .

Jelas 1)(xf = x < = .

Jadi untuk setiap > 0 terdapat >

0 sehingga 1)(xf < apabila

– < x < 0.

Jadi 1)(

0

lim xf

x

.X

Y

1 2 3

–1 O

f

)(3

lim xfx

= )(

3

lim xf

x

= 2.

Contoh 48

Dipunyai fungsi1,4

1,12)3()(

xx

xxxf .

Hitunglah )(4

lim xfx

apabila ada, kemudian

buktikan.

Penyelesaian:

Grafik f:

Gambar 81: Nilai 0)(4

lim xfx

.

Jelas )(

4

lim xf

x

= 012)3(4

lim xx

dan

)(

4

lim xf

x

= 0)4(4

lim xx

Jelas )(

4

lim xf

x

= 0 = )(

4

lim xf

x

.

Jadi )(4

lim xfx

ada dan )(4

lim xfx

= 0.

Butki formalnya:


Pilih = min }11,{ .

Dipunyai 40 x .

Jelas 44 x .

Jelas 44 x 131 x

12)3(2)1( x

012)3(12)1( x

2)1(1]12)3[(0 x

2)1(112)3(0 x .

Jadi 0)(xf = 12)3(x

< 2)1(1

= .

Kasus 44 x :

Jelas 44 x 44 x

04x

)4(0 x

40 x .

Jadi 0)(xf = 4x < = .

Jadi untuk setiap > 0 terdapat > 0 se-

hingga 0)(xf < apabila 40 x .

Jadi )(4

lim xfx

= 0.

8. Kekontinuan Fungsi

Pada pengertian limit fungsi di titik

a, fungsi f terdefinisi pada suatu selang

buka I , kecuali mungkin di titik a sendiri.

Sekarang dipunyai fungsi f terdefinisi pada

selang I yang memuat titik a. Jikla limit

fungsi f di titik a ada dan nilainya sama

dengan nilai fungsi di titik a, maka fungsi f

dikatakan kontinu di titik a. Definisi ini

dapat dinyatakan sebagai berikut.

j\“¤·“·†?P 106 j\“¤·“·†?P 107

Definisi 41 Jelas )1(2)1(1

lim fxx

.

Y

X

f

4

O

Dipunyai fungsi f: I R dan a I.

Fungsi f dikatakan kontinu di titik a

jika dan hanya jika

Contoh 49

Dipunyai fungsi f: R R, f(x) = x + 1.

Jelas 2)1(

1

lim x

x

, 2)1(

1

lim x

x

, dan

f(1) = 2. Jadi )1(2)1(1

lim fxx

.

Jadi f kontinu di titik 1.

Contoh 49

Dipunyai fungsi f(x) =1,1

1,1

12

x

xx

x. Periksa

apakah f kontinu di titik 1.

Penyelesaian:

Jelas f(x) =1,1

1,1

x

xx.

Grafik f:

Gambar 82: Fungsi f tak kontinu yang

dapat dihilangkan di titik 1.

Jelas 2)1(1

lim)(

1

lim xx

xf

x

,

2)1(1

lim)(

1

lim xx

xf

x

, dan

f(1) = 1.

Jadi fungsi f tak kontinu di titik 1.

Contoh 50

(a) Fungsi f(x) =1,3

1,1

x

xx.

Grafik f:

Gambar 83: Fungsi f tak kontinu

loncat di titik 1 ter-

definisi di titik 1.

(b) Dipunyai fungsi f(x) =1,3

1,1

x

xx.

Grafil f:

Gambar 84: Fungsi f tak kontinu

loncat di titik 1 tak

terdefinisi di titik 1.

Pembaca diminta memeriksa mengapa:

fungsi pada butir (a) dan (b) tak kontinu,

selanjutnya buktikan secara formal.

Konsep kontinunya fungsi f di titik a

dapat disajikan sebagai berikut.

j\“¤·“·†?P 108 j\“¤·“·†?P 109

X

Y

O

f

1

12

X

Y

O

f

1

12

f

3

X

Y

O

f

1

12

f

3

Teorema 42

Contoh 51

Dipunyai f: R R, f(x) = x + 1.

Buktikan f kontinu di titik 1.

Bukti:


Pilih = .

Dipunyai 1x .

Jelas 2)(xf = 1x < = .


hingga 2)(xf apabila 1x .

Jadi f kontinu di titik 1.


tentang kekontinuan fungsi.

Teorema 43

Bukti (i):

Dipunyai f dan g kontinu di titik a.



2)()( afxf apabila 1ax

dan

3)()( agxg apabila 2ax .

Pilih = min{ 1, 2}.

Dipunyai ax .

Jelas ))(())(( agfxgf

= )()()()( agafxgxf

= )]()([)]()([ agxgafxf

)()()]()([ agxgafxf

<32

=6

5

< .


hingga ))(())(( agfxgf < apabila

ax .

Jadi fungsi f + g kontinu di titik a.


latihan.

Definisi 44

Suatu fungsi f: I R yang kontinu

di setiap titik di I dikatakan kontinu pada

selang I.

j\“·“·†?P 110 j\“¤·“·†?P 111

Jika fungsi-fungsi f, g: I R kontinu

di titik a I, dan K suatu konstanta di

R maka fungsi-fungsi:

(i) f + g,

(ii) K.f,

(iii) f . g, dan

(iv)g

fapabila g(a) 0

kontinu di titik a.


Fungsi f dikatakan kontinu di titik a

jika dan hanya jika

Untuk setiap > 0 terdapat > 0

sehingga

)()( afxf apabila ax .

(i) Fungsi f : (a,b) R dikatakan

kontinu pada (a,b) jika dan hanya

jika fkontinu di setiap titik pada

(a,b)

(ii) Fungsi f : [a,b] R dikatakan

kontinu pada [a,b] jika dan hanya

jika f kontinu di setiap titik pada

(a,b),

)()(lim afxf

ax

,

dan

)()(lim bfxf

ax

.

Contoh 52

Dipunyai fungsi yang disa-

jikan dengan rumus dan . Pe-

riksa apakah f kontinu pada .

Pemeriksaan:

Grafik f:

Gambar 85: Fungsi ,

kontinu

Ambil sembarang xo (2,+ ).

Jelas f(xo) =

dan

.

Jadi untuk setiap xo di

selang (2,+ ).

Jadi fungsi f kontinu pada selang (2,+ ).

Teorema 45

Bukti (i):

Tulis P(n): f(x) = xn

kontinu pada R.

Jelas P(1): f(x) = x kontinu pada R.

Jelas f kontinu pada R.

Jadi P(1) benar.

Dipunyai P(k) benar.

Jelas f(x) = xk

kontinu pada R.

Tulis xk

= g(x) dan x = h(x).

Jelas g . h kontinu pada R.

Jadi f(x) = xk+1

kontinu pada R.

Jadi P(k+1) benar apabila P(k) benar.

Jadi P(n) benar.

Jadi f: R R, f(x) = xn

kontinu pada R.

Bukti (ii) diserahkan pembaca sebagai

latihan.

Sama seperti konsep limit, kekonti-

nuan fungsi juga dikenal dengan adanya

kontinu sepihak. Sebagai contoh perhatikan

fungsi f: (1,4] R, f(x) = .

Gambar 86: f kontinu kiri di titik 4 dan

f tak kontinu kanan di titik 1.

Berdasarkan intuisi dapat dilihat

bahwa dan f(1) tidak

ada. Kondisi ini menyatakan bahwa fungsi

f kontinu kiri di titik 4 dan f tak kontinu

kanan di titik 1.

j\“¤·“·†?P 112 j\“¤·“·†?P 113

Rf ),2(:

2

1)(

xxf

),2(

Rf ),2(:

2

1)(

xxf

2

1

ox

2

1

2

1lim)(lim

oxxxxxf

xx oo

)()(lim oxfxfxx o

1

1

x

)4(3

1

1

1

4

lim fx

x

Untuk setiap bilangan asli n berlaku:

(i) f: R R, f(x) = xn

kontinu pada R.

(ii) Jika fungsi g: R R kontinu di

titik a maka f(x) = [g(x)]n

juga

kontinu di titik a.

X

X

O

f

1 2 xo

f(xo)

X

Y

O 41

f

Definisi 46

Contoh 53

Dipunyai fungsi f: [1,5] R yang diberi-

kan oleh .

Grafik f:

Gambar 87: Gambar fungsi dengan

f(x)= .

(a) Jelas .

Jadi f kontinu kanan di titik 1.

(b) Jelas .

Jadi f kontinu kiri di titik 3.

(c) Jelas akan te-

tapi f(3) tidak ada.

Jadi f tak kontinu kanan di titik 3.

(d) Jelas .


Kekontinuan sepihak suatu fungsi di-

definisikan sebagai berikut.

Definisi 47

Contoh 54

Dipunyai fungsi f : R R yang diberikan

oleh . Buktikan f tak kontinu

kiri dan kontinu kanan di titik 1.

Grafik f:

Gambar 88: f tak kontinu kiri dan

kontinu kanan di titik 1.

Bukti:

(a) Ambil sembarang > 0.

Pilih = min{1, }.

j\“¤·“·†?P 114 j\“¤·“·†?P 115

53,5

31,)(

xx

xxxf

53,5

31,

xx

xx

)1(11

lim)(

1

lim fxx

xf

x

)3(33

lim)(

3

lim fxx

xf

x

2)5(3

lim)(

3

lim xx

xf

x

)5(0)5(5

lim)(

5

lim fxx

xf

x

1,1

1,3)(

x

xxxf

3


(i) fungsi f dikatakan kontinu kanan

jika

dan

(ii) fungsi f dikatakan kontinu kanan

jika

)()(lim afxf

ax

)()(lim afxf

ax

X

Y

O

f

f

1 2 3 4 5


(i) jika dan hanya ji-

ka untuk setiap >0 terdapat >0

sehingga apabila

a < x < a + .

(ii) jika dan hanya ji-

ka untuk setiap >0 terdapat >0

sehingga apabila

a – < x < a .

)()(lim afxf

ax

)()( afxf

)()(lim afxf

ax

)()( afxf

X

Y

f

f

O 1

1

Dipunyai 1 – < x < 1.

Jelas – < x–1< 0 0 <–(x – 1)<

.

Dicari batas x2

+ x + 1 pada 0 < x < 1:

Jelas x2

+ x + 1 = .

Jelas 0 < x < 1

.

Jadi =

=

=

< 3

= .

Jadi untuk setiap > 0 terdapat > 0

sehingga apabila 1– <x

<1.

Jadi .


(b) Ambil sembarang > 0.

Pilih = .

Dipunyai 1 < x < 1 + .

Jelas 0 < x – 1 <

.

Jadi = < = .


sehingga apabila 1<x <1+

.

Jadi .

Akan tetapi f(1) tidak ada.

Jadi f tak kontinu kanan di titik 1.


kekontinuan fungsi untuk fungsi komposi-

si yang dapat digunakan untuk memeriksa

kekontinuan fungsi-fungsi yang rumit.

Teorema 48

Bukti:

Dipunyai f kontinu di titik L dan

.

Tulis g(x) = y.



apabila

dan

apabila .

Pilih = 2.

Dipunyai .

Jelas .

Jadi

.


sehingga apabila

.

Jadi = f(L).

Contoh 55

Penyelesaian:

Tentukan .

Tulis (x – 2) = g(x) dan x10

+ 1 = f(x).

Jelas .

Jadi =

= f(–1)

= 2.

j\“¤·“·†?P 116 j\“¤·“·†?P 117

10 x

4

32)21(x

23

21

21 x

492)

21(

41 x

3432)

21(1 x

1)(xf 13x

)12)(1( xxx

12.1 xxx

1)(xf

)1(1)(

1

lim fxf

x

10 x

1)(xf 1x

1)(xf

1)(

1

lim xf

x

Lxgax

)(lim

)()( Lfyf 1Ly

1)( Lxg 20 ax

ax0

1)( Lxg 1Ly

)()( Lfyf

))(()]([ Lgfxgf

))(()]([ Lgfxgf

Lxg )(0

)(lim)]([lim xgax

fxgfax

110)2(1

lim xx

1)2(1

lim)(1

lim xx

xgx

12)2(1

lim xx

)(1

lim xgx

f

Jika fungsi f, g: I R, a I,

, dan f kontinu di titik L

maka

.

Lxgax

)(lim

)(lim)]([lim xgax

fxgfax

Teorema 49

Bukti:

Dipunyai g kontinu pada I dan

f kontinu di g(a) = L.

Tulis g(x) = y.



apabila

dan

apabila .

Pilih = 2.

Jelas apabila .

Jadi .

Jadi kontinu di titik a.

Contoh 56

Periksa apakah fungsi f: R R dengan f(x)

= sin (x2

– 10) kontinu pada R.

Pemeriksaan:

Tulis x2

– 10 = g(x) dan sin x = h(x).

Ambil sembarang xo R.

Jelas .

Jadi g kontinu untuk setiap xo R.

Jadi g kontinu pada R.

Ambil sembarang u R sehingga u =

g(xo).

Jelas h kontinu di titik u.

Jadi f = kontinu di u untuk setiap u.

Jadi f kontinu pada R.

Latihan Soal Bab 2

1. Dipunyai fungsi f disajikan dengan f(x) =

. Hitung dan buktikan:

(a)

(b)

2. Periksa adanya limit fungsi f yang

disajikan dengan f(x) = untuk

x mendekati:

(a) 3,

(b) –1, dan

(c) .

3. Hitunglah nilai limit berikut:

(a)

(b)

(c)

4. Hitunglah limit berikut ini:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

5. Hitunglah apabila:

(a) 2 – 3x2

f(x) 2 + 7x3

untuk setiap

x [–1, 2].

(b) 1 – 3x2

f(x) cos x untuk setiap x

.

j\“¤·“·†?P 118 j\“¤·“·†?P 119

)()( Lfyf 1Ly

1)( Lxg 2ax

)]([)]([ agfxgf ax

)]([)]([lim agfxgfax

gf

)o(102o)(lim

o

xgxxgxx

gh

12xx

)(1

lim xfx

)(5

lim xfx

212x

25

xx

xx

x tan2

2sin

0lim

x

xx

x 6cos1

sin.

0lim

x

x

x

cos1

0lim

)225sin

(0

lim xx

x

x

x

x

x 2sin

5tan

0lim

x

x

x 6sin

tan

0lim

x

xx

x sin

tan.2sec

0lim

23

52tan

0lim

x

x

x

)(0

lim xfx

]2

,2

[

Jika fungsi f, g: I R, I selang buka

memuat a, g kontinu pada I, dan f

kontinu di L = g(a) maka

fungsi komposisi kontinu di a.gf

6. Dipunyai fungsi f diberikan oleh

.

(a) Sketlah grafik fungsi f,

(b) Periksa adanya , dan

(c) Buktikan butir (b) secara formal.

6. Buktikan:

(a) (d)

(b) (e)

(c) (f)

7. Butkikan bahwa pernyataan berikut tidak

benar:

(a)

(b)

8. Buktikan:

Jika untuk setiap bilangan

bilangan bulat positif n.

9. Tentukan selang terbesar fungsi yang

diberikan oleh kontinu.

10. Jika fungsi f : I R kontinu di titik a,

buktikan fungsi (9. f) juga kontinu di

titik a.

11. Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi berikut

kontinu di titik yang diberikan:

(a) , a = 0

(b) , a = 1

(c) , a = 1

(d) , a = –3

12. Periksa apakah fungsi berikut kontinu

di titik yang disajikan:

(a) ; a = 2

(b) ; a = –2.

13. Dipunyai fungsi f: R R, f(x) = K

untuk suatu K R. Buktikan bahwa f

kontinu pada R.

14. Dipunyai a, b, c R, a 0, dan

. Tentukan ni-

lai a agar f kontinu di titik 2.

15. Dipunyai fungsi f disajikan oleh

. Hitunglah:

(a) (d)

(b) (e)

(c) (f)

16. Periksa kekontinuan fungsi-fungsi:

(a)

(b)

17. Dipunyai fungsi-fungsi f, g: I R,

f(x) g(x) untuk setiap a I, dan

.

Buktikan bahwa .

j\“¤·“·†?P 120 j\“¤·“·†?P 121

1,2)1(1

1,)(

xx

xxxf

)(1

lim xfx

22

1lim

xx

7)83(1

lim xx

3123

lim xx 3

1)2(

1

1lim

xxx

15)22(5

lim xxx

251

2

0lim

x

x

x

3)12(1

lim xx

2)12(0

lim xx

nc

ny

cylim

241)( xxf

52)( xxf

x

xxf

1

1)(

xxf

11)(

x

xxf

2)(

2,12)2(

2,1)(

xx

xxxf

2

2)(

x

xxf

x

xxaxf

,4

2,12)2()(

2,cos

21,2

1,1

)(

xx

xx

x

xf

)(

1

lim xf

x

)(

2

lim xf

x

)(

1

lim xf

x

)(

2

lim xf

x

)(1

lim xfx

)(2

lim xfx

0,1

0,tan

)(x

xx

xxf

0,1

0,sin

)(x

xx

xxf

Lxgax

)(lim

Lxfax

)(lim

Pada Bab 3 ini didiskusikan tentang turunan (derivative) suatu fungsi. Pembicara-an

dimulai dengan menghitung gradien garis singgung suatu kurva di suatu titik menggunakan

konsep limit yang telah dikembangkan pada Bab 2. Ide tentang gradien garis singgung ini

diperluas menjadi turunan suatu fungsi. Beberapa teorema atau sifat-sifat turunan disajikan yang

beberapa diantaranya dilengkapi dengan bukti. Setiap konsep, teorema, atau sifat yang disajikan

dilengkapi dengan suatu contoh agar daya serap pembaca dapat ditingkatkan.

Gradien garis singgung pada kurva f di titik P(xo,yo) telah dibicarakan pada Bab 2, yaitu:

m = apabila nilai limit ini ada. Nilai disebut perbedaan

hasil bagi, sebab ini merupakan perubahan perbandingan nilai fungsi apabila nilai x berubah,

yaitu dari titik (xo,yo) menjadi titik (xo + h, f (xo + h)). Nilai h dapat bernilai positif atau negatif.

Nilai h yang positif berarti 0 dihampiri h dari kanan dan nilai h yang negatif berarti 0 dihampiri h

dari kiri. Situasi ini dapat diperlihatkan pada gambar berikut ini.

Gambar 89: gradien garis PQ adalah

, h > 0

Gambar 90: gradien garis PQ adalah

, h < 0

j\“¤·“·†?P 122 j\“¤·“·†?P 123

hoxfhoxf

h

)()(

0lim

hoxfhoxf )()(

hoxfhoxf )()(

h

hoxfoxf )()(

Q(xo+h,f(xo+h))

X

Y

xo xo+h

P(xo,f(xo))

O

s

X

Y

xo

P(xo,f(xo))

Q(xo+h,f(xo+h))

xo+h O

s

1. Pengertian Turunan Fungsi

Gradien garis singgung s pada Gambar

89 dan Gambar 90 adalah

, apabila limit ini ada.

Selanjutnya dinota-

sikan dengan dan disebut dengan

turunan fungsi f di titik xo. Jika ada

untuk setiap xo di selang I, proses menen-

tukan turunan biasanya menghasilkan fung-

si turunan yang terdefinisi pada selang

I.

Definisi 50

Contoh 57

Dipunyai f: R R dengan f(x) = x2

– 1.

Tentukan:

(a) Persamaan garis singgung pada

kurva f yang koordinat-x nya 1.

(b) Tentukan fungsi turunan dari f.

Penyelesaian:

(a) Tulis 1 = xo dan ms: gradien garis sing-

gung yang diminta.

Jelas f(1) = 0 dan

=

=

=

=

= 2.

Jadi s: y – 0 = 2(x – 1) y = 2x – 2.

(b) Jelas =

=

=

=

= 2x.

Grafik f dan :

Gambar 91: grafik f(x) = x2

– 1

dan f (x) = 2x.

Contoh 58

Tentukan f (x) apabila:

(a) f: [0,+ ) R,

(b) f: (0,+ ) R,

Penyelesaian:

(a) Ambil sembarang x [0,+ ).

Jelas f (x) =

=

=

j\“¤·“·†?P 124 j\“¤·“·†?P 125

= Berikut ini disajikan beberapa sifat

turunan, yang berguna untuk menentukan

hoxfhoxf

h

)()(

0lim

hoxfhoxf

h

)()(

0lim

)(' oxf

)(' oxf

'f

smh

fhf

h

)1()1(

0lim

h

h

h

212)1(

0lim

h

hh

h

22

0lim

)2(0

lim hh

)(' xfh

xfhxf

h

)()(

0lim

h

xfhx

h

)(2)(

0lim

h

xhxhx

h

2222

0lim

)2(0

lim hxh

'f

'

'

xxf )(

xxf

1)(

'h

xfhxf

h

)()(

0lim

h

xhx

h 0lim

xhx

xhx

h

xhx

h.

0lim

xhxh

1

0lim

Dipunyai fungsi f: I R.

Turunan fungsi f pada selang I didefi-

nisikan sebagai

=h

xfhxf

h

)()(lim

0

apabila nilai limit ini ada untuk setiap x di I.

)(' xfX

Y

O

f f '

= .

(b) Ambil sembarang x (0,+ ).

Jelas f (x) =

=

= .

Conto 59


(a) f(x) = sin x

(b) f(x) = cos x.

Penyelesaian:

(a) Jelas f (x) =

=

=

=

= cos x.

(b) Jelas f (x) =

=

= 2

=

= – sin x.

turunan fungsi yang rumit.

Teorema 51

Bukti:

(a) Jelas (f + g) (x)

=

=

= +

= f (x) + g (x).

(b) Jelas (K.f) (x)

=

=

=

= (K.f) (x).

Contoh 60


(a) f(x) = 3 sin x + 6x2

(a) f(x) = 5x2

+

Penyelesaian:

(a) Tulis sin x = g(x) dan x2

= h(x).

Jelas g (x) = cos x dan h (x) = 2x.

Jadi f (x) = 3. g (x) + 6. h (x)

j\“¤·“·†?P 126 j\“¤·“·†?P 127

x2

1

'h

xfhxf

h

)()(

0lim

)(

1

0lim

hxxh

2

1

x

'

'h

xfhxf

h

)()(

0lim

h

xhx

h

)(sin)(sin

0lim

h

hhx

h

2sin.)

2(cos2

0lim

)2

(cos0

lim.

2

2sin

0

lim

2

hx

hh

h

h

'h

xfhxf

h

)()(

0lim

h

xhx

h

cos)(cos

0lim

h

hhx

h

2sin).

2sin(2

0lim

)2

(sin0

lim.

2

2sin

0lim

hx

hh

h

h

'

h

xgfhxgf

h

))(())((

0lim

h

xghxgfxfhxf

h

)())(()()(

0lim

h

xfhxf

h

)()(

0lim

h

xfhxf

h

)()(

0lim

' '

'

h

xfKhxfK

h

))(.())(.(

0lim

h

xfKhxfK

h

)(.)(.

0lim

h

xfhxf

hK

)()(

0lim.

'

'

xx

72

' '

' ' '

Jika fungsi-fungsi f, g: I R mempu-

nyai turunn di x dan K sembarang bi-

langan real, maka:

(a) (f + g) (x) = f (x) + g (x)

(b) (K.f) (x).

' ' '

'

= 3 cos x + 12x.

(b) Tulis x2

= g(x), , dan .

Jelas g (x) = 2x, h (x) = , dan

p (x) = .

Jadi f (x) = 3 + 2. + 7.( )

= .

2. Turunan Sepihak

Turunan suatu fungsi merupakan

pengembangan konsep limit. Pada konsep

limit telah dikenal pengertian limit sepihak.

Dengan demikian pada konsep turunan

juga ada turunan sepihak.

Telah dibicarakan turunan fungsi f

di titik xo sebagai berikut

.

Tulis xo + h = x. Jelas h 0 x xo. Jadi

.

Contoh 61

Tentukan f (xo) apabila:

(a) f(x) = sin 2x, xo = dan

(b) f(x) = , xo = 2.

Penyelesaian:

(a) Jelas f ( ) =

=

=

=

= 2 . 1 . cos

= 2 . 1 . 0

= 0.

(b) Jelas f (2) =

=

=

= –1.

Definisi 52

j\“¤·“·†?P 128 j\“¤·“·†?P 129

)(1

xhx

)(xpx

' '

2

1

x

'

x2

1

')

1(

x)

2

1(

x x2

1

xxx 2

7

2

23

hoxfhoxf

h

)()(

0lim

hoxfhoxf

h

)()(

0lim

oxx

oxfxf

xx o

)()(lim

'

4

1

1

x

'

4

4

)4

()(

lim

4x

fxf

x

4

2sin2sin

lim

4x

x

x

4

)4

sin().4

(cos2

lim

4x

xx

x

)4

(cos

4

lim.

4

)4

sin(

0

lim.2

4

x

xx

x

x

2

'

2

)2()(

2lim

x

fxf

x

2

11

1

2lim

x

x

x

)1(2

limx

Dipunyai fungsi f: I R, I R, dan titik

xo I.

Turunan kiri f di titik xo:

dan

turunan kanan f di titik xo:

.

oxx

oxfxf

xxoxf

o

)()(lim)('

_

oxx

oxfxf

xxoxf

o

)()(lim)('

Teorema 53

Buktinya bersifat fakultatif, diserahkan


Contoh 62

Dipunyai fungsi f: R R, f(x) = . Perik-

sa apakah fungsi f mempunyai turunan di

titik x = 0.

Pemeriksaan:

Jelas f(x) = .

Jelas =

=

=

= –1

dan

=

=

=

= 1.

Jadi .

Jadi tidak ada.

Hubungan adanya turunan suatu

fungsi dan kontinunya fungsi pada suatu

titik atau pada selang kelak akan sering di-

gunakan. Hubungan ini disajikan pada teo-

rema berikut ini.

Teorema 54

Bukti:

Dipunyai f (xo) ada.

Tulis f (xo) = y untuk suatu y R.

Jelas f (xo) = y

= y

.

Tulis xo + h = x.

Jelas h 0 x xo.

Jadi .

Jadi fungsi f kontinu di titik xo.

Kebalikan Teorema 30 tidak benar.

Hal ini cukup diberikan contoh suatu fung-

si yang kontinu di titik xo akan tetapi turun-

an fung-si f di titik xo tidak ada.

Pilih fungsi f: R R, f(x) = dan xo = 0.

Jelas f(x) = .

Jelas f(0) = 0,

, dan

.

Jadi .

Jadi fungsi f kontinu di titik 0.

Jelas tidak ada.

Ini menunjukkan kebalikan Teorema 54

tidak benar.

j\“¤·“·†?P 130 j\“¤·“·†?P 131

x

0,

0,0

0,

xx

x

xx

)0('_f

0

)0()(

0

limx

fxf

x

x

x

x 0lim

)1(0

limx

)0('f

0

)0()(

0

limx

fxf

x

x

x

x 0lim

10

limx

)0('_f )0('

f

)0('f

'

'

'

h

oxfhoxf

h

)()(

0lim

yhh

oxfhoxfh

.0

lim)()(0

lim

)()(0

lim oxfhoxfh

)()(lim oxfxfxx o

x

0,

0,0

0,

xx

x

xx

0)(0

lim)(

0

lim xx

xf

x

00

lim)(

0

lim xx

xf

x

)0(0)(0

lim fxfx

)0('f


xo I.

f (xo) ada

jika dan hanya jika

= .

'

)('_ oxf )('

oxf


xo I.

Jika f (xo) ada

maka fungsi f kontinu di titik xo.

'

3. Rumus Turunan

Pada pasal ini disajikan beberapa

rumus atau aturan untuk menentukan turun-

an fungsi-fungsi. Dimulai dengan notasi

yang dimunculkan oleh Gottfried Leibniz,

seorang matematikawan (1646 – 1716) se-

bagai berikut:

Notasi Leibniz 55

Teorema 56

Bukti:

Jelas =

=

=

= 0.

Teorema 57

Bukti:

Jelas =

=

=

=

= .

j\“¤·“·†?P 132 j\“¤·“·†?P 133

Teorema 58 Bukti teorema ini diserahkan pembaca

dx

xfd )]([

h

xfhxf

h

)()(

0lim

h

KK

h 0lim

00

limh

dx

xgfd )])(.[(

h

xgfhxgf

h

))(.())(.(

0lim

h

xgxfhxghxf

h

)().()().(

0lim

h

xgxfhxgxfhxgxfhxghxf

h

)().()().()().()().(

0lim

h

xghxg

hxf

hhxg

hh

xfhxf

h

)()(

0lim).(

0lim)(

0lim.

)()(

0lim

dx

xfdxg

dx

xgdxf

)]([).(

)]([).(

Dipunyai fungsi f disajikan dengan per-

samaan y = f(x). Turunan fungsi f

dinotasikan dengan

atau atau .)(' xfdx

xfd )]([

dx

dy

Dipunyai fungsi f: I R, I R, dan K

suatu konstanta di R.

Jika f(x) = K untuk setiap x di I

Maka

.0)]([

dx

xfd

Jika fungsi f, g : I R, I R, mempu-

nyai turunan di x I maka

.dx

xfdxg

dx

xgdxf

dx

xgfd )]([).(

)]([).(

)])(.[(

Bukti:

Tulis P(n): .

Jelas P(1): .

Jelas .

Jadi P(1) benar.


Jelas .

Jadi =

=

=

=

= .


Jadi P(n) benar.

Jadi .

Teorema 59

sebagai latihan.

Contoh 63


(a) f(x) = tan x (c) f(x) = sec x

(b) f(x) = cot x (d) f(x) = csc x.

Penyelesaian:

(a) Jelas f (x) = =

=

=

=

= sec2

x.

(b) Jelas f (x) = =

=

=

=

= – csc2

x.

Dengan mudah dapat ditunjukkan bah-

wa: dan

.

Contoh 64


(a) f(x) = x . sin x

(b) f(x) =

(c) f(x) =

j\“¤·“·†?P 134 j\“¤·“·† P 135

1.)( n

xndx

nxd

11.1)(

xdx

xd

11.10.11)(

xxdx

xd

1.)( k

xkdx

kxd

dx

kxd )1(

dx

kxxd ).(

dx

xdkx

dx

kxd

x)(

.)(

.

kx

kxkx

1..

kx

kxk .

1)1(.)1( kxk

1.)( n

xndx

nxd

'

'

dx

xfd )]([

dx

xd )(tan

dx

x

xd )

cos

sin(

x

dx

xdx

dx

xdx

2cos

)(cos.sin

)(sin.cos

x

xx

2cos

2cos2sin

'

dx

xfd )]([

dx

xd )(cot

dx

x

xd )

sin

cos(

x

dx

xdx

dx

xdx

2sin

)(sin.cos

)(cos.sin

x

xx

2cos

2cos2sin

xxdx

xdtan.sec

)(sec

xxdx

xdcot.csc

)(csc

'

1

cos

x

x

x

xx

tan1

cossin

Jika f: R R, f(x) = xn, dan n semba-

rang bilangan bulat tak nol maka

.1.)( n

xndx

nxd

Jika fungsi f, g : I R, I R, mem-

punyai turunan di x I, dan g(x) 0

maka

= .dx

xg

fd ))((

)(2

)]([).(

)]([).(

xg

dx

xgdxf

dx

xfdxg

Penyelesaian:

(a) Jelas f (x) =

=

=

= x. cos x + sin x.

(b) Jelas f (x) =

=

=

= .

(c) Jelas f (x) =

=

=

= .

Contoh 65

Tentukan nilai-nilai x pada selang [0,2 ]

sehingga garis-garis singgung pada kurva

f(x) = sin x dan g(x) = cos x:

(a) sejajar

(b) tegak lurus.

Penyelesaian:

Ambil sembarang x [0,2 ].

Jelas f (x) = cos x dan g (x) = – sin x.

(a) Jelas f (x) = g (x) cos x = – sin x

cos x = cos

x = .

K x

0

1

Jadi nilai x yang memenuhi adalah

dan .

(b) Jelas f (x) . g (x) = –1

–sin x . cos x = –1

sin x . cos x = 1

sin 2x = 2.

Jelas tidak ada nilai x yang memenuhi.

Ini berarti bahwa tidan ada garis

singgung pada kurva f dan g yang

sejajar.

4. Aturan Rantai

Fungsi-fungsi yang rumit merupakan

fungsi komposisi dari fungsi-fungsi pem-

bangun. Untuk mempermudah menentukan

turunan fungsi-fungsi komposisi digunakan

suatu rumus yang disebut dengan aturan

rantai.

Teorema 60 (Aturan Rantai)

j\“¤·“·†?P 136 j\“¤·“·†?P 137

'

dx

xfd )]([

dx

xxd )sin.(

dx

xdx

dx

xdx

)(.sin

)(sin.

'

dx

xfd )]([

dx

x

xd )

1

cos(

2)1(

)1(.cos

)(cos.)1(

x

dx

xdx

dx

xdx

2)1(

cossin.)1(

x

xxx

'

dx

xfd )]([

dx

x

xxd

tan1

cossin

2)tan1(

)tan1().cos(sin

)cos(sin).tan1(

x

dx

xdxx

dx

xxdx

2)tan1(

2sec).cos(sin)sin)(costan1(

x

xxxxxx

' '

' '

)2

3( x

2.2

3Kx

4

3

4

7

4

3

4

7

' '

Jika g mempunyai turunan di xn dan f

mempunyai turunan di u = g(x) maka

)(')].([')])([(

xgxgfdx

xgfd.

Aturan rantai dapat dinyatakan

dengan notasi Leibniz sebagai berikut

.

Bukti:

Jelas )(')( xgf =dx

xgfd )])([(

=h

xgfhxgf

h

)]([)]([(

0lim

=h

xghxg

hxghxg

xgfhxgf

h

)()(

0lim.

)()(

)]([)]([(

0lim .

Tulis g(x) = u dan g(x + h) – g(x) = v

g(x + h) = u + v.

Jelas 0h v 0.

Jadi )(')( xgf =v

ufvuf

v

)()(

0lim . g ' (x)

= f ' [g(x)]. g ' (x).

Contoh 66

Tentukan f ' (x) apabila:

(a) f(x) = (x + 3)10

(b) f(x) = sin3x

(c) f(x) =x

2sin1

1

(d) f(x) =5)92(

1

x

.

Penyelesaian:

(a) Strategi: (1) Ingat rumus 910)10(

xdx

xd.

(2) Ganti x dengan (x + 3), di-

peroleh:

9)3(10)3(

10)]3[(x

xd

xd.

Jadi f ' (x) =dx

xfd )]([

=dx

xd ]10)3[(

=dx

xd

xd

xd )3(.

)3(

]10)3[(

= 10(x – 3)9.

(b) Strategi: (1) Ingat rumus 23)3(

xdx

xd.

(2) Jika x diganti sin x, diper-

oleh:

xxd

xd 2sin3)(sin

]3)[(sin.

Jadi f ' (x) =dx

xfd )]([

=dx

xd )3(sin

=dx

xd

xd

xd )(sin.

)(sin

)3(sin

= xx cos.2sin3 .

(c) f ' (x) =dx

xfd )]([

=dx

x

d3sin1

1

=2)3sin1(

)3sin1()1().3sin1(

x

x

xd

dx

dx

=2)3sin1(

)(sin.

)(sin

)3(sin)1()1().3sin1(

x

dx

xd

xd

xd

dx

d

dx

dx

=2)3sin1(

cos.2sin.3

x

xx .

(d) Jelas f ' (x) =dx

xfd )]([=

dx

x

d5)92(

1

=dx

xd ]5)92[(

=dx

xd

xd

xd )92(.

)92(

]5)92[(

= (x2

– 9)– 6

. 2x

=6)92(

2

x

x .

j\“¤·“·†?P 138 j\“¤·“·†?P 139

dx

du

du

dy

dx

dy.

5. Turunan Fungsi Implisit

Fungsi yang disajikan dengan y = f(x),

variabel x dan y terpisah di ruas yang

berbeda. Fungsi yang disajikan seperti ini

disebut fungsi ekplisit. Fungsi yang tidak

demikian disebut dengan fungsi implisit.

Sebagai contoh x2

+ y2

= 25, 12

2

2

2

b

y

a

x ,

dan 3 sin xy + x cos y + 5xy2

= 0.

Contoh 67

Tentukan persamaan garis singgung di titik

(3,4) pada lingkaran x2

+ y2

= 25.

Penyelesaian:

Jelasdx

d

dx

yxd )25()22(

0.)2()2(

dx

dy

dy

yd

dx

xd

0.22dx

dyyx

y

x

dx

dy.

Tulis m: gradidien garis singgung.

Jelas m =

43

yxdx

dy=

43

yxy

x =4

3.

Jadi s: y – 4 = )3(4

3x

3x + 4y – 7 = 0.

Gambar situasinya:

Gambar 92: Garis s: 3x + 4y – 7 = 0

menyinggung lingkaran

x2

+ y2

= 25

Contoh 68

Tentukandx

dyapabila:

(a) 12

2

2

2

b

y

a

x

(b) 3 sin xy + x cos y + 5xy2

= 5.

Penyelesian:

(a) Jelasdx

d

dx

b

y

a

xd

)1(2

2

2

2

0

2

2

2

2

dx

b

yd

dx

a

xd

0.)2(

2

1)2(

2

1

dx

dy

dy

yd

bdx

xd

a

0.2

2

2

2

dx

dy

b

y

a

x

ya

xb

dx

dy

2

2.

(b) Jelasdx

d

dx

xyyxxyd )5()25cossin3(

dx

xyd

dx

yxd

dx

xyd )2(5

)cos()(3 = 0

])(

[3dx

xdy

dx

dyx +

dx

dy

dy

ydx

)(cos

+dx

dyycos +

dx

xdy

dx

dy

dy

ydx

)(2)2([5 = 0

dx

dyy

dx

dyxxy

dx

dyx cossin33

+ 2510 ydx

dyxy = 0

dx

dyxyyxxx )10cossin3(

= yy 325

yxxxyx

yy

dx

dy

cossin103

325.

j\“¤·“·†?P 140 j\“¤·“·†?P 141

Teorema 68= ]

)(sin.

)(sin

)3(sin)2(.[)3sin2(

2

1 21

dx

xd

xd

xd

dx

dx

X

Y

O

(–5,0)

(3,4)

s

Jika m dan n bilangan-bilangan bulat

tak nol maka

1.

)(nmn

m

xmxd.

Bukti:

Tulis yxfx nm

)( .

Ambil sembarang x Df.

Kasus x 0:

Jelas y 0.

Jelas mx

nx

ny n

m

)( .

Jadi ny mempunyai turunan.

Jadidx

mxd

dx

dy

dy

nyd )(

.)(

1..1. mxm

dx

dynyn

1)(

1.

nxn

mxm

dx

dy

nm

1. n

m

xnm

dx

dy.

Contoh 69

Tentukan f ' (x) apabila:

(a) f(x) = x3sin2

(b) f(x) =12x

x

(c) x.f(x) + sin [f(x)] = x2

(d) f(xy) = x2.

Penyelesaian:

(a) Jelas f ' (x) =dx

xfd )]([

=dx

xd ])3sin2[( 21

=dx

xd

xd

xd )3sin2(.

)3sin2(

])3sin2[( 21

= xxx cos.2sin3.)3sin2(2

1 21

=x

xx

3sin22

cos.2sin.3 .12x

x

(b) Jelas f ' (x) =dx

xfd )]([

=dx

x

xd )

12(

=dx

xxd ])12.([ 21

=dx

xdx

dx

xd

xd

xdx

)(.)12(

)12(.

)12(

])12[(. 2

121

=12

1

12)12(

2

xxx

x

=12)12(

14

xx

x .

(c) Jelasdx

xd

dx

xfxfxd )2()](sin[)(.[

xdx

xfd

dx

xfxd2

)]([sin)](.[

xdx

xfd

xfd

xfd

dx

xdxf

dx

xfdx 2

)]([.

)]([

)]([sin)().(

)]([

xdx

xfdxfxf

dx

xfdx 2

)]([).(cos)(

)]([

)(2)]([

)).(cos( xfxdx

xfdxfx

)(cos

)(2)]([

xfx

xfx

dx

xfd

)(cos

)(2)('

xfx

xfxxf .

(d) Jelasdx

xyfd )]([=

dx

xd )2(

xdx

xyd

xyd

xyfd2

)(.

)(

)]([

xydx

dyxxyf 2)).(('

xyxfxxyf 2])('.).[('

)()('.

2)('

xfxfx

xxyf .

j\“¤·“·†?P 142 j\“¤·“·†?P 143

6. Turunan Invers Fungsi

Dipunyai fungsi f : R–{–1} R, yang

diberikan oleh . Jelas ada

dengan , x –{1} 1. Jelas

= = =

.

Berikut ini disajikan suatu teorema

untuk menentukan turunan invers suatu

fungsi.

Teorema 61

Contoh 70

Dipunyai fungsi f: R–{–1} R, yang dibe-

rikan oleh . Tentukan .

Penyelesaian:

Jelas = dan .

Jadi = =

= = .

Contoh ini merupakan ilustrasi terha-

dap kebenaran Teorema 61. Bukti untuk

teorema ini fakultatif, dan diserahkan


Contoh 71

Dipunyai fungsi f :[0, ] [0,1] dengan f(x)

= sin x.

(a) Gambarlah grafik f– 1

(b) Tentukan .

Penyelesaian:

(a) Daftar nilai f dan f– 1

:

x 0

f(x) 0 1

Daftar nilai f dan f– 1

:

x 0 1

f– 1

(x) 0

Grafik f dan f– 1

:

Gambar 93: Grafik f(x) = sin x

dan f– 1

(x) = sin–1

(x).

j\“¤·“·†?P 144 j\“¤·“·†?P 145

(b) Cara 1: Daftar nilai f dan f– 1

:

1)(

x

xxf 1

f

x

xxf

1)(1

)(')1( xfdx

xfd )](1[

dx

x

xd )

1(

2)1(

1

x

1)(

x

xxf ))(1( yf

)(' xf2)1(

1

xx

xxf

1))(1(

)(')1( xf

)](1['

1

xff )1

('

1

x

xf

2)11

(

1

1

x

x

2)1(

1

x

2

)(')1( xf

6 4 3 2

2

1

2

2

2

3

2

1

2

2

2

3

6 4 3 2

Jika fungsi f mempunyai turunan pada

selang I dan pada I maka

mempunyai turunan pada f(I) yang di-

tentukan oleh

atau

.

0)(' xf1

f

)](1['

1)(')1(

xff

xf

dx

dydy

dx 1

X

Y

O

f

f– 1

Jelas = = .

Ambil sembarang x [0,1].

Tulis x = sin y untuk suatu y [0, ].

Jadi =

= =

= =

= , .

Cara 2:

Tulis sin–1

x = y x = sin y.

Jadi = = cos y.

Jadi =

=

=

= , .

Contoh 72

Dipunyai fungsi f :[0, ] [0,1] dengan f(x)

= cos x.


(b) Tentukan .

Penyelesaian:


:

x 0

f(x) 1 0

x 1 0

f– 1

(x) 0

Grafik f dan f– 1

:

Gambar 94: Grafik f(x) = cos x

dan f– 1

(x) = cos–1

(x).

(b) Cara 1:

Jelas = = .

Ambil sembarang x [0,1].

Tulis x = cos y y = cos–1

x.

Jadi =

= =

= =

= , .

Cara 2:

Tulis cos–1

x = y x = cos y.

Jadi = = – sin y.

Jadi =

=

j\“¤·“·†?P 146 j\“¤·“·†?P 147

)(' xfdx

xfd )]([x

dx

xdcos

)(sin

2

)(')1( xf

)](1['

1

xff

)1(sin'

1

xf )1cos(sin

1

y

ycos

1

y2sin1

1

21

1

x

1x

dy

dx

dy

yd )(sin

dx

dy

dy

dx

1

ycos

1

y2sin1

1

21

1

x

1x

2

)(')1( xf

6 4 3 2

2

3

2

22

1

2

3

2

22

1

6 4 3 2

)(' xfdx

xfd )]([x

dx

xdsin

)(cos

)(')1( xf

)](1['

1

xff

)1(cos'

1

xf )1sin(cos

1

x

ysin

1

y2cos1

1

21

1

x

1x

dy

dx

dy

yd )(cos

dx

dy

dy

dx

1

ysin

1

X

Y

O

f

f– 1

1

1

2

2

=

= , .

Contoh 73

Dipunyai fungsi f :[0, ) [0,+ ) dengan

f(x) = tan x.


(b) Tentukan .

Penyelesaian:


:

x 0

f(x) 0 1

Daftar nilai f dan f– 1

:

x 0 1

f– 1

(x) 0

Grafik f dan f– 1

:

Gambar 95: Grafik f(x) = tan x

dan f– 1

(x) = tan–1

x.

(b) Cara 1:

Jelas = = .

Ambil sembarang x [0, + ).

Tulis x = tan y y = tan–1

x.

Jadi =

= =

= =

= , .

Cara 2:

Tulis tan–1

x = y x = tan y.

Jadi = = sec2

y.

Jadi =

=

=

= , x > 0.

Contoh 74

Dipunyai fungsi f :[0, ) [1,+ ) dengan

f(x) = sec x.


(b) Tentukan .

Penyelesaian:

(a) Daftar nilai f :

x 0

f(x) 0 2

j\“¤·“·†?P 148 j\“¤·“·†?P 149

y2cos1

1

21

1

x

1x

2

)(')1( xf

6 4 3 2

3

3 3

3

3 3

6 4 3 2

)(' xfdx

xfd )]([

xdx

xd

2cos

1)(tan

)(')1( xf

)](1['

1

xff

)1(tan'

1

xf )1(tan2sec

1

x

y2sec

1

y2tan1

1

21

1

x

1x

dy

dx

dy

yd )(tan

dx

dy

dy

dx

1

y2sec

1

y2tan1

1

21

1

x

2

)(')1( xf

6 4 3 2

3

32 2

f– 1

1

1

2

2

X

Y

O

f

Daftar nilai f– 1

:

x 0 2

f(x) 0

Grafik f dan f– 1

:

Gambar 96: Grafik f(x) = sec x

dan f– 1

(x) = sec–1

x.

Jelas = =

= .

Ambil sembarang x [0, + ).

Tulis x = tan y y = tan–1

x.

Jadi =

=

=

=

=

yy

y

cos.cos

sin

1

=

=

= , 1x .

Cara 2:

Tulis sec–1

x = y x = sec y.

Jadidy

dx =dy

yd )(sec

=y

y

2cos

sin

= 12sec.sec yy .

Jadidx

dy=

dy

dx

1

=

12sec.sec

1

yy

=

12.

1

xx

, 1x .

Contoh 75

(a) Dipunyai fungsi f :(0,2

] [0,+ ) de-

ngan f(x) = cot x.

(i) Gambarlah grafik f– 1

(ii) Tentukan )(')1( xf .

(b) Dipunyai fungsi f :(0,2

] [1,+ ) de-

ngan f(x) = csc x.

(i) Gambarlah grafik f– 1

(ii) Tentukan )(')1( xf .

Penyelesaian untuk soal ini diserahkan


j\“¤·“·†?P 150 j\“¤·“·†?P 151

Hasil yang diperoleh dirangkum menjadi

teorema berikut ini.(b) Jelas )(' xf =

dx

xfd )]([

3

32 2

6 4 3 2

)(' xfdx

xfd )]([

dx

xd )(sec

x

x

2cos

sin

)(')1( xf

)](1['

1

xff

)1(tan'

1

xf

)1(tan2cos

)1sin(tan

1

x

x

y

y

2cos

sin

1

yy tan.sec

1

12sec.sec

1

yy

12.

1

xx

f– 1

1

1

2

2

X

Y

O

f

Teorema 62

Contoh 76

Tentukan )(' xf apabila:

(a) f(x) = sin– 1

(1 – x),

(b) f(x) = )12(1sec x , dan

(c) f(x) = x . cos– 1

(1 – x)2.

Penyelesaian:

(a) Jelas )(' xf =dx

xfd )]([

=dx

xd )]1(1[sin

=dx

xd

xd

xd )1(.

)1(

)]1(1[sin

=2)1(1

1

x

=22

1

xx

.

=dx

xd ])12(1sec[

=dx

xd

xd

xd

xd

xd)12(

.)12(

)]12(1[sec.

)]12(1[sec

)]12(1[sec 21

= 2.212

1.2.

)12(1sec2

1

xxxx

=2).12(1sec12

2

xxxx

.

(c) Jelas )(' xf =dx

xfd )]([

=dx

xxd ]2)1(1cos.[

= x.dx

xd

xd

xd

xd

xd )1(.

)1(

]2)1[(.

]2)1[(

]2)1(1[cos

+dx

xdx

)(.2)1(1cos

= 2)1(1cos4)1(1

)1(2x

x

xx.

7. Turunan Tngkat Tinggi

Dipunyai fungsi f : I R, I R.

Tulis I* = {a I f ' (a) ada}. Jelas bahwa

f ' (a) dibangun melalui proses limit yang

tunggal. Dengan demikian untuk setiap a

I* terdapat satu nilai f ' (a). Ini memper-

lihatkan bahwa pengaitan antara a I* de-

ngan f ' (a) R membangun suatu fungsi.

Jika f(k)

ada untuk setiap k = 1, 2, 3, ..., n

j\“¤·“·†?P 142 j\“¤·“·†?P 143

(a)21

1)1(sin

xdx

xd , 1x

(b)21

1)1(cos

xdx

xd , 1x

(c)21

1)1(tan

xdx

xd, x R

(d)21

1)1(cot

xdx

xd, x R

(e)

12

1)1(sec

xxdx

xd , 1x

(f)12

1)1(csc

xxdx

xd, 1x

maka fungsi turunan kedua, ketiga, keem-

pat, dan seterusnya didefinisikan dengan

cara yang sama seperti fungsi turunan

pertama melalui proses limit. Dengan

demikian:

)('' xf =h

xfhxf

h

)(')('

0lim ,

)(''' xf =h

xfhxf

h

)('')(''

0lim ,

)()(x

nf =

h

xn

fhxn

f

h

)()'1()()1(

0lim ,

apabila limit-limit ini ada.

Contoh 77

Tentukanlah )()(x

nf apabila n

xxf )( dan

n adalah bilangan asli.

Penyelesaian:

Tulis P(n): 1.)( n

xndx

nxd

, n N.

Jelas P(1): 11.1)1(

xdx

xd

Jelas 1)()1(

dx

xd

dx

xddan 1. x

1 – 1= 1.

Jadi P(1) benar.


Jelas 1.)( k

xkdx

kxd

.

Jelasdx

kxd )1(

=dx

kxxd ).(

= x.dx

kxd )(

+ xk

.dx

xd )(

= x. 1. kxk + x

k

= k.xk

+ xk

= (k + 1).xk

= (k + 1).x(k + 1)

.


Jadi P(n) benar.

Jadi 1.)( n

xndx

nxd

, n N.

Contoh 78

Tentukan )('' xf apabila f: R R dengan

f(x) = xx . .

Penyelesaian:


Jelas )(xf =0,20,2

xx

xx .

Kasus x < 0:

Jelas )(' xf =dx

xd )2(= – 2x dan

Kasus x = 0:

Jelas )0('f =

0

)0()(

0

limx

fxf

x

=x

x

x

22

0lim

= )2(0

lim xx

= 0.

dan )0('f =

0

)0()(

0

limx

fxf

h

=x

x

x

22

0lim

= xx

20

lim

= 0.

Jelas )0('f = )0('

f .

Jadi )0('f = 0.

Kasus x > 0:

Jelas )(' xf =dx

xd )2(= 2x dan

Jadi )(' xf =

0,2

0,0

0,2

xx

x

xx

= x.2 .

j\“¤·“·†?P 154 j\“¤·“·†?P 155


Kasus x < 0: x

y

dx

dy.

Jelas )('' xf =dx

xfd )]('[

=dx

xd )2(= – 2 dan

Kasus x = 0:

Jelas )0(''f =0

)0(')('

0

limx

fxf

x

=x

x

x

2

0lim

= )2(0

limx

= – 2.

dan )0(''f =0

)0(')('

0

limx

fxf

h

=x

x

x

2

0lim

= 20

limx

= 2.

Jelas )0('f )0('

f .

Jadi )0('f = tidak ada.

Kasus x > 0:

Jelas )('' xf =dx

xfd )]('[

=dx

xd )2(

= 2.

Jadi )('' xf =0,2

0,2

x

x.

Contoh 84

Jika xy = 1, tunjukkan bahwa .42

2.

2

2

dy

xd

dx

yd

Penyelesaian:

Jelasdx

xyd )(= 1

dx

d

dx

xdy

dx

dyx

)1()(..

0. ydx

dyx

Jadi2

2

dx

yd=

dx

dx

dyd )(

=dx

x

yd )(

=2

)(

x

dx

xdy

dx

dyx

=2

x

ydx

dyx

=2

2

x

y.

Jelasdy

xyd )(= 1

dx

d

dy

dxy

dy

ydx

)1(.

)(.

0dy

dxyx

y

x

dy

dx .

Jadi2

2

dy

xd =dy

dy

dxd )(

=dy

y

xd )(

=2

)(

y

dy

ydx

dy

dxy

=2

y

xdy

dxy

=2

2

y

x .

Jadi2

2.

2

2

dy

xd

dx

yd=

2

2

x

y.

2

2

y

x =xy

4 = 4.

Contoh 79

Dipunyai fungsi-fungsi f, g: I R, I R,

mempunyai turunan pada I. Jika h = f . g,

tunjukkan bahwa

)('').()(').('2)('').()('' xfxgxgxfxgxfxh .

Bukti:

Jelas )(' xh =dx

xgxfd )]().([

=dx

xfdxg

dx

xgdxf

)]([).(

)]([).( .

Jadi )('' xh =dx

dx

xfdxg

dx

xgdxfd ]

)]([).(

)]([).([

j\“¤·“·†?P 156 j\“¤·“·†?P 157

=dx

xfd

dx

xgd

dx

xgdxf

)]([.

)]([

2

)]([2).(

)(' xp =dx

xpd )]([=

dx

xd )

1

1(

2

dx

xgd

dx

xfd

dx

xfdxg

)]([.

)]([

2

)]([2).(

=2

)]([2)(

)]([)]([2

2

)]([2)(

dx

xfdxg

dx

xfd

dx

xgd

dx

xgdxf

= )('').()(').('2)('').( xfxgxgxfxgxf .

Contoh 80

Gunakan teorema yang disajikan pada

Contoh 79:

(a) Jika h(x) = f(x) . g(x), f(x) = (x2

+ 1),

dan g(x) = sin 2x, tentukanlah )('' xh .

(b) Jika h(x) =)(

)(

xg

xf, f(x) = sin x, dan g(x) =

x2

+ 1, tentukanlah )('' xh .

Penyelesaian:

(a) Jelas )(' xf =dx

xfd )]([=

dx

xd )12(= 2x,

)('' xf =dx

xd )2(= 2,

)(' xg =dx

xgd )]([=

dx

xd

xd

xd )2(.

)2(

)2(sin

= 2 cos 2x, dan

)('' xg =dx

xd

xd

xd )2(.

)2(

)2(cos2

= – 4 sin 2x.

Jadi )('' xh

= –4(x2+1)sin 2x + 2(2x)(2cos 2x)

–2sin 2x

= –2(2x2+3)sin 2x + 8x.cos 2x.

(b) Tulis )()(

1xp

xg.

Jelas )(' xf =dx

xfd )]([=

dx

xd )(sin= cos x,

)('' xf =dx

xd )(cos= – sin x,

=)12(

)12(.1

)1()(12(

x

dx

xd

dx

dx

=2)12(

2)1(

)12(

x

xdx

dx

=2)12(

2

x

x ,

dan )('' xp

=dx

x

xd

2)12(

2

=4)12(

)12(

)12(

]2)12[(2

)2(2)12(

x

dx

xd

xd

xdx

dx

xdx

=4)12(

)12(28)12(2

x

xxx

=3)12(

228

x

x .

Jadi )('' xh

=3)12(

sin)228(

x

xx+

2)12(

cos2

x

xx –)12

sin

x

x .

Periksalah jawaban pada Contoh 80

dengan menghitung:

dx

xxd ]2sin).12[(

dan

dx

x

xd

12

sin

secara langsung.

j\“¤·“·†?P 158 j\“¤·“·†?P 159

7. Nilai Hampiran Fungsi dan

Diferensial

Dipunyai fungsi If : R dengan

I R mempunyai turunan di I dan Iox .

Pertambahan nilai x untuk xo didefinisikan

sebagai bilangan tak nol yang ditambahkan

ke xo yang menghasilkan bilangan

x = xo + x .

Selanjutnya, pada pasal ini akan

dicari hampiran nilai f(xo+ x ) apabila nilai

xo dan x diberikan. Jelas bahwa

Gambar berikut merupakan ilus-

trasi tentang hampiran nilai f(xo+ x ) apabi-

la f(xo),'

f ( xo), dan x diketahui.

Gambar 97: f(xo+ x ) dihampiri

oleh f(xo) + f' (xo) x .

Jelas bahwa gradien garis singgung di titik

xo adalah )(' oxf dan koordinat y suatu titik

pada garis singgung di titik xo+ x adalah

f(xo)+f ' (xo) x . Ini berarti bahwa )( xoxf

dihampiri oleh f(xo) + f ' (xo) x , ditulis:

)( xoxf f(xo) + f ' (xo) x .

Contoh 81

Tentukan hampiran nilai 37 .

Penyelesaian:

Tulis f(x) = x , xo = 36, dan 1x .

Jelas )(' xf =dx

xfd )]([=

dx

xd )( 2

1

=x2

1.

Jadi f(37) = f(36 + 1)

xff ).36()36( '

= 6 +72

1. 1

=7216 .

Contoh 22

Tentukan hampiran nilai sin 62o.

Penyelesaian:

Tulis f(x) =sin x, xo = 60o, dan o

x 2 .

Jelas )(' xf =dx

xfd )]([=

dx

xd )(sin= xcos .

Jadi f(62o) = f(60

o+ 1

o)

xffoo ).60()60( '

=2

3+

2

1. 1

=2

31.

Perhatian:

Dalam perhitungan nilai hampiran

untuk f(xo+ x ) terdapat penyimpangan

(error) sebesar yang telah diperli-

hatkan secara geometri pada Gambar

97. Jelas bahwa

=f(xo+ x )–[f(xo)+f ' (xo) x ]

x

xfxxf oo )()(=

xxf o )(' ,

dengan 0x .

j\“¤·“·†?P 160 j\“¤·“·†?P 161

X

Y

O xo xo+ x

f(xo)

f (xo+ x )

f

x

f(xo)

f ' (xo) x

(erorr)

Berdasarkan uraian di muka diperoleh

suatu teorema berikut ini.

Teorema 62

Pertambahan nilai suatu fungsi dapat

pula dihampiri menggunakan rumus:

)()( oo xfxxfy .

Jadi xxfy o ).(' .

Gambar berikut memperlihatkan bahwa

y dihampiri oleh xxf o ).(' .

Gambar 98: Nilai y dihampiri

oleh f' (xo) x .

Contoh 82

Suatu bola besi dalam suatu akan dima-

sukkan dalam suatu lingkaran dengan

ukuran jari-jari 2 cm. Bola itu diproduksi

menggunakan bahan logam yang mem-

punyai berat 9 gram tiap 1 cm3.

(a) Tentukan berat bola besi itu sesuai

dengan spesifikasinya.

(b) Tentukan hampiran ukuran jari-jari

bola besi itu dengan kesalahan ukur-

an jari-jari tidak lebih dari 05,0 cm.

Penyelesaian:

Tulis r: ukuran jari-jari bola (cm),

V: ukuran volum bola (cm3), dan

W: ukuran berat bola (g).

Jelas V(r) =3

4 3r

dan

W(r) = 312 r .

(a) Jelas W(2) = 96 .

Jadi berat bola 96 gram.

(b) Kenyataan menunjukkan bahwa ukur-

an jari-jari bola hasil yang diproduksi

mesin bervariasi dari ro = 2 oleh

05,0r .

Jelas

)(' rW =dr

Wd )(=

dr

rd )12( 3

= 236 r

dan

W rW ).2('

= )05,0.(2.36 2

= 2,7 .

Ini berarti bahwa dengan kesalah-

an yang dibolehkan untuk r, yaitu

05,0r cm

akan menghasilkan kesalahan berat bola

paling besar

2,7 gram.

Pertambahan berat

W )2()05,2(' WW

= 33 2.12)05,2(12

= 3815,7 .

Dengan demikian kesalahan relatif dalam

memproduksi bola adalah

0246,03815,7

2,73815,7.

Jadi persentase kesalahan adalah 2,46%.

j\“¤·“·†?P 162 j\“¤·“·†?P 163

Dipunyai fungsi f mempunyai

turunan untuk setiap nilai x pada

suatu selang yang memuat xo.

Jika 0x , maka

f(xo+ x ) = f(xo)+f ' (xo) x +

dengan 0lim0 xx

.

X

Y

O xo xo+ x

f(xo)

f (xo+ x )

f

y

xxf o)('

Biasanya lambang dx diartikan seba-

gai pertambahan kecil untuk variabel x

tepat seperti x . Sedangkan dy telah

digunakan untuk menyatakan hampiran

dari hasil pertambahan y . Jadi

dx = x

dan

dy = dxxf ).(' .

Ekspresi dx dan dy disebut diferensial dari

x dan y. Dengan demikian turunan suatu

fungsi dapat diartikan sebagai rasio

pertambahan dy untuk y = f(x) dengan

pertambahan dx untuk x. Jelas bahwa

)(' oxf =x

oxfxoxf

x

)()(

0lim =

x

y

x 0lim

dan

dx

dyxf )(' .

Berikut ini beberapa contoh bentuk dife-

rensial:Fungsi Turunan Diferensial

y = x2

xdx

dy2

dy = 2x dx

y = xn

1nnx

dx

dy dy = nxn–1

dx

y = sin xx

dx

dysin

dy = sin x dx

Latihan Soal Bab 3

1. Tentukan persamaan garis-garis yang

dibangun melalui dua titik berikut ini,

tentukan )(' oxf untuk setiap xo yang

disajikan:

(a) A(1, 2) dan B(3, 5); xo = –6,

(b) C(–3, 5) dan D(–5, 9); xo = 4, dan

(c) E(0, –3) dan F(2, –5); xo = 9.

2. Tentukan )(' oxf menggunakan defi-

nisi untuk setiap fungsi berikut:

(a) f(x) = 5x2; xo = 3,

(b) f(x) = x2 ; xo = 8,

(c) f(x) =2

1

x; xo = 2, dan

(d) f(x) = (x + 2)3; xo = 0.

3. Tentukan )(' xf untuk setiap fungsi

berikut menggunakan definisi:

(a) f(x) = 5x2,

(b) f(x) = x2 ,

(c) f(x) =2

1

x,

(d) f(x) = (x + 2)3, dan

(e) f(x) = (x – 1)2

– 1.

4. Dipunyai f:R R dengan f(x)=(x+ 2)3

(a) tentukan )2('f ,

(b) tentukan )2('f , dan

(c) tentukan )2('f .

5. Dipunyai fungsi f: R R yang dibe-

rikan oleh:

1,22)1(

10,1

0,12

)(

xx

xx

xx

xf .

Tentukan )0('f dan )1('f apabila ada.

6. Periksa adanya turunan fungsi f yang

diberikan oleh f(x)= 1. xx di x = 1.

7. Berikan suatu contoh fungsi yang

kontinu di titik x = –3 akan tetapi

tidak mempunyai turunan di titik itu.

8. Tentukan )(' xf untuk setiap fungsi

berikut ini:

(a) f(x)= (2x + 5)32

,

(b) f(x)= x(1 – 3x)50

, dan

(c) f(x)=5)1(

1

x

.

j\“¤·“·†?P 164 j\“¤·“·†?P 165

9. Tunjukkan bahwa xxdx

xdtan.sec

)(sec.

10. Tentukan )(' xf apabila:

(a) f(x) = sin (7x),

(b) f(x)= cos2

(1 + 5x),

(c) f(x)=12

1tan

x,

(d) f(x)= xx4sin. , dan

(e) f(x)=x

x)31(5sec.

10. Fungsi f diberikan oleh

1,1

1)( x

xxf .

Tentukan:

(a) )(1xf ,

(b) )(')1( xf menggunakan definisi,

(c) )(')1( xf menggunakan teorema,

(d) domain 1f dan ')1( f .

11. Tentukan fungsi turunan pertama dari

(a) xxf1sec)(

(b)12

)12(1tan)(

x

xxg

12. Tentukandx

dyapabila:

(a) x2

+ xy – 2y2

= 5,

(b) x.tan y + sin xy = x + y, dan

(c) x.sin y + y.cos x = xy.

13. Buktikan bahwa:

Jika )()( xfxg , )()(x

nf ada, dan

0)(' xf , maka

)()(.)(

)()()(

xn

fxf

xfx

ng .

14. Tentukan hampiran nilai fungsi:

(a) sin 31o

dan

(b) 82 .

15. Rusuk suatu kubus diukur dengan

panjang 11,4 cm dengan galat yang

diperbolehkan 05,0 cm. Hitunglah

volum kubus dan berikan taksiran

galat untuk volum kubus ini.

16. Tentukan besar kesalahan pengukuran

luas permukaan kubus dengan

panjang rusuk 1 m, apabila pada

pengukuran panjang rusuk telah

terjadi kesalahan yang tidak

melampaui 3%.

17. Tentukan laju pertambahan 162x

terhadap1x

x pada x = 3.

18. Dipunyai y = x – x2. Tentukan laju

pertambahan y2

terhadap x2.

19. Tentukan hampiran nilai

4,1 dan 3 26 .

20. Dipunyai fungsi f mempunyai turunan pada Df dan )2(.)( xfxxg . Lengkapilah

daftar berikut ini:

j\“¤·“·†?P 166 j\“¤·“·†?P 167

x f(x) )(' xf f(x) )(' xf )(')]([ xifg

0 0 0

1 1 1

2 3 2

4 6 3

Pada Bab 4 akan didiskusikan tipe-tipe limit yang lain, yaitu limit tak hingga dan limit di

tak hingga. Pada Bab 4 juga didiskusikan teorema D’Lopital yang akan memudahkan

menentukan nilai limit fungi-fungsi yang rumit.

1. Limit Tak Hingga

Perhatikan garfik fungsi f yang

terdefinisi pada R – {a} berikut ini:

Gambar 99: fungsi mempunyai

kecenderungan me-

nuju ke .

Pada Gambar 1 terlihat bahwa fungsi f

mempunyai kecenderungan menuju ke

. Secara intuisi dapat dipetik sim-

pulan:

.

Apabila diambil sembarang bi-

langan positif M yang cukup besar,

terdapat bilangan positif sehingga

nilai f(x) > M apabila . Ini

berarti bahwa ekivalen de-

ngan:

untuk setiap M > 0 terdapat

sehingga f(x)>M apabila ax0 .

Berdasarkan kenyataan ini diturun-

kan konsep berikut ini.

j\“¤·“·†?P 168 j\“¤·“·†?P 169

)(lim xfax

0

ax0

)(lim xfax

0

X

Y

a

M

f(x)

x

ax0

ff

Definisi 63

Contoh 83

Gambarlah grafik fungsi f dari R–{–1} ke

R yang disajikan oleh

.

Tentukan secara intuisi nilai

kemudian buktikan secara formal.

Penyelesaian:

Grafik f:

Gambar 100: Secara intuisi:

= .

Bukti:

Strategi pilih M:

Dipunyai .

Jelas 0 < (x + 1)2

< .

Jadi

.

Dipilih .

Bukti formal:

Ambil sembarang M > 0.

Pilih .

Dipunyai .

Jelas 0 < (x + 1)2

< .

Jadi .

Jadi = > = M.

Jadi apabila

.

Jadi = .

Sekarang perhatikan fungsi yang

terdefinisi pada R – {a} berikut ini:


= .

Pada Gambar 101 terlihat bahwa fungsi f

untuk x mendekati mempunyai kecen-

derungan menuju ke . Secara intuisi

dapat dipetik simpulan:

.

j\“¤·“·†?P 170 j\“¤·“·†?P 171

2)1(

2)(

x

xf

)(lim xfax

)(1

lim xfx

10 x

2

2

1

2)1(

1

x2

2

2)1(

2

x

2

2)(xf

M2

2

M

2

M

2

10 x

2

2

2

2)1(

2

x

)(xf2)1(

2

x2

2

MxfM )(00

10 x

)(1

lim xfx

)(1

lim xfx

)(lim xfax

X

Y

–1 ff

M

10 x

x

X

Y

a

N

f(x)

x

ax0

ff

Dipunyai fungsi f: R–{a} R.

apabila

.

)(lim xfax

00M

Mxf )(

ax0

Apabila diambil sembarang bi-

langan negatif N yang cukup besar,

terdapat bilangan positif sehingga

nilai f(x) < N apabila . Ini

ber-arti bahwa:

Untuk setiap N < 0

terdapat se-

hingga f(x)<N apa-

bila .

Berdasarkan kenyataan ini diturunkan

teorema berikut ini.

Definisi 64

Contoh 84

Dipunyai fungsi f: R–{2} R yang disaji-

kan oleh .

(a) Gambarlah grafik f.

(b) Tentukan secara intuisi nilai

dan buktikan secara

formal.

Penyelesaian:

Grafik f:


= .

Bukti:

Strategi pilih :

Dipunyai .

Jelas .

Jadi

.

Dpilih .

Bukti formal:

Ambil sembarang N < 0.

Pilih .

Dipunyai .

Jelas 0 < (x – 2)2

< .

Jadi .

Jadi = < = N.

Jadi apabila

.

Jadi = .

Berikut ini disajikan suatu teknik

menghitung nilai limit tak hingga sebagai

berikut:

Teorema 65

j\“¤·“·†?P 172 j\“¤·“·†?P 173

0

ax0

)(lim xfax

0

ax0

2)2(

3)(

x

xf

)(lim xfax

)(2

lim xfx

20 x

22)2(x

2

1

2)2(

1

x2

3

2)2(

3

x

2

3)(xf

N2

3

N

3

N

3

20 x

2

2

3

2)2(

3

x

)(xf2)2(

3

x2

3

NxfN )(00

20 x

)(2

lim xfx

Dipunyai fungsi f: R–{a} R.00N

apabila

.

)(lim xfax

Nxf )(

ax0

X

Y

N

2

x

f(x)

20 x

Dipunyai fungsi-fungsi

f, g: R – { a} R, Lxfax

)(lim , dan

0)(lim xgax

.

(a) Jika L > 0 dan g(x) 0

maka)(

)(lim

xg

xf

ax.

(b) Jika L > 0 dan g(x) 0

maka)(

)(lim

xg

xf

ax.

Contoh 85

Hitung dan buktikan secara formal nilai

limit962

2

3lim

xx

x

x.

Penyelesaian:

Tulis –2x = f(x) dan x2

– 6x + 9 = g(x).

Jelas 06)2(3

lim xx

dan

)962(3

lim xxx

= 2)3(3

lim xx

= 0+.

Jadi962

2

3lim

xx

x

x= .

Bukti:

Jelas962

2

xx

x =2)3(

2

x

x .

Ambil sembarang N < 0.

Pilih .

Dipunyai 30 x .

Jelas 22)3(x

2

1

2)3(

1

x

2

1

2)3(

1

x

.

Dicari batas 2x pada 130 x :

Jelas 130 x 2 < x < 4

4 < 2x < 8.

Jadi f(x) <2

8 = N.

Jadi apabila

30 x .

Jadi962

2

3lim

xx

x

x= .

2. Limit di Tak hingga

Perhatikan grafik fungsi f beri-

kut ini:


)(lim xfx

= L.

Apabila diambil sembarang

, terdapat bilangan M > 0 sehingga nilai

apabila x > M. Berdasarkan

kenyataan ini dapat diturunkan suatu

teorema berikut ini:

Definisi 66

Contoh 86

Tunjukkan 01

limxx

.

Penyelesaian:

Tulis )(1

xfx

.

Ambil sembarang 0 .

Pilih M = 1 .

Dipunyai x > M.

j\“¤·“·†?P 174 j\“¤·“·†?P 175

N

3

NxfN )(00

0

Lxf )(

X

Y

f

L

M x

f(x)

(c) Jika L < 0 dan g(x) 0

maka)(

)(lim

xg

xf

ax.

(d) Jika L < 0 dan g(x) 0

maka)(

)(lim

xg

xf

ax.


apabila Mx .

Lxfx

)(lim

00 M lxf )(

JelasMx

11

Mx

11 .

Jadi )(xf =x

1

=x

1

<M

1

= .

Jadi 00 M sehingga 0)(xf <

apabila x > M.

Jadi 01

limxx

.

Sekarang perhatikan grafik fungsi

f berikut ini:


)(lim xfx

= L.

Apabila diambil sembarang

, terdapat bilangan N < 0 sehingga nilai

apabila x < N. Berdasarkan

kenyataan ini dapat diturunkan suatu

teorema berikut ini:

Definisi 67

Contoh 87

Hitung dan buktikan secara formal:

(a)xx

1lim (b)

nxx

1lim , n A

(c)n

xx

1lim , n A

Penyelesaian:

(a) Intuisi: 01

limxx

.

Tulis )(1

xfx

.

Ambil sembarang 0 .

Pilih N = – 1 .

Dipunyai x < N .

Jelas x < N < 0.

– x > –N > 0

Nx

11 .

JadiNxxx

xf1111

0)(

=N

1 = .

Jadi 00 N 0)(xf

apabila x < N.

Jadi 01

limxx

.

(b) Intuisi: 01

limn

xx, n A.

Penyelesaian:

Tulis )(1

xfn

x

.

Ambil sembarang 0 .

Pilih M =n

1 .

Dipunyai x > M > 0.

Jelas 0nM

nx

nM

nx

11 .

Jadi 0)(xf =n

x

1 =n

x

1 =n

x

1 <n

M

1

= .

j\“¤·“·†?P 176 j\“¤·“·†?P 177

0

Lxf )(

X

f

Y

L

N

x

f(x)


Lxfx

)(lim

00 N

apabila Nx .

lxf )(

Jadi 00 M 0)(xf

apabila Mx .

Jadi 01

limn

xx, n A.

(c) Intuisi: 01

limn

xx, n A.

Penyelesaian:

Tulis )(1

xfn

x

.

Ambil sembarang 0 .

Pilih N =n

1 .

Dipunyai x < N < 0.

Jelas 0 < –x < –N

(–x)n

< (–N)n

nN

nx )(

1

)(

1

nN

nx

11 .

Jadi 0)(xf =n

x

1 =n

x

1 =n

x

1 <

nN

1

=n

N

1 = .

Jadi 00 N 0)(xf

apabila Nx .

Jadi 01

limn

xx, n A.

Berikut ini disajikan beberapa teo-

rema yang berkaitan dengan limit tak

hingga dan limit di tak hingga.

Teorema 68

Bukti:

Ambil sembarang 0 .

Pilih M1 > 0 dan M2 > 0 sehingga

3)( Kxf apabila x > M1 dan

3)( Lxf apabila x > M2.

Pilih M > maks{ M1, M2}.

Jadi LK = LxfxfK )()(

LxfKxf )()(

<22

= .

Jadi LK < 0 .

Jadi K = L.

Bukti untuk teorema berikut seder-

hana dan diserahkan pembaca sebagai

latihan.

Teorema 69

Teorema 70

Bukti (c):

Ambil sembarang 0 .

Pilih M1 > 0, M2 > 0, dan M3 > 0 sehing-

ga

Jika Kxfx

)(lim dan

Lxfx

)(lim

maka K = L.

Jika Kxfx

)(lim dan

Lxfx

)(lim

maka K = L.

Jika Kxfx

)(lim dan

Lxfx

)(lim

maka

(a) LKxgxfx

)]()([lim ,

(b) )(.lim xfCx

= )(lim. xfx

C ,

(c) LKxgxfx

.)]().([lim , dan

(d)L

K

xg

xf

x )(

)(lim apabila L 0.

j\“¤·“·†?P 178 j\“¤·“·†?P 179

CKxf

2)( apabila x > M1,

CLxf

2)( apabila x > M2, dan

Cxf )( apabila x > M3.

Pilih M = maks{ M1, M2, M3}.

Jelf(x)-las KLxgxf )().(

= )(.)(.)().( xfLxfLKLxgxf

= ])([])()[( KxfLLxgxf

KxfLLxgxf )(.)(.)(

< C. KxfLLxg )(.)(

=22

= .

Jadi 00 M KLxgxf )(.)(

apabila Mx .

Jadi LKxgxfx

.)]().([lim .

Bukti lainnya diserahkan pembaca

sebagai latihan.

Teorema 71

Buktinya diserahkan pembaca seba-

gai latihan.

Selanjutnya disajikan teorema yang

cukup penting, yang disebut dengan

teorema apit.

Teorema 72

Bukti:

Ambil sembarang 0 .

Pilih M1 > 0, M2 > 0, dan M3 > 0 sehing-

ga

Lxf )( apabila x > M1,

Lxf )( apabila x > M2, dan

)()()( xhxgxf apabila x > M3.

Pilih M = maks{ M1, M2, M3}.

Jelas )()()( xhxgxf

LxhLxgLxf )()()(

})(,)({maks)( LxgLxfLxg

Lxg )( .

Jadi 00 M Lxg )(

apabila Mx .

Jadi Lxgx

)(lim .

Contoh 88

Hitunglah:

(a)xx

x

x 22

12lim , (d)

x

x

x

sinlim ,

(b)xx

x

x 22

12lim , (e)

53

2lim

x

xx

x,

(c)x

x

x

sinlim , (f)

53

2lim

x

xx

x.

Penyelesaian:

(a) Jelasxx

x

x 22

12lim =

x

x

x 12

2

11

lim

=2

1 .

Jika Kxfx

)(lim dan

Lxfx

)(lim

maka

(a) LKxgxfx

)]()([lim ,

(b) )(.lim xfCx

= )(lim. xfx

C ,

(c) LKxgxfx

.)]().([lim , dan

(d)L

K

xg

xf

x )(

)(lim apabila L 0.

Jika terdapat M > 0 sehingga

)()()( xhxgxf untuk semua x > M

dan)(lim)(lim xh

xLxf

x

maka

Lxgx

)(lim .

j\“¤·“·†?P 180 j\“¤·“·†?P 181

(b) Jelasxx

x

x 22

12lim =

x

x

x 12

2

11

lim

=2

1 .

(c) Jelas 1sin1 xxx

x

x

1sin1 .

Jelas )1

(limxx

= 0 =xx

1lim .

Jadi 0sin

limx

x

x.

(d) Dengan argumentasi serupa diperoleh

0sin

limx

x

x.

(e) Jelas53

2lim

x

xx

x=

53

11

limx

xx

x

=53

11

limx

xx

x=

x

x

x 53

11

lim

=3

1

=3

1 .

(f) Jelas53

2lim

x

xx

x=

53

11

limx

xx

x

=53

11

limx

xx

x=

x

x

x 53

11

lim

=3

1

=3

1 .

Latihan Bab 4

(1) Tunjukkan442

12

2lim

xx

x

x.

(2) Hitunglah:

(a)x

x

x

sinlim ,

(b)5

1lim

xx, dan

(c)2)2(

1

2

lim

xx

.

(3) Tunjukant

t

t3

3

3

lim .

(4) Tunjukkan:

(a) 01

limxx

,

(b) 313

limx

x

x, dan

(c) 02

sinlim

x

x

x.

(5) Hitunglah: (a)x

x

x 0

lim

(b)x

x

x 0

lim

(6) Tunjukkan 5limx

(7) Hitunglah:

(a)

32

2lim

x

x

x

(b)

32

2lim

x

x

x

(c) xxxx

22lim

(d)2

sinlim

x

x

x

(8) Tunjukkan:

(a) 01

limxx

,

(b)2

1

12lim

x

x

x, dan

(c) 61

26lim

x

x

x.

j\“¤·“·†?P 182 j\“¤·“·†?P 183

Pada Bab 5 disajikan beberapa teorema yang dibangun berdasarkan konsep-konsep pada

Bab-Bab sebelumnya. Teorema-teorema ini dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah-

masalah dalam kalkulus dan di kehidupan sehari-hari.

Masalah-masalah yang berkaitan dengan maksimum dan minimum fungsi banyak

dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Masalah-masalah ini diselesaikan menggunakan model

matematika yang berkaitan dengan turunan fungsi. Bab ini diakhiri dengan suatu metode untuk

menggambar grafik fungsi yang rumit secara lebih teliti.

1. Nilai Ekstrim Fungsi

Pada pasal ini dimulai dengan

pengertian nilai ekstrim suatu fungsi yang

mencakup nilai ekstrim maksimum dan

nilai ekstrim minimum.

Definisi 73

Contoh 89

Dipunyai fungsi f: R R, f(x) = 2(x – 1)2.

Sket grafik f:

Gambar 105: Grafik f(x) = 2(x – 1)2.

Intuisi: f(1) = 0 merupakan

minimum minimum f.

Bukti:

j\“¤·“·†?P 184 j\“¤·“·†?P 185

Dipunyai fungsi f: S R, R, dan

M = f(c) untuk suatu c S.

(a) Bilangan M merupakan nilai mak-

simum (mutlak) f apabila f(c) M

untuk setiap .

(b) Bilangan M merupakan nilai mi-

nimum (mutlak) f apabila f(c) M

untuk setiap .

(c) Nilai maksimum dan minimum

mutlak suatu fungsi disebut nilai

ekstrim mutlak fungsi tersebut.

S

Sx

Sx

X

Y

f

(1,0)O

Y

Ambil sembarang .

Jelas .

Jelas

.

Jadi .

Jadi merupakan nilai minimum f.

Contoh 90

Dipunyai fungsi f: R R dengan

f(x) = – (x – 2)2

+ 1.

Sket grafik f:

Gambar 106: Grafik f(x) = –(x – 2)2

+ 1.

Intuisi: f(2)=1 merupakan

nilai maksimum f.

Bukti:

Ambil sembarang .

Jelas .

Jelas

.

Jadi .

Jadi merupakan nilai minimum f.

Sekarang perhatikan fungsi f beri-

kut ini:

dengan f(x) = .

Grafik fungsi f :

Gambar 107: f(0) = 0 minimum relatif f

dan

f(1) = 1 maksimum relatif f.

Pada Gambar 107 nampak bah-

wa terdapat suatu selang sehingga nilai

f(0) = 0 merupakan nilai minimum f akan

tetapi masih ada nilai f(x) yang kurang

dari 0. Demikian juga terdapat suatu

selang sehingga nilai f(1) = 1 merupakan

nilai maksimum f akan tetapi masih ada

nilai f(x) yang lebih dari 1. Nilai f(0) = 0

disebut nilai minimum relatif f dan nilai

f(1) = 1 disebut nilai maksimum relatif f.

Berdasarkan kenyataan ini dapat didefi-

nisikan konsep tentang nilai sektrim

relatif suatu fungsi sebagai berikut.

Definisi 74

Contoh 91

Tunjukkan bahwa f(0) = 0 merupakan

nilai minimum relatif f dan f(1) = 1

merupakan nilai maksimum relatif f untuk

fungsi f yang disajikan pada Gambar 107.

j\“¤·“·†?P 186 j\“¤·“·†?P 187

Rx

Rx 1

02)1(x 02)1(2 x

)1()( fxf

)()1( xff Rx

0)1(f

Rx

Rx 2

02)2(x 02)2(x

112)2(x

)2()( fxf

)()2( xff Rx

1)2(f

RRf :1,2

1,2

xx

xx

X

Y

f

(0,–3)

O

(3,0)(1,0)

(2,1)

Dipunyai fungsi .

(a) Jika terdapat suatu selang

yang memuat c sehingga berlaku

, maka f(c)

disebut nilai maksimum relatif f.

(b) Jika terdapat suatu selang

yang memuat c sehingga berlaku

, maka f(c)

disebut nilai minimum relatif f.

RRf :

RD

Dxxfcf )()(

RD

Dxxfcf )()(

Bukti:

Dipunyai

dengan f(x) = .

(a) Pilih .

Bangun D = .

Ambil sembarang .

Jelas .

Kasus :

Jelas f(0)<f(x)<

.

Jadi f(0) f(x).

Kasus :

Jelas f(0) f(x)< .

Jadi f(0) f(x).

Jadi terdapat selang D sehingga

f(0) f(x) .

Jadi f(0) = 0 merupakan nilai mini-

mum relatif f.

(b) Pilih .

Bangun D = = .

Ambil sembarang .

Jelas .

Kasus :

Jelas .

Jadi f(1) f(x).

Kasus :

Jelas

f(1) f(x)<

.

Jadi f(1) f(x).


f(1) f(x) .

Jadi f(1) = 1 merupakan nilai maksi-

mum relatif f.

Contoh 92

Dipunyai fungsi yang diberikan

dengan . Tentukan nilai-nilai

ekstrim relatif f.

Penyelesaian:

Jelas f(x) =

Grafik fungsi f sebagai berikut:

Gambar 108: Grafik f:

f(–2) = 0 = f(2) = fmin rel dan

f(0) = 4 = fmaks rel.

Bukti:

(a) Pilih .

Bangun D = (–2–1, –2+1) = (–3, –1).

Ambil sembarang x .

Jelas .

Kasus –3 < x < –2:

Jelas 4 < x2

< 9 0< x2

–4< 5

f(–2) < f(x) < 5.

Jadi f(–2) f(x).

Kasus :

Jelas –4 –x2

< –1

0 4–x2

< 3

f(–2) f(x) <

3.

Jadi f(–2) f(x).


f(–2) f(x) .

Jadi f(–2) = 0 merupakan nilai mini-

mum relatif f.

(b) Pilih .

Bangun D = (0–1, 0+1) = (–1, 1).

Ambil sembarang x .

Jelas –1 < x < 1.

RRf :1,2

1,2

xx

xx

2

1

)210,

210(

Dx

21

21 x

021 x

4120 x

41

210 x

4120 x

41

R

Dx

2

1

)211,

211( )

23,

21(

Dx

23

21 x

121 x

12

41 x )1()(

41 fxf

2

31 x

231 x

2121 x

21

R

Dx

RRf :

24)( xxf

.

2,42

22,24

2,42

xx

xx

xx

1

D

13 x

12 x

421 x

R

Dx

1

D

X

Y

f

–2 2O

4

j\“¤·“·†?P 188 j\“¤·“·†?P 189

Kasus –1 < x < 0:

Jelas 0 < x2

< 1 –1 < –x2

< 0

3 <4 –x2

< 4

3 < f(x) < f(0).

Jadi f(x) f(0).

Kasus 0 x < 1:

Jelas 0 x2

< 1 –1 < –x2

0

3 < 4–x2

4

3 < f(x) f(0).

Jadi f(x) f(0).


f(0) f(x) .

Jadi f(0) = 4 merupakan nilai maksi-

mum relatif f.

(c) Pilih .

Bangun D = (2–1, 2+1) = (1, 3).

Ambil sembarang x .

Jelas 1 < x < 3.

Kasus 1 < x < 2:

Jelas 1< x2

<4 –4 < –x2< –1

0 < 4–x2< 3

f(2) < f(x)< 3

Jadi f(2) f(x).

Kasus 2 x < 3:

Jelas 4 x2

< 9 0 x2

– 4 < 5

f(2) < f(x)< 5.

Jadi f(2) f(x).


f(2) f(x) .

Jadi f(2) = 0 merupakan nilai minimum

relatif f.

Perhatian 1:

Contoh 93

Dipunyai fungsi , . Pe-

riksa apakah f(0) = 0 merupakan nilai

ekstrim relatif f.

Pemeriksaan:

Intuisi: (a) f(0) bukan minimum relatif

(b) f(0) bukan maksimum relatif.

Bukti (a):

Ambil sembarang .

Bangun D = (0– , 0+ ) = (– , ).

Pilih .

Jelas .

Jelas = 0 + = > 0.

Jadi .

Jadi .

Jadi f(0) = 0 bukan suatu minimum rela-

tif.

Bukti (b):

Ambil sembarang .

Bangun D = (0– , 0+ ) = (– , ).

Pilih .

Jelas .

Jelas = 0 – = – < 0.

Jadi .

Jadi .

Jadi f(0) = 0 bukan suatu maksimum rela-

tif.

Contoh 94

Berikan suatu contoh fungsi f sehingga

f(2) merupakan suatu minimum relatif.

Penyelesaian:

Pilih fungsi dengan

.

Jelas .

R

Dx

1

D

R

Dx

RRf : 3)( xxf

0

2ox

Dox

)()0( oxff8

3

8

3

)()0( oxff

RD )()0( oxffDox

0

2ox

Dox

)()0( oxff8

3

8

3

)()0( oxff

RD )()0( oxffDox

RRf :

2,4

2,242)(

xx

xxxxf

2,4

2,22)2()(

xx

xxxf

(a) Jika fungsi f mempunyai nilai

maksimum atau minimum relatif,

dikatakan f mempunyai ekstrim

relatif.

(b) Nilai ekstrim mutlak suatu fungsi

juga merupakan nilai ekstrim

relatif

j\“¤·“·†?P 190 j\“¤·“·†?P 191

Sket grafik f:

Gambar 109: f(2) = –2 = f min rel.

Intuisi: f mempunyai minimum relatif di

2 dan tidak ada.

Pilih .

Bangun .

Ambil sembarang .

Jelas (1 < x < 3).

Kasus 1 < x < 2:

Jelas –1 < x – 2 < 0

0 < (x – 2)2

< 1

–2 < (x – 2)2

–2< –1

f(2)< f(x)< –1.

Jadi f(2) f(x).

Kasus 2 < x < 3:

Jelas –2 < x – 4 < –1

f(2)< f(x)< –1.

Jadi f(2) f(x).


f(2) f(x) .

Jadi f(2) = –2 merupakan nilai mini-

mum relatif f.

Selanjutnya =

=

=

= 0

dan =

=

=

= 1.

Jadi tidak ada.

Contoh 95

Dipunyai fungsi , .

Periksa adanya:

(a) turunan f di titik 0

(b) ekstrim relatif f.

Pemeriksaan:

(a) Jelas =

= 3

= .

Jelas .

Jadi tidak ada.

(b) Intuisi: f tak mempunyai ekstrim

relatif di titik 0.

Ambil sembarang .

Bangun = .

Pilih .

Jelas = < 0 = f(0).

Jadi sehingga

.

Jadi f(0) bukan suatu minimum re-

latif f.

Ambil sembarang .

Bangun = .

Pilih21x .

Jelas )1(xf = > 0 = f(0).

)2(f

1

)3,1()12,12(D

Dx

R

Dx

)2('f

2

)2()(

2

limx

fxf

x

2

222)2(

2lim

x

x

x

)2(2

lim xx

)2('f

2

)2()(

2

limx

fxf

x

2

24

2lim

x

x

x

12

limx

)2(f

RRf : 3

1

3)( xxf

)(xfdx

xd)

2

3

3(

dx

xd)

2

3

(

32

1

x

}0{RfD

)0(f

0

)0,0(D ),(

2ox

)( oxf 3

1

)2

(3

DoxRD

xoxff )()0(

0

)0,0(D ),(

3

1

)2

(3

X

Y

f

O

(0,2)

(4,0)

(2,–2)

j\“¤·“·†?P 192 j\“¤·“·†?P 193

Jadi DxRD 1 sehingga

xxff )1()0( .

Jadi f(0) bukan suatu maksimum re-

latif f.

Grafik f:

Gambar 110: f(0) bukan suatu

ekstrim relatif f

Berikut ini disajikan suatu titik

pada grafik f yang penting untuk menen-

tukan nilai ekstrim relatif.

Definisi 75

Dari contoh-contoh dan definisi-

definisi yang telah dikemukakan dapat di-

simpulkan bahwa syarat perlu agar fungsi

mempunyai ekstrim relatif di titik c ada-

lah titik c merupakan bilangan kritis f.

Akan tetapi c suatu bilangan kritis f

bukan merupakan syarat cukup agar

fungsi f mempunyai ekstrim relatif.

Contoh 96

Tentukan bilangan-bilangan kritis fungsi

RRg : dengan 5

1

125

6

)( xxxg .

Penyelesaian:

Jelas )(xg =dx

xxd 5

1

125

6

=5

5

4

12

5

5

1

6 xx , 0x

=

5

4

)2(6

x

x, 0x .

Jelas )0(g tidak ada dan 0)2(g .

Jadi bilangan kritis g adalah 0 dan 2.

Contoh 97

Dipunyai fungsi RRf : diberikan oleh

842)( xxxf . Periksa apakah f memi-

liki nilai ekstrim relatif.

Penyelesaian:

Jelas )(xf = 0

dx

xxd )842(= 0

2x – 4 = 0

x = 2.

Jelas 4)2(f .

Ambil sembarang Rx .

Jelas f(2) – f (x) = 4 – x2

+ 4x – 8

= –(x – 2)2

0 .

Jadi f(2) f (x).

Jadi f(2) f (x) Rx .

Jadi 4)2(f suatu minimum mutlak.

Jadi 4)2(f suatu minimum relatif.

Berikut ini disajikan suatu teore-

ma eksistensi nilai ekstrim suatu fungsi.

Teorema 76

X

Y

–

f

xo

x1

0

Dipunyai fungsi f: RfD dan

fDc .

Jika 0)(cf atau )(cf tidak ada

Maka titik c disebut bilangan kritis f.

Jika fungsi f kontinu pada selang

tutup [a, b] maka fungsi f memiliki

nilai minimum dan maksimum

mutlak.

j\“¤·“·†?P 194 j\“¤·“·†?P 195

Bukti teorema ini diserahkan

pembaca sebagai latihan. Berikut ini

disajikan suatu contoh yang menunjukkan

bahwa kebalikan Teorema 76 tidak benar.

Contoh 98

Dipunyai fungsi f: [–3,3] R yang dibe-

rikan oleh

f(x) =30,52)1(

03,52)1(

xx

xx.

Grafik f:

Gambar 111: f(–1) = 5 = fmaks,

f(1) = –5 = fmaks, dan

f tak kontinu pada [–3,3]

Jelas bahwa f(–1) = 5 dan f(1) = –5

berturut-turut merupakan maksimum dan

minimum relatif f. Akan tetapi f tak kon-

tinu di 0. Jadi f tak kontinu pada [–3,3].

Ini menunjukkan bahwa kebalikan

Teorema 77 tidak benar.

Contoh 99

Periksa ekstrim relatif fungsi f yang

diberikan oleh f(x) =32

1

x

x , ]1,0[x .

Penyelesaian:

Jelas )(xf =dx

x

xd

32

1

=2)32(

)32().1(

)1().32(

x

dx

xdx

dx

xdx

=2)32(

5

x

,2

3x .

Karena )23(f tidak ada, maka

2

3 merupakan bilangan kritis f. Karena

)23(f tidak ada, maka

2

3 merupakan bi-

langan kritis f. Nilai fungsi f di titik-titik

ujung adalah f(0) =3

1 dan f(1) = –2.

Ambil sembarang ]1,0[x .

Jelas )32

51(

2

1)(

xxf .

Jelas 10 x 220 x

1323 x

3

1

32

11

x

3

5

32

55

x

3

2

32

514

x

3

1)

32

51(

2

12

x

)0()()1( fxff .

Jadi f(0) =3

1 dan f(1) = –2 berturut-tu-

rut merupakan maksimum dan minimum

fungsi f.

Grafik f:

Gambar 112: Nilai minimum dan

maksimum f ada di

titik-titik ujung.

Contoh 100

Dipunyai fungsi Rf ]21,2[: yang dibe-

rikan oleh f(x) = x3

+ x2

– x + 1. Tentukan

nilai ekstrim mutlak fungsi f yang terletak

pada selang.

X

Y

f

f

O–1

1

5

–5

X

Y

f

–1

–2

1O

32

j\“¤·“·†?P 196 j\“¤·“·†?P 197

Penyelesaian:

Jelas f kontinu pada selang tutup ]21,2[ .

Jadi fungsi f mempunyai nilai maksimum

dan minimum mutlak.

Nilai fungsi f di titik ujung adalah:

1)2(f dan87)

21(f .

Jelas )(xf = 0

dx

xxxd )123(

3x2

+ 2x – 1 = 0

(3x – 1)(x + 1) = 0

31x dan x = –1.

Jelas 2)1(f dan27

22)

3

1(f .

Sket grafik f:

Gambar 113: Grafik f(x)=x3+x

2–x+1

Sebagai latihan, untuk fungsi yang

disajikan pada Contoh 100 buktikan:

(a) f(–1) maksimum mutlak,

(b) )3

1(f suatu minimum relatif,

(c) f(–2) suatu minimum mutlak, dan

(d) )21(f suatu maksimum relatif f.

2. Teorema Rolle dan Teore-

ma Nilai Rata-Rata

Teorema Rolle merupakan teorema

tentang eksistensi suatu titik di domain

suatu fungsi yang turunan fungsi di titik

itu sama dengan nol.

Teorema 77 (Teorema Rolle)

Bukti:

Tulis K = f(a) = f(b).

Kasus f fungsi konstan:

Jelas Kxf )( untuk setiap ],[ bax .

Jadi 0)(cf untuk setiap ],[ bac .

Kasus f bukan fungsi konstan:

Dipunyai f kontinu pada [a,b].

Pilih M dan m sehingga

f(x) M untuk setiap ],[ bax dan

f(x) m untuk setiap ],[ bax .

Pilih c, d ),( ba sehingga 0)(cf

dan 0)(df

Jadi terdapat titik ),( bac sehingga

0)(cf .

X

X

–2

–1

3

1

2

2722

Dipunyai fungsi Rbaf ],[: .

Jika (1) f kontinu pada [a,b],

(2) f mempunyai turunan pada

(a,b), dan

(3) f(a) = f(b)

maka terdapat titik ),( bac sehingga

0)(cf .

j\“¤·“·†?P 198 j\“¤·“·†?P 199

Gambar situasinya:

Gambar 114: Nilai f(c1) maksimum dan

nilai f(c2) minimum, jadi

0)1(cf dan 0)2(cf .

Contoh 101

Dipunyai fungsi Rf ]2,1[: disajikan de-

ngan 2223)( xxxxf . Periksa apa-

kah fungsi f memenhui teorema Rolle.

Pemeriksaan:

(1) Jelas f kontinu pada [1,2].

(2) Jelas )(xf = 3x2

– 4x – 1.

Jadi )(xf ada pada (1, 2).

(3) Jelas f(1) = 0 = f(2).

Jadi f memenuhi kondisi Teorema Rolle.

Pilih )2,1(c sehingga )(cf = 0.

Jelas )(cf = 0 3x2

– 4x – 1 = 0.

Jelas c1 =3

72 dan c2 =3

72.

Jelas )3

72(f = 0 = )

3

72(f .

Contoh 102

(a) Fungsi Rf ]4,1[: dengan f(x) = x.

Grafik f:

Gambar 115: Fungsi f tak memenuhi

kondisi teorema Rolle.

Jelas (1) f kontinu pada [1,4],

(1) )4,1(ada1)( xxf , dan

(2) f(1) = 0 4 = f(4).

Jadi f tak memenuhi kondisi Teorema

Rolle dan 0)(cf untuk setiap c di

selang (1,4).

(b) Fungsi Rf ]4,0[: diberikan oleh

42,4

20,)(

xx

xxxf .

Grafik f:



Jelas f kontinu pada [0,4], f(0) = 0

= f(4), akan tetapi )2(f tidak ada.

(c) Fungsi f diberikan oleh

52,5

20,)(

xx

xxxf .

Sket grafik f:



Jelas f(0) = 0 = f(5), akan tetapi f tak

kontinu di x = 2.

X

Y

4

4

O

f

X

Y P

Q

a bc1 c1O

f

X

Y

f

4

2

O 2

X

Y

f

5

2

O 2

j\“¤·“·†?P 200 j\“¤·“·†?P 201

Contoh 103

Fungsi f disajikan oleh

42,4

21,12)(

xx

xxxf .

Grafik f:

Gambar 118: f tak memenuhi kondisi

teorema Rolle, akan te-

tapi ada ]4,1[0 se-

hingga 0)0(f .

Jelas f tak kontinu di x = 2. Jadi f

tak memnuhi kondisi teorema Rolle.

Akan tetapi terdapat ]4,1[0 sehingga

0)0(f .

Contoh 103 menunjukkan bahwa

kebalikan Teorema Rolle tidak berlaku.

Berikut ini disajikan teorema yang lebih

umum dari Teorema Rolle yang disebut

dengan teorema nilai rata-rata (TNR).

Teorema 78

Interpretasi geometri teorema ini

adalah:

(a) nilaiab

afbf )()(merupakan talibusur

AB dengan A(a,f(a)) dan B(b,f(b))

(b) jika f memenuhi kondisi teorema ini

maka terdapat suatu garis singgung

yang memiliki gradient sama dengan

gradien talibusur AB.

Interpretasi geometri tersebut dapat

dilihat pada gambar berikut ini.

Gambar 119: f memenuhi kondisi Teo-

Rema Nilai Rata-Rata,

ms = )(cf

=ab

afbf )()(.

Bukti TNR:

Perhatikan fungsi f yang memenuhi TNR

berikut ini.

Gambar 120: Fungsi f memenuhi

kondisi TNR.

j\“¤·“·†?P 202 j\“¤·“·†?P 203

X

Y

f

O 1 2 4

3

-1

Dipunyai Fungsi Rbaf ],[: .

Jika (i) f kontinu pada [a,b] dan

(ii) )(xf ada pada (a,b)

maka terdapat ),( bac sehingga

ab

afbfcf

)()()( .

X

Y

O a b

f(a)

f(b)

A

B

f

A

s

X

Y

O a b

f(a)

f(b)

A

B

f

A

s

x

P

Q

Jelas A(a,f(a)) dan B(b,f(b)).

Jadi mAB =ab

afbf )()(.

Jelas AB: y – f(a) =ab

afbf )()(.(x – a)

y = f(a) +ab

afbf )()(.(x – a).

Ambil sembarang ),( bax .

Bangun d: Rba ],[ dengan

)(xd = f(x) – [f(a) +ab

afbf )()(.(x – a)].

Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa

d merupakan suatu fungsi.

Jelas d kontinu pada [a,b],

)(xd ada pada (a,b), dan

d(a) = 0 = d(b).

Jadi d memenuhi kondisi teorema Rolle.

Pilih ),( bac sehingga 0)(cd .

Jelas 0)(cd

0)()(

)(ab

afbfcf

ab

afbfcf

)()()( .

Jadi terdapat ),( bac sehingga

ab

afbfcf

)()()( .

Contoh 104

Dipunyai fungsi Rf ]4,0[: yang disaji-

kan oleh xxf )( .

Grafik f:

Gambar 121: xxf )( memenuhi

kondisi TNR

Jelas f kontinu pada [0,4] dan

)(xf =dx

xd )(=

x2

1 ada pada (0,4).

Jadi f memenhi kondisi TNR.

Pilih )4,0(c sehingga04

)4()0()(

ffcf .

Jelas04

)4()0()(

ffcf

2

1

2

1

c

c = 1.

Contoh 105

Dipunyai Rf ]1,1[: yang didefinisikan

sebagai 3

2

)( xxf .

Grafik f:

Gambar 122: f tak memenuhi kondisi

TNR dan 0)(xf un-

tuk setiap )1,1(x .


yang merupakan kriteria untuk menun-

jukkan suatu fungsi merupakan fungsi

konstan.

Teorema 79

Bukti:

Dipunyai 0)(xf untuk setiap Ix .

Andaikan f bukan fungsi konstan.

Pilih x1, x2 I , x1 < x2, dan )2()1( xfxf .

Jelas f kontinu pada [x1, x2] dan

)(xf ada pada (x1, x2).

Pilih12

1()2()()2,1(

xx

xfxfcfxxc .

j\“¤·“·†?P 204 j\“¤·“·†?P 205

X

Y

s

42

2

O

f

X

Y

O 1-1

1A B

f

Dipunyai fungsi RIf : , RI .

Jika 0)(xf untuk setiap Ix

maka f merupakan fungsi konstan.

Jadi 012

1()2(

xx

xfxf

)2()1( xfxf .

Ini suatu kontradiksi.

Jadi f merupakan fungsi konstan.

2. Fungsi Naik dan Fungsi

Turun

Berikut ini disajikan konsep tentang

naik atau turunnya fungsi, kaitannya

dengan turunan fungsi itu, dan uji turunan

pertama untuk eksrim relatif suatu fungsi.

Definisi 80

Definisi 81

Contoh 106

Dipunyai RRf : dengan f(x) = x3.

Periksa apakah fungsi f naik atau turun.

Intuisi: Grafik f naik.

Bukti:

Ambil sembarang x1, x2 R , x1 < x2.

Jelas f(x1) – f(x2)

= 32

31

xx

= (x1 – x2) )222.1

21

( xxxx .

Jelas x1 – x2 < 0 dan 0222.1

21

xxxx .

Jadi f(x1) – f(x2) < 0

f(x1) < f(x2).

Jadi )2()1(,21,2,1 xfxfxxRxx .

Jadi grafik f naik.

Grafik f:

Gambar 124: Grafik f naik, fungsi f

melestarikan urutan.

Contoh 107

Dipunyai fungsi Rf ]2,0[: disajikan

dengan21,2

20,1)(

xx

xxxf .

Periksa grafik f naik ataukah turun.

Pemeriksaan:

Grafik f:

Gambar 125: Grafik f turun

Pembaca diminta memeriksa secara

formal.

j\“¤·“·†?P 206 j\“¤·“·†?P 207


Grafik fungsi f dikatakan naik apabila

f melestarikan urutan

atau

)2()1(,21,2,1 xfxfxxIxx .


Grafik fungsi f dikatakan turun apa-

bila f tak melestarikan urutan

atau

)2()1(,21,2,1 xfxfxxIxx .

X

X

O

x1 x2

f

f(x1)

f(x2)

X

Y

f

f

O

1

1 2

-1

-2

Teorema berikut mengaitkan naik-

turunnya fungsi dengan turunan fungsi

tersebut.

Teorema 82

Bukti (i):


Ambil sembarang x1, x2 I , x1 < x2.



Pilih c (x1, x2)12

)1()2()(

xx

xfxfcf .

Jelas x2 – x1 > 0.

Jadi )1()2( xfxf > 0

0)2()1( xfxf .

Jadi )2()1(,21,2,1 xfxfxxIxx .

Jadi grafik f naik.

Bukti (ii):


Ambil sembarang x1, x2 I , x1 < x2.



Pilih c (x1, x2)12

)1()2()(

xx

xfxfcf .

Jelas x2 – x1 > 0.

Jadi )1()2( xfxf < 0

0)2()1( xfxf .

Jadi )2()1(,21,2,1 xfxfxxIxx .

Jadi grafik f turun.

Contoh 108

Dipunyai fungsi RRf : , 24)( xxf .

Tentukan selang terbesar sehingga grafik

f naik atau turun.

Penyelesaian:

Jelas )(xf =dx

xd )24(= –2x.

Jelas 0)(xf –2x > 0

x < 0.

Jadi grafik f naik pada ]0,( .

Jelas 0)(xf –2x < 0

x > 0.

Jadi grafik f turun pada ),0[ .

Contoh 109

Tentukan selang sehingga fungsi f yang

diberikan oleh0,0

0,1

)(x

xxxf naik atau

turun.

Penyelesaian:

Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa

f kontinu pada selang )0,( dan ),0( .

Jelas )(xf =2

1

x

< 0 untuk setiap 0x .

Jadi pada selang )0,( dan ),0( grafik

f turun.

Grafik f:

Gambar 126: Grafik f turun pada

)0,( ),0( .

j\“¤·“·†?P 208 j\“¤·“·†?P 209

Dipunyai RIf : , RI , dan )(xf

ada untuk setiap Ix kecuali

mungkin di titik-titik ujungnya. Maka

(i) Jika 0)(xf untuk setiap Ix

yang bukan di titik ujung maka

grafik f naik pada I.

(ii) Jika 0)(xf untuk setiap Ix

yang bukan di titik ujung maka

grafik f turun pada I.

X

Y

O

f

f

Berikut ini disajikan prosedur me-

nentukan selang terbesar sehingga grafik f

naik atau turun:

(1) tentukan bilangan kritis untuk f,

(2) tentukan selang-selang dalam

domain f berdasarkan bilangan-

bilangan kritis dan nilai-nilai x

sehingga f tak terdefinisi, dan

(3) manfaatkan Teorema 82.

Contoh 110

Dipunyai fungsi RRf }2{: yang dibe-

rikan oleh2

2)(

x

xxf .

Penyelesaian:

Dipunyai f tak terdefinisi di x = 2.

Jelas )(xf =dx

x

xd

2

2

=2)2(

)4(

x

xx.

Jelas )2(f tidak ada dan

)(xf = 02)2(

)4(

x

xx= 0

x = 0 x = 4.

Jadi bilangan-bilangan kritis f adalah 0

dan 4.

Bangun selang-selang )0,( , (0,2), (2,4),

dan ),4( .

Kasus )0,(x :

Jelas x < 0, (x – 4) < 0, dan (x – 2)2

> 0.

Jadi )(xf > 0.

Jadi grafik f naik pada )0,( .

Kasus )2,0(x :

Jelas 0 < x < 2.

Jadi –4 < x – 4 < –2 dan (x – 2)2

> 0.

Jadi )(xf < 0.

Jadi grafik f turun pada(0,2).

Kasus )4,2(x :

Jelas 2 < x < 4.

Jadi –2 < x – 4 < 0 dan (x – 2)2

> 0.

Jadi )(xf < 0.

Jadi grafik f turun pada(2,4).

Kasus ),4(x ;

Jelas x > 4.

Jadi (x – 4) > 0 dan (x – 2)2

> 0.

Jadi )(xf > 0.

Jadi grafik f naik pada ),0( .


untuk menguji nilai ekstrim relatif suatu

fungsi yang dikenal dengan Uji Turunan

Pertama.

Teorema 83 (Uji Turunan Pertama)

Bukti (1):

Dipunyai )(xf > 0 pada (c – h, c).

Jelas grafik f naik pada c – h, c).

Jadi )()( xfcf untuk setiap x di (c–h, c).

Dipunyai )(xf < 0 pada (c, c + h).

Jelas grafik f turun pada (c, c + h).

Jadi )()( xfcf untuk setiap x di (c, c+h).

j\“¤·“·† P 210 j\“¤·“·†?P 211

Dipunyai fungsi RIf : , RI , dan

Ic suatu bilangan kritis untuk f.

Jika )(xf ada pada selang (c–h, c+h)

untuk suatu h > 0 kecuali mung-

kin di titik c sendiri

maka f(c) ekstrim relatif jika dan ha-

nya jika tanda )(xf berganti

tanda di x = c.

Secara khusus dinyatakan sebagai be-

rikut:

(1) Jika )(xf > 0 untuk x < c dan

)(xf < 0 untuk x > c maka f(c)

suatu maksimum relatif.

(2) Jika )(xf < 0 untuk x < c dan

)(xf > 0 untuk x > c maka f(c)

suatu minimum relatif.

(3) Jika )(xf tidak berganti tanda di

x = c maka f(c) bukan suatu mak-

simum ataupun minimum relatif.

Jadi ),()()( hchcxxfcf .

Jadi terdapat h > 0 sehingga )()( xfcf .

Jadi f(c) suatu maksimum relatif.

Bukti (2) dan (3) untuk teorema ter-

sebut diserahkan pembaca sebagai latih-

an.

Contoh 111

Dipunyai fungsi RRf : yang diberikan

oleh )21(24)( xxxf . Tentukan nilai

ekstrim fungsi f.

Penyelesaian:

Jelas )(xf = 0

x = 02

2x

2

2x .

Uji turunan pertama di2

2x :

x

2

2

2

2

)(xf + 0 –

)(xf 1

Simpulan: 1)2

2(f suatu maksimum re-

latif.

Uji turunan pertama di x = 0:

x 0- 0 0+

)(xf – 0 +

)(xf 0

Simpulan: 0)0(f suatu minimum relatif.

Uji turunan pertama di2

2x :

x

2

22

2

2

2

)(xf + 0 –

)(xf 1

Simpulan: 1)2

2(f suatu maksimum re-

latif.

Grafik f:

Gambar 127: Fungsi f mempunyai maksi-

mum relatif di2

2dan

2

2serta minimum relatif

di 0.

Temukan suatu persegipanjang yang

ukuran luasnya 64 m2

dan ukuran keli-

lingnya minimum.

Penyelesaian:

Tulis x: ukuran panjang persegipanjang,

y: ukuran lebar persegipanjang,

A: ukuran luas persegipanjang, dan

K: ukuran keliling persegipanjang.

Dipunyai A = 64 xy = 64

xy

64 .

Jadi K(x) = 2(x + y)

= 2(x +x

64 ).

Jelas )(xK = 0

2 +x

x128 = 0

x = –8 x = 8.

Jadi titik kritis K adalah x = 8.

Uji turunan pertama di 8:

x (8)- 8 (8)+

)(xf – 0 +

)(xf 32

Simpulan:

Persegipanjang yang ukuran luasnya 64

cm2

dan ukuran kelilingnya minimum

merupakan persegi dengan ukuran 8 cm.

j\“¤·“·†?P 212 j\“¤·“·†?P 213

2

2

X

X

f

O

1

3. Kecekungan Grafik Fungsi

Gambar 128 dan 129 memper-

lihatkan perlunya mengetahui lebih rinci

tentang kelakuan suatu fungsi untuk

menggambar grafik fungsi secara lebih

teliti. Pada kedua gambar berikut ini

fungsi f mempunyai maksimum relatif di

titik B dan minimum relatif di titik-titik A

dan C. Demikian pula untuk fungsi g.

Akan tetapi kedua fungsi tersebut mem-

punyai perbedaan kelakuan dalam hal

naik atau turunnya. Perbedaan kelakuan

ini bergantung dari kecekungan masing-

masing fungsi.

Gambar 128: Fungsi f mempunyai maksi-

mum di B dan minimum di

A dan C. Akan tetapi cekung

ke atas di kiri A dan di kanan

nan C.

Gambar 129: Fungsi g mempunyai maksi-

mum di B dan minimum di

A dan C. Akan tetapi cekung

ke atas di antara A dan B dan

di antara B dan C.

Definisi 84

Interpretasi geometri kecekungan suatu

fungsi:

(a) Grafik fungsi yang cekung ke atas:

Gambar 130: Grafik f cekung ke atas.

Tulis s1, s2, s3, s4, dan s5 adalah garis-

garis singgung pada grafik f di titik-

titik x1, x2, x3, x4, dan x5 dengan x1 <

x2 < x3 < x4 < x5.

Jelas1s

m = )1(xf ,

2sm = )2(xf ,

3sm = )3(xf ,

4sm = )4(xf , dan

5sm = )5(xf .

Jelas ... )1(xf < )2(xf < )3(xf <

)4(xf < )5(xf < ... .

j\“¤·“·†?P 214 j\“¤·“·†?P 215

X

Y

B

CA

f

X

Y

B

CA

g

Dipunyai fungsi RIf : , RI , f

kontinu pada I, dan )(xf ada pada I

kecuali mungkin di titik-titik ujung-

nya.

(a) Grafik f dikatakan cekung ke atas

apabila f merupakan fungsi naik

pada selang I.

(b) Grafik f dikatakan cekung ke

bawah apabila f merupakan

fungsi turun pada selang I.

X

Yf

O x1 x2 x3 x4 x5

Ini menunjukkan fungsi f meles-

tarikan urutan.

Jadi grafik f naik.

Dengan demikian grafik f cekung ke

atas apabila grafik f naik.

(a) Grafik fungsi yang cekung ke bawah:

Gambar 131: Grafik f cekung ke bawah.

Tulis s1, s2, s3, s4, dan s5 adalah garis-

garis singgung pada grafik f di titik-

titik x1, x2, x3, x4, dan x5 dengan x1 <

x2 < x3 < x4 < x5.

Jelas1s

m = )1(xf ,

2sm = )2(xf ,

3sm = )3(xf ,

4sm = )4(xf , dan

5sm = )5(xf .

Jelas ... < )1(xf > )2(xf > )3(xf >

)4(xf > )5(xf > ... .

Ini menunjukkan fungsi f tidak

melestarikan urutan.


Dengan demikian grafik f cekung ke

bawah apabila grafik f turun.

Berikut ini disajikan teorema yang

mengaitkan kecekungan grafik suatu

fungsi dengan nilai turunan kedua fungsi

tersebut.

Teorema 85

Bukti:

(1) Ambil sembarang Ix , x bukan titik

ujung I.

Dipunyai 0)(xf .

Jadi grafik f naik.

Jadi grafik f cekung ke atas.

(2) Ambil sembarang Ix , x bukan titik

ujung I.

Dipunyai 0)(xf .


Jadi grafik f cekung ke bawah.

Apabila fungsi f mempunyai turunan

f yang kontinu, Teorema 85 mengisya-

ratkan suatu prosedur untuk menentukan

selang terbesar sehingga grafik fungsi f

cekung ke atas atau ke bawah, yaitu:

Seperti dalam mencari selang-selang

terbesar dengan f naik atau turun, harus

diperhatikan baik-baik mengenai bilangan

j\“¤·“·†?P 216 j\“¤·“·†?P 217

X

Y

f

O x1 x2 x3 x4 x5


)(xf ada untuk setiap Ix kecuali

mungkin di titik-titik ujungnya.

(1) Grafik f cekung ke atas pada I

apabila 0)(xf untuk setiap

Ix yang bukan titik ujung I.

(2) Grafik f cekung ke bawah

pada I apabila 0)(xf untuk

setiap Ix yang bukan titik

ujung I.

(1) Tentukan bilangan c sehingga

)(cf =0 atau )(cf tidak ada.

(2) Bangun selang berdasarkan

temuan titik c pada butir (1).

(3) Periksa tanda )(xf pada se-

lang-selang itu.

C dengan )(cf = 0 atau )(cf tidak ada.

Titik-titik pada grafik f yang memi-

sahkan busur-busur yang kecekungannya

berbeda disebut titik infleksi.

Definisi 86

Contoh 112

Dipunyai fungsi f: R]2,0[ , f(x) = sin x.

Jelas )(xf =dx

xfd )]([=

dx

xd )(sin=cos x

dan

)(xf =dx

xfd )]([=

dx

xd )(cos= – sin x.

Jelas 0)(xf – sin x = 0

x=0, x = , atau x = 2 .

Karena f kontinu pada ]2,0[ , diperiksa

kecekungan grafik f pada selang ],0[ dan

]2,[ dengan menguji tanda )(xf pada

selang-selang ),0( dan )2,(

menggunakan Teorema 86 berikut ini:

Selang Uji bil.

x

)(xf Cekung

],0[ Negatif ke

bawah]2,[

4

3 Positif ke

atas

Jadi grafik f cekung ke bawah pada ],0[

dan grafik f cekung ke atas pada ]2,[ .

Jadi titik ))(,( f = )0,( merupakan

titik infleksi.

Contoh 113

Dipunyai fungsi RRf : yang disajikan

oleh5

3

5

3

2

)(x

xxf .

Periksa kecekungan grafik f.

Penyelesaian:

Ambil sembarang Rx .

Jelas )(xf =dx

xxd

5

3

5

2

3

=3

3

2

3

1

3

2 x

x

.

Jadi )(xf =dx

x

x

d5

3

2

3

1

3

2

=

3

4

9

)1(2

x

x.

Jelas )0(f tidak ada dan

)(xf = 0 x = –1.

Dengan demikian tanda )(xf diperiksa

pada selang-selang )1,( , )1,1( , dan

),0( .

)(xf

Gambar 132: Tanda )(xf .

j\“¤·“·†?P 218 j\“¤·“·†?P 219

2

Dipunyai RIf : , RI , dan Ic .

Titik P(c,f(c)) disebut titik infleksi

untuk f, jika f kontinu di x = c dan

terdapat bilangan h > 0 sehingga

grafik f:

(1) cekung ke bawah pada selang

(c–h, c) dan cekung ke atas

pada selang (c , c + h),

atau

(2) cekung ke atas pada selang

(c–h, c) dan cekung ke bawah

pada selang (c , c + h).

–1

–1

–1

0

0

0

Tanda

–2(1+x)

3

4

.9 x

+

+

+

+ +

– –

– –

Jadi )(xf positif pada )1,( , akan teta-

pi )(xf negatif pada )0,1( dan ),0( .

Berdasarkan Teorema 13, disimpulkan:

(a) grafik f cekung ke atas pada se-

lang ]1,( dan

(b) grafik f cekung ke bawah pada se-

lang ]0,1[ dan ],0[ .

Ini memperlihatkan bahwa titik ))1(,1( f

= )5

6,1( merupakan titik infleksi, akan

tetapi titik ))0(,0( f = (0,0) bukan merupa-

kan titik infleksi.

Grafik f:

Gambar 134: titik )5

6,1( titik infleksi

(0,0) bukan titik infleksi.


yang mengaitkan turunan kedua suatu

fungsi dengan nilai ekstrim relatif fungsi

tersebut.

Teorema 87

Bukti:

(1) Dipunyai 0)(af .

Jelas 0)(af

0)()(

limax

afxf

ax

0)(

limax

xf

ax.

Pilih 0 sehingga

0)(

ax

xfapabila ),( aax .

Kasus ),( aax :

Jelas ax 0ax .

Jadi 0)(xf .

Jadi 0)(xf pada ),( aa .

Jadi grafik f naik pada ),( aa .

Kasus ),( aax :

Jelas ax 0ax .

Jadi 0)(xf .


Jadi grafik f turun pada ),( aa .

Jadi f(a) suatu maksimum relatif.

(2) Dipunyai 0)(af .

Jelas 0)(af

0)()(

limax

afxf

ax

0)(

limax

xf

ax.

Pilih 0 sehingga

0)(

ax

xfapabila ),( aax .

Kasus ),( aax :

Jelas ax 0ax .

Jadi 0)(xf .


Jadi grafik f turun pada ),( aa .

Kasus ),( aax :

Jelas ax 0ax .

Jadi 0)(xf .


Jadi grafik f naik pada ),( aa .

Jadi f(a) suatu minimum relatif.

j\“¤·“·†?P 220 j\“¤·“·†?P 221

X

Y

O–1 5

f

5

6


Ia . Jika )(xf ada pada I dan )(xf

ada pada I maka

(1) 0)(af f(a) suatu maksimum

relatif,

(2) 0)(af f(a) suatu minimum

relatif, dan

(3) 0)(af tak ada simpulan.

(3) Bukti (3) diserahkan pembaca seba-

gai latihan.

Contoh 115

Diskusikan ekstrim relatif dan kecekung-

an fungsi f yang diberikan oleh

3

1

43

4

)( xxxf .

Penyelesaian:

Jelas )(xf =dx

xfd )]([=

dx

xxd 3

1

43

4

= 3

2

3

43

1

.3

4xx , 0x

Jadi tidak ada.

Jelas 3

2

3

43

1

.3

4xx = 0

)1(3

2

3

4xx = 0

x = 0.

Jadi bilangan kritis untuk f adalah x = 0

dan x = –1.


Uji turunan pertama di x = –1:

Simpulan:

(1) Di titik (0,0) tidak terjadi perubahan

naik turunya grafik f.

Jadi f(0) = 0 bukan suatu ekstrim

relatif.

(2) Di titik (–1, –3) terjadi perubahan na-

ik turunnya grafik f, yaitu: grafik f

turun di kiri –1 dan naik di kanan –1.

Jadi f(–1) = –3 merupakan nilai

minimum relatif.

Selanjutnya )(xf =dx

xfd )]([

=dx

xxd 3

2

3

43

1

3

4

= 0,3

5

3

83

2

9

4xxx .

Jadi )0(f tidak ada.

Jelas )(xf = 0 0)2(3

5

9

4xx

x = 2.

Analisis kecekungan grafik f:

Kasus )0,(x :

Jelas x < 0.

Jadi 03

5

x

dan x < 0 x – 2 < –2 < 0.

Jadi )2(3

5

9

4xx > 0

0)(xf .

Jadi grafik f cekung ke atas pada se-

lang )0,( .

Kasus )2,0(x :

Jelas x > 0.

Jelas 03

5

x

dan x < 2 x – 2 < 0.

Jadi )2(2

5

9

4xx < 0

0)(xf .

Jadi grafik f cekung ke bawah pada se-

lang )2,0( .

j\“¤·“·†?P 222 j\“¤·“·†?P 223

)0(f

0)(xf

x 0– 0 0+

)(xf + Tidak ada +

f(0) 0

x –1– –1 –1+

)(xf –

0

+

f(0) 0

Kasus ),2(x :

Jelas x > 2.

Jelas 03

5

x

dan x > 2 x – 2 > 0.

Jadi )2(2

5

9

4xx > 0

0)(xf .

Jadi grafik f cekung ke atas pada se-

lang )2,0( .

Grafik f:

Gambar 135: f(–1) = –3 = fmin. rel.,

grafik f cekung ke atas

pada )0,( dan ),2(

dan cekung ke bawah

pada (0,2).

Contoh 116

Diskusikan ekstrim relatif untuk fungsi

Rf ]2,2[: dengan f(x) = x + sin x.

Penyelesaian:

Jelas )(xf =dx

xfd )]([=

dx

xxd )sin(

=dx

xd

dx

xd )(sin)(= 1 + cos x

dan )(xf =dx

xfd )]([=

dx

xd )cos1(

=dx

xd

dx

d )(cos)1(= –sin x.

Jelas 0)(xf 1 + cos x = 0

cos x = –1

x atau x .

Dengan demikian bilangan-bilangan kritis

untuk f adalah dan .

Jelas 0)(f dan 0)(f .

Jadi uji turunan kedua tak memberikan

simpulan.

Jelas )(xf = 1 + cos x 0 ]2,2[x .

Jadi berdasarkan uji turunan pertama

disimpulkan fungsi f tidak memiliki

ekstrim relatif.

Selanjutnya 0)(xf

–sin x = 0

x atau x .

Analisis kecekungan grafik f:

Kasus ],2[x :

Jelas f(x) < 0.


Kasus ]0,[x :

Jelas f(x) > 0.


Kasus ],0[x :

Jelas f(x) < 0.


Kasus ]2,[x :

Jelas f(x) > 0.


Jadi titik-titik infleksi f adalah ),( ,

(0,0), dan ),( .

Grafik f:

Gambar 136: titik-titik ),( , (0,0),

dan ),( merupakan

titik-titik infleksi.

j\“¤·“·†?P 224 j\“¤·“·†?P 225

X

Y

f

O 2–4

–1

X

Y

f

O

2

2

4. Grafik Fungsi yang Teliti

Pada pasal ini didiskusikan ba-

gaimana menggambar grafik suatu fungsi

dengan teliti memanfaatkan konsep dan

prinsip yang telah dimiliki. Dimulai de-

ngan pengertian tentang asymtot. Di

muka telah dibahas tentang nilai ekstrim

relatif dan kecekungan suatu fungsi.

Konsep ini akan dipergunakan untuk

membuat sket grafik suatu fungsi pada

selang yang terbatas. Apabila selang yang

dimaksud tidak terbatas atau nilai fungsi

itu tak hingga, diperlukan suatu

pengertian baru, yaitu asymtot.

Definisi 88

Contoh 117

Dipunyai fungsi RRf }0{: yang dide-

finisikan oleh

x

xxf

2)( .

Jelas )(lim xfx

=x

x

x

2lim

=1

21

lim x

x

= 1

dan )(lim xfx

=x

x

x

2lim

=1

21

lim x

x

= 1.

Jadi garis y = 1 merupakan asymtot datar

untuk f.

Grafik f:

Gambar 137: Garis y = 1 merupakan

asymtot datar untuk f.

Contoh 118

Dipunyai fungsi RRf }1{: dengan

x

xxf

1

1)( .

Jelas )(lim xfx

=x

x

x 1

1lim

=1

1

11

lim

x

x

x

= –1

dan )(lim xfx

=x

x

x 1

1lim

=1

1

11

lim

x

x

x

= –1.

Jadi garis y = –1 merupakan asymtot da-

tar untuk f.

Grtafik f:

Gambar 138: Garis y = –1 merupakan

asymtot datar untuk f.

j\“¤·“·†?P 226 j\“¤·“·†?P 227

Garis y = L adalah asymtot datar un-

tuk grafik fungsi f salah satu berlaku)(lim xf

xL

atau

)(lim xfx

L .

X

Y

f

f

1

X

Y

f

f

–1

Definisi 89

Contoh 119

Dipunyai fungsi }3{: Rf diberikan

oleh2)3(

1)(

x

xf .

Jelas bahwa

)(

3

lim xf

x

, )(

3

lim xf

x

,

0)(lim xfx

, dan 0)(lim xfx

.

Jadi garis x = 3 merupakan asymtot tegak

dan garis y = 0 merupakan asymtot datar.

Grafik f:

Gambar 139: x=3 merupakan asymtot tegak

y=0 merupakan asymtot datar

Contoh 120

Dipunyai RRf }3,3{: ,29

2)(

x

xxf .

Jelas 129

2lim

x

x

xdan

129

2lim

x

x

x.

Jadi garis y = –1 adalah asymtot datar un-

tuk f. Jelas bahwa pembawah akan sama

dengan nol x = –3 atau x = 3. Bilangan-

bilangan ini adalah calon untuk asymtot-

asymtot tegak. Untuk mencari keempat

limit-limit sepihak, diperlukan informasi

tentang tanda dari f yang dapat diperoleh

menggunakan garis-garis bilangan-bi-

langan berikut ini.

Gambar 140: Tanda f(x) berdasarkan

tanda pembangun f(x).

Dengan fasilitas yang ditampilkan pada Gam-

bar 124, dapat ditentukan:

29

2

3

lim

x

x

x

,29

2

3

lim

x

x

x

,

29

2

3

lim

x

x

x

, dan29

2

3

lim

x

x

x

.

Dengan demikian garis-garis x = –3 dan x = 3

merupakan asymtot-asymtot datar.

Grafik f:

Gambar 141: Asymtot datar y = –1

asymtot tegak x = –3

dan x = 3.

j\“¤·“·†?P 228 j\“¤·“·†?P 229

Dipunyai RRf : dan a R . Gra-

fik f mempunyai asymtot tegak di

x = a apabila terdapat limit tak hingga

berikut:

)(lim xf

ax

,

)(lim xf

ax

,

)(lim xf

ax

,

atau

)(lim xf

ax

.

X

Y x=3

f

O

–3

–3

–3

–3

3

3

3

3

Tanda

x2

3 – x

3 + x

f(x)

+

+

+ +

+ –

+

+

+–

––

X

Y

O 3–3-1

Informasi tentang limit dan tu-

runan fungsi dapat dimanfaatkan untuk

mengidentifikasi kelakuan grafik suatu

fungsi. Untuk mempermudah membuat

sket grafik suatu fungsi diperlukan

langkah-langkah sebagai beruikut:

(1) pertimbangkan domain dan range

fungsi tersebut.

(2) jika mungkin tentukan nilai nol

fungsi dengan menyelesaikan

persamaan f(x) = 0.

(3) tentukan semua titik kritis, perik-

sa jenis ekstrimnya, pertim-

bangkan grafik fungsi naik atau

turun pada selang-selang yang

ditemukan

(4) tentukan semua asymtot datar

dan asymtot tegak.

(5) tentukan selang sehingga grafik

fungsi itu cekung ke atas atau ke

bawah, dan titik infleksi.

(6) hitung nilai fungsi untuk

beberapa nilai x yng strategis.

Contoh 121

Buatlah sket grafik fungsi yang diberikan

oleh

22

1)(

xx

xxf .

Penyelesaian:

Jelas )(xf =22

1

xx

x =)2(

1

xx

x .

Pembawah bernilai nol untuk x = 0 dan

x = 2.

Jadi domain f adalah }2,0{RfD .

Jelas f(0) = 0, f(x) menuju positif tak

hingga apabila x naik menuju 1, dan f(x)

menuju negatif tak hingga apabila x turun

menuju 0.

Jadi RfR .

Jelas )(xf = 0)2(

1

xx

x = 0 x = 1.

Jelas)2(

1

0

limxx

x

x

,

)2(

1

0

limxx

x

x

,

)2(

1

2

limxx

x

x

, dan

)2(

1

0

limxx

x

x

.

Jadi garis x = 0 dan x = 2 merupakan

asymtot-asymtot tegak untuk f. Selanjut-

nya

0)2(

1lim

xx

x

xdan 0

)2(

1lim

xx

x

x.

Jadi garis y = 0 merupakan asymtot datar

untuk f.

Jelas )(xf =dx

xx

xd

22

1

=2)2(2

)22().1(

)1().22(

xx

dx

xxdx

dx

xdxx

=2)2(2

222

xx

xx .

Jelas )(xf tidak ada pada x = 0 dan x = 2.

Selanjutnya )(xf = 0 tidak mempunyai

selesaian.

Bilangan-bilangan kritis f adalah x = 0

dan x = 2.

Uji turunan pertama

x 0- 0 0+

)(xf + tidak ada +

f(x) Tidak ada

x 2- 2 2+

)(xf + tidak ada +

f(x) Tidak ada

Jadi fungsi f tidak mempunyai nilai eks-

trim dan grafik f naik pada fD .

j\“¤·“·†?P 230 j\“¤·“·†?P 231

Jelas )(xf =4)2(3

)8122434(2

xx

xxxx.

Jelas )(xf = 0 x = 1 dan )(xf tidak

ada untuk x = 0 dan x = 2.

Gambar 142: tanda )(xf berdasar tanda

pembangun )(xf .

Dari fakta yang ada pada Gambar 142

dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi f

cekung ke atas pada selang )0,( dan

[1,2), serta cekung ke bawah pada selang

),2[ . Jadi titik (1,0) merupakan titik in-

fleksi. Jelas bahwa3

2)1(f , f(1) = 0,

dan3

2)3(f . Ini menunjukkan bahwa

titik-titik )3

2,1( , (1,0), dan )

3

2,3( terle-

tak pada grafik f.

Grafik f:

Gambar 143: Tanda f(x) berdasarkan

tanda pembangun f(x).

Contoh 122

Buatlah sket grafik fungsi

RRf }2,2{: dengan42

2)(

x

xxf .

Penyelesaian:

Jelas)2)(2(

2

2

limxx

x

x

,

)2)(2(

2

2

limxx

x

x

,

)2)(2(

2

2

limxx

x

x

,

)2)(2(

2

2

limxx

x

x

, dan

f(0) = 0.

Jadi }2,2{RfD , RfR , x = –2 me-

rupakan asymtot tegak, dan x = 2 merupa-

kan asymtot tegak.

Jelas 0)2)(2(

2lim

xx

x

xdan

0)2)(2(

2lim

xx

x

x.

Jadi garis x = 0 merupakan asymtot datar.

Jelas2)42(

8)(

x

xxf .

Dengan demikian )2(f dan )2(f tidak

ada. Demikian pula

0)(xf 8x = 0

x = 0.

Jadi bilangan-bilangan kritis untuk f ada-

lah –2, 0, dan 1.

Uji turunan pertama di titik x = –2:

j\“¤·“·†?P 232 j\“¤·“·†?P 233

0

0

0

0

1

1

1

1

Tanda

–2(x – 1)

x3

– 4x + 8

x3(2 – x)

4

)(xf

–

+

– +

+ +

+

–

+–

++

2

2

2

2

+

+

–

–

X

Y

1

3

-2

x –2 –2 –2)(xf + 0 +

f(x) Tak ada

Uji turunan pertama di titik x = 0:

Uji turunan pertama di titik x = 2:

Uji turunan pertama untuk f mem-

perlihatkan bahwa nilai f(0) = 0 merupa-

kan nilai maksimum relatif, grafik f naik

pada selang-selang )2,( serta )0,2( ,

dan tu-run pada selang-selang (0,2) dan

),2( . Selanjutnya

0)(xf 03)42(

32224

x

x

tidak mempunyai selesaian dan )(xf ti-

dak ada di titik-titik x = –2 dan x = 2.

Tanda )(xf dianalisis menggunakan

garis-garis bilangan beruikut ini.

Gambar 144: Tanda )(xf

Dengan demikian dapat disimpulkan

grafik f cekung ke atas pada selang-se-

lang )2,( dan ),2( serta cekung ke

bawah pada selang (–2, 2). Selanjutnya

nilai5

9)3(f , f(0) = 0, dan

5

9)3(f . Jadi

titik-titik )5

9,3( , (0,0), dan )

5

9,3( terletak

pada grafik f. Grafik f adalah sebagai

berikut.

Gambar 145: Garis y = 0 asymtot datar,

garis x = –2 dan x = 2 me-

rupakan asymtot tegak, dan

f(0) nilai maksimum relatif.

5. Penggunaan Turunan Yang

Lain

Pemanfaatan turunan yang juga pen-

ting adalah untuk membantu menyele-

saikan masalah-masalah pada kehidupan

nyata.

Masalah Maksmum dan Minimum

Langkah-langkah untuk menyelesai-

kan masalah maksimum-minimum adalah

melalui pemodelan matematika. Untuk

menyelesaikan suatu masalah adakala-

nya tidak dapat langsung. Akan tetapi

melalui suatu metode yang biasanya dise-

but dengan pemodelan matematika.

Pertama:

(a) Identifikasi semua besaran yang

terlibat dalam masalah nyata ter-

sebut.

(b) Memberi lambang setiap besaran

yang teridentifikasi.

j\“¤·“·†?P 234 j\“¤·“·†?P 235

x 0 0 0)(xf + 0 –

f(x) 0

x 2 2 2)(xf – Tak ada –

f(x) Tak ada

– 2

– 2

– 2

2

2

2

Tanda

24x2+32

(x2

– 4)3

)(xf

+ + + + + +

+ + +

+ + +

+ + +

+ + +

+ + +

– – –

– – –

X

Y

O

ff

f

)95,3()

95,3(

–2 2

(c) Memilah-milah besaran-be-

saran itu mana yang variabel

dan mana yang merupakan

konstanta.

(d) Menentukan hukum yang me-

ngendalikan pada masalah ter-

sebut.

(e) Hukum yang mengendalikan

ini menentukan hubungan an-

tara setiap variabel dan kons-

tanta yang merupakan model

matematika.

Kedua:

(a) Menyatakan model matematika

yang diperoleh sebagai fungsi

dengan sebuah variabel.

(b) Menentukan domain dan range

fungsi.

(c) Menentukan nilai maksimum

atau minimum fungsi itu ber-

dasarkan teori yang telah dike-

mukakan.

Ketiga:

(a) Menentukan solusi model mate-

matika.

(b) Menginterpretasi solusi model

sehingga menghasilkan solusi

masalah nyata.

Langkah-langkah tersebut dapat

dinyatakan sebagai diagram pemodelan

matematika berikut ini.

Diagram 146: Pemodelan Matematika

Contoh 123

Suatu kotak terbuka di atas dibuat dari

lembaran seng berbentuk persegi berukuran

sisi 12 cm dengan memotong pada setiap

ujungnya persegi-persegi kongruen seperti

nampak pada gambar 37. Tentukan ukuran

volum maksimum kotak.

Gambar 147: Kotak dibangun meng-

gunakan lembaran seng.

Penyelesaian:

Besaran Yang Terlibat Lmb. Sat. V/K

Ukuran panjang Alas p cm Var

Ukuran lebar Alas l cm Var

Ukuran tinggi kotak x cm Var

Ukuran volum Kotak V cm3

Var

Ukuran luas bahan s = 12 cm K

Jelas p(x) = 12 – 2x,

l(x) = 12 – 2x, dan

V(x) = (12 – 2x).(12 – 2x).x.

Jelas ]6,0[vD

dan )(xV =dx

xxxd )14424834(

= 12x2

– 96x + 144

= 12(x – 2)(x – 6).

Dengan demikian )(xV = 0

12(x – 2)(x – 6) = 0

x = 2 atau x = 6.

Jadi bilangan kritis untuk V adalah 2 dan 6.

Uji Turunan pertama di x = 2:

x 2-

2 2+

)(xV + 0 –

V(x) 128

Jadi volum maksimum kotak 128 cm3.

Untuk x = 6 tidak ada kotak yang terjadi.

j\“¤·“·†?P 236 j\“¤·“·†?P 237

Masalah

Nyata

Model

Matematika

Solusi

Model

Solusi

Masalah

* Identifikasi besaran

* Memberi Lambang

* Menentukan satuan

* Pilah Var/ Kons.

Hukum Yang

Mengendalikan

x

x

xx

x x

x

x

Contoh 124

Seorang berada dalam perahu (posisi A)

yang berjarak 3 mil dari pantai yang lu-

rus. Ia ingin mencapai rumahnya di pantai

(posisi C) yang berjarak 20 mil dari titik

di pantai yang terdekat padanya (posisi

B). Jika ia dapat mendayung dengan ke-

cepatanjam

mil4 dan berjalan kaki dengan

kecepatanjam

mil5 , tentukan titik di pantai

yang harus dituju agar ia sampai di rumah

dalam waktu sesingkat mungkin.

Gambar 148: Route seseorang di laut

menuju rumah.

Besaran yang terlibat Lmb. Sat. V/K

Jarak BD x mil Var

Kec. Mendayung Vm= 3

jam

mil kons

Kecepatan jalan kaki Vj= 5

jam

mil kons

Waktu yg dibutuhkan T jam Var

Dipunyai 92xAD dan xCD 20 .

Model matematika:

)(xT =jV

CD

mV

AD

)(xT =5

20

4

92xx .

Jelas ]20,0[TD .

Selanjutnya )(xT =dx

xxd

5

20

4

92

=5

1

924 x

x .

Dengan demikian

)(xT = 05

1

924 x

x = 0 x = 4.

Jadi bilangan kritis T adalah x = 4.


x 4-

4 4+

)(xT – 0 +

T(x)20

95

Jadi T(4)=20

95 merupakan nilai minimum.

Jadi agar orang itu sampai di rumah da-

lam waktu yang paling singkat, ia harus

mendayung menuju D di pantai yang

berjarak 4 mil dari B.

Contoh 125

Sebuah bak berisi 50 liter air asin yang

mengandung 10 gram larutan garam. Air

asin yang mengandung larutan garam tiap

liter mengalir ke dalam bak dengan laju

menit

liter5 . Secara otomatis campuran

diaduk agar homogen dan hasil campuran

ini mengalir ke luar bak dengan laju

menit

liter3 . Tentukanlah model matematika

masalah ini.

Gambar 149: Larutan garam masuk mela-

lui kran dan kemudian menga-

galir keluar.

j\“¤·“·†?P 238 j\“¤·“·†?P 239

Penyelesaian: hubungan antara masing-masing laju pe-

A

B C

3 mil

20 mil

D

Vm

Vk

Tabel 11: Identifikasi besaran

yang terlibat.

Besaran yang

terlibat

Lmb. Sat. V/K

Waktu t menit V

Banyak garam di

bak

x(t) gram V

Konsentrasi

garam di bak

C(t)

liter

gram V

Volum air di bak x(t)

menit

gram V

Laju pertambahan

garam di bak dt

dx

menit

gram V

Laju volum

larutan masuk bak

Vm=5

menit

liter Vm

Laju volum

larutan keluar bak

Vk=3

menit

liter Vk

Pertambahan volum cairan di bak tiap menit

ada-lah:

(5 – 3)l = 2l.

Jadi y(t) = 50 + 2t.

Dengan demikian konsentrasi garam di

bak pada saat detik adalah:

C(t) =t

x

230.

Laju garam masuk bak adalah

2liter

gram. 5

det

liter = 10det

gramn.

Laju garam yang keluar adalah

kVtC ).( = 10 -t

x

230

3 .

Jadi model matematika masalah di atas

adalah

10)0(230

310

xt

x

dt

dx

yang diselesaikan memanfaatkan anti

tu-runan, jadi akan dibahas dalam

matakuiah Kalkulus 2.

6. Masalah Laju Yang

Berkaitan

Jika dua atau lebih fungsi (dalam

waktu) yang terdeferensial dikaitkan

dalam sebuah persamaan, selalu diper-

oleh

rubahan dengan mendiferensialkan kedua

ruas persamaan itu terhadap t (waktu).

Perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 126

Dipunyai fungsi-fungsi f dan g dikaitkan

oleh persamaan

f(t) = 3[g(t)]2

+ 10, )t .

Tentukan laju perubahan fungsi f di t = 4,

apabila diketahui

G(4) = 2 dan 5)4(g .

Penyelesaian:

Kedua ruas persamaan diturunkan terha-dap

t, diperoleh

)(tf =dt

tgd 102)]([3

=dt

tgd2)]([3

+dt

d )10(

=dt

tgd

tgd

tgd)]([

.)]([

2)]([3

= 6.g(t). )(tg .

Jadi )4(f = 6.g(4). )4(g .

= 6.2.(-5)

= –60.

Contoh 127

Sebuah balon berbentuk bola dipompa se-

hingga ukuran volumnya naik 100det

3cm . De-

ngan laju berapa jari-jari balon naik, ketika

ukuran jari-jari balon mencapai 6 cm.

Penyelesaian:Tabel 11: Identifikasi besaran

yang terlibat.

Besaran yang

terlibat

Lam-

bang

Satuan

V/ K

Waktu t Detik V

Volum Balon V(r) cm3

V

Jejari balon r(t) cm V

Laju perubah-

an volum per-

detik

100dt

dV

det

3cm

K

j\“¤·“·†?P 240 j\“¤·“·†?P 241

Jelas V(t) = 3)]([3

4tr .

Andaikan V dan r mempunyai turunan

terhadap t. Jadi

dt

dr

dr

dV

dt

dV

100 =dt

dr

dr

rd )(

3

4 3

100 =dt

drr ...4 2

2.

25

rdt

dr.

Untuk r = 9, diperoleh.81

25

dt

dr.

Interpretasi:

Laju perubahan jejari balon pada saat je-

jari belum mencapai 9 cm adalah

det.81

25 cm.

Berdasarkan pembahasan dan contoh

di muka, dapat disusun langkah-langkah

menyelesaikan masalah laju yang berka-

itan adalah sebagai berikut:

(1) Jika masalahnya adalah masalah

yang dapat diinterpretasi secara

geometrik, sketlah gambarnya.

(2) Sebutkan semua besaran yang

terlibat, tentukan satuannya, dan

pilah mana yang variabel dan

mana yang konstanta.

(3) Berdasarkan sketlah gambarnya,

bersama-sama dengan hubungan

yang diketahui antara variabel-va-

riabelnya tulislah persamaan yang

mengkaitkan variabel-variabel

yang sesuai.

(4) Turunkan kedua ruas persamaan

itu, menggunakan aturan rantai

apabila perlu, untuk memperoleh

suatu persamaan yang mengkait-

kan laju perubahan-laju perubah-

an.

(5) Selesaikan untuk laju yang dicari.

Setelah mengerjakan ini semua,

substitusikan data yang diketahui

untuk menyatakan penyelesaian

yang diperoleh.

Contoh 128

Seorang mahasiswa fisika berdiri 30 mil

di muka suatu bagian rel pacu yang lurus

dalam rangka melaksanakan percobaan

tentang Efek Dopller. Sebuah kereta

menghampiri, bergerak sepanjang rel pa-

cu dengan kecepatanjam

km30 . Berapa

penurunan jarak antara kereta dan maha-

siswa ketika kereta api berjarak 50 m dari

mahasiswa.

Penyelesaian:

Gambar 150: Peta lokasi percobaan

Efek Dopller

Tulis K: posisi kereta api

M: posiosi mahasiswa, dan

P: titik di rel pacu yang mempu-

nyai jarak terdekat dengan

dengan mahasiswa.

Besaran-besaran yang terlibat dicatat pa-

da daftar berikut ini:Tabel 11: Identifikasi besaran

yang terlibat.

Besaran

Yang terlibat

Lamb. Sat. V/ K

Waktu t jam V

KP x m V

KM y m V

PM zo m V

Kecepatan

Kereta 90dt

dx

jam

km K

j\“¤·“·†?P 242 j\“¤·“·†?P 243

x

30 cmy

K P

M

Masalah:

Mencaridt

dxpada saat KM = 50.

Jelas y2

= x2

+ 900.

Selanjutnya diasumsikan bahwa x(t) dan

y(t) mempunyai turunan terhadap varia-

bel t. Jadi

dt

yd )( 2

=dt

xd )( 2

+dt

d )900(

dt

dy

dy

yd.

)( 2

=dt

dx

dx

xd.

)( 2

dt

dyy.2 =

dt

dxx.2

dt

dy=

dt

dx

y

x. .

Kasus y = 50:

Jelas 403050 22x .

Jadi50ydt

dy= )90.(

50

40= –72.

Interpretasi:

Laju penurunan jarak antara kereta dan

mahasiswa 50 m adalahjam

km72 .

Latihan Soal Bab. 5

1. Untuk fungsi-fungsi f yang berikut ini,

tentukan selang terbesar sehingga

grafik f naik atau turun, tentukan

ekstrim relatif dan jenisnya, kemudian

dengan informasi yang diperoleh

sketlah grafik f:

(a) 64)( 2xxxf ,

(b) 2)2(9)( xxf ,

(c) 3

2

4)( xxf ,

(d) 24)( xxf ,

(e) 35)( 3

2

3

5

xxxf ,

(f)x

xxf

4)( , dan

(g)21

1)(

x

xxf .

2. Dipunyai fungsi RRf : dengan

7)( 23bxaxxxf mempunyai

ekstrim relatif di x = 1 dan x = –3.

(a) Tentukan nilai a dan b,

(b) Periksa jenis ekstrim relatif terse-

but.

3. Tentukan nilai ekstrim untuk setiap

fungsi f yang diberikan berikut ini:

(a) ]2,1(,34)( xxf ,

(b) ]3,2[,1

)(x

xf ,

(c) ),(,4)( 2xxf ,

(d)

2,2

2,5

2

)(

x

xxxf , [3,5], dan

(e)1,3

1,1)(

x

xxxf , [–2,1].

4. Periksa apakah fungsi f yang diberikan

pada selang yang disajikan memenuhi

kondisi teorema Rolle:

(a) ]4,1[,2,2

2,)2()(

2

xx

xxxf dan

(b) ]2,2[,1,

11)(

2xx

xxxf .

5. Berikan sebuah contoh fungsi f yang

tak memenuhi kondisi teorema Rolle,

tetapi simpulan pada teorema ini ada

opada selang [0,4].

j\“¤·“·†?P 244 j\“¤·“·†?P 245

6. Periksa naik atau turunnya fungsi-

fungsi berikut menggunakan uji turun-

an pertama:

(a) 21)( xxf ,

(b) 2

3

)( xxf , dan

(c)2

4)(

xxf .

7. Tentukan selang terbesar sehingga

fungsi berikut ini cekung ke bawah

atau cekung ke atas:

(a)1

)(x

xxf ,

(b) 3

1

)2()( xxf , dan

(c) 35)( 3

2

3

5

xxxf .

8. Dipunyai fungsi RRf : . Jika f(0) =

0 dan f cekung ke bawah untuk setiap

Rx , buktikan 0)(xf untuk seti-

ap Rx .

9. Tentukan nilai ekstrim relatif dan

jenisnya untuk fungsi-fungsi berikut

menggunakan uji turunan kedua:

(a) xxf2sin)( ,

(b) 2034484)( 234xxxxxf ,

(c)x

xxf2

)( 2 .

10. Tentukan:

(a)24

3

23

)4(lim

xx

xx

x,

2

1lim

2 xx

,

(b)x

x

x

sinlim , x

x

tanlim_

2

,

(c)

51

limxx

,x

x

x 0

lim ,

(d)4

22

4

)2(lim

x

xx

x, dan

3

21

)1(

1lim

xx

.

11. Dipunyai fungsi RRf }4{: yang

diberikan olehx

xxf

4

71)( mem-

punyai asimtot datar y = 3. Tentukan

nilai a dan b.

12. Dipunyai fungsi RDf : , RD ,

danbaxx

xf2

1)( . Garis-garis

x = 3 dan x = 5 merupakan asimtot-

asimtot tegak grafik f. Tentukan nilai

a dan b.

13. Buatlah sket grafik fungsi yang

disajikan berikut ini:

(a) 82)( 2xxxf ,

(b)4

4)(

x

xxf ,

(c)x

xxf1

9)( ,

(d) 24)( xxf ,

(e) 3

2

3

5

)1()1()( xxxf ,

(f)2)12(

)(x

xxf , dan

(g)5

)(3

5

3

2x

xxf .

14. Tentukan persamaan garis singgung

pada grafik fungsi RRf : dengan

xxxxf 53)( 23 yang memiliki

gradien paling kecil.

15. Suatu wabah (epidemi) berjangkit di

lingkungan masyarakat. Dalam x bu-

lan setelah wabah mulai berjangkit, P

persen penduduk telah terjangkit,

dengan laju

22

2

)1(

30)(

x

xxP .

Setelah berapa bulan paling banyak

penduduk yang terjangkit dan berapa

j\“¤·“·†?P 246 j\“¤·“·†?P 247

persenkah dari penduduknya.

16. Arus searah generator mempunyai

gaya elektromotif sebesar E volt dan

tahanan sebesar r ohm (E dan r meru-

pakan konstanta). Bila R ohm tahan-

an luar, (r + R) adalah tahanan total,

dan P Watt adalah tenaga, maka

22

2

)1(

30)(

x

xxP .

Setelah berapa bulan banyak pendu-

duk yang terjangkit mencapai puncak

dan berapa persenkah penduduk yang

terjangkit.

17. Suatu bak berisi 50 liter air asin yang

mengandung 10 gram garam. Air asin

yang mengandung 2 gram larutan

garam tiap liter mengalir ke dalam

bak dengan lajumenit

liter5 . Secara oto-

matis larutan diaduk agar larutan ini

homogen. Hasil campuran ini me-

ngalir keluar dari bak dengan laju

menit

liter5 . Tentukan model matematika

masalah tersebut. Tentukan pula ba-

nyak garam di bak pada 10 menit

yang pertama.

j\“¤·“·†?P 248 j\“¤·“·†?P 249

DAFTAR PUSTAKA

[1] Leithold, L. (1986). (diterjemahkan oleh Hutahaean). Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik, Jilid

II. Jakarta: Penerbit Erlangga.

[2] Purcell, E. & Varberg, D (1984). (diterjemahkan oleh I Nyoman Susilo, Bana Kartasasmita,

dan Rawuh). Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik, Jilid I. Jakarta: Penerbit Erlangga.

[3] Bartle, G. Robert. (1982). Introduction To Real Analyisis. New York: John Wiley & Sons.

Inc.

[4] Berkey, D. Dennis. (1988). Calculus, 2nd Edition. New York: Sounders College Publishing

blogardliyan.files.wordpress.com · 2018. 12. 6. · KATA PENGANTAR Buku ajar ini merupakan...

Documents

Transcript of blogardliyan.files.wordpress.com · 2018. 12. 6. · KATA PENGANTAR Buku ajar ini merupakan...