11

MEDAN MEDAN ELEKTROMAGNETIKELEKTROMAGNETIK

22Analisis VektorAnalisis Vektor

MEDAN ELEKTROMAGNETIKMEDAN ELEKTROMAGNETIK

ANALISIS VEKTOR MEDAN LISTRIK RAPAT FLUKS LISTRIK ENERGI DAN POTENSIAL LISTRIK BAHAN ELEKTRIK DAN KAPASITANSI MEDAN MAGNETIK RAPAT FLUKS MAGNETIK BAHAN MAGNETIK DAN INDUKTANSI PERSAMAAN-PERSAMAAN MAXWELL

33Analisis VektorAnalisis Vektor

ANALISIS VEKTORANALISIS VEKTOR SKALAR DAN VEKTOR ALJABAR DAN PERKALIAN VEKTOR SISTEM KOORDINAT KARTESIAN KOMPONEN VEKTOR DAN VEKTOR SATUAN SISTEM KOORDINAT SILINDER TRANSFORMASI KOORDINAT TRANSFORMASI VEKTOR SISTEM KOORDINAT BOLA

44Analisis VektorAnalisis Vektor

SKALAR DAN VEKTORSKALAR DAN VEKTOR

Skalar Hanya mempunyai besarHanya mempunyai besar Massa, volume, temperatur, energiMassa, volume, temperatur, energi

Vektor Mempunyai besar dan arahMempunyai besar dan arah Gaya, kecepatan, percepatanGaya, kecepatan, percepatan

55Analisis VektorAnalisis Vektor

Medan skalar Besarnya tergantung pada posisinya dalam ruang

EP = m g h

Medan vektor Besar dan arahnya tergantung pada posisinya dalam ruang

F = 2 xyz ax – 5 (x + y + z) az

66Analisis VektorAnalisis Vektor

ALJABAR VEKTORALJABAR VEKTOR

Penjumlahan vektor Metoda jajaran genjangMetoda jajaran genjang

A

B C = A + B

77Analisis VektorAnalisis Vektor

Penjumlahan vektor Metoda poligonMetoda poligon

A

B

C = A + B

88Analisis VektorAnalisis Vektor

Pengurangan vektor DD = = AA – – BB = = AA + (- + (- BB) )

A

B

- B

C = A - B

99Analisis VektorAnalisis Vektor

PERKALIAN VEKTORPERKALIAN VEKTOR Perkalian titik (Dot Product) Hasilnya skalarHasilnya skalar

AProyeksi B pada A

AB

B

Proyeksi A pada B

ABcosBABA

ABcosABAB

ABBA

1010Analisis VektorAnalisis Vektor

Perkalian Silang Hasilnya vektorHasilnya vektor

aN = vektor satuan yang tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh vektor-vektor A dan B (arahnya sesuai dengan aturan ulir tangan kanan)

NAB asinBABA

A B

A

AB B

B A

ABBA

1111Analisis VektorAnalisis Vektor

SISTEM KOORDINAT KARTESIANSISTEM KOORDINAT KARTESIAN Titik Dinyatakan

dengan 3 buah koordinat x, y dan z P(x, y, z)

P(1, 2, 3) Q(2, -2, 1)

1212Analisis VektorAnalisis Vektor

Vektor Dinyatakan dengan Dinyatakan dengan

tiga buah vektor tiga buah vektor satuan satuan ax, ay dan az

r = x + y + z r = x ax + y ay + z az

r = vektor posisi = vektor posisi dari sebuah titik dari sebuah titik dalam ruang dalam ruang

1313Analisis VektorAnalisis Vektor

Vektor posisirrPP = = aaxx + 2 + 2 aayy + 3 + 3 aazz (vektor posisi titik (vektor posisi titik P)P)rrQQ = 2 = 2 aaxx - 2 - 2 aayy + + aazz (vektor posisi titik (vektor posisi titik Q)Q)

1414Analisis VektorAnalisis Vektor

Vektor antara 2 titikRPQPQ = = rrQQ – – rrPP = [2 - 1] = [2 - 1] aaxx + [- 2 - (2)] + [- 2 - (2)] aayy + [1 - 3] + [1 - 3] aazz = = aaxx - 4 - 4 aayy – 2 – 2 aazz

1515Analisis VektorAnalisis Vektor

Titik asal O(0, 0, 0) Bidang x = 0 (bidang ZOY), y = 0 (bidang x = 0 (bidang ZOY), y = 0 (bidang

ZOX), z = 0 (bidang XOY)ZOX), z = 0 (bidang XOY)

1616Analisis VektorAnalisis Vektor

Elemen Luas (vektor) dy dz dy dz aaxx dx dz dx dz aayy dx dy dx dy aazz

1717Analisis VektorAnalisis Vektor

Elemen Volume (skalar) dx dy dzdx dy dz

1818Analisis VektorAnalisis Vektor

Perkalian titik dalam sistem koordinat kartesianA = s ax + t ay + u az

B = l ax + m ay + n azA B = s l + t m + u nA B = ABcos AB

B

A

AB

222

222

nmlB

utsA

222 nml

BBBaB

Proyeksi vektor A pada vektor B

BBBAB a)aA(acosA

1919Analisis VektorAnalisis Vektor

Contoh Soal 1.1Diketahui tiga buah titik RA(2, 5, -1), RB(3, -2, 4) dan RC(-2, 3, 1)Tentukan :

a. RAB RAC

b. Sudut antara RAB dan RAC

c. Proyeksi vektor RAB pada RAC

Jawab :RAB = 1ax – 7 ay + 5 az

RAC = - 4 ax – 2 ay + 2 az

2020Analisis VektorAnalisis Vektor

RAB = ax – 7 ay + 5 az RAC = - 4 ax – 2 ay + 2 az

a). RAB RAC = (1)(-4) + (-7)(-2) + (5)(2) = 20

899,44416660,825491 ACAB RRb).

o

ACAB

ACAB 9,61471,0)899,4)(660,8(

20RRRRcos

c).zyx

zyx

AC

ACAC a408,0a408,0a816,0

899,4a2a2a4

RRa

Proyeksi RAB pada RAC :(RAB aAC) aAC = [(1)(- 0,816) + (- 7)(- 0,408) + (5)(0,408)]aAC

= 4,08 (- 0,816 ax – 0,408 ay + 0,408 az) = - 3,330 ax – 1,665 ay + 1,665 az

2121Analisis VektorAnalisis Vektor

Perkalian silang dalam sistem koordinat kartesianA = s ax + t ay + u az

B = l ax + m ay + n az

A x B = ABsin AB aN A B

A

AB B

A B = (t n – u my ) ax + (u l – s n ) ay + (s m – t l) az

nmluts

aaa

BAzyx

2222Analisis VektorAnalisis Vektor

a. RBC RBAb. Luas segitiga ABCc. Vektor satuan yang tegak lurus pada

bidang segitiga

Contoh Soal 1.2Sebuah segitiga dibentuk oleh tiga buah titik A(2, -5, 1), B(-3, 2, 4) dan C(0, 3, 1)Tentukan :

RBC = 3 ax + ay - 3 az RBA = 5 ax - 7 ay - 3 az

Jawab :

2323Analisis VektorAnalisis Vektor

RBC = 3 ax + ay - 3 az RBA = 5 ax - 7 ay - 3 az

zyx

z

y

x

zyx

BABC

a26a6a24a)]5)(1()7)(3[(

a)]5)(3()3)(3[(a)]7)(3()3)(1[(

375313

aaa

RR

a).

2424Analisis VektorAnalisis Vektor

944,172888,35

226624

2RR

ABC

222

BABC

zyxBABC a26a6a24RR

b).

ABCLuas2)AD)(BC(

)sinBA)(BC(

sinRRRR BABCBABC

A

AB

C B

D

RBC RBA

2525Analisis VektorAnalisis Vektor

A

AB

C B

D

RBC RBA

zyx

zyx

BABC

BABCRR

aaa

aaa

RRRRa

BABC

725,0167,0669,0888,35

16624

c).